PROYECTO_MATEX_BAC_2_CCSS

January 28, 2017 | Author: ADAMA.CORVI | Category: N/A

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PROYECTO MATEX MATEMATICAS DE BACHILLERATO F. J. GONZALEZ ORTIZ 2º DE CC.SS.

MATEMATICAS 2º Bachillerato

Proyecto

MaTEX

r=A+lu A

d B s=B+mv

Matrices

SOCIALES

MaTEX Matrices

Fco Javier Gonz´ alez Ortiz

Directorio Tabla de Contenido Inicio Art´ıculo

c 2004 [email protected]

D.L.:SA-1415-2004

ISBN: 84-688-8267-4

JJ

II

J

I

J Doc

Doc I

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MATEMATICAS 2º Bachillerato

1. Introducci´ on 1.1. Tipos de Matrices 2. Operaciones con matrices 2.1. Suma de matrices. • Propiedades de la suma de matrices. 2.2. Multiplicaci´ on de un n´ umero por una matriz. • Propiedades de la multiplicaci´ on por un n´ umero. 2.3. Producto de matrices. • Propiedades del producto de matrices. 3. Matriz Traspuesta. 3.1. Propiedades de la matriz traspuesta 4. Matriz Inversa. 4.1. Propiedades de la matriz Inversa. 5. Matriz reducida 5.1. Transformaciones elementales 5.2. Rango de una matriz 6. Ejercicios Soluciones a los Ejercicios Soluciones a los Tests

r=A+lu A

d B s=B+mv

SOCIALES

MaTEX Matrices

Tabla de Contenido

JJ

II

J

I

J Doc

Doc I

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Secci´ on 1: Introducci´ on

3

MATEMATICAS 2º Bachillerato r=A+lu

1. Introducci´ on

A

am1

am2

am3

···

d B s=B+mv

SOCIALES

MaTEX Matrices

El concepto de matriz como tabla ordenada de n´ umeros es muy antiguo, pero fué en el siglo XIX cuando J.J. Sylvester (1814-1897) utilizó el término matriz y Arthur Cayley (1821-1895) sent´ o las bases del cálculo matricial. En la actualidad el concepto de matriz subyace en todas las ramas de la Matemática y es de una importancia trascendental. Definici´ on 1.1 Se denomina matriz de dimensi´ on m × n a todo conjunto de elementos dispuestos en m filas y n columnas.   a11 a12 a13 · · · a1n  a21 a22 a23 · · · a2n   A= ..  ··· . ··· ··· ···  amn

De forma abreviada se escribe A = (aij )m×n 1.1. Tipos de Matrices Matriz fila Es una matriz de dimensi´ on 1 × n o también vector fila A = ( a11

a12

a13

···

a1n )

Matriz columna Es una matriz de dimensi´ on m×1 o también vector colum-

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Secci´ on 1: Introducci´ on

na

4

MATEMATICAS 2º Bachillerato r=A+lu A

 a11  a  A =  21  · am1 

SOCIALES

MaTEX Matrices

Matriz Escalonada por filas Es tal que en cada fila el n´ umero de ceros que precede al primer elemento no nulo es mayor que en la precedente. Por ejemplo   1 3 −1 5 0 6 1 4 0 0 A=  0 0 0 12 3 0 0 0 0 −3

d B s=B+mv

Matriz Cuadrada Es aquella que tiene igual n´ umero de filas que de columnas. Por ejemplo   1 3 −1 1 3 6 A= B = 2 5 2 5 0 3 1 Matriz Sim´ etrica Es aquella que tiene los elementos simétricos a la diagonal principal iguales. Por ejemplo   x a c A = a x b c b x

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Secci´ on 2: Operaciones con matrices

5

Matriz Identidad Es aquella que tiene en la diagonal principal unos y el resto todos nulos. Por ejemplo   1 0 0 1 0 I2 = I3 =  0 1 0  0 1 0 0 1 2. Operaciones con matrices

MATEMATICAS 2º Bachillerato r=A+lu A

d B s=B+mv

SOCIALES

MaTEX Matrices

2.1. Suma de matrices. Sean A = (aij )m×n y B = (bij )m×n dos matrices de la misma dimensión. Se define la matriz suma A + B = (aij + bij )m×n como la matriz que se obtiene de sumar los elementos correspondientes. Por ejemplo:       1 3 −1 5 4 3 2 1 5 6 1 6  −1 2 6 4 +  0 3 5 7  =  −1 5 11 11  0 8 8 2 11 9 −3 0 11 17 5 2 y por ejemplo: 

1  −1 0

     3 4 3 5 6 2  +  0 3  =  −1 5 8 11 9 11 17

Al conjunto de todas las matrices de dimensi´ on m × n le designamos por Mm × n .

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Secci´ on 2: Operaciones con matrices

6

MATEMATICAS 2º Bachillerato r=A+lu

• Propiedades de la suma de matrices.

A

1. Estable

d

∀A, B ∈ Mm × n

A + B ∈ Mm × n

2. Asociativa

B s=B+mv

SOCIALES

(A + B) + C = A + (B + C)

3. Elemento neutro o matriz nula. Tiene todos sus elementos nulos. ∀A ∈ Mm × n , ∃0 ∈ Mm × n

MaTEX

/ A+0=A

Matrices

∀A, B, C ∈ Mm × n

4. Elemento opuesto 0

∀A ∈ Mm × n , ∃A ∈ Mm × n

0

/ A+A =O

5. Conmutativa ∀A, B ∈ Mm × n

A+B=B+A 1 3 Ejercicio 1. ¿Cuál es la opuesta de la matriz A = ? 5 6 JJ

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Secci´ on 2: Operaciones con matrices

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2.2. Multiplicaci´ on de un n´ umero por una matriz. Sea la matriz A = (aij )m×n y α ∈ R un n´ umero real. Se define la matriz α·A = (α·aij )m×n como la matriz que se obtiene de multiplicar los elementos de la matriz por α. Por ejemplo: 1 3 −1 3 9 −3 3· = −1 2 6 −3 6 18

MATEMATICAS 2º Bachillerato r=A+lu A

d B s=B+mv

SOCIALES

MaTEX Matrices

• Propiedades de la multiplicación por un n´ umero. 1. Distributiva respecto a la suma de matrices. ∀α ∈ R, ∀A, B ∈ Mm × n

α (A + B) = α A + α B

2. Distributiva respecto a la suma de escalares. ∀α β ∈ R, ∀A ∈ Mm × n

(α + β) A = α A + β A

3. Asociativa respecto a los escalares. ∀α β ∈ R, ∀A ∈ Mm × n ,

(α β) A = α (β A)

4. Elemento unidad. ∀A ∈ Mm × n , ∃1 ∈ R

/ 1A=A

El conjunto Mm × n con la suma y el producto por un escalar forma un espacio vectorial (Mm × n , + , .).

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Secci´ on 2: Operaciones con matrices

8

r=A+lu

2.3. Producto de matrices.

A

Sean A = (aij )m×p y B = (bij )p×n dos matrices, donde el n´ umero de columnas de A coincide con el n´ umero de filas de B. Se define la matriz producto C = A · B = (cij ) donde cij =

MATEMATICAS 2º Bachillerato

p X

aik bkj

k=1

d B s=B+mv

SOCIALES

MaTEX

c11 = 1 . 4 + 3 . 0 + (−1) . 11 + 5 . (−1) = −12 c12 = 1 . 3 + 3 . 3 + (−1) . 9 + 5 . (2) = 13 c22 = (−1) . 3 + 2 . 3 + (6) . 9 + 4 . (2) = 65 y análogamente los demás elementos.

Matrices

como la matriz de dimensi´ on m × n donde cada elemento se obtiene de multiplicar su fila y columna correspondientes. Por ejemplo en el siguiente producto el elemento c11 se obtiene de multiplicar la fila primera por la primera columna :       4 3 1 3 −1 5 −12 13  0 3  −1 2 × 6 4 =  58 65   11 9 0 8 8 2 3×4 86 100 3×2 −1 2 4×2

JJ

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Secci´ on 2: Operaciones con matrices

9



Ejemplo 2.1. Calcula el producto de 2

1

3 0 1 1

2 0 1

 1 1. 1

MATEMATICAS 2º Bachillerato r=A+lu A

d B s=B+mv

Soluci´ on: 2

1

 3 0 1 1

2 0 1

 1 1 = 7 1

SOCIALES

4

3

MaTEX Matrices

Ejemplo 2.2. Calcula el producto de 3 1 0 5 3 −2 E ·F 0 3 2 1 −1 0 Soluci´ on: Siendo dim(E) = 2×4 y dim(F ) = 2×2, el producto no está definido. Ejemplo 2.3. Calcula el producto de 3 1 3 C ·D 0 3 2 Soluci´ on:

3 0

1 3 11 = 3 2 6

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Secci´ on 2: Operaciones con matrices

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MATEMATICAS 2º Bachillerato r=A+lu

• Propiedades del producto de matrices.

A

1. Asociativa

d

A · (B · C) = (A · B) · C 2. Distributiva respecto a la suma de matrices A · (B + C) = A · B + A · C 3. Asociativa respecto a la multiplicaci´ on por un escalar

SOCIALES

MaTEX

α · (A · B) = (α A) · B

Matrices

∀α ∈ R,

B s=B+mv

4. Elemento unidad del producto para matrices cuadradas de orden n: ∀A ∈ Mn x n , ∃Id ∈ Mn x n ,

/

I d · A = A · Id = A

Dicho elemento se llama matriz identidad y tiene los elementos de la diagonal principal ”1”s y el resto ”0”s. As´ı:   1 0 0 1 0 I2 = I3 =  0 1 0  0 1 0 0 1 5. En general no se cumple la propiedad conmutativa No Conmutativa

A · B 6= B · A

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Secci´ on 2: Operaciones con matrices

Ejemplo 2.4. Comprobar que 2 A= 1

11

A·B = 6 B · A, siendo 3 1 −1 B= 4 0 2

MATEMATICAS 2º Bachillerato r=A+lu A

d B s=B+mv

SOCIALES

Soluci´ on: A·B = B·A=

2 1

4 7

1 −1 2 8

MaTEX

Matrices

Por ello cuando multipliquemos matrices se indicar´ a el orden. As´ı, si A multiplica a B por la izquierda, AB y si por la derecha BA. I Nota Hay que tener especial cuidado con la aplicación de la propiedad conmutativa pues es fuente de muchos errores.

Ejercicio 2. Efectuar y simplificar las expresiones matriciales: a) (A + B)2 b) (A + B)(A − B) c) A(B + Id ) − (B + Id )A

d ) A2 − A(Id + A)

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12

3. Matriz Traspuesta. Dada una matriz A, llamamos matriz traspuesta At a la matriz que cambia sus filas por sus columnas. Por ejemplo   2 0 2 1 4 Si A = entonces At =  1 0  0 0 3 4 3 2 3 2 1 Si B = entonces B t = 1 4 3 4

MATEMATICAS 2º Bachillerato r=A+lu A

d B s=B+mv

SOCIALES

MaTEX Matrices

Secci´ on 3: Matriz Traspuesta.

3.1. Propiedades de la matriz traspuesta ☞ La traspuesta de A + B es (A + B)t = At + B t . ☞ La traspuesta de A B es (AB)t = B t At . ☞ Si A es simétrica A = At . Ejercicio 3. Siendo A y C matrices cuadradas demostrar que: a) A + At es simétrica b) A At es simétrica c) Si A es simétrica entonces C t A C es simétrica

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Secci´ on 3: Matriz Traspuesta.

13

Ejercicio 4. Dadas las siguientes matrices, 2 1 1 0 3 A= B= 0 −1 −1 1 2   1 D= 1  F = 5 6 1

MATEMATICAS 2º Bachillerato r=A+lu A





−2 3 1 4   0 2  1 3 4 G =  −2 0 −2  1 2 −1 C=

d B s=B+mv

SOCIALES

MaTEX

d) A + B C g) F B + 5 D

e) G + B C t

f) G+C B t

Ejercicio 5. Sea A =

Matrices

calcular cuando sea posible las operaciones que se indican: a) 2 A b) B + C t c) A + B t

1 2

h) 3 C + 2 B i ) Dt · C 0 Hallar las matrices 2 × 2 tales que 1

a) AB = 0 b) AB = BA Ejercicio 6. Sea A=

a −3 2 4

Hallar a sabiendo que A At es una matriz diagonal.

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Secci´ on 3: Matriz Traspuesta.

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 1 0 0 1    Ejercicio 7. Dada A =  10 1 0 calcular A + A2 1  0 1 10 2 5 Ejercicio 8. Dada la matriz A = hallar a y b para que se veri2 −1 fique la ecuación matricial:

MATEMATICAS 2º Bachillerato



r=A+lu A

d B s=B+mv

SOCIALES

MaTEX Matrices

A2 + a A + b Id = 0 siendo Id la matriz identidad. Ejercicio 9. Hallar los elementos desconocidos de la sea la matriz nula:    1 2 0 x A =  2 3 −1  B= 1 0 1 1 u

matriz B para que AB  y 2  v

Ejercicio 10. Se dice que una matriz cuadrada A, es idempotente si verifica A2 = A. Probar que si A es idempotente, la matriz C = I − A, también es idempotente. Ejercicio 11. Probar que si A es idempotente, la matriz B = 2A − I, verifica B 2 = I.

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Secci´ on 4: Matriz Inversa.

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MATEMATICAS 2º Bachillerato r=A+lu

4. Matriz Inversa.

A

A · A−1 = Id La respuesta es que no todas las matrices cuadradas tienen inversa. Cuando una matriz tiene inversa decimos que es invertible o regular, en caso contrario decimos que es singular . El cálculo de la matriz inversa es una cuesti´ on importante. No es obvio. Más adelante, en el cap´ıtulo de determinantes se ver´ a como calcular la inversa de una matriz cuando exista.

d B s=B+mv

SOCIALES

MaTEX Matrices

Nuestro conocimiento del producto de n´ umeros reales α · α−1 = 1 cuando α 6= 0 nos invita a preguntarnos si para una matriz cuadrada A, habrá otra matriz, la matriz inversa A−1 de forma que

Ejercicio 12. Comprobar que la matriz inversa de 2 1 1 −1 −1 A= es A = 1 3 −1 2 

1 Ejercicio 13. Comprobar que  0 2

2 1 0

 −1  1 3 −6 −1 0  = 0 1 0  3 −2 4 1

De momento podemos enunciar el siguiente teorema:

JJ

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Secci´ on 4: Matriz Inversa.

16

MATEMATICAS 2º Bachillerato r=A+lu A

Teorema 4.1. Unicidad de la inversa. Si existe la inversa de la matriz A, es u ńica

d B s=B+mv

SOCIALES

4.1. Propiedades de la matriz Inversa. 1. El producto de dos matrices invertibles es invertible y su inversa es igual producto de las inversas en orden contrario. (1)

Matrices

(A · B)−1 = B −1 · A−1

MaTEX

En efecto, para comprobarlo multiplicamos (A · B)(B −1 · A−1 ) = A · B · B −1 · A−1 = A · Id · A−1 = A · A−1 = Id 2. La matriz inversa de la traspuesta coincide con al traspuesta de la inversa. (At )−1 = (A−1 )t (2) En efecto, At (A−1 )t = (A−1 A)t = I t = I y como la inversa de At es u ńica, (At )−1 = (A−1 )t .

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Secci´ on 4: Matriz Inversa.

17

Inicio del Test Indicar la respuesta a las cuestiones sobre matriz inversa: 1. La inversa de A · B es: No se sabe A−1 B −1 2. La inversa de A · B · C es: A

−1

No se sabe A 4. La inversa de A · (B + C) es: A−1 (B + C)−1

B

−1

r=A+lu A

d B s=B+mv

SOCIALES

C

+B

−1

−1

(B −1 + C −1 )A−1

C

−1

B

−1

B

−1

−1

A

MaTEX

−1

+A

Matrices

No se sabe 3. La inversa de A + B es:

−1

B −1 A−1

MATEMATICAS 2º Bachillerato

(B + C)−1 A−1

5. La expresión (A−1 )−1 = A es: Cierta

Falsa Correctas

Final del Test Puntos:

Test. Indica si se cumple la propiedad simplificativa en el producto de matrices, es decir AB = AC ⇒ B = C (a) Siempre

(b) Nunca

(c) A veces

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Secci´ on 4: Matriz Inversa.

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Inicio del Test Despejar si se puede la matriz X en las ecuaciones: 1. La solución de X + A = 0 es: A −A 2. La solución de (B + X) = A es:

No se puede

A−B B−A 3. La solución de X + AB = BA es:

No se puede

4. La solución de X + AA

= 2Id es: No se puede

A−1 B BA−1 6. La solución de XA = B es:

No se puede

A−1 B BA−1 7. La solución de AX = XB es:

No se puede

Final del Test Puntos:

MaTEX

No se puede

0 Id 5. La solución de AX = B es:

A−1 B

d B s=B+mv

BA−1

Matrices

−1

r=A+lu A

SOCIALES

BA − AB

0

MATEMATICAS 2º Bachillerato

No se puede Correctas

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19

5. Matriz reducida Dada una matriz A se puede reducir o conseguir una matriz escalonada de la anterior usando las transformaciones elementales que vimos en el cap´ıtulo de sistemas. Como ejemplo, hallamos la matriz reducida de A,     1 2 3 1 2 3 f2 − 3 f1  0 −4 −4  ∼ 5  A= 3 3 f3 + 2 f1 −2 1 −4 0 5 2   1 2 3 f3 +5/4 f2  0 −4 −4  ∼ 0 0 −3

MATEMATICAS 2º Bachillerato r=A+lu A

d B s=B+mv

SOCIALES

MaTEX Matrices

Secci´ on 5: Matriz reducida

5.1. Transformaciones elementales ¿Qué tipo de transformaciones elementales podemos realizar en una matriz para que siga siendo equivalente?. Tres cosas podemos realizar en una matriz para conseguir otro equivalente o su matriz reducida escalonada: ☞ Intercambiar de posici´ on dos filas entre si. ☞ Multiplicar una fila por un n´ umero. ☞ Sumar a una fila un m´ ultiplo de otra.

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Doc I

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Secci´ on 5: Matriz reducida

20

r=A+lu

Ejemplo 5.1. Hallar la matriz reducida de la matriz A. Soluci´ on:     1 2 3 1 2 3 (1) A= 2 4 6  ∼  0 0 0  0 0 0 3 6 9

d B s=B+mv

SOCIALES

matriz reducida de la matriz A.

MaTEX

   −1 1 1 2 3 −1 1  0 −3 −4 1 2  4 −1   (1) ∼ ∼    2 −3 0 5 2 0 −1  2 0 0 2 −2 4 −2    −1 1 1 2 3 −1 1  0 −3 −4 4 −1  4 −1   (3)  ∼ ∼  0 20 −8  0 −14 20 −8  20 −8 0 0 0 0 0

(1) f2 − 3 f1 , f2 + 2 f1 y f2 − 2 f1 . (2) 3 f3 + 5 f2 y 3 f4 + 2 f2 . (3) f4 − f3 .

Matrices

Ejemplo 5.2. Hallar la Soluci´ on:  1 2 3  3 3 5 A=  −2 1 −4 2 6 4  1 2 3 (2)  0 −3 −4 ∼   0 0 −14 0 0 −14

A

(1) f2 − 2 f1 y f3 − 3 f1 .

MATEMATICAS 2º Bachillerato

JJ

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Doc I

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Secci´ on 5: Matriz reducida

21

Al n´ umero de filas no nulas de la matriz reducida o escalonada le llamamos rango de la matriz.

MATEMATICAS 2º Bachillerato r=A+lu A

d B s=B+mv

5.2. Rango de una matriz

SOCIALES

Llamamos rango de la matriz, Al n´ umero de filas no nulas de la matriz reducida o escalonada, ó

MaTEX Matrices

Al n´ umero de filas linealmente independientes de la matriz. Ejemplo 5.3. Escribir una matriz A2×2 de rango 1. Soluci´ on: 1 2 A= =⇒ r(A) = 1 0 0 Ejemplo 5.4. Escribir una matriz Soluci´ on:  1 2 B= 0 0 0 0

B3×3 de rango 2.  3 1  =⇒ r(B) = 2 0

JJ

II

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Doc I

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Secci´ on 5: Matriz reducida

22

r=A+lu

Ejemplo 5.5. Hallar el rango de la matriz A. Soluci´ on:     1 2 3 1 2 3 (1) A =  2 4 6  ∼  0 0 0  =⇒ r(A) = 1 3 6 9 0 0 0

A

d B s=B+mv

SOCIALES

(1) f2 − 2 f1 y f3 − 3 f1 .

MATEMATICAS 2º Bachillerato

MaTEX

(1) f2 − 2 f1 y f3 − 3 f1 .

Ejemplo 5.7. Hallar Soluci´ on:  1 A= 2 3 (1) f2 − 2 f1 y f3 − 3 f1 .

Matrices

Ejemplo 5.6. Hallar el rango de la matriz A. Soluci´ on:     1 2 3 1 2 3 (1) A =  2 4 7  ∼  0 0 7  =⇒ r(A) = 2 3 6 9 0 0 0

el rango de la matriz A. 2 5 6

  3 1 (1) 7  ∼  0 10 0

2 1 0

 3 1  =⇒ r(A) = 3 1

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Doc I

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Secci´ on 6: Ejercicios

23

r=A+lu

6. Ejercicios

A

Ejercicio 14. Calcular por inducci´ on, respecto de n: n 1 1 1 1

2 −2

d B s=B+mv

SOCIALES

MaTEX

respecto de n: n 1 1  1

Matrices

Ejercicio 15. Calcular por inducci´ on,  1 1  0 1 0 0 Ejercicio 16. Dada A =

MATEMATICAS 2º Bachillerato

3 hallar x e y para que se cumpla 1

A2 − x A − y I = 0 Ejercicio 17. Estudiar el rango de las matrices:    1 1 2 3  2 a) A =  4 5 6  b) B =   3 7 8 9 2 Ejercicio 18. Estudiar el rango de las matrices:

2 2 4 4

 3 1   5  6

JJ

II

J

I

J Doc

Doc I

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Secci´ on 6: Ejercicios



24





2 4 −1 1  b) D =  −2 3 1 2 k

1 1 −1 2  a) C =  1 −1 2 1 k

MATEMATICAS 2º Bachillerato



r=A+lu A

d B s=B+mv

 1 0 Ejercicio 19. Dada la matriz A =  1 −1 , encontrar todas las matri2 −2 a b c ces de la forma X = , tales que X A = I, donde I es la matriz d e f unidad de orden 2.

SOCIALES

MaTEX Matrices



JJ

II

J

I

J Doc

Doc I

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Soluciones a los Ejercicios

25

MATEMATICAS 2º Bachillerato r=A+lu

Soluciones a los Ejercicios

A

Ejercicio 1. La matriz opuesta de A cumple

d B s=B+mv

A + (−A) = 0

SOCIALES

luego −A =

−1 −3 −5 −6

MaTEX Ejercicio 1

Matrices

JJ

II

J

I

J Doc

Doc I

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Soluciones a los Ejercicios

26

Ejercicio 2. a) (A + B)2 = (A + B)(A + B) = A2 + A B + B A + B 2 b) (A + B)(A − B) = A2 − A B + B A − B 2

MATEMATICAS 2º Bachillerato r=A+lu A

d B s=B+mv

SOCIALES

A(B + Id ) − (B + Id )A =AB + AId − BA − Id A =AB + A − BA − A =AB − BA

MaTEX Matrices

c)

d) A2 − A(Id + A) =A2 − AId − A2 =A2 − A − A2 =−A Importante. Observar que no se ha simplificado AB − BA pues en general se tiene que AB 6= BA Ejercicio 2 JJ

II

J

I

J Doc

Doc I

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Soluciones a los Ejercicios

27

MATEMATICAS 2º Bachillerato r=A+lu

Ejercicio 3. a) A + At es simétrica pues

A

d

(A+At )t = At +(At )t = At +A = A+At

(la suma es conmutativa)

B s=B+mv

SOCIALES

b) A At es simétrica pues

MaTEX

(A At )t = (At )t (At ) = A At t

c) Si A es simétrica entonces C A C es simétrica pues

Matrices

(C t A C)t = C t At (C t )t = C t At C = Ct A C Ejercicio 3

JJ

II

J

I

J Doc

Doc I

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Soluciones a los Ejercicios

28

MATEMATICAS 2º Bachillerato r=A+lu

Ejercicio 4.

A

4 2 0 −2 −1 1 b) B + C t = 2 5

a) 2 · A =

d

3 4

B s=B+mv

SOCIALES

MaTEX Matrices

c) No es posible, pues dim(A) = 2 × 2 y dim(B t ) = 3 × 2. 0 10 d) A + B C = 3 4 e) No se pueden sumar matrices de distinto orden, pues

f) g) h) i)

dim(G) = 3 × 3 6= dim(B2×3 · C3×2 ) = 2 × 2   −4 6 4 G + C · B =  −5 4 9  −1 4 3 t F · B + 5 D = 4 11 32   −4 7 3 C + 2 B t =  3 14  6 10 Dt · C = −1 9 Ejercicio 4

JJ

II

J

I

J Doc

Doc I

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Soluciones a los Ejercicios

29

Ejercicio 5. Sea B =

a b c d

MATEMATICAS 2º Bachillerato

r=A+lu A

a) AB = 0, luego 1 0 a b a b 0 0 = = =⇒ 2 1 c d 2a + c 2b + d 0 0 0 0 a = b = c = d = 0 =⇒ B = 0 0

d B s=B+mv

SOCIALES

MaTEX Matrices

b) AB = BA

1 0 a b a b AB = = 2 1 c d 2a + c 2b + d a b 1 0 a + 2b b BA = = c d 2 1 c + 2d d Igualando se obtiene a = d y b = 0 , quedando las matrices buscadas de la forma a 0 B= c a Ejercicio 5

JJ

II

J

I

J Doc

Doc I

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Soluciones a los Ejercicios

30

MATEMATICAS 2º Bachillerato

a −3 2 4 2 a −3 a 2 a +9 t AA = = 2 4 −3 4 2a − 12

r=A+lu A

Ejercicio 6. Sea A =

d

2a − 12 20

B s=B+mv

SOCIALES

t

Si A A es una matriz diagonal entonces 2a − 12 = 0 =⇒ a = 6. Ejercicio 6

MaTEX Matrices

JJ

II

J

I

J Doc

Doc I

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Soluciones a los Ejercicios

31

MATEMATICAS 2º Bachillerato r=A+lu

Ejercicio 7.

A

1 0 1  A2 =  10 1 1 0 10  1 0 1  A + A2 =  10 1 1 0 10

    1 0 0 1 0 0 0  1  2      0   10 1 0 =  10 1 0  1  2  1 0 1 0 1 10 10      0 1 0 0 2 0 0  2  3      0  +  10 1 0 =  10 2 0  2  3  1 0 1 0 2 10 10 Ejercicio 7

d B s=B+mv

SOCIALES

MaTEX Matrices



JJ

II

J

I

J Doc

Doc I

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Soluciones a los Ejercicios

32

MATEMATICAS 2º Bachillerato r=A+lu

Ejercicio 8.

A

A2 =

2 5 2 5 14 5 · = 2 −1 2 −1 2 11

d B s=B+mv

luego

SOCIALES

14 + 2a + b 2 + 2a obteniendo a = −1 y b = −12.

5 + 5a 11 − a + b

=

0 0

0 0

MaTEX

Ejercicio 8

Matrices

JJ

II

J

I

J Doc

Doc I

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Soluciones a los Ejercicios

33

MATEMATICAS 2º Bachillerato r=A+lu

Ejercicio 9.

A

A · B x 2 0 3 −1   1 u 1 1

= 0   y 0 0 2 = 0 0  v 0 0    x+2 y+4 0 0  2x + 3 − u 2y + 6 − v  =  0 0  1+u 2+v 0 0 Igualando queda el sistema de ecuaciones  x+2=0  x = −2    y+4=0  y = −4   2x + 3 − u = 0 2y + 6 − v = 0    1+u=0  u = −1    2+v =0 v = −2 1  2 0 

d B s=B+mv

SOCIALES

MaTEX Matrices



Ejercicio 9

JJ

II

J

I

J Doc

Doc I

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Soluciones a los Ejercicios

34

MATEMATICAS 2º Bachillerato r=A+lu

Ejercicio 10.

A

C 2 =(Id − A)2 = =(Id − A)(Id − A) =

d B s=B+mv

SOCIALES

=Id2 − Id · A − A · Id + A2 = =Id − A − A + A2 = =Id − A − A + A = =Id − A = C

Matrices

MaTEX Ejercicio 10

JJ

II

J

I

J Doc

Doc I

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Soluciones a los Ejercicios

35

MATEMATICAS 2º Bachillerato r=A+lu

Ejercicio 11.

A

B 2 =(2A − Id )(2A − Id ) =4 A − 2A · Id − 2Id · A + =4A − 2A − 2A + Id = Id

(B = 2A − I) Id2

d

(A2 = A)

B s=B+mv

SOCIALES

Ejercicio 11

MaTEX Matrices

2

JJ

II

J

I

J Doc

Doc I

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Soluciones a los Ejercicios

MATEMATICAS 2º Bachillerato r=A+lu A

0 1

d B s=B+mv

Ejercicio 12

SOCIALES

MaTEX Matrices

Ejercicio 12. Comprobamos que A · A−1 = I2 , 2 1 1 −1 1 · = 1 1 −1 2 0

36

JJ

II

J

I

J Doc

Doc I

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37

−1 Prueba del Teorema 4.1. Supongamos que hay dos inversas A−1 1 y A2 . A partir de Id = A · A−1 multiplicando por A−1 2 1 −1 −1 A−1 por asociativa 1 = A1 · (A · A2 ) −1 −1 −1 −1 A1 = (A1 · A) · A2 = Id · A−1 2 = A2 −1 −1 Se concluye que A1 = A2 . Luego si existe la inversa debe ser u ńica.

MATEMATICAS 2º Bachillerato r=A+lu A

d B s=B+mv

SOCIALES

J

MaTEX Matrices

Soluciones a los Teoremas

JJ

II

J

I

J Doc

Doc I

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Soluciones a los Ejercicios

38

MATEMATICAS 2º Bachillerato r=A+lu

Ejercicio 14.

A

1 1

1 1

1 1 1 1

=

2 2

2 2 1 1 = 2 2 1 1 Hacemos como hipótesis de inducci´ on para An : n−1 2 2n−1 An = 2n−1 2n−1 A3 = A2 · A =

2 2

d B s=B+mv

4 4

4 4

SOCIALES

MaTEX Matrices

A2 =

y comprobamos que: An+1 = An · A =

2n−1 2n−1

2n−1 2n−1

1 1

1 1

=

2n 2n

2n 2n

Ejercicio 14

JJ

II

J

I

J Doc

Doc I

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Soluciones a los Ejercicios

39

MATEMATICAS 2º Bachillerato r=A+lu

Ejercicio 15.

A

1 A2 =  0 0

1 1 0 









1 1 1 1 1 2 3 1  0 1 1  =  0 1 2  1 0 0 1 0 0 1     1 2 3 1 1 1 1 3 6 A3 = A2 · A =  0 1 2   0 1 1  =  0 1 3  0 0 1 0 0 1 0 0 1 Indagamos la secuencia 1, 3, 6, 10, · · · , 1 2 3 4 ··· 1 3 6 10 ··· 2·1 3·2 4·2 5·2 ··· 2 2 2 2 n y tenemos como hipótesis de inducci´ on para A :   (n + 1)n 1 n   2 An =  0 1  n n elemento a13

0

0

d B s=B+mv

SOCIALES

MaTEX Matrices



n (n + 1)n 2

1 JJ

II

J

I

J Doc

Doc I

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Soluciones a los Ejercicios

40

MATEMATICAS 2º Bachillerato r=A+lu

En efecto:

A

1 n

 An+1 = An · A =  0 1 0 0  1 n+1  = 0 1 0

0

(n + 1)n 1 1  2 0 1  n 0 0 1  (n + 2)(n + 1)  2  n+1 1 

 1 1 = 1

d B s=B+mv

SOCIALES

MaTEX Matrices



Ejercicio 15

JJ

II

J

I

J Doc

Doc I

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Soluciones a los Ejercicios

41

MATEMATICAS 2º Bachillerato r=A+lu

Ejercicio 16.

A

3 2 1 −2

2 3 −2 9 2 A = = −2 1 −6 −5 −2 − 2x − y 9 − 3x 0 A2 − x A − y I = = −6 + 2x −5 − x − y 0  −2 − 2x − y = 0    9 − 3x = 0 y = −8 =⇒ x = 3 −6 + 2x = 0    −5 − x − y = 0

d B s=B+mv

0 0

SOCIALES

MaTEX Matrices

Ejercicio 16

JJ

II

J

I

J Doc

Doc I

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Soluciones a los Ejercicios

42

MATEMATICAS 2º Bachillerato r=A+lu

Ejercicio 17. a)

A



1 A= 4 7

2 5 8

  3 1 (1) 6  =  3 9 3

El rango de la matriz es r(A) = 2.

2 3 3

  3 1 (2) 3  =  3 3 0

2 3 0

 3 3  0

(1) Efectuamos f3 − f2 , f2 − f1 (2) f3 − f2

d B s=B+mv

SOCIALES

MaTEX

b) 1  2 B=  3 2

2 2 4 4

  3 1 2 3 (1)  0 −2 −5 1   =   0 −2 −4 5  6 0 0 0

El rango de la matriz es r(B) = 3.





 1 2 3  (2)  0 −2 −5   =     0 0 −1  0 0 0

Matrices



(1) Efectuamos f2 − 2f1 , f3 − 3f1 y f4 − 2f1 (2) Efectuamos f3 − f2

Ejercicio 17

JJ

II

J

I

J Doc

Doc I

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Soluciones a los Ejercicios

43

MATEMATICAS 2º Bachillerato r=A+lu

Ejercicio 18. a) 

A

d

 −1 3  2k − 2

El rango depende de 2k − 2 = 0 =⇒ k = 1. ( k = 1, r(C) = 2 k 6= 1 r(C) = 3

B s=B+mv

SOCIALES

MaTEX Matrices

    1 1 1 1 −1 1 1 −1 (1) (2) 2  =  0 −2 3  = 0 −2 C =  1 −1 0 0 2 1 k 0 −1 k + 2

(1) Efectuamos f2 − f1 , f2 − 2f1 (2) 2f3 − f2

b) 

2 D =  −2 1

  4 −1 2 4 (1) 3 1  = 0 7 2 k 0 0

 −1 0  2k + 1

1 El rango depende de 2k+1 = 0 =⇒ k = − . (1) Efectuamos f2 + f1 , 2f3 − f1 2  1  k = − , r(D) = 2 2 1  k 6= − r(D) = 3 2 Ejercicio 18

JJ

II

J

I

J Doc

Doc I

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Soluciones a los Ejercicios

44

MATEMATICAS 2º Bachillerato r=A+lu

Ejercicio 19.

A

a b d e

c f





1 0 1 1 −1  = 0 −2 2

0 1

d B s=B+mv

SOCIALES

Queda un sistema lineal de 4 ecuaciones y 6 inc´ ognitas, compatible indeterminado  a + b − 2c = 1  a=1   −b + 2c = 0 b = 2c d + e − 2f = 0  d=1   −e + 2f = 1 e = 2f − 1 Todas las soluciones se pueden escribir: 1 2c c X= 1 2f − 1 f

MaTEX Matrices



Ejercicio 19

JJ

II

J

I

J Doc

Doc I

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Soluciones a los Tests

45

MATEMATICAS 2º Bachillerato r=A+lu

Soluciones a los Tests

A

Soluci´ on al Test: La propiedad simplificativa en el producto de matrices, AB = AC

⇒

d B s=B+mv

B=C

SOCIALES

−1

solo se cumple cuando existe A . Sean 2 0 1 0 A= B= 1 0 1 1

C=

1 0

0 8

MaTEX

Se tiene que 2 1

0 0

Matrices

A·B =A·C = y sin embargo B 6= C

Final del Test

JJ

II

J

I

J Doc

Doc I

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MATEMATICAS 2º Bachillerato r=A+lu A

´ Indice alfab´ etico conmutativa, 10

d

matriz, 3 columna, 3 cuadrada, 4 dimensión de, 3 escalonada, 4 fila, 3 identidad, 5, 10 inversa, 15 invertible, 15 nula, 6 opuesta, 6 por un n´ umero, 7 producto de, 8 rango de, 21 reducida, 19 regular, 15 simétrica, 4 singular, 15 suma de, 5

propiedades de la inversa, 16 de la suma, 6 de la traspuesta, 12 del producto, 10 del producto por un n´ umero, 7

B s=B+mv

SOCIALES

MaTEX Matrices

traspuesta, 12

transformaciones elementales, 19

46

JJ

II

J

I

J Doc

Doc I

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MATEMATICAS 2º Bachillerato

Proyecto

MaTEX

r=A+lu A

d B s=B+mv

Sistemas Lineales

Directorio Tabla de Contenido Inicio Art´ıculo

c 2004 [email protected]

D.L.:SA-1415-2004

MaTEX Sistemas Lineales

Fco Javier Gonz´ alez Ortiz

SOCIALES

ISBN: 84-688-8267-4

JJ

II

J

I

J Doc

Doc I

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MATEMATICAS 2º Bachillerato

1. Ecuaciones lineales 2. Sistemas de ecuaciones lineales 2.1. Sistemas equivalentes 2.2. Transformaci´ on de sistemas 2.3. Clasificaci´ on de los sistemas 3. M´ etodo de Gauss Reducido 3.1. Ecuaciones dependientes 3.2. Soluci´ on parametrizada de un sistema Soluciones a los Ejercicios Soluciones a los Tests

r=A+lu A

d B s=B+mv

SOCIALES

MaTEX Sistemas Lineales

Tabla de Contenido

JJ

II

J

I

J Doc

Doc I

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Secci´ on 1: Ecuaciones lineales

3

r=A+lu

1. Ecuaciones lineales

A

Definici´ on 1.1 Una ecuaci´ on lineal, con n inc´ ognitas, es una expresi´ on del tipo a1 x1 + a2 x2 + · · · + an xn = b donde las inc´ ognitas x1 , x2 , · · · , xn est´ an sometidas a operaciones de suma y producto por n´ umeros.

d B s=B+mv

SOCIALES

MaTEX

ln x + 2 = y

Un sistema lineal es aquel que consta u ńicamente de ecuaciones lineales, como por ejemplo 3x − 2y + 4z = 3 y − 17z = −33 20y − 19z = −18 o por ejemplo x + 2y − 3z + t = 34 2x + y + z − 2t = 5 El problema central del álgebra lineal es la resoluci´ on de sistemas de ecuaciones lineales.

Sistemas Lineales

No son lineales por ejemplo las ecuaciones: √ x + 2y = 1 x2 − y + 5 = 0

MATEMATICAS 2º Bachillerato

JJ

II

J

I

J Doc

Doc I

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Secci´ on 2: Sistemas de ecuaciones lineales

4

r=A+lu

2. Sistemas de ecuaciones lineales

A

A toda n−tupla (x1 , x2 , · · · , xn ) que cumpla las ecuaciones de (S) se le llama soluci´ on del sistema. Los sistemas más fáciles de resolver son los sistemas triangulares. Ejemplo 2.1. Resolver el sistema + +

z 2z 4z

 = 1  = 4  = 4

Soluci´ on: Primero hallamos z en la tercera ecuaci´ on, z = 1. Sustituyendo en la segunda ecuaci´ on obtenemos, y = 2; y sustituyendo la primera ecuación da x = −1. A este mecanismo lo llamamos sustitución hacia atrás.

d B s=B+mv

SOCIALES

MaTEX Sistemas Lineales

Definici´ on 2.1 Un sistema de m ecuaciones lineales con n inco´ ognitas se escribe de forma genérica como:  a11 x1 +a12 x2 +a13 x3 + · · · +a1n xn = b1   a21 x1 +a22 x2 +a23 x3 + · · · +a2n xn = b2  (S) ≡ .. . ··· ··· ··· ··· = ···    am1 x1 +am2 x2 +am3 x3 + · · · +amn xn = bm

2x + y y

MATEMATICAS 2º Bachillerato

JJ

II

J

I

J Doc

Doc I

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5

Ejemplo 2.2. Obtener un sistema triangular a partir del sistema de 3 ecuaciones con tres incógnitas:  2x + y + z = 1  4x + y = −2  −2x + 2y + z = 7 Restamos de la segunda ecuaci´ on, la primera multiplicada por 2, y sumamos a la tercera ecuaci´ on, la primera. Obtenemos as´ı un sistema equivalente al anterior:  2x + y + z = 1  − y − 2z = −4  3y + 2z = 8 Ahora, con la segunda y tercera ecuaci´ on eliminamos y, Sumamos a la tercera ecuaci´ on la segunda multiplicada por 3:  2x + y + z = 1  − y − 2z = −4  − 4z = −4 La solución como antes es, z = 1, y = 2 y x = −1. Al proceso seguido se le llama eliminaci´ on gaussiana o método de Gauss . Cuando el sistema tiene solución decimos que es compatible.

MATEMATICAS 2º Bachillerato r=A+lu A

d B s=B+mv

SOCIALES

MaTEX Sistemas Lineales

Secci´ on 2: Sistemas de ecuaciones lineales

JJ

II

J

I

J Doc

Doc I

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Secci´ on 2: Sistemas de ecuaciones lineales

6

2.1. Sistemas equivalentes Definici´ on 2.2 Dos sistemas con las mismas inc´ ognitas y con la misma soluci´ on se llaman equivalentes. Por ejemplo 3x − 2y = 9 3x − 2y = 9 2x + 2y = 6 x + y = 3 son equivalentes pues tienen la misma soluci´ on x = 3 y = 0.

MATEMATICAS 2º Bachillerato r=A+lu A

d B s=B+mv

SOCIALES

MaTEX

¿Qué tipo de transformaciones podemos realizar en un sistema para que siga siendo equivalente?. Como vimos en el ejemplo inicial, resuelto por eliminación gaussiana, tres cosas podemos realizar en un sistema para conseguir otro equivalente: ☞Intercambiar de posici´ on dos ecuaciones entre si. ☞Multiplicar una ecuaci´ on por un n´ umero.

Sistemas Lineales

2.2. Transformaci´ on de sistemas

☞Sumar a una ecuaci´ on un m´ ultiplo de otra. JJ

II

J

I

J Doc

Doc I

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Secci´ on 2: Sistemas de ecuaciones lineales

7

r=A+lu

Ejemplo 2.3. Resolver por eliminaci´ on gaussiana el sistema:  3x − 2y + 4z = 3  5x − 3y + z = −6  4x + 4y − z = −2

A

d B s=B+mv

SOCIALES

− − +

2y 3y 4y

+ + −

4z z z

= = =

 3  3f2 −5f1 −6 ≡  −2

3x

−

4x

+

2y y 4y

+ − −

4z 17z z

= = =

 3  −33  −2

después restamos a la tercera multiplicada por 3 la primera multiplicada por 4:  3x − 2y + 4z = 3  3f3 −4f1 y − 17z = −33 ≡  20y − 19z = −18 y por u ´ltimo, restamos a la tercera ecuaci´ on la segunda multiplicada por 20:  3x − 2y + 4z = 3  f3 −20f2 y − 17z = −33 ≡  321z = 642 Ahora por sustitución hacia atr´ as se obtiene, z = 2; y = 1 y x = −1. Cuando un sistema tiene una u ńica soluci´ on diremos que es Compatible Determinado.

MaTEX Sistemas Lineales

Soluci´ on: El primer paso es multiplicar la segunda ecuación o fila por 3 y restarle la primera por 5, lo abreviaremos como 3f2 − 5f1 3x 5x 4x

MATEMATICAS 2º Bachillerato

JJ

II

J

I

J Doc

Doc I

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Secci´ on 2: Sistemas de ecuaciones lineales

8

r=A+lu

Ejemplo 2.4. Resolver por el método de Gauss el sistema:  3x − 2y + z = 1  x + y − z = 2  6x + y − 2z = 7

A

d B s=B+mv

SOCIALES

3x x 6x

− + +

2y y y

+ − −

z z 2z

= = =

−

2y 5y 5y

+ − −

z 4z 4z

= = =

 1  5  5

y por u ´ltimo, restamos a la tercera ecuaci´ on la segunda f3 −f2

−−−−→

3x

−

2y 5y

+ −

z 4z 0

= = =

 1  y =1+ 5 =⇒  x=1+ 0

4 z 5 1 z 5

Resulta que la u ´ltima ecuaci´ on es linealmente dependiente de las otras. Hay infinitas soluciones seg´ un demos valores a la variable libre z. Cuando un sistema tiene infinitas soluciones diremos que es Compatible Indeterminado

MaTEX Sistemas Lineales

Soluci´ on: En un primer paso eliminamos x en la 2a y 3a ecuaci´ on con, 3f2 −f1 y f3 −2 f1  1  3x 3f2 − f1 2 −−− −−→  f3 −2f1 7

MATEMATICAS 2º Bachillerato

JJ

II

J

I

J Doc

Doc I

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Secci´ on 2: Sistemas de ecuaciones lineales

9

r=A+lu

Ejemplo 2.5. Resolver por el método de Gauss el sistema :  3x − 2y + z = 1  x + y − z = 2  6x + y − 2z = 7

A

d B s=B+mv

SOCIALES

Soluci´ on: − + +

2y y y

+ − −

z z 2z

= = =

 1  3x 3f2 −f1 2 −−− −−→  f3 −2 f1 10

−

2y 5y 5y

+ − −

z 4z 4z

= = =

MaTEX

 1  5  7

y por u ´ltimo, restamos a la tercera ecuaci´ on la segunda  3x − 2y + z = 1  f3 −f2 5y − 4z = 5 −−−−→  0 = 2 Resulta que la u ´ltima ecuaci´ on es absurdo. El sistema inicial es equivalente a un sistema que no tiene solución. Cuando un sistema no tiene soluci´ on, diremos que es Incompatible

Sistemas Lineales

3x x 6x

MATEMATICAS 2º Bachillerato

JJ

II

J

I

J Doc

Doc I

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Secci´ on 2: Sistemas de ecuaciones lineales

10

2.3. Clasificaci´ on de los sistemas De los tres ejemplos vistos anteriormente seg´ un un sistema tenga solución u ńica o infinitas o bien no tenga soluci´ on podemos establecer la siguiente clasificación:

MATEMATICAS 2º Bachillerato r=A+lu A

d B s=B+mv

SOCIALES

MaTEX

        

Incompatible

 Determinado     on u ńica)  (Soluci´   Indeterminado    (Infinitas soluciones) No tiene soluci´ on

Sistemas Lineales

Sistema

          Compatible

JJ

II

J

I

J Doc

Doc I

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Secci´ on 3: M´ etodo de Gauss Reducido

11

MATEMATICAS 2º Bachillerato r=A+lu

3. M´ etodo de Gauss Reducido

A

Omitimos las incógnitas y almacenamos en dos cajas-matrices los coeficientes junto con los términos independientes. Designamos a la matriz de los coeficientes como A y a la matriz mayor de los coeficientes junto con los términos independientes la matriz ampliada AM . A

}| { 3 −2 4  5 −3 1 4 4 −1 | {z z 

AM

 3 −6  −2 }

Para su discusión y resoluci´ on realizamos como anteriormente las transformaciones elementales pertinentes para triangular el sistema, la u ńica diferencia

d B s=B+mv

SOCIALES

MaTEX Sistemas Lineales

El método de eliminaci´ on que hemos aprendido se realiza de forma esquemática omitiendo las inc´ ognitas y fij´ andonos u ńicamente en los coeficientes y los términos independientes del sistema . Sea el sistema de ecuaciones:  3x − 2y + 4z = 3  5x − 3y + z = −6  4x + 4y − z = −2

JJ

II

J

I

J Doc

Doc I

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Secci´ on 3: M´ etodo de Gauss Reducido

12

r=A+lu A



3 −33  −18

A continuación restando a la f3 la f2 por 20 obtenemos la matriz de los coeficientes de forma triangular   3 −2 4 3 f3 −20 f2 1 −17 −33  −−−−−→  0 0 0 321 642 El nuevo sistema se resuelve por sustituci´ on hacia atr´ as: 321 z = 642 ⇒ z = 2

entrando en la f2

y − 17 (2) = −33 ⇒ y = 1 entrando en la f1 3 x − 2 (1) + 4 (2) = 3 ⇒ x = −1

Ejercicio 1. Resolver por el método de Gauss reducido el sistema :  x+y+z = 3  2x + 3y − 5z = 0  3x − y + 2z = 2

d B s=B+mv

SOCIALES

MaTEX Sistemas Lineales

es que no escribimos las incognitas.    3 3 −2 4 3 −2 4 3f3 −4f1 3f2 −5f1 1 −17 −33  −−−−−→  0 1 −17 −−−−−→  0 −2 4 4 −1 0 20 −19

MATEMATICAS 2º Bachillerato

JJ

II

J

I

J Doc

Doc I

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13

Ejemplo 3.1. Resolver por el método de Gauss reducido el sistema:  x + y + z= 5  2x − y + z = 11  3x + 2z = 17 Soluci´ on: 

   5 1 1 1 5 f2 −2f1 11  −−−−→  0 −3 −1 1  f3 −3f1 17 0 −3 −1 2   1 1 1 5 f3 −f2 −−−−→  0 −3 −1 1  0 0 0 2 La u ´ltima ecuación se reduce a 0 = 2, que es absurdo luego sistema es incompatible y no tiene solución. 1 1 1  2 −1 1 3 0 2

Ejercicio 2. Resolver por el método de Gauss reducido el sistema :  2x + 3y + 4z = 9  −4x + y = 1  3x + y + 2z = 0

MATEMATICAS 2º Bachillerato r=A+lu A

d B s=B+mv

SOCIALES

MaTEX Sistemas Lineales

Secci´ on 3: M´ etodo de Gauss Reducido

JJ

II

J

I

J Doc

Doc I

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Secci´ on 3: M´ etodo de Gauss Reducido

14

r=A+lu

3.1. Ecuaciones dependientes

A

Cuando en el proceso de reducci´ on-eliminaci´ on nos encontramos con una fila de ceros, corresponde a una ecuaci´ on que es dependiente de las otras.

y 2y 5y 3y

+ − − +

2z 7z 16z 5z

= = = =

MaTEX

 2    9 16    −7

Soluci´ on: 

1  0 − −−−−−−− →  0 f4 −2f1 0 f2 − 3f1 f3 − 5f1

−1 5 10 5

2 −13 −26 1

  2  3  f3 −2f2  −−−−−→  6  f4 −f2  −11

1 0 0 0

−1 5 0 0

2 −13 0 14

 2 3   0  −14

Observese que la tercera fila-ecuaci´ on se reduce a la identidad 0 = 0. Decimos que la tercera ecuación es linealmente dependiente de las otras ecuaciones. El nuevo sistema triangular se resuelve por sustituci´ on hacia atrás: 14 z = −14 ⇒ z = −1

entrando en la f2

5 y − 13 (−1) = 3 ⇒ y = −2

entrando en la f1

x − (−2) + 2(−1) = 2 ⇒ x = 2

Sistemas Lineales

− + + +

d B s=B+mv

SOCIALES

Ejemplo 3.2. Resolver por el método de Gauss el sistema: x 3x 5x 2x

MATEMATICAS 2º Bachillerato

JJ

II

J

I

J Doc

Doc I

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Secci´ on 3: M´ etodo de Gauss Reducido

Ejemplo 3.3. Comprobar que en el siguiente dependientes x − y + 2z = x + z= 2x − y + 3z = y − z=

15

MATEMATICAS 2º Bachillerato

A

sistema hay dos ecuaciones  2    2 4    0

r=A+lu

d B s=B+mv

SOCIALES

MaTEX



1  1   2 0

−1 0 −3 1

2 1 3 −1

  2 f2 −f1  2   −− −−−→  4  f3 −2f1  0

1 0 0 0

−1 1 −1 1

2 −1 −1 −1

  2 f3 +f1  0  − −−−→  0  f2 −f2  0

1 0 0 0

−1 1 0 0

2 −1 0 0

 2 0   0  0

Hay dos ecuaciones dependientes. El sistema se reduce a las dos primeras. Es compatible indeterminado. Expresamos las soluciones de x e y en función de z. y− z=0⇒ y=z

Sistemas Lineales

Soluci´ on:

entrando en la f2

x − y + 2z = 2 ⇒ x = 2 − z

JJ

II

J

I

J Doc

Doc I

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Secci´ on 3: M´ etodo de Gauss Reducido

16

3.2. Soluci´ on parametrizada de un sistema Cuando un sistema es compatible indeterminado es decir tiene infinitas soluciones podemos elegir inc´ ognitas que toman valores libres y expresar las incógnitas principales en funci´ on de estas inc´ ognitas libres o secundarias. ametros. A las incógnitas libres tambien les llamamos par´ Por ejemplo la ecuación x + y = 2 tiene infinitas soluciones. Si despejamos x en función de y las soluciones se pueden obtener de la expresión

MATEMATICAS 2º Bachillerato r=A+lu A

d B s=B+mv

SOCIALES

MaTEX

dando valores a y. Si expresamos y como un valor que puede ser arbitarrio λ x = 2− λ λ∈R y = λ Podemos dar valores a λ y obtenemos sucesivas soluciones, como por ejemplo λ = 0 =⇒ x = 2 y=0 λ = 1 =⇒ x = 1 y=1 λ = 2 =⇒ x = 0 y = 2 · · · Hay tantas incógnitas principales como ecuaciones, las demás pasan a ser secundarias o parámetros, y pasan junto con el término independiente.

