proyecto SE Matematicas 6 unidad 1

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Lógica y conjuntos. Sistemas de numeración Pensamiento numérico

En esta unidad... Identificarás los conceptos de las proposiciones y los conectores lógicos, desarrollando el pensamiento crítico y analítico para interpretar diferentes conjeturas, dando razones propias. Comprenderás las características y propiedades de los conjuntos , manejando las relaciones y operaciones entre ellos en la resolución de problemas de la vida cotidiana. Entenderás la importancia de los diferentes sistemas de numeración a través de la historia y su relación con el sistema numérico decimal  utilizado en la actualidad, dando ejemplos de aplicación y resolviendo situaciones cotidianas.

Saberes previos Cada vez que se identifica la característica común de una colección de objetos, se está utilizando la noción intuitiva de conjunto. Por ejemplo, la taxonomía sistemática es la disciplina biológica que se encarga del estudio científico de las clases y diversidad de los organismos y de todas las relaciones entre ellos. De este modo, el estudio de las características de los seres vivos ha permitido establecer que se agrupan en cinco grandes reinos: animal, vegetal, mónera, protista y fungi. 10

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DESARROLLA TUS COMPETENCIAS Muchas características, muchas especies

Colombia es el segundo país más rico en especies del mundo, después de Brasil. La primera gran riqueza del país es la flora, ya que Colombia posee entre 45 000 y 55 000 especies de plantas, de las cuales se destacan las orquídeas, representadas en cerca de 3 500 especies. En cuanto a vertebrados terrestres, Colombia ocupa el tercer lugar lugar,, con 2 890 especies, de las la s cuales 1 721 son aves, 358 mamíferos y 517 anfibios.

 Así como existe diversidad de fauna y flora, la lista de plantas amenazadas en Colombia abarca cerca de 1 000 especies y en ella, uno de los grupos más amenazados lo constituye, precisamente, el de las orquídeas. En cuanto a los animales, se encuentran en gran peligro 89 especies de mamíferos, 133 de aves, 20 de reptiles  y 8 de peces, según datos de la Unión Mundial para la Conservación. Encuentra más información acerca del tema en www.e-sm.net/6mt01

Actividades

I. De acuerdo con la lectura inicial, las aves, los mamífe-

ros y los anfibios son especies de vertebrados terrestres. Nombra una característica de cada una de estas especies. ¿Cómo distingues un ave de un mamífero y de un anfibio?  II. Ingresa a la página www.e-sm.net/6mt02 analiza la infor-

mación que allí encuentras y determina el valor de verdad de las siguientes afirmaciones. a) Todo vertebrado es a la vez invertebrado.

Educación en valores Tolerancia

Es posible que conozcas personas que utilizan otro tipo de lógica para resolver con éxito problemas que también solucionas exitosamente a tu manera.  Supón que debes trabajar con una persona con estas características y esta quiere imponer sus ideas sobre las de los demás. ¿Cuál es tu actitud frente a este comportamiento?



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b) Los reptiles son a la vez vertebrados. c) Todo vertebrado es a la vez un reptil. d) No hay un animal que a la vez sea vertebrado e inverte-

brado. III. Investiga acerca de las características del reino vegetal y

nombra cinco especies que pertenezcan a este reino. Discute tus respuestas con un compañero o compañera de curso.

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1

Proposiciones simples Una proposición simple es una oración o expresión de la que se puede decir si es verdadera o falsa, pero no las dos al mismo tiempo.

Ten en cuenta

 Ejemplo 1

No son consideradas proposiciones simples todas las preguntas, exclamaciones o expresiones que no se encuentren completas. Por ejemplo,

• • • •

Los siguientes son algunos ejemplos de proposiciones simples: Bogotá es la capital de Colombia. 2 � 8 � 11 El cielo es azul. Juan Valdéz es una tienda colombiana de café.

¿Qué día es hoy?  ¡Hola!  Juan tiene...

Las proposiciones simples se simbolizan con letras minúsculas como: p, q , r , s , t , etc., y su valor de verdad  se nota mediante V, si es verdadera o F, si es falsa.  Ejemplo 2

Observa los valores de verdad de estas proposiciones.

�V� �F� �V� �F�

p: Los perros son animales cuadrúpedos q : Brasil es un país europeo r : 18

�

2

�

36

s : Leo Messi es un jugador de fútbol de Perú

ACTIVIDAD RESUELTA COMUNICACIÓN 1.

Indica si cada una de las siguientes expresiones es o no una proposición simple. a) Los buses articulados del transmilenio son de color amarillo b) ¿Qué hora es?

c) 18

�

5

�

3

�

20

d) ¡Por fin llegaste!

Solución: Las expresiones a y c son proposiciones simples, porque se puede determinar si son verdaderas o falsas, mientras que no se puede hacer lo mismo con las expresiones b y d.

ACTIVIDADES PROPUESTAS COMUNICACIÓN 2.

Indica cuáles de las siguientes expresiones son proposiciones simples. a) Mañana comienza el invierno b) 14 � 23 � 35 c) Al sumar dos números naturales, el resultado obtenido es otro número natural d) Caracas es la capital de Venezuela e) ¿Pablo Rodríguez es mexicano? f) Un cuadrado es una figura geométrica que consta de cuatro lados g) ¡Salga rápido! h) Dos, cuatro, seis y ocho son números pares i) La Tierra gira alrededor del Sol j) Cuidado con el perro k) ¿Cuándo regresó?

RAZONAMIENTO 3.

Copia la tabla 1.1 y complétala marcando donde corresponda. PROPOSICIÓN

V

F

Hoy es 7 de octubre El sistema solar está compuesto por ocho planetas 5 � 8 � 40 6  17 Los números pares son divisibles por 2 Gabriel García Márquez es cantante No todos los números primos son impares La capital de Francia es Londres 256 � 124 � 380 1 es un número natural Tabla 1.1 • Más actividades en la página 28, numeral 49.

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PENSAMIENTO NUMÉRICO

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Negación Negació n de proposiciones simples

Si p  es una proposición simple, entonces la negación de p   denotada por �p  (que se lee “no p”), es otra proposición cuyo valor de verdad es opuesto al de p. Es decir, si p es verdadera, �p es falsa y si p  es falsa, �p es verdadera.  Ejemplo 3

Sabías que...

Sean las proposiciones simples:

p: La Tierra es plana q : 18 es divisible por 3 r : 21 es un número primo s : El primer día de la semana es el lunes Entonces, las negaciones de p, q , r  y s  son   son respectivamente: �p: No es cierto que  la Tierra es plana, o también, �p: La Tierra no es plana �q : No es cierto que  18 es divisible por 3, o también, �q : 18 no es divisible por 3 �r : No es cierto que  21 es un número primo, o también, �p: 21 no es un número primo �s : No es cierto que  el primer día de la semana es el lunes, o también, �s : El primer día de la semana no es el lunes

La lógica es la rama del conocimiento que trata los métodos de razonamiento mediante una serie de reglas y técnicas, para determinar si un argumento es válido o no.

Se observa además, que la proposición p  es falsa (F), dado que, se conoce con certeza, que el planeta Tierra tiene forma esférica curvada, mientras que su negación �p es verdadera (V). Con un análisis semejante se deduce que, q  es   es V y �q  es   es F; r  es   es F y �r  es V; s  es   es V y �s  es   es F.

ACTIVIDAD RESUELTA EJERCITACIÓN

Niega la proposición r : California es uno de los estados de Estados Unidos, de dos formas diferentes.

4.

Solución: �r : California no es uno de los estados de Estados Unidos. �r : No es cierto que California es uno de los estados de Estados Unidos. ACTIVIDADES PROPUESTAS COMUNICACIÓN 5.

RAZONAMIENTO

Simboliza las siguientes proposiciones. Luego, escribe la negación de cada una.

6.

a) La bandera de Colombia tiene cinco colores b) 8

�

36

�

20

�

15

c) El producto de dos números naturales es otro número natural d) Un metro tiene 98 cm e) El conjunto de los números naturales es finito f) Un cuadrilátero tiene cuatro ángulos interiores g) Juanes es un cantante mexicano h) El año terrestre equivale a doce meses

Determina el valor de verdad de cada proposición y de su negación. a) La suma de dos números pares es otro número par b) Los animales carnívoros se alimentan exclusivamente de las plantas c) Las ballenas son los mamíferos más grandes del mundo d) Los lápices y los cuadernos son elementos empleados para cocinar e) 136 es múltiplo de 4

MODELACIÓN 7.

Consulta en qué consiste una tabla de verdad y construye la tabla de verdad para la negación.

• Más actividades en la página 28, numeral 48. PROYECTO SÉ © EDICIONES SM

PENSAMIENTO NUMÉRICO

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3

Proposiciones compuestas Se denominan proposiciones compuestas a aquellas conformadas por dos o más proposiciones simples. En una proposición compuesta, las proposiciones simples se combinan mediante las expresiones  y , o, si ...entonces , o si y sólo si , denominadas conectivos lógicos.

Sabías que...

 Ejemplo 4

El arreglo que permite conocer todos los posibles valores de verdad de una proposición compuesta a partir de los valores de verdad de las proposiciones componentes se llama tabla de verdad. Así la tabla de verdad de la conjunción está dada por:

r : 2

TABLA DE VERDAD DE LA CONJUNCIÓN

p

q 

p ∧ q 

V

V

V

V

F

F

F

V

F

F

F

F Tabla 1.2

y la tabla de verdad de la disyunción está dada por: TABLA DE VERDAD DE LA DISYUNCIÓN

p

q 

p ∨ q 

V

V

V

V

F

V

F

V

V

F

F

F Tabla 1.3

�

2

�

Las siguientes son proposiciones compuestas. 4 y Argentina es un país suramericano

s : Tres es un número par o siete es un número primo t : Alberto ganó la lotería, entonces es millonario v : Un triángulo es equilátero si y solamente si   todos sus lados tienen la misma medida

 Conjunción La conjunción  es una proposición compuesta que resulta de combinar dos proposiciones simples mediante el conectivo lógico y . Esta proposición es denotada por p ∧ q  y   y se lee “p y q ”. ”. p ∧ q   es verdadera únicamente cuando las proposiciones p y q   son ambas verdaderas. Por tanto, si al menos una de las proposiciones que la conforman es falsa, el valor de verdad de la conjunción es falso (tabla 1.2).  Ejemplo 5

En la proposición compuesta “3 es un número impar y 10 es divisible por 2” se identifican las proposiciones simples p: 3 es un número impar y q : 10 es divisible por 2, las cuales forman la conjunción p ∧ q . En este caso, se puede verificar que tanto p  como q   son verdaderas, por tanto, p ∧ q  es   es verdadera.

