Proyecto Final Analisis Matematico

UNIVERSIDAD TÉCNICA DE MANABÍ INSTITUTO DE CIENCIAS BÁSICAS DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS Y ESTADÍSTICA

INFORME DEL TRABAJO CON INTEGRACIÓN DE TIC DE ANÁLISIS MATEMÁTICO III TEMA: “Aplicación del software software MATLAB MATLAB en la resolución de ecuaciones diferenciales,

como soluciones generales y particulares, por separación de variables y con coeficientes constantes empleando los conocimientos adquiridos por los estudiantes del tercer semestre de la asignatura ANALISIS MATEMATICO III paralelo “A” durante el periodo OCTUBRE 2017- FEBRERO

de 2018.”

EQUIPO RESPONSABLE: Abata Murillo Katherine Gisselle Arteaga Moreira Freddy Vanner Arteaga Zambrano Carlos Andrés  Navarrete Erazo Juan Israel Israel Pianda Bazurto Jhony Alejandro Saltos Pisco Cesar Andrés Toapanta Vera Tony Josué Vera Briones José Fernando

PROFESOR GUÍA: Ing. Jairo Ramón Beltrón Cedeño Mg.Sc.

TERCER SEMESTRE PARALELO "A" PERÍODO ACADÉMICO: OCTUBRE 2017 A FEBRERO 2018 PORTOVIEJO – MANABÍ – ECUADOR 2018

UNIVERSIDAD TÉCNICA DE MANABÍ VISIÓN La Universidad Técnica de Manabí tiene como visión el constituirse en una institución universitaria líder, referente de la educación superior en el Ecuador, promoviendo la creación, desarrollo, transmisión y difusión de la ciencia, la técnica y la cultura, con reconocimiento social, proyección regional y mundial.

MISIÓN La Universidad Técnica de Manabí tiene como misión formar académicos, científicos y  profesionales responsables, humanistas, éticos y solidarios, comprometidos con los objetivos del desarrollo nacional, que contribuyan a la solución de los problemas del país como universidad de docencia e investigación, capaces de generar y aplicar nuevos conocimientos, fomentando la promoción y difusión de los saberes y las culturas, previstos en la Constitución de la República del Ecuador.

FACULTAD DE CIENCIAS MATEMÁTICAS, FÍSICAS Y QUÍMICAS MISIÓN Formar ingenieros reconocidos a nivel nacional por su liderazgo, sólidos conocimientos científicos, tecnológicos y valores humanísticos, en base a currículo actualizado según las demandas del ámbito laboral y las oportunidades de emprendimiento, desarrollando líneas de investigación científico y tecnológica vinculadas con el progreso del país.

VISIÓN Ser líderes a nivel nacional, y reconocidos internacionalmente por la formación de ingenieros, sólidamente vinculados con el medio técnico, social, político y económico.

ESCUELA DE INGENIERÍA CIVIL. MISIÓN Formar ingenieros civiles reconocidos a nivel nacional por su liderazgo, sólidos conocimientos científicos y tecnológicos, valores humanísticos, en base a currículo actualizado según las demandas del ámbito laboral y las oportunidades de emprendimiento, desarrollando líneas de investigación científico –  tecnológica vinculadas con el progreso del país.

VISION Ser líderes a nivel nacional, y reconocidos internacionalmente por la formación de ingenieros civiles, sólidamente vinculados con el medio técnico, social, político y económico.

PERFIL DE EGRESO DE LA CARRERA DE INGENIERIA CIVIL En cuanto a los conocimientos de la profesión los egresados de la Carrera de Ingeniería Civil de la Universidad Técnica de Manabí estarán en condiciones de: Manejar ciencias básicas y de ingeniería para desarrollar soluciones a problemas infra estructurales viales, hidráulicos, sanitarios y habitacionales con aplicación transversal de criterios ambientales, económicos, computacionales y de valores. La formación del Ingeniero Civil se concibe en cuatro ejes: 

En ciencias básicas



En ciencias básicas profesionales



En ciencias profesionales, humanista y Complementario

Diseñar obras civiles tales como caminos, carreteras, puentes, ferrocarriles, presas, abastecimientos de agua potable, sistemas de alcantarillados, edificaciones, determinando especificaciones técnicas de fundaciones, materiales, mano de obra y personal técnico.