Sistemas Lineales

x=2−y

JJ

II

J

I

J Doc

Doc I

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17

r=A+lu

Ejemplo 3.4. Expresar la soluci´ on del sistema en forma parametrizada. x − y + z= 2 y + z= 5

A

d B s=B+mv

Soluci´ on: El sistema ya tiene forma reducida o triangular. Es compatible indeterminado, tiene infinitas soluciones. Para expresar todas las soluciones, elegimos x e y como incógnitas principales y pasamos a z al término independiente como inc´ ognita secundaria o libre. x − y = 2 −z y = 5 −z ⇒ y =5−z

MATEMATICAS 2º Bachillerato

x − (5 − z) + z = 2 ⇒ x = 7 − 2z

Quedando las soluciones expresadas de la forma x = 7 − 2z y = 5−z O también, para indicar que z toma libremente cualquier valor lo expresamos como un parámetro λ, quedando la soluci´ on en forma parametrizada   x = 7 − 2λ y = 5−λ λ∈R  z = λ

SOCIALES

MaTEX Sistemas Lineales

Secci´ on 3: M´ etodo de Gauss Reducido

JJ

II

J

I

J Doc

Doc I

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Secci´ on 3: M´ etodo de Gauss Reducido

18

r=A+lu

Ejemplo 3.5. Resolver el sistema siguiente:

A

 − z= 2  + z= 1  − 2z = 7

d B s=B+mv

SOCIALES

Soluci´ on: 

1  3 6

1 −2 1

−1 1 −2

  2 1 f2 −3f1 1  −−−−−→  0 f3 −6f1 7 0

1 −5 −5

−1 4 4

  2 1 f3 −f2 −5  −−−−→  0 −5 0

1 −5 0

−1 4 0

 2 −5  0

Es compatible indeterminado, tiene infinitas soluciones. Para expresar todas las soluciones, elegimos x e y como incógnitas principales y pasamos z al término independiente como inc´ ognita secundaria o libre. 4 −5 y = −5 − 4 z ⇒ y = 1 + z 5

entrando en la f1

4 1 x + (1 + z) − z = 2 ⇒ x = 1 + z 5 5

y en forma parametrizada

  x   

=

y     z

= =

1 λ 5 4 1+ λ 5 λ 1+

MaTEX Sistemas Lineales

x + y 3x − 2y 6x + y

MATEMATICAS 2º Bachillerato

JJ

II

J

I

J Doc

Doc I

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Secci´ on 3: M´ etodo de Gauss Reducido

19

r=A+lu

Inicio del Test Responder a: 1. Un sistema que tiene soluci´ on es

A

d

determinado compatible 2. Un sistema que no tiene soluci´ on es

incompatible

determinado compatible 3. Un sistema que con soluci´ on u ńica es

incompatible

Puntos:

indeterminado

B s=B+mv

SOCIALES

MaTEX

incompatible

Correctas

Test. Sea el sistema

x+y = 2 2x + 2y = ? el valor de ? para que sea compatible indeterminado es (a) cualquiera (b) 2 (c) 4 Ejercicio 3. Resolver por el método de Gauss el sistema :  x − 2y − 3z = 2  3x + y + z = 3  x + 5y + 7z = −1

Sistemas Lineales

determinado Final del Test

MATEMATICAS 2º Bachillerato

JJ

II

J

I

J Doc

Doc I

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Ejercicio 4. Resolver por el método de Gauss el sistema :  x + 5y + 2z = 8  3x − y − 2z = 8  2x − z = 6 Ejercicio 5. Resolver por el método de Gauss el sistema : 2x + y − z + t = 3 z + 2t = 3 Ejercicio 6. Resolver por el método de Gauss el siguiente sistema:  x + y + z + t= 5    2x − y + z + 2t = 11 x − y + 2z − 2t = 0    x + 2y + 3t = 8

20

MATEMATICAS 2º Bachillerato r=A+lu A

d B s=B+mv

SOCIALES

MaTEX Sistemas Lineales

Secci´ on 3: M´ etodo de Gauss Reducido

JJ

II

J

I

J Doc

Doc I

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Soluciones a los Ejercicios

21

r=A+lu

Soluciones a los Ejercicios

A

Ejercicio 1. 

d

De la tercera ecuación sacamos z =

31 . 29

43 29

y de la primera ecuación obtenemos x =

13 . 29 Ejercicio 1

B s=B+mv

SOCIALES

MaTEX Sistemas Lineales

   1 1 1 3 1 1 1 3 f2 −2 f1  2 3 −5 0  −−−−−→  0 1 −7 −6  f3 −3 f1 3 −1 2 2 0 −4 −1 −7   1 1 1 3 f3 +4 f2 −6  Compatible Determinado −−−−−→  0 1 −7 0 0 −29 −31

De la segunda despejando y =

MATEMATICAS 2º Bachillerato

JJ

II

J

I

J Doc

Doc I

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Soluciones a los Ejercicios

r=A+lu A







9 3 4 9 2 3 4 f2 +2 f1 1 0 1  −−−−−−→  0 7 8 −8  2 f3 −3 f1 1 2 0 0 −7 −8 −27   2 3 4 9 f3 +f2 19  Sistema Incompatible −−−−→  0 7 8 0 0 0 −27

2  −4 3

MATEMATICAS 2º Bachillerato

d B s=B+mv

SOCIALES

MaTEX Ejercicio 2

Sistemas Lineales

Ejercicio 2. 

22

JJ

II

J

I

J Doc

Doc I

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Soluciones a los Ejercicios

MATEMATICAS 2º Bachillerato r=A+lu A







2 2 1 −2 −3 1 −2 −3 f2 −3 f1  3 1 1 7 10 −3  3  −−−−−→  0 f3 − f1 1 5 7 −1 0 7 10 −3   1 −2 −3 2 f3 − f2 7 10 −3  Compatible Indeterminado −−−−→  0 0 0 0 0 La tercera ecuación es linealmente dependiente de las otras. Elegimos como variable libre z = λ. 3 10 λ y luego despejamos x en la 1a Despejamos en la 2a ecuaci´ on y = − − 7 7 ecuación, obtenemos las infinitas soluciones en forma parametrizada:  8 1  x = + λ   7 7  3 10 y = − − λ   7 7   z = λ

d B s=B+mv

SOCIALES

MaTEX Sistemas Lineales

Ejercicio 3. 

23

Ejercicio 3 JJ

II

J

I

J Doc

Doc I

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Soluciones a los Ejercicios

24

MATEMATICAS 2º Bachillerato r=A+lu

Ejercicio 4. 

A





8 1 5 2 f2 −3 f1 8  −−−−−→  0 −16 −8 f3 −2 f1 6 0 −10 −5

1 5 2 8 f3 −5 f2 −−−−−−→  0 −16 −8 0 0 0



8 −16  −10



8 −16  es compatible indeterminado 0

La tercera ecuación es linealmente dependiente de las otras. Elegimos como variable libre z = λ. 1 Despejando en la segunda ecuaci´ on y = 1 − λ y despejando x en la primera 2 ecuación, obtenemos las infinitas soluciones en forma parametrizada son:  1  x = 3+ λ   2  1 y = 1− λ   2   z = λ Ejercicio 4

d B s=B+mv

SOCIALES

MaTEX Sistemas Lineales

1 5 2  3 −1 −2 2 0 −1



JJ

II

J

I

J Doc

Doc I

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Soluciones a los Ejercicios

MATEMATICAS 2º Bachillerato r=A+lu A

2 1 −1 1 0 0 1 2

3 3

d

es compatible indeterminado

B s=B+mv

Elegimos como variables libres t = λ y x = µ. Despejando en la 2a ecuaci´ on z = 3 − 2 λ y despejando y en la 1a ecuación, y = 3 − 2 µ + 3 − 2 λ − λ = 6 − 2 µ − 3 λ. Quedando las infinitas soluciones en forma parametrizada como:  x = µ    y = 6 − 2µ − 3λ z = 3 − 2λ    t = λ Ejercicio 5

SOCIALES

MaTEX Sistemas Lineales

Ejercicio 5.

25

JJ

II

J

I

J Doc

Doc I

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Soluciones a los Ejercicios

26

r=A+lu

Ejercicio 6.

A

1  0   0 0

1 −3 −2 1

1 −1 1 −1

1 0 −3 2

  5 1  0 1  ∼ −5   0 3 0

1 1 −3 −2

1 −1 −1 1

1 2 0 −3

 5 3   1  −5

Hemos intercambiado la f4 a la f2 por comodidad para conseguir como pivote un 1. Reducimos con f3 + 3f2 y f4 + 2f2 .     1 1 1 1 5 5 1 1 1 1  0 1 −1 2  3  2 3    4f4 −f3  0 1 −1   0 0 −4 6 10  −−−−→  0 0 −4 6 10  1 0 0 −1 1 0 0 0 −2 −6 El nuevo sistema triangular se resuelve por sustituci´ on hacia atrás: −2 t = −6 ⇒ t = 3

entrando en la f3

−4 z + 6 (3) = 10 ⇒ z = 2

entrando en la f2

y − (2) + 2 (3) = 3 ⇒ y = −1

entrando en la f1

d B s=B+mv

SOCIALES

MaTEX Sistemas Lineales

 f2 − 2f1 f3 − f1 f4 − f1

MATEMATICAS 2º Bachillerato

x + (−1) + (2) + (3) = 5 ⇒ x = 1 Ejercicio 6

JJ

II

J

I

J Doc

Doc I

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27

Soluciones a los Tests Soluci´ on al Test: El n´ umero buscado es 4, pues para que sea compatible indeterminado la segunda ecuaci´ on debe ser el doble de la primera. Final del Test

MATEMATICAS 2º Bachillerato r=A+lu A

d B s=B+mv

SOCIALES

MaTEX Sistemas Lineales

Soluciones a los Tests

JJ

II

J

I

J Doc

Doc I

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MATEMATICAS 2º Bachillerato r=A+lu A

´ Indice alfab´ etico compatible, 5 determinado, 7 indeterminado, 8

d B s=B+mv

SOCIALES

MaTEX Sistemas Lineales

ecuación lineal, 3 no lineal, 3 ecuaciones dependientes, 14 incompatible, 9 método de Gauss, 5, 8 simplificado, 11 sistema clasificación, 10 equivalentes, 6 general, 4 transformación de, 6 triangular, 4 solución parametrizada, 16 28

JJ

II

J

I

J Doc

Doc I

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MATEMATICAS 2º Bachillerato

Proyecto

MaTEX

r=A+lu A

d B s=B+mv

Determinantes

SOCIALES

MaTEX Determinantes

Fco Javier Gonz´ alez Ortiz

Directorio Tabla de Contenido Inicio Art´ıculo

c 2004 [email protected]

D.L.:SA-1415-2004

ISBN: 84-688-8267-4

JJ

II

J

I

J Doc

Doc I

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MATEMATICAS 2º Bachillerato

1. Introducci´ on 2. Determinantes 2.1. Propiedades 2.2. C´ alculo de determinantes con las propiedades 3. Determinantes de orden superior 3.1. Adjunto de un elemento 3.2. Desarrollo de un determinante por adjuntos 4. Aplicaciones de los determinantes 4.1. Inversa de una matriz • Inversa de una matriz 2 × 2 • Inversa de una matriz 3 × 3 4.2. C´ alculo del rango de una matriz • Menores de una matriz • Método pr´ actico 4.3. Resoluci´ on de un sistema • Método de la inversa. • Regla de Cramer • Teorema de RoucheFrobenius Soluciones a los Ejercicios Soluciones a los Tests

r=A+lu A

d B s=B+mv

SOCIALES

MaTEX Determinantes

Tabla de Contenido

JJ

II

J

I

J Doc

Doc I

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3

1. Introducci´ on Los determinantes hist´ oricamente son previos a las matrices. Si bien su importancia en un principio fué mayor en la actualidad el concepto de matriz ha resultado más fértil. En el cap´ıtulo de sistemas hemos aprendido a resolver sistemas por el método de Gauss. La idea de expresar las soluciones en función de los coeficientes y los términos independientes llev´ o a Leibnitz en el siglo XVII, a la teor´ıa de los determinantes. El uso de determinantes nos permitir´ a Calcular la inversa de una matriz

MATEMATICAS 2º Bachillerato r=A+lu A

d B s=B+mv

SOCIALES

MaTEX Determinantes

Secci´ on 1: Introducci´ on

Expresar la solución de un sistema de ecuaciones y Determinar el rango de una matriz. 2. Determinantes Definici´ on 2.1 Sea A una matriz de orden 2, llamamos determinante de la matriz A y lo representamos como |A|, al n´ umero a b = ad − bc |A| = (1) c d

JJ

II

J

I

J Doc

Doc I

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Secci´ on 2: Determinantes

4

MATEMATICAS 2º Bachillerato r=A+lu

2.1. Propiedades

A

λa c

λ b =λ d

a b c d

d B s=B+mv

SOCIALES

MaTEX Determinantes

D1 El determinante es una funci´ on lineal de cualquiera de sus filas o columnas. Como las operaciones lineales con vectores son la suma y producto por un escalar, en realidad esta propiedad expresa dos reglas: a + a0 b + b0 a b a0 b0 = + (D1a) c d c d c d (D1b)

D2 El determinante cambia de signo cuando se intercambian dos l´ıneas consecutivas, c d = cb − ad = − a b (D2) a b c d D3 El determinante de la matriz identidad es 1, 1 0 0 1 =1

(D3)

D4 Si dos l´ıneas paralelas de A son iguales, el determinante es nulo, a b (D4) a b = ab − ba = 0

JJ

II

J

I

J Doc

Doc I

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5

D5 Si sumamos a una linea de A un m´ ultiplo de otra linea paralela, el determinante no varia, a+kc b+kd a b = +k c d = a b (D5) c d c d c d c d D6 Si A tiene una linea nula, el determinante es nulo, a 0 c 0 =0

(D6)

MATEMATICAS 2º Bachillerato r=A+lu A

d B s=B+mv

SOCIALES

MaTEX Determinantes

Secci´ on 2: Determinantes

D7 Si A es una matriz triangular, el determinante es el producto de los elementos de la diagonal, a b (D7) 0 d = ad D8 El determinante de A y de AT son iguales, a b a c c d = b d

(D8)

D9 Si una linea es m´ ultiplo de otra linea paralela, el determinante es nulo, a λa = λ a c = 0 (D9) c λc a c

JJ

II

J

I

J Doc

Doc I

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Secci´ on 2: Determinantes

6

3·2 Test. Hallar ? para que se cumpla 5

3 · 4 =? 1

2 5

4 1

MATEMATICAS 2º Bachillerato r=A+lu A

d

(b) 3

(c) 2

(d) 4

Ejercicio 1. Expresa como sumas los determinantes a+1 4 a − 1 2a + 4 a) b) a+2 7 1+a a Inicio del Test A 1. El valor de

B s=B+mv

SOCIALES

MaTEX Determinantes

(a) 1

m n = 3, hallar : partir de p q p 2m = · · · es, q 2n

−6 m 5m = · · · es, 2. El valor de p 5p 6

−4 m+p 3. El valor de p 1 Final del Test Puntos:

4

0

2

0

5

n + q = · · · es, q 6

0 Correctas

3

JJ

II

J

I

J Doc

Doc I

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Secci´ on 2: Determinantes

0 b 2. El valor de d

4

−4 c + 3d = · · · es, d

4

a + 3b 3. El valor de b c 4. El valor de d

4 a = · · · es, b

−4

4 3a 3b = · · · es, 5. El valor de −c −d 3 Final del Test Puntos:

r=A+lu A

d B s=B+mv

SOCIALES

8

a = · · · es, c

0

0

2

4 Correctas

MATEMATICAS 2º Bachillerato

MaTEX Determinantes

Inicio del Test A 1. El valor de

7

a b = 4, hallar : partir de c d 2a b = · · · es, 2c d

−1

7

12

0

1

0

−12

JJ

II

J

I

J Doc

Doc I

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Secci´ on 2: Determinantes

8

2 1 Ejemplo 2.1. Sean las matrices: A = yB= 3 2 que |A + B| = 6 |A| + |B|

5 3

MATEMATICAS 2º Bachillerato

1 , comprueba 1

r=A+lu A

d B s=B+mv

SOCIALES

Soluci´ on: En efecto, |A| = 1 y |B| = 2, sin embargo 7 2 =⇒ |A + B| = 9 6= |A| + |B| = 3 A+B = 6 3

MaTEX

Ejemplo 2.2. Sean las matrices: A =

2 3

1 2

yB=

5 3

Determinantes

1 , comprueba 1

que se verifica |A · B| = |A| · |B| Soluci´ on: En efecto, |A| = 1 y |B| = 2, y se verifica que 13 3 A·B = =⇒ |A · B| = 2 = |A| · |B| = 2 21 5 Teorema 2.1. Regla de Laplace Si A y B son dos matrices cuadradas se cumple

JJ

II

J

I

Regla de Laplace |A · B| = |A| · |B|

J Doc

Doc I

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Secci´ on 2: Determinantes

9

r=A+lu

2.2. C´ alculo de determinantes con las propiedades

A

La idea consiste en aplicar las propiedades y transformar el determinante hasta conseguir uno de forma triangular para aplicar la propiedad D7. 1 a b+c Ejemplo 2.3. Demostrar que: 1 b c + a = 0. 1 c a+b Soluci´ on: Usando las propiedades: 1 a b+c (1) 1 a + b + c b + c 1 b c+a = 1 b+c+a c+a = (D5) 1 c a+b 1 c+a+b a+b 1 1 b+c (2) = (a + b + c) 1 1 c + a = (D1) 1 1 a+b (1) Sumamos a la c2 la columna c3 . (2) Factor com´ un a + b + c en la c2 .

(D4)

d B s=B+mv

SOCIALES

MaTEX Determinantes

Las propiedades expuestas para determinantes de orden 2 son válidas para determinantes de orden superior. En las siguientes cuestiones y ejercicios se aplican a determinantes de orden 3.

=0

MATEMATICAS 2º Bachillerato

JJ

II

J

I

J Doc

Doc I

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Secci´ on 2: Determinantes

2 Soluci´ on: 4 3

(1) Cambiamos c2 con c1 . (3) Factor com´ un 2 en la f2 .

MATEMATICAS 2º Bachillerato r=A+lu A

d B s=B+mv

SOCIALES

MaTEX Determinantes

Ejemplo 2.4.

10

2 −1 3 1 5 Calcular con las propiedades: 4 3 3 −2 −1 2 −1 2 3 −1 3 3 (1) (2) 1 5 = − 1 4 5 = − 0 6 8 = 3 3 −2 0 9 7 3 −2 −1 2 3 −1 2 3 (3) (4) 4 = −30 = −2 0 3 4 = −2 0 3 0 9 7 0 0 −5 (2) Reducimos con f2 + f1 y f3 + 3 f1 . (4) Reducimos con f3 − 3 f2

Ejercicio 2. Indicar qué propiedad hemos aplicado en las igualdades: 1 a) 3 1

2 1 2

Ejercicio 3. 1 1 (a) a b a2 b2

3 9 3

=0

1 b) 3 1

2 1 −5

3 9 4

3 = − 9 4

Calcular los determinantes con las propiedades. 2 −2 1 1 c . 4 −5 (b) 3 2 −1 2 3 c

2 1 −5

1 3 1

JJ

II

J

I

J Doc

Doc I

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Secci´ on 3: Determinantes de orden superior

11

3. Determinantes de orden superior

MATEMATICAS 2º Bachillerato r=A+lu A

3.1. Adjunto de un elemento

Adjunto de aij = Aij   2 −1 0 3 4 , Por ejemplo en la matriz A =  1 −1 5 0 1 3 1+1 3 4 1+3 A11 = (−1) = −20 , A = (−1) 13 5 0 −1 5 = 8 1 4 2 0 = −4 = −8 A12 = (−1)1+2 , A32 = (−1)3+2 −1 0 1 4 −1 0 2 −1 =0 =7 A21 = (−1)2+1 , A33 = (−1)3+3 5 0 1 3 A22 = 0 A23 = −9 A31 = −4 siendo la matriz adjunta Adj(A)   −20 −4 8 0 0 −9  Adj(A) =  −4 −8 7

d B s=B+mv

SOCIALES

MaTEX Determinantes

Dada una matriz A = (aij ) de orden n × n se llama adjunto del elemento aij , y se denota Aij al determinante de orden n − 1 que resulta de eliminar su fila y su columna afectado del signo + o − seg´ un i + j sea par o impar,

JJ

II

J

I

J Doc

Doc I

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Secci´ on 3: Determinantes de orden superior

12

r=A+lu

3.2. Desarrollo de un determinante por adjuntos

A

Dada una matriz A = (aij ) de orden n × n el determinante de A, es la suma de los productos de los elementos de una linea por sus respectivos adjuntos, |A| = ai1 · Ai1 + ai2 · Ai2 + · · · + ain · Ain

MATEMATICAS 2º Bachillerato

(fila i)

(2)

d B s=B+mv

SOCIALES

MaTEX

+1

Desarrollamos por la tercera columna: 2 −1 0 1 = 0 1 3 +4 3 4 −1 5 −1 5 0

1 −1

4 +0 0

2 −1

−1 +0 5

1 −1

2 1

Determinantes

Sea por ejemplo el determinante de una matriz de orden 3 × 3 Desarrollamos por la primera fila: 2 −1 0 1 =2 3 4 3 4 5 0 −1 5 0

3 = −36 5

−1 = −36 3

Desarrollando en primer lugar por la primera fila y en segundo lugar por la tercera columna. Y as´ı para cualquier otra linea.

JJ

II

J

I

J Doc

Doc I

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Secci´ on 3: Determinantes de orden superior

13

En los determinantes de orden mayor de 3 conviene sacar ceros por reducción en alguna de las l´ıneas.

MATEMATICAS 2º Bachillerato r=A+lu A

d

Ejemplo 3.1. Hallar el valor del 2 3 1 3

determinante 4 2 3 1 −1 5 3 1 2 4 2 4

B s=B+mv

SOCIALES

MaTEX

(1) (2) (3) (4)

Reducimos con c2 − 3 c1 , c3 − c1 y c4 − 2 c1 . Desarrollamos con adjuntos por la f3 . Reducimos con c1 − 2c3 . Desarrollamos por la f1

Determinantes

Soluci´ on: Lo habitual es hacer ceros en alguna l´ınea y después desarrollar por adjuntos. En este caso hemos elegido hacer ceros en la fila 3a . 2 3 0 −1 2 4 2 −2 0 −1 (1) (2) −2 3 1 −1 5 3 −8 −4 −1 = = 1 −8 −4 −1 = 1 2 0 0 0 1 3 1 −5 −1 −2 3 4 2 4 3 −5 −1 −2 0 0 −1 −6 −4 (3) (4) = −2 = −6 −4 −1 = −1 −1 −1 −1 −1 −2 JJ

II

J

I

J Doc

Doc I

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14

r=A+lu

Ejemplo 3.2. Hallar el valor del determinante 2 −1 0 1 1 4 2 2 1 3 −1 −2 −1 0 4 −3

A

d B s=B+mv

SOCIALES

Soluci´ on: Vamos a hacer ceros en la primera columna usando como pivote el elemento a11 = 1, obteniendo: 2 −1 0 1 1 4 2 2 1 3 −1 −2 −1 0 4 −3

(1)

=

(3)

=

(1) (2) (3) (4)

MATEMATICAS 2º Bachillerato

MaTEX Determinantes

Secci´ on 3: Determinantes de orden superior

2 −1 0 1 2 (2) −3 6 6 2 0 −3 1 = 1 −7 1 1 1 0 −7 2 3 −3 0 2 3 −3 11 4 0 11 4 −7 1 1 (4) = −1 −19 6 = -142 −19 6 0

Efectuamos f2 − 2 f1 , f3 − 3 f1 y f4 + f1 . Desarrollamos por la c1 . Efectuamos f1 − 2 f2 y f3 + 3 f2 ,. Desarrollamos por la columna tercera.

JJ

II

J

I

J Doc

Doc I

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Secci´ on 3: Determinantes de orden superior

15

Ejercicio 4. Calcular los siguientes determinantes: 1 2 1 3 1 1 2 4 1 a) 1 1 −1 b) 0 1 −1 c) 1 −2 4 2 0 5 1 −5 6 1 2 −4 Ejercicio 5. Calcular los siguientes determinantes: 3 −3 4 5 2 1 0 −1 2 0 1 2 7 7 3 1 (a) (b) 1 2 0 5 1 −1 3 2 −2 5 6 1 1 3 −1 2

MATEMATICAS 2º Bachillerato r=A+lu A

d B s=B+mv

SOCIALES

Determinantes

MaTEX

Ejercicio 6. Calcular los siguientes determinantes: a a a a a+1 1 1 1 a b b b a+1 1 1 1 (a) (b) 1 a+1 1 a b c c 1 1 a b c d 1 1 a+1 Ejercicio 7. 0 2 1 3 (a) 10 12 21 23

Calcular los siguientes determinantes: −1 4 6 x x x x −1 5 7 x x (b) 14 16 x x −1 x x 25 27 x x −1

JJ

II

J

I

J Doc

Doc I

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Secci´ on 4: Aplicaciones de los determinantes

16

MATEMATICAS 2º Bachillerato r=A+lu

4. Aplicaciones de los determinantes

A

El uso de determinantes nos permitir´ a Calcular la inversa de una matriz

d B s=B+mv

SOCIALES

Determinar el rango de una matriz. Expresar la solución de un sistema de ecuaciones

Determinantes

MaTEX

4.1. Inversa de una matriz La construcción de la inversa de una matriz A se efect´ ua por los adjuntos. Adj(A)T

A

z

a11  a21 a31

}| a12 a22 a32

{ z

a13 A11 a23  ·  A12 a33 A13

}| A21 A22 A23

|A| Id

{

z 

}| { A31 |A| 0 0 A32  =  0 |A| 0  A33 0 0 |A|

Siendo Adj(A) la matriz adjunta de A. Como A·Adj(A)T = |A|·Id , dividiendo por |A| 1 A−1 = · Adj(A)t (3) |A| ´ n 3 se sigue que hay inversa cuando |A| no es cero. De la expresio −1

∃A

⇐⇒ |A| = 6 0

(4)

JJ

II

J

I

J Doc

Doc I

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Secci´ on 4: Aplicaciones de los determinantes

17

MATEMATICAS 2º Bachillerato r=A+lu

• Inversa de una matriz 2 × 2

A

Ejemplo 4.1. Hallar la inversa de la matriz 3 −2 A= −4 1

d B s=B+mv

SOCIALES

MaTEX

Soluci´ on:

Determinantes

3 −2 = 3 · 1 − (−4)(−2) = −5 6= 0 ⇒ A−1 a) |A| = −4 1 b) Se calculan los adjuntos de los elementos de A A11 = 1

A12 = −(−4) = 4

A21 = −(−2) = 2

A22 = 3

Matriz adjunta es: Adj(A) =

1 2

4 3

=⇒ Adj(A)t =

1 4

2 3

La inversa de A es: A−1 =

1 1 · Adj(A)t = − |A| 5

1 4

2 3

JJ

II

J

I

J Doc

Doc I

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Secci´ on 4: Aplicaciones de los determinantes

18

MATEMATICAS 2º Bachillerato r=A+lu

• Inversa de una matriz 3 × 3

A

 3 −2 −1 1 −1  Ejemplo 4.2. Hallar la inversa de la matriz A =  −4 2 0 1 Soluci´ on: a) Se calcula |A| = 1 6= 0 =⇒ ∃A−1 b) Calculamos los adjuntos: 

−1 =1 1

−4 A12 = − 2

−1 =2 1

−4 A13 = 2

SOCIALES

MaTEX Determinantes

1 A11 = 0

d B s=B+mv

1 = −2 0

−2 −1 = 2 A22 = 3 −1 = 5 A23 = − 3 −2 = −4 A21 = − 2 0 2 1 0 1 −2 −1 = 3 A32 = − 3 −1 = 5 A33 = 3 −2 = −5 A31 = −4 −1 −4 1 −1 1



1 Adj(A) =  −2 3

   2 −2 1 −2 3 5 −4  =⇒ Adj(A)T =  2 5 7  5 −5 −2 −4 −5   1 −2 3 5 7  A−1 =  2 −2 −4 −5

JJ

II

J

I

J Doc

Doc I

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Secci´ on 4: Aplicaciones de los determinantes

19

Ejercicio 8. Calcula las matrices inversas de: 1 1 3 2 a) A = b) B = 4 0 2 2     1 4 2 1 1 1 c) C =  3 7 9  d) D =  4 0 1  1 5 1 2 5 1

MATEMATICAS 2º Bachillerato r=A+lu A

d B s=B+mv

SOCIALES

MaTEX

c) A X B = I

Determinantes

Ejercicio 9. Con las matrices A y B del ejercicio anterior resuelve las ecuaciones matriciales: a) A X = B b) X A = B d) B X A = I

Ejercicio 10. Responder a las siguientes cuestiones a) ¿Es cierto que toda matriz cuadrada admite inversa? 1 b) Si |A| = 3, ¿es cierto que |A−1 | = ? 3 1 2 c) Sabiendo que |A| = − y |B| = − , siendo A y B del mismo orden, 2 3 hallar |A−1 B −1 |.

JJ

II

J

I

J Doc

Doc I

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20

4.2. C´ alculo del rango de una matriz En el cap´ıtulo de matrices ya hemos estudiado el concepto de rango. Los determinantes se pueden utilizar para determinar el rango de una matriz, basándonos en que el determinante de una matriz con una linea combinación lineal de otras paralelas es cero.

• Menores de una matriz De una matriz A se pueden extraer submatrices cuadradas. A los determinantes de dichas submatrices los llamamos menores. Sea la matriz   1 2 3 4 A= 2 4 6 8  3 6 9 13 menores de orden 2 son por ejemplo 1 3 1 4 1 2 =0 =0 2 6 2 8 =0 2 4 2 3 2 4 3 4 =0 =2 4 6 4 8 6 8 =0 1 2 1 3 1 4 =0 =0 3 6 3 9 3 13 = 1 También podemos extraer menores de orden 3, que en este caso son todos

MATEMATICAS 2º Bachillerato r=A+lu A

d B s=B+mv

SOCIALES

MaTEX Determinantes

Secci´ on 4: Aplicaciones de los determinantes

JJ

II

J

I

J Doc

Doc I

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21

nulos. En este caso, el rango como hicimos en el cap´ıtulo de matrices por reducción es,     1 2 3 4 1 2 3 4 r(A) = r  2 4 6 8  = r  0 0 0 0  = 2 3 6 9 13 0 0 0 1 pues es el n´ umero de filas no nulas de la matriz reducida. Este coincide con el mayor menor que se puede extraer de A, que es de orden 2. Si hay un menor no nulo, su orden indica el rango de la matriz. En este caso r(A) = 2. En general se tiene: El mayor menor no nulo da el rango de la matriz

MATEMATICAS 2º Bachillerato r=A+lu A

d B s=B+mv

SOCIALES

MaTEX Determinantes

Secci´ on 4: Aplicaciones de los determinantes

• Método práctico Resaltamos a continuaci´ on dos indicaciones para el estudio del rango: a) Cuando la matriz consta solo de n´ umeros se aconseja utilizar el método de reducción. b) Cuando la matriz consta de alg´ un par´ ametro se aconseja analizar en primer lugar el mayor determinante que se pueda extraer de la matriz. JJ

II

J

I

J Doc

Doc I

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22

En el siguiente ejemplo ilustramos el c´ alculo del rango por menores, pero como hemos dicho antes se recomienda utilizar el método de reducción si la matriz no tiene parámetros. Ejemplo 4.3. Utilizando el método de los menores, hallar el rango de la matriz   1 2 −1 2  2 1 0 1   A=  4 5 −2 5  2 −1 1 2 1 2 = −3 6= 0, el rg(A) ≥ 2. Se a˜ Soluci´ on: Como el menor nade una fila 2 1 1 2 −1 0 = 0, Se prueba con la misma fila y otra columna y columna 2 1 4 5 −2 1 2 2 2 1 1 = 0, luego la tercera fila es combinaci´ on lineal de las filas primera 4 5 5 1 2 −1 1 0 = 1 6= 0, luego y segunda. Ahora probamos con la cuarta fila, 2 2 −1 1 rg(A) = 3.

MATEMATICAS 2º Bachillerato r=A+lu A

d B s=B+mv

SOCIALES

MaTEX Determinantes

Secci´ on 4: Aplicaciones de los determinantes

JJ

II

J

I

J Doc

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23

MATEMATICAS 2º Bachillerato r=A+lu

Ejemplo 4.4. Estudiar el rango de la matriz en funci´ on del parámetro k.   1 0 −2 3 1 3 0 2  A =  2 −1 4 k −1 6 4

A

d B s=B+mv

SOCIALES

Soluci´ on: Analizamos en primer lugar el mayor determinante que se pueda extraer de la matriz y que contenga a k, por ejemplo, 1 0 −2 2 −1 3 = −7 − 7 k = 0 =⇒ k = −1 4 k −1

MaTEX Determinantes

Secci´ on 4: Aplicaciones de los determinantes

Si k = −1, sustituyendo  1 0 −2  2 −1 3 4 −1 −1 

en A y reduciendo,    1 0 −2 3 1 3 1 7 −6 0  ∼ 2 0 2  ∼ 1  0 −1 0 −1 7 −6 0 6 4  1 0 −2 3 1 7 −6 0  =⇒ r(A) = 2 ∼  0 −1 0 0 0 0 0

Si k 6= −1, entonces r(A) = 3. 1

(f2 − 2f1 ), (f3 − 4f1 ) 2 (f3 − f2 )

JJ

II

J

I

J Doc

Doc I

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24

Ejercicio 11. Utilizando el método de los menores, matrices  1 1 2 3 a) A = b) B =  1 −4 0 5 2

hallar el rango de las 2 2 4

 3 5  8

Ejercicio 12. Hallar el valor de k para que el rango de la matriz   1 3 2k 3  C= k 1 1 7 k

MATEMATICAS 2º Bachillerato r=A+lu A

d B s=B+mv

SOCIALES

MaTEX Determinantes

Secci´ on 4: Aplicaciones de los determinantes

sea 2. Ejercicio 13. Discutir en funci´ on del par´ ametro el rango de:     1 c 1 1 a −1 2 2 c+1  a 5  (a) M  2 −1 (b) N  2 1 10 −6 1 4 2c + 2 c2 + 3 Ejercicio  b (a) P  2 1

14. 1 b 1

Discutir en funci´ on del par´ ametro el   1 2 k (b) Q =  1 b2 1  1 2 1

rango de:  1 1 1 k 1 k  1 k k2

JJ

II

J

I

J Doc

Doc I

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Secci´ on 4: Aplicaciones de los determinantes

25

MATEMATICAS 2º Bachillerato r=A+lu

4.3. Resoluci´ on de un sistema

A

• Método de la inversa.

d

La matriz inversa es u ´til como notaci´ on para expresar la solución de un sistema de ecuaciones lineales.

SOCIALES

Si A es regular y tiene inversa A−1 , multiplicando la ecuación anterior por la izquierda, se tiene que, A−1 · A · x e = A−1 · eb y como A−1 · A = I (5)

Determinantes

MaTEX

Sea por ejemplo un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas:  a11 x + a11 y + a13 z = b1  a21 x + a22 y + a23 z = b2  a31 x + a32 y + a33 z = b3 Expresado en forma matricial queda:       a11 a11 a13 x b1  a21 a22 a23  ·  y  =  b2  ≡ A · x e = eb a31 a32 a33 z b3

x e = A−1 · eb

B s=B+mv

JJ

II

J

I

J Doc

Doc I

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Secci´ on 4: Aplicaciones de los determinantes

26

MATEMATICAS 2º Bachillerato r=A+lu

Ejemplo 4.5. Resolver el sistema calculando la inversa  3x − 2y − z = −4  −4x + y − z = −5  2x + z= 5

A

d B s=B+mv

SOCIALES

Soluci´ on: Expresamos el sistema en forma matricial,       3 −2 −1 x −4  −4 1 −1  ·  y  =  −5  ≡ A · x e = eb 2 0 1 z 5

Determinantes

MaTEX

Como Det(A) = 1 6= 0, existe la inversa de A :   1 2 3 5 7  A−1 =  2 −2 −4 −5 luego         1 2 3 x −4 1 y =  2 5 7  ·  −5  =  2  −2 −4 −5 z 5 3 x=1

y=2

z=3

JJ

II

J

I

J Doc

Doc I

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Secci´ on 4: Aplicaciones de los determinantes

27

MATEMATICAS 2º Bachillerato r=A+lu

• Regla de Cramer

A

d B s=B+mv

SOCIALES

MaTEX Determinantes

Si sustituimos en la ecuaci´ on (5), A−1 por su expresión mediante la matriz adjunta se obtiene     b  x1 A11 A21 A31 · · · An1 1  x2   b2  A A A · · · A   12 22 32 n2 1       ..  =  .  ..  .  |A|  · · · . ··· ··· · · ·   ..  A1m A2m A3m · · · Anm xn bn y para todo i, b1 A1i + b1 A2i + · · · + bn Ani |A| que se puede expresar como el determinante de la matriz A cambiando la columna i−ésima por los términos independientes, es decir xi =

xi =

a11 a21 ··· a

m1

a12 a22 ··· am2

a13 a23 ··· am3

··· ··· .. . ··· |A|

b1 b2 bi bn

··· ··· ··· ···

a1n a2n · · · amn

1≤i≤n

Observa que para aplicar la regla de Cramer es necesario que |A| = 6 0

(6)

JJ

II

J

I

J Doc

Doc I

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Secci´ on 4: Aplicaciones de los determinantes

28

r=A+lu

Ejemplo 4.6. Resolver por la regla de Cramer el sistema 2x + y = 3 x−y =0

A

d B s=B+mv

SOCIALES

Soluci´ on: La regla de Cramer nos da: 1 −1 −3 = =1 −3 1 −1

3 0 2 1

2 1

y= 2 1

−3 = =1 −3 1 −1

Ejemplo 4.7. Resolver por la regla de Cramer el sistema 3 −1 3 Soluci´ on: En primer lugar comprobamos |A| = 1 2 2

x=

7 0 2

−1 3 2 2

1 −2 −1

=

5 2

y=

3 1 2

7 0 2 2

1 −2 −1

=−

7 2

MaTEX

3 0

z=

Determinantes

x=

MATEMATICAS 2º Bachillerato

 3x − y + z = 7  x + 3y − 2z = 0  2x + 2y − z = 2 1 −2 = 2 6= 0 −1 3 1 2

−1 3 2 2

7 0 2

= −4

JJ

II

J

I

J Doc

Doc I

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Secci´ on 4: Aplicaciones de los determinantes

29

MATEMATICAS 2º Bachillerato r=A+lu

• Teorema de Rouche-Frobenius

A

Teorema 4.1. Sea el sistema de m ecuaciones con n incógnitas +a12 x2 +a22 x2

+a13 x3 +a23 x3

··· ··· .. .

+a1n xn +a2n xn

= =

b1 b2

(7) ··· ··· ··· ··· = ··· am1 x1 +am2 x2 +am3 x3 · · · +amn xn = bm se demuestra que el sistema tiene soluci´ on cuando el rango de la matriz A de los coeficientes es el mismo que el rango de la matriz ampliada AM con los términos independientes.

Compatible r(A) = r(AM ) Incompatible r(A) < r(AM )

     

Determinado r(A) = r(AM ) = n

    

Indeterminado r(A) = r(AM ) = r < n

SOCIALES

MaTEX Determinantes

a11 x1 a21 x1

d B s=B+mv

JJ

II

J

I

J Doc

Doc I

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Secci´ on 4: Aplicaciones de los determinantes

MATEMATICAS 2º Bachillerato

30

r=A+lu

Ejemplo 4.8. Sea el sistema :

A

x+y my + z x + (1 + m)y + mz

 

= 1 = 0  = m+1

d B s=B+mv

SOCIALES

a) Discute el sistema seg´ un los diferentes valores del parámetro m.

MaTEX

b) Resuelve el sistema para m = 0. 1 |A| = 0 1

1 m 1+m

0 1 m

Determinantes

Soluci´ on: = m2 − m = 0 =⇒ m = 0 ∨ m = 1

Caso m = 1 

1  0 1

1 1 2

0 1 1

  1 1 f3 − f1 0  −−−−−→  0 2 0



1 Caso m = 0  0 1

1 0 1

0 1 0

x+y z

1 1 1

0 1 1

  1 1 f3 − f2 0  −−−−−→  0 1 0

  1 1 f3 − f1 0  −−−−→  0 1 0

= =

1 0

x = z =

1 0 0

0 1 0

1−y 0

1 1 0

0 1 0

 1 r(A) = 2 0  =⇒ r(AM ) = 3 1 S.I.

 r(A) = 2 1 0  =⇒ r(AM ) = 2 0 S.C.I.

)

JJ

II

J

I

J Doc

Doc I

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Secci´ on 4: Aplicaciones de los determinantes

Ejercicio 15. Sean las matrices : 1 −1 A= 4 2

31

MATEMATICAS 2º Bachillerato r=A+lu A

B=

1 0 4 −1

a) Comprobar que ambas tienen rango 2. b) Determinar los valores de c tales que la matriz A + cB no tenga rango 2.

d B s=B+mv

SOCIALES

MaTEX Determinantes

Ejercicio 16. Hallar, si existe, una matriz cuadrada 2 × 2 A que cumple las siguientes condiciones: a) Coincide con su traspuesta b) Verifica la ecuación matricial 1 1 1 −1 −3 −3 A = −1 −1 0 1 3 3 c) Su determinante vale 9. Ejercicio 17. Sean A, B y X tres matrices cuadradas del mismo orden que verifican la relación A X B = I, siendo I la matriz unidad. a) Si el determinante de A vale −1 y el de B vale 1, calcular razonadamente el determinante de X. 2 3 1 −2 b) Calcular de forma razonada la matriz X si A = yB = 3 4 2 −3

JJ

II

J

I

J Doc

Doc I

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Secci´ on 4: Aplicaciones de los determinantes

Ejercicio 18. Sean las matrices :   0 0 1 A = 0 1 0 1 0 0

32

MATEMATICAS 2º Bachillerato r=A+lu A



 0 0 1 B = x 1 0 y 0 0

a) Calcular la inversa de A. b) Calcular la inversa de A127 y A128

d B s=B+mv

SOCIALES

MaTEX Determinantes

c) Calcular x e y de forma que se cumpla AB = BA. Ejercicio 19. Analiza las siguientes cuestiones: a) Poner un ejemplo de sistema de dos ecuaciones con tres incógnitas que sea incompatible. b) Poner un ejemplo de sistema de dos ecuaciones con tres incógnitas que tenga infinitas soluciones. c) El rango de la matriz de coeficientes de un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas es 1. ¿Qué rango puede tener como máximo la matriz ampliada?. d ) Si el rango de la matriz de coeficientes de un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas es 2, ¿puede ser compatible el sistema? ¿Puede ser compatible y determinado? ¿Puede ser incompatible? Razonar con ejemplos concretos.

JJ

II

J

I

J Doc

Doc I

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Secci´ on 4: Aplicaciones de los determinantes

33

Ejercicio 20. Un sistema de tres ecuaciones lineales con dos incógnitas, ¿puede ser compatible y determinado ? En caso afirmativo, dar un ejemplo.

MATEMATICAS 2º Bachillerato r=A+lu A

d

Ejercicio 21. Discutir el sistema de ecuaciones:  x + 2y + z = 2  2x − y + 3z = 2  5x − y + az = 6

B s=B+mv

SOCIALES

MaTEX Determinantes

Ejercicio 22. Discutir en funci´ on de a el sistema de ecuaciones:  2 a x + 3y + 2z = 0  ax − y + z = 0  8x + y + 4z = 0 Ejercicio 23. Discutir y resolver en funci´ on de a el sistema de ecuaciones:  2x − y = a  ax + 3y = 4  3x − y = 2 Ejercicio 24. Discutir y resolver en funci´ on de a el sistema de ecuaciones:  2x + y − z = a − 4  (a − 6) y + 3 z = 0  (a + 1) x + 2y = 3

JJ

II

J

I

J Doc

Doc I

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Secci´ on 4: Aplicaciones de los determinantes

Sabiendo que: b c e f = 12 h i

MATEMATICAS 2º Bachillerato r=A+lu A

a + 2d hallar 3d −g 

1 Ejercicio 26. Resolver la ecuaci´ on  0 1

3 1 1

c + 2f 3f −i 

b + 2e 3e −h 



2 2 1 X =  1  1 −3

d B s=B+mv

SOCIALES

MaTEX Determinantes

Ejercicio 25. a d g

34

Ejercicio 27. Discutir el sistema : ax − y − z x + 2y − az −x + y − z

 = 1  = 2  = a−1

Entre los valores de a que hacen el sistema compatible elegir uno en particular y resolver el sistema que resulte al reemplazar a por el valor elegido. Ejercicio 28. Discutir el sistema en funci´ on de a:  ax − ay + az = a  (3 − 2 a) z = 1  x + (a − 1) y = 0

JJ

II

J

I

J Doc

Doc I

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Soluciones a los Ejercicios

35

r=A+lu

Soluciones a los Ejercicios

A

d B s=B+mv

SOCIALES

−1 4 1+a a −1 + a

MaTEX = 4 0

Determinantes

Ejercicio 1. a) Aplicando la propiedad D1a a la primera columna, a+1 4 a 4 1 4 = a+2 7 a 7 + 2 7 b) Aplicando la propiedad D1a dos veces a − 1 2a + 4 a 2a = 1+a 1+a a + a a 2a a 2a −1 4 = + + + 1 a a 0 1 a

MATEMATICAS 2º Bachillerato

Ejercicio 1

JJ

II

J

I

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Doc I

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36

Ejercicio 2. a) Si en un determinante una l´ınea es m´ ultiplo de otra paralela, el determinante es nulo. D9 b) Si en un determinante se intercambian dos l´ıneas paralelas consecutivas, el determinante cambia de signo. Se produce un cambio de signo por cada permutación:

Propiedad D2

MATEMATICAS 2º Bachillerato r=A+lu A

d B s=B+mv

SOCIALES

MaTEX Determinantes

Soluciones a los Ejercicios

Contamos los cambios por columnas: (c1 , c2 , c3 ) (c1 , c3 , c2 ) (c3 , c1 , c2 ) (c3 , c2 , c1 )

inicio − + − Ejercicio 2

JJ

II

J

I

J Doc

Doc I

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37

1 1 1 1 1 (1) 1 c − a = Ejercicio 3(a) a b c = 0 b − a 0 b2 − ab c2 − ac a2 b2 c2 1 1 1 (2) = (b − a)(c − a)(c − b) c−a = 0 b − a 0 0 (c − a)(b − a)

MATEMATICAS 2º Bachillerato r=A+lu A

d B s=B+mv

SOCIALES

MaTEX

1. Reducimos con f3 − a f2 y con f2 − a f1 .

Determinantes

Soluciones a los Ejercicios

2. Reducimos con f3 − b f2 .

JJ

II

J

I

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Soluciones a los Ejercicios

38

r=A+lu

Ejercicio 3(b) Utilizamos propiedades para que el alumno las aprenda

A

d B s=B+mv

SOCIALES

2 1 7 −3 = 1 4

MaTEX

−1 0 0 = 62

Determinantes

2 −2 2 −1 1 1 D3 D2 3 4 −5 = 2 3 2 −5 = −1 −1 2 3 1 3 −1 2 1 3 −5 (1) = −2 2 − 2 = 1 −1 3 −1 2 1 2 7 f3 −f2 = − 0 7 −3 7 0 0 31 1. Reducimos con f2 − 2 f1 y f3 + f1

MATEMATICAS 2º Bachillerato

JJ

II

J

I

J Doc

Doc I

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Soluciones a los Ejercicios

39

MATEMATICAS 2º Bachillerato r=A+lu

Ejercicio 4.

A

d

a) Elegimos la 1a fila 1 2 3 1 1 −1 = 1 2 0 5

B s=B+mv

1 −1 −2 0 5

1 −1 +3 2 5

1 2

1 = −15 0

SOCIALES

MaTEX

b) Elegimos la 1 columna 1 1 1 0 = 1 1 −1 −0 1 −1 −5 6 1 −5 6 c) Elegimos la 3a columna 1 2 4 1 −2 = 4 1 −2 −4 4 1 2 1 2 −4

1 −5

1 1

1 +1 6

1 1 1 −1

1 2 2 −4 1 −2 2

Determinantes

a

= −1

= 32

El alumno puede hacerlos también por reducci´ on o desarrollando por otras l´ıneas para practicar. Ejercicio 4 JJ

II

J

I

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Doc I

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40

Ejercicio 5(a) Obtenemos ceros en la tercera fila usando como pivote el elemento a31 = −1. 3 −3 4 5 3 0 10 5 2 2 7 7 (1) 2 4 11 7 = = −1 1 2 0 0 0 −1 0 −2 −2 3 5 6 1 2 1 0 10 5 (3) 10 5 10 5 (2) = −45 = − 4 11 7 = 4 −3 2 1 11 7 3 2 1

MATEMATICAS 2º Bachillerato r=A+lu A

d B s=B+mv

SOCIALES

MaTEX Determinantes

Soluciones a los Ejercicios

(1) Reducimos con c2 + c1 y c3 + 2 c1 . (2) Desarrollamos por adjuntos en la tercera fila. (3) Desarrollamos por adjuntos en la primera columna.

JJ

II

J

I

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Doc I

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41

Ejercicio 5(b) Obtenemos ceros en la segunda columna usando como pivote el elemento a12 = 1. 2 1 2 1 0 −1 0 −1 0 1 3 1 (1) −2 0 3 2 = 3 2 = −1 0 5 1 5 3 1 3 −1 −5 0 −1 2 5 −2 13 3 2 3 17 (2) (3) (4) 5 3 = − 24 5 28 = −44 = − −1 −5 −1 5 0 −1 0 (1) (2) (3) (4)

Reducimos con f2 − f1 , f3 − 2 f1 y f4 − 3 f1 . Desarrollamos por adjuntos en la segunda columna. Reducimos con c1 + 5 c2 y c3 + 5 c2 . Desarrollamos por adjuntos en la tercera fila.