 Disyunción La disyunción  es una proposición compuesta que resulta de combinar dos proposiciones simples mediante el conectivo lógico o. La disyunción de las proposiciones simples p y q  se   se simboliza con p ∨ q  y   y se lee “p o q ”. ”. La proposición p ∨ q  es   es verdadera cuando al menos una de las dos proposiciones p o q  es   es verdadera. Es decir, la disyunción solamente es falsa si las dos proposiciones son falsas simultáneamente.  Ejemplo 6

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Considera el siguiente análisis:

Dadas las proposiciones p: La Luna es un satélite natural de la Tierra y q : 9 � 12 � 100, entonces p ∨ q  será   será la siguiente disyunción: “La Luna es un satélite natural de la Tierra o 9

�

12

� 100”.

Observa que p es verdadera y que q  es   es falsa, por tanto, p ∨ q  es   es verdadera ya que basta con que una de las proposiciones sea verdadera, para que la disyunción también lo sea. Esto se verifica en la tabla 1.3. 14

PENSAMIENTO NUMÉRICO

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 Implicación La implicación o condicional  es la proposición compuesta que resulta de combinar dos proposiciones simples mediante el conectivo lógico si... entonces...  La proposición compuesta si p, entonces q   se simboliza como p  → q , p recibe el nombre de antecedente y q , consecuente.

En general, la proposición p → q  es   es falsa solamente cuando p es verdadera y q  es falsa. En todos los demás casos, la implicación será verdadera (tabla 1.4).  Ejemplo 7

En la proposición “si 8 y 22 son números impares, entonces 15 y 20 son números primos”, se identifican las componentes p: 8 y 22 son números impares y q : 15 y 20 son números primos.Tanto p  como q   son falsas, de modo que p → q  es   es verdadera.

TABLA DE VERDAD DE LA IMPLICACIÓN

p

q 

p → q 

V

V

V

V

F

F

F

V

V

F

F

V Tabla 1.4

 Equivalencia La equivalencia o bicondicional es la proposición compuesta que resulta de combinar dos proposiciones mediante el conectivo lógico si y solamente si. La equivalencia de las proposiciones simples p y q  se   se simboliza con p  ↔ q  y se lee “p  si y sólo si q ”. ”. p ↔ q  es   es verdadera cuando p y q  son   son ambas verdaderas o ambas falsas. En todos

TABLA DE VERDAD DE LA

los demás casos, la equivalencia será falsa, como se verifica en la tabla 1.5.  Ejemplo 8

Dada la proposición “15 es divisible por 3 si y sólo si 3 es un número par”, se pueden identificar sus componentes como p: 15 es divisible por 3 y q : 3 es un número par. Se observa que p es verdadera y q  es   es falsa, por tanto p ↔ q  es   es falsa, ya que las proposiciones componentes tienen diferente valor de verdad.

EQUIVALENCIA

p

q 

p ↔ q 

V

V

V

V

F

F

F

V

F

F

F

V Tabla 1.5

ACTIVIDAD RESUELTA RAZONAMIENTO

Determina el valor de verdad de la proposición “4 es divisible por 2 si y solamente si 4 es un número par”.

8.

Solución:  

Como p: 4 es divisible por 2 y q : 4 es un número par son proposiciones verdaderas, se cumple que   es verdadera. p ↔ q  es

ACTIVIDADES PROPUESTAS COMUNICACIÓN 9.

Escribe la proposición compuesta representada en cada caso, si sabes que: p: Un hexágono tiene seis lados, y q : México está en Suramérica. a) p ∧ q  b) p → q  c) p ∨ q  d) p ↔ q  e) �q  f) q  → � p g) �q  ∧ �p h) �q  ↔ �p

RAZONAMIENTO 10.

Determina el valor de verdad de las proposiciones que obtuviste en el ejercicio 9.

COMUNICACIÓN 11.

Simboliza las proposiciones dadas a continuación, si sabes que: p: Machu Pichu está en Bolivia; q : Dos ángulos rectos son congruentes, y r : 3 es un número primo. a) Machu Pichu no está en Bolivia y 3 es un número primo. b) Dos ángulos rectos no son congruentes si y sólo si 3 no es un número primo. c) Si 3 es un número primo, entonces Machu Pichu está en Bolivia.

• Más actividades en la página 28, numerales 48 y 51. PROYECTO SÉ © EDICIONES SM

PENSAMIENTO NUMÉRICO

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Conjuntos. Clasificación Cuando se considera la reunión de varios objetos con una característica particular y común a todos, se tiene el conocimiento intuitivo de lo que es un conjunto. Un conjunto es una colección bien definida de objetos. Los objetos de la colección se denominan elementos y se dice que éstos pertenecen al conjunto.

Ten en cuenta Los elementos de todos los conjuntos pertenecen a un gran conjunto fijo llamado conjunto universal denotado por U .

Usualmente, los conjuntos se simbolizan mediante letras mayúsculas como A, B , C , y los elementos se denotan por medio de letras minúsculas, como a , b, c , … Para indicar que un elemento a  pertenece   pertenece a un conjunto A, se utiliza la expresión a   A, y se lee “ a  pertenece   pertenece a A”. Cuando, por ejemplo, t  no   no es uno de los elementos del conjunto A, se escribe t  A, y se lee, “ t no pertenece a A”.  Ejemplo 9

Si A  es el conjunto de los números pares menores que 10, entonces la característica común de los elementos de A  es “ser número par menor que 10”. En particular, se puede afirmar que 6  A, ya que 6 es un número par menor que 10. También se puede decir que 7  A, porque 7, aunque es menor que 10, no es un número par.

 Determinación de un conjunto Un conjunto se determina de dos maneras: por extensión y por comprensión. Un conjunto se determina por extensión cuando se hace un listado de todos los elementos que pertenecen a él, separados por comas y encerrados entre llaves �...�. Un conjunto se determina por comprensión cuando se indica una propiedad común a todos los elementos del conjunto y sólo a ellos. Si la propiedad que cumplen los elementos de un conjunto A es P , se elige un elemento a  y   y se usa una expresión de la forma: A

�

�a / P �a �� ��

la cual se lee: ”A es el conjunto de todos los elementos a  tales  tales que cumplen la propiedad P ”. Ejemplo 10 Para determinar por extensión extensión el conjunto V  de   de las vocales, se

escribe: V  � �a, e, i, o u�

Para determinar V , por comprensión se escribe:   es vocal� V  � �x /x  es

 Representación gráfica de un conjunto Los conjuntos se representan gráficamente mediante una curva cerrada a la que se le denomina diagrama de Venn, donde los elementos que pertenecen al conjunto se representan dentro de la curva. 16

PENSAMIENTO NUMÉRICO

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 Ejemplo 11 En la figura 1.1, se observa la representación gráfica del con-

U

 junto A  cuyos elementos son los números naturales menores que 7, y el conjunto universal U  de   de los números naturales.

 A 1

 Clases de conjuntos Un conjunto puede ser finito, infinito, unitario o vacío.

3

2 5

4

Un conjunto es finito cuando tiene un número finito de elementos. E s decir, si el proceso de contar los diferentes elementos del conjunto tiene fin. Un conjunto es infinito cuando no es finito. Un conjunto unitario consta de un solo elemento. Un conjunto es vacío cuando carece de elementos. Se simboliza con  o con � �.

6

A � �1, 2, 3, 4, 5, 6�

Figura 1.1

 Ejemplo 12 Observa los siguientes conjuntos.

�1, 2, 3, 4, 5, …� representa el conjunto infinito de los números naturales. B  � �x /x   es una letra de la palabra murciélago �  es un conjunto finito que consta de diez elementos. C  � �x /x   es un satélite natural de la Tierra �  es un conjunto unitario, cuyo único elemento es la Luna . D  � �x /x   es un número impar divisible por 2 �  es un conjunto vacío porque no existe algún número que cumpla esta propiedad. A

�

ACTIVIDAD RESUELTA EJERCITACIÓN 12.

Clasifica cada conjunto según sea infinito, finito, unitario o vacío. a) P  � �x /x  es   es mes del año terrestre � b) M  � �x /x  es   es capital de Colombia � c) D  � �x /x  es   es un ser humano con 200 años de edad � d) T � �x /x  es   es un número natural par �

Solución:   es un conjunto finito que tiene doce elementos (los meses del año). P  es M  es   es un conjunto unitario cuyo único elemento es Bogotá. D  es   es un conjunto vacío, porque ningún ser humano vivo cumple la característica de tener 200 años.   es un conjunto infinito ya que el proceso de contar sus elementos no tiene fin. T  es

ACTIVIDADES PROPUESTAS EJERCITACIÓN 13.

Determina cada conjunto por comprensión. a) P � � azul, rojo, amarillo � b) M  � � 2, 4, 6, 8, 10, 12 � c) A � � 5, 10, 15, 20, 25, 30,... � d) H  � � �

EJERCITACIÓN 14.

Determina los conjuntos por extensión. a) C  � � x /x  es   es una vocal de la palabra Sara � b) X  � � x /x  es   es un número natural menor que 15 � c) U  � � x /x  es   es un número natural comprendido entre 5 y 6 �

RAZONAMIENTO 15.

Indica el valor de verdad  de las afirmaciones de acuerdo con la información de la figura 1.2. R

a) b) c) d) e)

1, 3, 5, 7, 9, 11

Figura 1.2

1R   es un conjunto finito R  es   es un número par menor que 13 � R  � �x /x  es 5  R    es un impar menor que 13� R  � �x /x  es

� � � � � � � � � � 16. Clasifica cada conjunto de los ejercicios 13 y 14 según sea infinito, finito, unitario o vacío.

• Más actividades en las páginas 28 y 29, numeral numerales es 52 a 57. PROYECTO SÉ © EDICIONES SM

PENSAMIENTO NUMÉRICO

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Relaciones y operaciones entre conjuntos Se estudiarán tres relaciones importantes entre conjuntos, contenencia, igualdad y disyunción, y las principales operaciones. Sean A y B  dos   dos conjuntos. Se dice que A está contenido en B  �o A es subcon junto de B ),), si cada elemento que pertenece al conjunto A también pertenece al conjunto B . Esta relación se simboliza con A  B .

Sabías que... Para definir las relaciones de contenencia e igualdad entre conjuntos se utilizan los siguientes símbolos.

Contenencia A  B ↔ �x  A → x  B �

 Ejemplo 13 Al comparar los conjuntos P  � �1, 2, 3�, Z  � �1, 2, 3, 4, 5, 6� y

V  � �0, 2, 4, 6, 8�, se puede afirmar que:

P   está contenido o es subconjunto de Z , porque todos los elementos de P  son también elementos de Z .

  no está contenido en Z  �o no es subconjunto de Z �, porque los elementos V  no 0 y 8 pertenecen a V , pero no a Z .

Igualdad A � B ↔ �A  B ∧ B  A�

  son iguales, si tienen los mismos elementos. Esta reDos conjuntos A y B  son lación se denota por A = B .  Ejemplo 14

Dados los conjuntos A � �5, 6, 7, 8, 9�, B  � �5, 6, 7, 8, 9� y C  � �5, 6, 7, 8�, se puede establecer que A � B , porque los dos conjuntos tienen los mismos elementos, mientras que C   A �C  diferente de A� y C   B �C  diferente de B �,  porque los elementos de C   son diferentes a los de A y a los de B . Dos conjuntos A y B  son   son disyuntos si no tienen ningún elemento en común.

