Proyecto Estructural de Edificios Aporticados de Concreto Armado

CENTRO DE INGENIEROS DEL ESTADO ZULIA FUNDACION “ADOLFO ERNST”

“PROYECTO ESTRUCTURAL DE EDIFICIOS APORTICADOS DE CONCRETO ARMADO”

INSTRUCTOR: ING. ANTONIO ANTONELLO MARACIBO, MARZO DEL 2008

PROYECTO ESTRUCTURAL DE EDIFICIOS APORTICADOS DE CONCRETO ARMADO 1.- INTRODUCCION. El presente curso tiene por objetivo principal facilitar las herramientas necesarias para el diseño de edificios aporticados de concreto armado. Durante los siguientes días se trataran los tópicos necesarios para el diseño de un edificio aporticado de concreto armado, tomando en consideración tanto las acciones verticales como las horizontales. Se estudiaran las normas Venezolanas Covenin relacionadas con el diseño de edificios aporticados de concreto armado como son: • Covenin 2002-88 Criterios y Acciones Mínimas para el Proyecto de Edificaciones. • Covenin 2003-89 Acciones del Viento Sobre las Construcciones. • Covenin 1756-01 Edificaciones Sismorresistentes. • Covenin 1753-06 Proyecto y Construcción de Obras de Concreto Estructural. El presente curso se desarrollara de forma practica, durante las 24 horas establecida para el, se efectuara el análisis de un edificio de 28 metros de altura, distribuidos en 8 plantas mas una planta de salida a techo. 2. Tipologia Estructural de los Edificios de Concreto Armado. Todo Edificio debe estar diseñado para soportar las acciones a las que estará sometido como lo son las gravitatorias usuales (Peso Propio y Cargas Variables Gravitatorias) y las Fuerzas adicionales como son las Horizontales producidas por efecto del Viento o Sismo. Existen otras cargas que de conocerse el hecho de que la estructura se vera sometida a ellas se deben considerar, estas cargas son las cargas de impacto, cambios de temperatura, reologicas, fallas de fundación. etc. Indistintamente del tipo de carga a las que estará sometido el edificio este debe estar diseñado para que sus límites de resistencia no sean excedidos para poder

brindar una suficiente estabilidad local de sus elementos estructurales y global del conjunto, y una limitada desplazabilidad, de modo de lograr seguridad, y confort de los residentes del edificio durante su vida útil. Para lograr lo antes expuesto se debe seleccionar la forma estructural más conveniente para el edificio en cuestión, para lo cual debemos tomar en consideración los siguientes factores. • • • • • • • • • •

Las proporciones en planta y la esbeltez del conjunto. La ubicación y orientación del edificio. La naturaleza y magnitud de las acciones. El método constructivo más conveniente. Los materiales a utilizar. Las instalaciones y servicios internos. Los datos arquitectónicos. Si existirán acciones secundarias. El tipo de suelo. El comportamiento dinámico del conjunto.

¿Cuál es el fin de la consideración de lo antes expuesto? LA SEGURIDAD ESTRUCTURAL. La seguridad estructural involucra las siguientes condiciones. • • • • • •

Estabilidad Local de los Miembros. Estabilidad Global del Edificio. Adecuada Resistencia y Rigidez Estructural. Limitados Desplazamientos y vibraciones. Indeformabilidad de Nodos y Conexiones. Suficiente Ductilidad de Conjunto.

DIFERENTES TIPOLOGIAS ESTRUCTURALES PARA EDIFICIOS. TIPO DE ESTRUCTURA PORTICOS RIGIDOS DE ACERO PORTICOS RIGIDOS DE CONCRETO (COMPETENCIA DE ESTE CURSO) PORTICOS ARRIOSTRADOS CON DIAGONALES PORTICOS CON MUROS DIAFRAGMAS MUROS ESTRUCTURALES MACIZOS MUROS ACOPLADOS SISTEMAS DUALES DE PORTICOS Y MUROS. ESTRUTURAS SUSPENDIDAS ESTRUTURAS TUBULARES SIMPLES O CONECTADAS ESTRUTURA TIPO ESPINA RETICULADOS ESPECIALES ESTRUTURAS HIBRIDAS O COMBINADAS

NUMERO DE NIVLES 15 20-30 40 20-30 100 80 50-60 30 100 120 70 130

3. Comenzando el Proyecto Estructural de un Edificio aporticado de concreto Armado. Cuando se plantea al ingeniero estructural la necesidad del diseño estructural de un edificio de concreto armado a este se le debe aportar la siguiente información y documentos. • Planos arquitectónicos de la edificación (Plantas tipos, Fachadas y Cortes). • Ubicación de la edificación. • Estudio de Suelo del sitio donde estará la Edificación. • Material del cual será construido el Edificio (Concreto Armado en nuestro Caso).

• Uso de la Edificación (Comercial, Residencial, Hospitalario, Etc.). • Servicios de los cuales constara la Edificación. • Paso de Elementos Sanitarios.

Educacional,

Con los datos y documentos anteriores comenzamos el cálculo y diseño de los elementos estructurales de la Edificación. 4. Diseño de los elementos estructurales de la siguiente edificación. Edificio Aporticado de Concreto Armado conformado por una planta baja comercial, 08 plantas residenciales y una planta de azotea. El edificio será construido en la Ciudad de Maracaibo. Concreto f’c = 250 Kg/cm2 Acero

Fy = 4200 Kg/cm2

Se consideraran las acciones gravitatorias y las horizontales correspondientes a sismo, se determinaran las fuerzas horizontales producidas por el viento para la verificación de los cerramientos. Con los datos anteriores tenemos la información correspondiente a ubicación, material y uso de la edificación, los demás datos serán introducidos en el ejercicio a medida que sean necesitados, esto con la finalidad de poder observar específicamente el porque se requiere dicha información. En la ejecución de un proyecto profesionalmente toda la información debe ser recopilada y organizada al principio del mismo.

PLANOS DE LA EDIFICACION

FACHADA PRINCIPAL

P LA N TA B A JA

PLAN TA AZO TEA

PLAN TA TEC H O ESCALERA Y ASCENSOR

Una vez definida por parte del arquitecto las diferentes plantas de la edificación se procede a la estructuración y diseño de sus diferentes componentes. 4.1 Prediseño y diseño de losas de entrepiso. Las losas de entrepiso pueden ser macizas o nervadas, estas últimas son las más usadas en nuestro medio, ya que estas aportan un menor peso y ofrecen un mejor aislamiento al ruido que las macizas, en este curso las losas se estudiaran y se diseñaran como nervadas.

Lo primero que hacemos es definir las diferentes losas del entrepiso analizado, para la estructuración de las losas no existe una regla específica, pero se pueden tomar en cuenta las siguientes condiciones: • El sentido del nervio en la medida de lo posible debe ser en la dirección de la longitud menor de los ejes estructurales. • Se definirán tantas losas en el entrepiso como cambios de geometría y acciones existan y que originen variantes en su análisis de carga. • El espesor de la losa se definirá con la mas desfavorable tomando en cuenta los espesores comerciales de las zapas de relleno. (15, 20 o 25 cms) Conocido los diferentes ambientes procedemos a seleccionar en la norma Covenin 2002-88 Criterios y Acciones Mínimas para el Proyecto de Edificaciones el valor de la carga variable a utilizar.