Dirigir y administrar construcciones civiles con el uso de herramientas modernas de  planificación, seguimiento y de evaluación. Establecer asesorías de especialistas en las distintas ramas de la ingeniería. Desarrollar métodos y técnicas para el mejoramiento de la construcción de obras civiles. Elaborar proyectos civiles, considerando factores de competitividad y rentabilidad. Aplicar la atenuación del impacto ambiental en la construcción de obras civiles. Aplicar técnicas financieras en procesos de construcción. Desarrollar

métodos

y

técnicas

para

el

mejoramiento

de

la

Ingeniería

Civil.

Definir productos nuevos aplicables a la Ingeniería Civil.

ESCUELA DE INGENIERÍA MECÁNICA MISIÓN Formar profesionales con calidad humana, altamente calificados, con sentido crítico, capaces de adaptarse a las nuevas tendencias a las demás circunstancias cambiantes del medio interno y externo, liderando procesos de cambio.

VISIÓN Como institución de Educación Superior es una entidad competitiva, con gran poder de convocatoria, para que todos sus integrantes se encuentren comprometidos con el fortalecimiento y desarrollo institucional, constituyéndose en un centro educativo altamente calificado en los campos de la docencia, la investigación, la vinculación con la colectividad y la gestión que sale de sus claustros, actuando en el entorno, abierta a todas las corrientes del  pensamiento universal, impulsora de relaciones con otras universidades del Ecuador y el mundo, protagonizando de esta manera el desarrollo regional, nacional y mundial.

PERFIL DE EGRESO, DE FORMACIÓN SOCIAL Y PROFESIONAL DEL INGENIERO MECÁNICO 

Capacidad de emprender y generar actividades y proyectos propios o en asociación.



Liderar con competencias los nuevos procesos de desarrollo regional y nacional.



Competente para planificar, calcular, diseñar, construir máquinas y elementos mecánicos en general.



Con capacidad para instalar, operar, mantener, sistemas, equipos y plantas industriales.



Poseer capacidad y valores humanos para gerenciar procesos y plantas industriales de manera sustentable.



Competencia para desagregar e innovar alternativas científicas, tecnológicas en  beneficio del País.



Con capacidad y aptitudes para Implementar u optimizar procesos industriales y de reingeniería.



Competencia para coordinar recursos humanos y técnicos y con ellos impulsar el desarrollo productivo empresarial.



Conocedor del valor del medio ambiente y los ecosistemas, para impulsar proyectos  productivos sin afectar las condiciones de aquellos.



Capacidad para resolver problemas inherentes, con análisis crítico y toma de decisiones oportunas.



Conocedor de los efectos de las actividades profesionales el ámbito socio económico y cultural de la región.



Capacidad para hacer análisis, evaluaciones de bienes con eficiencia y apegado a valores humanos.

1.



Capacidad para emprender en auditorías energéticas de procesos inherentes.



Capacidad para planificar e investigar en procesos científicos y tecnológicos.

DATOS INFORMATIVOS 1.1 Tema

“Aplicación del software MATLAB en la resolución de ecuaciones diferenciales,

como

soluciones generales y particulares, por separación de variables y con coeficientes constantes empleando los conocimientos adquiridos por los estudiantes del tercer semestre de la asignatura ANALISIS MATEMATICO III paralelo “A” durante el periodo OCTUBRE 2017- FEBRERO de 2018.”

1.2 Temas de la asignatura que abarca el proyecto: Unidad N°1 Ecuaciones Diferenciales con soluciones generales y particulares

Unidad N°2 Ecuaciones Diferenciales por separación de variables

Unidad N°3 Ecuaciones Diferenciales Lineales Homogéneas con Coeficientes Constantes

1.3 Propósito del proyecto Se realizaron ejercicios de ecuaciones diferenciales mediante soluciones generales y  particulares, por separación de variables y con coeficientes constantes, aplicando software MATLAB

y los conocimientos adquiridos por los estudiantes del tercer semestre de la

asignatura ANALISIS MATEMATICO III paralelo “A” durante el periodo OCTUBRE 2017FEBRERO de 2018.”

1.4 Beneficiarios Directos 

Equipo del trabajo de investigación.