En la red COMPLEMENTA

TUS CONOCIMIEN-

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Ejemplo 15 Entre los conjuntos A � �1, 2, 3, 4� y B  � �a, b, c, d �, no hay elementos comunes, por lo tanto A y B  son   son disyuntos.

 Intersección de conjuntos La intersección de dos conjuntos A y B  es   es el conjunto de elementos comunes a A y a B . La intersección se nota como A  B  y   y se define como: A  B � � x /x   A ∧ x  B �.

U  A

B 0 1

3 5

2

 Ejemplo 16 A la intersección de los conjuntos A � �0, 1, 2, 3, 4, 5� y B  � �3, 5, 7� pertenecen los elementos que están en A  y en B , a la vez. Es

decir, 3 y 5. Por lo tanto:

A  B  � �3, 5�

7

En la figura 1.3 la región sombreada representa la intersección de los dos conjuntos A y B.

4  AB

Figura 1.3

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PENSAMIENTO NUMÉRICO

 Unión de conjuntos La unión de dos conjuntos A y B  es   es el conjunto formado por todos los elementos que pertenecen al conjunto A  o que pertenecen al conjunto B . La unión se nota con A  B  y   y se define como: A  B  � � x /x   A ∨ x  B � PROYECTO SÉ © EDICIONES SM

 Ejemplo 17 Para encontrar la unión de los conjuntos A � �0, 1, 2, 3, 4, 5 � y C  � �5, 6, 8�, se ponen juntos los elementos de A con los de C  y   y cada ele-

U  A

mento común se escribe una sola vez. Por tanto, A  C � �0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8�, como representa la región sombreada en la figura 1.4.

 Complemento de un conjunto Sea A  un subconjunto del conjunto universal U . El conjunto de elementos que pertenecen a U   y no pertenecen a A  se llama complemento de A  y se nota como A y se define como: A � �x  U ∧ x  A�

C 

0 1

6 2

5

3

8 4

 AC 

Figura 1.4

U  A

 Ejemplo 18 Si U  � �m, a, r, t, e � y A � �t , e �, los elementos que pertene-

r 

m t

cen a U   pero no pertenecen a A, están en el complemento de A. Entonces A � �m, a, r � y su representación se muestra en la figura 1.5.

e

a

Figura 1.5

 Diferencia A la diferencia de dos conjuntos A y B   pertenecen todos los elementos de A  que no pertenecen a B . Esta operación se nota con A � B   y se define simbólicamente como: A � B  � �x/x  A ∧ x  B �

U

 A

C 

a f 

b

 Ejemplo 19 Sean los conjuntos A � �a, b, c, d, e � y C  � �d, f, g �. Los ele-

d

c

mentos que pertenecen a A  y no pertenecen a C   conforman el conjunto A � C  � �a, b, c, e �, como representa la región sombreada de la figura 1.6.

 g  e  A

 C  Figura 1.6

 Diferencia simétrica A la diferencia simétrica  entre un conjunto A  y un conjunto B   pertenecen todos los elementos que pertenecen a A o pertenecen a B , pero no a ambos simultáneamente. Se nota como A  B  y   y se define: A  B  � �x  U / �x  A ∧ x  B � ∨ �x  B ∧ x  A��

U t

 A p  s

 Ejemplo 20 Dados los conjuntos U  � �p, r, s, t �, A � �p, s � y B  � �r, s �, se observa que p es el elemento que pertenece a A y no a B ; y r  es   es el elemento que pertenece a B  pero   pero no a A, por lo tanto, A  B  � � p,r � (figura 1.7).

r  B

Figura 1.7

ACTIVIDAD RESUELTA EJERCITACIÓN

Si A

17.

�

�1, 2, 3, 4� y B  � �0, 5, 10, 15�, determina A  B .

Solución: En este caso, no no hay hay elementos comunes a los dos dos conjuntos, conjuntos, es decir, son disyuntos. Por tanto, A  B  � .

ACTIVIDADES PROPUESTAS EJERCITACIÓN 18.

Halla las operaciones que se proponen entre los conjuntos U � �2, 4, 6, 8, 10, 12, 14�, A � �2, 4, 6�, B � �2, 6, 10, 14�, C � �6, 10, 14�. a) A  B  b) A c) C  d) A  C  e) A � B f) A  C 

COMUNICACIÓN 19.

Representa gráficamente los conjuntos que obtuviste en el ejercicio 18.

COMUNICACIÓN 20.

Responde y justifica. ¿Es posible que entre dos conjuntos unitarios exista una relación de contenencia?

• Más actividades en la páginas 29 y 30, numeral numerales es 58 a 62. PROYECTO SÉ © EDICIONES SM

PENSAMIENTO NUMÉRICO

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Sistemas de numeración Un sistema de numeración  es un conjunto finito de símbolos, que se usan de acuerdo con ciertas reglas para asignar números a las cantidades.

Sabías que... En algunos grupos humanos, para contar objetos bastaba con decir uno, dos y muchos. En otras culturas, como la egipcia y la maya, se elaboraron grandes sistemas de representación de números.

El número que determina el cambio de símbolo se llama base  del sistema de numeración.

Los sistemas de numeración pueden ser aditivos, multiplicativos o posicionales. En los sistemas de numeración aditivos, se escribe un símbolo para cada número y luego se utilizan tantos símbolos como sean necesarios para expresar una cantidad.  Ejemplo 21 En la numeración egipcia se empleaban jeroglíficos para re-

presentar algunas potencias de diez (figura 1.9). 1

10

100

1 000

Figura 1.9

Cada símbolo se podía repetir hasta nueve veces, y para leer un número se adicionaban sus valores (figura 1.10). 438 Figura 1.10

Figura 1.8

La numeración jeroglífica egipcia como la que se observa en la figura 1.8, data del tercer milenio a. C.

En los sistemas de numeración multiplicativos, un símbolo colocado en cierta posición multiplica la cantidad por un valor determinado.  Ejemplo 22 Algunos símbolos del sistema de numeración chino-japonés

se muestran en la figura 1.11. 1

7

2

8

3

9

4

10

5 6

100

Figura 1.11

Para representar el número 39, se escribe 3, debajo el 10 (para expresar 3 �  10) y debajo el 9, como en la figura 1.12.

Figura 1.12

En los sistemas de numeración posicionales, se utilizan un número de símbolos llamado base. De acuerdo con la posición que ocupa el símbolo en el número, su valor se multiplica por una potencia de la base del sistema. [ www.redes-sm.net COMPLEMENTA TUS CONOCIMIENTOS EN NUESTRO SITIO WEB.

 Ejemplo 23 El de numeración decimal es un sistema posicional que utiliza

diez dígitos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9 Cada número se puede expresar empleando potencias de 10. 235

20

PENSAMIENTO NUMÉRICO

�

2

�

102

�

3

�

101

�

5

�

1 PROYECTO SÉ © EDICIONES SM

 Sistema de numeración Maya Maya Los mayas formaban los números del uno al diecinueve con el punto y la raya (figura 1.13).

 

1

2

3

4

5

6

7

8

9

11

12

13

14

15

16

17

18

19

10 Figura 1.13

Para escribir números mayores que 19, los símbolos se disponían por niveles y en orden de abajo hacia arriba.

En la red

 Ejemplo 24 El número 1 887 se representaba como la figura fi gura 1.14.

Tercer nivel (se multiplica por 18

20)

5

�

Segundo nivel (se multiplica por 20)

4

Primer nivel (máximo hasta 19)

7

�

18

�

�

20

�

�

1

�

20

�

AMPLÍA

1 800

TUS

CONOCIMIENTOS

SOBRE LOS NÚMEROS ROMANOS

80

VISITANDO LA PÁGINA WEB:

www.e-sm.net/6mt04

7

Figura 1.14

Para indicar la ausencia de unidades en algún nivel, utilizaron el símbolo:

Figura 1.15

 Sistema de numeración Romana Los romanos utilizaron letras para representar sus números. Observa la figura 1.16. Los demás números se escribían según las siguientes reglas. 1

5

10

50

100 500 1 000

REGLAS PARA ESCRIBIR NÚMEROS ROMANOS Cada símbolo se puede utilizar, en forma consecutiva, hasta tres veces. Una cifra colocada a continuación de otra mayor le suma su valor. Una cifra que antecede a otra mayor le resta su valor.

10 000

50 000

Una cifra colocada entre dos mayores resta su valor a la que se encuentra después de ella.

100 000 Figura 1.16

Una cifra representa un valor mil veces mayor, si lleva una raya encima.

ACTIVIDAD RESUELTA EJERCITACIÓN

Escribe el número correspondiente a cada cantidad representada o representa con símbolos el número dado, usando la numeración egipcia.

21.

Los símbolos representan el número: 1 000

 

Figura 1.17

Solución: �  100 � 100 �

5

�

1311

La representación de 1 311 se muestra en la figura 1.18.

1 205

Figura 1.18

ACTIVIDADES PROPUESTAS EJERCITACIÓN 22.

EJERCITACIÓN

Representa la cantidad en el sistema de numeración dado. a)

(decimal)

b)

(decimal)

c) 7.583 (egipcio) d) 98 (japonés)

23.

Escribe cada número en los sistemas maya y romano. a) 5 780 b) 114 c) 39

COMUNICACIÓN 24.

¿Cuáles crees que fueron las causas para que las diferentes culturas inventaran los sistemas de numeración?

• Más actividades en la páginas 30 y 31, numeral numerales es 63 a 72. PROYECTO SÉ © EDICIONES SM

PENSAMIENTO NUMÉRICO

21

7

Sistema de numeración en base 5

Sabías que...

El sistema numérico que utiliza la agrupación cíclica de 5 en 5 se denomina sistema de numeración en base 5. En este sistema, cada orden es cinco veces más grande que el anterior.

En muchas construcciones se utiliza la agrupación de elementos para formar diseños.

• • • •

La cifra del primer orden indica las unidades. La del segundo orden indica la cantidad de grupos de cinco unidades. La del tercer orden indica la cantidad de grupos de 5 2 � 25 unidades. La cifra del cuarto indica la cantidad de grupos de 5 3 �  125 unidades, y así sucesivamente. • El numeral llevará un subíndice, para indicar la base del sistema numérico en que se expresa.

Diseño Módulo

 Ejemplo 25 El numeral 4232  equivale a: 5

Figura

4

Figura 1.19

2

3

En la figura 1.19 se usaron cinco figuras para formar cada módulo y cinco módulos para completar el diseño. ¿Cuál sistema de numeración se aplica en la construcción?

25

indica la base 2 unidades sueltas

2

�

50

�

2

3 grupos de cinco

3

�

51

�

15

2 grupos de cinco grupos de cinco

2

�

52

�

50

4 grupos de cinco grupos de cinco

4

�

53

�

500

grupos de cinco

567

Es decir, 567 unidades de nuestro sistema decimal se expresan con el numeral 42325. Se lee: “cuatro dos tres dos en base cinco”.