MATEMATICAS 2º Bachillerato r=A+lu A

d B s=B+mv

SOCIALES

MaTEX Determinantes

Soluciones a los Ejercicios

JJ

II

J

I

J Doc

Doc I

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Soluciones a los Ejercicios

42

r=A+lu A

(1) =

a+4 1 1 1 a+4 a+1 1 1 = a+4 1 a+1 1 a+4 1 1 a+1 1 1 1 1 1 0 a 0 0 1 (2) = (a + 4) 0 0 a 0 = 1 0 0 0 a a+1

d B s=B+mv

SOCIALES

MaTEX Determinantes

Ejercicio 6(a) a+1 1 1 1 1 a + 1 1 1 1 1 a+1 1 1 1 1 a+1 1 1 1 1 a+1 1 D1 = (a + 4) 1 a+1 1 1 1 1

MATEMATICAS 2º Bachillerato

= a3 (a + 4) (1) Reducimos sumando a la c1 las restantes c2 + c3 + c4 . (2) Reducimos restando a todas las filas la primera f1

JJ

II

J

I

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Soluciones a los Ejercicios

43

MATEMATICAS 2º Bachillerato r=A+lu

Ejercicio 6(b)

A

1 a a a a a a a a b b b (1/a) c1 1 b b b = a = a b c c 1 b c c 1 b c d a b c d 1 a a a (1) 0 b − a b − a b − a = a = a(b − a)(c − b)(d − c) 0 c − b c − b 0 0 0 0 d−c 1. Reducimos con f4 − f3 y con f3 − f2 .

d B s=B+mv

SOCIALES

Determinantes

MaTEX

JJ

II

J

I

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Soluciones a los Ejercicios

MATEMATICAS 2º Bachillerato r=A+lu A

2 3 12 23

4 5 14 25

6 7 16 27

c2 − c1 = c4 − c3

0 1 10 21

2 4 2 5 2 14 2 25

2 2 2 2

D4 = 0

d B s=B+mv

SOCIALES

MaTEX Determinantes

Ejercicio 7(a) 0 1 10 21

44

JJ

II

J

I

J Doc

Doc I

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45

MATEMATICAS 2º Bachillerato r=A+lu

Ejercicio 7(b) −1 x −1 + 3x x x x x x x −1 x x (1) −1 + 3x −1 x x x = −1 + 3x x −1 x = x −1 x x −1 + 3x x x x −1 x −1 1 x x x 1 −1 x x (2) D1 = (−1 + 3x) = (−1 + 3x) 1 x −1 x 1 x x −1 1 x x x 0 −1 − x 0 0 = (−1 + 3x) (−1 − x)3 0 0 −1 − x 0 0 0 0 −1 − x 1. Reducimos sumando a la c1 las restantes c2 + c3 + c4 .

A

d B s=B+mv

SOCIALES

MaTEX Determinantes

Soluciones a los Ejercicios

2. Reducimos restando a todas las filas la primera f1 . JJ

II

J

I

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Doc I

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Soluciones a los Ejercicios

46

r=A+lu

Ejercicio 8.

b) B −1 =

A

1 4

1 2

0 1 4 −1

d

2 −2 −2 3

 −38 1 c) C −1 =  6 2 8  −5 1  d ) D−1 = −2 13 20

B s=B+mv

SOCIALES

MaTEX

 6 22 −1 −3  −1 −5  4 1 −1 3 −3 −4

Determinantes

a) A−1 =

MATEMATICAS 2º Bachillerato

Ejercicio 8

JJ

II

J

I

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Doc I

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Soluciones a los Ejercicios

47

MATEMATICAS 2º Bachillerato r=A+lu

Ejercicio 9.

A

a) A X = B =⇒ A−1 A X = A−1 B =⇒ X = A−1 B 1 4

0 1 4 −1

3 2

2 2

=

1 2

d

1 1 5 3

b) X A = B =⇒ X A A−1 = B A−1 =⇒ X = B A−1 1 8 3 2 1 0 1 X= = 2 2 4 4 −1 2 8

B s=B+mv

SOCIALES

MaTEX 1 0

Determinantes

X=

c) A X B = I =⇒ A−1 AXBB −1 = A−1 B −1 =⇒ X = A−1 B −1 1 0 1 −2 1 1 2 −2 3 X= = 3 4 4 −1 2 −2 8 10 −11 d ) B X A = I =⇒ B −1 BXAA−1 = B −1 A−1 =⇒ X = B −1 A−1 1 1 −8 2 −2 1 0 1 4 X= = 3 4 4 −1 2 −2 8 12 −5 Ejercicio 9

JJ

II

J

I

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Doc I

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Soluciones a los Ejercicios

48

Ejercicio 10. a) Falso. Ya hemos visto que es necesario y suficiente que su determinante ń 4 sea distinto de cero. condicio b) Verdadero pues

MATEMATICAS 2º Bachillerato r=A+lu A

d B s=B+mv

SOCIALES

Propiedad D9

MaTEX Determinantes

1 |A · A−1 | = |Id | = 1 = |A| |A−1 | ⇒ |A−1 | = 3 c) Como  1   |A| = − 2   |B| = − 2 3 luego por la regla de Laplace

=⇒

|A−1 | = −2

=⇒

|B −1 | = −

3 2

3 |A−1 B −1 | = |A−1 | · |B −1 | = (−2)(− ) = 3 2 Ejercicio 10 JJ

II

J

I

J Doc

Doc I

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49

MATEMATICAS 2º Bachillerato r=A+lu

Ejercicio 11.

A

1 2 = 8 6= 0, el rg(A) = 2 pues no hay menores a) Como el menor −4 0 de orden 3. 2 3 = 4 6= 0, el rg(B) ≥ 2. b) Como el menor 2 5 Por otra parte como el u ńico menor de orden 3, 1 2 3 1 2 5 =0 2 4 8

d B s=B+mv

SOCIALES

MaTEX Determinantes

Soluciones a los Ejercicios

se tiene rg(B) = 2. Ejercicio 11

JJ

II

J

I

J Doc

Doc I

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50

1 3 = 4 6= 0, el rg(B) ≥ 2. Para que no Ejercicio 12. Como el menor 1 7 pueda ser 3 es necesario que su determinante sea nulo, |C| = 0, 1 3 2k 3 = 11 k 2 − k − 12 C = k 1 1 7 k Para que 11 k 2 − k − 12 = 0 es necesario que k = 12/11 ó k = −1. Ejercicio 12

MATEMATICAS 2º Bachillerato r=A+lu A

d B s=B+mv

SOCIALES

MaTEX Determinantes

Soluciones a los Ejercicios

JJ

II

J

I

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Soluciones a los Ejercicios

51

Ejercicio 13(a) Elegimos 3, 1 −1 2 a 1 −6

1 a −1 2 a 5  un menor de orden de M  2 −1 1 10 −6 1 2 5 = −a + 3 = 0 =⇒ a = −3 1

Si a 6= −3 =⇒ r(M ) = 3, y para a = −3 matriz    1 −3 −1 2 1 −3  2 −1 −3 5  ∼ 1  0 5 1 10 −6 1 0 7

MATEMATICAS 2º Bachillerato



sustituimos en M y reducimos la

r=A+lu A

d B s=B+mv

SOCIALES

MaTEX Determinantes



 −1 2 −1 1  =⇒ r(M ) = 3 −5 −1

para todo valor de a se tiene r(M ) = 3

1

(f2 − 2f1 ), (f3 − f1 )

JJ

II

J

I

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Doc I

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Soluciones a los Ejercicios

52

MATEMATICAS 2º Bachillerato r=A+lu

Ejercicio 13(b) Calculamos

A

|N | = −2c(c − 1)2 = 0 =⇒ c = 0 ∨ 1 

1  2 4 

1  2 4

0 2 2



1 2 4

 1 2  =⇒ r(N ) = 1 4 

1 1 1 ∼1 0 3 0

SOCIALES

MaTEX



0 1 2 −1  =⇒ r(N ) = 2 2 −1

Determinantes

c=1

c=0

d B s=B+mv

1

(f2 − 2f1 ), (f3 − 4f1 )

JJ

II

J

I

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Doc I

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Soluciones a los Ejercicios

53

r=A+lu

Ejercicio 14(a) Elegimos de P un menor de orden 3, b 2 1

1 b 1

2 1 2

A

= (b − 1)(2b − 1) = 0 =⇒ b = 1 ∨ b = 1/2

d B s=B+mv

SOCIALES

MaTEX

1  2 1

1 1 1

1 1 1

  2 1 (1) 1  ∼  0 2 0

1 −1 0

1 −1 0

Determinantes

• b 6= 1 ∧ b 6= 1/2 =⇒ r(P ) = 3 Si • b = 1 sustituimos en P y reducimos la matriz, r(P ) = 2. 

MATEMATICAS 2º Bachillerato

 2 −3  0

Si • b = 1/2 sustituimos en P y reducimos la matriz, r(P ) = 3. 

1/2  2 1

1 1/2 1

1 1/4 1

  2 1 (2) 1  ∼  8 2 1

2 2 1

2 1 1

  4 1 (3) 4  ∼  0 2 0

2 −14 −1

2 −15 −1

 4 −28  −2

(1) f2 − 2f1 , f3 − f1 . (2) 2f1 y 4f2 . (3) f2 − 8f1 y f3 − f1 .

JJ

II

J

I

J Doc

Doc I

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Soluciones a los Ejercicios

54

r=A+lu

Ejercicio 14(b) Elegimos de Q un menor de orden 3, 1 k 1

1 1 k

A

= (k − 1)2 (k + 2) = 0 =⇒ k = 1 ∨ k = −2

d B s=B+mv

SOCIALES

MaTEX

• k 6= 1 ∧ k 6= −2 =⇒ r(Q) = 3 Si • k = 1 sustituimos en Q y reducimos la matriz, r(Q) = 1. 

1  1 1

1 1 1

1 1 1

  1 1 (1) 1  ∼  0 1 0

1 0 0

1 0 0

Determinantes

k 1 1

MATEMATICAS 2º Bachillerato

 1 0  0

Si • k = −2 sustituimos en Q y reducimos la matriz, r(Q) = 3.  

−2 1 1

1 −2 1

1 1 −2

  −2 1 (2) −2  ∼  0 0 4

(1) f2 − f1 , f3 − f1 . (2) 2f2 + f1 y 2f3 + f1 . (3) f3 + f2 .

1 −3 3

1 3 −3

  −2 1 (3) −3  ∼  0 0 9

1 −3 0

1 3 0

 1 −3  6

JJ

II

J

I

J Doc

Doc I

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Soluciones a los Ejercicios

55

MATEMATICAS 2º Bachillerato r=A+lu

Ejercicio 15. a) Como |A| = 6 y |B| = −1 ambas tienen rango 2.

A

d

Ejercicio 15

B s=B+mv

SOCIALES

MaTEX Determinantes

b) Para que el rango de A + cB no sea 2, |A + cB| = 0. 1+c 6 −1 |A + cB| = = 5 c + 6 = 0 =⇒ c = − 4 + 4c 2 − c 5

JJ

II

J

I

J Doc

Doc I

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Soluciones a los Ejercicios

56

MATEMATICAS 2º Bachillerato

r=A+lu

a b la matriz buscada: c d a) Coincide con su traspuesta, entonces c = b

A

Ejercicio 16. Sea A =

b) Verifica la ecuación matricial 1 1 1 −1 −3 A = −1 −1 0 1 3 a+b d−a −3 −3 = =⇒ −a − b a − d 3 3 a luego A se puede expresar como A = −a − 3

d B s=B+mv

SOCIALES

−3 =⇒ 3

MaTEX

a + b = −3 d − a = −3 −a − 3 a−3

Determinantes

c) Igualando |A| = 9 =⇒ a = 2, y la soluci´ on es 2 −5 A= −5 −1 Ejercicio 16

JJ

II

J

I

J Doc

Doc I

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Soluciones a los Ejercicios

57

MATEMATICAS 2º Bachillerato r=A+lu

Ejercicio 17. a) Por la regla de Laplace se tiene.

A

d

|AXB| = |I| = |A| |X| |B| = 1 =⇒ (−1)|X| 1 = 1 =⇒ |X| = −1.

B s=B+mv

SOCIALES

b)

MaTEX Determinantes

−1 −1 −1 −1 AXB = I =⇒ A AXBB = A−1 B −1=⇒ X = A B −4 3 −3 2 A−1 = B −1 = 3 −2 −2 1 6 −5 X = A−1 B −1 = −5 4

Ejercicio 17

JJ

II

J

I

J Doc

Doc I

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Soluciones a los Ejercicios

58

r=A+lu

Ejercicio 18. a) Calcular la inversa de A.

A

d

0 = 0 1

b) Calcular la inversa de A127 y A128   1 0 0 A2 = 0 1 0 0 0 1

0 1 0

 1 0 = A 0

 0 A3 = 0 1

B s=B+mv

SOCIALES

MaTEX 0 1 0

 1 0 0

Determinantes



A−1

MATEMATICAS 2º Bachillerato

luego las potencias pares son I, y las impares son A. Tenemos as´ı que (A127 )−1 = (A)−1 = A

(A128 )−1 = (I)−1 = I

c) Calcular x e y de forma que se cumpla AB = BA.      0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 AB = 0 1 0 x 1 0 = x 1 0 0 1 0 0 y 0 0 y 0 0 1     y 0 0 1 0 0 x 1 0 = 0 1 x =⇒ x = 0 y 0 0 1 0 0 y

0 1 0

 1 0 = BA 0

=1 Ejercicio 18

JJ

II

J

I

J Doc

Doc I

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Soluciones a los Ejercicios

59

Ejercicio 19. a) Lo más sencillo es dejar la parte lineal de los coeficientes igual y cambiar el término independiente. Por ejemplo x+y−z x+y−z

= 0 = 2

que implica el absurdo 0 = 2.

MATEMATICAS 2º Bachillerato r=A+lu A

d B s=B+mv

SOCIALES

MaTEX

x+y−z y−z

Determinantes

b) Cualquiera que sea compatible. Por ejemplo = 0 = 1

c) Claramente 1 ó 2. d ) Puede haber dos casos: Si el r(AM ) = 2 = rg(A) < 3 el sistema no puede ser compatible determinado, ser´ a compatible indeterminado. Si el rg(AM ) = 3 > rg(A) sistema incompatible. Ejercicio 19 JJ

II

J

I

J Doc

Doc I

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Soluciones a los Ejercicios

60

Ejercicio 20. Si, cuando r(A) = r(AM ) = no inc´ ognitas. Veamos un ejemplo. Tomemos x = 1 e y = 2 y escribamos

MATEMATICAS 2º Bachillerato r=A+lu A

d

x − y = −1

3x + y = 5

B s=B+mv

Ejercicio 20

SOCIALES

MaTEX Determinantes

x+y =3

JJ

II

J

I

J Doc

Doc I

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Soluciones a los Ejercicios

r=A+lu A

=1

−1 3 −1 a

−2

2 3 5 a

1  2  5 |

2 −1 5 −1

=

d B s=B+mv

36 ⇒a= 5

MaTEX

36 . 5 A

z 

+1

SOCIALES

= −5a + 36 = 0 Caso a =

MATEMATICAS 2º Bachillerato

Determinantes

Ejercicio 21. 1 2 1 |A| = 2 −1 3 5 −1 a

61

A

}| 2 −1

1 3 36 −1 {z5

{ 

z

2 1 −−−−−→ 2  f3 −5 f1  0 6 0 | }

AM

f2 −2 f1

}|

2 −5 −55

1 1 11 {z

{

 2 −2  −20 }

AM

A

z 

1 −−−−−−→  0 0 | f3 −11 f2

Caso a 6=

}|

2 −5 0

1 1 0 {z

{

AM

 r(A) 2 ⇒ r(AM ) −2  2 }

= =

2 3

S.I.

36 , r(A) = 3 = r(AM ), S.C.D. 5 Ejercicio 21

JJ

II

J

I

J Doc

Doc I

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Soluciones a los Ejercicios

62

r=A+lu A

=

2

= −5a − 10a + 40 |A| = 0 ⇒ a=-4 ∨ a=2 Caso a = −4 ∨ 2 r(A) = r(AM ) = 2 S.C.I.

d B s=B+mv

SOCIALES

MaTEX Determinantes

Ejercicio 22. Este sistema es homogéneo, siempre tiene solución. 2 a 3 2 −1 1 − 3 a 1 + 2 a −1 |A| = a −1 1 = a2 8 1 8 4 1 4 8 1 4

MATEMATICAS 2º Bachillerato

Caso a 6= −4 ∧ 2 r(A) = r(AM ) = 3 S.C.D. En este caso como es homogéneo la soluci´ on es la nula (0, 0, 0). Ejercicio 22

JJ

II

J

I

J Doc

Doc I

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63

Ejercicio 23. En este caso comenzamos con el determinante de la matriz ampliada AM . 2 −1 a 3 4 3 +1 a 4 +a a 3 4 = 2 |AM | = a 3 2 3 −1 = −1 2 3 −1 2 = −a2 − 7a + 8 = 0

a=1 ∨

⇒

a=-8

• Caso a = 1 

2  1 3

−1 3 −1

  1 2 (1) 4  ∼  0 2 0

−1 7 1

(1) 2f2 − f1 y 2f3 − 3 f1 . (2) 7f3 − f2

  1 2 (2) 7  ∼  0 1 0

−1 7 0

y=1

MATEMATICAS 2º Bachillerato r=A+lu A

d B s=B+mv

SOCIALES

MaTEX Determinantes

Soluciones a los Ejercicios

 1 r(A) = 2 7  =⇒ r(AM ) = 2 0 S.C.D.

x=1

• Caso a = −8 

2  −8 3

−1 3 −1

  −8 2 (1) 4  ∼  0 2 0

(1) f2 + 8f1 y f3 − 3 f1 . (2) 2f3 − f2

−1 −1 1

  −8 2 (2) −28  ∼  0 28 0

y = 28

−1 −1 0

 −8 r(A) = 2 −28  =⇒ r(AM ) = 2 0 S.C.D.

x = 10

• Caso a 6= −8 y a 6= 1, r(A) < r(AM ) = 3 =⇒ S.I.

Ejercicio 23

JJ

II

J

I

J Doc

Doc I

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Soluciones a los Ejercicios

con el determinante de la matriz A . = a2 − 2a − 15 = 0 ⇒ a=5 ∨

r=A+lu A

d

a=-3

B s=B+mv

SOCIALES

• Caso a = 5 2  0 6

1 −1 2

  1 2 (1) 0  ∼  0 3 0

−1 3 0

1 −1 −1

(1) f3 − 3 f1 . (2) f3 − f2

−1 3 3

  1 2 (2) 0  ∼  0 0 0

y = 3z

x=

1 −1 0

−1 3 0

 1 r(A) = 2 0  ; r(AM ) = 2 0 S.C.I.

MaTEX Determinantes

Ejercicio 24. Comenzamos 2 1 −1 a−6 3 |A| = 0 a+1 2 0 

MATEMATICAS 2º Bachillerato

64

1 − 2z 2

• Caso a = −3  

2 0 −2

−1 3 0

1 −9 2

  −7 2 (1) 0  ∼  0 3 0

1 −9 3

−1 3 −1

  −7 2 (2) 0  ∼  0 −4 0

1 −9 0

−1 3 0

 −7 r(A) = 2 0  ; r(AM ) = 3 −12 S.I.

(1) f3 +, f1 . (2) 3f3 + f2

• Caso a 6= −8 y a 6= 1, r(A) = r(AM ) = 3 =⇒ S.C.D.. Expresamos la solución con el método de Cramer

x=

a−4 0 3

1 a−6 2

a2 − 2a − 15

−1 3 0

y=

2 0 a+1

a−4 0 3

a2 − 2a − 15

−1 3 0

z=

2 0 a+1

1 a−6 2

a−4 0 3

a2 − 2a − 15

Ejercicio 24

JJ

II

J

I

J Doc

Doc I

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Soluciones a los Ejercicios

MATEMATICAS 2º Bachillerato r=A+lu A

b + 2e a c b 2d 2f (1) 3e = 3d 3f 3e + 3d 3f −h −g −i −h −g −i a c b d f e (2) = − 3 d f e − 6 d f e g i h g i h

2e 3e −h

d B s=B+mv

SOCIALES

MaTEX Determinantes

Ejercicio 25. a + 2d c + 2f 3d 3f −g −i

65

(3)

= − 3(−12) − 6(0) = 36

(1) Propiedad D1a (2) Propiedad D1b (3) Propiedad D2 y D4

Ejercicio 25

JJ

II

J

I

J Doc

Doc I

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66

1 Ejercicio 26. Como 0 1

3 1 1 

2 1 = 1 1

r=A+lu A

d B s=B+mv

−1   2 2 1   1  1 −3   0 −1 1 2 =  1 −1 −1   1  −1 2 1 −3   −4 = 4  −3

1 X = 0 1 

MATEMATICAS 2º Bachillerato

3 1 1

SOCIALES

MaTEX Determinantes

Soluciones a los Ejercicios

Ejercicio 26

JJ

II

J

I

J Doc

Doc I

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Soluciones a los Ejercicios

67

r=A+lu

Ejercicio 27. a 1 −1 |A| = 1 2 −1 = a2 − a − 2 = 0 =⇒ a = −1 ∨ a = 2 −1 1 −1



−1  1 −1

1 2 1

−1 1 −1

A

d B s=B+mv

SOCIALES

S.C.D.   −1 1 f2 + f1 2  −−−−−→  0 f3 − f1 −2 0

1 3 0

−1 0 0

 r(A) = 2 1 3  =⇒ r(AM ) = 3 −3 S.I.

MaTEX Determinantes

Caso a 6= −1 ∧ 2 Caso a = −1

MATEMATICAS 2º Bachillerato

Caso a = 2 

2  1 −1

1 2 1

−1 −2 −1

  1 2 2f2 − f1 2  −−−−−→  0 2f3 + f1 1 0

1 3 3

−1 −3 −3

  1 2 f3 − f2 3  −−−−−→  0 3 0

1 3 0

−1 −3 0

 1 3  =⇒ 0

1 1 0

−1 0 −2

 1 1  =⇒ −1

r(A) = 2 r(AM ) = 2 S.C.I.

Resolvemos con a = 1 

1  1 −1

1 2 1

−1 −1 −1

  1 1 f2 − f1 2  −−−−−→  0 f3 + f1 0 0

1 1 2

x = 1/2

−1 0 −2 y=1

  1 1 f3 −2 f2 1  −−−−−→  0 1 0 z = 1/2

Ejercicio 27

JJ

II

J

I

J Doc

Doc I

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Soluciones a los Ejercicios

68

Caso a 6= 0 ∧ 3/2 Caso a = 0

r=A+lu A

= −a2 (3 − 2 a) = 0 =⇒ a = 0 ∨ a = 3/2

S.C.D. 

−1 0 0

3/2  0 1

−3/2 0 1/2

1  0 0

0 3 0

d B s=B+mv

SOCIALES

MaTEX

 0 r(A) = 2 1  =⇒ r(AM ) = 2 0 S.C.I.

Determinantes

Ejercicio 28. a −a a 0 3 − 2a |A| = 0 1 a−1 0

MATEMATICAS 2º Bachillerato

Caso a = 3/2 

3/2 0 0

 3/2 r(A) = 2 1  =⇒ r(AM ) = 3 0 S.I.

Ejercicio 28

JJ

II

J

I

J Doc

Doc I

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69

MATEMATICAS 2º Bachillerato r=A+lu

Soluciones a los Tests

A

Soluci´ on al Test: Por la propiedad D1b, el n´ umero buscado es ? = 3, pues 3·2 3·4 = 3 2 4 5 5 1 1 Final del Test

d B s=B+mv

SOCIALES

MaTEX Determinantes

Soluciones a los Tests

JJ

II

J

I

J Doc

Doc I

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MATEMATICAS 2º Bachillerato r=A+lu A

´ Indice alfab´ etico adjunto, 11

d B s=B+mv

SOCIALES

cálculo del rango, 21

MaTEX Determinantes

determinante cálculo del, 9 definición, 3 desarrollo por adjuntos, 12 propiedades, 4, 5 inversa de una matriz, 16–18 matriz adjunta, 11 menor, 20 regla de Cramer, 27 teorema de Rouche-Frobenius , 29

70

JJ

II

J

I

J Doc

Doc I

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MATEMATICAS 2º Bachillerato

MaTEX

r=A+lu A

d

Programaci´ on Lineal

B s=B+mv

SOCIALES

MaTEX ń Programacio

Fco Javier Gonz´ alez Ortiz

Directorio Tabla de Contenido Inicio Art´ıculo

c 2004 [email protected]

D.L.:SA-1415-2004

ISBN: 84-688-8267-4

Lineal

Proyecto

JJ

II

J

I

J Doc

Doc I

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MATEMATICAS 2º Bachillerato

d B s=B+mv

SOCIALES

MaTEX Lineal

1. Introducci´ on 2. Inecuaciones en el plano 2.1. Sistemas de inecuaciones 3. Direcci´ on de una recta • Dirección perpendicular de una recta 4. Optimizar una funci´ on lineal 4.1. M´ etodo gr´ afico 5. Formulaci´ on general del problema 5.1. Teorema de la programaci´ on lineal 5.2. Ejemplos 6. Ejercicios Soluciones a los Ejercicios Soluciones a los Tests

r=A+lu A

ń Programacio

Tabla de Contenido

JJ

II

J

I

J Doc

Doc I

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1. Introducci´ on La programación lineal surgi´ o espec´ıficamente para dar respuesta a problemas de carácter log´ıstico y militar y posteriormente se extendió a amplitud de problemas en el campo de la industria y la econom´ıa. As´ı por ejemplo, permite resolver problemas de nutrición, distribuciones de factor´ıas, distribuciones de personal en puestos de trabajo, almacenaje, planes de producción, etc. Para situarnos tomemos un ejemplo.

MATEMATICAS 2º Bachillerato r=A+lu A

d B s=B+mv

SOCIALES

MaTEX Lineal

3

ń Programacio

Secci´ on 1: Introducci´ on

JJ

II

J

I

J Doc

Doc I

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Imaginemos que las necesidades semanales m´ınimas de una persona son de 8 unidades de prote´ınas, 12 unidades de hidratos de carbono y 9 unidades de grasa. Supongamos que debemos obtener un preparado con esa composición m´ınima mezclando dos productos A y B, cuyos contenidos por kg son los de la siguiente tabla: A B

Prote´ınas 2 1

Hidratos 6 1

Grasas 1 3

Coste/kg 600 400

¿Cuántos kg de cada producto deber´ an comprarse semanalmente para que el costo de preparar la dieta sea m´ınimo? Sean x los kg de A e y los kg de B, entonces hay que minimizar el coste z z = 600x + 400y Teniendo en cuenta restricciones impuestas en prote´ınas, hidratos de carbono y grasas, que son: r1 ≡ r2 ≡ r3 ≡ r4 ≡ ri ≡

2x + y 6x + y x + 3y x y

≥ ≥ ≥ ≥ ≥

8 12 9 0 0

De este tipo son los problemas que trata la programación lineal.

MATEMATICAS 2º Bachillerato r=A+lu A

d B s=B+mv

SOCIALES

MaTEX Lineal

4

ń Programacio

Secci´ on 1: Introducci´ on

JJ

II

J

I

J Doc

Doc I

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5

r=A+lu

2. Inecuaciones en el plano

A

Definici´ on 1 Una inecuaci´ on en el plano viene dada por una desigualdad del tipo ax + by ≤ c ´ o ax + by ≥ c y la soluci´ on corresponde a un semiplano.

d B s=B+mv

SOCIALES

MaTEX ń Programacio

Ejemplo 2.1. Representar la soluciones de la inecuación x + y ≥ 0 Soluci´ on: Se representa la recta x + y = 0 =⇒ y = −x

MATEMATICAS 2º Bachillerato

x = −3 y = 3 A(−3, 3) x = 3 y = −3 B(3, −3)

Se despeja y x + y ≥ 0 =⇒ y ≥ −x

Lineal

Secci´ on 2: Inecuaciones en el plano

Al quedar y de la forma y ≥ marcamos la parte superior. x+y =0

JJ

II

J

I

J Doc

Doc I

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Secci´ on 2: Inecuaciones en el plano

6

r=A+lu

Ejemplo 2.2. Representar la soluciones de la inecuación x − y ≤ 0 Soluci´ on: Se representa la recta

MATEMATICAS 2º Bachillerato A

d

x−y =0

B s=B+mv

SOCIALES

x − y = 0 =⇒ y = x

Se despeja y x − y ≤ 0 =⇒ y ≥ x Al quedar y de la forma y ≥ marcamos la parte superior. Test. 1. ¿Qué punto pertenece a la regi´ on sombreada de arriba? (a) (1, 0) (b) (2, 0) (c) (1, −1) (d) (−1, 2)

Lineal

MaTEX

x = −3 y = −3 A(−3, −3) x=3 y=3 B(3, 3)

ń Programacio

JJ

II

J

I

J Doc

Doc I

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Secci´ on 2: Inecuaciones en el plano

7

MATEMATICAS 2º Bachillerato r=A+lu

Ejemplo 2.3. Representar la soluciones de la inecuación x − y ≥ 1 Soluci´ on:

A

d B s=B+mv

Se representa la recta

SOCIALES

x − y = 1 =⇒ y = x − 1 x−y =1

Se despeja y x − y ≥ 1 =⇒ y ≤ x − 1 Al quedar y de la forma y ≤ marcamos la parte inferior. Test. 1. ¿Qué punto pertenece a la regi´ on sombreada de arriba? (a) (0, 0) (b) (0, 8) (c) (−1, −1) (d) (1, −2)

MaTEX Lineal

x = −1 y = −2 A(−1, −2) x=2 y=1 B(2, 1)

ń Programacio

JJ

II

J

I

J Doc

Doc I

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Secci´ on 2: Inecuaciones en el plano

8

r=A+lu

Ejemplo 2.4. Representar la soluciones de la inecuación x + 2y ≤ 2 Soluci´ on:

A

d B s=B+mv

x + 2y = 2

SOCIALES

2−x x + 2y = 2 =⇒ y = 2 x = −2 y = 2 A(−2, 2) x = 2 y = 0 B(2, 0) Se despeja y 2−x 2

Al quedar y de la forma y ≤ marcamos la parte inferior. Test. 1. ¿Qué punto pertenece a la regi´ on sombreada de arriba? (a) (0, 2) (b) (−1, 0) (c) (−1, 2) (d) (2, 1)

Lineal

MaTEX ń Programacio

Se representa la recta

x + 2y ≤ 2 =⇒ y ≤

MATEMATICAS 2º Bachillerato

JJ

II

J

I

J Doc

Doc I

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Secci´ on 2: Inecuaciones en el plano

9

MATEMATICAS 2º Bachillerato r=A+lu

2.1. Sistemas de inecuaciones

A

Definici´ on 2 Un sistema de inecuaciones lineales en el plano viene dado por varias desigualdades del tipo

d B s=B+mv

SOCIALES

   

(1)

  

y la soluci´ on, si existe, corresponde a una regi´ on convexa del plano, que llamamos regi´ on factible.

Para su solución gráfica, se representa cada recta y se marca el semiplano que determina. La parte que tienen en com´ un todos los semiplanos proporciona la región factible. Veamos unos ejemplos detenidamente. A continuación el alumno realizara algunos ejercicios.

MaTEX Lineal

a1 x + b1 y ≤ c1 a2 x + b2 y ≤ c2 ......... an x + bn y ≤ cn

ń Programacio

r1 ≡ r2 ≡ ... rn ≡

JJ

II

J

I

J Doc

Doc I

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10

MATEMATICAS 2º Bachillerato r=A+lu

Ejemplo 2.5. Representar la soluci´ on del sistema de inecuaciones

A

r1 : 3x + 4y ≤ 12 r2 : 2x + y ≥ 2 r3 : x ≥ 0 r4 : y ≥ 0

d B s=B+mv

Soluci´ on:

SOCIALES

Representamos

ń Programacio

MaTEX

Lineal

Secci´ on 2: Inecuaciones en el plano

JJ

II

J

I

J Doc

Doc I

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Secci´ on 2: Inecuaciones en el plano

11

MATEMATICAS 2º Bachillerato r=A+lu

Ejemplo 2.4. Representar la soluci´ on del sistema de inecuaciones

A

r1 : 3x + 4y ≤ 12 r2 : 2x + y ≥ 2 r3 : x ≥ 0 r4 : y ≥ 0

d B s=B+mv

Soluci´ on:

SOCIALES

Representamos

ń Programacio

(0, 3)

(4, 0)

Lineal

MaTEX

r1 ≡3x + 4y ≤ 12

r1

JJ

II

J

I

J Doc

Doc I

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Secci´ on 2: Inecuaciones en el plano

12

MATEMATICAS 2º Bachillerato r=A+lu

Ejemplo 2.4. Representar la soluci´ on del sistema de inecuaciones

A

r1 : 3x + 4y ≤ 12 r2 : 2x + y ≥ 2 r3 : x ≥ 0 r4 : y ≥ 0

d B s=B+mv

Soluci´ on:

SOCIALES

Representamos

ń Programacio

(0, 3) (0, 2)

(1, 0) r2

(4, 0)

Lineal

MaTEX

r1 ≡3x + 4y ≤ 12 r2 ≡2x + y ≥ 2

r1

JJ

II

J

I

J Doc

Doc I

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Secci´ on 2: Inecuaciones en el plano

13

MATEMATICAS 2º Bachillerato r=A+lu

Ejemplo 2.4. Representar la soluci´ on del sistema de inecuaciones

A

r1 : 3x + 4y ≤ 12 r2 : 2x + y ≥ 2 r3 : x ≥ 0 r4 : y ≥ 0

d B s=B+mv

Soluci´ on:

SOCIALES

Representamos

(0, 3) (0, 2)

(1, 0) r3

r2

(4, 0)

Lineal

MaTEX ń Programacio

r1 ≡3x + 4y ≤ 12 r2 ≡2x + y ≥ 2 r3 ≡x ≥ 0

r1

JJ

II

J

I

J Doc

Doc I

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Secci´ on 2: Inecuaciones en el plano

14

MATEMATICAS 2º Bachillerato r=A+lu

Ejemplo 2.4. Representar la soluci´ on del sistema de inecuaciones

A

r1 : 3x + 4y ≤ 12 r2 : 2x + y ≥ 2 r3 : x ≥ 0 r4 : y ≥ 0

d B s=B+mv

Soluci´ on:

SOCIALES

Representamos

MaTEX (0, 3) (0, 2)

r4 (1, 0) r3

r2

(4, 0)

Lineal

≡3x + 4y ≤ 12 ≡2x + y ≥ 2 ≡x ≥ 0 ≡y ≥ 0

ń Programacio

r1 r2 r3 r4

r1

JJ

II

J

I

J Doc

Doc I

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Secci´ on 2: Inecuaciones en el plano

15

MATEMATICAS 2º Bachillerato r=A+lu

Ejemplo 2.4. Representar la soluci´ on del sistema de inecuaciones

A

r1 : 3x + 4y ≤ 12 r2 : 2x + y ≥ 2 r3 : x ≥ 0 r4 : y ≥ 0

d B s=B+mv

Soluci´ on:

SOCIALES

Representamos

MaTEX (0, 3) (0, 2)

r4 (1, 0) r3

r2

(4, 0)

Lineal

≡3x + 4y ≤ 12 ≡2x + y ≥ 2 ≡x ≥ 0 ≡y ≥ 0

ń Programacio

r1 r2 r3 r4

r1

Y sombreamos la regi´ on que tienen en com´ un, que se denomina región factible.

JJ

II

J

I

J Doc

Doc I

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Secci´ on 2: Inecuaciones en el plano

16

r=A+lu

Ejemplo 2.5. Hallar la regi´ on factible de: r2 : x + 2y ≥ 4

A

r3 : 3x + y ≤ 12

d B s=B+mv

Soluci´ on:

SOCIALES

Representamos cada recta

r1

C(3, 3)

A(0, 2) r3 r2 B(4, 0)

La región factible corresponde al tri´ angulo del dibujo y como está limitada se dice acotada.

Lineal

MaTEX

r1 ≡x − 3y = −6 r2 ≡x + 2y = 4 r3 ≡3x + y = 12

ń Programacio

r1 : x − 3y ≥ −6

MATEMATICAS 2º Bachillerato

JJ

II

J

I

J Doc

Doc I

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Secci´ on 2: Inecuaciones en el plano

17

r=A+lu

Ejemplo 2.6. Hallar la regi´ on factible de: r1 : x + 3y ≥ 3

MATEMATICAS 2º Bachillerato A

r2 : −x + y ≤ 1

d B s=B+mv

Soluci´ on:

SOCIALES

la

ń Programacio

x + 3y = 3 tomando el plano y ≥

MaTEX

r2 semi-

Representamos recta

la

−x + y = 1 tomando el plano y ≤

semi-

Lineal

Representamos recta

r1 La región factible corresponde a la zona coloreada del dibujo y como no está limitada se dice no acotada.

JJ

II

J

I

J Doc

Doc I

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Ejercicio 1. Hallar la regi´ on factible de los sistemas de inecuaciones siguientes: (a) (b) r1 ≡ x + y ≤ 5 r1 ≡ 4x − 3y ≥ −3 r2 ≡ x + y ≥ 2 r2 ≡ x + 4y ≥ 5 (c)

(d) r1 r2 r3 r4

≡ x ≡ y−x ≡ x+y ≡ x

≤ 2y ≤ 2 ≤ 5 ≥ 0

(e)

r1 r2 r3 r4

≡ 2x + 4y ≡ 6x + 3y ≡ x ≡ y

≥ ≥ ≥ ≥

4 6 0 0

(f) r1 ≡ x ≥ y r2 ≡ x ≤ 2y r3 ≡ x ≤ 20

r1 ≡ 3x + 2y r2 ≡ y r3 ≡ y

≤ 24 ≤ x ≥ 1

MATEMATICAS 2º Bachillerato r=A+lu A

d B s=B+mv

SOCIALES

MaTEX Lineal

18

ń Programacio

Secci´ on 2: Inecuaciones en el plano

JJ

II

J

I

J Doc

Doc I

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Secci´ on 3: Direcci´ on de una recta

19

MATEMATICAS 2º Bachillerato r=A+lu

3. Direcci´ on de una recta

A

Representamos la recta 2 x − y = 3 en el plano hallando tres puntos y damos valores

SOCIALES

La dirección de la recta se obtiene restando dos puntos cualesquiera. As´ı → − → u 1 = B(2, 1) − A(1, −1) − u 1 (1, 2) → − → − u = C(3, 3) − A(1, −1) u (2, 4) 2

C(3, 3) − → u (1, 2)

B(2, 1)

2

− El vector → u (1, 2) o cualquiera de sus A(1, −1) m´ ultiplos es la dirección de la recta Se puede obtener la direcci´ on de 2 x − y = 3 directamente tomando el coeficiente de y con signo contrario, y el coeficiente de x. − Es decir la dirección es el vector es → u (1, 2).

MaTEX Lineal

A(1, −1) B(2, 1) C(3, 3)

ń Programacio

Despejamos y = 2 x − 3, ax x = 1 → y = −1 x=2→y=1 x=3→y=3

d B s=B+mv

JJ

II

J

I

J Doc

Doc I

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Secci´ on 3: Direcci´ on de una recta

20

r=A+lu

Ejemplo 3.1. Hallar la direcci´ on de las rectas r2 ≡ 2 x − 3 y = 5;

A

r3 ≡ x + 3 y = 1;

d B s=B+mv

Soluci´ on:

SOCIALES

→ La dirección de r1 ≡ x − 2 y = 1 es − u (2, 1) → − La dirección de r2 ≡ 2 x − 3 y = 5 es u (3, 2) → La dirección de r3 ≡ x + 3 y = 1 es − u (−3, 1)

Definici´ on 3 Decimos que dos rectas son paralelas cuando tienen la misma direcci´ on. Ejemplo 3.2. Comprueba que las rectas siguientes son paralelas r1 ≡ 3x − 2 y = 0

r2 ≡ 3x − 2 y = 3

r3 ≡ 3x − 2 y = 5

Soluci´ on: En efecto son paralelas pues tienen la misma direcci´ on → La dirección de todas ellas es − u (2, 3). Tienen la misma dirección pero distinto término independiente, por ello son paralelas.

MaTEX Lineal

Como hemos explicado antes no es necesario representarlas, basta tomar el coeficiente de y con signo contrario, y el coeficiente de x. As´ı:

ń Programacio

r1 ≡ x − 2 y = 1;

MATEMATICAS 2º Bachillerato

JJ

II

J

I

J Doc

Doc I

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Secci´ on 3: Direcci´ on de una recta

21

Test. Responde a las siguientes cuestiones: 1. ¿La dirección de la recta 5 x + 2 y + 3 = 0 es ? → → − (a) − u (5, 2) (b) − u (−2, 5) (c) → u (2, 3) 2. ¿La dirección de la recta −3 x + y = 6 es ? → → (a) − (b) − u (1, −3) u (−1, −3)

− (c) → u (3, 1)

3. ¿La dirección de la recta 3 x − 5 y = 1 es ? → → u (5, −3) u (5, 3) (a) − (b) −

− u (3, 5) (c) →

4. ¿La dirección de la recta −2 x − 3 y = 2 es ? → → u (2, −3) u (3, 2) (a) − (b) −

− u (3, −2) (c) →

5. ¿La dirección de la recta x = 6 es ? → → (a) − u (1, 0) (b) − u (1, 1)

− (c) → u (0, −1)

6. ¿La dirección de la recta 2 y = 5 es ? → → (a) − u (2, 5) (b) − u (0, 2)

− (c) → u (−2, 0)

MATEMATICAS 2º Bachillerato r=A+lu A

d B s=B+mv

SOCIALES

8. Las rectas x − 3 y = 6 y x + 3 y = 0 son paralelas ? (a) Si (b) No

Lineal

ń Programacio

7. Las rectas x − 3 y = 6 y x − 3 y = 0 son paralelas ? (a) Si (b) No

MaTEX

JJ

II

J

I

J Doc

Doc I

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Secci´ on 3: Direcci´ on de una recta

22

MATEMATICAS 2º Bachillerato r=A+lu

• Dirección perpendicular de una recta

A

En el gráfico de abajo representamos las rectas r1 ≡ x + y = 2

d

r2 ≡ x − y = 1

B s=B+mv

SOCIALES

Son perpendiculares cuando el producto de sus vectores es cero → − − u (−1, 1)·→ v (1, 1) = −1·1+1·1 = 0

− → u (−1, 1)

− → v (1, 1)

r1 Definici´ on 4 Dos rectas son perpendiculares cuando el producto de sus vectores es cero.

Lineal

r2

2

MaTEX ń Programacio

En el gráfico se ven que son perpendiculares → dirección de r1 − u (−1, 1) → − dirección de r v (1, 1)

JJ

II

J

I

J Doc

Doc I

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23

Definici´ on 5 Dada cualquier recta

MATEMATICAS 2º Bachillerato r=A+lu A

r ≡ ax + by = c

Test. Responde a las siguientes cuestiones: 1. Las rectas 5 x + 2 y = 3 y 2 x − 5 y = 1 son perpendiculares ? (a) verdadero (b) falso 2. Las rectas 3 x + 2 y = 3 y −3 x + 2 y = 5 son perpendiculares ? (a) verdadero (b) falso 3. ¿La dirección perpendicular de la recta 3 x + 2 y = 3 es ? → → → (a) − (b) − (c) − u (−2, 3) u (3, 2) u (2, 1) 4. ¿La dirección perpendicular de la recta 2 x − y = 1 es ? → → → (a) − (b) − (c) − u (1, 2) u (2, −1) u (2, 3) 5. ¿La dirección perpendicular de la recta 2 x + y = 2 es ? → → → (a) − u (−1, 2) (b) − u (2, −1) (c) − u (2, 1)

d B s=B+mv

SOCIALES

MaTEX ń Programacio

− − u (a, b), on perpendicular es → u (−b, a) y su direcci´ se tiene que su direcci´ on es → pues se cumple que el producto de los vectores es cero. → − → u (−b, a) · − u (a, b) = −b · a + a · b = 0

Lineal

Secci´ on 3: Direcci´ on de una recta

JJ

II

J

I

J Doc

Doc I

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Secci´ on 4: Optimizar una funci´ on lineal

24

r=A+lu

4. Optimizar una funci´ on lineal

A

Empezaremos con un ejemplo. Consideremos la función lineal en dos variables z =x+y Si damos valores a z obtenemos rectas paralelas llamadas l´ıneas de nivel

d B s=B+mv

SOCIALES

Lineal

− → u (1, 1)

ń Programacio

MaTEX

z = 0 =⇒ x + y = 0 z = 1 =⇒ x + y = 1 z = 2 =⇒ x + y = 2 z = 3 =⇒ x + y = 3

MATEMATICAS 2º Bachillerato

z=0 z=1 z=2 z=3

Luego si que queremos que z aumente basta desplazar cualquiera de las rectas → en la dirección del vector perpendicular − u (1, 1) y si queremos que z disminuya → lo haremos en sentido contrario, en la direcci´ on del vector − u (−1, −1)

JJ

II

J

I

J Doc

Doc I

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Secci´ on 4: Optimizar una funci´ on lineal

25

Veamos otro ejemplo. Consideremos la funci´ on lineal en dos variables

MATEMATICAS 2º Bachillerato r=A+lu A

z =x−y

z=0

z = −1 =⇒ x − y = −1 z = 0 =⇒ x + y = 0 z = 1 =⇒ x + y = 1 z = 2 =⇒ x + y = 2

z=1 z=2

− → u (1, −1)

Luego si que queremos que z aumente basta desplazar cualquiera de las rectas → en la dirección del vector perpendicular − u (1, −1) y si queremos que z dis→ minuya lo haremos en sentido contrario, en la direcci´ on del vector − u (−1, 1)

SOCIALES

MaTEX Lineal

z = −1

ń Programacio

Si damos valores a z obtenemos las rectas paralelas l´ıneas de nivel

d B s=B+mv

JJ

II

J

I

J Doc

Doc I

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Secci´ on 4: Optimizar una funci´ on lineal

26

MATEMATICAS 2º Bachillerato r=A+lu

4.1. M´ etodo gr´ afico

A

Dada una región factible, para optimizar la funci´ on lineal

d B s=B+mv

z = ax + by

SOCIALES

ax + by = 0 desplazamos la linea en la dirección perpendicu→ lar − u (a, b) para obtener el máximo, en este caso en C. desplazamos la linea en sentido contrario → − u (−a, −b) para obtener el m´ınimo, en este caso en A.

D

− → u (a, b)

A C B minimo

MaTEX Lineal

ax + by = 0

ń Programacio

Se dibuja cualquier linea de nivel, por ejemplo

maximo JJ

II

J

I

J Doc

Doc I

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Secci´ on 4: Optimizar una funci´ on lineal

27

Test. Considera la función z = x + 3y y los tres puntos A, B, C del gráfico y responde a las preguntas:

MATEMATICAS 2º Bachillerato r=A+lu A

d

1. ¿Qué valor toma z en A(0, 2)? (a) 5 (b) 6 (c) 7

B s=B+mv

SOCIALES

2. ¿Qué valor toma z en C(3, 3)? (a) 5 (b) 10 (c) 12

MaTEX

4. ¿En qué punto es z m´ınima? (a) A(0, 2) (b) B(2, 1) (c) C(3, 3)

B(2, 1)

z = x + 3y

5. ¿Cuál es el vector de ascenso de z ? → → − (a) − u (1, −3) (b) − u (−1, 3) (c) → u (1, 3)

− (d) → u (3, 1)

6. ¿Cuál es el vector de descenso de z ? → → − (a) − u (1, −3) (b) − u (−1, −3) (c) → u (1, 3)

− (d) → u (3, 1)

Lineal

A(0, 2)

ń Programacio

3. ¿En qué punto es z m´ axima? (a) A(0, 2) (b) B(2, 1) (c) C(3, 3)

C(3, 3)

JJ

II

J

I

J Doc

Doc I

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Secci´ on 4: Optimizar una funci´ on lineal

28

Test. Considera la función z = x+y y la regi´ on factible del gráfico y responde a las preguntas:

MATEMATICAS 2º Bachillerato r=A+lu A

d

1. ¿Qué valor toma z en A(0, 2)? (a) 0 (b) 1 (c) 2

B s=B+mv

SOCIALES

2. ¿Qué valor toma z en C(3, 3)? (a) 5 (b) 6 (c) 7

MaTEX

4. ¿En qué punto es z m´ınima? (a) A(0, 2) (b) B(4, 0) (c) C(3, 3) B(4, 0) x+y =1

5. ¿Cuál es el vector de ascenso de z ? → → − (a) − u (1, −1) (b) − u (−1, 1) (c) → u (1, 1)

− (d) → u (−1, −1)

6. ¿Cuál es el vector de descenso de z ? → → − (a) − u (1, −1) (b) − u (−1, −1) (c) → u (1, 1)

− (d) → u (−1, 1)

Lineal

A(0, 2)

ń Programacio

3. ¿En qué punto es z m´ axima? (a) A(0, 2) (b) B(4, 0) (c) C(3, 3)

C(3, 3)

JJ

II

J

I

J Doc

Doc I

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Secci´ on 4: Optimizar una funci´ on lineal

29

Test. Considera la función z = 2x−y y la regi´ on factible del gráfico y responde a las preguntas:

MATEMATICAS 2º Bachillerato r=A+lu A

d

1. ¿Qué valor toma z en A(0, 2)? (a) 0 (b) −1 (c) −2

B s=B+mv

2x − y = 1

2. ¿Qué valor toma z en C(3, 3)? (a) 3 (b) 4 (c) 5

C(3, 3)

MaTEX

4. ¿En qué punto es z m´ınima? (a) A(0, 2) (b) B(4, 0) (c) C(3, 3) B(4, 0)

5. ¿Cuál es el vector de ascenso de z ? → → − (a) − u (2, −1) (b) − u (−2, 1) (c) → u (1, 2)

− (d) → u (−1, −2)

6. ¿Cuál es el vector de descenso de z ? → → − (a) − u (1, −2) (b) − u (−2, 1) (c) → u (1, 2)

− (d) → u (−1, 2)

Lineal

A(0, 2)

ń Programacio

3. ¿En qué punto es z m´ axima? (a) A(0, 2) (b) B(4, 0) (c) C(3, 3)

SOCIALES

JJ

II

J

I

J Doc

Doc I

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Secci´ on 4: Optimizar una funci´ on lineal

30

Test. Considera la función z = 2x−y y la regi´ on factible del gráfico y responde a las preguntas:

MATEMATICAS 2º Bachillerato r=A+lu A

d

1. ¿Cuál es el vector de ascenso de z ? → → (a) − u (1, 2) (b) − u (2, 1) (c) otro

B s=B+mv

2x − y = 1

4. En el punto A, z alcanza un.... (a) m´ınimo (b) m´ aximo

5. ¿Cuál es el vector de descenso de z ? → → − (a) − u (2, −1) (b) − u (−2, 1) (c) → u (1, 2)

− (d) → u (−1, −2)

Lineal

A(0, 1)

ń Programacio

MaTEX

2. ¿Tiene m´ınimo z ? (a) si (b) no 3. ¿Tiene máximo z ? (a) si (b) no

SOCIALES

JJ

II

J

I

J Doc

Doc I

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Secci´ on 4: Optimizar una funci´ on lineal

31

Test. Considera la función z = x−4y y la regi´ on factible del gráfico y responde a las preguntas:

MATEMATICAS 2º Bachillerato r=A+lu A

d

1. ¿Tiene m´ınimo z ? (a) si (b) no

B s=B+mv

SOCIALES

2. ¿Tiene máximo z ? (a) si (b) no

A(0, 1)

5. ¿Cuál es el vector de descenso de z ? → → − (a) − u (4, −1) (b) − u (−4, 1) (c) → u (1, 4)

x − 4y = 0

− (d) → u (−1, 4)

Lineal

4. ¿Cuál es el vector de ascenso de z ? → − (a) − u (4, −1) (b) → u (1, −4) (c) otro

ń Programacio

3. En el punto A, z alcanza un.... (a) m´ınimo (b) máximo (c) nada

MaTEX

JJ

II

J

I

J Doc

Doc I

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Secci´ on 5: Formulaci´ on general del problema

32

MATEMATICAS 2º Bachillerato r=A+lu

5. Formulaci´ on general del problema

A

En un problema de programaci´ on lineal intervienen: La función z(x, y) = ax + by + c

d

(2)

B s=B+mv

SOCIALES

llamada función objetivo y que es necesario optimizar.