Estudiantes del Tercer Semestre del Instituto de Ciencias Básicas de la asignatura Análisis Matemático III “A” durante el periodo OCTUBRE 2017- FEBRERO de 2018.”

Indirectos 

Profesor Análisis Matemático III Ing. Jairo Beltrón



Instituto de Ciencias Básicas



Escuela de Ingeniería Civil



Escuela de Ingeniería Mecánica



Facultad de Ciencias Matemáticas, Físicas y Químicas



Universidad Técnica de Manabí

1.5 Duración del trabajo La realización del proyecto tuvo una duración de 7 semanas en el cual se dividió en dos  partes: en la mitad de ciclo se entregó al docente un avance correspondiente al detalle de los datos principales del proyecto, los propósitos, la descripción, los objetivos, la justificación y la parte teórica del proyecto. En el segundo ciclo se entregara el informe de la investigación realizada, la sustentación y demostraremos los resultados obtenidos.

1.6 Requisitos 

Áreas de conocimiento

Se realizó este proyecto con bases en Informática, Matemática, Álgebra y Análisis Matemático, así como las clases impartidas por el profesor de la asignatura de Análisis Matemático III. 

Temas que Abarcaron

Ecuaciones Diferenciales, con soluciones generales y particulares, por separación de variables y con coeficientes constantes. 

Manejo de herramientas informáticas:

Lenguaje de programación Matlab como herramienta fundamental para la elaboración del  proyecto. Se utilizó de manera rápida y adecuada el ordenador. Se usaron herramientas informáticas como Procesadores de texto (Microsoft Word) y presentaciones en días positivas (PowerPoint). Tener destreza en el ámbito investigativo.

1.7 Equipo Responsable 

Abata Murillo Katherine Gisselle



Arteaga Moreira Freddy Vanner



Arteaga Zambrano Carlos Andrés



 Navarrete Erazo Juan Israel



Pianda Bazurto Jhony Alejandro



Saltos Pisco Cesar Andrés



Toapanta Vera Tony Josué



Vera Briones José Fernando

1.8 Área de conocimientos Matemáticas e informática.

2. DESCRIPCION DEL PROYECTO Para desarrollo de este proyecto se tuvo conocimientos en bases en informática (software Matlab), Matemática, Álgebra, así como las clases impartidas por el profesor de la asignatura de Análisis Matemático III correspondiente a ecuaciones diferenciales así como:

Unidad N°1 Ecuaciones Diferenciales con soluciones generales y particulares

Unidad N°2 Ecuaciones Diferenciales por separación de variables

Unidad N°3 Ecuaciones Diferenciales Lineales Homogéneas con coeficientes constantes El trabajo se realizó mediante la investigación y la utilización de programas debido a que es muy importante tomar en cuenta los nuevos avances tecnológicos para aplicarlos a la realidad actual. La finalidad del mismo fue la aplicación de conocimientos adquiridos en la asignatura que serán reflejados mediante el uso del software Matlab para la resolución de ejercicios de los temas propuestos. MATLAB es un software de trabajo interactivo y es una herramienta importante para tareas que requieran cálculos, ya sea que involucren los temas propuestos. Cabe mencionar que el proyecto consistió en brindar una herramienta para resolver problemas matemáticos complejos sin necesidad de realizar muchos cálculos

a mano o alguna

codificación. Permitiendo al usuario definir sus propias funciones y facilitando la resolución de los ejercicios dados.

3. ANÁLISIS CONTEXTUAL En la actualidad las nuevas tecnologías son la herramienta indispensables hacia un acceso rápido, oportuno y veraz, sobre soluciones en cualquier campo profesional especialmente en ingeniería es así como el software Matlab. El Análisis Matemático III brindo conocimientos sobre ecuaciones diferenciales de soluciones generales y particulares, ecuaciones diferenciales por separación de variables, ecuaciones diferenciales con coeficientes constantes, entre otros temas fundamentales para mejorar los conocimientos y desarrollar destrezas matemáticas. La asignatura la impartió el Ing. Jairo Beltrón Mg. en el laboratorio 402 en el departamento de Matemáticas y Estadística del Instituto de Ciencias Básicas de la Universidad Técnica de Manabí. Dicha aula cuenta con los implementos necesarios para un adecuado aprendizaje de los estudiantes que se encuentran en esta aula y climatizada  para que la temperatura no sea algo adverso en su estudio. Por otra parte el profesor