ACTIVIDADES RESUELTAS EJERCITACIÓN

EJERCITACIÓN

25. Expresa el número 243  en el sistema decimal. 5

26.

Solución: Dos unidades de tercer orden, cuatro de segundo orden y tres de primer orden. 2435

2�5 �4�5 � 50 � 20 � 3 � 73

�

2

1

�

3

�

Expresa el número 289 como un numeral en base 5.

Solución: • • • • •

5

0

289 �  125 � 125 � 25 � 5 � 5 � 4 El número 125 se repite dos veces. El número 25 está una vez. El número 5 se repite dos veces. Hay 4 unidades sueltas. Por lo tanto, el número 289 se expresa con el númeral 2124 5.

ACTIVIDADES PROPUESTAS EJERCITACIÓN 27.

Encuentra la representación en base 5 de los siguientes números. a) 6 b) 63 c) 250 d) 13 e) 70 f) 500

RAZONAMIENTO 28.

Encuentra el número decimal en cada caso. a) Una unidad de tercer orden, cuatro de primer orden y dos de segundo orden. b) Dos unidades de cuarto orden, una unidad de segundo orden y tres unidades de tercer orden. c) Cuatro unidades de primer orden, tres de segundo orden y una de tercer orden.

EJERCITACIÓN 29.

Traduce al sistema decimal las cantidades indicadas en cada caso. a) 105 b) 1125 c) 100015

RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS 30.

Un vendedor de refrescos acomoda sus productos en espacios que ha diseñado él mismo. En una repisa caben cinco refrescos, en un estante caben 25 refrescos, en un casillero caben 125 refrescos y en una vitrina caben 625. ¿Cuántas vitrinas, cuántos casilleros, cuántos estantes y cuántas repisas se requieren para organizar 2 825 refrescos? • Más actividades en la página 32, numeral 73.

22

PENSAMIENTO NUMÉRICO

PROYECTO SÉ © EDICIONES SM

8

Sistema de numeración en base 2

El sistema de numeración binario, o en base 2 es aquel en el que se hacen agrupaciones  de dos en dos. Una unidad de cierto orden se obtiene agrupando dos unidades del orden inmediatamente inferior. Para escribir números en sistema binario se utilizan únicamente las cifras 0 y 1.

Sabías que... Los computadores trabajan con el sistema de numeración binario (1: encendido, 0: apagado)

Ejemplo 26 El número 1101011   está escrito en sistema binario, y se in2

terpreta como la suma de los productos de cada cifra por la potencia de 2 correspondiente a su posición en el número.

11010112 � 1 � 26 � 1 � 25

26

25

24

23

22

21

20

1

1

0

1

0

1

1

�

0

�

24

�

1

�

23

�

0

�

22

�

1

�

21

�

1

�

Figura 1.20

1

ACTIVIDADES RESUELTAS EJERCITACIÓN

EJERCITACIÓN

Expresa el 1012 en el sistema de numeración decimal.

31.

Solución:

32.

Solución: Se realizan divisiones sucesivas por 2.

Se escribe el desarrollo exponencial del número y se obtiene el resultado de las operaciones. 1012

� � �

Expresa el número 7 en base 2.

7 2 1 3 2

1 � 22 � 0 � 21 � 1 � 1 1�4�0�2�1�1 5

1 1 Luego, 7

�

1112.

ACTIVIDADES PROPUESTAS RAZONAMIENTO 33.

RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS

Escribe 0 ó 1, según corresponda, para obtener la cantidad indicada. a) 18 �

� 24 �

� 23 �

� 22 �

�2�

b) 24 �

� 24 �

� 23 �

� 22 �

�2�

COMUNICACIÓN 34.

Completa la tabla 1.6. EXPRESIÓN EN BASE 2

DESARROLLO EXPONENCIAL

EXPRESIÓN EN BASE 10

1002 100110102 RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS 35.

36.. 36

En computación se utiliza el sistema de numeración binario para representar números, mediante combinaciones de los dos posibles estados de una bombilla. El estado apagado se representa con el 0, y el encendido, con el 1. ¿Qué número se representa en cada uno de los siguientes circuitos? a)

b) Tabla 1.6

En el almacén de deportes se ofrecen diferentes presentaciones de las bolas de golf: por unidad, por estuches de un par, por cajas de dos pares y por tarros de dos cajas. Si Julián ha comprado un tarro, una caja, un estuche y una bola suelta, ¿cuántas bolas de golf lleva en total? ¿Cómo se expresa este valor en el sistema binario?

c)

d)

• Más actividades en la página 32, numeral 74. PROYECTO SÉ © EDICIONES SM

PENSAMIENTO NUMÉRICO

23

9

Sistema de numeración decimal El sistema de numeración decimal, utiliza solo diez símbolos o cifras: 0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

Con estas diez cifras se puede escribir cualquier cantidad o número.

Sabías que... La humanidad tardó más de 2000 años en inventar un símbolo para indicar la ausencia de elementos. Este número fue llamado cero y su utilización proviene de antiguos sistemas de numeración tales como el hindú y el árabe.

Sistema hindú

Sistema árabe

Se denomina sistema de numeración decimal porque 10 unidades del mismo orden forman una unidad del orden inmediatamente superior. 1 decena

� 10

1 centena

unidades

10 decenas

�

� 100

unidades

1 unidad de mil

� 10

centenas

100 decenas

1 decena de mil

� 10

unidades de mil

�

� 10

� 1

000 unidades

000 unidades

Recuerda que un sistema de numeración es posicional, si el valor de posición de una cifra en un número depende del lugar que ocupa la cifra en dicho número. El sistema de numeración decimal es, además, posicional, porque el valor numérico de una cifra no es siempre el mismo.  Ejemplo 27 Observa que en el número 7 179 (siete mil ciento setenta y

nueve) la cifra 7 ocupa el lugar de las unidades de mil. Su valor posicional es 7 000 � 7 � 1 000. Pero la cifra 7 ocupa también el lugar de las decenas. Su valor posicional es 70 � 7 � 10. De acuerdo con lo anterior, el número se puede desomponer como sigue: 7 179

�

7 000

� 100 �

�

7

�

1 000

�

7

�

103

�

1

1

�

�

70

�

9

� 100 �

102

7

�

7

�

10

�

101

�

9

�

9

�

1

100

�

Un número natural se expresa mediante su desarrollo exponencial cuando se descompone como la suma de los productos de cada una de sus cifras por respectivas potencias de 10.  Ejemplo 28 El numeral numeral correspondiente a la expresión

2

�

105

3

�

�

104

7

�

�

103

4

�

�

102

8

�

100

101� 8

�

100

�

10

�

se calcula de la siguiente manera:

24

2

�

�

2

�

105

[ www.redes-sm.net

�

2

�

PRACTICA TUS CONOCIMIENTOS EN NUESTRO SITIO WEB.

�

200 000

�

237 408

PENSAMIENTO NUMÉRICO

105

3

�

�

3

�

100 000

�

�

�

104

7

�

104

�

7

3

�

10 000

30 000

�

7 000

�

103 �

�

4

�

103 � 4 �

7

�

102 �

�

8

�

100

102

�

0

�

1 000

� 400 �

0

�

�

4

� 100 �

0

�

8

�

1

8

PROYECTO SÉ © EDICIONES SM

ACTIVIDADES PROPUESTAS c ) Si se aumenta en 5 el dígito de las unidades de mil en el número 1 874, ¿en cuántas unidades aumenta el número?

RAZONAMIENTO 37.

Escribe el valor relativo de las cifras que están subrayadas en cada número. a) 5 39 3988 763

b) 156 065 443

c) 99 041 292

d) 73 648 450 189

e) 19 875

f) 45 45 230  230 124

g) 765 321

h) 7 324 659

d) Cuántas veces aumenta el valor de 4 en el número 4 7, si en la casilla se escribe: •8

Escribe el número que corresponde a cada desarrollo. a) 7 �

b) 9 �

c) 8 �

106 � 4 9�1

�

�

105

�

2

�

104

�

1

�

• 301

e) Escribe el número número correspondiente a cada desarrollo exponencial, para determinar algunos datos aproximados acerca de la Tierra.

EJERCITACIÓN 38.

• 26

Figura 1.21

103

107 � 3 � 106 � 6 � 105 � 2 � 104 1 � 103 � 8 � 106 � 3 � 101 � 1 � 1

�

106 � 6 � 105 � 5 3 � 102 � 8 � 1

�

�

104

�

4

�

103

EJERCITACIÓN 39.

Escribe el desarrollo exponencial de: a) 563 729 b) 23 451 609 c) 3 560 204

DATOS

DIÁMETRO ECUATORIAL  (KILÓMETROS )

d) 907 200

1 � 104 � 2 � 103 � 7 � 102 � 5 � 101 � 6 � 1

COMUNICACIÓN 40.

RAZONAMIENTO 41.

PERIODO ORBITAL (DÍAS)

Establece las principales diferencias del sistema de numeración decimal frente a otros sistemas de numeración, como el egipcio, el maya y el romano.

3 � 102 � 6 � 101 � 5 � 1

PERIODO ROTACIONAL (HORAS) 2 � 101 � 4 � 1 RAZONAMIENTO

Resuelve.

42.

a) ¿Cuál es el mayor número natural que se puede formar con las cifras de cada lista? • • • • •

4, 7, 4, 9, 5,

3, 9, 3, 5, 3,

6, 0, 6, 0, 6,

4, 7 5, 0 4, 7, 5 5, 4, 8 7, 0, 8

b) El dígito de las decenas de mil de un número de cinco cifras es 3, y el de las unidades es 2. El dígito de las decenas es el triple del de las unidades. El de las unidades de mil es uno más que el de las unidades. Si los dígitos del número suman 14, ¿cuál es el número?

Copia en tu cuaderno las siguientes expresiones y escribe los números que faltan. a) 6 327

� 6

um

b) c) 3

� 5

5

�

c

�

2d

�

um

�

1c

�

�

um

�

7c

�

u 0d

9d

�

�

4u u

RAZONAMIENTO 43.

Escribe, en cada caso, el número que corresponda. a) 37 centenas, 2 unidades b) 48 unidades de mil, 5 centenas, 16 unidades Escribe cómo se nombran los números anteriores.

• Más actividades en la página 32, numeral 75. PROYECTO SÉ © EDICIONES SM

PENSAMIENTO NUMÉRICO

25

10

Lectura y escritura de números grandes El sistema de numeración decimal está constituido por órdenes que se establecen de derecha a izquierda (tabla 1.7).

Sabías que... La imposibilidad de inventar y recordar un símbolo diferente para cada número fue estudiada por los babilonios, unos 2 500 años antes de Cristo. Fueron ellos quienes insinuaron por primera vez una solución genial: utilizar una cantidad finita de símbolos, que pudieran ordenarse en un número infinito de maneras y así sirvieran para representar un número infinito de cantidades.