En la tabla anterior se puede leer que para el primer piso tenemos: Viviendas unifamiliares y multifamiliares en áreas publicas 300 Kg./m2 , áreas con asientos móviles, salones de fiesta 500 kg./m2, balcones con L>1.20 mts 300 kg. /m2 (nota 3 y 4), la nota 3 es especifico del diseño de la baranda o del antepecho, y la nota 4 dice que en el extremo del volado se debe aplicar una carga lineal de 150 kg./ml, habitaciones, pasillo interno, camerinos, vestuarios, estudios de radio y tv, celdas 175 kg./m2, escaleras 300 kg./m2. Para la planta tipo tenemos las siguientes acciones variables: Viviendas unifamiliares y multifamiliares en áreas publicas 300 Kg./m2 , balcones con L>1.20 mts 300 kg. /m2 (nota 3 y 4), la nota 3 es especifico del diseño de la baranda o del antepecho, y la nota 4 dice que en el extremo del volado se debe aplicar una carga lineal de 150 kg./ml, habitaciones, pasillo interno, camerinos, vestuarios, estudios de radio y tv, celdas 175 kg./m2, escaleras 300 kg./m2. Para la planta de Azotea tenemos: Azoteas o Terrazas 100 kg./m2 ( nota 2 y 3), escaleras 300 kg./m2. Para el Techo de la escalera y ascensor: Techos con carga permanente mayor a 50 kg./m2 y pendiente menor al 15% 100 kg./m2

5 0 0 k /m 2

3 0 0 k /m 2 3 0 0 k /m 2

5 0 0 k /m 2 1 7 5 k /m 2

3 0 0 k /m 2

3 0 0 k /m 2

5 0 0 k /m 2

3 0 0 k /m 2

3 0 0 k /m 2 3 0 0 k /m 2

1 7 5 k /m 2

1 7 5 k /m 2

3 0 0 k /m 2

3 0 0 k /m 2

3 0 0 k /m 2

1 0 0 k /m 2

1 0 0 k /m 2 3 0 0 k /m 2

1 0 0 k /m 2

1 0 0 k /m 2

P L A N T A

1 0 0 k /m 2

A Z O T E A

1 0 0 k /m 2

PLAN TA TEC H O ESC ALERA Y ASCENSOR

Una vez determinadas las cargas variables en cada entrepiso procedemos a determinar el sentido de los nervios, y las diferentes losas que se presenten en cada entrepiso, dando como resultado los siguientes esquemas:

L P -7

L P -6

L P -5

L P -4

L P -3

L P -2

L P -1

LO S A S D E C A R G A P LA N T A P R IM E R P IS O

L E -8

L E -7

L E -5

L E -6

L E -4

L E -3

L E -2

L E -1

L O S A S

D E

C A R G A

P L A N T A

T IP O

L A -7

L A -6

L A -5

L A -4

L A -3

L A -2

L A -1

D E C A R G A A Z O T E A

P L A N T A

LTEA

L O S A S

PLAN TA TEC H O ESC ALER A Y ASCENSOR

Ya que tenemos definidas las diferentes losas procedemos a determinar el espesor de la misma y el peso propio que soportara, para el espesor de la losa lo mas conveniente es apegarse a los espesores que se determinan según la tabla 9.6.1 de la norma Covenin 1753-06 Proyecto y Construcción de Obras de Concreto Estructural.

Según la tabla anterior tenemos los siguientes espesores: Losas de primer piso: LP1 = P2 = 320 cm. / 16 = 20,00 cm. LP3AB = LP3EF = LP4AB = LP4EF = 550 cm. / 18,5 = 29,72 cm. LP3CD = 500 cm. / 21 = 23,81 cm. LP6 = LP7 = 550 cm. / 16 = 34,38 cm. LP4BC = LP4DE = 320 cm. / 18,5 = 17,29 cm. LP3BC = LP3DE = 320 cm. / 21 = 15,24 cm. Como se puede ver el valor que domina es el de 34,38 cm. Pero no es un espesor comercial por lo tanto se asume un espesor de losa de 30 cm., es decir zapa de 25 cm. y una loseta de 5 cm., y a la losa LP6 y LP7 se le verifican las flechas actuantes. Como los sentidos de las losas de entrepiso y azotea son iguales tenemos los mismos espesores, es decir una losa nervada de 30 cm. Para el caso de la losa de techo de escalera tenemos el siguiente valor: LTEAvolado = 50cm. / 8 = 6,25 cm. LTEA23 = 350cm. / 21 = 16,67 cm.

Para esta losa se asume una losa nervada de 20 cm., es decir zapa de 15 cm. Y una loseta de 5 cm., y no hay que verificar flecha.

LOSA PRIEMER PISO, ENTREPISO Y AZOTEA MALLA ELECTROSOLDADA 4"x4"x1/4" 0.05 0.25 0.10

0.40

0.10

0.40 NERVIO

ZAPA

NERVIO

0.30

LOSA TECHO DE ESCALERA MALLA ELECTROSOLDADA 4"x4"x1/4" 0.05 0.15 0.10 NERVIO

0.40

0.10 ZAPA

0.20

0.40 NERVIO

Una vez que tenemos los datos físicos de la losa procedemos a determinar el peso propio y para eso debemos conocer el material de las zapas y el tipo de acabado de piso que tendrá la losa. Para la losa de primer piso la zapa será de arcilla y tendrá un acabado de granito por arriba y tendrá cielo raso por debajo. Para las losas de entrepiso usaremos zapas de anime, tendrá una acabado de granito y estará frisada por debajo.

La losa de azotea y la de techo de escalera serán con zapa de anime y tendrá nivelación y manto asfáltico de 5 mm, el acabado por debajo será de friso liso. Losa de primer piso: Peso de losa nervada Norma 2002-88 tabla 4.3 (3.3.1) Espesor 30 cm. peso 360 kg. / m2. Peso de Revestimiento de granito Norma 2002-88 tabla 4.3 (6) 100 kg. / m2. Peso cielo Raso Norma 2002-88 tabla 4.3 (4.3) 20 kg. / m2. Tabiqueria: la norma 2002-88 en el capitulo 4 sección 4.4 expresa:

Y en la tabla 4.3 en su sección 1 nos da:

Como se puede ver se debe determinar el área total de tabiquería y determinar su peso promedio sobre la losa, pero asumiremos 150 kg. / m2 sobre la losa como es permitido en el párrafo anterior, considerando que la mayoría de los tabiques se encuentran sobre las vigas.

Total de carga permanente sobre la losa de primer piso= 630 kg. / m2 Losa de entrepiso Zapa de anime, e = 30 cms: El peso de la losa, como este material no se encuentra en la norma por lo tanto hay que determinarlo: Nervios= 2 Nervio/mts* 0,10 mts * 0,25 mts * 2500 kg. /m3 = 125 Kg. / m2 Losa = 0,05 mts * 2500 kg. / m3 = 125 kg. / m2 Zapas de anime = 0,25*0,40*0,20* 3 kg. / m3 * 10zapas/m2 = 0,6 kg. / m2 Total Peso losa nervada de entrepiso = 250,6 kg. / m2. Peso de Revestimiento de granito Norma 2002-88 tabla 4.3 (6) 100 kg. / m2. Peso Mortero de Friso Norma 2002-88 tabal 4.3 (7.1) 1.5 cms = (19 kg. / m2*cms) * 1.5 cms = 28.5 kg. / m2. Peso Tabiqueria = 150 kg. / m2 Total carga permanente losa de entrepiso = 529,1 kg. / m2 = 530 kg. / m2 Losa de azotea zapas de anime e= 30 cms: Total Peso losa nervada de azotea = 250,6 kg. / m2 Peso Nivelación 3 cms Norma 2002-88 tabal 4.3 (6) = 100 kg. / m2. Peso Manto Asfáltico 5 mm Norma 2002-88 (5) = 6 kg. / m2. Peso Mortero de Friso Norma 2002-88 tabal 4.3 (7.1) 1.5 cms = (19 kg. / m2*cms) * 1.5 cms = 28,5 kg. / m2. Total carga permanente losa de azotea y techo de escalera = 385,10 kg. / m2 = 385 kg. / m2.