brindo grandes enseñanzas y ayuda al estudiante en el

aprendizaje, sus conocimientos apoyaron mucho y la forma en la que lleva la clase nos dio conocimiento de la gran preparación que tiene. Aunque existen personas con más destrezas en el grupo no es un obstáculo para el desempeño, pues se puede utilizar los defectos y virtudes de la manera adecuada para trabajar armónicamente en grupo. Gracias a todo esto se ha conseguido más conocimiento en el área matemática y por supuesto en la asignatura de Análisis Matemático III.

4. OBJETIVOS

Objetivo General Utilizar el software Matlab para la resolución de ecuaciones diferenciales como soluciones generales y particulares, por separación de variables y con coeficientes constantes empleando los conocimientos adquiridos en la asignatura ANALISIS MATEMATICO III  paralelo “A” durante el periodo OCTUBRE- FEBRERO de 2018.”

Objetivos Específicos 1. Analizar los conceptos y procesos de resolución de los diferentes tipos de ecuaciones diferenciales aprendidos en clase para aplicarlos en el software MATLAB. 2. Estudiar las características, los comandos y los operadores del programa MATLAB para tener mayor agilidad a la hora de utilizar este software. 3. Solucionar ejercicios basados en temas vistos en el aula de clases mediante el apoyo de software MATLAB.

5. JUSTIFICACIÓN El mundo científico ha desarrollado tecnologías informáticas a través del tiempo, las cuales han ofrecido y aportado a soluciones de las ciencias y han servido para estudiantes y expertos en la materia, al momento de resolver planteamientos matemáticos complejos, una de esas tecnologías es el software Matlab. El software Matlab es una herramienta matemática de apoyo para el rendimiento académico y la enseñanza de cálculo, ya que es un programa íntegro para soluciones de ejercicios matemáticos, entre sus prestaciones básicas se hallan: la manipulación de matrices, la representación de datos y funciones, la implementación de algoritmos, la creación de interfaces de usuario y la comunicación con programas en otros lenguajes y con otros dispositivos hardware. Debido a esto, los primordiales beneficiados con el presente proyecto serán los  profesores y estudiantes que analicen la asignatura ya que en sí podrán hacer empleo de este  programa. En el nivel educativo Matlab se ha convertido en la principal herramienta de los cursos relacionados con el Álgebra Matricial, tanto a nivel básico como a nivel superior. Otro aspecto importante hoy en día es su capacidad gráfica, en 2 y en 3 dimensiones. También ha pasado de ser algo creado simplemente para dar apoyo en cursos relacionados con Teoría de Matrices a convertirse en una poderosa herramienta tanto en el ámbito educativo como en el industrial. Es indispensable que los estudiantes de la asignatura de Análisis Matemáticos III vinculen las instrucciones adquiridos en el salón de clase a través de distintos recursos matemáticos que le  permitan al alumno solucionar múltiples interacciones: por ejemplo que le ayuden en forma

rápida a resolver múltiples ejercicios, y poder explorar nuevas soluciones a los problemas  planteados o construir nuevos problemas a partir de los ya existentes, beneficiando de esta manera a los estudiantes ya que estarán alcanzando destrezas cognitivas haciendo más amplia su capacidad de conceptualización.

6. FUNDAMENTACIÓN TEÓRICA Y CONCEPTUAL MATLAB MATLAB es un lenguaje de alto desempeño diseñado para realizar cálculos técnicos. Integra el cálculo, la visualización y la programación en un ambiente fácil de utilizar donde los  problemas y las soluciones se expresan en una notación matemática. Es un sistema interactivo cuyo elemento básico de datos es el arreglo que no requiere de dimensionamiento previo. Esto  permite resolver muchos problemas computacionales, específicamente aquellos que involucren vectores y matrices, en un tiempo mucho menor al requerido para escribir un programa en un lenguaje escalar no interactivo tal como C o Fortran.

