Proyecto Longitud DE Arco Con Riemann

qwertyuiopasdfghjklzxcvbnmqw ertyuiopasdfghjklzxcvbnmqwert yuiopasdfghjklzxcvbnmqwertyui Proyecto de Calculo Integral opasdfghjklzxcvbnmqwertyuiopa Longitud de Arco sdfghjklzxcvbnmqwertyuiopasdf Briceño Padilla Astrid ghjklzxcvbnmqwertyuiopasdfghj González Arce Melissa May Tinal Jorge klzxcvbnmqwertyuiopasdfghjklz xcvbnmqwertyuiopasdfghjklzxcv bnmqwertyuiopasdfghjklzxcvbn mqwertyuiopasdfghjklzxcvbnmq wertyuiopasdfghjklzxcvbnmqwe rtyuiopasdfghjklzxcvbnmqwerty uiopasdfghjklzxcvbnmqwertyuio pasdfghjklzxcvbnmqwertyuiopas dfghjklzxcvbnmqwertyuiopasdfg Facultad de Matemáticas LIS

15 de Octubre del 2013

Proyecto de Cálculo Integral Objetivo: Realizar un ensayo de investigación bibliográfica referente al uso y aplicación, de la integral en diferentes áreas de la ciencia.

Longitud De Arco (Geometría) 1. Planteamiento del problema En matemáticas, la longitud de arco, también llamada rectificación de una curva, es la medida de la distancia o camino recorrido a lo largo de una curva o dimensión lineal. Históricamente, ha sido difícil determinar esta longitud en segmentos irregulares; aunque fueron usados varios métodos para curvas específicas, la llegada del cálculo trajo consigo la fórmula general para obtener soluciones cerradas para algunos casos. Al considerar una curva definida por una función f(x)

y su respectiva

derivada f’(x) que son continuas en un intervalo [a, b], la longitud s del arco delimitado por a y b es dada por la ecuación:

la cual hallaremos mediante el proceso de Riemann. Utilizaremos la integración para calcular longitudes de arco de curvas planas y áreas de superficies de revolución. En ambos casos, aproximaremos un arco (una porción de curva) por segmentos de recta cuya longitud viene dada por la conocida fórmula de la distancia, a saber, √

Una curva se llama rectificable si tiene longitud finita. Veremos que una condición suficiente para la gráfica de una función f, entre (a, f(a)) y (b, f(b)), sea rectificable es que f’ sea continua en [a, b]. De una tal función se dice que es continuamente derivable en [a, b] y que su gráfica en el intervalo [a, b] es una curva suave.

2. Información básica relacionada. En geometría, arco es cualquier curva continua que une dos puntos.1 También, se denomina arco a un segmento de circunferencia; un arco de circunferencia queda definido por tres puntos, o dos puntos extremos y el radio, o por la longitud de una cuerda y el radio. Siglo XVII A lo largo de la historia muchos grandes pensadores consideraron imposible calcular la longitud de un arco irregular. Brajhan había descubierto un método por aproximación de rectángulos para calcular el área de un polígono curvilíneo mediante el método de exhaución, aunque pocos creyeron que era posible que una curva tuviese una longitud medible, como ocurre con los segmentos de líneas rectas. Las primeras mediciones se hicieron, como ya es común en el cálculo, a través de métodos de aproximación. Los matemáticos de la época trazaron polígonos dentro de la curva, calcularon la longitud de cada uno de los lados de estos para luego sumarlos y así obtenían una aproximación a la longitud de la misma. Mientras más segmentos usaban, disminuía la longitud de cada uno de ellos, con lo cual lograban una aproximación cada vez mejor.

Método de exhaución: cálculo de la longitud de la circunferencia mediante la aproximación de polígonos inscritos y circunscritos. Históricamente fue difícil ajustar líneas poligonales a funciones de curvatura variable, método por excelencia de aproximación a la rectificación de una curva. Aunque fueron utilizados varios métodos para curvas específicas, la llegada del cálculo trajo consigo fórmulas generales que dan soluciones precisas aunque solo para algunos casos. Siglo XVII En esta época, el método de agotamiento llevó a la rectificación por métodos geométricos

de

muchas

curvas

trascendentales:

la

espiral

logarítmica por Torricelli en 1645 (algunos piensan que fue John Wallis en 1650); el cicloide por Christopher

Wren en 1658,

y

la

catenaria por Gottfried

Leibniz en 1691. Históricamente fue difícil ajustar líneas poligonales a funciones de curvatura variable, método por excelencia de aproximación a la rectificación de una curva. Aunque fueron utilizados varios métodos para curvas específicas, la llegada del cálculo trajo consigo fórmulas generales que dan soluciones precisas aunque solo para algunos casos. La longitud de un arco de circunferencia de radio r y ángulo θ (medido en radianes), con el centro en el origen, es igual a θr. Para un ángulo α, medido en grados, la longitud en radianes es α/180° × π, siendo la longitud de arco igual a (α/180°)πr.