Losa de azotea y techos escalera, zapas de anime e= 20 cms: Nervios= 2 Nervio/mts* 0,10 mts * 0,15 mts * 2500 kg. /m3 = 75 Kg. / m2 Losa = 0,05 mts * 2500 kg. / m3 = 125 kg. / m2 Zapas de anime = 0,15*0,40*0,20* 0,3 kg. / m2 * 10zapas/m2 = 0,36 kg. / m2 Total Peso losa nervada de entrepiso = 200,36 kg. / m2. Peso Nivelación 3 cms Norma 2002-88 tabal 4.3 (6) = 100 kg. / m2. Peso Manto Asfáltico 5 mm Norma 2002-88 (5) = 6 kg. / m2. Peso Mortero de Friso Norma 2002-88 tabal 4.3 (7.1) 1.5 cms = (19 kg. / m2*cms) * 1.5 cms = 28,5 kg. / m2.

Total carga permanente losa de azotea y techo de escalera = 334,86 kg. / m2 = 335 kg. / m2. Verificamos si es necesario movimiento de carga: Para efectuar movimiento de Carga la carga variable debe ser mayor que el 75% de la carga permanente CP/CV = 300/530 = 0.566 < 0.75 OK. Con los valores anteriores determinados tenemos las siguientes losas para su análisis: Losas de primer piso:

B

C

D

LP-1

A

LP-2

B

C

B

C

LP-3

A

LP-4

E

D

E

F

D

E

F

LP-5

A

B

LP-6

E

F

LP-7 Losas de Entrepiso:

B

C

D

E

LE-1=LE-2

A

B

C

D

E

F

B

C

D

E

F

LE-3

A

LE-4

A

B

C

LE-5

D

E

F

LE-6

A

B

E

F

LE-7=LE-8 Losa de Azotea y Losa de Techo Escalera:

B

C

LA-1=LA-2

A

B

C

B

C

LA-3

A

LA-4

D

E

F

D

E

F

LA-5

A

B

E

F

LA-6=LA-7

2

3

LTEA

Si sabemos que la losa a lo ancho son una serie de nervios equidistantes unos de otros podemos analizar una franja de un metro, es decir multiplicamos los m2 por un metro de ancho lo cual nos da una losa de un metro de ancho y con los mismos valores de carga. También sabemos que en un metro de ancho tenemos n nervios dependiendo de La separación entre nervios, como en nuestro caso la separación entre nervios es 50 cms, es decir que en un metro de ancho tenemos dos nervios, en este paso podemos hacer una de dos cosas. • Calcular la losa con la carga total y el acero resultante multiplicarlo por la separación 0,50 mts para determinar el acero de cada nervio. • Calcular la losa con la carga multiplicada por la separación y la reacción resultante dividirla por la separación para determinar el valor de la reacción sobre la viga por metro lineal.

A

B

C

D

E

F

L E -3

De manera didáctica se diseñara la losa de entrepiso 3 por el método de cross y de las demás losas se presentara la tabla resumen con las reacciones para luego poder analizar el pórtico por carga vertical. Antes de continuar con el análisis de la losa debemos saber los factores de mayoración y combinaciones de carga que la norma Covenin 1753-06 Proyecto y Construcción de Obras de Concreto Estructural, nos permite utilizar se encuentran en el capitulo nueve de la misma y son los siguientes:

Donde: CP = Carga Permanente. CV = Carga Variable o Accidental. CF = Carga de Fluidos con altura controlada. CT = Acción debida a cambios de Temperatura. CE = Carga debida a Empuje de tierras o granos. CVt= Carga variable en techos y cubiertas. S = Solicitaciones debidas a acciones Sísmicas. W = Solicitaciones debidas al viento.

Como se puede ver existen diferentes combinaciones de carga con diferentes factores que amplifican o reducen las fuerzas según sea el caso. Si el edificio fuera a ser diseñado solamente por carga vertical no habría ningún problema ya que se haría una sola combinación de carga al principio en la losa, se trasmitirían las reacciones a las vigas y al analizar estas solo se agregaría lo correspondiente a la carga permanente de la misma mayorada con el factor de carga permanente. Pero como en nuestro caso es necesario un análisis por cargas horizontales es necesario hacer todas las combinaciones de carga requeridas, para eso tenemos dos opciones: • Analizar la losa con ambas cargas ya mayoradas, efectuar el diseño de la losa, determinar las áreas de acero y luego determinar la componente de la reacción por carga permanente y la componente por carga variable sin mayoracion. • Otra opción es analizar la losa solamente por carga permanente y luego solamente por carga variable ya mayoradas, por el principio de superposición de efectos sumar los esfuerzos resultantes, efectuar el diseño de la losa, determinar las áreas de acero y luego como se tienen las reacciones por separado se desmayoran y ya tenemos la resultante de las reacciones sobre las vigas. La primera opción es posible en todas las losas menos en la LE-3, ya que por tener diferentes valores de carga variable en uno de sus tramos no es posible determinar directamente la componente por carga permanente y la componente de la carga variable directamente de la reacción total. Por lo tanto explicaremos el método de Cross para cargas variables, se presentara la tabla resumen de la losa por carga permanente y se totalizara. Como es sabido lo primero que debemos determinar para analizar la losa por de distribución de momentos o método de Cross son los momentos de empotramiento en cada uno de los apoyos de la losa. Tramo AB: Momento conocido en A = 0 Kg*mts Momento en B = -(Wl2) /8 = (175*(5,50)2)/8 = -661,72 Kg*mts

Tramo BC: Momento en B = (Wl2) /12 = - (175*(3,20)2)/12 = 149,33 Kg*mts Momento en C = -(Wl2) /12 = (175*(3,20)2)/12 = -149,33 Kg*mts Tramo CD: Para el Tramo CD tenemos los siguientes tres casos: Caso 1:

C

D

LE-3 CASO 1 Momento en C = ((175*1,152)/(12*52))*(52+(2*3,85*5)+(3*3,852)) = 83,29 Kg*mts. Momento en D = -((175*1,152)/(12*52))*((1,15*5)+(3*1,15*3,85)) = -14,68 Kg*mts.

C

D

L E -3 C A S O 2 Caso 2:

Momento en C = (300/(12*52))*((4*5*((2,70+1,15)3-1,153))-(3*((2,70+1,15)41,154))) = 457,04 Kg*mts. Momento en D = -(300/(12*52))*((4*5*((1,15+2,70)3-1,153))(3*((1,15+2,70)4-1,154))) = -457,04 Kg*mts. Caso 3:

C

D

LE-3 CASO 3 Por simetría en este caso tenemos que: Momento en C = 14,68 Kg*mts. Momento en D = -83,29 Kg*mts. Para tener los momentos totales sumamos algebraicamente las acciones en cada apoyo: CASO 1 CASO 2 CASO 3 TOTAL

APOYO C 83,29 457,04 14,68 555,01 Kg*mts

APOYO D -14,68 457,04 -83,29 -555,01 Kg*mts

Tramo DE: Momento en D = (Wl2) /12 = - (175*(3,20)2)/12 = 149,33 Kg*mts Momento en E = -(Wl2) /12 = (175*(3,20)2)/12 = -149,33 Kg*mts Tramo EF:

Momento en E = (Wl2) /8 = (175*(5,50)2)/8 = 661,72 Kg*mts Momento conocido en F = 0 Kg*mts En este momento para continuar con el método de Cross necesitamos determinar la Inercia de la sección. Si Tenemos que en un metro de ancho tenemos dos nervios de 10 cms cada uno podemos suponer la sección siguiente para simplificar el cálculo de la Inercia:

SECCION PARA EL CALCULO DE LA INERCIA b=100 cms t=5 cms h−t=25 cms 40 cms

bo=20 cms

40 cms

bo * (h−t) h I= b12* t + bo*12(h−t) + bb ** tt *+bo (h−t) * ( 2 ) * 3

3

2

De donde resulta que la Inercia es Igual a: I = 83.333,33 cm4. Modulo de Elasticidad del Concreto: E = 15000 * F ' c E = 15000 * 250 = 237.170,32 Kg/cm2.