La solución óptima del problema ser´ a un par de valores (x0 , y0 ) del conjunto factible que haga que z(x, y) tome el valor m´ aximo o m´ınimo.

Lineal

Al conjunto de valores de x e y que verifican todas y cada una de las restricciones se lo denomina regi´ on factible.

MaTEX ń Programacio

En esa expresión x e y son las variables de decisi´ on, mientras que a, b y c son constantes. Las restricciones que deben ser inecuaciones lineales.  r1 ≡ a1 x + b1 y ≤ c1    r2 ≡ a2 x + b2 y ≤ c2 (3) ... .........    rn ≡ an x + bn y ≤ cn

JJ

II

J

I

J Doc

Doc I

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Secci´ on 5: Formulaci´ on general del problema

33

MATEMATICAS 2º Bachillerato r=A+lu

5.1. Teorema de la programaci´ on lineal

A

Este resultado general nos dice donde debe estar la solución de un problema de programación lineal.

d B s=B+mv

SOCIALES

Dado el problema de optimizaci´ on con restricciones lineales

a1 x + b1 y ≤ c1 a2 x + b2 y ≤ c2 ......... an x + bn y ≤ cn

   

(4)

  

el m´ aximo o m´ınimo de z, si existe se alcanza en un vértice de la regi´ on factible

Lineal

r1 ≡ r2 ≡ ... rn ≡

ń Programacio

MaTEX

z = ax + by + c

JJ

II

J

I

J Doc

Doc I

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Secci´ on 5: Formulaci´ on general del problema

MATEMATICAS 2º Bachillerato

34

r=A+lu

5.2. Ejemplos

A

Ejemplo 5.1. Hallar el m´ aximo y el m´ınimo de la función z = x + y con las restricciones

d B s=B+mv

r1 : 3x + 4y ≤ 12 r2 : 2x + y ≥ 2 r3 : x ≥ 0 r4 : y ≥ 0

SOCIALES

Soluci´ on:

x+y =3

(0, 3)

z =x+y =3 En el gráfico observamos que el máximo se alcanza en (4, 0) y el m´ınimo se alcanza en (1, 0).

(0, 2)

(1, 0)

(4, 0) r1

r2

max z = z(4, 0) = 4

Lineal

Representamos un caso concreto de la función objetivo

MaTEX ń Programacio

Representamos las rectas y hallamos la región factible

min z = z(1, 0) = 1

JJ

II

J

I

J Doc

Doc I

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Secci´ on 5: Formulaci´ on general del problema

35

Ejemplo 5.2. Hallar el m´ aximo y el m´ınimo de la función z = x + y con las restricciones

MATEMATICAS 2º Bachillerato r=A+lu A

d

r1 : x + 3y ≥ 3 r2 : −x + y ≤ 1 r3 : x ≤ 2

B s=B+mv

SOCIALES

Soluci´ on:

Representamos un caso concreto de la función objetivo

MaTEX

r2

(2, 3)

z =x+y =3 En el gráfico observamos que el máximo se alcanza en (2, 3) y el m´ınimo se alcanza en (0, 1).

r1

(0, 1) (2,

1 3

)

r3

max z = z(2, 3) = 5

min z = z(0, 1) = 1

Lineal

x+y =3

ń Programacio

Representamos las rectas y hallamos la región factible

JJ

II

J

I

J Doc

Doc I

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Secci´ on 5: Formulaci´ on general del problema

36

Ejemplo 5.3. Hallar el m´ aximo y el m´ınimo de la función z = x + y con las restricciones r1 : x + 3y ≥ 3 r2 : −x + y ≤ 1 Soluci´ on:

MATEMATICAS 2º Bachillerato r=A+lu A

d B s=B+mv

SOCIALES

Representamos un caso concreto de la función objetivo

MaTEX

r2

z =x+y =3 En el gráfico observamos que el máximo no existe y el m´ınimo se alcanza en (0, 1).

r1

max z = no hay

min z = z(0, 1) = 1

Lineal

x+y =3

ń Programacio

Representamos las rectas y hallamos la región factible

JJ

II

J

I

J Doc

Doc I

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Secci´ on 5: Formulaci´ on general del problema

37

Ejemplo 5.4. Hallar el m´ aximo y el m´ınimo de la función z = −x + y con las restricciones r1 : x + 3y ≥ 3 r2 : −x + y ≤ 1 Soluci´ on:

MATEMATICAS 2º Bachillerato r=A+lu A

d B s=B+mv

SOCIALES

r2

MaTEX ń Programacio

Representamos un caso concreto de la función objetivo

−x + y = 0

z = −x + y = 0 En el gráfico observamos que el máximo no existe y el m´ınimo se alcanza en todos los puntos de la restricci´ on r2 , pues es paralela a la función objetivo.

Lineal

Representamos las rectas y hallamos la región factible

r1 max z = no hay

min z = z(0, 1) = 1

JJ

II

J

I

J Doc

Doc I

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6. Ejercicios Ejercicio 2. Un frutero necesita 16 cajas de naranjas, 5 de plátanos y 20 de manzanas. Dos mayoristas le suministran fruta en contenedores completos. El mayorista A env´ıa en cada contenedor 8 cajas de naranjas, 1 de plátanos y 2 de manzanas. El mayorista B env´ıa en cada contenedor 2 cajas de naranjas, una de plátanos y 7 de manzanas. Sabiendo que el mayorista A se encuentra a 150 km de distancia y el mayorista B a 300 km, calcular cuántos contenedores habrá de comprar a cada mayorista, con objeto de ahorrar tiempo y dinero, reduciendo al m´ınimo la distancia de lo solicitado. Ejercicio 3. Una compa˜ n´ıa tiene dos minas: la mina A produce diariamente 1 tonelada de carbón de antracita de alta calidad, 2 toneladas de calidad media y 4 toneladas de baja calidad; la mina B produce 2 toneladas de cada una de las tres clases. La compa˜ n´ıa necesita 70 toneladas de carbón de alta calidad, 130 de calidad media y 150 de baja calidad. Los gastos diarios de la mina A ascienden a 150 d´ olares y los de la mina B a 200 dólares. ¿Cuántos d´ıas deberán trabajar en cada mina para que la funci´ on de coste sea m´ınima? Ejercicio 4. Imaginemos que las necesidades semanales m´ınimas de una persona en prote´ınas, hidratos de carbono y grasas son, respectivamente, 8, 12 y 9 unidades. Supongamos que debemos obtener un preparado con esa composición m´ınima mezclando dos productos A y B, cuyos contenidos por kg son los de la siguiente tabla:

MATEMATICAS 2º Bachillerato r=A+lu A

d B s=B+mv

SOCIALES

MaTEX Lineal

38

ń Programacio

Secci´ on 6: Ejercicios

JJ

II

J

I

J Doc

Doc I

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Prote´ınas 2 1

Hidratos 6 1

Grasas 1 3

Coste/kg 600 400

¿Cuántos Kg de cada producto deber´ an comprarse semanalmente para que el costo de preparar la dieta sea m´ınimo? Ejercicio 5. En la elaboraci´ on de un producto A se necesita una sustancia B. La cantidad de A obtenida es menor o igual que el doble de B utilizada, y la diferencia entre las cantidades del producto B y A no supera los 2 g mientras que la suma no debe sobrepasar los 5 g. Además se utiliza por lo menos 1 g de B y se requiere 1 g de A. La sustancia A se vende a 5 millones y la B cuesta 4 millones el gramo. Calcular la cantidad de sustancia B necesaria para que el beneficio sea m´ aximo. Ejercicio 6. En una encuesta realizada por una televisión ha detectado que un programa con 20 minutos de variedades y un minuto de publicidad capta 30.000 espectadores, mientras que otro programa con 10 minutos de variedades y 1 minuto de publicidad capta 10.000 espectadores. Para un determinado per´ıodo, se decide dedicar no m´ as de 80 minutos de variedades y no menos de 6 minutos de publicidad. ¿Cu´ antas veces deberá aparecer cada programa con objeto de captar el m´ aximo n´ umero de espectadores? Ejercicio 7. Una empresa fabrica dos tipos de tarjetas gráficas, de 16Mb y 32Mb de memoria, respectivamente. Se utilizan dos máquinas que emplean 2 min. en fabricar las de 16Mb y 3 min. en fabricar las de 32Mb. La cadena de

MATEMATICAS 2º Bachillerato r=A+lu A

d B s=B+mv

SOCIALES

MaTEX Lineal

A B

39

ń Programacio

Secci´ on 6: Ejercicios

JJ

II

J

I

J Doc

Doc I

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montaje puede funcionar un m´ aximo de 300 minutos diarios. Además cada máquina tiene una capacidad m´ axima de fabricaci´ on diaria de 125 unidades, entre las cuales no puede haber m´ as de 90 tarjetas de 16Mb ni más de 80 tarjetas de 32Mb, siendo el beneficio neto de las primeras de 45pts y el de las segundas de 60pts. ¿Cu´ antas tarjetas de 16Mb y 32Mb debe fabricar diariamente cada máquina para que el beneficio sea m´ aximo?. Ejercicio 8. Un quiosco de prensa vende bol´ıgrafos a 20 pts y cuadernos a 30 pts. Llevamos 240 pts y pretendemos comprar los mismos cuadernos que bol´ıgrafos por lo menos. ¿Cuál será el n´ umero máximo de piezas que podemos comprar?. Ejercicio 9. Un ganadero debe suministrar un m´ınimo diario de 4 mg de vitamina A y 6 mg de vitamina B en el pienso que da a sus reses. Dispone para ello de dos tipos de pienso P1 y P2 , cuyos contenidos vitam´ınicos por kilogramo son los que aparecen en la tabla: A B P1 2 6 P2 4 3 Si el pienso P1 vale a 0,4 e el kilogramo y el pienso P2 vale a 0,6 e el kilogramo, ¿qué cantidades repectivas del pienso P1 y del pienso P2 se deben mezclar, para suministrar las vitaminas requeridas con un coste m´ınimo? Ejercicio 10. Se va a organizar una planta de un taller de automóviles donde

MATEMATICAS 2º Bachillerato r=A+lu A

d B s=B+mv

SOCIALES

MaTEX Lineal

40

ń Programacio

Secci´ on 6: Ejercicios

JJ

II

J

I

J Doc

Doc I

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van a trabajar electricistas y mec´ anicos. Por necesidades de mercado, es necesario que haya mayor o igual n´ umero de mec´ anicos que de electricistas y del n´ umero de mecánicos no supere al doble que el de electricistas. En total hay disponibles 30 electricistas y 20 mec´ anicos. El beneficio de la empresa por jornada es de 150 e por electricista y 120 e por mec´ anico. ¿Cuántos trabajadores de cada clase deben elegirse para obtener el m´ aximo beneficio? Ejercicio 11. Un orfebre fabrica dos tipos de joyas. La unidad de tipo A se hace con 1 g de oro y 1,5 g de plata y se vende a 25 e . La de tipo B se vende a 30 e y lleva 1,5 g de oro y 1 g de plata. Si solo se dispone de 750 g de cada metal, ¿cuántas joyas ha de fabricar de cada tipo para obtener el máximo beneficio?

MATEMATICAS 2º Bachillerato r=A+lu A

d B s=B+mv

SOCIALES

MaTEX Lineal

41

ń Programacio

Secci´ on 6: Ejercicios

JJ

II

J

I

J Doc

Doc I

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Soluciones a los Ejercicios

42

MATEMATICAS 2º Bachillerato r=A+lu

Soluciones a los Ejercicios

A

Ejercicio 1(a)

d

r1 ≡ x + y r2 ≡ x + y

B s=B+mv

≤ 5 ≥ 2

SOCIALES

3

ń Programacio

4

r1

2 1 0

r2 0

1

2

3

4

Lineal

MaTEX

5

5

JJ

II

J

I

J Doc

Doc I

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Soluciones a los Ejercicios

43

MATEMATICAS 2º Bachillerato r=A+lu

Ejercicio 1(b)

A

r1 ≡ 4x − 3y r2 ≡ x + 4y

≥ ≥

−3 5

d B s=B+mv

SOCIALES

5

ń Programacio

r1

3 2 1 r2 0

0

1

2

3

4

5

Lineal

MaTEX

4

JJ

II

J

I

J Doc

Doc I

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Soluciones a los Ejercicios

44

MATEMATICAS 2º Bachillerato r=A+lu

Ejercicio 1(c)

A

≡ x ≡ y−x ≡ x+y ≡ x

≤ 2y ≤ 2 ≤ 5 ≥ 0

d B s=B+mv

SOCIALES

MaTEX

5

ń Programacio

r2

4 3

r1

2 1 r4 0

0

r3 1

2

3

4

5

Lineal

r1 r2 r3 r4

JJ

II

J

I

J Doc

Doc I

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Soluciones a los Ejercicios

45

MATEMATICAS 2º Bachillerato r=A+lu

Ejercicio 1(d)

A

≡ 2x + 4y ≡ 6x + 3y ≡ x ≡ y

≥ ≥ ≥ ≥

d

4 6 0 0

B s=B+mv

SOCIALES

MaTEX

3

ń Programacio

r3 2

1 r1

Lineal

r1 r2 r3 r4

r2 0

r4 0

1

2

3

JJ

II

J

I

J Doc

Doc I

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Soluciones a los Ejercicios

46

MATEMATICAS 2º Bachillerato r=A+lu

Ejercicio 1(e)

A

r1 ≡ x ≥ y r2 ≡ x ≤ 2y r3 ≡ x ≤ 20

d B s=B+mv

SOCIALES

30

ń Programacio

20 15 r2

10 r1 r3

5 0

0

5

10

15

20

25

Lineal

MaTEX

25

30

JJ

II

J

I

J Doc

Doc I

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Soluciones a los Ejercicios

47

MATEMATICAS 2º Bachillerato r=A+lu

Ejercicio 1(f )

A

≤ 24 ≤ x ≥ 1

d B s=B+mv

SOCIALES

8

MaTEX

r1

7

ń Programacio

r2

6 5 4 3 2 1 0

r3 0

1

2

3

4

5

6

7

Lineal

r1 ≡ 3x + 2y r2 ≡ y r3 ≡ y

8

JJ

II

J

I

J Doc

Doc I

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Soluciones a los Ejercicios

48

Ejercicio 2. Sean x los contenedores que env´ıa A e y los contenedores que env´ıa B, entonces hay que minimizar la distancia z

MATEMATICAS 2º Bachillerato r=A+lu A

d

z = 150 x + 300 y

B s=B+mv

SOCIALES

r4 ≡ x ≥ 0 r 5 ≡ y ≥ 0 r1 ∩ r2 = A(1, 4) r2 ∩ r3 = B(3, 2) El m´ınimo se alcanza en B,

4

MaTEX

5 A

3 r3

B

2

z(3, 2) = 1050 kms r1

1 0

0

1

z

r2 2

3

4

Lineal

6

ń Programacio

Las restricciones son: r1 ≡ 8x + 2y ≥ 16 r2 ≡ x + y ≥ 5 r3 ≡ 2x + 7y ≥ 20

5

Ejercicio 2

JJ

II

J

I

J Doc

Doc I

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Soluciones a los Ejercicios

49

Ejercicio 3. Sean x los d´ıas que trabaja A e y los d´ıas que trabaja B, entonces hay que minimizar el coste z

MATEMATICAS 2º Bachillerato r=A+lu A

d

z = 150x + 200y

B s=B+mv

SOCIALES

r1 ≡ x + 2y r2 ≡ 2x + 2y r3 ≡ 4x + 2y

≥ 70 ≥ 130 ≥ 150

60

r4 ≡ x ≥ 0 r 5 ≡ y ≥ 0 r2 ∩ r3 = A(10, 55) r1 ∩ r2 = B(60, 5) El m´ınimo se alcanza en B,

40

z(60, 5) = 10,000

MaTEX

A

50 z r2 30

r1

20 r3

10 0

B 0

10

20

30

40

50

60 70 Ejercicio 3

Lineal

70

ń Programacio

Las restricciones son:

JJ

II

J

I

J Doc

Doc I

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Soluciones a los Ejercicios

50

Ejercicio 4. Sean x los kgs de A e y los kgs de B, entonces hay que minimizar el coste z z = 600x + 400y

SOCIALES

12

MaTEX

10 8 A

6 z 4

z(3, 2) = 2600 2 0

d B s=B+mv

B r1

r2 0

1

2

3

r3 4

5

6

Lineal

r4 ≡ x ≥ 0 r 5 ≡ y ≥ 0 r1 ∩ r2 = A(1, 6) r1 ∩ r3 = B(3, 2) El m´ınimo se alcanza en B,

r=A+lu A

ń Programacio

Las restricciones son: r1 ≡ 2x + y ≥ 8 r2 ≡ 6x + y ≥ 12 r3 ≡ x + 3y ≥ 9

MATEMATICAS 2º Bachillerato

Ejercicio 4 JJ

II

J

I

J Doc

Doc I

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Soluciones a los Ejercicios

51

Ejercicio 5. Sean x los gs de A e y los gs de B, entonces hay que maximizar el beneficio z en millones z = 5x + 4y Las restricciones son: r1 ≡ x ≤ 2y r2 ≡ y − x ≤ 2 r3 ≡ x + y ≤ 5

5

r4 ≡ x ≥ 1 r 5 ≡ y ≥ 1 10 5 r1 ∩ r3 = E( , ) 3 3 El máximo se alcanza en E,

3

d B s=B+mv

SOCIALES

r2

MaTEX

4 A B

2

E

1 0

C

0

r3

D 1

2

r1

3

4 5 Ejercicio 5

Lineal

10 5 , ) = 10 millones 3 3

r=A+lu A

ń Programacio

z(

z

MATEMATICAS 2º Bachillerato

JJ

II

J

I

J Doc

Doc I

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Soluciones a los Ejercicios

52

Ejercicio 6. Sean x los programas del primer tipo e y los programas del segundo tipo, entonces hay que maximizar el n´ umero de espectadores z

MATEMATICAS 2º Bachillerato r=A+lu A

d

z = 30000 x + 10000 y

B s=B+mv

SOCIALES

El máximo se alcanza en A, z(2, 4) = 100,000 espectadores

MaTEX

7 6

C

5 4

A

3 2

r2 r1

1 0

0

1

2

3

4 Ejercicio 6

Lineal

r3 ≡ x ≥ 0 r 4 ≡ y ≥ 0 r1 ∩ r2 = A(2, 4)

z

8 B

ń Programacio

Las restricciones son: r1 ≡ 20x + 10y ≤ 80 r2 ≡ x+y ≥ 6

JJ

II

J

I

J Doc

Doc I

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Soluciones a los Ejercicios

53

Ejercicio 7. Sean x las tarjetas de 16Mb e y las tarjetas de 32Mb, entonces hay que maximizar el beneficio z

MATEMATICAS 2º Bachillerato r=A+lu A

d

z = 45 x + 60 y

B s=B+mv

SOCIALES

80

El máximo se alcanza en A,

60 A r1

40 20 0

z 0

20

40

60

80

100

120

Lineal

MaTEX

100

r3 ≡ x ≤ 90 r4 ≡ y ≤ 80 r1 ∩ r2 = A(75, 50) z(75, 50) = 6375 pts

r2

120

ń Programacio

Las restricciones son: r1 ≡ 2x + 3y ≤ 300 r2 ≡ x + y ≤ 125

Ejercicio 7 JJ

II

J

I

J Doc

Doc I

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Soluciones a los Ejercicios

54

Ejercicio 8. Sean x los cuadernos e y los bol´ıgrafos, entonces hay que maximizar la cantidad z z =x+y

≤ 240 ≤ x

r3 ≡ x ≥ 0 r4 ≡ y ≥ 0 r1 ∩ r2 = A(4,8; 4,8) Como tienen que ser enteros, tomamos en el recinto, la pareja (5, 4) de enteros más pr´ oxima a la solución. Luego, el máximo se alcanza en (5, 4) , z(5, 4) = 9 piezas

SOCIALES

8

MaTEX

r1

7

r2

6 5

A

4 3 2

z

1 0

d B s=B+mv

0

1

2

3

4

5

6

7

8

Lineal

r1 ≡ 30x + 20y r2 ≡ y

r=A+lu A

ń Programacio

Las restricciones son:

MATEMATICAS 2º Bachillerato

Ejercicio 8 JJ

II

J

I

J Doc

Doc I

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Soluciones a los Ejercicios

55

Ejercicio 9. Sean x los kg de pienso P 1 e y los kg de pienso P 2, entonces hay que minimizar el coste z

MATEMATICAS 2º Bachillerato r=A+lu A

d

z = 0,4 x + 0,6 y

B s=B+mv

SOCIALES

MaTEX 2

Luego, el m´ınimo se alcanza en (2/3, 2/3) , 2 2 2 z( , ) = 3 3 3

e

1 r1

A

z

r2 0

0

1

2

Lineal

r3 ≡ x ≥ 0 r4 ≡ y ≥ 0 r1 ∩ r2 = A(2/3; 2/3)

3

ń Programacio

Las restricciones son: r1 ≡ 2x + 4y ≥ 4 r2 ≡ 6x + 3y ≥ 6

3

Ejercicio 9 JJ

II

J

I

J Doc

Doc I

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Soluciones a los Ejercicios

56

Ejercicio 10. Sean x los mec´ anicos e y los electricistas, entonces hay que maximizar el beneficio z z = 120x + 150y 30

z(20, 20) = 5400

MaTEX

e

20

A

15 10

r2

z

25

30

B r1 r3

5 0

0

5

10

15

20

Lineal

Luego, el máximo se alcanza en A(20, 20) ,

d B s=B+mv

SOCIALES

r4

25

r3 ≡ x ≤ 20 r4 ≡ y ≤ 30 r1 ∩ r4 = A(20; 20)

r=A+lu A

ń Programacio

Las restricciones son: r1 ≡ x ≥ y r2 ≡ x ≤ 2y

MATEMATICAS 2º Bachillerato

Ejercicio 10 JJ

II

J

I

J Doc

Doc I

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Soluciones a los Ejercicios

57

Ejercicio 11. Sean x las joyas de tipo A e y las joyas de tipo B, entonces hay que maximizar el beneficio z

MATEMATICAS 2º Bachillerato r=A+lu A

d

z = 25x + 30y

B s=B+mv

SOCIALES

500

300

Luego, el máximo se alcanza en A(300, 300) ,

200

z(300, 300) = 15500

e

A

z 100 0

r2 0

100

200

300

400 500 Ejercicio 11

Lineal

r3 ≡ x ≥ 0 r4 ≡ y ≥ 0 r1 ∩ r2 = A(300; 300)

MaTEX

r1

400

ń Programacio

Las restricciones son: r1 ≡ x + 1,5y ≤ 750 r2 ≡ 1,5x + y ≤ 750

JJ

II

J

I

J Doc

Doc I

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58

Soluciones a los Tests

MATEMATICAS 2º Bachillerato r=A+lu A

Soluci´ on al Test: Recuerda que si la funci´ on objetivo z es lineal

SOCIALES

MaTEX ń Programacio

z = ax + by → su vector dirección de ascenso es − u (a, b) y su vector dirección de descenso es → − u (−a, −b). Luego para z = x + 3y: → su vector dirección de ascenso es − u (1, 3) y su vector dirección de descenso es → − Final del Test u (−1, −3).

d B s=B+mv

Lineal

Soluciones a los Tests

JJ

II

J

I

J Doc

Doc I

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MATEMATICAS 2º Bachillerato r=A+lu A

´ Indice alfab´ etico dirección de ascenso, 26 dirección de descenso, 26

d B s=B+mv

SOCIALES

función objetivo, 32

ń Programacio

l´ıneas de nivel, 24 optimizar, 24 recta, 19 dirección de la, 19 paralela, 20 perpendicular, 22 región factible, 9 acotada, 16 no acotada, 17 restricciones, 32

59

Lineal

MaTEX

inecuaciones, 5 sistemas de,, 9

JJ

II

J

I

J Doc

Doc I

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MATEMATICAS 1º Bachillerato

Proyecto

MaTEX

r=A+lu A

d B s=B+mv

Fco Javier Gonz´ alez Ortiz

Directorio Tabla de Contenido Inicio Art´ıculo

c 2004 [email protected]

D.L.:SA-1415-2004

SOCIALES

MaTEX L´ımites y Continuidad

L´ımites-Continuidad

ISBN: 84-688-8267-4

JJ

II

J

I

J Doc

Doc I

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MATEMATICAS 1º Bachillerato

1. Introducci´ on 2. ¿Qu´ e es un l´ımite? 2.1. C´ alculo de l´ımites usando tablas 2.2. Algebra de los l´ımites 3. L´ımites laterales 4. L´ımites Infinitos 5. L´ımites en el Infinito 6. L´ımites Indeterminados 7. C´ alculo de l´ımites Indeterminados 7.1. Calculo de l´ımites 00 • Por factorizaci´ on • Por el conjugado ∞ 7.2. Calculo de l´ımites ∞ • Por división de la mayor potencia 7.3. Calculo de l´ımites ∞ − ∞ • Se hacen operaciones • Por el conjugado 7.4. Calculo de l´ımites a±∞ 7.5. Calculo de l´ımites f (x)g(x) 8. El n´ umero e 8.1. Calculo de l´ımites 1±∞

r=A+lu A

d B s=B+mv

SOCIALES

MaTEX L´ımites y Continuidad

Tabla de Contenido

JJ

II

J

I

J Doc

Doc I

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9. Continuidad 9.1. ¿Qu´ e es una funci´ on continua? 9.2. Definici´ on de continuidad 10. Discontinuidad 10.1.Discontinuidad Evitable 10.2.Discontinuidad de salto finito 10.3.Discontinuidad de salto infinito 11. As´ıntotas 11.1.As´ıntota Vertical 11.2.As´ıntota Horizontal 11.3.As´ıntota Oblicua 12. Cuestionarios Soluciones a los Ejercicios Soluciones a los Tests

3

MATEMATICAS 1º Bachillerato r=A+lu A

d B s=B+mv

SOCIALES

MaTEX L´ımites y Continuidad

Tabla de Contenido (cont.)

JJ

II

J

I

J Doc

Doc I

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4

1. Introducci´ on El concepto de l´ımite es el fundamento del c´ alculo. En el siglo XIX, eminentes matemáticos, Augustin-Louis Cauchy1 y Karl Weiertrass2 entre otros trataron de precisar el concepto de l´ımite. Ellos lograron dar una definición rigurosa de l´ımite, la definici´ on −δ, que aunque la incluimos en este cap´ıtulo no es fundamental en un primer acercamiento intuitivo a dicho concepto. El nivel de este cap´ıtulo es adecuado para alumnos de 4o de ESO y 1o de Bachillerato. Se incluye en este cap´ıtulo también el estudio del concepto de continuidad de una función que está basado en el concepto de l´ımite. Se incide en la aplicaci´ on de los l´ımites para la representación de funciones, sobre todo las racionales en el c´ alculo de las as´ıntotas, horizontales, verticales y oblicuas.

1

Eminente matem´ atico frances (1789-1857) que escribi´ o mas de 700 art´ıculos, y fue pintor, abogado y escalador. 2 Eminente matem´ atico alem´ an (1815-1897) que precis´ o la definici´ on de continuidad.

MATEMATICAS 1º Bachillerato r=A+lu A

d B s=B+mv

SOCIALES

MaTEX L´ımites y Continuidad

Secci´ on 1: Introducci´ on

JJ

II

J

I

J Doc

Doc I

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Secci´ on 2: ¿Qu´ e es un l´ımite?

5

MATEMATICAS 1º Bachillerato r=A+lu

2. ¿Qu´ e es un l´ımite?

A

l´ım f (x) = L

x→a

As´ı decimos que l´ım x2 = 1 pues cuando x → 1, x2 → 1, x→1

o también decimos que l´ım x2 = 4 pues cuando x → 2, x2 → 4, x→2

o bien decimos que l´ım x3 = 125 pues cuando x → 5, x3 → 125. x→5

Hay una definición formal de l´ımite pero por su dificultad se puede prescindir de ella y trabajar de una forma intuitiva. A continuación usaremos una técnica simple e intuitiva de calcular el l´ımite dise˜ nando una tabla de valores para la funci´ on. Vamos a verlo.

d B s=B+mv

SOCIALES

MaTEX L´ımites y Continuidad

Para una función matem´ atica y = f (x), en un punto x = a, la expresión ((l´ımite de f (x) cuando x es tan pr´ oximo a a como queramos)) (x → a), es el valor al que se aproxima la funci´ on cuando el valor de x se acerca a a tanto como se quiera, simbólicamente lo escribimos de la forma

JJ

II

J

I

J Doc

Doc I

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Secci´ on 2: ¿Qu´ e es un l´ımite?

6

r=A+lu

2.1. C´ alculo de l´ımites usando tablas

A

0.9 0.99 0.9999 ↓ 1−

2

x −1 x−1 1,9 2,1 1,99 2,01 1,9999 2,0001 ↓ ↓ 2 2

1+ ← x 1.1 1.01 1.0001 ↓ 1+

x2 − 1 → 2. x−1 ´ n Notar que x puede acercarse a 1 tanto como se quiera pero I Atencio 0 no puede ser 1 pues nos encontrar´ıamos con la expresión f (1) = que no 0 esta definida. Esto parece indicar que cuando x → 1 la funci´ on

d B s=B+mv

SOCIALES

MaTEX L´ımites y Continuidad

x2 − 1 con una tabla de valores. x→1 x − 1 Soluci´ on: Con la ayuda de la calculadora o de un computador damos valores de x próximos a 1 por su izquierda y por su derecha.

Ejemplo 2.1. Determinar l´ım

x → 1−

MATEMATICAS 1º Bachillerato

JJ

II

J

I

J Doc

Doc I

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Secci´ on 2: ¿Qu´ e es un l´ımite?

7

MATEMATICAS 1º Bachillerato r=A+lu

Ejemplo 2.2. Hallar con una tabla l´ım sen x.

A

x→0

Soluci´ on: Como antes, damos valores a x pr´ oximos a 0 por su izquierda y por su derecha.

d B s=B+mv

SOCIALES

x→0 -0.1 -0.01 -0.001 ↓ 0−

sen x -0.0998 0.0998 -0.00999 0.00999 -0.00099998 0.00099998 ↓ ↓ 0 0

+

0 ←x 0.1 0.01 0.001 ↓ 0+

MaTEX

Se observa que para valores cada vez m´ as pr´ oximos a 0, el valor de la función se aproxima más y m´ as a su l´ımite, que en este caso es 0, es decir l´ım sen x = 0

x→0

´ n El uso de tablas permite intuir al alumno la idea de aproxiI Atencio mación de una manera mec´ anica, si bien para calcular l´ımites no se utilizan. En su lugar usaremos reglas y técnicas que se exponen a continuación.

L´ımites y Continuidad

−

JJ

II

J

I

J Doc

Doc I

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Secci´ on 2: ¿Qu´ e es un l´ımite?

8

r=A+lu

2.2. Algebra de los l´ımites

A

A continuación se recogen las primeras reglas de paso al l´ımite. Aunque tienen una estructura intuitiva sencilla, se demuestran con la definición rigurosa de l´ımite, pero esta demostraci´ on est´ a fuera del nivel de este curso.

x→a

x→a

l´ım f (x) · g(x) = l´ım f (x) · l´ım g(x)

x→a

x→a

x→a

l´ım f (x) f (x) = x→a x→a g(x) l´ım g(x)

Regla del cociente

SOCIALES

l´ım

L´ımites y Continuidad

Regla del producto

l´ım [f (x) + g(x)] = l´ım f (x) + l´ım g(x)

x→a

d B s=B+mv

MaTEX

Reglas del calculo de limites Regla de la suma

MATEMATICAS 1º Bachillerato

x→a

Regla de la potencia

l´ım f (x)g(x) = [ l´ım f (x)]l´ımx→a g(x)

x→a

A continuación se aplican estas reglas.

x→a

JJ

II

J

I

J Doc

Doc I

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Secci´ on 2: ¿Qu´ e es un l´ımite?

9

MATEMATICAS 1º Bachillerato r=A+lu

Ejemplo 2.3. Veamos algunos casos de como aplicar estas reglas:

A

d

2

= l´ım x + l´ım 1 x→0

=0+1

x→0

1

SOCIALES

2

l´ım (3 x + x )

= l´ım 3 l´ım x + l´ım x

=3·1+1

4

l´ım (sen x + cos x)

= l´ım sen x + l´ım cos x

=0+1

1

= l´ım x2 − l´ım 3x

=1−3

−2

= 16 · 2

32

1+1 3

2 3

x→1

x→0

l´ım (x2 − 3x)

x→1

√ l´ım (x2 x)

x→4

x2 + 1 x→1 3x l´ım

x→1

x→1

x→0

x→0

x→1

x→1

= l´ım x2 · l´ım x→4

x→1

2

x→4

√

x

l´ım x + 1

=

x→1

l´ım (3)x+1

l´ım 3x l´ım x + 1 = [ l´ım 3]x→2

l´ım (x + 3)5x

l´ım 5x = [ l´ım x + 3]x→2

x→2

x→2

x→1

x→2

x→2

=

= 33

27

= (2 + 3)10

510

MaTEX L´ımites y Continuidad

l´ım (x + 1)

x→0

B s=B+mv

JJ

II

J

I

J Doc

Doc I

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Secci´ on 3: L´ımites laterales

10

MATEMATICAS 1º Bachillerato r=A+lu

3. L´ımites laterales

A

Hasta ahora, con las tablas hemos determinado el l´ım f (x) realizando los

d

x→a

−

f (a ) = l´ım− f (x) x→a

f (a+ ) = l´ım f (x) x→a+

Como veremos en los ejemplos siguientes no siempre los l´ımites laterales coinciden. En este caso diremos que el l´ımite f (a− ) 6= f (a+ ) =⇒ l´ım f (x) no existe x→a

ya que los l´ımites laterales son distintos. También vamos a ver la interpretaci´ on geométrica de las funciones que en la proximidad de un punto presentan un comportamiento distinto, seg´ un nos aproximemos al valor de a por la izquierda o por la derecha .

B s=B+mv

SOCIALES

MaTEX L´ımites y Continuidad

cálculos por ambos lados de a, por la izquierda cuando x → a− y por la derecha cuando x → a+ . A partir de ahora escribiremos ambos l´ımites laterales por la izquierda y derecha, abreviadamente como f (a− ) y f (a+ ). Es decir

JJ

II

J

I

J Doc

Doc I

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Secci´ on 3: L´ımites laterales

11

|x| . x→0 x

MATEMATICAS 1º Bachillerato r=A+lu A

Ejemplo 3.1. Realizar una tabla para hallar l´ım

d

Soluci´ on: Recordemos que |x| = x → 0−

B s=B+mv

−x x ≤ 0 x 0≤x |x| x

SOCIALES

MaTEX

0+ ← x

-0.5

-1

1

0.5

-0.1

-1

1

0.1

-0.001

-1

1

0.001

Esto indica que |x| |x| = −1 y l´ım+ =1 x x x→0 Cuando los l´ımites laterales de una funci´ on en un punto son distintos decimos que el l´ımite no existe. As´ı, en este caso tenemos que l´ım

x→0−

f (0− ) = −1 6= f (0+ ) = 1 =⇒6 ∃ l´ım f (x) x→0

L´ımites y Continuidad

JJ

II

J

I

J Doc

Doc I

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Secci´ on 3: L´ımites laterales

12

Ejemplo 3.2. Veamos otro ejemplo de una funci´ on que tiene l´ımites laterales distintos en un punto. Sea la funci´ on definida a trozos Soluci´ on:

MATEMATICAS 1º Bachillerato r=A+lu A

d B s=B+mv

SOCIALES

y = f (x) =

−x + 2 x ≤ 1 x+1 11

lim ax = +∞

x→+∞

I a1

x

lim a = 0

x→−∞

I a0 f (0 + h) − f (0) = h h→0− −h = lim− = −1 h h→0 f (0 + h) − f (0) = f 0 (0+ ) = lim+ h h→0 h = lim =1 + h→0 h =

d B s=B+mv

y = |x|

SOCIALES

lim

MaTEX -5

-4

-3

-2

-1

Como f 0 (0− ) 6= f 0 (0+ ) la funci´ on no es derivable en x = 0

0

1

2

3

4

Derivadas

f 0 (0− )

A

5

Test. La función f (x) = x − |1 − x| es derivable en x = 1. (a) Si (b) No JJ

II

J

I

J Doc

Doc I

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Secci´ on 3: Reglas b´ asicas

13

MATEMATICAS 2º Bachillerato r=A+lu

3. Reglas b´ asicas

A

• Derivada de una constante

d

Teorema 3.1. Sea f una funci´ on constante f (x) = c ∀x ∈ R, siendo c un n´ umero real, entonces f 0 (x) = 0 ∀x ∈ R

• Derivada de la potencia

B s=B+mv

SOCIALES

MaTEX

f 0 (x) = nxn−1

x∈R

Derivadas

Teorema 3.2. (Regla de la potencia) Consideremos la función f (x) = xn , para alg´ un n´ umero natural n ∈ N . Entonces (5)

Nota al Teorema. La regla anterior se extiende y funciona cuando el exponente es cualquier n´ umero real. Ejemplo 3.1. Hallar las derivadas de f (x) = x6

g(x) = x−5

h(x) = x5/3

g 0 (x) = −5x−6

h0 (x) =

Soluci´ on: f 0 (x) = 6x5

5 2/3 x 3

Ejercicio 1. Calcular las derivadas. √ a) f (x) = 2x13 b) f (x) = x3

c) f (x) =

√ 5

x7

JJ

II

J

I

J Doc

Doc I

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Secci´ on 4: Reglas de Derivaci´ on

14

MATEMATICAS 2º Bachillerato r=A+lu

4. Reglas de Derivaci´ on

A

• Regla de la suma

d

Teorema 4.1. (Derivada de la suma) Sean las funciones u = f (x) y v = g(x). Entonces [f (x) + g(x)]0 = f 0 (x) + g 0 (x) (6) 0

[u + v] = u + v

0

SOCIALES

MaTEX

(7)

Derivadas

0

B s=B+mv

Ejemplo 4.1. Hallar las derivadas de f (x) = x3 + x4

g(x) = x2 − x−3

Soluci´ on: f 0 (x) = 3x2 + 4x3

g 0 (x) = 2x + 3x−4

Ejercicio 2. Calcular las derivadas. a) f (x) = 3 x2 − 5 x−3 c) f (x) = x10 + x−10 8

8,003

e) f (x) = x + x

b) f (x) = x2 − 3, x5 √ 3 d ) f (x) = x − x5 √ √ f ) f (x) = x3 + 5 x

JJ

II

J

I

J Doc

Doc I

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Secci´ on 4: Reglas de Derivaci´ on

15

MATEMATICAS 2º Bachillerato r=A+lu

• Regla del producto

A

Teorema 4.2. (Derivada del producto) Sean las funciones u = f (x) y v = g(x). Entonces [f (x)g(x)]0 = f 0 (x)g(x) + f (x)g 0 (x) (8)

[u · v]0 = u0 · v + u · v 0

(9)

d B s=B+mv

SOCIALES

MaTEX Derivadas

Ejemplo 4.2. Hallar la derivada del producto f (x) = (x3 + x4 )(x2 − x−3 ) Soluci´ on: f 0 (x) = (3x2 + 4x3 ) · (x2 − x−3 ) + (x3 + x4 ) · (2x + 3x−4 )

Ejercicio 3. Calcular las derivadas. a) f (x) = (x2 + 10)(1 − x2 ) c) f (x) = (x10 + 1)(1 − x) 2

3

e) f (x) = (x + x ) · (3 + x)

b) f (x) = (x + x2 + 1) · (1 + x) d ) f (x) = (x2 − 2x) · (1 − x2 ) √ √ f ) f (x) = ( x3 + x) · (x − 5 x)

JJ

II

J

I

J Doc

Doc I

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Secci´ on 4: Reglas de Derivaci´ on

16

MATEMATICAS 2º Bachillerato r=A+lu

• Regla del cociente

A

u 0 v

=

u0 · v − u · v 0 v2

d B s=B+mv

(10)

(11)

Ejemplo 4.3. Hallar la derivada del cociente f (x) =

SOCIALES

MaTEX Derivadas

Teorema 4.3. (Derivada del cociente) Sean u = f (x) y v = g(x) 0 f (x) f 0 (x)g(x) − f (x)g 0 (x) = g(x) g(x)2

x3 + x4 x2 − x−3

Soluci´ on: f 0 (x) =

(3x2 + 4x3 )(x2 − x−3 ) − (x3 + x4 )(2x + 3x−4 ) (x2 − x−3 )2

Ejercicio 4. Calcular las derivadas. 1 a) f (x) = x x10 + 1 c) f (x) = 1−x

b) f (x) =

x2 + 1 x

x2 + x d ) f (x) = x+3

JJ

II

J

I

J Doc

Doc I

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Secci´ on 4: Reglas de Derivaci´ on

17

MATEMATICAS 2º Bachillerato r=A+lu

• Regla de la cadena

A

Teorema 4.4. (Regla de la cadena) Sea las funciones y = f (u) y u = g(x). Supongamos que g es derivable en x y f es derivable en u, entonces la función compuesta f ◦ g es derivable en x y su derivada es

(f ◦ g)0 (x) = f 0 (g(x)) g 0 (x)

(12)

d B s=B+mv

SOCIALES

MaTEX

f (x) = (2x + x2 + 5)3

Derivadas

Ejemplo 4.4. Hallar las derivadas de g(x) = (2 − x12 )6

Soluci´ on: f 0 (x) = 3(2x + x2 + 5)2 (2 + 2 x) g 0 (x) = 6(2 − x12 )5 (−12 x11 ) Ejercicio 5. Calcular las derivadas. a) f (x) = (1 + 2 x)3

b) f (x) = (x + x2 )3

c) f (x) = (x10 + 1)2

d ) f (x) = (2x3 + x)3

e) f (x) = x2 (2x3 + x)3

f ) f (x) = (1 − x2 )3 (5 + x)5

JJ

II

J

I

J Doc

Doc I

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Secci´ on 4: Reglas de Derivaci´ on

Ejemplo 4.5. Dada la funci´ on: f (x) =

18

MATEMATICAS 2º Bachillerato r=A+lu A

x2 + 2 3 − (x − 1)2

x≤0 0 0

Derivada

f 0 (−1) = 7 > 0

+∞ + %

4 La función es decreciente en (0, ). 3 4 La función es creciente en (−∞, 0) y ( , ∞). 3 4 Hay un m´ınimo en x = . 3 Hay un máximo en x = 0.

Aplicaciones

Estudiamos el signo de la derivada dando valores

JJ

II

J

I

J Doc

Doc I

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Ejercicio 1. Hallar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de: 1 a) f (x) = b) g(x) = 4x3 − x4 x−2 Ejercicio 2. Hallar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de: 1 a) f (x) = x2 − ln x2 b) g(x) = (x + 1)(x − 4) 1 Ejercicio 3. Sea la función f (x) = a x+ . Hallar valores de a para que f (x) x sea decreciente en x = 2 Ejercicio 4. La función f (x) = 3 x2 + m x + 8, tiene un m´ınimo en x = 1. Calcular m y el valor del m´ınimo. Ejercicio 5. Hallar a y b para que la funci´ on f (x) = x3 + a x2 + b, tenga un m´ınimo igual a 3 en x = 2. Ejercicio 6. En un d´ıa desapacible, la temperatura T en grados cent´ıgrados varió con el tiempo t en horas seg´ un la funci´ on

MATEMATICAS 2º Bachillerato r=A+lu A

d B s=B+mv

SOCIALES

MaTEX Aplicaciones

13

Derivada

Secci´ on 3: Puntos singulares

T (t) = t2 − 9 t + 8 para 0 ≤ t ≤ 12. a) La temperatura a las dos de la ma˜ nana b) ¿Cuál fue la temperatura m´ınima? ¿A que hora?

JJ

II

J

I

J Doc

Doc I

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Secci´ on 3: Puntos singulares

14

MATEMATICAS 2º Bachillerato r=A+lu

c) ¿A que hora hubo 0 grados?

A

d ) Halla T 0 (2) y explica su significado Ejercicio 7. El consumo de gasolina de cierto coche viene dado por la función

d B s=B+mv

SOCIALES

Ejercicio 8. Clasifica los m´ aximos y m´ınimos de las funciones: 2 (a) f (x) = 2x − x + 3. (b) f (x) = (x − 1)ex . 1 . x2 2 (e) f (x) = x ln x. (c) f (x) = x +

(d) f (x) = x ln x. (f) f (x) = x2 ln x.

Aplicaciones

b) Estudia (representando la funci´ on) el consumo de gasolina en función de la velocidad.

MaTEX Derivada

9x 113 x2 − + C(x) = 400 20 4 donde x es la velocidad en km/h y C(x) es el consumo en litros cada 100 km. a) Calcula cuál es el consumo m´ınimo y a qué velocidad se obtiene.

JJ

II

J

I

J Doc

Doc I

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Secci´ on 4: Concavidad y convexidad

15

r=A+lu

4. Concavidad y convexidad

A

f 00 > 0

B s=B+mv

SOCIALES

MaTEX f 00 < 0 convexa

Aplicaciones

f0 f

M´ aximo relativo x=a + 0 − % ∃f (a) &

d

cóncava

Derivada

A partir del gráfico se observa que donde la curva es c´ oncava ∪, las tangentes est´ an por debajo de la funci´ on, y, donde la curva es convexa ∩, las tangentes est´ an por encima de la función. Por otra parte en la gr´ afica superior las pendientes van aumentando, es decir f 0 (x) es creciente y por tanto su derivada es positiva f 00 (x) > 0

M´ınimo relativo x=a − 0 + & ∃f (a) %

MATEMATICAS 2º Bachillerato

JJ

II

J

I

J Doc

Doc I

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Secci´ on 4: Concavidad y convexidad

16

MATEMATICAS 2º Bachillerato r=A+lu

4.1. Punto de Inflexi´ on

A

Cuando en un punto (a, f (a)) la funci´ on cambia de concavidad se tiene un punto de inflexión, y la tangente en el punto, si existe, atraviesa la función.

d B s=B+mv

SOCIALES

f 00 > 0

f 00 f

MaTEX

f 00 < 0 I

Punto Inflexión x=a + 0 − ∪ ∃f (a) ∩

f 00 f

f 00 > 0

Punto Inflexión x=a − 0 + ∩ ∃f (a) ∪

Ejercicio 9. Hallar los m´ aximos, m´ınimos y puntos de inflexión de las funciones: (a) f (x) = x3 − 6x2 + 9x. (b) f (x) = x4 − 2x3 . 1 (c) f (x) = x4 + 2x2 . (d) f (x) = 2 . x +1 2 x −1 (e) f (x) = ex (x − 1). (f) f (x) = . x

Aplicaciones

f 00 < 0

Derivada

I

JJ

II

J

I

J Doc

Doc I

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Secci´ on 4: Concavidad y convexidad

17

Ejemplo 4.1. Estudiar la concavidad, convexidad y puntos de inflexión de la función, f (x) = x3 − 3x + 4. Soluci´ on: Hallamos f 00 derivando dos veces,

d B s=B+mv

SOCIALES

00

Resolvemos f = 0, f (x) = 6x = 0 =⇒ x = 0 x −∞ 0 +∞ 00 Punto de inflexión I(0, 4) f − 0 + f ∩ f (0) ∪

MaTEX

J Pulsa y elige el bot´ on Derivadas y realiza la siguiente pr´ actica. Introduce en f (x) la expresi´ on xˆ3-3*x+4, y pulsa en Nueva Funci´ on. Pr´ actica 4.1. Test. Responde a las siguientes cuestiones

Aplicaciones

00

f 00 (x) = 6x

r=A+lu A

Derivada

f 0 (x) = 3x2 − 3

MATEMATICAS 2º Bachillerato

1. Para valores de x negativos, la funci´ on es: (a) convexa

(b) c´ oncava

2. Para valores de x positivos, la funci´ on es: (a) convexa

(b) c´ oncava

J

JJ

II

J

I

J Doc

Doc I

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18

Ejemplo 4.2. Estudiar la concavidad, convexidad y puntos de inflexión de la función, f (x) = x4 − 6x2 . Soluci´ on: Hallamos f 00 derivando dos veces, 00

00

f 00 (x) = 12x2 − 12

Resolvemos f = 0,f (x) = 12x − 12 = 0 =⇒ x = ±1 x −∞ −1 1 +∞ Puntos de inflexión 00 I1 (−1, 5) f + 0 − 0 + I2 (1, 5) f ∪ f (−1) ∩ f (1) ∪

MaTEX

J Pulsa y elige el bot´ on Derivadas y realiza la siguiente pr´ actica. Introduce en f (x) la expresi´ on xˆ4-6*xˆ2, y pulsa en Nueva Funci´ on.

Test. Responde a las siguientes cuestiones

d B s=B+mv

SOCIALES

2

Pr´ actica 4.2.

r=A+lu A

Aplicaciones

f 0 (x) = 4x3 − 12x

MATEMATICAS 2º Bachillerato

Derivada

Secci´ on 4: Concavidad y convexidad

1. Para valores de −1 < x < 1 , la funci´ on es: (a) convexa

(b) c´ oncava

2. Para valores de x > 1, la funci´ on es: (a) convexa

(b) c´ oncava

JJ

II

J

I

J Doc

Doc I

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J Ejercicio 10. Dada la funci´ on  x ≤ −1  2x + a 2 f (x) = −x + 2 −1 < x ≤ 1  ln x 1 0. Hallar el valor de a para a que f (x) tenga un m´ınimo relativo en x = 1 Ejercicio 12. La función f (x) = 90 x2 − 0,2x4 es el beneficio en miles de euros que se obtiene por la fabricaci´ on de x unidades de cierto producto. a) ¿Cuántas unidades de este producto se han de fabricar para obtener un beneficio máximo? b) ¿Cuál es este beneficio m´ aximo? Ejercicio 13. En una empresa el coste C(x) de un art´ıculo se calcula a partir de la cantidad x de un producto que se pide cada vez que la empresa se queda sin él. Dicho coste viene expresado por la funci´ on 200 x C(x) = + + 400 x 2

MATEMATICAS 2º Bachillerato r=A+lu A

d B s=B+mv

SOCIALES

MaTEX Aplicaciones

19

Derivada

Secci´ on 4: Concavidad y convexidad

JJ

II

J

I

J Doc

Doc I

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¿Cuál es la cantidad del producto x que minimiza el coste para la empresa? Ejercicio 14. La función f (x) = x3 +ax2 +bx+c, tiene un punto de derivada nula en (1, 1), que no es un extremo relativo. Razonar el valor de a, b y c. Ejercicio 15. La función f (x) = x3 +ax2 +bx+c, tiene un punto de derivada nula en (1, 1), que no es un extremo relativo. Razonar el valor de a, b y c. Ejercicio 16. La función f (x) = ax3 + bx2 + cx + d, tiene como tangente en el punto de inflexión (1, 0),la recta y = −3x + 3, y presenta un extremo en el punto de abcisa x = 0 Ejercicio 17. Hallar el valor de b y m para que la curva y = x3 +bx2 +mx+1 tenga un punto de inflexi´ on en el punto (0, 1), y la pendiente de la recta tangente en ese punto valga 1. Ejercicio 18. La función f (x) = ax3 + bx2 + cx + d, tiene como tangente en el punto (1, 1),la recta y = −x + 2, y presenta un extremo en el punto (0, 2). Ejercicio 19. Determinar el polinomio p(x) = ax3 + bx2 + cx + d, que tiene 1 y 2 como ra´ıces, pasa por (−1, 24) y tiene un m´ınimo relativo en x = 1. Test. Si una función f (x) tiene recta tangente en el punto (a, f (a)) entonces existe f 0 (a) (a) Verdadero (b) Falso

MATEMATICAS 2º Bachillerato r=A+lu A

d B s=B+mv

SOCIALES

MaTEX Aplicaciones

20

Derivada

Secci´ on 4: Concavidad y convexidad

JJ

II

J

I

J Doc

Doc I

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Test. Si f 0 (c) no existe entonces existe x = c es un punto cr´ıtico. (a) Verdadero (b) Falso Ejercicio 20. Estudiar la concavidad, convexidad y puntos de inflexión de las funciones: (a) f (x) = x3 − 3x + 4. (b) f (x) = x4 − 6x2 . 4 (c) f (x) = (x − 2) . (d) f (x) = xex . 2−x . (e) f (x) = ln(x + 1). (f) f (x) = x+1 Ejercicio 21. Halla los intervalos de concavidad y convexidad de f (x) = x|x| y comprueba que existe un punto de inflexi´ on en x = 0 a pesar de que no existe f 00 (0).