Catenaria es la curva que describe una cadena suspendida por sus extremos, sometida

a

un campo

gravitatorio uniforme.

La

palabra

deriva

dellatín catenarĭus (propio de la cadena). Por extensión, en matemáticas se denomina catenaria a la curva que adopta una cadena, cuerda o cable ideal perfectamente flexible, con masa distribuida uniformemente por unidad de

longitud, suspendida por sus extremos y sometida a la acción de un campo gravitatorio uniforme. La evoluta de la catenaria es la tractriz. Los primeros matemáticos que abordaron el problema supusieron que la curva era una parábola. Huygens, a los 17 años, demostró que no lo era, pero no encontró la ecuación de la catenaria. La ecuación fue obtenida por Gottfried Leibniz, Christiaan Huygens y Johann Bernoulli en 1691, en respuesta al desafío planteado porJakob Bernoulli. Huygens fue el primero en utilizar el término catenaria en una carta dirigida a Leibniz en 1690, y David Gregoryescribió, ese mismo año, un tratado sobre la curva.

CHRISTIAN HUYGENS (1629-1695) Matemático holandés inventor del reloj de péndulo quien junto con el matemático escocés James Gregory (1638-1675) contribuyeron decisivamente al problema de hallar la longitud de arco de una curva rectificable.

3. Obtención del modelo. Sea y=f(x) una función continuamente derivable en [a, b]. Podemos aproximar su gráfica por medio de n segmentos rectos con puntos terminales determinados por la partición

Como muestra la figura 1, haciendo  

,

se puede aproximar la longitud de la gráfica por ∑

Figura 1

√ 



y

∑√

 ( ) 



Esta aproximación mejora más y más al hacer 

Por consiguiente,

definimos la longitud de la gráfica como



Puesto que f’(x) existe en todo x de ( la existencia de algún

 ( ) 

∑√

en (



), el teorema del valor medio asegura

), tal que

  Como

es continua en el intervalo [a, b], se sigue que √

también es

continua, y por tanto integrable, en [a, b]. En consecuencia, ∑√





∫ √ Diremos que s es la longitud de arco de f entre a y b.

Definición de la longitud de arco: Si la gráfica de y=f(x) en el intervalo [a, b] es una curva suave, la longitud de arco de f entre a y b es ∫ √

Análogamente, para una curva suave dada por x=g(y), la longitud de arco entre c y d es ∫ √ 4. Ejemplo.

Descripción. En ferrocarriles se denomina catenaria a la línea aérea de alimentación que transmite energía eléctrica a las locomotoras u otro material motor. Algunos autores prefieren utilizar el término "Línea Aérea de Contacto" o abreviadamente L.A.C.,1 que puede incluir los sistemas denominados "línea tranviaria", "línea de trolebús", "catenaria flexible" y "catenaria rígida". Existen otros sistemas de alimentación eléctrica para ferrocarriles que no deben ser considerados como catenarias; los más importantes son el tercer carril y la levitación magnética. Las tensiones de alimentación más comunes van desde 600 V a 3 kV en corriente continua, o entre 15 y 25 kV en corriente alterna. La mayor parte de las instalaciones funcionan con corriente continua o alterna monofásica, aunque existen algunas instalaciones de alternatrifásicas.

En las líneas aéreas, el polo positivo de la instalación es normalmente la catenaria y el negativo son los carriles sobre los que circula el tren. Las corrientes provenientes de la subestación (transformadora o rectificadora de la tensión de la red general) llegan al tren por la catenaria a través del pantógrafo y vuelven a la subestación a través de los carriles de la vía férrea.

Una excepción a esta norma son las líneas aéreas de contacto para trolebuses, donde al no existir carriles, la corriente de retorno circula hacia la subestación por

un segundo cable paralelo al primero y en contacto con el vehículo por un segundo trole.

Problema. Un cable eléctrico que cuelga de dos torres distantes 200 pies adopta la forma de una catenaria de ecuación (

)

Calcular la longitud del cable entre esas dos torres.

Solución. Como

(

), resulta (

)

Y (

)

[ (

)]

Por tanto, la longitud de arco del cable es ∫ √

∫

[

(

)

] (

)

5. Bibliografía. Larsson Cálculo Sexta Edición 1999