EI = 1,9764 * 1010. Rigidez de los miembros: Miembro AB:

h=30 cms

Momento Conocido en A, por lo tanto tenemos: KAB= 0,75*(I/L) = 0,75*(83.333,33/550) = 113,64 cm3. Miembro BC: KBC= (I/L) = (83.333,33/320) = 260,42 cm3. Miembro CD: KCD= (I/L) = (83.333,33/500) = 166,67 cm3. Miembro DE: KDE= (I/L) = (83.333,33/320) = 260,42 cm3. Miembro EF: Momento Conocido en F, por lo tanto tenemos: KEF= 0,75*(I/L) = 0,75*(83.333,33/550) = 113,64 cm3. Factor de Transporte: Como la losa esta conformada por elementos de sección constante el factor de transporte de todos los miembros es 0,50. Factor de Giro o de Distribución en los Nodos: FG = -Kmiembro/∑Knodo Nodo B: FGBA=-113,64/(113,64+260,42) = -0,3038

∑ = 1 OK.

FGBC=-260,42/(113,64+260,42) = -0,6962 Nodo C: FGCB=-260,42/(260,42+166,67) = -0,6098

∑ = 1 OK.

FGCD=-166,67/(260,42+166,67) = -0,3902 Nodo D: FGDC=-166,67/(260,42+166,67) = -0,3902

∑ = 1 OK.

FGDE=-260,42/(260,42+166,67) = -0,6098 Nodo E: FGED=-260,42/(113,64+260,42) = -0,6962 FGEF=-113,64/(113,64+260,42) = -0,3038

∑ = 1 OK.

Determinados los momentos en los apoyos procedemos a determinar las acciones internas de la estructura: Tramo AB:

A

∑MB

B

= 0=VA*5,5-175*5,52/2+428,64 => VA= 403,32 Kg.

+↑∑Fy= -175*5,50 + 403,32 + VB => VB = 561,93 Kg. Ecuación de Corte = V = -175X + 403,32 Si V= 0 Tenemos que X= 2,30 mts Ecuación de Momento = (-175/2)X2 + 403,32X = 0 Si M= 0 Tenemos X1 = 0 y X2 = 4,61. Punto de Inflexión = 5,50 – 4,61 = 0,89 m. Estos son los puntos donde el momento es cero, el primer punto es al comienzo y el según es el punto de inflexión donde el momento cambia de positivo a negativo. PI = 5,50 – 4,61 = 0,89 mts. Si sabemos que el momento máximo es cuando el corte es cero, y se determino que el corte es cero a 2, 30 mts, si sustituimos este valor de X en la ecuación de momento tenemos que: Mmax = 464,76 Kg*m De esta forma tenemos determinadas las acciones internas en el tramo AB, si continuamos con el tramo BC tenemos lo siguiente:

Tramo BC:

B

∑MC

C

= 0=VB*3,20-175*3,22/2-428,64+391,94 => VC= 291,47 Kg.

+↑∑Fy= -175*3,20 + 291,47 + VC => VC = 268,53 Kg. Ecuación de Corte = V = -175X + 291,47 Si V= 0 Tenemos que X= 1,67 mts Ecuación de Momento = (-175/2)X2 + 291,47X – 428,64 = 0 Con X = 1,67 mts Mmax = -185,91 Kg*m Si M= 0 Tenemos X1 = ∞ y X2 = ∞. Al ver el signo del momento máximo nos damos cuenta que el momento no cambia de signo y lo confirmamos al ver que no tiene raíces reales la ecuación de momento, esto quiere decir que la losa no cambia de el momento de signo no tenemos punto de inflexión y debe ser armada en todo el tramo con acero negativo.

B

C

Curva de Momento Tramo BC: Tramo CD:

C

D

∑MD = 0=VC*5,0-391,94-175*1,15*4,425-300*2,70*2,50175*1,15*0,575+391,94 => VC= 606,25 Kg. +↑∑Fy= 606,25-175*1,15*2 – 300*2,70 + VD => VD = 606,25 Kg. Ecuaciones de Corte: Tramo 1: Ecuación de Corte: V=-175X + 606,25 Si X=1,15 => V= 405 Kg. Ecuación de Momento: M= (-175/2)X2+606,25X-391,94 Si X= 1,15 => M= 189,65 Kg*m Si M= 0 => X1= 0,72 m (Punto de Inflexión). X2= 6,21 m (Sobre pasa el tramo). Tramo 2: V=-300X + 405 Si X=2,70 => V = -405 Kg. Como se puede ver el corte cambia de signo en este tramo por lo tanto aquí ocurre el momento máximo. Si V=0 => X= 1,35 m. Ecuación de Momento: M= (-300/2)X2+405X+189,65

Si X= 2,70 => M= 189,65 Kg*m Si X= 1,35 => M= 463,03 Kg*m Tramo 3: Ecuación de Corte: V=-175X + 405 Si X=1,15 => V= -606,25 Kg. Ecuación de Momento: M= (-175/2)X2-405X+189,65 Si X= 1,15 => M= 391,94Kg*m Si M= 0 => X1= -5,06 m (Valor negativo se descarta). X2= 0,43 m (punto de Inflexión = 1,15 – 0,43 = 0,72). Para los puntos de inflexión se debió tomar la acción conjunta de todas las cargas actuantes, permanentes y variables, pero como en este caso la carga permanente es una carga constante sobre la losa no afectara el resultado de los puntos de inflexión y estos se mantendrán en la ubicación determinada. Diagramas de Corte y Momento del Tramo:

C

D

Por simetría tenemos los valores de las acciones en los tramos DE y EF. Determinadas las acciones en todos los tramos tenemos los siguientes valores de la Losa por carga variable: LE-3:

Del mismo modo determinamos las acciones por carga permanente y obtenemos la siguiente tabla: LE-3:

Ahora mayoramos las acciones y determinamos los momentos mayorados para determinar el acero y los cortes para verificar el corte y calcular el macizado: Cortes Mayorados: Apoyo A: Vu= 1.2*VP + 1.6*VV = 1.2*1208+1.6*403.32= 2094.91 Kg. Momento Positivo tramo AB: Mu= 1.2*MP + 1.6*MV = 1.2*1372 + 1.6*464.76 = 2390.02 Kg*m

Del mismo modo obtenemos los valores en los otros puntos y tenemos la siguiente tabla:

Calculo del Acero: Como recordaran los valores fueron obtenidos para una losa de un metro de ancho, el valor del intereje de la losa es de 0,50 mts, por lo tanto debemos multiplicar los valores de momento por esta distancia para obtener la acción de momento en cada nervio. Calculo del Acero Positivo: Tramo AB: Momento positivo máximo por metro = 2.390,02 Kg*mts SECCION DE UN NERVIO b=50 cms t=5 cms SECCION DEL NERVIO A DISEÑAR COMO VIGA RECTANGULAR 20 cms

h−t=25 cms bo=10 cms

20 cms

Mmax/nervio = 2.390,02 * 0,50 = 1.195,01 Kg*mts Datos: b = 0,10 mts = 10,0 cms. d = 0,275 mts = 27,5 cms. Fy = 4.200,00 Kg/cm2 f’c = 250,00 Kg/cm2

h=30 cms

Porcentajes de aceros máximos y mínimos de la sección: ρtransicion= β1*(0,85* f’c/Fy)*(6.300,00/(6.300,00+Fy)) ρtransicion en la norma nueva es lo que anteriormente se conocía como ρbalanceado. β1=0,85 (Para f’ ρmin= 14/4200 = 0,0033 Cuantía mecánica: ω = ρ*(Fy/f’c) Se debe verificar que la sección trabaje simplemente armada para lo cual la cuantía mecánica ω debe ser 0,18. ω = 0,18 ju= 1 – (0,59*ω) = 1 – (0,59*0,18) => ju= 0,894 µ = 0,9*ω* ju= 0,1448 d’= √ (Mu/(µ*f’c*b)) = √ (119.501,00 Kg*cms/(0,1448*250Kg/cm2*10cms)) = 18,17 cms. Para que la sección trabaje simplemente armada se debe cumplir que: d’ Ie = 38.288,28 cm4 < Igruesa = 83.333,33 cm4 OK: EI = 237.170,32 Kg/ cm2 * 38.288,28 cm4 = 9.080,84 x 106 Kg*cm2 La flecha para un elemento simplemente apoyado es: ∆ = (5wl4) / 384EI => ∆ = (5*11,30*5504) / 384*9.080,84 x106 = 1,48 cms La Flecha máxima instantánea permitida es: ∆max = l/360 = 550 / 360 = 1,53 cms OK.

En este punto debemos verificar la Flecha máxima diferida en el tiempo.

Si queremos calcular la flecha diferida a 5 o mas años debemos hacer lo siguiente: Como es una losa sometida a momento positivo en el tramo no se considera acero por lo tanto: λ = 2/(1+(50*0)) => λ = 2 ∆maxdif = 2 * 1,48 cms = 2,96 cms mayor que 1,53 cms Como se puede ver la flecha diferida no cumple con la máxima entonces debemos colocar acero negativo para poder disminuir la flecha a un valor permitido por la norma.

Si tenemos que: λ*∆ λ λ = 1,53/1,48 = 1,03 λ = ξ / ( 1+50ρ’) = 2/(1+50ρ’) => 1+50ρ’ = 2/1,03 => ρ’ = 0,0188 ρ’ = As’/bo*d => As’ = ρ’*bo*d => As’ = 0,0188*5*27,5 = 10,34 cm2. Cada nervio debe tener 5, 17 cm2 de acero para que la flecha diferida este dentro de los valores permitidos por la norma. De esta forma terminamos con el análisis y diseño de losas. En los capítulos siguientes se estudiara el análisis de escaleras, tanques y pórticos pero no se hará tanto énfasis en el diseño ya que el procedimiento de diseño de acero y verificación de flechas es similar al de las losas.

4.2 Escaleras de Concreto Armado. Al igual que con las losas lo primero que debemos hacer es determinar las acciones que actúan sobre la escalera, pero para ello debemos conocer bien la geometría de la misma ya que las acciones varían según la pendiente de la escalera. La pendiente ideal de la escalera es de 30o lo que es aproximadamente una huella de 29 cms. y una contrahuella de 17 cms.

h c

tr ί ί

Si tenemos que salvar una altura de 2,80 mts / 0,17 mts = 16,47 escalones, pueden ser 16 o 17 escalones, si tomamos 17 escalones, este será de 16,47 cms y si tomamos 16 escalones, este será de 17,5 cms, tomaremos este ultimo valor por ser un numero mas exacto. En cuanto a la huella tenemos que si la pendiente ideal es de 30o Tag ί = Tag (30º) =17,5/X entonces X = 17,5/ Tag (30º) = 30,31 cms Tomamos los siguientes valores: h = huella = 30 cms c = contrahuella = 17,5 cms Pendiente = atan (ί) = 17,5/30 = 30,2564o OK. Los valores de huella y contrahuella generalmente son suministrados por el Arquitecto.

tr = espesor de la losa tomaremos 20 cms γc = peso especifico del concreto = 2.500,00 Kg/m3 Ppt= Peso propio de la losa = Ppt= tr* (γc /cos (ί)) Ppp= Peso propio del peldaño = Ppp= c*h* (γc /2)*(1/h) = (c*γc)/2 Pp = Ppt + Ppp = ((tr/cos (ί)) + (c/2))* γc Ppacabado = Peso propio del acabado = (Peso acabado) * ((c+h)/h) Peso acabado = 100 Kg/m2 para granito Pfriso = Peso del friso de la rampa = (Peso del Friso)/( cos (ί)) Peso del Friso = 30 Kg/m2 Tenemos entonces que: Pp = ((0,20/cos (30,2564o)) + (0,175/2))* 2.500,00 = 797,60 Kg/ m2 Ppacabado = 100 * ((0,175+0,30)/0,30) = 158,33 Kg/m2 Pfriso = 30*/( cos (30,2564o)) = 34,73 Kg/m2 Cp = Carga permanente = 797,60 + 158,33 + 34,73 = 990,66 Kg/m2 Cv = Carga variable = 300 Kg/m2 (Ver Tabla de cargas variables) Cu = 1,2*990,66 +1,6*300 = 1.668,79 Kg/m2 Descanso: Cpdescanso = (0,20*2500)+100*30 = 630 Kg/m2 Cv = Carga variable = 300 Kg/m2 (Ver Tabla de cargas variables) Cu = 1,2*630+1,6*300 = 1236,00 Kg/m2

Con estos valores y por el método de distribución de momentos o Cross resolvemos la estructura y procedemos a diseñar la losa maciza de la siguiente forma. Los valores de las acciones se determinaron por el programa IP-3 arrojando los siguientes resultados: Rampa y descanso inicial:

Calculo del Acero:

Acero mínimo = ρ*b*d = 0,0018*100*17,5 = 3,15 cm2/mts. As= Mu/(Φ*ju*d*Fy) Sabemos que ju siempre tiene un valor cercano a 0,9 y el valor de Φ es 0,9 podemos escribir la ecuación de acero de la siguiente forma: As= Mu/(0,92*d*Fy) => As= Mu/(0,81*d*Fy) Acero positivo: As(+)= Mu/(0,81*d*Fy) = 78.200,00/(0,81*17,5*4.200,00) = 1,32 cm2/mts Acero Negativo: As(-)= Mu/(0,81*d*Fy) = 70.200,00/(0,81*17,5*4.200,00) = 1,18 cm2/mts Como se puede ver los valores de acero determinados son menores que el acero mínimo, por lo tanto la escalera se arma con esta cantidad de acero. Por simetría obtenemos los valores de la otra rampa. La escalera tiene un tramo de descanso que no esta conectada a la rampa y debemos verificar el acero de este tramo. Como el procedimiento de cálculo y diseño es similar colocamos los valores obtenidos por el programa IP-3 Losas.

Al igual que con la rampa el valor del acero determinado es menor que el acero mínimo, por lo tanto se arma con esta cantidad de acero. De los datos obtenidos del programa IP-3 tenemos los siguientes valores máximos de corte: Para la escalera Vactuante máximo = 1.474,00 Kg Para el descanso Vactuante máximo = 865,00 Kg Vc = 0,53*(√ 250)*100cms*17,5cms = 14.665,06 Kg. Vd = Φ* Vc = 0,85 * 14.665,06 Kg = 12.465,30 Kg. 0,5*Φ* Vc = 0,5 * 12.465,30 = 6.232,65 Kg

Como se ve el corte de diseño para el concreto es mayor que los cortes actuantes, por lo tanto:

Podemos ver que no es necesaria la colocación de acero perpendicular al eje de la escalera para adsorber los esfuerzos de corte.

