Proyecto Matematica Aplicada 4

 

OBJETIVO

 

Llevar a cabo una análisis de sistemas de ecuaciones diferenciales ordinarias planteadas para la resolución de un problema de cristalización de nitrato de potasio dentro de un laboratorio de sicoquímica, mediante la aproximación de datos usando el método de Runge-utta de cuarto orden para sistemas de ecuaciones, se comparan los resultados obtenidos con el modelo matemático traba!ado con el algoritmo "#$ de la página del doctor %urden#

MARCO TEORICO

 

Teorema de Picard-Lindelöf  &l teorema de 'icard-Lindel(f es un resultado matemático de gran importancia dentro del estudio de las ecuaciones diferenciales ordinarias )&*+s# &stablece ba!o qué condiciones puede asegurarse la existencia  unicidad de solución de una &*+ dado un problema de .auc/ )problema de valor inicial# Teorema

&l teorema debe su nombre al matemático francés ./arles 0mile 'icard  al topólogo nés &rnst Leonard Lindel(f, éste 1ltimo enunció la teoría de 'icard tras su muerte# Enunciado general

2ea

f  ( ( t , x ) : Ω ⊆ R x R → R n

n

  dond donde e

Ω   es abierto, una función continua  localmente

Lipsc/itz Lipsc /itz respec respecto to de  x   )interprétese f   (( t , x )  como la forma estándar de una &*+ ndime dimens nsio iona nall de pr prim imer er orde orden n## &n &nto tonc nces es,, da dado do 0

( t  , x ) ∈ Ω , po pode demo moss en enco cont ntra rarr un 0

0

0

in inte terv rval alo o ce cerrra rado do  I α =[ t  −α , t  + α ] ⊂ R , α ∈ R   do dond nde e ex exis iste te un una a 1n 1nic ica a solu soluci ción ón de dell problema de .auc/3

Que cumple que los pares

( t , x (t ) ) ∈ Ω , ⩝ t  ∈ I α 

.”

De hecho, éste α puede ser encontrado de manera explícita, en la demostración d emostración se dan detalles de ello. Un enunciado más restrictivo

El resultado anterior exige los requisitos mínimos que debe cumplir una función si queremos aplicar el teorema. !adiendo m"s condiciones al enunciado original, podemos dar este otro m"s sencillo# $%ea

f  ( ( t , x ) : Ω ⊆ R x R → R n

n

  una fun funció ción n &ip &ipsch schit' it'.. Ent Entonc onces, es, dados

( t  , x ) ∈ [ a , b ] x Rn 0

0

  $ existe una

(nica solución   x ( t )  del problema de )alor inicial.

Definida

⩝

t ∈ [ a , b ] .

Observación

&s importante observar que el teorema de 'icard sólo nos garantiza la existencia  unicidad local de la solución una &*+# &sesdecir, más allá del intervalo decir proporcionado por el teorema )dado que su de demostración constructiva no podemos nada, en

 

principio, del comportamiento de la solución del problema de valor inicial# &s posible complementar el teorema se4alando que existe un intervalo abierto, que llamaremos intervalo maximal en el cual puede garantizarse que la solución existe  es 1nica5 fuera de este intervalo, el teorema de 'icard no puede aplicarse# Demosraci!n

 ´   ´ a 2ea C  = I  (t  ) x Bb ( x )   el cili ilind ndrro com ompa paccto don onde de f    es está tá de den nid ida, a, es esto to es  ´ ‖f ‖ ´ t ∈ I a ( t  )=[ t  −α , t  + α ]    B b ( x )= [ x −b , x + b ] # 2ea  M = ¿ , és decir, el valor de 0

a ,b

0

0

0

0

0

0

0

máxima pendien máxima pendiente te en módu módulo# lo# 6 nalm nalmente ente sea respecto la segunda variable#

 L  la constante de Lipsc/titz de

f 

*enimos el siguiente operador entre funciones continuas, el operador de 'icard, como sigue3   denido como3 7amos a imponer que esté bien denido, es decir, que su imagen sea una función que sea menor que b # tome valores en B b ( x ) , es decir, que la norma de 0

  &l 1ltimo paso es imposición, por lo que deberá ser que

#

7eamos a/ora que el operador de 'icard es contractivo ba!o ciertas /ipótesis sobre 8 que más adelante podrán ser omitidas# *adas dos funciones

queremos3

'ero como f   es Lipsc/itz respecto la segunda variable tenemos que3

&sto es contractivo si

o equivalenteme equivalentemente nte para tener igualdad si

'or lo tanto como el operador de 'icard es un operador entre espacios de %anac/ )en particular espacios métricos inducidos por la norma  contractivo, por el teorema del punto pun to !o de %an %anac/ ac/,, ex exist iste e una 1n 1nica ica fun funció ción n

tal que

es dec decir, ir,

 

soluci sol ución ón del prob problem lema a de val valor or ini inicia ciall de denid nida a en

 I α    donde 8 debe satisfacer las

condiciones dadas, es decir,

M"odos de Runge #ua de Cuaro Orden 9n procedimiento de Runge-utta de .uarto orden cosiste en determinar parámetros de modo que la fórmula  ): *onde

); .oncuerda con un polinomio de ientras que las otras fórmulas de cuarto orden se deducen con facilidad, el agorado resumido es mu usado  reconocido como una invaluable /erramienta de cálculo, se denomina el método de Runge-utta de cuarto orden o método clásico de Runge-utta# 2e aconse!a tener cuidado con las formulas a que ? ; depende de ? :, ?= depende de ?;   ?@ depende de ?=#

M"odos de Runge #ua de Cuaro Orden $ara %isemas de Orden %u$erior 'ara un sistema de la forma

)@ 2e parece a

 

)" *onde3

)A

COME&TARIO

CO&CL'%IO&E%

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