MATEMATICAS 2º Bachillerato r=A+lu A

d B s=B+mv

SOCIALES

MaTEX Aplicaciones

21

Derivada

Secci´ on 4: Concavidad y convexidad

JJ

II

J

I

J Doc

Doc I

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Soluciones a los Ejercicios

22

MATEMATICAS 2º Bachillerato r=A+lu

Soluciones a los Ejercicios

A

Ejercicio 1.

d

1 a) Sea f (x) = . Con Dom(f ) = R − {2}. Resolvemos f 0 = 0 x−2 1 f 0 (x) = − 0∀x la función es cóncava.

Aplicaciones

f 00 (x) = 12x2 + 2 6= 0

Derivada

Resolvemos f 00 = 0

JJ

II

J

I

J Doc

Doc I

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38

Ejercicio 9(d) Sea f (x) = f 0 (x) = − x f0 f

x2

1 . Resolvemos f 0 = 0 +1

r=A+lu A

d

2x = 0 =⇒ 2x = 0 =⇒ x = 0 (x2 + 1)2 −∞ + %

0 0 f (0)

MATEMATICAS 2º Bachillerato

B s=B+mv

SOCIALES

+∞

MaTEX

− &

Derivada

M´ aximo M (0, 1) 2 6x − 2 1 f 00 = 0 =⇒ f 00 (x) = 2 = 0 =⇒ 6x2 − 2 = 0 =⇒ x = ± √ 3 (x + 1) 3 1 1 √ +∞ x −∞ −√ 3 3 00 f + 0 − 0 + 1 1 f ∪ f(√ ) ∩ f(√ ) ∪ 3 3 1 3 1 3 Puntos de inflexi´ on I1 (− √ , ) I2 ( √ , ) 3 4 3 4

Aplicaciones

Soluciones a los Ejercicios

JJ

II

J

I

J Doc

Doc I

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Soluciones a los Ejercicios

39

MATEMATICAS 2º Bachillerato r=A+lu

Ejercicio 9(e) Sea f (x) = ex (x − 1). Resolvemos f 0 = 0

A

f 0 (x) = xex = 0 =⇒ x = 0 x f0 f

−∞ − &

0 0 f (0)

d B s=B+mv

+∞

SOCIALES

+ %

MaTEX

M´ınimo m(0, −1)

x f 00 f

−∞ − ∩

−1 0 f (−1)

+∞ + ∪

Punto de inflexi´ on I(−1, −2e−1 )

Aplicaciones

f 0 (x) = (x + 1)ex = 0 =⇒ (x + 1) = 0 =⇒ x = −1

Derivada

Resolvemos f 00 = 0

JJ

II

J

I

J Doc

Doc I

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Soluciones a los Ejercicios

Ejercicio 9(f ) Sea f (x) = f0 = 0

40

x2 − 1 . Con Dom(f ) = R − {0}. Resolvemos x

MATEMATICAS 2º Bachillerato r=A+lu A

d

2 f (x) = − 3 6= 0 x ∀x ∈ Dom(f ) no tiene puntos de inflexión.

SOCIALES

MaTEX

00

Como f 0 (x) 6= 0

Aplicaciones

Como f (x) > 0 Resolvemos f 00 = 0

B s=B+mv

Derivada

0

x2 + 1 f 0 (x) = 6= 0 x2 ∀x ∈ Dom(f ) es siempre creciente.

JJ

II

J

I

J Doc

Doc I

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Soluciones a los Ejercicios

41

MATEMATICAS 2º Bachillerato r=A+lu

Ejercicio 10. Siendo

A

 x ≤ −1  2x + a f (x) = −x2 + 2 −1 < x ≤ 1  ln x 1 0 a para que f (x) tenga un m´ınimo relativo en x = 1, (siendo f (x) derivable en) es necesario que f 0 (1) = 0 a 1 x x f 0 (x) = ln + x · · = ln + 1 a x a a luego 1 f 0 (1) = 0 =⇒ ln + 1 = 0 =⇒ ln a = 1 =⇒ a = e a Para comprobar que es m´ınimo se calcula 1 f 00 (e) > 0 =⇒ es un m´ınimo f 00 (x) = x Ejercicio 11

MATEMATICAS 2º Bachillerato r=A+lu A

d B s=B+mv

SOCIALES

MaTEX Aplicaciones

Ejercicio 11. Siendo

42

Derivada

Soluciones a los Ejercicios

JJ

II

J

I

J Doc

Doc I

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Soluciones a los Ejercicios

43

Ejercicio 12. Sea f (x) = 90 x2 − 0,2x4 el beneficio en miles de euros que se obtiene por la fabricación de x unidades a) Buscamos el máximo f 0 (x) = 180 x − 0,8 x3 = 0 =⇒ x(180 − 0,8 x2 ) = 0 =⇒ x = ±15

r=A+lu A

d B s=B+mv

SOCIALES

MaTEX

b) El beneficio máximo es f (15) = 10125 euros.

Aplicaciones

Ejercicio 12

Derivada

x=0

MATEMATICAS 2º Bachillerato

JJ

II

J

I

J Doc

Doc I

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Soluciones a los Ejercicios

44

MATEMATICAS 2º Bachillerato r=A+lu

Ejercicio 13. Siendo

A

200 x + + 400 x 2 buscamos el m´ınimo con la condici´ on C 0 (x) = 0 200 1 C 0 (x) = − 2 + x 2 luego 200 1 C 0 (x) = 0 =⇒ − 2 + = 0 =⇒ x = ±20 x 2 Para comprobar si x = 20 es m´ınimo, hallamos C 00 (20) 400 C 00 (x) = + 3 C 00 (20) > 0 =⇒ es un m´ınimo x C(x) =

d B s=B+mv

SOCIALES

Aplicaciones

Ejercicio 13

Derivada

MaTEX

JJ

II

J

I

J Doc

Doc I

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Soluciones a los Ejercicios

45

r=A+lu

Ejercicio 14. Como f (x) = x3 + ax2 + bx + c, f 0 (x) = 3x2 + 2ax + b

MATEMATICAS 2º Bachillerato A

f 00 (x) = 6x + 2a

d B s=B+mv

f pasa por (1, 1), luego f (1) = 1 =⇒ 1+a+b+c=1

SOCIALES

a = −3 b = 3 c = −1 y la función pedida es f (x) = x3 − 3x2 + 3x − 1

Ejercicio 14

MaTEX Aplicaciones

(1, 1) es punto de inflexi´ on, luego f 00 (1) = 0 =⇒ 6+2a=0 Resolviendo el sistema se obtiene

Derivada

Derivada nula en (1, 1) luego =⇒ f 0 (1) = 0 =⇒ 3+2a+b=0

JJ

II

J

I

J Doc

Doc I

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Soluciones a los Ejercicios

46

r=A+lu

Ejercicio 15. Como f (x) = x3 + ax2 + bx + c, f 0 (x) = 3x2 + 2ax + b

MATEMATICAS 2º Bachillerato A

f 00 (x) = 6x + 2a

d B s=B+mv

f pasa por (1, 1), luego f (1) = 1 =⇒ 1+a+b+c=1

SOCIALES

a = −3 b = 3 c = −1 y la función pedida es f (x) = x3 − 3x2 + 3x − 1

Ejercicio 15

MaTEX Aplicaciones

(1, 1) es punto de inflexi´ on, luego f 00 (1) = 0 =⇒ 6+2a=0 Resolviendo el sistema se obtiene

Derivada

Derivada nula en (1, 1) luego =⇒ f 0 (1) = 0 =⇒ 3+2a+b=0

JJ

II

J

I

J Doc

Doc I

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Soluciones a los Ejercicios

47

r=A+lu

Ejercicio 16. Como f (x) = ax3 + bx2 + cx + d, f 0 (x) = 3ax2 + 2bx + c

MATEMATICAS 2º Bachillerato A

f 00 (x) = 6ax + 2b

d B s=B+mv

00

(1, 0) es punto de inflexi´ on =⇒ f (1) = 0 =⇒ 6a+2b=0

SOCIALES

y = −3x + 3 es tangente en (1, 0), luego f 0 (1) = −3

MaTEX

3a+2b+c=-3

a = 1 b = −3 c = 0 d = 2 y la función pedida es f (x) = x3 − 3x2 + 2

Ejercicio 16

Aplicaciones

En x = 0, hay un extremo, luego f 0 (0) = 0 =⇒ c=0 Resolviendo el sistema se obtiene

Derivada

f pasa por (1, 0), luego f (1) = 0 =⇒ a+b+c+d=0

JJ

II

J

I

J Doc

Doc I

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Soluciones a los Ejercicios

48

r=A+lu

Ejercicio 17. Como f (x) = x3 + bx2 + mx + 1, f 0 (x) = 3x2 + 2bx + m

MATEMATICAS 2º Bachillerato A

f 00 (x) = 6x + 2b

d B s=B+mv

00

(0, 1) es punto de inflexi´ on, luego f (0) = 0 =⇒ 2b=0

SOCIALES

Derivada en x = 0 vale 1, luego =⇒ f 0 (0) = 1 =⇒ m=1 Resolviendo el sistema se obtiene

Ejercicio 17

Aplicaciones

y la función pedida es f (x) = x3 + x + 1

Derivada

MaTEX

b=0 m=1

JJ

II

J

I

J Doc

Doc I

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Soluciones a los Ejercicios

49

r=A+lu

Ejercicio 18. Como f (x) = ax3 + bx2 + cx + d, f 0 (x) = 3ax2 + 2bx + c

MATEMATICAS 2º Bachillerato A

f 00 (x) = 6ax + 2b

d B s=B+mv

f pasa por (1, 1), luego f (1) = 1 =⇒ a+b+c+d=1

SOCIALES

Un extremo en x = 0, luego =⇒ f 0 (0) = 0 =⇒ c=0 Resolviendo el sistema se obtiene a = 1 b = −2 c = 0 d = 2 y la función pedida es f (x) = x3 − 2x2 + 2

Ejercicio 18

MaTEX Aplicaciones

La pendiente en x = 1 es −1 =⇒ f 0 (1) = −1 =⇒ 3a+2b+c=-1

Derivada

f pasa por (0, 2), luego f (0) = 2 =⇒ d=2

JJ

II

J

I

J Doc

Doc I

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Soluciones a los Ejercicios

50

r=A+lu

Ejercicio 19. Como p(x) = ax3 + bx2 + cx + d, p0 (x) = 3ax2 + 2bx + c

MATEMATICAS 2º Bachillerato A

p00 (x) = 6ax + 2b

d B s=B+mv

f pasa por (−1, 24), luego p(−1) = 24 =⇒ -a+b-c+d=24

SOCIALES

x = 1 es una ra´ız , luego p(1) = 0 =⇒ a+b+c+d=0

a = −2 b = 8 c = −10 d = 4 y el polinomio pedido es p(x) = −2x3 + 8x2 − 10x + 4

Ejercicio 19

Aplicaciones

Un m´ınimo en x = 1, luego =⇒ p0 (1) = 0 =⇒ 3a+2b+c=0 Resolviendo el sistema se obtiene

Derivada

MaTEX

x = 2 es una ra´ız , luego p(2) = 0 =⇒ 8a+4b+2c+d=0

JJ

II

J

I

J Doc

Doc I

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Soluciones a los Ejercicios

51

r=A+lu

Ejercicio 20(a) Sea f (x) = x3 − 3x + 4. Hallamos f 00 f 0 (x) = 3x2 − 3

A

f 00 (x) = 6x

d

00

B s=B+mv

Resolvemos f = 0

SOCIALES

f 00 (x) = 6x = 0 =⇒ x = 0 0 +∞ − 0 + ∩ f (0) ∪ Punto de inflexi´ on I(0, 4)

Aplicaciones

MaTEX

−∞

Derivada

x f 00 f

MATEMATICAS 2º Bachillerato

JJ

II

J

I

J Doc

Doc I

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52

r=A+lu

Ejercicio 20(b) Sea f (x) = x4 − 6x2 . Hallamos f 00

A

f 00 (x) = 12x2 − 12

d

00

B s=B+mv

Resolvemos f = 0

SOCIALES

f 00 (x) = 12x2 − 12 = 0 =⇒ x = ±1 x f 00 f

MaTEX

−∞

−1 1 +∞ + 0 − 0 + ∪ f (−1) ∩ f (1) ∪ Puntos de inflexi´ on I1 (−1, 5) I2 (1, 5)

Derivada

f 0 (x) = 4x3 − 12x

MATEMATICAS 2º Bachillerato

Aplicaciones

Soluciones a los Ejercicios

JJ

II

J

I

J Doc

Doc I

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Soluciones a los Ejercicios

53

r=A+lu

Ejercicio 20(c) Sea f (x) = (x − 2)4 . Hallamos f 00 f 0 (x) = 4(x − 2)3

A

f 00 (x) = 12(x − 2)2

d

00

B s=B+mv

Resolvemos f = 0

SOCIALES

f 00 (x) = 12(x − 2)2 = 0 =⇒ x = 2

MaTEX

+∞ + ∪

Aplicaciones

+ ∪

2 0 f (2)

Derivada

x −∞ 00 f f No tiene puntos de Inflexi´ on.

MATEMATICAS 2º Bachillerato

JJ

II

J

I

J Doc

Doc I

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Soluciones a los Ejercicios

54

r=A+lu

Ejercicio 20(d) Sea f (x) = xex . Hallamos f 00 f 0 (x) = (x + 1)ex

A

f 00 (x) = (x + 2)ex

d

00

B s=B+mv

Resolvemos f = 0

SOCIALES

f 00 (x) = (x + 2)ex = 0 =⇒ (x + 2) = 0 =⇒ x = −2 − ∩

−2 0 f (−2)

MaTEX

+∞ + ∪

Punto de inflexi´ on I(−2, −2e−2 )

Aplicaciones

−∞

Derivada

x f 00 f

MATEMATICAS 2º Bachillerato

JJ

II

J

I

J Doc

Doc I

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55

r=A+lu

Ejercicio 20(e) Sea f (x) = ln(x + 1). Dom(f ) = (−1, ∞). Hallamos f 00 1 1 f 00 (x) = − f 0 (x) = x+1 (x + 1)2

A

d B s=B+mv

Como f 00 6= 0 no tiene puntos de inflexi´ on. Como f < 0

SOCIALES

∀x ∈ Dom(f ), es siempre convexa.

MaTEX Aplicaciones

00

MATEMATICAS 2º Bachillerato

Derivada

Soluciones a los Ejercicios

JJ

II

J

I

J Doc

Doc I

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Soluciones a los Ejercicios

56

2−x . Dom(f ) = R − {−1}. Hallamos f 00 x+1 3 6 f 0 (x) = − f 00 (x) = (x + 1)2 (x + 1)3

MATEMATICAS 2º Bachillerato r=A+lu

Ejercicio 20(f ) Sea f (x) =

A

d B s=B+mv

SOCIALES

Como f 00 6= 0 no tiene puntos de inflexi´ on. −∞ − ∩

−1 @ @

+∞ + ∪

Aplicaciones

x f 00 f

Derivada

MaTEX

Concavidad y convexidad:

JJ

II

J

I

J Doc

Doc I

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Soluciones a los Ejercicios

57

r=A+lu

Ejercicio 21. Siendo

A

−2x x < 0 2x 0 < x

−x2 x2

x≤0 0 0 x 1 Si x < 0 =⇒ < 0 x

´ficas Gra

Soluci´ on: f (x) =

y=0

JJ

II

J

I

J Doc

Doc I

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Secci´ on 3: As´ıntotas

Ejemplo 3.5. Halla y representa la as´ıntota horizontal de y =

10

x+1 x

MATEMATICAS 2º Bachillerato r=A+lu A

Soluci´ on:

SOCIALES

MaTEX y=1

´ficas Gra

As´ıntotas horizontal y = 1 pues x+1 lim =1 x→∞ x Para dibujarla, lo más cómodo es dar valores ((grandes)) a x. 10 + 1 Si x = 10 =⇒ >1 10 (−10) + 1 Si x = −10 =⇒ x f (x) < x

SOCIALES

MaTEX ´ficas Gra

x → +∞ x → −∞

d B s=B+mv

En general, la as´ıntota oblicua para las racionales f (x) =

P (x) Q(x)

es el cociente de la divisi´ on, siempre y cuando el grado del numerador sea una unidad mayor que el grado del denominador. f (x) =

P (x) R(x) = C(x) + Q(x) Q(x)

As´ıntota oblicua yo = C(x) As´ı pues para determinar la as´ıntota oblicua se dividen los polinomios y

JJ

II

J

I

J Doc

Doc I

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Secci´ on 3: As´ıntotas

13

se toma el cociente cuando es de grado uno, es decir una recta. En el siguiente ejemplo se muestra como se calcula.

MATEMATICAS 2º Bachillerato r=A+lu A

d

Ejemplo 3.6. Veamos algunos ejemplos: 3 x−1 2 3x − 3 + x+1 3 −x − 2 + 1−x 1 x2 + x 1 1 + x 2 −x + x

= x−1 + = = = = =

SOCIALES

yo = x − 1 yo = 3x − 3

MaTEX

yo = −x − 2

´ficas Gra

x2 + 2 x−1 3x2 − 1 g(x) = x+1 x2 + x + 1 h(x) = 1−x 3 x +1 j(x) = x x+1 k(x) = x 2 − x2 h(x) = x

f (x) =

B s=B+mv

No hay oblicua y = 1 horizontal yo = −x

Ejercicio 5. Hallar y representar, si las hay, las as´ıntotas oblicuas de las funciones: 2 + x2 x2 − 2 a) f (x) = b) g(x) = 2+x 1−x

JJ

II

J

I

J Doc

Doc I

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Secci´ on 3: As´ıntotas

14

Ejemplo 3.7. Hallar y representar la oblicua de f (x) =

x2 x+1

MATEMATICAS 2º Bachillerato r=A+lu A

d

Soluci´ on:

B s=B+mv

Dividimos y

SOCIALES

2

1 x = x−1 + x+1 x+1 yo = x − 1 • f (x) > x − 1 f (x) < x − 1 | {z } | {z }

´ficas Gra

x→+∞

MaTEX

x→−∞

y =x−1

Para explicar la posición • de la curva respecto a la as´ıntota, lo más fácil, es dar un valor a x lo suficientemente grande, y comparar el valor de la función y de la as´ıntota. Por ejemplo en x = 10 y x = −10. f (10) = 9,09 y0 (10) = 9 =⇒ f (x) > y0

JJ

II

f (−10) = −11,11 y0 (−10) = −11 =⇒ f (x) < y0

J

I

J Doc

Doc I

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Secci´ on 3: As´ıntotas

MATEMATICAS 2º Bachillerato

15

r=A+lu

Ejemplo 3.8. Estudiar y representar las as´ıntotas de la función 1 y= 2 x

A

d B s=B+mv

Soluci´ on:

SOCIALES

-4

-3

-2

-1

0

1

2

MaTEX

1 x2

y=

3

La función presenta: una as´ıntota vertical en x = 0 una as´ıntota horizontal y = 0

´ficas Gra

1 Ramas del Infinito de 2 x 1 +∞ lim+ 2 x→0 x 1 lim +∞ x→0− x2 1 0 lim x→+∞ x2 1 lim 0 x→+∞ x2

4

JJ

II

J

I

J Doc

Doc I

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Secci´ on 3: As´ıntotas

16

r=A+lu

Ejemplo 3.9. Estudiar y representar las as´ıntotas de la función 1 y= x−1

A

d B s=B+mv

Soluci´ on:

SOCIALES

Ramas del Infinito de

1 x−1

y=

1 x−1

MaTEX

+∞

´ficas Gra

1 x−1 1 lim− x→1 x − 1 1 lim x→+∞ x − 1 1 lim x→−∞ x − 1 lim

x→1+

MATEMATICAS 2º Bachillerato

−∞ 0

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

0

La función presenta: una as´ıntota vertical en x = 1 una as´ıntota horizontal y = 0

JJ

II

J

I

J Doc

Doc I

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Secci´ on 3: As´ıntotas

17

Ejercicio 6. Estudiar y representar las as´ıntotas de la función x y= x−1 Ejercicio 7. Estudiar y representar las as´ıntotas de la función 1 y= 2 x −1

MATEMATICAS 2º Bachillerato r=A+lu A

d B s=B+mv

SOCIALES

MaTEX

Ejercicio 8. Estudia y representa con las as´ıntotas la función: x2 + 1 x

´ficas Gra

y=

Ejercicio 9. Estudia y representa con las as´ıntotas la función: y=

x2 − 4 x+1

Ejercicio 10. Estudia y representa con las as´ıntotas la función: y=

x3 − 3x2 + 4 x2 JJ

II

J

I

J Doc

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Secci´ on 3: As´ıntotas

18

r=A+lu

• Caso general

A

Para el caso general, queremos ver cuando la función se aproxima a la recta y = mx + n en el infinito, es decir, f (x) ' mx + n

(x → ±∞)

lim

x→∞

d B s=B+mv

SOCIALES

Dividiendo por x y

MATEMATICAS 2º Bachillerato

mx + n f (x) = lim =m x→∞ x x

MaTEX

n = lim (f (x) − mx)

´ficas Gra

x→∞

As´ı la as´ıntota oblicua para el caso general se determina con la expresión:  f (x)  m = lim x→∞ x yo = m x + n (1)  n = lim (f (x) − m x) x→∞

Ejemplo 3.10. Hallar la as´ıntota oblicua de f (x) =

x2 + 1 x+1

x2 + 1 =1 x→∞ x2 + x x2 + 1 1−x n = lim ( − x) = lim = −1 x→∞ x + 1 x→∞ x + 1 La as´ıntota oblicua cuando x → ±∞, es yo = x − 1 . m = lim

JJ

II

J

I

J Doc

Doc I

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Secci´ on 4: Crecimiento y Decrecimiento

19

r=A+lu

4. Crecimiento y Decrecimiento

f0 f

A

d B s=B+mv

SOCIALES

0

f 0

f0 > 0

M´ınimo relativo x=a − 0 + & ∃f (a) %

MaTEX ´ficas Gra

En las funciones del gr´ afico se observa que donde la curva es creciente las tangentes en rojo tienen pendiente positiva, es decir , la derivada es f 0 > 0, y donde la curva es decreciente las tangentes en azul tienen pendiente negativa, es decir , la derivada es f 0 < 0. La tangente amarilla tiene pendiente nula, f 0 = 0

MATEMATICAS 2º Bachillerato

f0 < 0

M´ aximo relativo x=a + 0 − % ∃f (a) &

JJ

II

J

I

J Doc

Doc I

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Secci´ on 5: Concavidad

20

MATEMATICAS 2º Bachillerato r=A+lu

5. Concavidad

A

f0 f

M´ınimo relativo x=a − 0 + & ∃f (a) %

d

cóncava

B s=B+mv

SOCIALES

f 00 > 0

MaTEX ´ficas Gra

A partir del gr´ afico se observa que donde la curva es c´ oncava ∪, las tangentes est´ an por debajo de la funci´ on, y, donde la curva es convexa ∩, las tangentes est´ an por encima de la funci´ on. Por otra parte en la gr´ afica superior las pendientes van aumentando, es decir f 0 (x) es creciente y por tanto su derivada es positiva f 00 (x) > 0

f 00 < 0 convexa

M´ aximo relativo x=a + 0 − % ∃f (a) &

JJ

II

J

I

J Doc

Doc I

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Secci´ on 5: Concavidad

21

MATEMATICAS 2º Bachillerato r=A+lu

5.1. Punto de Inflexi´ on

A

d B s=B+mv

f 00 < 0

f 00 > 0

f 00 f

SOCIALES

f 00 < 0 I

Punto Inflexi´ on x=a + 0 − ∪ ∃f (a) ∩

f 00 f

f 00 > 0

MaTEX ´ficas Gra

I

Punto Inflexión x=a − 0 + ∩ ∃f (a) ∪

Cuando en un punto (a, f (a)) la funci´ on cambia de Concavidad se tiene un punto de inflexión, y la tangente en el punto, si existe, atraviesa la función. JJ

II

J

I

J Doc

Doc I

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Secci´ on 5: Concavidad

22

MATEMATICAS 2º Bachillerato r=A+lu

Ejemplo 5.1. f (x) = x3 + 3x2

A

14

Puntos de corte

d

12 B s=B+mv

10

SOCIALES

8 6

MaTEX

4 2

-3

-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0.5

1

1.5

2

-2 -4

´ficas Gra

-3.5

-6

JJ

II

J

I

J Doc

Doc I

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Secci´ on 5: Concavidad

23

MATEMATICAS 2º Bachillerato r=A+lu

Ejemplo 5.1. f (x) = x3 + 3x2

A

14

Puntos de corte

d

12 B s=B+mv

10

y = 0 = x3 + 3x2 =⇒ x = 0; −3

SOCIALES

8 6

MaTEX

4 2

-3

-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0.5

1

1.5

2

-2 -4

´ficas Gra

-3.5

-6

JJ

II

J

I

J Doc

Doc I

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Secci´ on 5: Concavidad

24

MATEMATICAS 2º Bachillerato r=A+lu

Ejemplo 5.1. f (x) = x3 + 3x2

A

14

Puntos de corte

d

12 B s=B+mv

10

y = 0 = x3 + 3x2 =⇒ x = 0; −3

SOCIALES

8 6

MaTEX

4

f (−∞) = −∞

f (∞) = ∞

2

-3.5

-3

-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0.5

1

1.5

2

-2 -4

´ficas Gra

Ramas del infinito.

-6

JJ

II

J

I

J Doc

Doc I

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Secci´ on 5: Concavidad

25

MATEMATICAS 2º Bachillerato r=A+lu

Ejemplo 5.1. f (x) = x3 + 3x2

A

14

Puntos de corte

d

12 B s=B+mv

10

y = 0 = x3 + 3x2 =⇒ x = 0; −3

SOCIALES

8 6

Ramas del infinito.

MaTEX

4

f (−∞) = −∞

f (∞) = ∞

2

-3.5

-3

Crecimiento y decrecimiento.

-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0.5

1

1.5

2

-2

−∞ y’ y

+ %

−2 0 4

´ficas Gra

-4

f 0 (x) = 3x2 + 6x

-6

− &

0 0 0

+∞ + %

JJ

II

J

I

J Doc

Doc I

Volver Cerrar

Secci´ on 5: Concavidad

26

MATEMATICAS 2º Bachillerato r=A+lu

Ejemplo 5.1. f (x) = x3 + 3x2

A

14

Puntos de corte

d

12 B s=B+mv

10

y = 0 = x3 + 3x2 =⇒ x = 0; −3

SOCIALES

8 6

Ramas del infinito.

MaTEX

4

f (−∞) = −∞

f (∞) = ∞

2

-3.5

-3

-2.5

-2

-1.5

Crecimiento y decrecimiento.

-1

-0.5

0.5

1

1.5

2

-2

−∞ y’ + y % Concavidad.

−2 0 4

-6

− &

0 0 0

+∞ + %

−∞ f 00 (x) = 6x + 6

y” y

´ficas Gra

-4

f 0 (x) = 3x2 + 6x

− ∩

−1 0 2

+∞ + ∪

JJ

II

J

I

J Doc

Doc I

Volver Cerrar

Secci´ on 5: Concavidad

27

MATEMATICAS 2º Bachillerato r=A+lu

Ejemplo 5.2. f (x) = y = x4 − 4x2

A

Puntos de corte

d

10 B s=B+mv

8

SOCIALES 6

MaTEX

4 2

-2

-1.5

-1

-0.5

0.5

1

1.5

2

2.5

´ficas Gra

-2.5

-2 -4

JJ

II

J

I

J Doc

Doc I

Volver Cerrar

Secci´ on 5: Concavidad

28

MATEMATICAS 2º Bachillerato r=A+lu

Ejemplo 5.2. f (x) = y = x4 − 4x2

A

Puntos de corte

d

10

y = 0 = x2 (x2 −4) =⇒ x = −2; 0; 2

B s=B+mv

8

SOCIALES 6

MaTEX

4 2

-2

-1.5

-1

-0.5

0.5

1

1.5

2

2.5

´ficas Gra

-2.5

-2 -4

JJ

II

J

I

J Doc

Doc I

Volver Cerrar

Secci´ on 5: Concavidad

29

MATEMATICAS 2º Bachillerato r=A+lu

Ejemplo 5.2. f (x) = y = x4 − 4x2

A

Puntos de corte

d

10

y = 0 = x2 (x2 −4) =⇒ x = −2; 0; 2

B s=B+mv

8

SOCIALES 6

MaTEX

4

f (−∞) = ∞

f (∞) = ∞

2

-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0.5

1

1.5

2

2.5

´ficas Gra

Ramas del infinito

-2 -4

JJ

II

J

I

J Doc

Doc I

Volver Cerrar

Secci´ on 5: Concavidad

30

MATEMATICAS 2º Bachillerato r=A+lu

Ejemplo 5.2. f (x) = y = x4 − 4x2

A

Puntos de corte

d

10

y = 0 = x2 (x2 −4) =⇒ x = −2; 0; 2

B s=B+mv

8

SOCIALES 6

MaTEX

4

f (−∞) = ∞

f (∞) = ∞

2

Crecimiento y decrecimiento. √ f 0 (x) = 4x3 −8x =⇒ x = 0; ± 2 √ −∞ − 2 0 y’ − 0 + 0 y & −4 % 0

-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0.5

1

1.5

2

2.5

´ficas Gra

Ramas del infinito

-2 -4

− &

√ 2 0 −4

+∞ + %

JJ

II

J

I

J Doc

Doc I

Volver Cerrar

Secci´ on 5: Concavidad

31

MATEMATICAS 2º Bachillerato r=A+lu

Ejemplo 5.2. f (x) = y = x4 − 4x2

A

Puntos de corte

d

10

y = 0 = x2 (x2 −4) =⇒ x = −2; 0; 2

B s=B+mv

8

SOCIALES 6

MaTEX

4

f (−∞) = ∞ Crecimiento y decrecimiento.

f (∞) = ∞

2

-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0.5

1

1.5

2

2.5

´ficas Gra

Ramas del infinito

-2

√ -4 f 0 (x) = 4x3 −8x =⇒ x = 0; ± 2 √ √ −∞ − 2 0 2 +∞ y’ − 0 + 0 − 0 + y & −4 % 0 & −4 % Concavidad. p p −∞ − 2/3 2/3 f 00 (x) = 12x2 − 8 y” + 0 − 0 + y ∪ −20/9 ∩ −20/9 ∪

+∞

JJ

II

J

I

J Doc

Doc I

Volver Cerrar

Secci´ on 5: Concavidad

Ejemplo 5.3. y =

32

x+1 x2

MATEMATICAS 2º Bachillerato r=A+lu A

d

Puntos de corte

B s=B+mv

SOCIALES

-10

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

´ficas Gra

MaTEX 10

JJ

II

J

I

J Doc

Doc I

Volver Cerrar

Secci´ on 5: Concavidad

Ejemplo 5.3. y =

33

x+1 x2

MATEMATICAS 2º Bachillerato r=A+lu A

d

Puntos de corte x+1 =⇒ x = −1 x2

SOCIALES

MaTEX

Ramas del infinito

-10

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

´ficas Gra

y=0=

B s=B+mv

10

JJ

II

J

I

J Doc

Doc I

Volver Cerrar

Secci´ on 5: Concavidad

Ejemplo 5.3. y =

34

x+1 x2

MATEMATICAS 2º Bachillerato r=A+lu A

d

Puntos de corte x+1 =⇒ x = −1 x2

SOCIALES

MaTEX

Ramas del infinito f (0− ) = +∞

f (0+ ) = +∞

-10

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

´ficas Gra

y=0=

B s=B+mv

10

JJ

II

J

I

J Doc

Doc I

Volver Cerrar

Secci´ on 5: Concavidad

Ejemplo 5.3. y =

35

x+1 x2

MATEMATICAS 2º Bachillerato r=A+lu A

d

Puntos de corte x+1 =⇒ x = −1 x2

SOCIALES

MaTEX

Ramas del infinito f (0− ) = +∞ f (−∞) = 0

f (0+ ) = +∞ f (+∞) = 0 -10

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

´ficas Gra

y=0=

B s=B+mv

10

JJ

II

J

I

J Doc

Doc I

Volver Cerrar

Secci´ on 5: Concavidad

36

x+1 x2

Ejemplo 5.3. y =

MATEMATICAS 2º Bachillerato r=A+lu A

d

Puntos de corte x+1 =⇒ x = −1 x2

SOCIALES

MaTEX

Ramas del infinito f (0− ) = +∞

f (0+ ) = +∞

f (+ − ∞) = 0

f (∞) = 0 -10

Crecimiento y decrecimiento. f 0 (x) =

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

10

−(x + 2) =⇒ x = −2 x3

−∞ y’ y

-8

´ficas Gra

y=0=

B s=B+mv

− &

−2 0 −1/4

+ %

0 @ @

+∞ − &

JJ

II

J

I

J Doc

Doc I

Volver Cerrar

Secci´ on 5: Concavidad

37

x+1 x2

Ejemplo 5.3. y =

MATEMATICAS 2º Bachillerato r=A+lu A

d

Puntos de corte x+1 =⇒ x = −1 x2

SOCIALES

MaTEX

Ramas del infinito f (0− ) = +∞

f (0+ ) = +∞

f (+ − ∞) = 0

f (∞) = 0 -10

Crecimiento y decrecimiento. f 0 (x) =

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

10

−(x + 2) =⇒ x = −2 x3

−∞ y’ y Concavidad f 00 (x) =

-8

´ficas Gra

y=0=

B s=B+mv

− &

−2 0 −1/4

2(x + 3) =⇒ x = −3 x4

+ %

0 @ @

+∞ − & −∞

y” y

− ∩

−3 0 −2/9

+ ∪

0 @ @

+∞ − ∪

JJ

II

J

I

J Doc

Doc I

Volver Cerrar

Secci´ on 5: Concavidad

Ejemplo 5.4. y =

38

x3 (x − 2)2

MATEMATICAS 2º Bachillerato r=A+lu A

d

Puntos de corte

B s=B+mv

SOCIALES

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

10

´ficas Gra

MaTEX 12

JJ

II

J

I

J Doc

Doc I

Volver Cerrar

Secci´ on 5: Concavidad

Ejemplo 5.4. y =

39

x3 (x − 2)2

MATEMATICAS 2º Bachillerato r=A+lu A

d

Puntos de corte x3 =⇒ x = 0 (x − 2)2

SOCIALES

MaTEX

Ramas del infinito:

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

10

´ficas Gra

f (x) = 0 =

B s=B+mv

12

JJ

II

J

I

J Doc

Doc I

Volver Cerrar

Secci´ on 5: Concavidad

Ejemplo 5.4. y =

40

x3 (x − 2)2

MATEMATICAS 2º Bachillerato r=A+lu A

d

Puntos de corte x3 =⇒ x = 0 (x − 2)2

SOCIALES

MaTEX

Ramas del infinito: −

f (2 ) = +∞

+

f (2 ) = +∞ -6

-4

-2

0

2

4

6

8

10

´ficas Gra

f (x) = 0 =

B s=B+mv

12

JJ

II

J

I

J Doc

Doc I

Volver Cerrar

Secci´ on 5: Concavidad

Ejemplo 5.4. y =

41

x3 (x − 2)2

MATEMATICAS 2º Bachillerato r=A+lu A

d

Puntos de corte x3 =⇒ x = 0 (x − 2)2

SOCIALES

MaTEX

Ramas del infinito: −

f (2 ) = +∞

+

f (2 ) = +∞

A. Oblicua x3 12x − 16 = x+4 + (x − 2)2 (x − 2)2

´ficas Gra

f (x) = 0 =

B s=B+mv

0

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

10

12

JJ

II

J

I

J Doc

Doc I

Volver Cerrar

Secci´ on 5: Concavidad

Ejemplo 5.4. y =

42

x3 (x − 2)2

MATEMATICAS 2º Bachillerato r=A+lu A

d

Puntos de corte x3 =⇒ x = 0 (x − 2)2

SOCIALES

MaTEX

Ramas del infinito: −

f (2 ) = +∞

+

f (2 ) = +∞

A. Oblicua x3 12x − 16 = x+4 + (x − 2)2 (x − 2)2 Crecimiento f 0 (x) =

0

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

10

12

x2 (x − 6) =⇒ x = 0; 6 (x − 2)3

−∞ y’ y

´ficas Gra

f (x) = 0 =

B s=B+mv

+ %

0 0 0

+ %

2 @ @

− &

6 0 13,5

+∞ + %

JJ

II

J

I

J Doc

Doc I

Volver Cerrar

Secci´ on 5: Concavidad

Ejemplo 5.4. y =

43

x3 (x − 2)2

MATEMATICAS 2º Bachillerato r=A+lu A

d

Puntos de corte x3 =⇒ x = 0 (x − 2)2

SOCIALES

MaTEX

Ramas del infinito: −

f (2 ) = +∞

+

f (2 ) = +∞

A. Oblicua x3 12x − 16 = x+4 + (x − 2)2 (x − 2)2 Crecimiento f 0 (x) =

0

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

10

12

x2 (x − 6) =⇒ x = 0; 6 (x − 2)3

−∞ y’ y Concavidad

+ %

0 0 0

+ %

24x f (x) = =⇒ x = 0 (x − 2)4 00

´ficas Gra

f (x) = 0 =

B s=B+mv

2 @ @

− &

6 0 13,5

−∞ y” y

− ∩

+∞ + % 0 0 0

+ ∪

2 @ @

+∞ + ∪

JJ

II

J

I

J Doc

Doc I

Volver Cerrar

Secci´ on 5: Concavidad

44

MATEMATICAS 2º Bachillerato r=A+lu

Ejercicio 11. Representar la funci´ on: y = x3 − 3x2 + 3

A

Ejercicio 12. Representar la funci´ on: y = 3x4 + 4x3 √ Ejercicio 13. Representar la funci´ on: y = x

d B s=B+mv

SOCIALES

1 Ejercicio 14. Representar la funci´ on: y = 2 x −1 x Ejercicio 15. Representar la funci´ on: y = 2 x −1

´ficas Gra

MaTEX

J Pulsa y elige el bot´ on Dibujar y = f (x) y realiza la siguiente pr´ actica. Puedes representar las funciones de los ejercicios anteriores. Pr´ actica 5.1. a) Introduce en f (x) la expresi´ on xˆ3-3*xˆ2+3, y pulsa en Nueva Funci´ on. b) Introduce en f (x) la expresi´ on 3*xˆ4+4*xˆ3, y pulsa en Nueva Funci´ on. c) Introduce en f (x) la expresi´ on sqrt(x), y pulsa en Nueva Funci´ on. d ) Introduce en f (x) la expresi´ on 1/(xˆ2+1), y pulsa en Nueva Funci´ on. e) Introduce en f (x) la expresi´ on 1/(xˆ2-1), y pulsa en Nueva Funci´ on.

J

JJ

II

J

I

J Doc

Doc I

Volver Cerrar

Soluciones a los Ejercicios

45

MATEMATICAS 2º Bachillerato r=A+lu

Soluciones a los Ejercicios

A

Ejercicio 1.

d

2 a) f (x) = =⇒ Df = R − {0}. 3x 2 b) g(x) = 2 =⇒ Dg = R − {±1}. x −1 x c) h(x) = =⇒ Dh = R − {−1}. 1+x

B s=B+mv

SOCIALES

MaTEX ´ficas Gra

Ejercicio 1

JJ

II

J

I

J Doc

Doc I

Volver Cerrar

Soluciones a los Ejercicios

46

MATEMATICAS 2º Bachillerato r=A+lu

Ejercicio 2.

A

3x =⇒ Df = R. 5 1 b) g(x) = 2 =⇒ Dg = R − {2; 3}. x − 5x + 6 x+1 =⇒ Dh = R − {0; 3}. c) h(x) = 2 x − 3x

a) f (x) =

d B s=B+mv

SOCIALES

MaTEX ´ficas Gra

Ejercicio 2

JJ

II

J

I

J Doc

Doc I

Volver Cerrar

Soluciones a los Ejercicios

47

r=A+lu

Ejercicio 3.

A

2+x en x = 3 3−x 2+x lim = −∞ x→3+ 3 − x 2+x lim = +∞ − x→3 3 − x

g(x) =

x2 en x = −1 x+1 x2 lim + = +∞ x→−1 x + 1 lim

x→−1−

x2 = −∞ x+1

d B s=B+mv

SOCIALES

MaTEX ´ficas Gra

f (x) =

MATEMATICAS 2º Bachillerato

x=3 x = −1

Ejercicio 3

JJ

II

J

I

J Doc

Doc I

Volver Cerrar

Soluciones a los Ejercicios

48

MATEMATICAS 2º Bachillerato r=A+lu

Ejercicio 4.

A

x2 tiene y = 1 x2 + 1 x2 lim 2 =1 x→∞ x + 1 100 Si x = 10 =⇒ yo (10) = −11

f (−10) = −12,75 < yo (−10) = −12

h(−10) = 8,9 < yo (−10) = 9

SOCIALES

MaTEX ´ficas Gra

f (10) = 8,5 > yo (10) = 8

d B s=B+mv

y = −x − 1

y =x−2

Ejercicio 5

JJ

II

J

I

J Doc

Doc I

Volver Cerrar

Soluciones a los Ejercicios

50

r=A+lu

Ejercicio 6.

A

Ramas del Infinito de

x x−1

d

y=

x x−1

+∞

SOCIALES

MaTEX

−∞ 1

B s=B+mv

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

´ficas Gra

x x→1+ x − 1 x lim − x→1 x − 1 x lim x→+∞ x − 1 x lim x→−∞ x − 1 lim

MATEMATICAS 2º Bachillerato

1

La función presenta: una as´ıntota vertical en x = 1 una as´ıntota horizontal y = 1 Ejercicio 6 JJ

II

J

I

J Doc

Doc I

Volver Cerrar

Soluciones a los Ejercicios

51

r=A+lu

Ejercicio 7.

A

x2

1 −1

lim f (x)

+∞

lim f (x)

−∞

lim f (x)

−∞

lim f (x)

+∞

lim f (x)

0

lim f (x)

0

x→1+

x→1−

x→−1+

x→−1− x→+∞

x→−∞

d

y=

1 x2 −1

B s=B+mv

SOCIALES

MaTEX -4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

´ficas Gra

f (x) =

MATEMATICAS 2º Bachillerato

La función presenta: dos as´ıntotas verticales en x = ±1 una as´ıntota horizontal y = 0 Ejercicio 7

JJ

II

J

I

J Doc

Doc I

Volver Cerrar

Soluciones a los Ejercicios

52

MATEMATICAS 2º Bachillerato r=A+lu

Ejercicio 8.

A

Horizontal no tiene

d B s=B+mv

Vertical x = 0 x2 + 1 lim+ = +∞ x x→0

MaTEX -5

x2 + 1 1 = x + x x Posición: f (10) = 10,1 > y0 (10) = 10

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

y=

4

5

´ficas Gra

x2 + 1 = −∞ lim− x x→0 Oblicua yo = x, pues

SOCIALES

(x2 +1) x

f (−10) = −10,1 < y0 (−10) = −10 Ejercicio 8

JJ

II

J

I

J Doc

Doc I

Volver Cerrar

Soluciones a los Ejercicios

53

MATEMATICAS 2º Bachillerato r=A+lu

Ejercicio 9.

A

Horizontal no tiene

d B s=B+mv

Vertical x = −1 x2 + 1 lim + = −∞ x+1 x→−1

MaTEX -5

x2 − 4 3 = x−1 − x+1 x−1 Posición:

-4

-3

-2

-1

0

1

2

y=

3

4

5

´ficas Gra

x2 + 1 lim = +∞ − x+1 x→−1 Oblicua yo = x − 1, pues

SOCIALES

(x2 −4) (x+1)

f (10) = 8,72 < y0 (10) = 9 f (−10) = −10,66 > y0 (−10) = −11 Ejercicio 9 JJ

II

J

I

J Doc

Doc I

Volver Cerrar

Soluciones a los Ejercicios

54

MATEMATICAS 2º Bachillerato r=A+lu

Ejercicio 10.

A

Horizontal no tiene

d B s=B+mv

Vertical x = 0 x3 − 3x2 + 4 lim+ = +∞ x2 x→0

MaTEX -5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

´ficas Gra

x3 − 3x2 + 4 lim− = +∞ x2 x→0 Oblicua yo = x − 3, pues

SOCIALES

x3 − 3x2 + 4 4 = x−3 + 2 x2 x Posición: f (10) = 7,04 > y0 (10) = 7 f (−10) = −12,96 > y0 (−10) = −13

y=

(x3 −3x2 +4) x2

Ejercicio 10

JJ

II

J

I

J Doc

Doc I

Volver Cerrar

Soluciones a los Ejercicios

55

MATEMATICAS 2º Bachillerato r=A+lu

Ejercicio 11.

A

Ramas del infinito: f (−∞) = −∞

d B s=B+mv

f (+∞) = ∞

SOCIALES

Crecimiento y decrecimiento. -2

-1

0

1

2

3

4

f 0 (x) = 3x(x − 2) =⇒ x = 0; 2

+ %

0 0 3

2 0 −1

− &

+∞ + %

´ficas Gra

−∞

x y’ y

MaTEX

Concavidad f 00 (x) = 6x − 6 =⇒ x = 1 x y” y

−∞ −

_

1 0 1

+∞

m(2, −1) M (0, 3) I(1, 1)

+

^ Ejercicio 11

JJ

II

J

I

J Doc

Doc I

Volver Cerrar

Soluciones a los Ejercicios

56

r=A+lu

Ejercicio 12.

A

5

Puntos de corte

d

4

B s=B+mv

y = 0 = 3x4 + 4x3 =⇒ x = 0; −4/3

SOCIALES

3

Ramas del infinito:

2

f (−∞) = ∞

1

f (+∞) = ∞

Crecimiento y decrecimiento.

− &

0 0 0

−1 0 −1

− &

-1

-0.5

0

0.5

1

´ficas Gra

f 0 (x) = 12x2 (x + 1) =⇒ x = 0; −1 −∞

MaTEX

0 -1.5

x y’ y

MATEMATICAS 2º Bachillerato

-1

+∞ + %

Concavidad 00

f (x) = 36x2 + 24x =⇒ x = 0; −2/3 x y’ y

−∞ + ^

−2/3 0 16 − 27

−

0 0

+∞ +

_

0

^

m(−1, −1) I1 (0, 0) 2 16 I2 (− , − ) 3 27

Ejercicio 12

JJ

II

J

I

J Doc

Doc I

Volver Cerrar

Soluciones a los Ejercicios

57

MATEMATICAS 2º Bachillerato

3

Ejercicio 13.

r=A+lu A

2.5

Ramas del infinito: f (+∞) = ∞

d

2

B s=B+mv

1.5

SOCIALES

1

MaTEX

0.5

Crecimiento y decrecimiento.

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

´ficas Gra

Puntos de corte √ y = 0 = x =⇒ x = 0

1 f 0 (x) = √ =⇒ f 0 > 0 2 x x y’ y

0 ∞ 0

+∞ + % Concavidad

1 f 00 (x) = − √ =⇒ f 00 < 0 4 x3 x y” y

0 ∞ 0

funci´ on creciente funci´ on convexa

+∞ − _

Ejercicio 13

JJ

II

J

I

J Doc

Doc I

Volver Cerrar

Soluciones a los Ejercicios

58

r=A+lu

Ejercicio 14.

y=

A

1 x2 −1

1 =⇒ y 6= 0 x2 − 1 Ramas del infinito

d

y=0=

f (1− ) = −∞

B s=B+mv

SOCIALES

f (1+ ) = +∞ -4

-3

-2

-1

0

− ∩

1 @ @

1

2

3

4

f (−1+ ) = −∞

f (−∞) = 0

MaTEX

f (∞) = 0

´ficas Gra

f (−1− ) = +∞

MATEMATICAS 2º Bachillerato

Crecimiento y decrecimiento. f 0 (x) = −

2x =⇒ x = 0 (x2 − 1)2

−∞ y’ + y % Concavidad f 00 (x) =

0 0 0

+∞ − &

6x2 + 2 =⇒ f 00 6= 0 (x2 − 1)3

−∞ y” y

+ ∪

−1 @ @

+∞ + ∪

Ejercicio 14

JJ

II

J

I

J Doc

Doc I

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Soluciones a los Ejercicios

59

MATEMATICAS 2º Bachillerato r=A+lu

Ejercicio 15.