4.3 Tanque Subterráneo de Concreto Armado. Otro elemento a ser diseño en los edificios son los tanques tanto el elevado como el subterráneo. Para este curso se determinaran las acciones actuantes sobre el tanque subterráneo por ser el mas complejo, las acciones sobre el tanque elevado se determinan de forma similar considerando la presión del viento en vez del empuje de tierra. Para el diseño del tanque de almacenamiento de agua debemos tener las dimensiones, estas dimensiones deben ser aportadas por el ingeniero sanitario que fue responsable del diseño de las instalaciones sanitarias del edificio, también se deben tener las características de la tierra donde estará enterrado, este dato es dado por el ingeniero geotécnico responsable del estudio de suelo. Los profesionales aportaron los siguientes datos: Dimensiones del tanque: ( Inclusive espesor de pared). Lados = 5 x 5 mts Alto = 3 mts γterreno= 1.900,00 Kg/m3 (Peso especifico) Φ = 30º (Angulo de Fricción Interna) Sobre carga para áreas publicas = 300 Kg/m2 Se diseñara el tanque con los siguientes espesores en sus elementos: Paredes y tapa = 20 cms Fondo = 25 cms

Para el análisis y diseño del tanque tomamos una franja horizontal y otra vertical y lo idealizamos.

Si tomamos una de las franjas tenemos el siguiente corte:

Para el análisis del tanque tomamos la siguiente aproximación aprovechado la simetría del mismo:

El tanque estará sometido al efecto tanto de acciones externas como de acciones internas, es mas sencillo analizar por separado las acciones externas y las internas y luego superponerlas para ver cual es la condición mas desfavorable, si el tanque lleno o el tanque vació. Acciones Externas:

Calculo de las acciones: Peso de Tapa = 5*5*0,20*2500 = 12.500,00 Kg Wu tapa = (1,2*(12.500,00/(5*5))) + (1,5*500) = 1.400,00 Kg/m2 Peso Paredes = 5*3*0,20*2500 = 7.500,00 Kg Peso Fondo = 5*5*0,25*2500 = 15.625,00 Kg Rfondo = (1,2*((4*7.500,00) + 12.500,00 + 15.625,00)/(5*5)) + 1,6*500 = 3.590,00 Kg/m2 Ka = tg2 (45º - (Φ/2)) = tg2 (45º - (20º/2)) = 0,3333 P1 = 1,6*Wv*Ka = 1,6*500*0,3333 = 266,67 Kg/m2

P2 = 1,6*(γterreno*H + Wv)*Ka = 1,6*(1.900,00*3 + 500)*0,3333 = 3.306,34 Kg/m2 Como se puede ver el factor de mayoracion para la tierra es el mismo que para la carga variable 1,6 Aplicando el método de Cross obtenemos los momentos en los nodos y con el despiece de los elementos obtenemos los siguientes valores de momentos y cortes:

Ahora analizamos el efecto del agua cuando el tanque esta lleno, con el tanque lleno de agua tenemos las siguientes acciones:

P1 = 0,00 (El tanque no se llena completo de agua y generalmente se deja una cámara de aire de 50 cms). P2 = 1,2*γagua*H = 1,2*1.000,00*2,50 = 3.000,00 Kg/m2 Wagua = 1,2*γagua*H = 1,2*1.000,00*2,50 = 3.000,00 Kg/m2 Se puede ver que para el agua usamos como factor de mayoracion 1,2 que es el mismo que para la carga permanente, esto es ya que al igual que en el caso de la losa cuando se estima el valor del acabado es un elemento del que se conoce su peso específico a ciencia cierta. Aplicando el método de Cross obtenemos los momentos en los nodos y con el despiece de los elementos obtenemos los siguientes valores de momentos y cortes:

Ya obtenidos los momentos y los cortes tanto por el efecto de las acciones externas del tanque (Peso propio, Empuje de Tierra y Carga Variable) y la acción interna del agua superponemos ambas acciones y vemos de las tres cual es la mas desfavorable y con esa diseñamos el acero por flexión y por corte de las paredes, de la tapa y del piso del tanque.

En el siguiente grafico resumimos los valores de los momentos y los cortes máximos que el tanque debe soportar, y con estos valores diseñamos el acero.

4.4 Predimensionado de Columnas y Vigas: Como es sabido los pórticos de los edificios son estructuras Hiperestaticas y para poder analizar este tipo de estructuras es necesario conocer las dimensiones de sus elementos, por lo tanto debemos estimar sus dimensiones. Un buen predimensionamiento de columnas y vigas es fundamental, ya que de esta valor parte todo el cálculo de la edificación y si este valor no es el apropiado se debe repetir todo el cálculo de nuevo una y otra vez hasta que el edificio cumpla con todas las condiciones de seguridad. 4.4.1 Predimensionado de Columnas: Para este curso predimensionaremos la columnas B2 y tomaremos estas dimensiones para todas las columnas, pero como se menciono en el predimensionamiento de vigas en un proyecto hay que predimensionarlas todas ya que las cargas que soportan no son iguales en todas las columnas. Lo primero que debemos saber es lo que nos dice la norma sobre los requisitos mínimos geométricos de las columnas:

Como se puede ver la dimensión mínima de una columna debe ser 30 cms y su relación entre la dimensión menor y la mayor en el caso de columnas rectangulares no debe ser menor a 0,4 Para el presente curso tomaremos columnas cuadras y partiremos de la menor que es de 0,30 por 0,30 lo que nos da una relación de la menor y lado mayor de 1.

Si sabemos que la columna B2 tiene un área tributaria igual 20,10 m2 y que esta área queda completamente dentro de un apartamento tenemos la siguiente tabla de cargas de la columna B2: NIVEL Azotea 7 6 5 4 3 2 1 PB

AREA TRIBUTARIA 20.10 20.10 20.10 20.10 20.10 20.10 20.10 20.10 20.10

WP Kg 385.00 530.00 530.00 530.00 530.00 530.00 530.00 530.00 630.00

WP SERVICIO 7,738.50 10,653.00 10,653.00 10,653.00 10,653.00 10,653.00 10,653.00 10,653.00 12,663.00

WP ULTIMA 9,286.20 12,783.60 12,783.60 12,783.60 12,783.60 12,783.60 12,783.60 12,783.60 15,195.60

WV Kg 100.00 175.00 175.00 175.00 175.00 175.00 175.00 175.00 175.00

WV SERVICIO 2,010.00 3,517.50 3,517.50 3,517.50 3,517.50 3,517.50 3,517.50 3,517.50 3,517.50

WV ULTIMA 3,216.00 5,628.00 5,628.00 5,628.00 5,628.00 5,628.00 5,628.00 5,628.00 5,628.00

TOTAL Kg 12,502.20 18,411.60 18,411.60 18,411.60 18,411.60 18,411.60 18,411.60 18,411.60 20,823.60

Como se puede ver las cargas axiales sobre la columna van aumentando a medida que vamos bajando en el edificio, por lo tanto las columnas superiores serán de menor dimensión que las superiores. Desde el punto de vista constructivo es impractico cambiar las dimensiones de las columnas nivel por nivel, por lo tanto se estila cambiar las dimensiones de las mismas aproximadamente cada tres pisos. Entonces tendremos los siguientes grupos de columnas: Azotea, 7 y 6 Carga de calculo = 49.325,40 Kg 5, 4 y 3 Carga de calculo = 104.560,20 Kg 2, 1 y PB. Carga de calculo = 162.207,00 Kg Predimensionado: Área columna = Pu/(α*f’c) Donde: Pu = Carga Axial sobre la columna. α = 0,20 para columnas esquineras. α = 0,25 para columnas de borde. α = 0,28 para columnas centrales. f’c = Resistencia del concreto. Entonces tenemos las siguientes áreas de columnas:

ACUMULADO Kg 12,502.20 30,913.80 49,325.40 67,737.00 86,148.60 104,560.20 122,971.80 141,383.40 162,207.00

COLUMNA

f'c

Pu α

NIVEL AZOTEA,7,6 5,4,3 2,1,PB

KG 49,325.40 104,650.20 162,207.00

0.28 0.28 0.28

AREA COLUMNA Kg/cm2 cm2 250.00 704.65 250.00 1,495.00 250.00 2,317.24

Como la columna será cuadrada tenemos que: Área de columna = b*t , pero b = t entonces: Área de columna = b*b = b2 entonces b = √Area de Columna Entonces tenemos que: COLUMNA NIVEL AZOTEA,7,6 5,4,3 2,1,PB

AREA REQUERIDA cm2 704.65 1,495.00 2,317.24

b cms 26.55 38.67 48.14

b

AREA COLUMNA cms cm2 30.00 900.00 40.00 1,600.00 50.00 2,500.00

Ahora sabemos que la norma nos dice que: El porcentaje de acero ρ debe estar entre 1% y 8% (6% en zonas sísmicas) y sabemos que: ρ= As/Ag Tomando un valor de ρ = 1,5% (Considerando que todavía falta el análisis sísmico) Tenemos que: COLUMNA NIVEL AZOTEA,7,6 5,4,3 2,1,PB

AREA COLUMNA cm2 900.00 1,600.00 2,500.00

As

BARRAS

DE

As

ρ 0.015 0.015 0.015

cm2 ACERO 8 Φ 5/8" 13.50 24.00 4 Φ 3/4" + 4 Φ 7/8" 8 Φ 1" 37.50

cm2 15.84 26.84 40.56

La norma 1753-2006 nos dice que:

La separación será: S= (b-(2*r+2*dl+#b1*db1+#b2*db2+#bi*dbi))/#espacios Columnas Azotea, 7 y 6: S = (30-(2*2,5+2*0,953+3*1,588))/2 = 9,17 cms Smin = 1,5*db = 1,5*1,588 = 2,37 cms => 4 cms < 9,17 cms OK. Columna 5, 4 y 3: S = (40-(2*2,5+2*0,953+2*2,222+1*1,905))/2 = 13,37 cms Smin = 1,5*db = 1,5*2,222 = 3,33 cms => 4 cms < 13,37 cms OK.

Columna 2, 1 y PB: S = (50-(2*2,5+2*0,953+3*2,54))/2 = 17,74 cms Smin = 1,5*db = 1,5*2,54 = 3,81 cms => 4 cms < 17,74 cms OK. La norma 1753-2006 nos dice:

Donde A es el área gruesa de la columna, Ast es el área de acero de refuerzo de la columna y Φ es el factor de reduccion que es 0,65. Como la columna es cuadrada usaremos la formula para miembros con ligaduras. Entonces tenemos que: Columnas Azotea, 7 y 6: ΦNumax=0,80*0,65*((0,85*250*(900-15,84))+(4200*15,84))= 132.294,24 Kg Pu = 49.325,40 Kg. Pu< ΦNumax OK. Columnas 5, 4 y 3: ΦNumax=0,80*0,65*((0,85*250*(1600-26,84))+(4200*26,84))= 232.452,74 Kg Pu = 104.650,20 Kg. Pu< ΦNumax OK.

Columnas 2, 1 y PB: ΦNumax=0,80*0,65*((0,85*250*(2500-40,56))+(4200*40,56))= 360.351,16 Kg Pu = 162.207,00 Kg. Pu< ΦNumax OK. Estos son los valores de las cargas máximas que soportan las columnas sin considerara esbeltez. El siguiente paso es verificar que la transición de una columna de mayor tamaño a una de menor tamaño cumple con la pendiente mínima para el doblado de las barras de acero: La norma 1753-2006 nos dice que:

De donde tenemos que: hv >= 3*(tci-2*dbs-tcs)+10 hv(2-3) >= 3*(50+2*2,22-40)+10 >= 53,32 cms hv(5-6) >= 3*(40+2*1,58-30)+10 >= 49,48 cms 4.4.2 Predimensionado de Vigas: Ya conocidas las reacciones de la losa sobre la viga, tenemos un valor de partida para el predimensionamiento de la vigas, para este curso analizaremos el pórtico de carga B, predimensionaremos el nivel planta baja y tomaremos este valor para todas las vigas de carga de ese nivel y de los demás. En un proyecto se deben predimensionar las vigas en todos los niveles donde las acciones sean diferentes, esto es ya que en un proyecto no solo es necesario un buen análisis estructural en cuanto a la seguridad sino que también es necesario optimizar las dimensiones de los elementos para que sean seguros y económicos. Al igual que con las columnas lo primero que debemos saber que nos dice la norma 17532006 sobre los requisitos geometricos de las vigas:

Como se puede ver el ancho mínimo de las vigas es de 25 cms y no puede ser mas ancha que la columna y la relación ancho/altura debe ser mayor o igual a 0,3. De los análisis de las losas tenemos:

N IV L E P B : V IG A B (3 -1 )

3

2

1

Sin recordamos la tabla 9.6.1 de la norma tenemos que la altura mínima de las vigas para no verificar flecha es: Volado = H = L/8 => H = 170/8 = 21,25 cms Ambos extremos continuos = H = L/21 => H = 570/21 = 27,14 cms

Para 3,50 mts no se estudia ya que es la misma condición que para 5,70 mts y dará una altura menor. Como se ve la altura mínima de la viga debe ser de 27,14 cms, pero si tenemos que el ancho mínimo es de 25 cms y la relación anchura/altura en su sección transversal debe ser mayor o igual a 0,3, entonces: 25/27,14 = 0,92 OK. Ahora debemos verificar que la altura útil d cumpla con la determinada. Si H= 27,14 cms entonces d= 24,64 cms. Si aplicamos un Cross determinamos que los valores máximos de momentos ocurren en el tramo 2-1 Momento Máximo Negativo = 12.977,00 Kg*mts (Apoyo 2) Momento Máximo Positivo = 13.655,00 Kg*mts Con este valor de Momento Positivo Máximo tenemos que: Si w=0,18 (Para que la viga sea simplemente armada) Ju = 1-0,59*w => Ju = 0,894 µ= 0,9*w*Ju => µ= 0,1448 d’= √(Mu)/(µ*f’c*b) = √(1.365.500,00 Kg*cms)/(0,1448*250*25) => d’= 38,84 cms d’>= d => 38,84 >= 24,64 NO CUMPLE Por lo tanto para un ancho de viga de 25 cms y un momento actuante de 13.655,00Kg*mts el valor de “d “debería ser por lo menos de 38,84 cms por lo tanto el valor de H debería ser de 41,34 cms para un recubrimiento de 2,5 cms. Ahora sabemos que para poder mantener la transición de las columnas con una pendiente igual a 1:6 las vigas del piso 2 deben ser mayores o iguales a 53,32 cms y las del piso 5 mayores o iguales a 49,48 cms. Como estos valores son los que están dominando tenemos entonces que las vigas serán de: Ancho = 25 cms Alto = 55 cms Relación Ancho/Alto = 25/55 = 0,45 >0,3 OK. Tomaremos este valor para todas las vigas de los pórticos de carga de todos los niveles.