TERCER ORDEN

SEGUNDO ORDEN

PRIMER ORDEN

centenas

decenas

unidades Tabla 1.7

• Además de órdenes, los numerales se organizan en clases (tabla 1.8). 6ª CLASE

5ª CLASE

MILES DE

d

u

MILES DE

BILLONES

BILLÓN

c

4ª CLASE

c

d

u

MILLÓN

c

d

u

3ª CLASE

2ª CLASE

1ª CLASE

MILLONES

MILES

UNIDADES

c

d

u

c

d

u

c

d

u Tabla 1.8

• La reunión de dos clases forma un periodo: unidades, millones, billones, trillones, etc. (tabla 1.9). BILLONES

MILLONES

UNIDADES

6ª CLASE

5ª CLASE

4ª CLASE

3ª CLASE

2ª CLASE

1ª CLASE

miles de billón

billones

miles de millón

millones

miles

unidades Tabla 1.9

• Para escribir un número, se anotan las unidades correspondientes a cada orden, comenzando por las superiores, y se coloca cero en el orden en que no haya unidades. Lo anterior se resume de la siguiente manera.

Órdenes Cada una de las posiciones que puede ocupar una cifra en un número: unidades, decenas, centenas, unidades de mil, decenas de mil, etc. Tablillas babilonias con textos de matemáticass 1800 a.C. matemática

Clases Reuniones de tres órdenes, comenzando por las unidades. Las unidades de millón, las decenas de millón y las centenas de millón forman la clase de los millones.

Periodos En la red PRACTICA

LA LECTURA Y ESCRI-

TURA DE NÚMEROS GRANDES EN:

www.e-sm.net/6mt05

Reuniones de dos clases: la clase de las unidades y la clase de los miles forman el periodo de las unidades.  Ejemplo 29 ¿Cómo se lee el número 234 789 904?

Para responder se ubica el número en una tabla como la 1.10.    L    I    M    E    S    D    E    S    N    A    O    L    N    L    E    I    T    M    N    E

   C

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   L    I    M    E    S    D    E    N    S    O    A    L    L    N    I    E    C    M    E

   D

   L    I    M    E    S    D    E    N    S    O    E    L    L    D    I    A    M    D    I    N

   U

   E    D    S    N    A     Ó    N    L    E    L    T    I    N    M    E

   C

2

   E    D    S    N    A     Ó    N    L    E    L    I    C    M    E

   D

3

   E    D    S    N    E     Ó    D    L    A    L    I    D    I    M    N

   U

4

   L    I    M    E    D    S    A    N    E    T    N    E

   L    I    M    E    D    S    A    N    E    C    E

   L    I    M    E    D    S    E    D    A    D    I    N

   C

   D

   U

7

8

9

   S    A    N    E    T    N    E

   S    A    N    E    C    E

   S    E    D    A    D    I    N

   C

   D

   U

9

0

4 Tabla 1.10

Luego, se hace lectura del número y se escribe, así: 234 789 904: Doscientos treinta y cuatro millones setecientos ochenta y nueve mil novecientos cuatro.

26

PENSAMIENTO NUMÉRICO

PROYECTO SÉ © EDICIONES SM

ACTIVIDAD RESUELTA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS

Se calcula que la pirámide de Gizeh pesa más de 5 950 500 000 gramos. ¿Cómo se lee esta cantidad?

44.

N

O

E

S

Figura 1.22

Solución: Se ubica el número en la tabla 1.11, así: BILLONES MILES DE BILLÓN

c

d

u

MILLONES BILLONES

c

d

MILES DE MILLÓN

u

c

d

UNIDADES MILLONES

MILES

UNIDADES

u

c

d

u

c

d

u

c

d

u

5

9

5

0

5   0

0

0

0

0

Tabla 1.11

Por lo tanto, tanto, 5 950 500 000 se lee: “cinco mil novecientos cincuenta millones quinientos mil”

ACTIVIDADES PROPUESTAS COMUNICACIÓN 45.

Copia la tabla 1.12 y ubica cada número. Luego, escribe cómo se lee. a) 4 234 987    L    I    M    E    S    D    E    S    N    A    O    L    N    L    E    I    T    M    N    E

   C

   L    I    M    E    S    D    E    N    S    O    A    L    N    L    I    E    C    M    E

   D

b) 64 746 821    L    I    M    E    S    D    E    S    N    E    O    L    D    L    A    I    D    M    I    N

   U

   E    D    S    N    A     Ó    N    L    E    L    T    I    N    M    E

   C

c) 11 849 367    E    D    S    N    A     Ó    N    L    E    L    I    C    M    E

   D

   E    D    S    N    E     Ó    D    L    A    L    I    D    I    M    N

   U

   L    I    M    E    D    S    A    N    E    T    N    E

   C

d) 92 873 478    L    I    M    E    D    S    A    N    E    C    E

   D

   L    I    M    E    D    S    E    D    A    D    I    N

   S    A    N    E    T    N    E

   C

   S    A    N    E    C    E

   D

   D    A    D    I    N

   U

   U

Tabla 1.12 COMUNICACIÓN 46.

Escribe cada número. a) Tres centenas de mil b) Nueve decenas de mil c ) Cinco millones mi llones d) Tres centenas de millón e) Once centenas de millón f ) Trece Trece centenas de mil

COMUNICACIÓN 47.

Escribe cómo se lee cada número. a) 28 543 034 b) 49 001 628 c ) 8 759 058 794 d) 58 349 409 e ) 46 701 439 f) 153 408 302

• Más actividades en la páginas 32 y 33, numeral numerales es 76 a 84. PROYECTO SÉ © EDICIONES SM

PENSAMIENTO NUMÉRICO

27

ACTIVIDADES Proposiciones

Conjuntos

Entrena

Entrena

COMUNICACIÓN 48.

EJERCITACIÓN

Niega las proposiciones.

52.

Determina cada conjunto por extensión.

a) Hoy está nublado

a) A

b) Gabriel García Márquez nació en Aracataca, Magdalena

b) H  � �x /x  es   es un medio de transporte marítimo �

� �x /x  es   es

un número primo menor que 22 �

c) Q  � �x /x  es   es un miembro de mi familia �

c) Beethoven Beethoven fue genio de la música d) Por un punto en un plano pasa una única recta

d) W  � �x /x  es   es un número natural mayor que 10 y menor que 25�

e) La suma de dos números pares es un número impar

e) R  � �x /x   es una de las asignaturas que tomo este año�

RAZONAMIENTO 49.

Escribe las proposiciones que se piden a continuación, si sabes que:

EJERCITACIÓN 53.

p: La ballena es un mamífero

a) P  � �1, 3, 5, 7, 9, 11,...�

q : El mercurio es un metal

b) M  � �meñique, índice, anular, medio, pulgar �

r : La rosa es una flor

c) G

c) �p

d) �q  ∧ �r 

d) X  � �lunes, martes, miércoles, jueves, viernes, sábado, domingo�

f) r  ↔ �p

e) U  � �0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9�

∧

q 

∨

h) �q  → r  j) �q  ↔ �p

EJERCITACIÓN 54.

Determina el valor de verdad de las siguientes proposiciones compuestas, sabiendo que las proposiciones p y q  son   son verdaderas. a) p

∨

q 

�p e) p ↔ �p g) p ↔ �q  i) �p ∧ q  c) p

∨

b) � p d) �p

∧

�p f) �q  → p h) �p ∧ �q  j) �p ↔ �p

�

�2�

b) B  � �x /x  es   es un estudiante del curso � c) C  � �x /x  es   es un ser humano que mide 5 m �

→

COMUNICACIÓN

Realiza lo que se indica con base en la siguiente información.

Si p → q  es   es una implicación dada, entonces: La recíproca de p  → q  es   es la implicación q → p La contrapositiva de p  → q   es la implicación �q  → �p  a) Identifica el antecedente  p  y el consecuente q  de   de la implicación: Si 4 es número primo, entonces 4 es divisible por 2 . b) Determina el valor de verdad de p → q . c) Escribe la recíproca y la contrapositiva de p → q  y determina el valor de verdad de cada una. PENSAMIENTO NUMÉRICO

Indica si cada conjunto es finito, infinito, unitario o vacío. a) A

q 

Amplía

28

�5, 10, 15, 20, 25, 30�

b) p

RAZONAMIENTO

51.

�

a) � r 

�r e) p → q  g) �p ∨ q  i) �q  50.

Determina cada conjunto por comprensión.

d) D  � �invierno, primavera, verano, otoño� e) E  � �x /x  es   es un número natural mayor que 100� RAZONAMIENTO 55.

Copia cada proposición y completa el espacio con el símbolo (,, o ) que la hace verdadera. a) 2 b) �2� c) p d) �3, 6, 8�

�x /x  es   es número primo� �x /x  es   es número primo�   es letra de la palabra “paz” � �x /x  es

�x /x  es   es número par�

e) 36

�x /x  es   es múltiplo de 4�

f) m

�a, r, t, e,�

g) 5 h) �3�

�x /x  es   es divisor de 42 � ��3�, �3, 5�, �3, 5, 7�� PROYECTO SÉ © EDICIONES SM

ACTIVIDADES RAZONAMIENTO

Refuerza RAZONAMIENTO 56.

59.

Observa la figura 1.23 e indica si cada afirafirmación es verdadera (V) o falsa (F). Justifica tus respuestas.

Lee y resuelve.

Un número natural a  es  es múltiplo de b, si existe un número natural m tal que a � m � b. Por ejemplo, 12 es múltiplo de 4 porque 12 � 3 � 4.

U

Encuentra A  B  en   en cada caso, si:

11  A

B

3

2

a) A

�x/x es múltiplo de 4� y �x/x es múltiplo de 6�

b) A

�x/x es múltiplo de 6� y �x/x es múltiplo de 9�

c) A

�x/x es múltiplo de 3� y �x/x es múltiplo de 5�

d) A

�x/x es múltiplo de 9� y �x/x es múltiplo de 12�

e) A

�x/x es múltiplo de 8� y �x/x es múltiplo de 7�

� B  �

5

4

7

8 0

� B  �

C  6

1 12

10

� B  �

Figura 1.23

a) b) c) d) e) f) g) h) i) j)

0A B   U  B   C  Los conjuntos A y C  son   son disyuntos El conjunto C  es   es unitario A  B  U  �  {10, 11, 12} 10  B  B  � �0, 1, 2, 3, 5, 7� A � �4, 6, 8�

� � � � � � � � � �

� � � � � � � � � �

� B  � � B  �

Resuelve problemas RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS 60.

RAZONAMIENTO 57.

Escribe con símbolos la relación que hay entre los conjuntos A y B , en cada caso. a) A � �1, 2, 3� y B  � �1, 2, 3� b) A � �1, 2, 3� y B  � �1, 2, 3, 4, 5, 6� c) A � �6, 8, 10� y B  � �2� d) A � �10, 11, 12, 13� y B  � �12, 13� e) A � �2, 4, 5, 6, 7� y B  � �4� f) A � �a , b, c , d � y B  � �a , b, d , e � g) A � �2, 4� y B  � �t , m�

Sean los conjuntos U  � {a , b, c , d , e } y }. Si se sabe que A y B  son   son conjunC � { a , c }. tos no vacíos, encuentra el conjunto A  que cumpla la condición dada para cada uno de los siguientes casos. a) A  B  � U, A  B  �



y B  � �a �

b) A  B  y A  B  � �d, e � c) A  B  � �c �, A  B  � �b, c, d � y B   C  � �a, b, c � RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS

Operaciones entre conjuntos Entrena EJERCITACIÓN 58.