MATLAB se utiliza ampliamente en: 

Cálculos numéricos



Desarrollo de algoritmos



Modelado, simulación y prueba de prototipos



Análisis de datos, exploración y visualización



Graficación de datos con fines científicos o de ingeniería



Desarrollo de aplicaciones que requieran de una interfaz gráfica de usuario (GUI, Graphical User Interface).

En el ámbito académico y de investigación, es la herramienta estándar para los cursos introductorios y avanzados de matemáticas, ingeniería e investigación. En la industria MATLAB es la herramienta usada para el análisis, investigación y desarrollo de nuevos  productos tecnológicos. La ventaja principal es el uso de familias de comandos de áreas específicas llamadas toolboxes. Lo más importante para los usuarios es que los toolboxes le  permiten aprender y aplicar la teoría. Los toolboxes son grupos de comandos de MATLAB (archivos M) que extienden el ambiente para resolver problemas de áreas específicas de la

ciencia e ingeniería. Por ejemplo, existen toolboxes para las áreas de Procesamiento Digital de Señales, Sistemas de Control, Redes Neuronales, Lógica Difusa, Wavelets, et. (Qué es MATLAB, 2011)

OPERADORES La coma (,) se utiliza como un carácter de concatenación horizontal, mientras que el punto y coma (;) se utiliza como un carácter de concatenación vertical. Arreglos de dimensiones apropiadas pueden concatenarse para formar arreglos más grandes. Es decir pueden agregarse renglones y/o columnas a un vector o a una matriz, utilizando comas o puntos y coma. P.ej:> A=[1 2 3 4] > B=[5 6 7 8] > C=[A ;B] %matriz de 2x4 Por omisión los vectores en MATLAB son vectores renglón, sin embargo pueden transponerse utilizando el apostrofe (‘) para producir vectores columna. Los dos puntos (:) tienen varias funciones en MATLAB. Indican un rango de valores de un vector. P.ej. > A=[1:5] = [1 2 3 4 5] Indican toda la columna o renglón de una matriz. P. ej.: > H= D(:, 1) % almacena la primera columna de D en el vector H > H= D(2, : ) % almacena el segundo renglón de D en el vector H > H= D(:, 1:3) % almacena las columnas 1 a 3 de la matriz D en la matriz H > H= P(:, a:b) % a y b son escalares > H= P(a+k: j, 2) % almacena en el vector H los valores desde el renglon a+k hasta el renglón j de la columna 2 de la matriz P

OPERADORES ARITMÉTICOS En caso de que los operandos sean vectores o matrices, la suma (+) y resta (-) y división (/ ) en MATLAB se hacen elemento por elemento. Los vectores o matrices deben tener las mismas dimensiones. La multiplicación (*) entre vectores y matrices, es matricial por omisión. Para realizar una multiplicación elemento por elemento se utiliza el operador (.*). (CONCEPTOS BASICOS DE MATLAB, s.f.)

CARACTERÍSTICAS DE MATLAB Probablemente la característica más importante es su capacidad de crecimiento. Esto  permite convertir al usuario en un autor contribuyente, creando sus propias aplicaciones. En resumen, las prestaciones más importantes de MATLAB son: 

Escritura del programa en lenguaje matemático.



Implementación de las matrices como elemento básico del lenguaje, lo que permite una gran reducción del código, al no necesitar implementar el cálculo matricial.



Implementación de aritmética compleja.



Un gran contenido de órdenes específicas, agrupadas en TOOLBOXES.



Posibilidad de ampliar y adaptar el lenguaje, mediantes ficheros de script y funciones.

(Síntesis de MatLab, 2015)

ECUACIONES DE SOLUCIONES GENERALES Y PARTICULARES Solución de una ecuación diferencial es una función que no contiene derivadas que satisface a dicha ecuación; es decir, al sustituir la función y sus derivadas en la ecuación diferencial resulta una identidad. Solución general de una ecuación diferencial es la función que satisface a la ecuación y que contiene una o más constantes arbitrarias (obtenidas de las sucesivas integraciones). Solución particular de una ecuación diferencial es la función que satisface la ecuación y cuyas constantes arbitrarias toman un valor específico.

RECUERDA QUE: Una ecuación diferencial posee una solución general cuando su solución contiene una constante de integración C, que implica que tiene infinitas constantes arbitrarias. 