A

x =⇒ x = 0 x2 − 1 Ramas del infinito

d

y=0=

f (1 ) = −∞ f (−1− ) = −∞ f (−∞) = 0

SOCIALES

+

f (1 ) = +∞

MaTEX

f (−1+ ) = +∞ f (∞) = 0

´ficas Gra

−

B s=B+mv

Crecimiento y decrecimiento. f 0 (x) = −

x2 + 1 =⇒ f 0 < 0 (x2 − 1)2

2x(x2 + 3) Concavidad f (x) = =⇒ x = 0 (x2 − 1)3 00

−∞ y” y

− ∩

−1 @ @

+ ∪

0 0 @

− ∩

1 @ @

+∞

Asintotas Verticales x = −1, x = 1 Asintota Horizontal y=0 I(0, 0)

+ ∪

Ejercicio 15

JJ

II

J

I

J Doc

Doc I

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MATEMATICAS 2º Bachillerato

Proyecto

MaTEX

r=A+lu A

d B s=B+mv

Integrales

SOCIALES

MaTEX Integrales

Fco Javier Gonz´ alez Ortiz

Directorio Tabla de Contenido Inicio Art´ıculo

c 2004 [email protected]

D.L.:SA-1415-2004

ISBN: 84-688-8267-4

JJ

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J

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MATEMATICAS 2º Bachillerato

1. Primitiva de una funci´ on 1.1. Notaci´ on de la integral indefinida 1.2. Propiedades de integraci´ on • Homogeneidad • Aditividad • Regla de la potencia 2. Integrales B´ asicas • Ejercicios para practicar 3. M´ etodos de Integraci´ on 3.1. Integrales Racionales • Denominador de grado 1 • Denominador de grado 2 con ra´ıces 3.2. Cambio de variable • Ejercicios de cambios de variable 3.3. Integraci´ on por Partes Soluciones a los Ejercicios Soluciones a los Tests

r=A+lu A

d B s=B+mv

SOCIALES

MaTEX Integrales

Tabla de Contenido

JJ

II

J

I

J Doc

Doc I

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Secci´ on 1: Primitiva de una funci´ on

3

r=A+lu

1. Primitiva de una funci´ on

A

F (x) = f (x)

para todo x ∈ (a, b)

(1)

Hallar primitivas es el proceso inverso de hallar derivadas.

d B s=B+mv

SOCIALES

MaTEX Integrales

Definici´ on 1.1 Sea f una funci´ on definida en el intervalo (a, b). Llamamos primitiva, integral indefinida o antiderivada de f a una funci´ on F en el intervalo (a, b) que cumple 0

MATEMATICAS 2º Bachillerato

La expresión antiderivada es muy intuitiva pero para el uso habitual del concepto se usa m´ as frecuentemente primitiva o integral indefinida. Ejemplo 1.1. Comprobar que F (x) = x3 es una primitiva de f (x) = 3x2 Soluci´ on: Comprobamos si F 0 (x) = f (x). En efecto F (x) = x3 =⇒ F 0 (x) = 3x2 = f (x) 3

3

Ejemplo 1.2. Comprobar que F (x) = x + 1 y G(x) = x + 5 son primitivas de f (x) = 3x2 . Soluci´ on: Comprobamos que F 0 (x) = G0 (x) = f (x). En efecto F (x) = x3 + 1 =⇒ F 0 (x) = 3 x2 = f (x) G(x) = x3 + 5 =⇒ G0 (x) = 3 x2 = f (x)

JJ

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I

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4

Ejemplo 1.3. Comprobar que F (x) = x4 , G(x) = x4 + 5 y H(x) = x4 − 3 son primitivas de f (x) = 4x3 . Soluci´ on: Comprobamos que F 0 (x) = G0 (x) = H 0 (x) = f (x). En efecto F (x) = x4 =⇒ F 0 (x) = 4x3 = f (x) 4 G(x) = x + 5 =⇒ G0 (x) = 4x3 = f (x) H(x) = x4 − 3 =⇒ H 0 (x) = 4x3 = f (x)

MATEMATICAS 2º Bachillerato r=A+lu A

d B s=B+mv

SOCIALES

MaTEX Integrales

Secci´ on 1: Primitiva de una funci´ on

Estos ejemplos nos muestran que una funci´ on puede tener más de una primitiva. En realidad tiene infinitas. Nos preguntamos ¿qué relación hay entre ellas?. La respuesta nos la da el siguiente teorema Teorema 1.1. Sean F (x) y G(x) dos primitivas de la función f (x) entonces existe una constante C con F (x) = G(x) + C

(2)

Soluci´ on: Definimos la funci´ on H(x) = F (x) − G(x). Se tiene que H 0 (x) = F 0 (x) − G0 (x) = f (x) − f (x) = 0 como H 0 (x) = 0, la función H(x) es una constante C. Luego F (x) − G(x) = C y por tanto F (x) = G(x) + C

JJ

II

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I

J Doc

Doc I

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5

1.1. Notaci´ on de la integral indefinida La notación utilizada para referirnos a la primitiva o integral indefinida de una función f se debe a Leibniz. Siendo f una funci´ on de x, escribimos la primitiva de f como Z f (x)dx y representa la función cuya derivada es f (x). Fijarse en los detalles f (x) es el integrando

MATEMATICAS 2º Bachillerato r=A+lu A

d B s=B+mv

SOCIALES

MaTEX Integrales

Secci´ on 1: Primitiva de una funci´ on

el s´ımbolo dx es la diferencial de x, y x es la variable de integraci´ on. Puesto que una primitiva F de f en la variable x se va a expresar F (x) = Z f (x)dx, se tiene Z d 0 f (x)dx = f (x) F (x) = f (x) =⇒ dx Z Test. La derivada de la funci´ on F (x) = (1 + x2 )dx es (a) 1 + x2

(b) 0

JJ

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I

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Secci´ on 1: Primitiva de una funci´ on

6

MATEMATICAS 2º Bachillerato r=A+lu

1.2. Propiedades de integraci´ on

A

• Homogeneidad

d

Teorema 1.2. (Homogeneidad) Para una funci´ on f (x) y una constante c ∈ R se tiene, Z Z cf (x)dx = c

f (x)dx

(3)

B s=B+mv

SOCIALES

MaTEX Integrales

Soluci´ on: Derivando la ecuaci´ on (3). Se tiene que Z d cf (x)dx = cf (x) dx Z Z d d c f (x)dx = c f (x)dx = cf (x) dx dx

• Aditividad Teorema 1.3. (Aditividad) Para las funciones f (x) y g(x) se tiene, Z Z Z (f (x) + g(x))dx = f (x)dx + g(x)dx

(4)

Soluci´ on: Es inmediata de la derivada de la suma de dos funciones, que es la suma de las derivadas.

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Secci´ on 1: Primitiva de una funci´ on

7

r=A+lu

• Regla de la potencia

A

Z c)

d B s=B+mv

SOCIALES

MaTEX Integrales

Teorema 1.4. (Regla de la potencia) Sea a ∈ R cualquier n´ umero real distinto de −1, Z xa+1 xa dx = (5) a 6= −1 a+1 Ejemplo Z 1.4. Calcular las integrales. Z a) x3 dx b) 5x6 dx

MATEMATICAS 2º Bachillerato

x−2 dx

Soluci´ Zon: x2+1 x3 a) x2 dx = = +C 2+1 3 Z Z x6+1 x7 5 x6 dx = 5 x6 dx = 5 =5 +C b) 6+1 7 Z −5+1 −4 x x c) =− +C x−5 dx = −5 + 1 4 Ejercicio 1. Calcular las integrales. Z Z a) x2 dx b) 7x4 dx

Z c)

x−2 dx

JJ

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Secci´ on 2: Integrales B´ asicas

8

MATEMATICAS 2º Bachillerato r=A+lu

Ejercicio 2. Calcular las integrales. Z Z √ 4 −5/2 a) x dx b) 6 x5 dx

A

Z c)

(3x−5 + 8x10 )dx

d B s=B+mv

SOCIALES

2. Integrales B´ asicas

Z sen x dx Z

2

(1 + tan x) dx Z Z Z

Integrales B´ asicas Z cos x dx − cos x + C Z tan x + C

ex dx

ex + C

1 dx x

ln x + C

1 √ dx 1 − x2

Z Z Z

arc sen x + C

MaTEX Integrales

A partir de las derivadas de las funciones elementales es fácil determinar las primitivas inmediatas de la siguiente tabla:

sen x + C

sec2 x dx

tan x + C

ax dx

1 x a +C ln a

1 dx 1 + x2

arctan x + C

−1 √ dx 1 − x2

arc cos x + C

JJ

II

J

I

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Doc I

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Secci´ on 2: Integrales B´ asicas

9

r=A+lu

• Ejercicios para practicar

Z c)

3 3 + x x+1

A

d

Z b)

3x

(e

+ 2 ) dx

Z dx

Ejercicio 4. Calcular las integrales. Z 1 1 a) ( + √ )dx x+5 2 x Z c) e2x+5 + 53x−1 dx Ejercicio 5. Calcular las integrales. Z 3 2 a) − sec (3x) dx 1 + x2 Z b) e2x+1 − 5 sen(3x) dx Z c) 25x+1 − 3 cos(8x) dx

d)

B s=B+mv

x

cos 2x +

3 2x + 5

SOCIALES

dx

MaTEX Integrales

Ejercicio 3. Calcular las integrales. Z a) (sen x + ex ) dx

MATEMATICAS 2º Bachillerato

Z

1 b) + sen 2x dx 2x + 5 Z 2 d) + 3 cos(2x) dx 1−x

JJ

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I

J Doc

Doc I

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Secci´ on 3: M´ etodos de Integraci´ on

10

3. M´ etodos de Integraci´ on

MATEMATICAS 2º Bachillerato r=A+lu A

3.1. Integrales Racionales

d B s=B+mv

SOCIALES

MaTEX Integrales

Denominamos integral racional a las integrales de las funciones racionales del tipo Z N (x) dx D(x) donde N (x) y D(x) son polinomios. Para el nivel de este curso solo consideramos los casos en que el denominador sea un polinomio de grado 1 o bien un polinomio de grado 2. Los casos inmediatos son: Z 1 dx = ln(x) + C x Z 1 dx = arctan x + C 1 + x2 todos los demás casos se reducen en la pr´ actica a estos, es decir la primitiva será con peque˜ nas variantes una suma de logaritmos y arcotangente.

JJ

II

J

I

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Doc I

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Secci´ on 3: M´ etodos de Integraci´ on

11

r=A+lu

• Denominador de grado 1

A

x2 x+1

1 x2 =x−1+ x+1 x+1 Z Z dx = (x − 1) dx + =

1 dx x+1

1 2 x − x + ln(x + 1) + C 2

d B s=B+mv

SOCIALES

MaTEX Integrales

Si el numerador N (x) es un n´ umero todas la primitivas corresponden a un logaritmo. En efecto: Z Z 1 2 1 1 dx = dx = ln(2x + 1) + C 2x + 1 2 2x + 1 2 Z Z 7 7 3 7 dx = dx = ln(3x + 5) + C 3x + 5 3 3x + 5 3 Z c c El caso general es sencillo dx = ln(a x + b) + C Si el numerador ax + b a es de grado igual o mayor que el denominador, se divide Z x2 Ejemplo 3.1. Hallar dx x+1 Soluci´ on: Como Gra(x2 ) ≥ Gra(x + 1) se divide:

Z

MATEMATICAS 2º Bachillerato

JJ

II

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I

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Doc I

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Secci´ on 3: M´ etodos de Integraci´ on

12

MATEMATICAS 2º Bachillerato r=A+lu

• Denominador de grado 2 con ra´ıces

A

En este caso se utiliza la descomposici´ on en fracciones simples. Z 2 Ejemplo 3.2. Hallar dx x2 − 1 Soluci´ on: Se descompone en factores el denominador,

d B s=B+mv

SOCIALES

MaTEX Integrales

x2 − 1 = (x − 1)(x + 1) y el integrando en fracciones simples, es decir A B 2 A(x + 1) + B(x − 1) 2 = + =⇒ 2 = x2 − 1 x−1 x+1 x −1 x2 − 1 Se quitan denominadores y se tiene que cumplir la identidad 2 = A(x + 1) + B(x − 1) Se dan valores a x. Las ra´ıces de los factores facilitan el cálculo Para x = 1 =⇒ 2 = 2A =⇒ A = 1 Para x = −1 Z =⇒ 2 = −2B =⇒ Z B = −1 Z 2 1 −1 dx = dx + dx x2 − 1 x−1 x+1 =

ln(x − 1) − ln(x + 1) + C

JJ

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I

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Secci´ on 3: M´ etodos de Integraci´ on

Z Ejemplo 3.3. Hallar

13

8x dx −4

MATEMATICAS 2º Bachillerato r=A+lu A

x2

d

Soluci´ on: Se descompone en factores el denominador,

B s=B+mv

SOCIALES

x2 − 4 = (x − 2)(x + 2)

MaTEX

y el integrando en fracciones simples, es decir

Integrales

8x A B 8x A(x + 2) + B(x − 2) = + =⇒ 2 = x2 − 4 x−2 x+2 x −4 x2 − 4 Se quitan denominadores y se tiene que cumplir la identidad 8x = A(x + 2) + B(x − 2) Se dan valores a x. Las ra´ıces de los factores facilitan el cálculo Para x = 2 =⇒ 16 = 4A =⇒ A = 4 Para x =Z−2 =⇒ −16 = −4B Z =⇒ B = 4 Z 4 4 8x dx = dx + dx 2 x −4 x−2 x+2 =

4 ln(x − 2) + 4 ln(x + 2) + C

JJ

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I

J Doc

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Ejercicio 6. Calcular las integrales. Z 2 x +1 a) dx x+2 Z 3 x +x+2 b) dx x+3 Z 2 x + 5x + 1 c) dx x+1 Ejercicio 7. Calcular las integrales. Z 3 a) dx 1 + x2 Z 2x + 1 b) dx 1 + x2 Z 3x − 5 c) dx 1 + x2 Z x−7 d) dx 1 + x2 Z 8x − 21 Ejercicio 8. Hallar dx x2 − 5x + 6 Z 3x − 1 Ejercicio 9. Hallar dx x2 − x

14

MATEMATICAS 2º Bachillerato r=A+lu A

d B s=B+mv

SOCIALES

MaTEX Integrales

Secci´ on 3: M´ etodos de Integraci´ on

JJ

II

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J Doc

Doc I

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Secci´ on 3: M´ etodos de Integraci´ on

15

MATEMATICAS 2º Bachillerato r=A+lu

3.2. Cambio de variable

A

(2x + 3)3 dx

Efectuamos el cambio de variable

t

=

2x + 3

y derivamos 1 dt = 2 dx La técnica consiste en sustituir la variable x por la variable t y la dx por la dt. Ya que 1 dt = 2 dx =⇒ dx = dt 2 la integral buscada queda Z Z Z 1 3 3 1 t3 dt (2x + 3) dx = t dt = 2 2 11 4 1 = t = t4 + C 24 8 1 = (2x + 3)4 + C 8

d B s=B+mv

SOCIALES

MaTEX Integrales

Consiste en sustituir una parte del integrando por otra variable para lograr que la nueva integral sea m´ as sencilla. Consideremos la integral Z

JJ

II

J

I

J Doc

Doc I

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Secci´ on 3: M´ etodos de Integraci´ on

16

Ejemplo 3.4. Calcular por cambio de variable Z √ 3x − 1 dx

MATEMATICAS 2º Bachillerato r=A+lu A

d B s=B+mv

3x − 1 = t2 2 t dt 3 La técnica consiste en sustituir la variable x en funci´ on de la variable t y la dx por la dt. Z √ Z √ 2 3x − 1 dx = t2 t dt 3 Z 2 = t2 dt 3 21 3 2 = t = t3 + C 33 9 2 √ = ( 3x − 1)3 + C 9

SOCIALES

MaTEX Integrales

Soluci´ on: Con una ra´ız cuadrada es frecuente igualar el radicando a t2 . As´ı pues,

3 dx = 2 t dt =⇒ dx =

JJ

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Doc I

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17

Z Ejemplo 3.5. Calcular por cambio de variable

ex

1 dx + e−x

r=A+lu A

Soluci´ on: Efectuamos el cambio de variable ex = t Ya que 1 ex dx = dt =⇒ dx = dt t la integral buscada queda Z Z Z 1 1 1 1 dt = dt dx = ex + e−x t + t−1 t t2 + 1 =

MATEMATICAS 2º Bachillerato

d B s=B+mv

SOCIALES

MaTEX Integrales

Secci´ on 3: M´ etodos de Integraci´ on

arctan t + C = arctan ex + C Z

Ejemplo 3.6. Calcular por cambio de variable

x

e dx 1 + e2x

Soluci´ on: Efectuamos el cambio de variable ex = t 1 ex dx = dt =⇒ dx = dt t la integral buscada queda Z Z Z ex t 1 1 dx = dt = dt 2x 2 1+e 1+t t 1 + t2 =

arctan t + C = arctan ex + C

JJ

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Doc I

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Secci´ on 3: M´ etodos de Integraci´ on

18

r=A+lu

• Ejercicios de cambios de variable

A

Z

√ x x + 2 dx

Z

1 √ dx (1 + x) x

Ejercicio 11. Calcular Ejercicio 12. Calcular Z Ejercicio 13. Calcular

cos2 Z

Ejercicio 14. Calcular

√

1 √ dx x+ 3x

d B s=B+mv

SOCIALES

MaTEX Integrales

Z Ejercicio 10. Calcular por cambio de variable

MATEMATICAS 2º Bachillerato

1 √ dx x 1 + tan x

1 √ dx x 1 − ln x

e3x − ex dx 1 + e2x Z √ Ejercicio 16. Calcular ex 1 − ex dx Z

Ejercicio 15. Calcular

Z Ejercicio 17. Calcular

sen(ln x) dx x

JJ

II

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J Doc

Doc I

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Secci´ on 3: M´ etodos de Integraci´ on

19

r=A+lu

3.3. Integraci´ on por Partes

A

v du

d B s=B+mv

SOCIALES

MaTEX Integrales

Sean dos funciones en x, u(x) y v(x) si designamos 1 1 u(x) dv = v(x) du = dx dx Por la derivada de un producto se tiene d (u v) = v du + u dv dx ahora, integrando la expresi´ on anterior Z Z Z d (u v) = v du + u dv dx Z d como (u v) = u v y despejando uno de los sumandos de la expresión dx anterior se obtiene Z Z

u dv = u v −

MATEMATICAS 2º Bachillerato

(6)

JJ

II

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I

J Doc

Doc I

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Secci´ on 3: M´ etodos de Integraci´ on

20

MATEMATICAS 2º Bachillerato r=A+lu

Ejemplo 3.7. Calcular por partes Z x sen x dx

A

d B s=B+mv

SOCIALES

Soluci´ on: Z dv = sen x dx v = − cos x

x sen x dx = −x cos x +

MaTEX

cos x dx

= −x cos x + sin x + C

Integrales

u=x du = dx

Z

Ejemplo 3.8. Calcular por partes Z ln x dx Soluci´ on: Z u = ln x 1 du = dx x

dv = dx v=x

Z ln x dx = x ln x −

1 dx x

= x ln x − ln x + C

JJ

II

J

I

J Doc

Doc I

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Secci´ on 3: M´ etodos de Integraci´ on

21

Ejemplo 3.9. Calcular por partes Z

MATEMATICAS 2º Bachillerato r=A+lu A

x ex dx

d B s=B+mv

SOCIALES

Soluci´ on: Z dv = ex dx v = ex

x ex dx = x ex − x

MaTEX

ex dx

x

= xe − e + C

Integrales

u=x du = dx

Z

Ejemplo 3.10. Calcular por partes Z 4x3 ln x dx Soluci´ on: Z u = ln x 1 du = dx x

3

dv = 4x dx v = x4

4x3 ln x dx = x4 ln x −

Z

x4

1 dx x

1 = x4 ln x − x4 + C 4

JJ

II

J

I

J Doc

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Secci´ on 3: M´ etodos de Integraci´ on

22

MATEMATICAS 2º Bachillerato r=A+lu

Ejemplo 3.11. Calcular por partes Z x2 ex dx

A

d B s=B+mv

SOCIALES

Soluci´ on: u = x2 dv = ex dx du = 2 x dx v = ex

x2 ex dx = x2 ex − 2

Z

MaTEX

x ex dx | {z } I1

Integrales

Z

Ahora calculamos de nuevo por partes la integral, I1 x

I1

= x ex −

Z

u=x dv = e dx du = dx v = ex = x ex − ex Sustituyendo se obtiene: Z x2 ex dx = x2 ex − 2(x ex − ex ) + C

ex dx

Ejercicio 18. Calcular las integrales. Z Z 1 − x3 2 + x2 √ dx a) dx b) 2 x x Z Ejercicio 19. Calcular ln(x2 + 1) dx

Z c)

x − x3/2 √ dx 5 x

JJ

II

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I

J Doc

Doc I

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Secci´ on 3: M´ etodos de Integraci´ on

23

MATEMATICAS 2º Bachillerato

Z

r=A+lu

arc sen x dx

A

Ejercicio 21. Dada la funci´ on f (x) = ex sen(bx) donde b 6= 0 es una conZ stante, calcular f (x) dx. cos(ln x) dx. Z Ejercicio 23. Calcular la integral Cn =

SOCIALES

MaTEX

Z Ejercicio 22. Calcular

d B s=B+mv

Integrales

Ejercicio 20. Calcular

x2 cos(nx) dx donde n es un

n´ umero natural. Z |1 − x| dx

Ejercicio 24. Calcular Z Ejercicio 25. Calcular

(3 − |x|) dx

JJ

II

J

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J Doc

Doc I

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Soluciones a los Ejercicios

24

r=A+lu

Soluciones a los Ejercicios

A

Ejercicio 1. Z 1 a) x2 dx = x3 + C 3 b) Z

d B s=B+mv

SOCIALES

= c)

Z

x4 dx

(prop. homog.)

7 5 x +C 5

(regla pot.)

7

MaTEX Integrales

7x4 dx =

Z

MATEMATICAS 2º Bachillerato

x−2 dx = −x−1 + C Ejercicio 1

JJ

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Soluciones a los Ejercicios

25

r=A+lu

Ejercicio 2. Z 2 a) x−5/2 dx = − x−3/2 + C 3 Z √ 4 b) 6 x5 dx = 24x1/4 + C

A

d B s=B+mv

SOCIALES

−5

(3x

Z

10

+ 8x )dx = =

−5

Z

10

3x dx + 8x dx Z Z −5 3 x dx + 8 x10 dx

3 8 = − x−4 + x11 4 11

Integrales

MaTEX

c) Z

MATEMATICAS 2º Bachillerato

C(prop. aditi.)

C(prop. homog.)

C(regla pot.)

Ejercicio 2

JJ

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Doc I

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Soluciones a los Ejercicios

26

MATEMATICAS 2º Bachillerato r=A+lu

Ejercicio 3. a)

A

(sen x + ex ) dx =

Z

Z sen x dx +

d

ex dx

SOCIALES

= − cos x + ex + C b) Z

(e3x + 2x ) dx = =

Z

e3x dx +

Z

B s=B+mv

2x dx

MaTEX Integrales

Z

1 x 1 3x e − 2 +C 3 ln 2

c) Z

3 3 + x x+1

Z

dx = =

Z 1 3 dx + 3 dx x x+1 3 ln x + 3 ln(x + 1) + C 3

d) Z cos 2x +

3 2x + 5

Z dx = =

Z cos 2x dx + 3

3 dx 2x + 5

1 3 sen x + ln(2x + 5) + C 2 2 Ejercicio 3

JJ

II

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I

J Doc

Doc I

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Soluciones a los Ejercicios

27

MATEMATICAS 2º Bachillerato r=A+lu

Ejercicio 4. a)

A

(

1 1 + √ )dx = x+5 2 x =

Z 1 1 √ dx dx + x+5 2 x √ ln(x + 5) + x + C

b) Z

d

Z

Z Z 1 1 + sen 2x dx = dx + sen 2xdx 2x + 5 2x + 5 1 1 = ln(2x + 5) − cos 2x + C 2 2

B s=B+mv

SOCIALES

MaTEX Integrales

Z

c) Z

e2x+5 + 53x−1 dx = =

Z

e2x+5 dx +

Z

53x−1 dx

1 2x+5 1 e − 53x−1 + C 2 3 ln 5

d) Z

Z Z 2 2 + 3 cos(2x) dx = dx + 3 cos(2x)dx 1−x 1−x 3 = −2 ln(1 − x) + sen(2x) + C 2 Ejercicio 4

JJ

II

J

I

J Doc

Doc I

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Soluciones a los Ejercicios

r=A+lu A

d

3 2 − sec dx = (3x) 1 + x2

Z

Z 1 3 dx − sec2 (3x)dx 1 + x2 1 = 3 arctan x − tan(3x) + C 3

b) Z

MATEMATICAS 2º Bachillerato

e2x+1 − 5 sen(3x) dx = =

Z

e2x+1 dx − 5

B s=B+mv

SOCIALES

MaTEX Integrales

Ejercicio 5. a) Z

28

Z sen(3x)dx

1 2x+1 5 e + cos(3x) + C 2 3

c) Z

25x+1 − 3 cos(8x) dx = =

Z

25x+1 dx − 3

Z cos(8x)dx

1 3 25x+1 − sen(8x) + C 5 ln 2 8 Ejercicio 5

JJ

II

J

I

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Doc I

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29

Ejercicio 6. a) Como el grado del numerador es ≥ que el denominador se divide: Z 2 Z Z x +1 5 dx = dx (x − 2) dx + x+2 x+2 = 1/2 x2 − 2 x + 5 ln(x + 2) + C b) Como el grado del numerador es ≥ que el denominador se divide: Z 3 Z Z x +x+2 28 dx = (x2 − 3x + 10) dx − dx x+3 x+3 = 1/3 x3 − 3/2 x2 + 10 x − 28 ln(x + 3) + C

MATEMATICAS 2º Bachillerato r=A+lu A

d B s=B+mv

SOCIALES

MaTEX Integrales

Soluciones a los Ejercicios

c) Como el grado del numerador es ≥ que el denominador se divide: Z Z Z 2 3 x + 5x + 1 dx = (x + 4)dx − x+1 x+1 = 1/2 x2 + 4 x − 3 ln(x + 1) + C Ejercicio 6 JJ

II

J

I

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Doc I

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Soluciones a los Ejercicios

MATEMATICAS 2º Bachillerato r=A+lu A

d

Z 3

1 dx = 3 arctan x + C 1 + x2

b) Se separa en dos sumandos: Z Z Z 2x 1 2x + 1 dx = dx + dx 1 + x2 1 + x2 1 + x2 = ln(1 + x2 ) + arctan x + C

B s=B+mv

SOCIALES

MaTEX Integrales

Ejercicio 7. a) Es del tipo arcotangente: Z 3 dx = 1 + x2

30

c) Se separa en dos sumandos: Z Z Z 3x − 5 3x 1 dx = dx − 5 dx 2 2 1+x 1+x 1 + x2 = 3/2 ln(1 + x2 ) − 5 arctan x + C d ) Se separa en dos sumandos: Z Z Z x−7 x 1 dx = dx − 7 dx 1 + x2 1 + x2 1 + x2 = 1/2 ln(1 + x2 ) − 7 arctan x + C Ejercicio 7

JJ

II

J

I

J Doc

Doc I

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Soluciones a los Ejercicios

31

MATEMATICAS 2º Bachillerato r=A+lu

Ejercicio 8. Como

A

d

x2 − 5x + 6 = (x − 2)(x − 3) se descompone en fracciones simples:

B s=B+mv

SOCIALES

MaTEX Integrales

A B 8x − 21 A(x − 3) + B(x − 2) 8x − 21 = + =⇒ 2 = x2 − 5x + 6 x−2 x−3 x − 5x + 6 x2 − 5x + 6 Se tiene que cumplir la identidad 8x − 21 = A(x − 3) + B(x − 2) Para x = 2 =⇒ −5 = −A =⇒ A = 5 Para xZ= 3 =⇒ 3 = B =⇒ B = Z3 Z 8x − 21 1 1 dx = 5 dx + 3 dx x2 − 5x + 6 x−2 x−3 =

5 ln(x − 2) + 3 ln(x − 3) + C Ejercicio 8

JJ

II

J

I

J Doc

Doc I

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Soluciones a los Ejercicios

32

MATEMATICAS 2º Bachillerato r=A+lu

Ejercicio 9. Como

A

d

x2 − x = x(x − 1) se descompone en fracciones simples:

B s=B+mv

SOCIALES

A B 3x − 1 A(x − 1) + B(x) 3x − 1 = + =⇒ 2 = x2 − x x x−1 x −x x2 − x Se tiene que cumplir la identidad 3x − 1 = A(x − 1) + B(x) Para x = 0 =⇒ 1 = −A =⇒ A = −1

Integrales

MaTEX

Para x = 1Z=⇒ 2 = B =⇒ B = Z2 Z 3x − 1 1 2 dx = − dx + dx x2 − x x x−1 = − ln(x) + 2 ln(x − 1) + C Ejercicio 9

JJ

II

J

I

J Doc

Doc I

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33

Ejercicio 10. Efectuamos el cambio de variable Z

x = t6 =⇒ dx = 6 t5 dt Z 1 1 √ √ √ √ dx = 6 t5 dt 3 x+ 3x t 6 + t6 Z Z t5 t3 dt = 6 dt = 6 t3 + t 2 t+1 Z 1 dt = 6 t2 − t + 1 − t+1 1 3 1 2 = 6 t − t + t − ln(t + 1) + C 3 2 √ √ √ √ 6 6 = 2 x3 − 3 x2 + 6 6 x − 6 ln( 6 x + 1) + C Ejercicio 10

MATEMATICAS 2º Bachillerato r=A+lu A

d B s=B+mv

SOCIALES

MaTEX Integrales

Soluciones a los Ejercicios

JJ

II

J

I

J Doc

Doc I

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Soluciones a los Ejercicios

34

MATEMATICAS 2º Bachillerato r=A+lu

Ejercicio 11. Efectuamos el cambio de variable

A

x + 2 = t2 =⇒ dx = 2 t dt

d B s=B+mv

la integral buscada queda Z Z √ (t2 − 2) t 2 t dt x x + 2 dx = Z Z = 2 t4 dt − 4 t2 dt

=

MaTEX Integrales

=

SOCIALES

2 5 4 3 t − t +C 5 3 4 √ 2 √ ( x + 2)5 − ( x + 2)3 + C 5 3 Ejercicio 11

JJ

II

J

I

J Doc

Doc I

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Soluciones a los Ejercicios

35

MATEMATICAS 2º Bachillerato r=A+lu

Ejercicio 12. Efectuamos el cambio de variable

A

x = t2 =⇒ dx = 2 t dt

d B s=B+mv

la integral buscada queda Z Z 1 1 √ dx = 2 t dt (1 + t2 ) t (1 + x) x Z 1 = 2 dt 1 + t2

MaTEX Integrales

=

SOCIALES

√ 2 arctan t + C = 2 arctan x + C Ejercicio 12

JJ

II

J

I

J Doc

Doc I

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Soluciones a los Ejercicios

36

MATEMATICAS 2º Bachillerato r=A+lu

Ejercicio 13. Efectuamos el cambio de variable

A

1 + tan x = t2 =⇒ sec2 x dx = 2 t dt =⇒ dx = cos2 x 2 t dt la integral buscada queda Z Z 1 1 √ dx = cos2 x 2 t dt 2 cos2 x t cos x 1 + tan x Z = 2 dt

SOCIALES

MaTEX Integrales

=

d B s=B+mv

√ 2 t + C = 2 1 + tan x + C Ejercicio 13

JJ

II

J

I

J Doc

Doc I

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37

MATEMATICAS 2º Bachillerato r=A+lu

Ejercicio 14. Efectuamos el cambio de variable 1 1 − ln x = t2 =⇒ − dx = 2 t dt =⇒ dx = − 2 x t dt x la integral buscada queda Z Z 1 1 √ 2 x t dt dx = − x t x 1 − ln x Z = −2 dt

A

d B s=B+mv

SOCIALES

MaTEX Integrales

Soluciones a los Ejercicios

√ = −2 t + C = 2 1 − ln x + C Ejercicio 14

JJ

II

J

I

J Doc

Doc I

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Soluciones a los Ejercicios

38

r=A+lu

Ejercicio 15. Efectuamos el cambio de variable

A

1 dt t

d B s=B+mv

la integral buscada queda Z 3x Z 3 e − ex t −t 1 dt dx = 2x 1+e 1 + t2 t Z 2 t −1 = dt / (dividiendo) 1 + t2 Z 2 = (1 − ) dt 1 + t2 = t − 2 arctan t + C = ex − 2 arctan ex + C

SOCIALES

MaTEX Integrales

ex = t =⇒ ex dx = dt =⇒ dx =

MATEMATICAS 2º Bachillerato

Ejercicio 15

JJ

II

J

I

J Doc

Doc I

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Soluciones a los Ejercicios

39

r=A+lu

Ejercicio 16. Efectuamos el cambio de variable

A

2t dt ex

d B s=B+mv

la integral buscada queda Z Z √ 2t x x e 1 − e dx = − (1 − t2 ) t dt 1 − t2 Z = − 2 t2 dt

SOCIALES

MaTEX Integrales

1 − ex = t2 =⇒ −ex dx = 2 t dt =⇒ dx = −

MATEMATICAS 2º Bachillerato

2 = − t3 3 2 √ = − ( 1 − ex )3 + C 3 Ejercicio 16

JJ

II

J

I

J Doc

Doc I

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40

MATEMATICAS 2º Bachillerato r=A+lu

Ejercicio 17. Efectuamos el cambio de variable 1 ln x = t =⇒ dx = dt =⇒ dx = x dt x la integral buscada queda Z Z sen(t) sen(ln x) dx = x dt x x Z = sen t dt

A

d B s=B+mv

SOCIALES

MaTEX Integrales

Soluciones a los Ejercicios

= − cos t = − cos(ln x) + C Ejercicio 17

JJ

II

J

I

J Doc

Doc I

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Soluciones a los Ejercicios

r=A+lu A

d

1 − x3 dx = x2

Z

x−2 dx −

Z xdx

C(dividiendo) C(regla pot.)

b) 2 + x2 √ dx = x =

B s=B+mv

SOCIALES

1 = −x−1 − x2 + C 2 Z

MATEMATICAS 2º Bachillerato

Z

2x−1/2 dx +

Z

x3/2 dx

2 4x1/2 + x5/2 + C 5

MaTEX Integrales

Ejercicio 18. a) Z

41

C(dividiendo) C(regla pot.)

c) Z

x − x3/2 √ dx = 5 x =

Z

x4/5 dx −

Z

x13/10 dx

5 9/5 10 23/10 x − x +C 9 23

C(dividiendo) C(regla pot.) Ejercicio 18 JJ

II

J

I

J Doc

Doc I

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Soluciones a los Ejercicios

42

Ejercicio 19. Sea I = u = ln(x2 + 1) 2x dx du = 2 x +1

MATEMATICAS 2º Bachillerato r=A+lu

ln(x2 + 1) dx

dv = dx

I

A

= x ln(x2 + 1) − 2

v=x

x2 dx x2 + 1 | {z } Z

d B s=B+mv

SOCIALES

I1

Ahora calculamos la integral racional , I1 Z Z 1 x2 dx = 1 − dx = x − arctan x I1 = x2 + 1 x2 + 1

MaTEX Integrales

Z

Ahora sustituyendo I1 en I: I = x ln(x2 + 1) − 2(x − arctan x) + C Ejercicio 19

JJ

II

J

I

J Doc

Doc I

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Soluciones a los Ejercicios

43

MATEMATICAS 2º Bachillerato

Z Ejercicio 20. Sea I =

r=A+lu

arc sen x dx

A

Z

dv = dx

I

= x arc sen x −

v=x

x √ dx 1 − x2 | {z }

d B s=B+mv

SOCIALES

I1

MaTEX

Ahora calculamos la integral, I1 Z p x √ I1 = dx = − 1 − x2 1 − x2 sustituyendo I1 en I: p I = x arc sen x + 1 − x2 + C

Integrales

u = arc sen x 1 dx du = √ 1 − x2

Ejercicio 20

JJ

II

J

I

J Doc

Doc I

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Soluciones a los Ejercicios

44

Ejercicio 21. Siendo I = u = sen bx du = b cos bx dx

r=A+lu

ex sen(bx)

x

dv = e dx v = ex

I

A

x

= e sen bx − b

Z

ex cos bx dx | {z } I1

dv = ex dx v = ex

I1

d B s=B+mv

SOCIALES

MaTEX

Ahora calculamos la segunda integral u = cos bx du = −b sen bx dx

MATEMATICAS 2º Bachillerato

= ex cos bx + b

Z

Integrales

Z

ex sen bx dx

Sustituyendo se obtiene: I = ex sen bx − b (ex cos bx + b I) (1 + b2 )I = ex sen bx − b ex cos bx =⇒ Z ex sen bx − b ex cos bx ex sen bx dx = 1 + b2 Ejercicio 21 JJ

II

J

I

J Doc

Doc I

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Soluciones a los Ejercicios

45

MATEMATICAS 2º Bachillerato

Z Ejercicio 22. Siendo I =

r=A+lu

cos(ln x) dx

A

Z u = cos(ln x) 1 du = − sen(ln x) dx x

dv = dx

I

= x cos(ln x) +

v=x

d

sen(ln x) dx | {z } I1

B s=B+mv

SOCIALES

MaTEX

Ahora calculamos la segunda integral u = sen(ln x) 1 du = cos(ln x) dx x

dv = dx

I1

= x sen(ln x) −

v=x

|

Integrales

Z cos(ln x) dx {z } I

Sustituyendo se obtiene: I = x cos(ln x) + (x sen(ln x) − I) I=

x cos(ln x) + x sen(ln x) +C 2 Ejercicio 22

JJ

II

J

I

J Doc

Doc I

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Soluciones a los Ejercicios

46

Z Ejercicio 23. Siendo Cn = 2

u=x

du = 2 x dx

dv = cos(nx) dx 1 v = sen(nx) n

MATEMATICAS 2º Bachillerato r=A+lu

x2 cos(nx) dx Cn

1 2 =x sen(nx) − n n 2

A

Z

d

x sen(nx) dx {z } | Sn

B s=B+mv

SOCIALES

MaTEX

Ahora calculamos la segunda integral Z

du = dx

dv = sen(nx) dx 1 v = − cos(nx) n

Sn =

x 1 cos(nx) + cos(nx) dx n n x 1 − cos(nx) + 2 sen(nx) n n

Integrales

u=x

=−

Sustituyendo se obtiene: 2 x 1 1 Cn = x2 sen(nx) − (− cos(nx) + 2 sen(nx)) n n n n 1 2 2x 2 Cn = x sen(nx) + 2 cos(nx) − 3 sen nx + C n n n Ejercicio 23 JJ

II

J

I

J Doc

Doc I

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Soluciones a los Ejercicios

47

r=A+lu

Ejercicio 24. Siendo

A

1−x x≤1 x−1 1≤x

hallaremos la primitiva para cada rama de f La integral buscada queda  Z 1  Z  (1 − x) dx = x − x2 + C1 2 Z f (x) dx = 1 2   (x − 1) dx = x − x + C2 2 Ejercicio 24

d B s=B+mv

SOCIALES

MaTEX Integrales

f (x) = |1 − x| =

MATEMATICAS 2º Bachillerato

JJ

II

J

I

J Doc

Doc I

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Soluciones a los Ejercicios

48

r=A+lu

Ejercicio 25. Siendo

A

3+x x≤0 3−x 0≤x

hallaremos la primitiva para cada rama de f La integral buscada queda  Z 1  Z  (3 + x) dx = 3 x + x2 + C1 2 Z f (x) dx = 1 2   (3 − x) dx = 3 x − x + C2 2 Ejercicio 25

d B s=B+mv

SOCIALES

MaTEX Integrales

f (x) = 3 − |x| =

MATEMATICAS 2º Bachillerato

JJ

II

J

I

J Doc

Doc I

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Soluciones a los Tests

49

MATEMATICAS 2º Bachillerato r=A+lu

Soluciones a los Tests

A

Soluci´ on al Test: En efecto

d

Z

2

B s=B+mv

2

(1 + x )dx = (1 + x )

SOCIALES

Final del Test

MaTEX Integrales

d F (x) = dx 0

JJ

II

J

I

J Doc

Doc I

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MATEMATICAS 2º Bachillerato r=A+lu A

´ Indice alfab´ etico integral indefinida, 3 integrales básicas, 8

d B s=B+mv

SOCIALES

método, 10 para las racionales, 10 por cambio de variable, 15 por partes, 19

Integrales

MaTEX

primitiva, 3 notación, 5 propiedad aditiva, 6 homogénea, 6 regla de la potencia, 7

50

JJ

II

J

I

J Doc

Doc I

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MATEMATICAS 2º Bachillerato

Proyecto

MaTEX

r=A+lu A

d B s=B+mv

Integral Definida

SOCIALES

MaTEX Integral Definida

Fco Javier Gonz´ alez Ortiz

Directorio Tabla de Contenido Inicio Art´ıculo

c 2004 [email protected]

D.L.:SA-1415-2004

ISBN: 84-688-8267-4

JJ

II

J

I

J Doc

Doc I

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MATEMATICAS 2º Bachillerato

1. Integral Definida 2. Teorema Fundamental del C´ alculo 2.1. Regla de Barrow 3. Aplicaci´ on. C´ alculo de ´ areas 3.1. Area del recinto para una funci´ on 3.2. Para dos funciones positivas sin corte 3.3. Para dos funciones cualesquiera sin corte 3.4. Para dos funciones que se cortan Soluciones a los Ejercicios Soluciones a los Tests

r=A+lu A

d B s=B+mv

SOCIALES

MaTEX Integral Definida

Tabla de Contenido

JJ

II

J

I

J Doc

Doc I

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1. Integral Definida El problema planteado es hallar el ´ area de la región que encierra la curva del gr´ afico con la recta horizontal. Una idea sencilla consiste en dividir la región en rectángulos verticales y de esta forma de ((llenar)) la regi´ on con numerosos rectángulos. De esta manera el área de la regi´ on se puede aproximar, cuanto queramos, mediante la suma de las áreas de n rect´ angulos, tomando todos con la misma base ∆ x. Teniendo en cuenta que el ´ area de cada rectángulo se obtiene multiplicando la base por la altura, tenemos que el ´ area de cada rectángulo será la base ∆ x por su altura respectiva f (xi ). A la suma de las áreas de los rect´ angulos se les llama sumas de Riemann.

3

MATEMATICAS 2º Bachillerato r=A+lu A

d B s=B+mv

SOCIALES

MaTEX Integral Definida

Secci´ on 1: Integral Definida

JJ

II

J

I

J Doc

Doc I

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Secci´ on 1: Integral Definida

4

MATEMATICAS 2º Bachillerato r=A+lu

SInf = f (x1 ) ∆x + f (x2 ) ∆x + · · · + f (xn ) ∆ x n X = f (xi ) ∆x i=1

=⇒

SInf

´ ≤ Area

A la segunda de ellas se le llama suma superior SSup : SSup = f (x1 ) ∆x + f (x2 ) ∆x + · · · + f (xn ) ∆ x n X = f (xi ) ∆x i=1

´ SSup ≥ Area

=⇒ Se tiene as´ı que

A

d B s=B+mv

SOCIALES

MaTEX Integral Definida

A la primera de ellas se le llama suma inferior SInf :

´ SInf ≤ Area ≤ SSup JJ

II

J

I

J Doc

Doc I

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Secci´ on 1: Integral Definida

5

A medida que aumentamos el n´ umero de rect´ angulos n, (n → ∞) con ∆x → 0, el área buscada se podr´ a hallar con n X f (xi ) ∆x (1) lim ∆x→0 n→∞ i=1

X

de sumatorio se convirti´ o en una “s” estilizada

do la expresión anterior con la notaci´ on Z n X lim f (xi ) ∆x = ∆x→0 n→∞ i=1

Definimos Integral Definida de f (x) entre a y b, al área de la región limitada por la funci´ on f (x) entre los puntos a y b y el eje OX. Dicho área lo representaremos con el s´ımbolo Z b f (x) dx

, quedan-

r=A+lu A

d B s=B+mv

SOCIALES

MaTEX

b

f (x) dx

Integral Definida

El s´ımbolo

Z

MATEMATICAS 2º Bachillerato

a

y = f (x)

y

Area

a a

b

x

JJ

II

J

I

J Doc

Doc I

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Secci´ on 2: Teorema Fundamental del C´ alculo

6

Si bien las áreas que determina las funciones se pueden calcular con el método comentado anteriormente, afortunadamente aqu´ı no realizaremos l´ımites de sumas de áreas de rect´ angulos como muestra la ecuación (1). Ello se debe a un resultado conocido como teorema fundamental del cálculo

MATEMATICAS 2º Bachillerato r=A+lu A

d B s=B+mv

SOCIALES

Teorema 2.1. (Teorema Fundamental del C´ alculo) Sea f (x) una función continua en el intervalo I = [a, b]. Entonces la funci´ on

Z F (x) =

x

f (x) dx es derivable

(2)

a 0

F (x) = f (x) x ∈ (a, b) El teorema demuestra que la función integral que da las ´ areas entre a y x para cada valor de x Z x F (x) = f (x) dx a

es una función cuya derivada es la función f (x).

f(b)

f(a)

a

F(x)

x

b

MaTEX Integral Definida

2. Teorema Fundamental del C´ alculo

JJ

II

J

I

J Doc

Doc I

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Secci´ on 2: Teorema Fundamental del C´ alculo b

Z

7 x

r=A+lu

f (x) dx representa un n´ umero y f (x) dx representa una función de x. a a Z x Es importante recalcar que f (x) dx es una funci´ on de x. Como los son a

Z

x

A

d B s=B+mv

SOCIALES

Z f (s) ds =

a

MATEMATICAS 2º Bachillerato

x

Z f (t) dt =

a

x

f (w) dw a

A f (s), f (t) y f (w) se les llama el integrando y las variables s, t o w son las variables auxiliares de integraci´ on. Realiza el siguiente test para ver si se ha comprendido Z 3 Test. Sea la expresión I = a s2 ds, responder a: 2

1. El significado de I es (a) Integral Definida

(b) Integral Indefinida

2. El significado de I es (a) Un n´ umero

(b) una funci´ on

MaTEX Integral Definida

Z

3. El integrando de I es (a) a s2 ds (b) s2 4. La variable de integraci´ on es (a) a (b) ds

(c) a s2 (c) s

JJ

II

J

I

J Doc

Doc I

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Secci´ on 2: Teorema Fundamental del C´ alculo

r=A+lu

(a + t2 ) dt, responder a:

d

(b) Integral Indefinida (b) una funci´ on (b) x

MaTEX

(c) t

(a) (a + t2 ) dt (b) t2 5. La variable de integraci´ on es (a) a (b) x

(c) (a + t2 ) (c) t

6. La derivada de I es (b) a + t2

(c) (a + t2 ) dt Z

Test. La derivada de la funci´ on F (x) = (a) 1 + x2

B s=B+mv

SOCIALES

4. El integrando de I es

(a) a + x2

A

2

2. El significado de I es (a) Un n´ umero 3. I es función de (a) a

MATEMATICAS 2º Bachillerato

Integral Definida

Test. Sea la expresión I = 1. El significado de I es (a) Integral Definida

8

x

Z

(1 + x2 )dx es

(b) 0

JJ

II

J

I

J Doc

Doc I

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Secci´ on 2: Teorema Fundamental del C´ alculo

9

MATEMATICAS 2º Bachillerato r=A+lu

2.1. Regla de Barrow

A

Teorema 2.2. (Regla de Barrow) Sea f (x) una función continua en el intervalo I = [a, b] y G(x) una primitiva de f (x) Entonces la integral definida

d B s=B+mv

SOCIALES

b

f (x) dx = G(b) − G(a)

(3)

a

Observaciones: 1. La importancia de esta regla es fundamental, ya que pone en relación el cálculo de áreas con el c´ alculo de primitivas. 2. Para hallar la integral definida seguiremos el siguiente proceso: a) Se halla una primitiva cualquiera de la función, b) Se sustituyen en esta primitiva los l´ımites de integración -el superior y el inferior- y se restan los resultados. Z π Ejemplo 2.1. Hallar la integral definida cos x dx 0 Z Soluci´ on: Hallamos una primitiva cos x dx = sen x luego Z π π cos x dx = [ sen x]0 = sen π − sen 0 = 0 0

MaTEX Integral Definida

Z

JJ

II

J

I

J Doc

Doc I

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Secci´ on 2: Teorema Fundamental del C´ alculo

10

Z

1

r=A+lu

Ejemplo 2.2. Hallar la integral definida x2 dx 0 Z 1 Soluci´ on: Hallamos una primitiva x2 dx = x3 luego 3 1 Z 1 1 1 1 1 3 x = (1)3 − (0)3 = x2 dx = 3 3 3 3 0 0

A

d B s=B+mv

SOCIALES

Z

Integral Definida

|x + 2| dx −3

−x − 2 x ≤ −2 x + 2 −2 < x Z −2 Z |x + 2| dx = (−x − 2) dx +

Soluci´ on: Como |x + 2| = 3

−3

MaTEX

3

Ejemplo 2.3. Calcular

Z

MATEMATICAS 2º Bachillerato

−3 −2

3

(x + 2) dx+

−2 3

1 1 2 + x2 + 2x = − x − 2x 2 2 −3 −2 9 9 = (−2 + 4) − (− + 6) + ( + 6) − (2 − 4) 2 2 1 25 = + = 13 2 2

JJ

II

J

I

J Doc

Doc I

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Secci´ on 3: Aplicaci´ on. C´ alculo de ´ areas

11

MATEMATICAS 2º Bachillerato

1

Z

r=A+lu

(1 + x2 ) dx

Ejercicio 1. Hallar la integral definida

A

0

d B s=B+mv

3. Aplicaci´ on. C´ alculo de ´ areas

SOCIALES

Para determinar el área bajo f distinguimos el signo de f (x) Si f (x) > 0 x ∈ [a, b], entonces la integral definida es positiva Z b Area del recinto = f (x) dx

MaTEX

Si f (x) < 0 x ∈ [a, b], entonces la integral definida es negativa Z b Area del recinto = − f (x) dx a

a

b

f(b)

f(a) f(a)

Area

Area f(b)

a

Integral Definida

a

b

JJ

II

J

I

J Doc

Doc I

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Secci´ on 3: Aplicaci´ on. C´ alculo de ´ areas

12

r=A+lu

Ejemplo 3.1. Hallar el área limitada por y = 4 − x2 y el eje OX. Soluci´ on: La función y = 4 − x2 corta al eje Ox en ±2.

A

d B s=B+mv

2 1 (4 − x2 ) dx = 4x − x3 3 −2 −2 1 1 3 3 = 4(2) − 2 − 4(−2) − (−2) 3 3 2

SOCIALES

A=

MaTEX

32 3

=

−2

2

2

Ejemplo 3.2. Hallar el área limitada por y = x ,x = −2, x = 2 y el eje OX. Soluci´ on: La función y = x2 corta al eje Ox en 0. Z

2

1 3 A= (x ) dx = x 3 −2 1 3 1 = 2 − (−2)3 3 3 =

2

16 3

2 −2

−2

2

Integral Definida

Z

MATEMATICAS 2º Bachillerato

JJ

II

J

I

J Doc

Doc I

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Secci´ on 3: Aplicaci´ on. C´ alculo de ´ areas

13

r=A+lu

3.1. Area del recinto para una funci´ on

A

y

a

b x1

x2

A = A1 + A2 + A3

Z A =

a

x1

Z f (x) dx +

x2

x1

Z b f (x) dx + f (x) dx x2

x

d B s=B+mv

SOCIALES

MaTEX Integral Definida

Para determinar el área de un recinto limitado por una función f (x) y el eje OX entre los puntos a y b necesitamos saber si la función cambia de signo, hallando los cortes con el eje OX. Después, se hallan las integrales definidas por separado en cada intervalo tomando sus valores en valor absoluto. El a´rea pedido será la suma de todas las ´ areas de cada uno de los recintos. Z x1 A1 = f (x) dx a Z x2 A2 = f (x) dx Zx1 b A3 = f (x) dx x2

MATEMATICAS 2º Bachillerato

JJ

II

J

I

J Doc

Doc I

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MATEMATICAS 2º Bachillerato

14

Ejemplo 3.3. Hallar el área delimitada por la gr´ afica de cos x, el eje OX en el intervalo [0, 2π] Soluci´ on: π 3π y . La función cos x corta al eje Ox en 2 2 Teniendo en cuenta los cambios de signo Z Z Z π/2 3π/2 2π A= cos x dx + cos x dx + cos x dx π/2 0 3π/2

r=A+lu A

d B s=B+mv

SOCIALES

MaTEX

luego h iπ/2 A1 = sen x =1 0 h i3π/2 =2 A2 = sen x

y

π/2

h i2π A3 = sen x

=1

3π/2

Luego

π 2

3π 2

2π

x

Integral Definida

Secci´ on 3: Aplicaci´ on. C´ alculo de ´ areas

Area = 4

JJ

II

J

I

J Doc

Doc I

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Secci´ on 3: Aplicaci´ on. C´ alculo de ´ areas

15

r=A+lu

3.2. Para dos funciones positivas sin corte

A

Para determinar el área de un recinto limitado por dos funciones f (x) y g(x) positivas sin corte entre los puntos a y b, como en la figura, teniendo en cuenta que Z b Z b azul + rosa g(x) dx = rosa f (x) dx = a

el área del recinto comprendido entre ambas funciones se obtiene restando ambas integrales, Z b Z b f (x) dx − g(x) dx a

f(x)

a

resultando la sencilla expresi´ on

g(x) a

Z a

SOCIALES

MaTEX

b

b

(f (x) − g(x)) dx

A=

d B s=B+mv

Integral Definida

a

MATEMATICAS 2º Bachillerato

(4)

JJ

II

J

I

J Doc

Doc I

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Secci´ on 3: Aplicaci´ on. C´ alculo de ´ areas

16

Ejemplo 3.4. aficas de las funciones f (x) = √ Hallar el área limitada por las gr´ x2 y g(x) = x. Soluci´ on: Hallamos la intersecci´ on de ambas 2 √ f (x) = √ x =⇒ x2 = x =⇒ x = 0, 1 g(x) = x Z 1 A= (g(x) − f (x)) dx

MATEMATICAS 2º Bachillerato r=A+lu A

d B s=B+mv

SOCIALES

MaTEX

0

1

Z A =

√

Integral Definida

f(x)

g(x)

x − x2 dx

0

=

2 3/2 1 3 x − x 3 3

Area =

1 3

1 0 0

1

JJ

II

J

I

J Doc

Doc I

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Secci´ on 3: Aplicaci´ on. C´ alculo de ´ areas

17

r=A+lu

3.3. Para dos funciones cualesquiera sin corte

A

Para determinar el área de un recinto limitado por dos funciones f (x) y g(x) entre los puntos a y b pudiendo ser alguna o ambas negativas se aplica la misma expresión que para dos funciones positivas, ya que bastar´ıa desplazar las funciones f (x) + C y g(x) + C como se muestra en el gráfico de la derecha Z b Z b A= (f (x) + C − (g(x) + C)) dx = (f (x) − g(x)) dx

f(x)+C

g(x)

SOCIALES

MaTEX

a

f(x)

a

d B s=B+mv

b

g(x)+C a

Integral Definida

a

MATEMATICAS 2º Bachillerato

b

JJ

II

J

I

J Doc

Doc I

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Secci´ on 3: Aplicaci´ on. C´ alculo de ´ areas

18

MATEMATICAS 2º Bachillerato r=A+lu

3.4. Para dos funciones que se cortan

A

f(x)

Z x1 A1 = (f (x) − g(x)) dx a Z x2 A2 = (f (x) − g(x)) dx x Z x1 3 A3 = (f (x) − g(x)) dx Zx2 b A4 = (f (x) − g(x)) dx x3 a

A = A1 + A2 + A2 + A4

x1

g(x)

x2

x3 b

d B s=B+mv

SOCIALES

MaTEX Integral Definida

Para determinar el área de un recinto limitado por dos funciones f (x) y g(x) entre los puntos a y b necesitamos saber los puntos de corte entre ellas. Se hallan las integrales definidas por separado en valor absoluto y se suman todas las áreas.