Encuentra el conjunto que se indica en cada caso, teniendo en cuenta que: U � �1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8�, A � �2, 4, 6�, B � �1, 2, 3, 4�, C � �4, 6, 8� a) A  B  b) A  C  c) B   C  e) C  g) A  C 

PROYECTO SÉ © EDICIONES SM

d) B  f) A  C  h) �A  B �

61.

Sean los conjuntos U  � �1, 2, 3, 4, ..., 20� y   son conjunC  � �2, 3, 4, 6, 8, 12�. Si D  y E  son tos no vacíos, encuentra el conjunto D  que   que cumpla la condición dada para cada uno de los siguientes casos. a) D   E  �  y E  � �1, 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20� b) C   D , E  � C  y D   E  � �9, 10� c) D   C   y todos los elementos de D   son divisores de 12. PENSAMIENTO NUMÉRICO

29

ACTIVIDADES Sistemas de numeración

Refuerza COMUNICACIÓN 62.

Describe la operación representada en cada diagrama de Venn y escríbela por extensión. a) U  A

B

8

2

Entrena COMUNICACIÓN 63.

Escribe qué números representan los símbolos egipcios (figura 1.28). a)

3 4

6

b)

Figura 1.24

b)

c)

U

B

 A

1

d)

4 3

2

5

e) Figura 1.28 Figura 1.25

c)

COMUNICACIÓN

U

64.

 A

B 10

Escribe qué números representan los símbolos chinos (figura 1.29). a)

b)

c)

d)

e)

f)

5 6

8

7

Figura 1.26

d)

U

 A

5

6 3

8 1

Figura 1.27

30

PENSAMIENTO NUMÉRICO

Figura 1.29

PROYECTO SÉ © EDICIONES SM

ACTIVIDADES COMUNICACIÓN

Refuerza

69.

RAZONAMIENTO 65.

Subraya el número egipcio escrito de manera correcta (figura 1.30).

Escribe el valor de cada número romano. a) c) e) g)

a) b) c)

III XV XXVI XL

b) d) f) h)

VII XXIX XXXII XLVII

Amplía RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS

d)

70.

Figura 1.30 MODELACIÓN 66.

Resuelve las operaciones directamente. No transformes los números en notación indoarábiga (figura 1.31). a)

RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS 71.

b)

� d)

�

� Figura 1.31

RAZONAMIENTO 67.

Marca con un el número chino escrito correctamente (figura 1.32). a)

b)

c)

Escribe en cifras arábigas los números romanos de los siguientes enunciados: a) Colón descubrió América en MCDXCII y murió en MDVI. b) El XX de julio de MDCCCX se dio el grito de independencia en Colombia. c) La Constitución colombiana fue promulgada en MCMXCI. d) Simón Bolívar nació en MDCCLXXXIII y murió en MDCCCXXX.

�

c)

En el sistema de numeración romano, una raya encima de un número multiplica su valor por 1 000. Si se colocan dos rayas sobre el número, ¿por cuánto se multiplica su valor? ¿Y si se colocan cuatro rayas?

Interpreta y resuelve RAZONAMIENTO

d)

72.

 

Completa el crucinúmero de la figura 1.34 con la escritura en números romanos. a) 2 022 d) 153 g) 13

Figura 1.32

Marca con un el número maya escrito de modo correcto (figura 1.33). a)

c) 624 f) 1 608 g

a

RAZONAMIENTO 68.

b) 38 e) 3 876 h) 1 313 e b

f

b)

h c)

d)

Figura 1.33 PROYECTO SÉ © EDICIONES SM

c

d

Figura 1.34

PENSAMIENTO NUMÉRICO

31

ACTIVIDADES RAZONAMIENTO 73.

RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS

Cada uno de los personajes expresa su edad. Organízalos del menor al mayor. a)

75.

b)

Determina la cantidad de ladrillos que se han empleado en cada caso. a)

1235

1015 b)

c)

d)

Figura 1.37

c)

Lectura y escritura de números grandes

d) 1045

1335

Entrena EJERCITACIÓN 76.

Escribe en letras cada número. a) 16 654 342 b) 126 c) 2 364 d) 2 123 445 e) 452 356 f) 1 200 g) 340 765 432 h) 25 000 000 002 i) 918 231 121 j) 12 500 000 015

COMUNICACIÓN 77.

Figura 1.36 Figura 1.35 RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS 74.

Javier encuentra los siguientes productos con sus valores. Si el sistema monetario que utilizamos actualmente fuera en base 2, ¿cómo se expresaría cada cantidad?

A  a

   i  t  e   e   c   A

Escribe el número correspondiente a cada enunciado. a) Una unidad de mil b) Cuatro unidades de millón c) 30 unidades de mil d) Una decena de millón e) 500 unidades de mil f) Dos unidades de millares de millón g) Una centena de mil h) Cinco centenas de millares de millón i) Dos decenas de mil  j) Ocho decenas de billón

RAZONAMIENTO

$ 1 200

$ 1 700

   l   a   r  e   e   C

a r i  a

$ 5 500

$ 2 500

$ 4 200

$ 4 000

78.

Establece en cuántas unidades cambia el número 23 045, si: a) Se cambia el 0 por 6. b) Se cambia el 4 por 7. c) Se cambia el 3 por 5. d) Se cambia el 2 por 7. e) Se cambia el 3 por 2.

Figura 1.36 32

PENSAMIENTO NUMÉRICO

PROYECTO SÉ © EDICIONES SM

ACTIVIDADES RAZONAMIENTO

Interpreta y resuelve

81.

RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS 79.

El presupuesto anual del que dispone cierto país se ha calculado en tres decenas de miles de millón. ¿Cuál es la expresión numérica de esa cantidad y cuál es su lectura?

Expresa en forma extensa los siguientes números, escritos en base 10. a) 18

b) 100

c) 14 020

d) 34

e) 1 460

f) 56 000

g) 207

h) 3 050

i) 234 024

j) 254

k) 123

l) 45

m) 234

n) 567

ñ) 105 303

Amplía RAZONAMIENTO 82.

Figura 1.38 RAZONAMIENTO 80.

Resuelve las operaciones y escribe cada número representado. a) 4 � 103 � 5 � 102 � 4 b) 7 � 104 � 3 � 103 � 7 � 10 � 8 c) 5 � 103 � 4 � 102 � 5 � 10 d) 6 � 103 � 2 � 102 � 5 � 10 � 3 e) 8 � 104 � 3 � 103 � 4 � 102 � 2 � 10 f) 4 � 105 � 5 � 103 � 9 � 102 � 3 � 10 g) 5 � 104 � 6 � 102 � 4 � 10 � 5

Expresa el valor de las cifras que constituyen cada número. a) 24

b) 345

c) 10

d) 201

e) 52

f) 5 472

g) 30 642

h) 18 709

COMUNICACIÓN 83.

¿Cuáles son los números más grandes y más pequeños que se pueden construir con las cifras 3, 2 y 4?

COMUNICACIÓN 84.

¿Cuál número puede formarse con 9 dm, 8 u y ninguna centena?

AUTOEVALUACIÓN 1.

Determina el valor de verdad de cada afirmación, si se sabe que los conjuntos   es un número natural y x   30� U  � �x /x  es A � �5, 10, 15, 20, 25, 30� y B  � �3, 6, 9, 12, 15, 18, 21�

3.

Escribe qué valores representan los símbolos mayas (figura 1.39). a)

b)

c)

a) A  B  � �15� b) A  B  � �3, 6, 9, 12, 15, 18, 21� c) A

� 

d) B 

�

e) A 2.

Figura 1.39

  no es múltiplo de 3 o x   30� �x /x  no

� B  �

4.

�5, 10, 20, 25, 30�

Escribe qué números representan los símbolo chinos. a)

c)

PROYECTO SÉ © EDICIONES SM

b)

 

Expresa cada número en el sistema decimal. a) 101110012

b) 321045

c)100000000112

d) 120035

5.

¿Cuál número puede formarse de modo que las centenas de mil sean el doble que las decenas?

6.

¿Cuál es el mayor número que se forma con nueve cifras? ¿Cuál es el menor?

d)

PENSAMIENTO NUMÉRICO

33

RESOLUCIÓN D E

P R O B L E M A S

Descomponer el problema en partes Cuando no se sabe cómo enfrentar un problema, una buena táctica consiste en dividirlo en partes más pequeñas  que, al recomponerlas, lleven a la solución. Esta estrategia suele ser muy efectiva, pues muchas veces, trabajando sobre contenidos sencillos, aparecen ideas nuevas que sirven para aclarar toda la situación.

Comprende la estrategia

1

EJERCICIO RESUELTO

Par a r esolv er  r u un pr oblema debes: • Entender  r e el pr oblema • Gener ar un pla n • E j  je ecutar el plan • V er ificar  r llas r espuestas

Problema Completa la tabla de verdad de la proposición compuesta � p son los posibles valores que tiene esta tabla?

→

q �

↔

��q  → �p�. ¿Cuáles

Resolución La tabla de verdad de una proposición compuesta se completa analizando los posibles valores de verdad de cada una de las componentes. • Primero, se completan los valores de �p y �q (tabla 1.13). p

q 

p

q 

V

V

F

F

V

F

F

V

F

V

V

F

F

F

V

V

Tabla 1.13

• Luego se completa la tabla de verdad de la componente p p

q 

p

q 

p → q 

V

V

F

F

V

V

F

F

V

F

F

V

V

F

V

F

F

V

V

V

→

q  (tabla 1.14).

Tabla 1.14

• A continuación se hallan los valores de �q  → �p (tabla 1.15). p

q 

p

q 

p → q 

q → p

V

V

F

F

V

V

V

F

F

V

F

F

F

V

V

F

V

V

F

F

V

V

V

V

• Por último, se completa la tabla de verdad de �p p

q  p q  p → q 

V

V

F

F

V

F

F

F

V

F

F

→

q �

↔

Tabla 1.15

��q  → �p� (tabla 1.16).

q → p

p → q  ↔ q → p

V

V

V

V

F

F

V

V

F

V

V

V

V

V

V

V

V

Tabla 1.16

R/ Todos los valores de la tabla de verdad de la proposición �p → q � ↔ ��q  → �p�, son verdaderos.

34

PROYECTO SÉ © EDICIONES SM

2

Los diagr amas d e V enn son útiles par a enten der  r p pr oblemas de con j  ju untos.