Una ecuación diferencial tiene una solución particular cuando se determina el valor de la constante de integración C a través de una condición inicial que da un valor de la variable dependiente o una de sus derivadas para un valor particular de las variables independientes.

FUENTE: CARMONA, Isabel y FILIO, Ernesto (2011). Ecuaciones diferenciales. Pearson Educación. Capítulo 1. pp: 6

EJEMPLO Nº1:

′  4 = 0 ′ = 4  = 4   = 4   = 4     = 4   ln() = 2 +   =  Aplicación en Matlab: y=dsolve('Dy-4*x*y=0','y(0)=1/5','x') y= exp(2*x^2)/5

;

(0) =  

EJEMPLO Nº2:

   =    ; (1) = 1    = (1)  =  −    ∫  = ∫ −   Ln|| =    ln|| + y(1) = 1 ln|1| =  11 ln|1| +   = 1 ln|| =  1  ln||  1 || = −−||− || = − − −−   || =  −−   =  Aplicación en Matlab:

y=dsolve('x^2*Dy=y-x*y','x') y= (C3*exp(-1/x))/x y=dsolve('x^2*Dy=y-x*y','y(-1)=1','x') y= -(exp(-1)*exp(-1/x))/x

ECUACIONES POR SEPARACIÓN DE VARIABLES El método de separación de variables se refiere a un procedimiento para encontrar una solución completa particular para ciertos problemas que involucran ecuaciones en derivadas parciales como serie cuyos términos son el producto de funciones que tienen las "variables separadas". Es uno de los métodos más productivos de la física matemática para  buscar soluciones a problemas físicos descritos mediante ecuaciones diferenciales de derivadas parciales, el mismo nombre se aplica a la forma de buscar soluciones de ecuaciones diferenciales ordinarias de cierto tipo que permite resolverlas por cuadraturas de funciones que contienen las variables separadas. (MATHWORKS, 2017)

EJEMPLO Nº1:

 = 49  6;(1) = 0   = 4 9  6 ∗   = 4 3   +  0 = 4∗ 13 ∗1  1 +  0  4 +3+ 1 =  0= Al reemplazar:

 = 4 3   + 0 Aplicación en Matlab: >> y=dsolve('Dy=4-9*x^2-6*x^5','x') y= C8 - x*(x^5 + 3*x^2 - 4) >> y=dsolve('Dy=4-9*x^2-6*x^5','y(1)=0','x') y= -x*(x^5 + 3*x^2 - 4)

EJEMPLO Nº2:

dy = yCosx dx 1 + 2y (1+2y)dy = yCosxdx (1+2y) = Cosxdx y 1 dy +2ydy = Cosxdx y  dyy + 2ydy = Cosxdx lny+ 22 y = Sinx+C lny+ y = Sinx + C Aplicación en Matlab: >> y=dsolve('Dy=(y*cos(x))/(1+2*y^2)','x') y= exp(C10 - wrightOmega(2*C10 + log(2) + 2*sin(x))/2 + sin(x))

ECUACION DIFERENCIAL DE COEFICIENTES CONSTANTES Una ecuación diferencial es lineal cuando no existen términos de grado superior al primero en lo que respecta a la variable dependiente y a sus derivadas. Se dice que la ecuación es Homogénea si Q(x)=0. 

Caso 1: Si x1 es diferente a x2 y son reales entonces yG=C1ex1 + C2ex2



Caso 2: Si x1 es igual a x2 y son reales entonces yG=C1ex1 + C2xex2



Caso 3: Si x1 es diferente a x2 y son complejos entonces yG=eax(C1cosβx+C2senβx)

Se parte de la ecuación más simple de primer orden, donde se muestra que la solución siempre es del tipo y=ce^(mx) y se asume que para ecuaciones de orden superior como la ecuación de segundo orden la solución es una exponencial con esta forma. Al hacer esto el

 problema se reduce a encontrar los valor de m que hacen que la ecuación se haga cero (ya que es homogénea), formándose una ecuación auxiliar que depende solo de los valores de m. El caso de una ecuación de segundo orden se presentan 3 casos para los valores de m. El  primero, que las raíces de la ecuación auxiliar sean distintas y reales, el segundo, las raíces son reales e iguales y el tercero, que ambas sean complejas conjugadas. Para cada caso se ilustra como formar la solución general que soluciona la ecuación diferencial homogénea con coeficientes constantes.