JJ

II

J

I

J Doc

Doc I

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Secci´ on 3: Aplicaci´ on. C´ alculo de ´ areas

19

Ejercicio 2. Hallar el área delimitada por la curva y = x3 − 6x2 + 8x y el eje OX.

MATEMATICAS 2º Bachillerato r=A+lu A

d

Ejercicio 3. Hallar el área del recinto limitado por las gráficas de las funciones y = x2 + x e y = x + 2. Ejercicio 4. Hallar el área del recinto limitado por las gráficas de las funciones e f (x) = x4 − 2x2 + 1 y g(x) = −x2 + 1.

x = −1, x = 1, y y = 1/2.

SOCIALES

MaTEX

1 y las rectas 4 − x2

Ejercicio 6. Dada la curva y = x2 + 2x + 2, halla el área limitada por la curva, la recta tangente en el punto donde la funci´ on tiene un extremo y recta la tangente a la curva de pendiente 6. Ejercicio 7. Calcula el área de la regi´ on comprendida entre las funciones y = 2 − x2 e y = |x|. Ejercicio 8. Hallar el área limitada por y = −x2 + 4 x + 5 con al recta y = 5.

Integral Definida

Ejercicio 5. Hallar el área delimitada por la curva y =

B s=B+mv

Ejercicio 9. Hallar el área limitada por y = x2 − 2 x con al recta y = x. Ejercicio 10. La curva y = a[1 − (x − 2)2 ], con a > 0, limita con el eje de abscisas un recinto de 12 unidades de superficie. Calcula el valor de a. Ejercicio 11. Dada la funci´ on f (x) = a ex/3 +

1 , con x 6= 0, x2

JJ

II

J

I

J Doc

Doc I

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Secci´ on 3: Aplicaci´ on. C´ alculo de ´ areas

Z a) Calcular

20

MATEMATICAS 2º Bachillerato

2

r=A+lu

f (x) dx en funci´ on de a

A

1

Ejercicio 12. De todas las primitivas de la funci´ on f (x) = 1 + x |x|, determina aquella cuya gráfica pasa por el punto (0, 1).

d B s=B+mv

SOCIALES

MaTEX Integral Definida

b) Si F (x) es una primitiva de f (x) hallar a sabiendo que F (1) = 0 y 1 F (2) = 2

JJ

II

J

I

J Doc

Doc I

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Soluciones a los Ejercicios

21

MATEMATICAS 2º Bachillerato r=A+lu

Soluciones a los Ejercicios

A

Ejercicio 1

d B s=B+mv

SOCIALES

MaTEX Integral Definida

Ejercicio 1. Hallamos una primitiva Z 1 (1 + x2 ) dx = x + x3 3 luego 1 Z 1 1 1 1 4 (1 + x2 ) dx = x + x3 = 1 + (1)3 − 0 + (0)3 = 3 3 3 3 0 0

JJ

II

J

I

J Doc

Doc I

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22

Ejercicio 2. Sea y = x3 − 6x2 + 8x, hallamos los puntos de corte con el eje OX y = x(x2 − 6x + 8) = 0 =⇒ x = 0, 2, 4 una primitiva, Z 1 F (x) = (x3 − 6x2 + 8x) dx = x4 − 2x3 + 4x2 4 Z 2 2 1 4 3 2 x − 2x + 4x = |4| f (x) dx = 4 0 0 Z 4 4 1 4 3 2 f (x) dx = x − 2x + 4x = | − 4| 4 2 2 =

Area del recinto

=

8 Ejercicio 2

MATEMATICAS 2º Bachillerato r=A+lu A

d B s=B+mv

SOCIALES

MaTEX Integral Definida

Soluciones a los Ejercicios

JJ

II

J

I

J Doc

Doc I

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23

Ejercicio 3. Sean y = x2 + x e y = x + 2, hallamos los puntos de corte entre ambas √ y = x2 + x =⇒ x2 + x = x + 2 =⇒ x = ± 2 y =x+2 una primitiva de f − g, Z Z 1 2 F (x) = [(x + x) − (x + 2)] dx = (x2 − 2)] dx = x3 − 2x 3 Z √ 2 √ f (x) − g(x) dx − 2

=

√2 1 3 x − 2x √ 3 − 2

=

Area del recinto

= |− =

4√ 2| 3

4√ 2 3 Ejercicio 3

MATEMATICAS 2º Bachillerato r=A+lu A

d B s=B+mv

SOCIALES

MaTEX Integral Definida

Soluciones a los Ejercicios

JJ

II

J

I

J Doc

Doc I

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24

Ejercicio 4. Sean y = −x2 + 1 e y = x4 − 2x2 + 1, hallamos los puntos de corte entre ambas y = −x2 + 1 =⇒ −x2 + 1 = x4 − 2x2 + 1 =⇒ x = 0, ±1 y = x4 − 2x2 + 1 una primitiva de f (x) − g(x) = x4 − 2x2 + 1 − (−x2 + 1) = x4 − x2 , Z 1 1 F (x) = (x4 − x2 ) dx = x5 − x3 5 3 Z 0 0 2 1 5 1 3 x − x = |− | f (x) − g(x) dx = 5 3 15 −1 −1 Z 1 1 1 5 1 3 2 f (x) − g(x) dx = x − x = |− | 5 3 15 0 0 =

Area del recinto

=

4 15 Ejercicio 4

MATEMATICAS 2º Bachillerato r=A+lu A

d B s=B+mv

SOCIALES

MaTEX Integral Definida

Soluciones a los Ejercicios

JJ

II

J

I

J Doc

Doc I

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Soluciones a los Ejercicios

25

1 , 4 − x2 1 1 f (x) − g(x) = − 2 4 − x2 Z 1 1 1 2−x 1 ) dx = x − ln F (x) = ( − 2 4 − x2 2 4 2+x

r=A+lu

Ejercicio 5. Sean f (x) = 1/2 e g(x) =

1 1 2−x ´ Area = x − ln 2 4 2+x 1 = |1 + ln 3| 2

A

d B s=B+mv

SOCIALES

MaTEX

1 −1

Integral Definida

y = 1/2

-1

MATEMATICAS 2º Bachillerato

1

Ejercicio 5

JJ

II

J

I

J Doc

Doc I

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Soluciones a los Ejercicios

26

Ejercicio 6. Sea y = x2 + 2x + 2 Recta tangente en el punto donde la funci´ on tiene un extremo. Como y 0 = 2x + 2, y 0 = 0 =⇒ x = −1, el punto (−1, 1) es un m´ınimo. La ecuación de su tangente es y1 = 1 Recta la tangente a la curva de pendiente 6. Como y 0 = 2x + 2, y 0 = 6 =⇒ 2x + 2 = 6 =⇒ x = 2, el punto es (2, 10) y la tangente es

MATEMATICAS 2º Bachillerato r=A+lu A

d B s=B+mv

SOCIALES

MaTEX

Las tangentes se cortan en y1 = 1 y2 = 6x − 2

=⇒ 6x − 2 = 1 =⇒ x =

Area bajo la parábola: 2 Z 2 1 3 (x2 + 2x + 2) dx = x + x2 + 2x 3 −1 −1

1 2

=

12

Integral Definida

y2 − 10 = 6(x − 2) =⇒ y2 = 6x − 2

Area pedida es el recinto azul, igual al ´ area bajo la parábola menos el rectángulo marrón y el trapecio rosa. JJ

II

J

I

J Doc

Doc I

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Soluciones a los Ejercicios

27

MATEMATICAS 2º Bachillerato r=A+lu A

d

Area del rectángulo marrón Z 1/2 3 1 dx = 2 −1

B s=B+mv

SOCIALES

Recinto azul 3 33 9 12 − ( + ) = 2 4 4

-1

1/2

2

Ejercicio 6

Integral Definida

MaTEX

Area del trapecio rosa Z 2 33 (6x − 2) dx = 4 1/2

JJ

II

J

I

J Doc

Doc I

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28

Ejercicio 7. Sean y = 2 − x2 e y = |x|, hallamos los puntos de corte entre ambas ) (x < 0) − x = 2 − x2 =⇒ x = -1 , 2 y = 2 − x2 =⇒ y = |x| (x > 0) x = 2 − x2 =⇒ x = 1 , −2 Area pedida Z 1 f (x) − g(x) dx −1

Z 1 = (2 − x2 − |x|) dx −1 Z 0 Z 1 = (2 − x2 + x) dx + (2 − x2 − x) dx −1

= =

0

13 13 + 6 6 13 3 Ejercicio 7

MATEMATICAS 2º Bachillerato r=A+lu A

d B s=B+mv

SOCIALES

MaTEX Integral Definida

Soluciones a los Ejercicios

JJ

II

J

I

J Doc

Doc I

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Soluciones a los Ejercicios

29

MATEMATICAS 2º Bachillerato r=A+lu

Ejercicio 8. Hallamos los puntos de corte:

A

d

−x2 + 4 x + 5 = 5 =⇒ x = 0 x = 4

B s=B+mv

SOCIALES

Z

4

0

Z =

MaTEX

(−x2 + 4 x + 5 − 5) dx

Area =

y

4

(−x2 + 4 x) dx

Integral Definida

0

4 x3 2 = − + 2x 3 0 64 = − + 32 − 0 3 64 = 3

0

4

x

Ejercicio 8

JJ

II

J

I

J Doc

Doc I

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Soluciones a los Ejercicios

30

MATEMATICAS 2º Bachillerato r=A+lu

Ejercicio 9. Hallamos los puntos de corte:

A

d

x2 − 2 x = x =⇒ x = 0 x = 3

B s=B+mv

SOCIALES

3

(x − x2 + 2 x) dx

Area =

y

MaTEX

0

Z =

3

(3 x − x2 ) dx

0

3 1 3 3 x2 − x = 2 3 0 27 = −9 −0 2 27 = 6

0

3

x

Ejercicio 9

Integral Definida

Z

JJ

II

J

I

J Doc

Doc I

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Soluciones a los Ejercicios

31

MATEMATICAS 2º Bachillerato r=A+lu

Ejercicio 10. Hallamos los puntos de corte con el eje de abscisas:

A

d

a [1 − (x − 2)2 ] = 0 =⇒ 1 = (x − 2)2 =⇒ x = 1 x = 3

B s=B+mv

SOCIALES

Igualamos el área a 12 3 Z 3 (x − 2)3 2 a (1 − (x − 2) ) dx = a x − 3 1 1 1 1 −a 1+ 12 = a 3 − 3 3 4 12 = a · 3 a=9 Ejercicio 10

Integral Definida

MaTEX

JJ

II

J

I

J Doc

Doc I

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Soluciones a los Ejercicios

32

MATEMATICAS 2º Bachillerato r=A+lu

Ejercicio 11.

A

Siedno f (x) = a ex/3 +

1 , con x 6= 0, x2

d B s=B+mv

a) 2 x/3

(a e 1

1 + 2 ) dx = x

Z

2 x/3

ae

Z dx +

1

1

2

SOCIALES

1 dx x2

2 1 x/3 = 3ae − x 1 1 1 = 3 a (e2/3 − e1/3 ) + 2 1 b) Una primitiva es F (x) = 3 a ex/3 − +k. Hallar a y k con las condiciones x 1 F (1) = 0 y F (2) = 2  1 ) 1/3 3ae − + k = 0   3 a e1/3 + k = 1 1

3 a e2/3 −

1 +k 2

= a=0

2

1   3 a e2/3 + k 2

=

MaTEX Integral Definida

Z

1

k=1 Ejercicio 11

JJ

II

J

I

J Doc

Doc I

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Soluciones a los Ejercicios

33

Ejercicio 12. Sea f (x) = 1 + x |x|, Como 1 − x2 f (x) = 1 + x |x| = 1 + x2

MATEMATICAS 2º Bachillerato r=A+lu A

x≤0 0 1)

MATEMATICAS 2º Bachillerato A

P (z > 2)

d B s=B+mv

Soluci´ on:

SOCIALES

MaTEX

Tabla N(0,1)

Variables Aleatorias

Utiliza la

Φ(−1) P (z ≤ −1) = Φ(−1) = 1−Φ(1) = 0.1587

z

−1

P (z > 1) = 1 − Φ(1) = 0.1587

Φ(1)

z

1

P (z > 2) = 1 − Φ(2) = 0.02275

Tabla N(0,1)

Φ(2) 2

z

JJ

II

J

I

J Doc

Doc I

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Secci´ on 4: La Distribuci´ on Normal

32

r=A+lu

Ejemplo 4.3. Si z es normal Nz (0; 1) hallar: P (−1 < z < 1)

P (0 < z < 2)

MATEMATICAS 2º Bachillerato A

P (1 < z < 2)

d B s=B+mv

Soluci´ on:

SOCIALES

P (−1 < z < 1) =Φ(1) − Φ(−1) =2 Φ(1) − 1 =0, 6826 P (0 < z < 2) =Φ(2) − Φ(0) = =0.97725 − 0.5 =0, 47725

MaTEX

Tabla N(0,1)

−1

z

1

0

Variables Aleatorias

Utiliza la

2

z

Tabla N(0,1)

P (1 < z < 2) =Φ(2) − Φ(1) =0, 13595 1

2

z

JJ

II

J

I

J Doc

Doc I

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Secci´ on 4: La Distribuci´ on Normal

33

☞ Ahora vas a manejar la tabla en forma inversa. Nos dan la probabilidad

MATEMATICAS 2º Bachillerato r=A+lu A

y calculamos el valor de la variable z0 que acumula dicha probabilidad.

d

Ejemplo 4.4. Hallar z0 de la normal Nz (0; 1) en cada caso: P (z < z1 ) = 0.8997

SOCIALES

P (z < z2 ) = 0.9625

MaTEX

Soluci´ on:

Utiliza la

Tabla N(0,1)

• Φ(z0 ) = 0.7019, se busca en la parte central de la tabla normal Nz (0; 1) la probabilidad 0.7019, observando su fila 0.5 y su columna 0.03, luego Φ(z0 ) = 0.7019 =⇒ z0 = 0.53 • Φ(z1 ) = 0.8997, se busca en la parte central de la tabla normal Nz (0; 1) la probabilidad 0.8997, observando su fila 1.2 y su columna 0.08, luego Φ(z1 ) = 0.8997 =⇒ z1 = 1.28 • Φ(z2 ) = 0.9625, se busca en la parte central de la tabla normal Nz (0; 1) la probabilidad 0.9625, observando su fila 1.7 y su columna 0.08, luego

Variables Aleatorias

P (z < z0 ) = 0.7019

B s=B+mv

Tabla N(0,1)

Φ(z2 ) = 0.9625 =⇒ z2 = 1.78

JJ

II

J

I

J Doc

Doc I

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Secci´ on 4: La Distribuci´ on Normal

34

r=A+lu

• Tipificar una variable normal

A

Ejemplo 4.5. Si X es normal N (5; 2) hallar P (X < 8). Soluci´ on: Tipificamos P (X < 8) =P

X −5 8−5 < 2 2

SOCIALES

MaTEX

Tabla N(0,1)

=P (z < 1.5) = Φ(1.5) =0.9332

d B s=B+mv

Variables Aleatorias

Cuando tenemos una variable normal N (µ; σ), para calcular las probabilidades se efect´ ua un cambio de variable que la convierte en una del tipo N (0; 1): X −µ ∼ N (0; 1) X ∼ N (µ; σ) =⇒ Z = σ A esta variable se la llama normalizada o tipificada. De esta forma, sólo es necesario disponer de la tabla correspondiente a la N (0, 1) para realizar un cálculo dado, ya que x0 − µ PX (X ≤ x0 ) = PZ Z ≤ . σ

MATEMATICAS 2º Bachillerato

5

8

X

JJ

II

J

I

J Doc

Doc I

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Secci´ on 4: La Distribuci´ on Normal

35

Ejemplo 4.6. Si X es normal N (5; 2) hallar: P (X < 8)

P (X < 2)

Utiliza la

MATEMATICAS 2º Bachillerato r=A+lu

Tabla N(0,1)

A

P (2 < X < 8)

d B s=B+mv

Soluci´ on:

SOCIALES

X −5 8−5 < 2 2

MaTEX

Variables Aleatorias

P (X < 8) =P

=P (z < 1.5) = Φ(1.5) =0.9332 2−5 X −5 < P (X < 2) =P 2 2

5

8

X

=P (z < −1.5) =1 − Φ(1.5) = 0.0668 2−5 8−5 P (2 < X < 8) =P 16, 5) d) P (x < 11) e) P (19 < x < 23) f ) P (11 < x < 25)

Utiliza la

Tabla N(0,1)

Ejercicio 14. En la distribuci´ on normal Nz (0; 1), hallar el valor de z0 en cada caso a) P (z < z0 ) = 0.50 b) P (z < z0 ) = 0.8729 c) P (z < z0 ) = 0.3300 d) P (z > z0 ) = 0.9015 e) P (z < z0 ) = 0.9971 f ) P (z > z0 ) = 0.1190

MATEMATICAS 2º Bachillerato r=A+lu A

d B s=B+mv

SOCIALES

MaTEX Variables Aleatorias

Secci´ on 4: La Distribuci´ on Normal

Tabla N(0,1)

JJ

II

J

I

J Doc

Doc I

Volver Cerrar

37

Ejemplo 4.7. Si la estatura X de 500 estudiantes es normal de media 172 cm y desviación t´ıpica 5 cm, hallar el n´ umero de estudiantes con estatura a) entre 170 y 175 cm b) mayor de 180 cm

=Φ(0.6) − Φ(−0.4) =0.3811

z

0.6

P (X > 180) =P (z > 1.6) =1 − Φ(1.6)

Tabla N(0,1)

=0.0548 N = 500 × 0.0548 ≈ 27 estudiantes

d B s=B+mv

MaTEX

P (170 < X < 175) =P (−0.4 < z < 0.6)

−0.4

r=A+lu A

SOCIALES

Soluci´ on: Por comodidad, tipificamos los valores que vamos a usar 175 − 172 180 − 172 170 − 172 = −0.4 z2 = = 0.6 z3 = = 1.6 z1 = 5 5 5

N = 500 × 0.3811 ≈ 190 estudiantes

MATEMATICAS 2º Bachillerato

Variables Aleatorias

Secci´ on 4: La Distribuci´ on Normal

1.6

z

JJ

II

J

I

J Doc

Doc I

Volver Cerrar

38

4.2. Ejercicios Ejercicio 15. La temperatura T durante el mes de mayo está distribuida de forma normal con media 21o y desviaci´ on t´ıpica 4o . Hallar el n´ umero de d´ıas esperados en que haya una temperatura entre 19o y 23o . Ejercicio 16. El tiempo en d´ıas de duraci´ on de los focos producidos por una empresa, es una variable normal de media 780 y desviación t´ıpica de 40 d´ıas. Calc´ ulese el porcentaje de focos con una duraci´ on superior a 800 d´ıas. Ejercicio 17. Los pesos de los individuos de una población se distribuyen normalmente con media 70 kg y desviaci´ on t´ıpica 5 kg. Calcular: a) La probabilidad de que el peso de un individuo esté comprendido entre 65 y 80 kg. b) La probabilidad de que un individuo pese m´ as de 100 kg. Ejercicio 18. En una panader´ıa se cortan panecillos con un peso que se ajusta a una variable normal de media 100 g y desviación t´ıpica 9 g. ¿Cuál es la probabilidad de obtener un panecillo cuyo peso oscile entre 80 g y la media? Ejercicio 19. La distribuci´ on de la duraci´ on de un embarazo en mujeres es aproximadamente normal con media 266 d´ıas y desviación t´ıpica 16 d´ıas. Calcular: a) La probabilidad de que un embarazo dure m´ as de 242 d´ıas.

MATEMATICAS 2º Bachillerato r=A+lu A

d B s=B+mv

SOCIALES

MaTEX Variables Aleatorias

Secci´ on 4: La Distribuci´ on Normal

Tabla N(0,1)

JJ

II

J

I

J Doc

Doc I

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Secci´ on 4: La Distribuci´ on Normal

39

b) El 20% de los embarazos duran menos de ¿cu´ antos d´ıas?

MATEMATICAS 2º Bachillerato r=A+lu A

c) El 50% de los embarazos duran menos de ¿cu´ antos d´ıas?

b) ¿Cuántas bombillas durar´ an m´ as de 400 d´ıas? Ejercicio 21. Una compa˜ n´ıa de autobuses conoce que el retraso en la llegada sigue una ley normal con media 5 minutos, y que el 68.26% de los autobuses llega con un retraso comprendido entre los 2 y los 8 minutos: a) ¿Cuál es la desviaci´ on t´ıpica?. b) ¿Cuál es la probabilidad de que un autob´ us llegue antes de la hora?. c) ¿Cuál es la probabilidad de que un autob´ us se retrase de más de 10 minutos?. Ejercicio 22. Cierto tipo de bater´ıa dura un promedio de 3 a˜ nos, con una desviación t´ıpica de 0,5 a˜ nos. Suponiendo que la duración de las bater´ıas es una variable normal: a) ¿Qué porcentaje de bater´ıas se espera que duren entre 2 y 4 a˜ nos?. b) Si una bater´ıa lleva funcionando 3 a˜ nos, ¿ cu´ al es la probabilidad de que dure menos de 4,5 a˜ nos?

SOCIALES

MaTEX Variables Aleatorias

Ejercicio 20. Una empresa instala en una ciudad 20.000 bombillas. La duración de una bombilla sigue una distribuci´ on normal con media 302 d´ıas y desviación t´ıpica 40 d´ıas. Calcular: a) ¿Cuántas bombillas se espera que se fundan antes de 365 d´ıas?

d B s=B+mv

Tabla N(0,1)

JJ

II

J

I

J Doc

Doc I

Volver Cerrar

40

Ejercicio 23. En un examen de matem´ aticas, en el que se ha evaluado de 0 a 20 puntos, el 67% de los alumnos ha obtenido una puntuación igual o menor que 12,2 y el 9% ha obtenido puntuaci´ on superior a 16,7. Suponiendo que la distribución de las puntuaciones sea normal, calcular su media y su desviación t´ıpica. Ejercicio 24. Un estudio de un fabricante de televisores indica que la duración media de un televisor es de 10 a˜ nos, con una desviación t´ıpica de 0,7 a˜ nos. Suponiendo que la duraci´ on media de los televisores sigue una distribución normal, a) Calcula la probabilidad de que un televisor dure más de 9 a˜ nos. b) Calcula la probabilidad de que dure entre 9 y 11

MATEMATICAS 2º Bachillerato r=A+lu A

d B s=B+mv

SOCIALES

MaTEX Variables Aleatorias

Secci´ on 4: La Distribuci´ on Normal

Tabla N(0,1)

JJ

II

J

I

J Doc

Doc I

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41

5. Aproximaci´ on de la distribuci´ on binomial por la normal Supongamos que X en una variable aleatoria con distribución de probabilidad binomial B(n, p) y que el par´ ametro n tiende a infinito mientras que el parámetro p permanece constante. Entonces, puede demostrarse que la funci´ on de distribuci´ on 1 de la variable aleatoria X − np Z=p (11) np(1 − p) tiende a la funci´ on de distribuci´ on normal est´ andar. Esto justifica que, si np > 5 y np(1 − p) > 5, se use la aproximaci´ on ! x − np , para x = 0, 1, . . . , n. (12) FX (x) ' Φ p np(1 − p) La aproximación (12) puede mejorarse con la llamada corrección por continuidad, de forma que ! x − np + 0.5 , para x = 0, 1, . . . , n. (13) FX (x) ' Φ p np(1 − p)

1

Debe notarse que la funci´ on de probabilidad binomial no tiende a la funci´ on de densidad normal est´ andar.

MATEMATICAS 2º Bachillerato r=A+lu A

d B s=B+mv

SOCIALES

MaTEX Variables Aleatorias

Secci´ on 5: Aproximaci´ on de la distribuci´ on binomial por la normal

Tabla N(0,1)

JJ

II

J

I

J Doc

Doc I

Volver Cerrar

Secci´ on 5: Aproximaci´ on de la distribuci´ on binomial por la normal

42

MATEMATICAS 2º Bachillerato r=A+lu A

0.35 0.3

n=12

d B s=B+mv

n=18

0.25

SOCIALES

n=24 0.2

MaTEX

n=30

0.15

n=60

0.1 0.05 0 0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

1 que tiene de media µ = np = 50 Ejemplo 5.1. Sea X binomial B 100; 2 r 1 1 √ y σ = npq = 100 · · = 5. Si aproximamos por una normal N (50; 5), 2 2 se tiene • Con la Binomial el valor exacto es P (X ≤ 55) = 0.8644 • Con la aproximación por la normal el valor es 55.5 − 50 P (X ≤ 55) =P z ≤ = Φ (1.1) = 0.8643 5

Variables Aleatorias

El gráfico muestra como se aproxima la binomial a la normal, a medida que n aumenta

Tabla N(0,1)

JJ

II

J

I

J Doc

Doc I

Volver Cerrar

43

Ejemplo 5.2. Aproximando con una distribuci´ on normal, calcular la probabilidad de que al lanzar una moneda 100 veces, el n´ umero de caras obtenido esté comprendido entre 46 y 55. P (46 ≤ X ≤ 55) =P

55.5 − 50 45.5 − 50 a) (b) P (X < a) (c) P (X ≤ a) 4. Sea X es una variable aleatoria continua el significado de FX (a) es : (a) P (X < a) (b) P (X ≤ a) (c) las dos 5. Sea X es una variable aleatoria discreta se tiene: (a) P (X > a) = 1 − FX (x) (b) P (X ≥ a) = 1 − FX (x) 6. Si X ≡ B(4; 0.2) se puede aproximar a una normal: (a) Si (b) No 7. Si X ≡ B(40; 0.2) se puede aproximar a una normal: (a) Si (b) No

B s=B+mv

SOCIALES

MaTEX Variables Aleatorias

Test. Responde a las cuestiones: 1. Sea X ≡ B(100; 0.5) entonces su media es: (a) µ = 100 (b) µ = 50

45

Tabla N(0,1)

JJ

II

J

I

J Doc

Doc I

Volver Cerrar

z 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2.0 2.1 2.2 2.3 2.4 2,5 2.6 2.7 2.8 2.9 3.0

0.00 .5000 .5398 .5793 .6179 .6554 .6915 .7257 .7580 .7881 .8159 .8413 .8643 .8849 .9032 .9192 .9332 .9452 .9554 .9641 .9713 .9772 .9821 .9861 .9893 .9918 .9938 .9953 .9965 .9974 .9981 .9987

0.01 .5040 .5438 .5832 .6217 .6591 .6950 .7291 .7611 .7910 .8186 .8438 .8665 .8869 .9049 .9207 .9345 .9463 .9564 .9649 .9719 .9778 .9826 .9864 .9896 .9920 .9940 .9955 .9966 .9975 .9982 .9987

0.02 .5080 .5478 .5871 .6255 .6628 .6985 .7324 .7642 .7939 .8212 .8461 .8686 .8888 .9066 .9222 .9357 .9474 .9573 .9656 .9726 .9783 .9830 .9868 .9898 .9922 .9941 .9956 .9967 .9976 .9982 .9987

0.03 .5120 .5517 .5910 .6293 .6664 .7019 .7357 .7673 .7967 .8238 .8485 .8708 .8907 .9082 .9236 .9370 .9484 .9582 .9664 .9732 .9788 .9834 .9871 .9901 .9925 .9943 .9957 .9968 .9977 .9983 .9988

0.04 .5160 .5557 .5948 .6331 .6700 .7054 .7389 .7704 .7995 .8264 .8508 .8729 .8925 .9099 .9251 .9382 .9495 .9591 .9671 .9738 .9793 .9838 .9875 .9904 .9927 .9945 .9959 .9969 .9977 .9984 .9988

0.05 .5199 .5596 .5987 .6368 .6736 .7088 .7422 .7734 .8023 .8289 .8531 .8749 .8944 .9115 .9265 .9394 .9505 .9599 .9678 .9744 .9798 .9842 .9878 .9906 .9929 .9946 .9960 .9970 .9978 .9984 .9989

Φ(−z) = 1 − Φ(z)

0.06 .5239 .5636 .6026 .6406 .6772 .7123 .7454 .7764 .8051 .8315 .8554 .8770 .8962 .9131 .9279 .9406 .9515 .9608 .9686 .9750 .9803 .9846 .9881 .9909 .9931 .9948 .9961 .9971 .9979 .9985 .9989

0.07 .5279 .5675 .6064 .6443 .6808 .7157 .7486 .7794 .8078 .8340 .8577 .8790 .8980 .9147 .9292 .9418 .9525 .9616 .9693 .9756 .9808 .9850 .9884 .9911 .9932 .9949 .9962 .9972 .9979 .9985 .9989

0.08 .5319 .5714 .6103 .6480 .6844 .7190 .7517 .7823 .8106 .8365 .8599 .8810 .8997 .9162 .9306 .9429 .9535 .9625 .9699 .9761 .9812 .9854 .9887 .9913 .9934 .9951 .9963 .9973 .9980 .9986 .9990

0.09 .5359 .5753 .6141 .6517 .6879 .7224 .7549 .7852 .8133 .8389 .8621 .8830 .9015 .9177 .9319 .9441 .9545 .9633 .9706 .9767 .9817 .9857 .9890 .9916 .9936 .9952 .9964 .9974 .9981 .9986 .9990

r=A+lu A

d B s=B+mv

SOCIALES

MaTEX Variables Aleatorias

Tabla Normal N(0; 1)

MATEMATICAS 2º Bachillerato

Tabla N(0,1)

JJ

II

J

I

J Doc

Doc I

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Soluciones a los Ejercicios

47

MATEMATICAS 2º Bachillerato r=A+lu

Soluciones a los Ejercicios

A

Ejercicio 1. Planteamos tres ecuaciones con tres inc´ ognitas 4 X

d B s=B+mv

p(xi ) = 1 ⇒0.1 + a + b + c + 0.2 = 1

SOCIALES

i=0

MaTEX Variables Aleatorias

P (X ≤ 2) = 0.75 ⇒px (0) + px (1) + px (2) = 0.75 P (X ≥ 2) = 0.75 ⇒px (2) + px (3) + px (4) = 0.75 luego  a + b + c = 0.7  a = 0.15 b = 0.5 c = 0.05 a + b = 0.65  b + c = 0.55 La esperanza de x, E[x] = µ es µ =0 · 0.1 + 1 · 0.15 + 2 · 0.5 + 3 · 0.05 + 4 · 0.2 = 2.8 La varianza de x, σ 2 es σ 2 =02 · 0.1 + 12 · 0.15 + 22 · 0.5 + 32 · 0.05 + 42 · 0.2 − 2.82 =2.04 √ σ = 2.04 = 1.43 Ejercicio 1

Tabla N(0,1)

JJ

II

J

I

J Doc

Doc I

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48

Ejercicio 2. Hallamos la funci´ on de probabilidad para la ganancia X del juego, teniendo en cuenta que 8 P (X = 15) = P ( una sota o un caballo ) = 40 8 P (X = 5) = P ( un rey o un as ) = 40 24 P (X = −4) = P ( otra carta ) = 40 xi 15 5 −4 8 8 24 px (xi ) 40 40 40 La ganancia esperanza de x, E[x] = µ es 8 8 24 64 µ =15 · +5· −4· = = 1.6 cts 40 40 40 40 Ejercicio 2

MATEMATICAS 2º Bachillerato r=A+lu A

d B s=B+mv

SOCIALES

MaTEX Variables Aleatorias

Soluciones a los Ejercicios

Tabla N(0,1)

JJ

II

J

I

J Doc

Doc I

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Soluciones a los Ejercicios

49

MATEMATICAS 2º Bachillerato r=A+lu

Ejercicio 3.

A

a) Probabilidad de sacar bola negra: P (N ) =

1 2 1 1 1 1 1 · + · + · = 3 6 3 2 3 6 3

1 3

2N 4R UA

y la probabilidad de sacar bola roja: P (R) = 1 − P (N ) =

2 3

b) La ganancia esperada es: E[G] = 3 · P (R) + 0 · P (N ) 2 1 = 3 · + 0 · = 2 euros 3 3

1 3 1 3

3N 3R UB 1N 5R UC

2 6

d B s=B+mv

SOCIALES

4 6 1 2

MaTEX Variables Aleatorias

Sea N bola negra, del diagrama se tiene

1 2 1 6 5 6

Ejercicio 3 Tabla N(0,1)

JJ

II

J

I

J Doc

Doc I

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Soluciones a los Ejercicios

50

r=A+lu

Ejercicio 4.

A

6 6·5 b) = 15 = 2 2·1 10 10 · 9 d) = = 45 2 2·1 7 7·6·5 f) = = 35 3 3·2·1 13 13 · 12 h) = = 78 2 2·1

d B s=B+mv

SOCIALES

MaTEX Ejercicio 4

Variables Aleatorias

4 4 a) = =4 1 1 8 8·7·6 = 56 c) = 3·2·1 3 5 e) =1 0 9 9·8·7·6 = 126 g) = 4·3·2·1 4

MATEMATICAS 2º Bachillerato

Tabla N(0,1)

JJ

II

J

I

J Doc

Doc I

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Soluciones a los Ejercicios

51

MATEMATICAS 2º Bachillerato r=A+lu

Ejercicio 5. Sea X el n´ umero de encestes en cinco lanzamientos

A

d

X es B(n = 5; p = 0.3)

B s=B+mv

Ejercicio 5

SOCIALES

MaTEX Variables Aleatorias

La probabilidad de que enceste, exactamente dos canastas de cinco lanzamientos 5 2 3 P (X = 2) = (0.3) (0.7) = 0.3087 2

Tabla N(0,1)

JJ

II

J

I

J Doc

Doc I

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Soluciones a los Ejercicios

52

MATEMATICAS 2º Bachillerato r=A+lu

Ejercicio 6. Se tiene que el n´ umero X de alumnos que se licencian en 5 a˜ nos

A

d

X es B(n = 10; p = 0.4)

B s=B+mv

SOCIALES

a) la probabilidad de que ninguno se licencie en 5 a˜ nos. 10 0 10 P (X = 0) = (0.4) (0.6) = 0.0060 0 b) la probabilidad de que todos se licencien en 5 a˜ nos. 10 10 0 P (X = 10) = (0.4) (0.6) = 0.0001 10 c) la probabilidad de que un u ńico estudiante se licencie en 5 a˜ nos. 10 1 9 P (X = 1) = (0.4) (0.6) = 0.0403 1 Ejercicio 6

Variables Aleatorias

MaTEX

Tabla N(0,1)

JJ

II

J

I

J Doc

Doc I

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Soluciones a los Ejercicios

53

MATEMATICAS 2º Bachillerato r=A+lu

Ejercicio 7. Se tiene que el n´ umero de piezas defectuosas X

A

d

X es B(n = 40; p = 0.012)

B s=B+mv

SOCIALES

a) la probabilidad de que s´ olo haya una defectuosa. 40 1 39 P (X = 1) = (0.012) (0.988) = 0.6170 1 b) la probabilidad de que no haya ninguna defectuosa. 40 0 40 P (X = 0) = (0.012) (0.988) = 0.299 0 Ejercicio 7

Variables Aleatorias

MaTEX

Tabla N(0,1)

JJ

II

J

I

J Doc

Doc I

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Soluciones a los Ejercicios

54

MATEMATICAS 2º Bachillerato r=A+lu

Ejercicio 8. Se tiene que el n´ umero de alumnos que faltan X

A

d

X es B(n = 20; p = 0.04)

B s=B+mv

SOCIALES

a) la probabilidad de que no se registre ninguna falta. 20 0 20 P (X = 0) = (0.04) (0.96) = 0.4420 0 b) la probabilidad de que falten a clase menos de tres estudiantes. 20 20 0 20 1 19 P (X < 3) = (0.04) (0.96) + (0.04) (0.96) + 0 1 20 2 18 + (0.04) (0.96) = 0.9561 2 c) la probabilidad de que falte a clase un u ńico estudiante. 20 1 19 P (X = 1) = (0.04) (0.96) = 0.3683 1 Ejercicio 8

Variables Aleatorias

MaTEX

Tabla N(0,1)

JJ

II

J

I

J Doc

Doc I

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Soluciones a los Ejercicios

55

MATEMATICAS 2º Bachillerato r=A+lu

Ejercicio 9. En una familia de 5 hijos, se tiene que el n´ umero de ni˜ nas X

A

d

X es B(n = 5; p = 0.56)

B s=B+mv

SOCIALES

a) la probabilidad de que tenga exactamente tres ni˜ nas. 5 3 2 P (X = 3) = (0.56) (0.44) = 0.3400 3 b) la probabilidad de que tenga al menos dos ni˜ nas. 5 5 2 3 3 2 P (X ≥ 2) = (0.56) (0.44) + (0.56) (0.44) + 2 3 5 5 4 1 5 0 (0.56) (0.44) + (0.56) (0.44) = 0.8235 4 5 c) el n´ umero medio de hijas en las familias con cinco hijos es la media de esta binomial µ = np = 5 · 0.56 = 2, 8 Ejercicio 9

Variables Aleatorias

MaTEX

Tabla N(0,1)

JJ

II

J

I

J Doc

Doc I

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Soluciones a los Ejercicios

56

MATEMATICAS 2º Bachillerato r=A+lu

Ejercicio 10. Se tiene que el n´ umero de asistentes X

A

d

X es B(n = 8; p = 0.85)

B s=B+mv

SOCIALES

a) la probabilidad de asistan todas. 8 8 0 P (X = 8) = (0.85) (0.15) = 0.3847 8 b) la probabilidad de asistan m´ as de 6 personas. 8 8 7 1 8 0 P (X ≥ 7) = (0.85) (0.15) + (0.85) (0.15) = 0.6223 7 8 c) la probabilidad de asista al menos la mitad. 8 8 4 4 5 3 (0.85) (0.15) + P (X ≥ 4) = (0.85) (0.15) + 5 4 8 8 6 2 7 1 (0.85) (0.15) + (0.85) (0.15) + 6 7 8 8 0 (0.85) (0.15) = 0.7273 8 Ejercicio 10

Variables Aleatorias

MaTEX

Tabla N(0,1)

JJ

II

J

I

J Doc

Doc I

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Soluciones a los Ejercicios

57

MATEMATICAS 2º Bachillerato r=A+lu

Ejercicio 11. Se tiene que el n´ umero de piezas defectuosas X

A

d

X es B(n = 4; p = 0.2)

B s=B+mv

Ejercicio 11

SOCIALES

MaTEX Variables Aleatorias

luego, la probabilidad de que entre cuatro piezas elegidas al azar, a lo sumo 2 sean defectuosas es 4 4 0 4 1 3 P (X ≤ 2) = (0.2) (0.8) + (0.2) (0.8) + 0 1 4 2 2 (0.2) (0.8) = 0.9728 2

Tabla N(0,1)

JJ

II

J

I

J Doc

Doc I

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Soluciones a los Ejercicios

58

MATEMATICAS 2º Bachillerato r=A+lu

Ejercicio 12. Sea X el n´ umero de veces que se cae el patinador, se tiene que

A

d

X es B(n = 5; p = 0.4)

B s=B+mv

SOCIALES

luego, la probabilidad de que de que se caiga al menos 3 veces. 5 5 3 2 4 1 p(X ≥ 3) = (0.4) (0.6) + (0.4) (0.6) + 3 4 5 5 0 (0.4) (0.6) = 0.3174 5 Ejercicio 12

Variables Aleatorias

MaTEX

Tabla N(0,1)

JJ

II

J

I

J Doc

Doc I

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Soluciones a los Ejercicios

59

Ejercicio 13. X − 18 4 a) P (x < 18) = Φ(0) = 0.50

MATEMATICAS 2º Bachillerato r=A+lu A

Se tipifica con z =

d B s=B+mv

SOCIALES

c) P (x > 16.4) = 1 − Φ(−0.4) = Φ(0.4) = .6554 d ) P (x < 11) = Φ(−1.75) = 1 − Φ(1.75) = 1 − 0.9599 = 0.0401 e) P (19 < x < 23) = Φ(1.25) − Φ(0.25) = 0.8944 − 0.5987 = 0.2957 f ) P (11 < x < 25) = Φ(1.75) − Φ(−1.75) = 2 Φ(1.75) − 1 = 0, 9198 Ejercicio 13

MaTEX Variables Aleatorias

b) P (x < 28) = Φ(2.5) = 0.9938

Tabla N(0,1)

JJ

II

J

I

J Doc

Doc I

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Soluciones a los Ejercicios

60

MATEMATICAS 2º Bachillerato r=A+lu

Ejercicio 14.

A

a) P (z < z0 ) = Φ(z0 ) = 0.50 ⇒ z0 = 0

d

b) P (z < z0 ) = Φ(z0 ) = 0.8729 ⇒ z0 = 1.14

B s=B+mv

d ) P (z > z0 ) = 1 − Φ(z0 ) = 0.9015 = Φ(1.29) ⇒ z0 = −1.29 e) P (z < z0 ) = Φ(z0 ) = 0.9971 ⇒ z0 = 2.76 f ) P (z > z0 ) = 1 − Φ(z0 ) = 0.1190 ⇒ Φ(z0 ) = 0.8810 ⇒ z0 = 1.18 Ejercicio 14

SOCIALES

MaTEX Variables Aleatorias

c) P (z < z0 ) = Φ(z0 ) = 0.3300 ⇒ Φ(−z0 ) = 0.6700 ⇒ z0 = −0.44

Tabla N(0,1)

JJ

II

J

I

J Doc

Doc I

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Soluciones a los Ejercicios

61

MATEMATICAS 2º Bachillerato r=A+lu

Ejercicio 15. La temperatura T ∼ N (21; 4):

A

d

P (19 < T < 23) =P

19 − 21 23 − 21 800) =P

X>

800 − 780 40

B s=B+mv

SOCIALES

MaTEX

=P (z > 0.5) = 1 − Φ(0.5) = 0, 3085 Ejercicio 16

Variables Aleatorias

Tabla N(0,1)

JJ

II

J

I

J Doc

Doc I

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63

Ejercicio 17. El peso X de un individuo es X ∼ N (70; 5): a) La probabilidad de que el peso de un individuo esté comprendido entre 65 y 80 kg. 80 − 70 65 − 70 100) =P z > 5 =P (z > 6) = 1 − Φ(6) ≈ 0

Ejercicio 17

MATEMATICAS 2º Bachillerato r=A+lu A

d B s=B+mv

SOCIALES

MaTEX Variables Aleatorias

Soluciones a los Ejercicios

Tabla N(0,1)

JJ

II

J

I

J Doc

Doc I

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Soluciones a los Ejercicios

64

MATEMATICAS 2º Bachillerato r=A+lu

Ejercicio 18. El peso X es X ∼ N (100; 9):

A

d

P (80 < X < 100) =P

80 − 100 100 − 100 −1.5) = Φ(1.5) = 0.3811 b) El 20% de los embarazos duran menos de ¿cu´ antos d´ıas? P (X < x0 ) =0.2 = Φ(−0.84) x0 − 266 ⇒ x0 = 252, 56 d´ıas ⇒ − 0.84 = 16 c) El 50% de los embarazos duran menos de ¿cu´ antos d´ıas? P (X < x0 ) =0.5 = Φ(0) x0 − 266 ⇒0 = ⇒ x0 = 266 d´ıas 16 Ejercicio 19

B s=B+mv

SOCIALES

MaTEX Variables Aleatorias

a) La probabilidad de que un embarazo dure m´ as de 242 d´ıas. 242 − 266 P (X > 242) =P z > 16

Tabla N(0,1)

JJ

II

J

I

J Doc

Doc I

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Soluciones a los Ejercicios

66

Ejercicio 20. El n´ umero de d´ıas de duraci´ on de una bombilla es X ∼ N (302; 40):

MATEMATICAS 2º Bachillerato r=A+lu A

d

=P (z < 1, 575) = Φ(1.57) = 0.9418 0.9418 × 20.000 = 18836 bombillas b) ¿Cuántas bombillas durar´ an m´ as de 400 d´ıas? 400 − 302 P (X > 400) =P z > 40 =P (z > 2, 45) = 1 − Φ(2, 45) = 0.0071 0.0071 × 20.000 = 142 bombillas Ejercicio 20

B s=B+mv

SOCIALES

MaTEX Variables Aleatorias

a) ¿Cuántas bombillas se espera que se fundan antes de 365 d´ıas? 365 − 302 P (X < 365) =P z < 40

Tabla N(0,1)

JJ

II

J

I

J Doc

Doc I

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67

Ejercicio 21. Se sabe que el tiempo de retraso X en minutos es X ∼ N (5; σ) y que P (2 < X < 8) = 0.6826: a) ¿Cuál es la desviaci´ on t´ıpica?. 8−5 3 3 2−5 = 1 − Φ(1.67) = 0, 0475 3 Ejercicio 21

MATEMATICAS 2º Bachillerato r=A+lu A

d B s=B+mv

SOCIALES

MaTEX Variables Aleatorias

Soluciones a los Ejercicios

Tabla N(0,1)

JJ

II

J

I

J Doc

Doc I

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68

Ejercicio 22. Se sabe que el tiempo de duraci´ on X en a˜ nos es X ∼ N (3; 0.5) a) ¿Qué porcentaje de bater´ıas se espera que duren entre 2 y 4 a˜ nos?. 4−3 2−3 3) Φ(3) − Φ(0) 0.4987 = = = 0.9974 1 − Φ(0) 0.5

P (X < 4.5|X > 3) =

Ejercicio 22

MATEMATICAS 2º Bachillerato r=A+lu A

d B s=B+mv

SOCIALES

MaTEX Variables Aleatorias

Soluciones a los Ejercicios

Tabla N(0,1)

JJ

II

J

I

J Doc

Doc I

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69

Ejercicio 23. Se sabe que la puntuación X de un alumno es X ∼ N (µ; σ) con µ y σ desconocidas. 12.2 − µ = 0.6700 = Φ(0.44) σ 12.2 − µ = 0.44 (1) ⇒ σ 16.7 − µ P (X > 16.7) =1 − P z < = 0.09 = 1 − Φ(1.34) σ 16.7 − µ = 1.34 (2) ⇒ σ Resolviendo el sistema con (1) y (2) 12.2 − µ = 0.44 σ 4.5 = 0.9 σ =⇒ σ = 5 µ = 10 16.7 − µ = 1.34 σ

P (X ≤ 12.2) =P

z<

MATEMATICAS 2º Bachillerato r=A+lu A

d B s=B+mv

SOCIALES

MaTEX Variables Aleatorias

Soluciones a los Ejercicios

Ejercicio 23 Tabla N(0,1)

JJ

II

J

I

J Doc

Doc I

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70

Ejercicio 24. Se sabe que la duración media de los televisores sigue una distribución normal, X ∼ N (µ = 10; σ = 0.7) a) Calcula la probabilidad de que un televisor dure más de 9 a˜ nos. 9 − 10 P (X > 9) =1 − P z < 0.7 =1 − Φ(−1.43) = Φ(1.43) = 0.9236 b) Calcula la probabilidad de que dure entre 9 y 11 9 − 10 11 − 10 P (9 < X < 11) =P 110) =1 − P (X ≤ 110) 110.5 − 100 =1 − P z ≤ 5 =1 − P (z ≤ 2.1) = 1 − Φ(2.1) = 0.0179

d B s=B+mv

SOCIALES

MaTEX Variables Aleatorias

1 El n´ umero X de caras es de tipo B(200; ). Como se cumplen las 2 condiciones n · p = √ 100 > 5 y n · q = 100 > 5, aproximamos por una normal con µ = 100 y σ = 25 = 5 a) Obtener a lo más 95 caras 95.5 − 100 P (X ≤ 95) =P z ≤ 5

Ejercicio 25 Tabla N(0,1)

JJ

II

J

I

J Doc

Doc I

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Soluciones a los Ejercicios

72

Ejercicio 26. El n´ umero X de ni˜ nas nacidas es de tipo B(1000; 0.58). Como se cumplen las condiciones n · p = 1000 · 0.58 = 580 > 5

n · q = 420 > 5 √ aproximamos por una normal con µ = 500 y σ = 243.6 = 15.6 P (501 ≤ X ≤ 550) =P

r=A+lu A

d B s=B+mv

SOCIALES

MaTEX

500.5 − 500 550.5 − 500 ≤z≤ 15.6 15.6

=P (0.03 ≤ z ≤ 3.24) =Φ(3.24) − Φ(0.03) = 0.4874 Ejercicio 26

Variables Aleatorias

MATEMATICAS 2º Bachillerato

Tabla N(0,1)

JJ

II

J

I

J Doc

Doc I

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73

Ejercicio 27. Sea X el n´ umero de reservas anuladas de entre los 150 billetes, entonces, como X ∼ B(150; 0.04). Para que todos los pasajeros consigan plaza se necesitan al menos 10 anulaciones, luego por la distribución binomial i=9 X 150 i 150−i P (X ≥ 10) = 1 − P (X ≤ 9) = 1 − p q i i=0 Este cálculo se puede evitar aproximando a la normal. Como se cumplen las condiciones n · p = 150 · 0.04 = 6 > 5 n · q = 144 > 5 aproximamos por una normal con √ √ µ=n·p=6 σ = n · p · q = 5.76 = 2.4 P (X ≥ 10) =1 − P (X ≤ 9) 9.5 − 6 =1 − P z ≤ 2.4 =1 − P (z ≤ 1.46) = 1 − Φ(1.46) = 0.0721 Ejercicio 27

MATEMATICAS 2º Bachillerato r=A+lu A

d B s=B+mv

SOCIALES

MaTEX Variables Aleatorias

Soluciones a los Ejercicios

Tabla N(0,1)

JJ

II

J

I

J Doc

Doc I

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74

Ejercicio 28. El n´ umero de veh´ıculos X de los 4.000 automóviles vendidos que estará en servicio dentro de dos a˜ nos es B(4000; 0.8), luego por √ aproximación a la normal N (np, npq), tendremos 3119.5 − 3200 √ P (X > 3120) =1 − P z < 640 =1 − Φ(−3.18) = Φ(3.18) = 0.9993 Ejercicio 28

MATEMATICAS 2º Bachillerato r=A+lu A

d B s=B+mv

SOCIALES

MaTEX Variables Aleatorias

Soluciones a los Ejercicios

Tabla N(0,1)

JJ

II

J

I

J Doc

Doc I

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Soluciones a los Ejercicios

75

MATEMATICAS 2º Bachillerato r=A+lu

Ejercicio 29.