EJERCICIO RESUELTO

Problema En un estudio estadístico se determinó que ocho países exportan café; catorce, petróleo, y trece, frutas; seis exportan sólo frutas y petróleo; cuatro, sólo frutas; tres exportan los tres productos y ninguno sólo café o petróleo. ¿Cuántos países fueron encuestados?

Resolución Para responder la pregunta que plantea el problema, es necesario analizar toda la información que proporciona el enunciado, y para este fin, resulta bastante útil un diagrama de Venn. a) Se nombran los siguientes conjuntos: C  (países que exportan café), P   (países que exportan petróleo) y F   (países que exportan frutas) (figura 1.40). C

b) Se anota el número de países que exportan los tres productos en la intersección de los tres conjuntos (figura 1.41).

P 

C

P 

3

Figura 1.40

Figura 1.41

F 

F 

c) Se anota el número de países que exportan sólo frutas y petróleo y sólo frutas (figura 1.42). C

d) Continuando el análisis, se completa el diagrama con los demás datos (figura 1.43).

P 

C

P 

5

0

3

0

3 6

6

0

4

4

Figura 1.42

Figura 1.43

F 

F 

Para hallar la solución se suman los valores ubicados en cada región del diagrama de Venn.

R/ Fueron encuestados 18 países. Aplica la estrategia 1.

Determina la tabla de verdad de cada una de las siguientes proposiciones compuestas. a) �p → q � ∧ ��q  → �p� b) �p → q � ∨ ��q  → �p� c) �p → q � → ��q  → �p�

PROYECTO SÉ © EDICIONES SM

2.

Una encuesta aplicada a 50 estudiantes de una universidad arrojó la siguiente información: 16 estudian matemáticas; 10, física; 23, biología; 7 matemáticas y biología; 5, física y biología, y 15, ninguna de las tres asignaturas. ¿Cuántos estudiantes estudian una y sólo una de las tres asignaturas?

35

MATEMÁTICAS EN CONTEXTO

El sistema binario en la tecnología

Con la evolución de los sistemas de numeración, ha surgido la necesidad de representar cada número utilizando la menor cantidad de símbolos, con el fin de procesar rápidamente los números y sus operaciones.  Así surgió el sistema binario creado por el filósofo y matemático Gottfried  Wilhelm von Leibnitz. Este sistema binario es utilizado en los computadores. Quienes los fabrican asignan un número a cada símbolo del teclado y el computador convierte electrónicamente, a código binario, el número decimal. •

¿Cuáles son las diferencias entre el sistema de numeración decimal y el binario?

Las matemáticas

del Paleolítico

Contar, es el primer paso del pensamiento matemático tanto que nuestros antepasados de hace 30 000 años ya lo hacían. Unos huesos de lobo encontrados en el  yacimiento paleolítico de Dolni Vestonice, Vestonice, situado en la República Checa, contienen unas muescas regulares que indican que aquellos hombres y mujeres ya contaban. Las cifras están agrupadas en grupos de cinco muescas, lo que indica que la base de su numeración era el cinco, y concuerda con la idea de que el elemento para contar, en aquella época, eran los dedos de la mano. •

36

De acuerdo con la lectura, ¿cuál crees que sea el origen del sistema de numeración decimal? Consulta al respecto. PROYECTO SÉ © EDICIONES SM

  E D U C A D O R A ado r  ra e r  pe a de l e m p  ia  ncc i e n  re e r  he  La h  La

a s ba   roos  l loo  b  mee r  n ú m  n n  n a   ba   b  noo se e m p l leea   üeeda d  n  i igg ü A n t  a A  n l la   E n  nea  ne  r  la   i r l a sse n t  a a   ra   r  lega   uee se  l le  u q  a q   ra   r a   pa   moo  p  nddes co m  n a   ra  a n  t e g r  t a   igo  nss ig  j joo co n a   ra   r  t o t   uee es t   u q   nq   u n  ia s, a   ncc ia   poo t e n  r p  r  liza   i l  iz  ida d de u t  ces id a do r  ra   pee r  voo e l e m p  u v  t  e  ue  u q  s  la   l a  o  mo  m o c , s e d a a       t  t   l    u u c  ic  i    f  f   i d s a   na   n  u g  lg  l a   ree. a d r  u ma   ia dde s u m  ncc ia   ree n  he r a  he  n l la   377 d. C ) .) co n  io ( 42 a . C. - 3  be r io  T i be

o,  no  n a   ma  o m  ro a do r  r  ra   pee r  me r e m p  i me  l  p r i  ió ó a   ucced i  io s u  be r io  T i be  ueeso 14 de  n u  ño  ñ ó e n e l a   ió  lec i a l le do és t e f a   nd  n a   ua   uss t o, c u  ugg u  u  A   l- l  vo, Ga   i vo  jo a do p t   h i jo  n h  u n a  u  ía  a , t e n í  ia   v i  ree, L i v a d r  ma   u m a . S u  ra  a ee r  ra   r  t  a ,  na   u n  t   f o r t   u f  a ss u  t oda   i t  o de ca s i  ro  reede r  hee r ó h  ró o m b r  no  uee n  l q u a , a   ba   b  uee o, q u  io  be r i  T i be a  T  ia  a a  a c i  ra  a gg r  ha   ucc h  m u  r m a ce r  ha  ó  h  ió o de b i  no  uee  n o q u  lo  l o.  ro  ne r  t e de l d i ne  r t  a   pa  o r  p  yo  y a   ma  a  m  la   rsse co n  l  r  ueeda   isso q u q u i  rcca  r a   ma   D e n m a  D  na    iz  liza do u n  i l  u t   ía  a  u  b í  ha  a  ha   ia   v i  L i v a   ba   b  icca   i  f   ig n i f  os s ig  no  lgg u n  l  uee seg ú n a  da , q u  io  be r io  uee T i be a s q u  ra   r  iee n t   nees, m i  llo n   lo 50 m i l  rea  re  ra   r  f  o r c i f   yo  y  ma  a  ma   la   uee l q u  ba  a b   a q  mee n t a   rgg u m  r a   ma ,  ncc i ma  a ee n  ya   y  ra  a  ra   na   u n a  u  ba   b a   va   lle v   le da  l  id oc i  no co n o 500 000.  lo a sso l  ía  o n í  po  uee s u p  lo  l o q u ó s u  ió  ig u i  nss ig  ba cco n  l ba   l,, Ga   l  na   i na   f   l f   l  A  do  id  leec i a b   l  ueedó es t a  o  y q u  ro  ne r d i ne a   ra   r  f  a  c i f   na   r  u n  rcca   r a   ma   l e n m  uee a  q u o r  u n  po a   p  ba   b  ica   p l ic  i p  t  se  m u l t   n..  lló n   ló  m i l ¿Por qué es importante establecer normas para escribir números grandes? 

   O    C    I    G     Ó    L

Crucirreto Horizontales 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.

5 en base 2. ♦ Número anterior a 64 en base 4. 4  4. ♦ 15 en base 2. 16 en base 3. ♦ 2 en base 3. 2 en base 4. ♦ 17 en base 3. ♦ 3 en base 4. 9  5. ♦ 3  100. Invertido, ciento treinta. ♦ 12  6. 2 en base 7. ♦ 16 en base 5. ♦ 3 en base 2. 5 en base 3. ♦ 10 en base 4. ♦ Menor número en cualquier base. 9. 6 en base 4. ♦ 7 en base 4. ♦ Dos.

   O    T    N    E    I Verticales    M  A. 3 en base 2. ♦ 14 en base 5. ♦ 22 en base 3.    A B. Invertido, 160. ♦ 30 en base 6. ♦ 8 en base 3.    N C. 20 ♦ 7 en base 3. ♦ 15 en base 4.    O D. 14 en base 3. ♦ Mil ciento veintiuno.    Z E. 1011  en base 10. ♦ 43  en base 10. ♦ Veintitrés 3 5    A F. Trescientos doce. ♦ Invertido, ciento veinte.    R G. 51  en base 10. ♦ 6  5. ♦ Ciento dos. 6 PROYECTO SÉ © EDICIONES SM

   D    A    D “En mi profesión,    E es necesario razonar    I y tomar desiciones    C lógicas.”    O    S YANNETTE CASTELLANOS  P  P.. INGENIERA INDUSTRIAL

BOGOTÁ D.C

Hace un tiempo, un tramo de un túnel que conduce el agua del embalse a la planta de tratamiento se derrumbó. Esta situación me llevó, a recoger y procesar información mediante diferentes estrategias, y así poder solucionar el problema. En la exploración del daño se encontraron los siguientes datos: el arreglo del túnel demora cuatro meses, hay una reserva alterna de agua que contiene 18 000 000 de litros de líquido y que el consumo consumo de agua agua por parte de los habitantes de la ciudad es de un promedio diario de 300 000 litros. Frente a esta situación hay que plantearse diferentes preguntas como: si los habitantes consumen la misma cantidad habitual de agua, ¿para cuánto tiempo alcanzará la reserva?  Ahora, si sólo se reduce en 50 000 litros de agua diarios, ¿la reserva alcanza para los cuatro meses? ¿Qué sucede si los habitantes de la ciudad consumen 200 000 litros de agua diarios durante los tres meses siguientes?, ¿Alcanzará el agua hasta el final de la emergencia?

A

B

C

D

E

F

G

1 2 3 4 5 6 7 8 9

37

Conoce tu calculadora científica La calculadora científica permite realizar rápidamente un sinfín de operaciones matemáticas, debido a que cuenta con algunas teclas adicionales en relación con la calculadora aritmética. Es decir que, además de las operaciones básicas, es posible trabajar con potencias, radicales y fracciones. Incluso admite programar y representar gráficas de funciones que se estudiarán en cursos posteriores. A continuación se llamará la atención sobre algunas teclas que utilizarás con frecuencia para realizar operaciones entre números naturales en la calculadora científica. Sin embargo, como no existe un solo criterio de funcionamiento, es necesario que consultes el manual de tu calculadora, antes de dar inicio a tu trabajo en matemáticas. Las primeras teclas que debes reconocer son las que se emplean para realizar operaciones básicas y que funcionan de igual manera que en la calculadora aritmética:

Multiplicación Adición

División Sustracción

Para realizar operaciones con potencias puedes utilizar alguna de las siguientes teclas, según la operación:

En la parte superior de cada tecla se identifica su función principal, pero algunas de ellas tienen una segunda función que aparece marcada encima de la tecla respectiva, con un texto de diferente color. Esta se activa digitando primero Shif t t  . Por ejemplo, para activar la función “raíz cuadrada” se digita la secuencia: Shift  Aunque las calculadoras científicas respetan el orden de las operaciones, cuando se realizan operaciones combinadas se pueden emplear los paréntesis. El paréntesis se abre y se cierra respectivamente, al digitar las teclas   ) ) . 38

PROYECTO SÉ © EDICIONES SM

Cambio de base con la ayuda de la calculadora científica Una vez que te familiarices con el funcionamiento de tu calculadora científica puedes realizar operaciones que te permitan expresar en el sistema de numeración decimal, un número dado en el sistema binario.