EJEMPLO Nº1:

′′  2 ′ 3 = 0  :λ   2λ  3 = 0 (λ  3)(λ + 1) = 0 λ 3 = 0 λ+1 = 0 λ  = 3 λ  = 1  λ  ≠ λ   = − +  Aplicación en Matlab: >> y=dsolve('D2y-2*Dy-3*y=0','x') y= C15*exp(-x) + C14*exp(3*x)

EJEMPLO Nº2:

 ′′  10 ′ +25 = 0  :  10 25 = 0 (  5)(  5) = 0  = 5  = 5  =   = 1 + 2

Aplicación en Matlab: >> y=dsolve('D2y-10*Dy+25*y=0','x') y= C16*exp(5*x) + C17*x*exp(5*x)

EJEMPLO Nº3:

 + 3  + 3 + 1 = 0 Ec. Aux:  + 3 + 3m = 0 m(  + 3m + 3)= 0 m ₁= 0

−±√ − = ±√ − = −±√       √  α= =  ₁  ₂ m ₁= 0 → y - C ₁ + C ₂ ₁ Sol. General: y = C ₁  + C ₂ ₂  y =   (C ₁ cos βx + C₂ sen βx)   √  m ₁= 0; α =  ; =    √  √   y= C ₁    +  −  (C ₂ cos x + C ₃ sen )      √  √   y= C ₁ + C ₂  −  cos x + C ₃  −   sen    m=

Aplicación en Matlab: >> y=dsolve('D3y-3*D2y+3*Dy+1=0','x') y= C21 - x/3 + C22*exp((3*x)/2)*cos((3^(1/2)*x)/2) + C23*exp((3*x)/2)*sin((3^(1/2)*x)/2) 1/3

7. RECURSOS UTILIZADOS 7.1. HUMANOS: 

Equipo de proyecto.



Estudiante de las Carreras de Ingeniería Mecánica e Ingeniería Civil



Profe sor de la asignatura Análisis Matemático III período Octubre 2017 –  Febrero 2018

7.2. TECNOLÓGICOS: 

Computador.



Celulares



Impresoras.



Software MATLAB.



Servicio Web.

7.3. MATERIALES: 

Hojas.



Carpeta.



CD.



Libros.

8. METODOLOGÍA 8.1. TIPO DE ESTUDIO El presente proyecto utilizo el método no experimental, pues se basa en realizar un estudio sin experimentar con el fenómeno, tan solo estudiándolo, por ello el método no experimental que se utilizo es el método bibliográfico que indica que la información obtenida se encuentra en documentos.

8.2. TÉCNICA Las técnicas que se utilizaron en la investigación son: 

Observación: la observación es un recurso que se utiliza constantemente en la vida cotidiana para adquirir conocimientos, y en este proyecto se utilizó para aprender los usos de MATLAB.



Investigación bibliográfica: la información utilizada fue extraída de la Web para el aprendizaje y usos del software MATLAB.

9. ACTIVIDADES A DESARROLLARSE ENERO ACTIVIDADES

1 M

2 J

1º Identificar todos los parámetros para el desarrollo de la investigación del proyecto Reunión del grupo de trabajo para debatir el tema a realizarse Análisis de temas tratados durante la asignatura Reunión para distribuir tareas del proyecto 2º Estudio de software Matlab Analizar funciones de Matlab Ejecutar comandos y operadores del software Resolución de ejercicios mediante Matlab 3º Explorar y Verificar Errores de Trabajo Reunión del grupo de trabajo para realizar algún tipo de correcciones Determinar los ejercicios que se van a realizar en el software Realizar alguna corrección del proyecto en normas APA Reunión de corrección final del proyecto y entrega del trabajo. 4° Tareas final del Proyecto Reunión de realización del informe final Distribución de tareas para la sustentación del proyecto Reunión de retroalimentación con el software previa sustentación del proyecto Sustentación del proyecto

M

FEBRERO 3

J

M

4 J

M

5 J

M

1 J

M

2 J

M

J

10. RESULTADOS LOGRADOS 

Se consiguió aprender acerca de los diferentes tipos de ecuaciones diferenciales.