A

=P (z ≤ −0.49) = Φ(−0.49) = 1 − Φ(0.49) = 0.3121 b) Obtener más de 110 –seises– P (X > 110) =1 − P (X ≤ 110) 110.5 − 100 =1 − P z ≤ 9.13 =1 − P (z ≤ 1.15) = 1 − Φ(1.15) = 0.1251

d B s=B+mv

SOCIALES

MaTEX Variables Aleatorias

1 El n´ umero X de “seises” es de tipo B(600; ). Como se cumplen las 6 condiciones n · p = √ 100 > 5 y n · q = 500 > 5, aproximamos por una normal con µ = 100 y σ = 83.33 = 9.13 a) Obtener a lo más 95 –seises– 95.5 − 100 P (X ≤ 95) =P z ≤ 9.13

Ejercicio 29 Tabla N(0,1)

JJ

II

J

I

J Doc

Doc I

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Soluciones a los Tests

76

r=A+lu

Soluciones a los Tests

A

−∞

ya que Z P (X ≤ a) = P (X < a) + P (X = a) = P (X < a) +

a

f (x) dx = P (X < a) a

con

a

f (x) dx = 0 a

Final del Test

d B s=B+mv

SOCIALES

MaTEX Variables Aleatorias

Soluci´ on al Test: En efecto, X es una variable aleatoria continua el significado de FX (a) es Z a f (x) dx = P (X < a) = P (X ≤ a)

Z

MATEMATICAS 2º Bachillerato

Tabla N(0,1)

JJ

II

J

I

J Doc

Doc I

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MATEMATICAS 2º Bachillerato r=A+lu A

Index distribución binomial, 12 media, 17 probabilidad, 17 varianza, 17 distribución normal, 26 manejo de la tabla, 28

d B s=B+mv

SOCIALES

Variables Aleatorias

MaTEX

función de distribución, 6 función de probabilidad, 4 n´ umeros combinatorios, 14 variable aleatoria continua, 22 discreta, 3 media, 8 varianza, 10

Tabla N(0,1)

77

JJ

II

J

I

J Doc

Doc I

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MATEMATICAS 2º Bachillerato

Proyecto

MaTEX

r=A+lu A

d B s=B+mv

Inferencia Estad´ıstica

SOCIALES

MaTEX Inferencia

Fco Javier Gonz´ alez Ortiz

Directorio • Tabla de Contenido • Inicio Art´ıculo

Tabla N(0,1)

c 2004 [email protected]

D.L.:SA-1415-2004

ISBN: 84-688-8267-4

JJ

II

J

I

J Doc

Doc I

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MATEMATICAS 2º Bachillerato

1. Par´ ametros y estad´ısticos 2. Distribuciones muestrales 2.1. Distribuci´ on muestral de la proporci´ on 2.2. Distribuci´ on muestral de la media 3. Intervalos de Confianza 3.1. Intervalo de confianza para la proporci´ on • Significado del intervalo • Estudio del error 3.2. Intervalo de Confianza de la media • Significado del intervalo • Estudio del error 4. Contrastes de hip´ otesis • Esquema general 4.1. Contraste de la media de una poblaci´ on normal • Cuando σ es conocida • Contrastes Unilaterales • Cuando σ es desconocida y la muestra es n ≥ 30 4.2. Contraste de la proporci´ on de una poblaci´ on binomial 5. Ejercicios Soluciones a los Ejercicios Soluciones a los Tests

r=A+lu A

d B s=B+mv

SOCIALES

MaTEX Inferencia

Tabla de Contenido

Tabla N(0,1)

JJ

II

J

I

J Doc

Doc I

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3

1. Par´ ametros y estad´ısticos Es fundamental entender la diferencia entre par´ ametros y estad´ısticos. Los parámetros se refieren a la distribuci´ on de la poblaci´ on y los estad´ısticos a los datos de las muestras. Cuando nos referimos a los par´ ametros los indicamos con letras griegas, as´ı, para la media de una poblaci´ on escribimos µ y para la desviación t´ıpica de la población escribimos σ. Sin embargo para los estad´ısticos de las muestras usamos la notación que vimos en el cap´ıtulo de Estad´ıstica Descriptiva. As´ı, para la media de una muestra escribimos x y para la desviación t´ıpica de la muestra escribimos Sx . Si por ejemplo decimos que la duraci´ on media de las bombillas que fabrica un empresa es de 1600 horas, nos referimos a la población y la media la designamos por µ = 1600. Sin embargo si hallamos la duración media de una muestra de 20 bombillas y obtenemos 1580 horas, nos referimos a la muestra y la media la designamos por x1 = 1580. Podr´ıamos a continuaci´ on hallar la duraci´ on media de otra muestra de 30 bombillas y obtener 1610 horas, nos referimos a la muestra y la media la designamos por x2 = 1610. La media muestral (de las muestras) es una variable aleatoria mientras que la media poblacional es una constante. • La media µ de la poblaci´ on es un par´ ametro y es constante. • La media x de la muestra es un estad´ıstico y es una variable aleatoria.

MATEMATICAS 2º Bachillerato r=A+lu A

d B s=B+mv

SOCIALES

MaTEX Inferencia

Secci´ on 1: Par´ ametros y estad´ısticos

Tabla N(0,1)

JJ

II

J

I

J Doc

Doc I

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4

Si por ejemplo decimos que el 42% de los escolares de la comunidad suelen perder al menos un d´ıa de clase a causa de gripes y catarros, nos referimos a la población y la proporci´ on la designamos por p = 0.42. Sin embargo, si observamos 1000 escolares donde 540 han perdido clase nos referimos a la muestra y la proporción la designamos por pb = 0.54. Podr´ıamos a continuaci´ on observar otros 500 escolares donde 200 han perdido clase y la proporci´ on de la muestra ser´ıa pb = 0.40. La proporción muestral (de las muestras) es variable aleatoria mientras que la proporción poblacional es constante. • La proporción p de la poblaci´ on es un par´ ametro y es constante.

MATEMATICAS 2º Bachillerato r=A+lu A

d B s=B+mv

SOCIALES

MaTEX Inferencia

Secci´ on 1: Par´ ametros y estad´ısticos

• La proporción pb de la muestra es un estad´ıstico y es una variable aleatoria. Resumen ☞Los parámetros como la media µ, la desviaci´ on t´ıpica σ o la proporción p son caracter´ısticas constantes de una población ☞Los estad´ısticos como la media x, la desviación t´ıpica Sx o la proporción pb son caracter´ısticas de las muestras y son variables aleatorias

Tabla N(0,1)

JJ

II

J

I

J Doc

Doc I

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Secci´ on 1: Par´ ametros y estad´ısticos

5

Realiza el siguiente test sobre los conceptos de parámetro y estad´ısticos estudiados en la sección anterior

MATEMATICAS 2º Bachillerato r=A+lu A

d B s=B+mv

SOCIALES

2. Con la media µ nos referimos a un: (a) parámetro (b) estad´ıstico

(c) ninguno de ellos

3. El valor de la media x es: (a) constante (b) aleatorio

(c) ninguno de ellos

4. El valor de la media µ es: (a) constante (b) aleatorio

(c) ninguno de ellos

5. El valor de la media x se refiere a la: (a) población (b) muestra

(c) ninguno de ellos

6. El valor de la desviaci´ on t´ıpica Sx es: (a) constante (b) aleatorio

(c) ninguno de ellos

Final del Test Puntos:

MaTEX Inferencia

Inicio del Test Contesta las siguientes cuestiones: 1. Con el valor de la media x nos referimos a un: (a) parámetro (b) estad´ıstico (c) ninguno de ellos

Tabla N(0,1)

JJ

II

J

I

J Doc

Doc I

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Secci´ on 1: Par´ ametros y estad´ısticos

6

Realiza el siguiente test sobre los conceptos de parámetro y estad´ısticos estudiados en la sección anterior

MATEMATICAS 2º Bachillerato r=A+lu A

d B s=B+mv

SOCIALES

2. La proporción pˆ es : (a) constante

(b) aleatoria

MaTEX (c) ninguno de ellos (c) ninguno de ellos

3. La proporción pˆ es un : (a) estimador (b) par´ ametro

(c) ninguno de ellos

4. La proporción p es un : (a) parámetro (b) estad´ıstico

(c) ninguno de ellos

5. La proporción p es : (a) constante

(c) ninguno de ellos

Final del Test Puntos:

(b) aleatoria

Inferencia

Inicio del Test Contesta las siguientes cuestiones: 1. La proporción pˆ es un : (a) parámetro (b) estad´ıstico

Tabla N(0,1)

JJ

II

J

I

J Doc

Doc I

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Secci´ on 2: Distribuciones muestrales

7

MATEMATICAS 2º Bachillerato r=A+lu

2. Distribuciones muestrales

A

2.1. Distribuci´ on muestral de la proporci´ on

d

Si en una población conocemos la proporci´ on p de los individuos que tienen cierta caracter´ıstica, podemos elegir aleatoriamente muestras de tama˜ no n y obtener la proporción en cada muestra no de éxitos x pˆ = = n tama˜ no de la muestra

B s=B+mv

SOCIALES

MaTEX Inferencia

(1)

Muestra 1 pˆ1 Poblacion p

n1

Muestra 2 pˆ2

n2

Muestra k pˆk

nk Tabla N(0,1)

o

Como sabes, el n de éxitos x de una muestra de tama˜ no n se distribuye de forma binomial B(n; p), luego a partir de aqu´ı vamos a determina la distribución de la variable pˆ.

JJ

II

J

I

J Doc

Doc I

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8

Si por ejemplo sabemos que el 40% de los escolares de nuestro instituto tienen ordenador en casa, podemos preguntar aleatoriamente a grupos de tama˜ no n = 50 y obtener la proporci´ on de los que tienen ordenador en cada muestra. no de éxitos x pˆ = = n tama˜ no de la muestra

Muestra

éxitos

muestra 1

21

muestra 2

22

...

...

muestra k

18

MATEMATICAS 2º Bachillerato r=A+lu A

d B s=B+mv

SOCIALES

MaTEX Inferencia

Secci´ on 2: Distribuciones muestrales

pˆ 21 = 0.42 50 22 = 0.44 50 ... 18 = 0.36 50

Como sabes, el no de éxitos x de una muestra de tama˜ no n se distribuye de √ forma binomial B(n; p), si aproximamos a la normal N (np; npq) y se divide x por n se obtiene que r p(1 − p) pˆ ∼ N p ; (2) n

Tabla N(0,1)

JJ

II

J

I

J Doc

Doc I

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Secci´ on 2: Distribuciones muestrales

9

Ejemplo 2.1. En una localidad de 6000 habitantes, la proporción de menores de 16 a˜ nos es p = 1/4. a) ¿Cuál es la distribuci´ on de la proporci´ on de menores de 16 a˜ nos en muestras de 50 habitantes de dicha poblaci´ on? b) Halla la probabilidad de que, en una muestra de 50 habitantes, haya entre 15 y 20 habitantes menores de 16 a˜ nos.

MATEMATICAS 2º Bachillerato r=A+lu A

d B s=B+mv

SOCIALES

MaTEX

1 a) p = = 0.25 4

r

pˆ ∼ N 0.25 ;

0.25 · 0.75 50

b) Siendo n = 50, µ = np = 12.5 y σ =

√

Inferencia

Soluci´ on: r n·p·q =

50 ·

tiene

1 3 · = 3.06 se 4 4

x ∼ N (12.5; 3.06) P (14 ≤ x ≤ 20) =P

20.5 − 12.5 13.5 − 12.5 0.5 o equivalentemente, que el n´ umero de los que se al 0.5, es decir pˆ = 64 oponen en la muestra sea x > 0.5 · 64 = 32. Otra manera ser´ıa. En una muestra de 64 individuos x son los que se oponen. Para que ganen los que se oponen, x tiene que ser al menos la mitad de los votos mas uno, es decir x ≥ 33. Siendo √ √ n = 64 µ = np = 26.88 σ = n · p · q = 64 · 0.42 · 0.58 = 3.95

MATEMATICAS 2º Bachillerato r=A+lu A

d B s=B+mv

SOCIALES

MaTEX Inferencia

Secci´ on 2: Distribuciones muestrales

Calculamos P (33 ≤ x) aproximando a la distribuci´ on normal, x ∼ N (26.88; 3.95) P (33 ≤ x) =1 − P (x ≤ 32) 32.5 − 26.88 =1 − P z < 3.95

Tabla N(0,1)

=1 − Φ (1.42) ≈ 0.0778

JJ

II

J

I

J Doc

Doc I

Volver Cerrar

Secci´ on 2: Distribuciones muestrales

11

Realiza el siguiente test sobre los conceptos de proporción de una muestra y proporción de la poblaci´ on:

MATEMATICAS 2º Bachillerato r=A+lu A

d

p x 3. El desviación t´ıpica de pˆ es: r pq √ npq n 4. La distribución de x es: 3 1 B(n; ) B(n; ) 4 4 5. La media de x es: 1 n 4 4 Final del Test Puntos:

SOCIALES

MaTEX Inferencia

Inicio del Test En una localidad de 6000 habitantes, la proporción de menores de 16 a˜ nos es p = 1/4. Sea x el n´ umero de menores de 16 a˜ nos en una muestra de tama˜ no n. 1. El estimador pˆ de p es: x x np n 2. El media de pˆ es:

B s=B+mv

np

0

otra

Tabla N(0,1)

otra Correctas

JJ

II

J

I

J Doc

Doc I

Volver Cerrar

Secci´ on 2: Distribuciones muestrales

12

r=A+lu

2.2. Distribuci´ on muestral de la media

A

x ¯1

N (µ; σ)

d B s=B+mv

SOCIALES

MaTEX Inferencia

Si cierta caracter´ıstica x en una poblaci´ on es una variable aleatoria normal N (µ; σ), podemos elegir aleatoriamente muestras de tama˜ no n y obtener en cada muestra la media, por ejemplo x1 + x2 + · · · + xn x ¯= n Muestra 1

Poblacion

MATEMATICAS 2º Bachillerato

n1

Muestra 2 x ¯2

n2

Muestra k x ¯k

nk

Si suponemos que x ∼ N (µ; σ), y el muestreo es aleatorio,la media muestral σ2 x se distribuye de forma normal con media µx = µ y varianza σx2 = , luego n σ (3) x ¯∼N µ; √ n

Tabla N(0,1)

JJ

II

J

I

J Doc

Doc I

Volver Cerrar

13

Si por ejemplo sabemos que el peso de los libros de texto en el instituto se distribuye de forma normal y su peso medio es de µ = 400 g y su desviación t´ıpica σ = 50 g, podemos tomar aleatoriamente muestras de tama˜ no n = 16 y obtener el peso medio x1 + x2 + · · · + x16 x ¯= 16 en cada muestra. Muestra peso medio x ¯ muestra 1 385 g muestra 2 ... muestra k

MATEMATICAS 2º Bachillerato r=A+lu A

d B s=B+mv

SOCIALES

MaTEX Inferencia

Secci´ on 2: Distribuciones muestrales

407 g ... ... 392 g

Si suponemos que x ∼ N (400; 50) y el muestreo es aleatorio, la media mues502 tral x se distribuye de forma normal con media µx = 400 y varianza σx2 = , 16 luego 50 x ¯ ∼ N 400 ; √ 16

Tabla N(0,1)

JJ

II

J

I

J Doc

Doc I

Volver Cerrar

14

Ejemplo 2.3. El peso de los libros de texto en el instituto se distribuye de forma normal con un peso medio de µ = 400 g y una desviación t´ıpica σ = 50 g. Si tomamos una muestra aleatoria de tama˜ no n = 16, hallar la probabilidad de que el peso medio esté entre 375 y 425 g. Soluci´ on: El peso de los libros es

MATEMATICAS 2º Bachillerato r=A+lu A

d B s=B+mv

SOCIALES

MaTEX Inferencia

Secci´ on 2: Distribuciones muestrales

50 x ∼ N (400; 50) =⇒ x ¯ ∼ N (400; √ ) = N (400; 12.5) 16 P (375 < x ¯ < 425) =P

375 − 400 425 − 400 z1−α/2 o bien cuando la media de la muestra x ¯ no esté en la zona de aceptación (46.08 − 53.92).

Tabla N(0,1)

JJ

II

J

I

J Doc

Doc I

Volver Cerrar I.C.(µ)

I.C.(p)

H0 ≡ µ

H0 ≡ p

Secci´ on 4: Contrastes de hip´ otesis

35

r=A+lu

• Contrastes Unilaterales

A

H0 ≡ µ ≤ µ0 H1 ≡ µ > µ0 Estad´ıstico de contraste x − µ0 √ z= σ/ n

B s=B+mv

SOCIALES

MaTEX

Valor cr´ıtico para un nivel α

Valor cr´ıtico para un nivel α

zα

z1−α Criterio de decisión: z < z1−α se acepta H0 z > z1−α se acepta H1

Criterio de decisión: z > zα se acepta H0 z < zα se acepta H1

zona de aceptación

zona de aceptación

a

d

Hip´ otesis

Hipótesis

Inferencia

H0 ≡ µ ≥ µ0 H1 ≡ µ < µ0 Estad´ıstico de contraste x − µ0 √ z= σ/ n

MATEMATICAS 2º Bachillerato

a

1-a

1-a

Tabla N(0,1) za

z

z 1-a

z

JJ

II

J

I

J Doc

Doc I

Volver Cerrar I.C.(µ)

I.C.(p)

H0 ≡ µ

H0 ≡ p

Secci´ on 4: Contrastes de hip´ otesis

MATEMATICAS 2º Bachillerato

36

r=A+lu

• Cuando σ es desconocida y la muestra es n ≥ 30

A

En este caso se sustituye σ por la cuasidesviaci´ on t´ıpica de la muestra.

d B s=B+mv

SOCIALES

H0 ≡ µ = µ0 H1 ≡ µ 6= µ0

Regi´ on de aceptación y región cr´ıtica a un nivel de confianza 1 − α

MaTEX Inferencia

• Hipótesis

zona de aceptación

• Estad´ıstico de contraste x − µ0 √ z= sˆ/ n

a

a

1-a

2

2

• Valor cr´ıtico para un nivel α z1−α/2

za

z1-a

2

2

z

• Criterio de decisi´ on : zα/2 < z < z1−α/2 caso contrario

r Recuerda que la cuasidesviaci´ on es sˆ =

n s n−1

Se acepta H0 Se acepta H1

Tabla N(0,1)

JJ

II

J

I

J Doc

Doc I

Volver Cerrar I.C.(µ)

I.C.(p)

H0 ≡ µ

H0 ≡ p

Secci´ on 4: Contrastes de hip´ otesis

37

r=A+lu

4.2. Contraste de la proporci´ on de una poblaci´ on binomial

d B s=B+mv

SOCIALES

MaTEX

zona de aceptación

• Estad´ıstico de contraste pˆ − p0 z= r pq n

a

a

1-a

2

2

• Valor cr´ıtico para un nivel α

Inferencia

H0 ≡ p = p0 H1 ≡ p 6= p0

A

Regi´ on de aceptación y región cr´ıtica a un nivel de confianza 1 − α

• Hipótesis

MATEMATICAS 2º Bachillerato

za

z1-a

2

2

z

z1−α/2 • Criterio de decisión :

zα/2 < z < z1−α/2 caso contrario

Se acepta H0 Se acepta H1

Test. Considera la hipótesis nula H0 ≡ p ≤ p0 y la alternativa H1 ≡ p > p0 . 1. Se aceptará la hipótesis nula cuando: (a) z > zα (b) z < z1−α (c) Otro caso

Tabla N(0,1)

JJ

II

J

I

J Doc

Doc I

Volver Cerrar I.C.(µ)

I.C.(p)

H0 ≡ µ

H0 ≡ p

38

Ejemplo 4.2. Al lanzar 5000 veces una moneda al aire salieron 3000 caras. ¿Se puede aceptar, con un nivel de significaci´ on del 0.05, que la moneda no está trucada? 3000 = 0.6 Soluci´ on: La proporción de la muestra es pb = 5000 • Hipótesis • Zona de aceptación r H0 ≡ p = 0.5 p·q p ± z1−α/2 H1 ≡ p 6= 0.5 n r • Estad´ıstico de contraste 0.5 · 0.5 0.5 ± 1.96 · pb − p 0.6 − 0.5 5000 z= q = q = 14.14 p·q 0.5·0.5 (0.486; 0.514) n

MATEMATICAS 2º Bachillerato r=A+lu A

d B s=B+mv

SOCIALES

MaTEX Inferencia

Secci´ on 4: Contrastes de hip´ otesis

5000

zona de aceptación

• Valor cr´ıtico con α = 0.05 z1−α/2 = z0.975 = 1.96 • Decisión para bilateral

a

a

1-a

2

2

|z| = 14.14 > 1.96

Tabla N(0,1)

Se rechaza la H0 .

za

z1-a

2

2

z

• 0.6 6∈ (0.486; 0.514) se rechaza H0 I.C.(µ)

I.C.(p)

H0 ≡ µ

H0 ≡ p

JJ

II

J

I

J Doc

Doc I

Volver Cerrar

Secci´ on 5: Ejercicios

39

MATEMATICAS 2º Bachillerato r=A+lu

5. Ejercicios

A

Ejercicio 1. En un instituto de Ense˜ nanza Secundaria hay matriculados 800 alumnos. A una muestra seleccionada aleatoriamente de un 15% de ellos, se les preguntó si utilizaban la cafeter´ıa del instituto. Contestaron negativamente un total de 24 alumnos. a) Estimar el porcentaje de alumnos que utilizan la cafeter´ıa del instituto.

d B s=B+mv

SOCIALES

MaTEX Inferencia

b) Determinar, con una confianza del 99%, el error máximo cometido con dicha estimación. Ejercicio 2. Para estimar la proporci´ on de familias de una determinada ciudad que poseen microondas, se quiere realizar una muestra aleatoria de tama˜ no n. Calcular el valor m´ınimo de n para garantizar que, a un nivel de confianza del 95%, el error en la estimaci´ on sea menor que 0,05. (Como se desconoce la proporci´ on, se ha de tomar el caso m´ as desfavorable, que ser´ a 0,5 ) Ejercicio 3. Se desea estimar la proporci´ on p de individuos daltónicos de una población a través del porcentaje observado en una muestra aleatoria de individuos de tama˜ no n. a) Si el porcentaje de individuos dalt´ onicos en la muestra es igual al 30%, calcular el valor de n para que, con un nivel de confianza del 0,95,el error cometido en la estimaci´ on sea inferior al 3, 1%.

Tabla N(0,1)

JJ

II

J

I

J Doc

Doc I

Volver Cerrar I.C.(µ)

I.C.(p)

H0 ≡ µ

H0 ≡ p

Secci´ on 5: Ejercicios

40

b) Si el tama˜ no de la muestra es de 64 individuos y el porcentaje de individuos daltónicos en la muestra es del 35%, determinar, usando un nivel de significación del 1%, el correspondiente intervalo de confianza para la proporción de dalt´ onicos de la poblaci´ on.

MATEMATICAS 2º Bachillerato r=A+lu A

d B s=B+mv

SOCIALES

MaTEX Inferencia

Ejercicio 4. En una poblaci´ on normal con µ = 16, 4 y σ = 4, 8, se extrae una muestra de tama˜ no n = 400 individuos.Hallar la probabilidad P (16 < x < 17). Ejercicio 5. Se sabe que el contenido de fructosa de cierto alimento sigue una distribución normal, cuya varianza es conocida, teniendo un valor de 0,25. Se desea estimar el valor de la media poblacional mediante el valor de la media de una muestra, admitiéndose un error m´ aximo de 0,2 con una confianza del 95%. ¿Cuál ha de ser el tama˜ no de la muestra? Ejercicio 6. La altura de los j´ ovenes andaluces se distribuye seg´ un una ley normal de media desconocida y varianza 25 cm2 . Se ha seleccionado una muestra aleatoria y con una confianza del 95% se ha construido un intervalo para la media poblacional cuya amplitud es de 2.45 cm. Determine el l´ımite superior y el inferior del intervalo de confianza si la muestra tomada dio una altura media de 170 cm. a) ¿Cuál ha sido el tama˜ no de la muestra seleccionada?. b) Determinar el intervalo de confianza si la muestra tomada dio una altura media de 170 cm.

Tabla N(0,1)

JJ

II

J

I

J Doc

Doc I

Volver Cerrar I.C.(µ)

I.C.(p)

H0 ≡ µ

H0 ≡ p

41

Ejercicio 7. Las especificaciones de un fabricante de botes de pintura dicen que el peso de los botes sigue una distribuci´ on normal de media 1 kg de pintura y una desviación est´ andar de 0,1 kg. a) ¿Cuál es la media y la desviaci´ on est´ andar de la media muestral de los pesos de una muestra aleatoria simple de 20 botes?. b) Se ha comprado un lote del que se ha tomado una muestra de 20 botes y en el que la media de los pesos obtenidos es de 0,98 kg. Construye un intervalo de confianza del 95% para la media.

MATEMATICAS 2º Bachillerato r=A+lu A

d B s=B+mv

SOCIALES

MaTEX Inferencia

Secci´ on 5: Ejercicios

Ejercicio 8. Supongamos que, a partir de una muestra aleatoria de tama˜ no n = 25, se ha calculado el intervalo de confianza para la media de una población normal, obteniéndose una amplitud de ±4. Si el tama˜ no de la muestra hubiera sido n = 100, permaneciendo invariable todos los demás valores que intervienen en el c´ alculo, ¿cu´ al habr´ıa sido la amplitud del intervalo? Ejercicio 9. Una variable aleatoria X tiene distribución normal siendo su desviación t´ıpica igual a 3. a) Si se consideran muestras de tama˜ no 16, ¿qué distribución sigue la variable aleatoria media muestral?. b) Si se desea que la media de la muestra no difiera en más de 1 unidad de la media de la poblaci´ on, con probabilidad de 0,99. ¿Cuántos elementos, como m´ınimo, se deber´ıan tomar en la muestra?

Tabla N(0,1)

JJ

II

J

I

J Doc

Doc I

Volver Cerrar I.C.(µ)

I.C.(p)

H0 ≡ µ

H0 ≡ p

Secci´ on 5: Ejercicios

42

Ejercicio 10. A partir de la informaci´ on suministrada por una muestra aleatoria de 100 familias de cierta ciudad se ha determinado el intervalo de confianza (42, 58) para el gasto medio mensual por familia (en euros) en electricidad al 99% de confianza. Determinar justificando las respuestas:

MATEMATICAS 2º Bachillerato r=A+lu A

d B s=B+mv

SOCIALES

b) ¿Qué n´ umero de familias tendr´ıamos que seleccionar al azar como m´ınimo para garantizarnos, con una confianza del 99%, una estimación de dicho gasto medio con un error m´ aximo no superior a 3 euros?

MaTEX Inferencia

a) La estimación puntual que dar´ıamos para el gasto mensual por familia en electricidad en esa ciudad.

Ejercicio 11. Se ha tomado una muestra aleatoria de 100 individuos a los que se ha medido el nivel de glucosa en sangre, obteniéndose una media muestral de 110 mg/cc. Se sabe que la desviaci´ on t´ıpica de la población es de 20 mg/cc. a) Obtener un intervalo de confianza, al 90%, para el nivel medio de glucosa en sangre en la poblaci´ on. b) ¿Qué error se comete con la estimaci´ on anterior?

Tabla N(0,1)

Ejercicio 12. La media de edad de los alumnos que se presentan a pruebas de acceso a la Universidad es de 18,1 a˜ nos, y la desviación t´ıpica 0,6 a˜ nos. a) De los alumnos anteriores se elige, al azar, una muestra de 100. ¿ Cuál es la probabilidad de que la media de la edad de la muestra esté comprendida entre 17.9 y 18.3 a˜ nos? I.C.(µ)

I.C.(p)

H0 ≡ µ

H0 ≡ p

JJ

II

J

I

J Doc

Doc I

Volver Cerrar

43

b) Qué tama˜ no debe tener una muestra de dicha población para que su media esté comprendida entre 17.9 y 18.3 a˜ nos, con una confianza del 99, 5%? Ejercicio 13. En un determinado barrio se seleccion´ o al azar una muestra de 100 personas cuya media de ingresos mensuales resultaba igual a 106.000 pts. con una desviación t´ıpica de 20.000 pts. Si se toma un nivel de confianza del 95%,: a) ¿cuál es el intervalo de confianza para la media de los ingresos mensuales de toda la población?

MATEMATICAS 2º Bachillerato r=A+lu A

d B s=B+mv

SOCIALES

MaTEX Inferencia

Secci´ on 5: Ejercicios

b) Si se toma un nivel de significaci´ on igual a 0,01, ¿cuál es el tama˜ no muestral necesario para estimar la media de ingresos mensuales con un error menor de 3.000 pts.? Ejercicio 14. En los folletos de propaganda, una empresa asegura que las bombillas que fabrica tienen una duraci´ on media de 1600 horas. A fin de contrastar este dato, se tom´ o una muestra aleatoria de 100 bombillas, obteniéndose una duración media de 1.570 horas, con una desviación t´ıpica de 120 horas. ¿Puede aceptarse la informaci´ on de los folletos con un nivel de confianza del 95%? Ejercicio 15. Se sabe que la renta anual de los individuos de una localidad sigue una distribución normal de media desconocida y de desviación t´ıpica 0,24 millones. Se ha observado la renta anual de 16 individuos de esa localidad

Tabla N(0,1)

JJ

II

J

I

J Doc

Doc I

Volver Cerrar I.C.(µ)

I.C.(p)

H0 ≡ µ

H0 ≡ p

44

escogidos al azar, y se ha obtenido un valor medio de 1,6 millones de pesetas. Contrastar, a un nivel de significaci´ on del 5%, si la media de la distribución es de 1,45 millones de pesetas. ¿Cu´ ales son las hip´ otesis nula y alternativa del contraste? Determina la forma de la regi´ on cr´ıtica. ¿Se acepta la hipótesis nula con el nivel de significaci´ on indicado? Ejercicio 16. En una comunidad aut´ onoma se estudia el n´ umero medio de hijos por mujer a partir de los datos disponibles en cada municipio. Se supone que este n´ umero sigue una distribuci´ on normal con desviación t´ıpica igual a 0,08. El valor medio de estos datos para 36 municipios resulta ser igual a 1.17 hijos por mujer. Se desea contrastar, con un nivel de significación de 0.01 , si el n´ umero medio de hijos por mujer en la comunidad es de 1.25. cuáles son la hipótesis nula y la alternativa en el contraste. Determ´ınese la región cr´ıtica del contraste. ¿Es posible aceptar la hip´ otesis con el nivel de significación indicado? Ejercicio 17. Una encuesta realizada a 64 empleados de una fábrica, concluyó que el tiempo medio de duraci´ on de un empleo en la misma es de 6,5 a˜ nos, con una desviación t´ıpica de 4. ¿Sirve esta información para aceptar, con un nivel de significaci´ on del 5%, que el tiempo medio de empleo en esa fábrica es menor o igual que 6?. Justifica adecuadamente la respuesta. Ejercicio 18. El 42% de los escolares de un cierto pa´ıs suelen perder al menos un d´ıa de clase a causa de gripes y catarros. Sin embargo, un estudio sobre 1000 escolares revela que en el u ´ltimo curso hubo 450 en tales circunstancias.

MATEMATICAS 2º Bachillerato r=A+lu A

d B s=B+mv

SOCIALES

MaTEX Inferencia

Secci´ on 5: Ejercicios

Tabla N(0,1)

JJ

II

J

I

J Doc

Doc I

Volver Cerrar I.C.(µ)

I.C.(p)

H0 ≡ µ

H0 ≡ p

45

Las autoridades sanitarias defienden que el porcentaje del 42% para toda la población de escolares se ha mantenido. Contrasta, con un nivel de significación del 5%, la hipótesis defendida por las autoridades sanitarias, frente a que el porcentaje ha aumentado como parecen indicar los datos, explicando claramente a qué conclusi´ on se llega. Ejercicio 19. Un investigador, utilizando informaci´ on de anteriores comicios, sostiene que, en una determinada zona, el nivel de abstención en las próximas elecciones es del 40% como m´ınimo. Se elige una muestra aleatoria de 200 individuos para los que se concluye que 75 estar´ıan no están dispuestos a votar. Determina, con un nivel de significaci´ on del 1%, si se puede admitir como cierta la afirmación del investigador. Ejercicio 20. El contenido de leche en las botellas llenadas por cierta máquina envasadora, antes de averiarse, se distribu´ıa seg´ un una variable aleatoria normal de media 1000 cm3 y desviaci´ on t´ıpica 20 cm3 . Tras la reparación de la aver´ıa, la distribución de los contenidos de las botellas envasadas por la máquina sigue siendo normal con desviaci´ on t´ıpica de 20 cm3 , pero al tomar una muestra de 25 botellas llenadas por la m´ aquina reparada se obtiene una media de sus contenidos de 1010 cm3 . Determine si se debe aceptar la hipótesis de que la media de los vol´ umenes envasados por la máquina tras la reparación sigue siendo de 1000 cm3 , o rechazarla a favor de que la media ha aumentado, con un nivel de significaci´ on del 5%. Ejercicio 21. Seg´ un la normativa sobre contaminaci´ on atmosférica, los mo-

MATEMATICAS 2º Bachillerato r=A+lu A

d B s=B+mv

SOCIALES

MaTEX Inferencia

Secci´ on 5: Ejercicios

Tabla N(0,1)

JJ

II

J

I

J Doc

Doc I

Volver Cerrar I.C.(µ)

I.C.(p)

H0 ≡ µ

H0 ≡ p

46

tores de los automóviles no deben emitir m´ as de 5 ppm (partes por millón) de CO2 . Dentro de sus procesos de control de calidad, un fabricante ha medido la emisión de CO2 en una muestra de 36 motores, obteniendo una media de 5,5 ppm y una desviaci´ on t´ıpica de 0,6 ppm. Contrasta, con un nivel de significación igual a 0, 05, la hip´ otesis de que los motores de este fabricante cumplen en media la normativa sobre contaminaci´ on. Ejercicio 22. En los paquetes de arroz de cierta marca pone que el peso que contienen es de 500 g. Una asociaci´ on de consumidores toma una muestra de 100 paquetes para los que obtiene una media de 485 g y una desviación t´ıpica de 10 g. a) Calcula el intervalo de confianza al nivel del 95% para el peso medio de los paquetes de la marca en cuesti´ on.

MATEMATICAS 2º Bachillerato r=A+lu A

d B s=B+mv

SOCIALES

MaTEX Inferencia

Secci´ on 5: Ejercicios

b) ¿Se puede aceptar, con un nivel de significaci´ on igual a 0’05, que el fabricante está empaquetando realmente una media de 500 g?

Tabla N(0,1)

JJ

II

J

I

J Doc

Doc I

Volver Cerrar I.C.(µ)

I.C.(p)

H0 ≡ µ

H0 ≡ p

Secci´ on 5: Ejercicios

47

Intervalo de confianza para µ con σ conocida

MATEMATICAS 2º Bachillerato r=A+lu A

d

Datos x ¯= n= 1

1.96

z1−α/2 = σ=

Calcular

Intervalo de Confianza

B s=B+mv

SOCIALES

MaTEX

1 − α = 0.95

Inferencia

– Si σ no es conocida y n ≥ 30 sustituir por la cuasi-desviaci´ on t´ıpica.

Determina del tama˜ no de la muestras para un error e

Tabla N(0,1)

Datos Error =

σ=

Calcular

Tama˜ no de la muestra n

1 − α = 0.95

=

JJ

II

J

I

J Doc

Doc I

Volver Cerrar I.C.(µ)

I.C.(p)

H0 ≡ µ

H0 ≡ p

Secci´ on 5: Ejercicios

48

MATEMATICAS 2º Bachillerato r=A+lu

Intervalo de confianza para p

A

d

Datos Calcular

pˆ = n= 1

1.96

z1−α/2 =

Intervalo de Confianza

B s=B+mv

SOCIALES

MaTEX

1 − α = 0.95

Inferencia

– Si σ no es conocida y n ≥ 30 sustituir por la cuasi-desviaci´ on t´ıpica.

Determina del tama˜ no de la muestras para un error e

Tabla N(0,1)

Datos Error =

pˆ =

Calcular

Tama˜ no de la muestra n

1 − α = 0.95

=

JJ

II

J

I

J Doc

Doc I

Volver Cerrar I.C.(µ)

I.C.(p)

H0 ≡ µ

H0 ≡ p

Secci´ on 5: Ejercicios

49

MATEMATICAS 2º Bachillerato r=A+lu

Contraste de Hip´ otesis para µ

A

d

Datos H0 : µ0 =

Calcular

µ0

σ= 1 − α = 0.95

n= 1

SOCIALES

MaTEX

Zona de Aceptaci´ on

Decisi´ on

Inferencia

Elegir H : µ 1

x ¯=

B s=B+mv

la hip´ otesis nula.

Tabla N(0,1)

JJ

II

J

I

J Doc

Doc I

Volver Cerrar I.C.(µ)

I.C.(p)

H0 ≡ µ

H0 ≡ p

Secci´ on 5: Ejercicios

50

Contraste de Hip´ otesis para p

MATEMATICAS 2º Bachillerato r=A+lu A

d

Datos H0 : p0 =

pˆ =

Calcular

p0

SOCIALES

1 − α = 0.95

n= 1

MaTEX

Zona de Aceptaci´ on

Decisi´ on

Inferencia

Elegir H : p 1

B s=B+mv

la hip´ otesis nula.

Tabla N(0,1)

JJ

II

J

I

J Doc

Doc I

Volver Cerrar I.C.(µ)

I.C.(p)

H0 ≡ µ

H0 ≡ p

z 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2.0 2.1 2.2 2.3 2.4 2,5 2.6 2.7 2.8 2.9 3.0

0.00 .5000 .5398 .5793 .6179 .6554 .6915 .7257 .7580 .7881 .8159 .8413 .8643 .8849 .9032 .9192 .9332 .9452 .9554 .9641 .9713 .9772 .9821 .9861 .9893 .9918 .9938 .9953 .9965 .9974 .9981 .9987

0.01 .5040 .5438 .5832 .6217 .6591 .6950 .7291 .7611 .7910 .8186 .8438 .8665 .8869 .9049 .9207 .9345 .9463 .9564 .9649 .9719 .9778 .9826 .9864 .9896 .9920 .9940 .9955 .9966 .9975 .9982 .9987

0.02 .5080 .5478 .5871 .6255 .6628 .6985 .7324 .7642 .7939 .8212 .8461 .8686 .8888 .9066 .9222 .9357 .9474 .9573 .9656 .9726 .9783 .9830 .9868 .9898 .9922 .9941 .9956 .9967 .9976 .9982 .9987

0.03 .5120 .5517 .5910 .6293 .6664 .7019 .7357 .7673 .7967 .8238 .8485 .8708 .8907 .9082 .9236 .9370 .9484 .9582 .9664 .9732 .9788 .9834 .9871 .9901 .9925 .9943 .9957 .9968 .9977 .9983 .9988

0.04 .5160 .5557 .5948 .6331 .6700 .7054 .7389 .7704 .7995 .8264 .8508 .8729 .8925 .9099 .9251 .9382 .9495 .9591 .9671 .9738 .9793 .9838 .9875 .9904 .9927 .9945 .9959 .9969 .9977 .9984 .9988

0.05 .5199 .5596 .5987 .6368 .6736 .7088 .7422 .7734 .8023 .8289 .8531 .8749 .8944 .9115 .9265 .9394 .9505 .9599 .9678 .9744 .9798 .9842 .9878 .9906 .9929 .9946 .9960 .9970 .9978 .9984 .9989

Φ(−z) = 1 − Φ(z)

0.06 .5239 .5636 .6026 .6406 .6772 .7123 .7454 .7764 .8051 .8315 .8554 .8770 .8962 .9131 .9279 .9406 .9515 .9608 .9686 .9750 .9803 .9846 .9881 .9909 .9931 .9948 .9961 .9971 .9979 .9985 .9989

0.07 .5279 .5675 .6064 .6443 .6808 .7157 .7486 .7794 .8078 .8340 .8577 .8790 .8980 .9147 .9292 .9418 .9525 .9616 .9693 .9756 .9808 .9850 .9884 .9911 .9932 .9949 .9962 .9972 .9979 .9985 .9989

0.08 .5319 .5714 .6103 .6480 .6844 .7190 .7517 .7823 .8106 .8365 .8599 .8810 .8997 .9162 .9306 .9429 .9535 .9625 .9699 .9761 .9812 .9854 .9887 .9913 .9934 .9951 .9963 .9973 .9980 .9986 .9990

0.09 .5359 .5753 .6141 .6517 .6879 .7224 .7549 .7852 .8133 .8389 .8621 .8830 .9015 .9177 .9319 .9441 .9545 .9633 .9706 .9767 .9817 .9857 .9890 .9916 .9936 .9952 .9964 .9974 .9981 .9986 .9990

r=A+lu A

d B s=B+mv

SOCIALES

MaTEX Inferencia

Tabla Normal N(0; 1)

MATEMATICAS 2º Bachillerato

Tabla N(0,1)

JJ

II

J

I

J Doc

Doc I

Volver Cerrar

Soluciones a los Ejercicios

52

MATEMATICAS 2º Bachillerato r=A+lu

Soluciones a los Ejercicios

A

a) el estimador del porcentaje de alumnos que utilizan la cafeter´ıa del instituto es 24 pb = = 0.2 20% 120 b) Datos: 1 − α = 0.99, z1−α/2 = z0.995 = 2.58, pb = 0.2 y qb = 0.8. Luego el error es: r pb · qb e =z1−α/2 · n r 0.2 · 0.8 =2.58 · 120 = 0, 094

d B s=B+mv

SOCIALES

MaTEX Inferencia

Ejercicio 1. El tama˜ no de la muestra es 0.15 · 800 = 120 y 24 usan la cafeter´ıa luego

Ejercicio 1

Tabla N(0,1)

JJ

II

J

I

J Doc

Doc I

Volver Cerrar I.C.(µ)

I.C.(p)

H0 ≡ µ

H0 ≡ p

53

Ejercicio 2. Datos: 1 − α = 0.95, z1−α/2 = z0.955 = 1.96, pb = 0.5 y qb = 0.5. En la expresión del error despejamos n r pb · qb e = z1−α/2 · n pb · qb n · 2 e 2 0.5 · 0.5 =1.96 · = 384, 16 0.052 2 =z1−α/2

MATEMATICAS 2º Bachillerato r=A+lu A

d B s=B+mv

SOCIALES

MaTEX Inferencia

Soluciones a los Ejercicios

Luego n ≥ 385 Ejercicio 2

Tabla N(0,1)

JJ

II

J

I

J Doc

Doc I

Volver Cerrar I.C.(µ)

I.C.(p)

H0 ≡ µ

H0 ≡ p

Soluciones a los Ejercicios

54

MATEMATICAS 2º Bachillerato r=A+lu

Ejercicio 3.

A

d B s=B+mv

SOCIALES

MaTEX Inferencia

a) Si pb = 0.3 y 1 − α = 0.95, z1−α/2 = z0.975 = 1.96. Luego el error es: r pb · qb = 0.031 e =z1−α/2 · n pb · qb 2 n =z1−α/2 · 2 e 2 0.3 · 0.7 =1.96 · = 839, 47 0.0312 b) Ahora, n = 64, pb = 0.35 α = 0.01 y z1−α/2 = z0.995 = 2.58 luego el intervalo de confianza para p es: r r pb · qb 0.35 · 0.65 pb ± z1−α/2 · 0.35 ± 2.58 · n 64 0.35 ± 0, 154

(0.196 − 0.504) Ejercicio 3

Tabla N(0,1)

JJ

II

J

I

J Doc

Doc I

Volver Cerrar I.C.(µ)

I.C.(p)

H0 ≡ µ

H0 ≡ p

Soluciones a los Ejercicios

55

Ejercicio 4. σ Siendo n = 400, si x ∼ N (16.4; 4.8) =⇒ x ∼ N (16.4; √ = N (16.4; 0.24) n 17 − 16.4 16 − 16.4 1.96 =⇒ Se rechaza la H0

Ejercicio 15 Tabla N(0,1)

JJ

II

J

I

J Doc

Doc I

Volver Cerrar I.C.(µ)

I.C.(p)

H0 ≡ µ

H0 ≡ p

Soluciones a los Ejercicios

67

MATEMATICAS 2º Bachillerato r=A+lu

Ejercicio 16. Datos µ = 1.25 σ = 0.08 n = 36 x = 1.17 α = 0.01

A

d

• Hipótesis nula y alternativa

B s=B+mv

SOCIALES

MaTEX

• Estad´ıstico de contraste 1.17 − 1.25 x−µ √ = √ = 33.75 z= σ/ n 0.08/ 36

Inferencia

H0 ≡ µ = 1.25 H1 ≡ µ 6= 1.25

• Valor cr´ıtico con α = 0.01 z1−α/2 = z0.995 = 2.58 • Decisión. |z| = 33.75 > 2.58 =⇒ Se rechaza la H0 Ejercicio 16

Tabla N(0,1)

JJ

II

J

I

J Doc

Doc I

Volver Cerrar I.C.(µ)

I.C.(p)

H0 ≡ µ

H0 ≡ p

Soluciones a los Ejercicios

68

MATEMATICAS 2º Bachillerato r=A+lu

Ejercicio 17.

A

• Hipótesis

• Estad´ıstico de contraste 6.5 − 6 x−6 =1 z= √ = 0.5 4/ 64

d B s=B+mv

SOCIALES

MaTEX

zona de aceptación

• Valor cr´ıtico con α = 0.05

Inferencia

H0 ≡ µ ≤ 6 H1 ≡ µ > 6

• Zona de aceptación σ 4 µ + z1−α √ = 6 + 1.65 · √ n 64 (−∞; 6, 825)

a

1-a

z1−α = z0.95 = 1.65 • Decisión para unilateral z = 1 < 1.65 =⇒ Se acepta la H0

1.65

z

1006.6

X

• Como 6.5 ∈ zona de acepatción se acepta la H0 Ejercicio 17

Tabla N(0,1)

JJ

II

J

I

J Doc

Doc I

Volver Cerrar I.C.(µ)

I.C.(p)

H0 ≡ µ

H0 ≡ p

Soluciones a los Ejercicios

69

r=A+lu

Ejercicio 18.

A

H0 ≡ p ≤ 0.42 H1 ≡ p > 0.42

• Estad´ıstico de contraste 0.45 − 0.42 p−p = q = 1.92 z=q 0.42·0.58 1000

• Zona de aceptación r p·q p + z1−α n r 0.42 · 0.58 0.42 + 1.65 · 1000 (−∞; 0, 446)

d B s=B+mv

SOCIALES

MaTEX Inferencia

• Hipótesis

p·q n

MATEMATICAS 2º Bachillerato

zona de aceptación

• Valor cr´ıtico con α = 0.05 z1−α = z0.95 = 1.65 a

1-a

• Decisión para unilateral z = 1.92 > 1.65 Se rechaza la H0 .

1.65

z

0,446

p

• Como 0.45 no pertenece a la zona de aceptación se rechaza la H0 Ejercicio 18

Tabla N(0,1)

JJ

II

J

I

J Doc

Doc I

Volver Cerrar I.C.(µ)

I.C.(p)

H0 ≡ µ

H0 ≡ p

Soluciones a los Ejercicios

70

• Hipótesis H0 ≡ p ≥ 0.4 H1 ≡ p < 0.4

• Estad´ıstico de contraste 0.375 − 0.4 pb − p = q z=q = -0.72 p·q n

0.4·0.6 200

75 = 0.375 200

r=A+lu A

d

• Zona de aceptación r p·q p − z1−α n r 0.4 · 0.6 0.4 − 2.33 · 200 (0.32; ∞)

B s=B+mv

SOCIALES

MaTEX Inferencia

Ejercicio 19. La proporción de la muestra es pb =

MATEMATICAS 2º Bachillerato

zona de aceptación

• Valor cr´ıtico con α = 0.01 zα = z0.01 = −2.33 a

1-a

• Decisión para unilateral z = -0.72 > −2.33 Se acepta la H0 .

-2.33

z

0,32

p

• 0.375 ∈ (0.32; ∞) se acepta H0 Ejercicio 19

Tabla N(0,1)

JJ

II

J

I

J Doc

Doc I

Volver Cerrar I.C.(µ)

I.C.(p)

H0 ≡ µ

H0 ≡ p

Soluciones a los Ejercicios

71

MATEMATICAS 2º Bachillerato r=A+lu

Ejercicio 20.

A

H0 ≡ µ ≤ 1000 H1 ≡ µ > 1000

• Zona de aceptación σ 20 µ + z1−α √ = 1000 + 1.65 · √ n 25

• Estad´ıstico de contraste 1010 − 1000 x − 1000 √ = = 2.5 z= 4 20/ 25

(−∞; 1006.6)

d B s=B+mv

SOCIALES

MaTEX

zona de aceptación

• Valor cr´ıtico con α = 0.05

Inferencia

• Hipótesis

a

1-a

z1−α = z0.95 = 1.65 • Decisión para unilateral

1.65

z

1006.6

X

z = 2.5 > 1.65 =⇒ Se rechaza la H0 • Como 1010 > 1006.6 se rechaza la H0 Ejercicio 20

Tabla N(0,1)

JJ

II

J

I

J Doc

Doc I

Volver Cerrar I.C.(µ)

I.C.(p)

H0 ≡ µ

H0 ≡ p

Soluciones a los Ejercicios

72

MATEMATICAS 2º Bachillerato r=A+lu

Ejercicio 21.

A

• Hipótesis

• Estad´ıstico de contraste 5.5 − 5 x−5 =5 z= √ = 0.1 sˆ/ n

d B s=B+mv

SOCIALES

MaTEX

zona de aceptación

• Valor cr´ıtico con α = 0.05

Inferencia

H0 ≡ µ ≤ 5 H1 ≡ µ > 5

• Zona de aceptación 0.6 sˆ µ + z1−α √ = 5 + 1.65 · √ n 36 (−∞; 5.165)

a

1-a

z1−α = z0.95 = 1.65 • Decisión para unilateral z = 5 > 1.65 =⇒ Se rechaza la H0

1.65

z

5,165

X

• Como 5.5 6∈ zona de aceptación se rechaza la H0 Ejercicio 21

Tabla N(0,1)

JJ

II

J

I

J Doc

Doc I

Volver Cerrar I.C.(µ)

I.C.(p)

H0 ≡ µ

H0 ≡ p

Soluciones a los Ejercicios

73

MATEMATICAS 2º Bachillerato r=A+lu

Ejercicio 22. Datos: n = 100, x = 485 y sx = 10.

A

d

a) el intervalo de confianza para el peso medio. Con 1 − α = 0.95 como

B s=B+mv

SOCIALES

z1−α/2 = z0.975 = 1.96

MaTEX

el intervalo viene dado por sx n−1

Inferencia

x± z1−α/2 √ 10 485± 1.96 √ 99 485± 1.97

(483.03 − 486.97) b) ¿Se puede aceptar, con un nivel de significaci´ on igual a 0’05, que el fabricante está empaquetando realmente una media de 500 g? Como el valor de 500 6∈ (483.03 − 486.97), no podemos aceptar que el fabricante está empaquetando realmente con un peso medio de 500 g. Ejercicio 22

Tabla N(0,1)

JJ

II

J

I

J Doc

Doc I

Volver Cerrar I.C.(µ)

I.C.(p)

H0 ≡ µ

H0 ≡ p

Soluciones a los Tests

74

MATEMATICAS 2º Bachillerato r=A+lu

Soluciones a los Tests

A

Soluci´ on al Test: Se aceptar´ a la hip´ otesis nula cuando

d B s=B+mv

z < z1−α

SOCIALES

Final del Test

MaTEX Inferencia

Véase la sección sobre contrastes unilaterales.

Tabla N(0,1)

JJ

II

J

I

J Doc

Doc I

Volver Cerrar I.C.(µ)

I.C.(p)

H0 ≡ µ

H0 ≡ p

MATEMATICAS 2º Bachillerato r=A+lu A

Index Contraste de hipótesis, 31 de la media, 33 de la proporción, 37 esquema general, 32 unilaterales, 35

d B s=B+mv

SOCIALES

Inferencia

MaTEX

distribución de, 7 la media,, 12 la proporción,, 7 estad´ısticos, 3, 4 intervalo de confianza de la media, 25 de la proporción, 18 error, 22, 29 significado, 21, 28

Tabla N(0,1)

parámetros, 3, 4

75

JJ

II

J

I

J Doc

Doc I

Volver Cerrar

PROYECTO_MATEX_BAC_2_CCSS

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