 La operación que permite expresar el número 13405, en sistema decimal es:

1

�

53

�

3

�

52

�

4

�

51

�

0

�

50

En la calculadora se digita:

Por ejemplo, para expresar el número 10102 en el sistema decimal, debes efectuar la operación:

1

23

�

�

0

�

22

�

1

21

�

0

�

�

20

En pantalla aparece:

Recuerda que el número 2 indica la base en la cual está dado el número; la potencia indica el nivel de agrupación y los números en negrilla indican los dígitos del número binario. En la calculadora se digita:

1x5^3+3x5^2+4x5^1 +0x5^0

220

  Para expresar el número 347 8, en el sistema decimal, debes realizar la operación:

3

�

82

�

4

�

81

�

7

�

80

En la calculadora se digita: En pantalla aparece: En pantalla aparece: 1x2^3+0x2^2+1x2^1

3x8^2+4x8^1+7

+0x2^0

10

x 8^ 0

231

ACTIVIDADES 1.

Lee   la información y realiza   lo que se

Con ayuda de la calculadora escribe en base indica a continuación. 10 los siguientes números, expresados en base 3. En el sistema de numeración en baseACTIVIDADES 3, a) 1210123 b) 1210013 para escribir los números se utilizan los dígitos 0, 1 y 2. Cada orden se obtiene forc ) 1001223 d) 220113 mando grupos de tres unidades del orden e) 11111013 f ) 10011013 inmediatamente inferior. 2. Expresa los siguientes números en el Para expresar en base 10 un número dado sistema de numeración decimal. en base 3, se escribe el desarrollo exponencial del número y se obtiene el resultado de a) 32405 b) 33215 las operaciones. Por ejemplo: c) 10011 d) 1001 2

 

11023 �

1

�

27

�

3

�

3

9

PROYECTO SÉ © EDICIONES SM

�

1

�

3

�

0

�

0

�

2

�

38

2

�

3

1

�

2

�

1

2

e) 31125

f) 4215

g) 22245

h) 12025

i) 101012

j) 443105

39

P O N

A

P R U E B A

T U S

COMPETENCIAS Grandes construcciones La gran pirámide de Keops fue construida en Egipto en el año Tiene una altura de casi

metros y el perímetro de su base mide metros. Durante

años, alrededor de

trabajaron traba jaron en su edifica edificación ción despla desplazando zando bloqu bloques es de entre de 1.

antes de nuestra era.

y

esclavos

toneladas tonel adas a lo largo

hectómetros.

Responde las preguntas con base en la información anterior. a) ¿En qué año fue construida la Pirámide de Keops en Egipto? b) Aproximadamente, ¿cuál es la altura de esta pirámide? c) ¿Cuántos metros mide el perímetro de la base? d) ¿Cuántos años duró la construcción? e) ¿Alrededor de cuántos esclavos trabajaron en su edificación? f) ¿Cuál era el peso de los bloques con los que se construyó la pirámide? g) ¿Cuál era la distancia a lo largo de la cual eran desplazados los bloques?

Con más de 2 000  años de antigüedad, la gran Muralla China se extiende a lo largo de unos 6 700 kilómetros; la parte más famosa fue construida en 1 381, durante la dinastía imperial Ming. Es una maravilla de ingeniería que en 22 siglos no ha sido igualada. Fue declarada patrimonio de la humanidad en 1 978. 4.

Relaciona cada número con su representación en símbolos chinos. a) 2 000 b) 6 700 c) 1 381 d) 22

2.

Escribe en tu cuaderno el 99 999 con números egipcios y con números chinos.

e) 1 987

� �

� �

� �

� �

� �

a) ¿Con cuál sistema empleaste menos símbolos? b) ¿Qué es lo que permite en el sistema chino no repetir los símbolos tantas veces como en el egipcio? 3.

40

Compara tus respuestas con las de dos compañeros o compañeras de curso. PROYECTO SÉ © EDICIONES SM

Otros sistemas de numeración En cierto idioma, cuando se empieza a contar ob jetos se escucha así:

Considera el sistema de numeración “palito-bolita” mostrado en la tabla 1.19, y realiza lo que se indica a continuación. �

�ο

��

�οο

�ο�

��ο

1

2

3

4

5

6

���

�οοο

�οο�

�ο�ο

��

��οο

7

8

9

10

11

12

Lloa”, “Moa”, “La”, “Va”, “Le”

Tabla 1.19 6.

Escribe cada número en el sistema “palitobolita”. a) 13

b) 16

c) 41

El conteo prosigue así  7.

“Ay”, “Lob”, “Viu”, “Bey”, “Bi”

Anota qué números representan estos símbolos del sistema “palito-bolita”. a) � � � c) �

8.

b) �

�

ο ο ο

d) � �

c) �

Responde las preguntas de acuerdo con la información de la caricatura.

LLOA

MOA

LA

VA

LOB

VIU

BEY

LE

BI Tabla 1.18

b) ¿Cuál es el resultado de las siguientes operaciones? Explica tus respuestas. “Lob”

�

“Lloa” “Bi”

� “Ay”

c) ¿Cuál es la secuencia que se escucha, cuando se nombran las cifras del número 583? ¿Y las de 1 879? Escríbelas. PROYECTO SÉ © EDICIONES SM

�

b) � �

9.

�

�

ο

ο

ο

ο

ο

� �

� ο

d) �

ο

� �

f) �

ο

ο

� �

�

e) � � � � �� ο �

Tabla 1.17

AY

ο

� �

a) ¿Cuáles son los números que completan las tablas 1.17 y 1.18? Cópialas y escríbelos en tu cuaderno.

ο

ο

Efectúa las operaciones. Escribe tu respuesta con el sistema de numeración “palito-bolita”. a) � � � � � �

5.

�

ο

�

ο

ο ο

� � � ο ο �

� � � � � � ο � ο

Contesta. a) ¿Cuál es la base del sistema “palito-bolita”? b) ¿Cuántos números pueden formarse con cuatro símbolos en el sistema “palito-bolita” (con repeticiones)? Explica. c) ¿Cuántos números pueden formarse con cinco símbolos en el sistema “palito-bolita” (con repeticiones)? Explica. 41

PRUEBA SABER  Responde las preguntas 1 a 5 de acuerdo con la siguiente información.

•

2.

De acuerdo con el texto, una proposición verdadera es: A.

La diversidad de mariposas en Colombia Colombia es el tercer país en el mundo con diversidad de especies de mariposas, pues tiene cerca de 3 272 especies. Brasil es el más rico con 3 500 especies, seguido por Perú con 3 400 especies.

Colombia es el segundo país con mayor diversidad de mariposas a nivel mundial.

  El ciclo vital de una mariposa es de cinco meses o más.

B.

3.

C.

Las mariposas diurnas necesitan contacto directo con el sol.

D.

Las mariposas se encuentran encuentran en una sola área geográfica.

La negación de la proposición “Brasil es el país con mayor diversidad de mariposas en el mundo”, es: A.

Brasil es el país con mayor diversidad de mariposas a nivel latinoamericano.

  Brasil no es el país con mayor diversidad de mariposas en el mundo.

B.

Las mariposas se destacan por su gran colorido y corta vida; su ciclo vital varía según las especies y las condiciones del entorno, generalmente viven de dos a tres semanas, aunque algunas especies viven de dos a tres meses o más. Se distribuyen en las distintas áreas geográficas según los factores de vegetación, clima o altitud.

4.

Las mariposas de montaña son más oscuras ya que tienen que adaptarse a veranos cortos e inviernos fríos y el color oscuro retiene mejor la radiación solar. Las mariposas diurnas son heliófilas; necesitan la insolación directa.

1.

El ciclo vital de las mariposas varía según la especie.   ¿Cuántas especies de mariposas tiene Colombia?

II.. II

 Perú es el tercer país con mayor diversidad en mariposas en el mundo.

III.

  Las mariposas se distribuyen en distintas áreas geográficas.

IV.. IV

42

A.

I

B.

II

C.

III y IV

D.

II y IV IV

Brasil es el segundo país con mayor diversidad de mariposas en el mundo.

D.

Brasil es el único único país con especies especies de mariposas en el mundo.

Es una conjunción verdadera: A.

Las mariposas diurnas son coloridas y viven en las montañas.

B.

Las mariposas se destacan por su gran colorido y su larga vida.

C.

Colombia tiene 3 500 especies especies de mariposas mariposas y Perú 3 272.

  Las mariposas de las montañas son de colores más oscuros y retienen mejor la radiación solar.

D.

Determina cuál o cuáles de las siguientes expresiones no son proposiciones. I.

C.

5.

Indica cuál de las siguientes proposiciones es una implicación.   Las mariposas se distribuyen en distintas áreas geográficas.

A.

  Las mariposas más oscuras viven en las montañas.

B.

C.

Brasil, Perú y Colombia Colombia son los países con mayor diversidad de mariposas a nivel mundial.

D.

Las mariposas diurnas son heliófilas, entonentonces necesitan recibir directamente el sol. PROYECTO SÉ © EDICIONES SM

 Responde las preguntas 6 a 9 de acuerdo con la siguiente información.

8.

•

El centro vacacional “Mundo Joven”, recibió la inscripción de 100 estudiantes de un colegio en cuatro de sus cursos, inscritos de la siguiente manera: 9.

• 47 estudiantes en natación • 30 en patinaje • 41 en fútbol • 25 en canotaje • 10 en natación, patinaje y fútbol

Los cursos que representan intersecciones vacías son: A.

P  F  y N  F 

B.

C  N  y C  F 

C.

F  P  y C  N 

D.

N  P  y F  P 

La cantidad de estudiantes que solo se inscribió a un curso es: A.

74

B.

67

C.

83

D.

72

 Responde las preguntas 10, 11 y 12 de acuerdo con la siguiente información.

•

• 7 en patinaje y canotaje • 16 en natación y fútbol

6.

Algunos símbolos adicionales del sistema de numeración egipcio son:

Si N   representa natación, F   fútbol, P  patinaje y C   canotaje, el diagrama de Venn que representa la cantidad de estudiantes inscritos en cada curso es: A.

B.

N

P 

13

21

10

EQUIVALENCIA N

20

23

18

10.. 10

10

16 15

es:

13

A.

18

F 

D.

N

P 

B.

37 10

P 

7.

7

10

12 21 10 15

17

B.

38

C.

23

D.

26

PROYECTO SÉ © EDICIONES SM

2 000 623 2 206 023 226 023 202 623

El número en base 2 equivalente a es:   1001102 B.  101111 2 C.  101101 2 D.  101111 2

C 

7

A.

21

F 

La cantidad de estudiantes que sólo se inscribió en dos cursos es: A.

11.. 11

26

15 F 

D.

N

C 

19

10 000

El número equivalente al jeroglífico

C. C.

100 000

C 

16

F 

1 000 000

P 

C 

7

JEROGLÍFICOS

12.. 12

Los números equivalentes al jeroglífico  son:   52538 y 12201 B.  27651 y 34231 8 5 C.  2332221 y 12201 4 D.  342301 y 5253 5 8 A.

43