Se logró adquirir conocimientos de los comandos y operadores que brinda el software MATLAB como su definición y correcto uso.



Se resolvieron ejercicios basados a los temas tratados en el aula de clase dando el correcto seguimiento al syllabus mediante el software MATLAB.

11. CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES 11.1. 

CONCLUSIONES.

El estudio en base al análisis y experimentación del uso del software Matlab  para la resolución de ecuaciones diferenciales, determino que la utilización de esta herramienta es muy útil, ágil y sobre todo una potente herramienta para el mundo de la ingeniería al momento de realizar cálculos, por su amplio soporte de funciones ya desarrolladas, lenguaje de alto nivel para calculo técnico y herramientas interactivas para exploración, diseño y resolución de problema.



Este software pose un leguaje alfanumérico que son una serie de comando sencillos y que permiten desde operaciones aritméticas simples hasta grandes cálculos algebraicos y de ingeniería, dotando así una solución al estudiante y  profesional al momento resolver y desarrollar cálculos simple y hasta complejos en poco tiempo.



El software Matlab ayudó a la ejecución de ejercicios de Ecuaciones Diferenciales basados en los temas mostrados en clase de Análisis Matemático III logrando resolverlos de una manera rápida.

11.2. 

RECOMENDACIONES.

Es necesario para un buen manejo del software Matlab poder aprender los comandos y códigos importantes, utilizarlos de manera correcta para lograr resolver cualquier tipo de ecuación plateada.



Saber el uso adecuado del software tener en cuenta la correcta escritura de los comandos para no tener inconvenientes al momento de resolver ejercicios.



También se recomienda tener bien infundados conocimientos de ecuaciones diferenciales para comprobar que los resultados obtenidos en el software son correctos, debido a que suele fallar si no se ha obtenido una buena instalación del mismo.

EVALUACIÓN

12.

Ficha de Evaluación del Trabajo en Equipo Aspectos a evaluar en la ejecución del Proyecto: 

Capacidad del equipo para trabajar conjuntamente con los otros miembros responsables para un mismo fin.



Transmisión de información y conocimiento a los otros miembros, para facilitar el desarrollo del proyecto



Capacidad para resolver conflictos cuando se manifiestan tendencias contradictorias, problemas, enfrentamientos o discusiones que no permitan el desarrollo adecuado del proyecto.



Capacidad para establecer líneas estratégicas para la consecución de los objetivos y metas del proyecto.

Ficha de Evaluación de la defensa de la Investigación Aspectos a Evaluar: 

Evidencia que los contenidos fueron pertinentes al tema investigado.



Uso del software matemático propuesto en el proyecto durante la exposición de cada miembro del equipo.



Capacidad de síntesis y creatividad en el diseño de Diapositivas y tríptico.



Cumplimiento de normas establecidas en su vestimenta.



Cumplimiento del tiempo estipulado para su intervención.

13. BIBLIOGRAFÍA TRABAJOS CITADOS CONCEPTOS BASICOS DE MATLAB. (s.f.). academicos. Obtenido de http://www.academicos.ccadet.unam.mx/fernando.arambula/mlabtut.pdf Historia de matlab. (20 de julio de 2008).  geordanohamlet . Obtenido de http://geordanohamlet.blogspot.com/2008/07/historia-de-matlab.html

Qué

http://blog.utp.edu.co. es MATLAB. (2011). Obtenido de http://blog.utp.edu.co/jnsanchez/files/2011/03/Matlab-Introducci%C3%B3nclase1.pdf

Síntesis de MatLab. (6 de octubre de 2015). lomeromatematico. Obtenido de http://lomeromatematico.blogspot.com/2015/10/sintesis-de-matlab-que-esmatlab-matlab.html

MATHWORKS. (2017). MATHWORKS . Obtenido de MATLAB: https://es.mathworks.com/products/matlab/features.html

14. ANEXOS. Foto 1

Biblioteca de la UTM. Izq. Fernando Vera, Katherine Abata, Jhonny Pianda, Carlos Arteaga, Cesar Saltos, Freddy Arteaga, Tonny Toapanta, Isreal Navarrete. Foto 2.

Biblioteca de la UTM. Realización Tareas distribuidas.

Foto 3.

Biblioteca de la UTM. Realizando último detalles.