Para los pórticos de amarre tomaremos el valor mínimo que luego de analizarla de la misma forma nos da: Ancho = 25 cms Alto = 30 cms. Ya prediemnsionado las columnas y las vigas procedemos al análisis y diseño de los elementos en conjunto. 4.5.- Cargas Horizontales 4.5.1.- Cargas Horizontales de Viento: En las edificaciones de concreto generalmente el viento no tiene un efecto considerable, pero es necesario determinar la magnitud de este efecto por lo tanto se debe calcular el valor de las fuerzas que por viento resistirá la estructura. Sabemos que el edificio es uniforme y será construido en la Ciudad de Maracaibo, por ende estará rodeado de otros edificios. Según la norma COVENIN 2003-1989 EFECTOS DEL VIENTO SOBRE LAS CONSTRUCCIONES tenemos que: Clasificación Según Uso = Grupo B ( Item 4.1 de la Norma) Factor de Importancia Eolica α = 1 (Tabla 4.1.2 de la Norma) Velocidad del Viento Maracaibo = 96 Km/H (Tabla 5.1 de la Norma) Tipo de Exposición de Sistemas Resistentes al Viento = A (Item 5.2 de la Norma) Altura Total del Edificio = 28 mts Tipo de Exposición de Componentes y Cerramientos = B (Tabla 5.3.2 de la Norma) Longitud Lado mayor de la edificación = 22,80 mts Longitud Lado menor de la edificación = 12,60 mts Relación de Esbeltez = h/L = 28,00/12,60 = 2,22

Para el cálculo analizaremos el viento soplando en dirección x por lo tanto tenemos que: Longitud del Lado en dirección del viento = 22,80 mts En un proyecto debemos analizar primero el viento soplando en una dirección y luego en la otra para ver cual es más desfavorable para la edificación.

Lo primero que debemos hacer es determinar el periodo fundamental de la edificación: En el apéndice B de la Norma Covenin 2003-1989 tenemos que el periodo fundamental de la edificacacion es:

Como podrán ver no hay forma de determinar en este momento el periodo fundamental de la edificación por la formula anterior, ya que todavía no se tienen los desplazamientos laterales de la estructura. La misma norma 2003-1989 en el apéndice C tenemos un ejemplo del cálculo de acciones del viento den una edificación de más de 20 mts y determinan el periodo fundamental de la edificación por la formula propuesta en la norma Covenin 1756-01 Edificaciones

Sismorresistentes, la cual en su artículo:

Entonces tenemos que: Ta= 0,07*(28)0,75= 0,85 seg. Con este valor de periodo fundamental tenemos según la norma 2003-1989 que: Clasificación según las características de respuesta Tipo I (Item 4.2 de la norma).

Ahora determinamos las acciones por efecto del viento, en la norma tenemos que:

De la tabla 6.2.3 tenemos que: β=3 Zg = 460 Para fachadas a sotavento tenemos: Kh = 2,58*(28/460)2/3 = 0,3992 La presión dinámica será: qh= 0,00485*Kh*α*V2= 0,00485*0,3992*1*962= 17,84 Kg/m2 Para las fachadas a Barlovento la presión dinámica varia con la altura, entonces tenemos los siguientes valores: Z (mts) 0-4.50 5.60 8.40 11.20 14.00 16.80 19.60 22.40 25.20 28.00

Kz 0.11801109 0.13653369 0.17890975 0.21673373 0.25149721 0.28400153 0.31473995 0.34404335 0.37214728 0.39922694

qz (Kg/m2) 5.27 6.10 8.00 9.69 11.24 12.69 14.07 15.38 16.63 17.84

De la norma tenemos que:

δh= (2,35*√0,025)/(28/9)1/3= 0,2545 Gh= 0,65 + (3,65*0,2545) = 1,58 Para el cálculo de la presión tenemos determinados los valores de la presión dinámica q y el valor del factor de respuesta ante ráfagas Gh. Pero todavía nos falta determinar el valor del coeficiente de empuje Cp.

Relación L/b = 22,80/12,60 = 1,81 Entonces tenemos que Cp es: Para Barlovento Cp = 0,80 Para Sotavento Cp = -0,3 Ya tenemos todos los valores para determinar la presión dinámica. La presión dinámica a sotavento resulta: Ph = 17,84*1,58*(-0,3) = -8,46 Kg/m2 La presión a Barlovento Varia con la altura ya que Kz varía con ella y por ende la presión dinámica varía. Z (mts) 0-4.50 5.60 8.40 11.20 14.00 16.80 19.60 22.40 25.20 28.00

Kz 0.11801109 0.13653369 0.17890975 0.21673373 0.25149721 0.28400153 0.31473995 0.34404335 0.37214728 0.39922694

qz (Kg/m2) 5.27 6.10 8.00 9.69 11.24 12.69 14.07 15.38 16.63 17.84

Gh

Cp

1.58 1.58 1.58 1.58 1.58 1.58 1.58 1.58 1.58 1.58

0.80 0.80 0.80 0.80 0.80 0.80 0.80 0.80 0.80 0.80

La presión total sobre cada nivel de la estructura será: Z (mts) 4.50 5.60 8.40 11.20 14.00 16.80 19.60 22.40 25.20 28.00

Pz (Kg/m2) 6.67 7.71 10.11 12.24 14.21 16.05 17.78 19.44 21.03 22.56

Ph (Kg/m2) -8.46 -8.46 -8.46 -8.46 -8.46 -8.46 -8.46 -8.46 -8.46 -8.46

P >= 30 (Kg/m2) 15.13 16.17 18.57 20.70 22.67 24.51 26.24 27.90 29.49 31.02

P Definitiva (Kg/m2) 30.00 30.00 30.00 30.00 30.00 30.00 30.00 30.00 30.00 31.02

Pz (Kg/m2) 6.67 7.71 10.11 12.24 14.21 16.05 17.78 19.44 21.03 22.56

Ahora la fuerza sobre el edificio será la siguiente: ∆z (m)

b (m)

1.40 3.10 2.50 2.80 2.80 2.80 2.80 2.80 2.80 2.80 1.40

12.60 12.60 12.60 12.60 12.60 12.60 12.60 12.60 12.60 12.60 12.60

Az (m2) 17.64 39.06 31.50 35.28 35.28 35.28 35.28 35.28 35.28 35.28 17.64 W = (Kg))

P Definitiva (Kg/m2) 30.00 30.00 30.00 30.00 30.00 30.00 30.00 30.00 30.00 30.00 31.02

F (Kg) 529.20 1,171.80 945.00 1,058.40 1,058.40 1,058.40 1,058.40 1,058.40 1,058.40 1,058.40 547.11 10,601.91

Ya calcula la fuerza actuante sobre la estructura por efecto del viento, debemos verificar que una ráfaga de viento de velocidad como la establecida en la norma no produzca un volcamiento del edificio. W*= W/h = 10.691,21 Kg/28 mts = 381,82 Kg/mts (Resultante promedio de la acción del viento sobre la cara en la que esta actuando). Momento de Volcamiento = Mv: Mv = (W**h2)/2 = (381,82 Kg/mts*(28 mts)2)/2 = 149.673,44 Kg*mts Momento equilibrante = Me: El momento equilibrante es aquel que contrarresta el efecto de volcamiento del viento sobre el edificio por parte de la estructura del mismo. Para determinar el momento de volcamiento tomamos en cuenta solamente la carga permanente, ya que esta será la carga que actúa siempre sobre la estructura, la carga variable nos da un factor se seguridad mas alto sobre el posible volcamiento producido por el viento.

Peso propio del edificio por piso:

NIVEL Techo Esca. Azotea 7 6 5 4 3 2 1 PB

Wp losa 335,00 385,00 530,00 530,00 530,00 530,00 530,00 530,00 530,00 630,00

área 27,00 231,51 231,51 231,51 231,51 231,51 231,51 231,51 231,51 231,51

Wp losa 9.045,00 89.131,35 122.700,30 122.700,30 122.700,30 122.700,30 122.700,30 122.700,30 122.700,30 145.851,30

Wp columnas 2.520,00 11.340,00 11.340,00 11.340,00 20.160,00 20.160,00 20.160,00 31.500,00 31.500,00 31.500,00

Wp vigas 3.893,00 32.925,00 32.925,00 32.925,00 32.925,00 32.925,00 32.925,00 32.925,00 32.925,00 32.925,00 Wp total (Kg)

Wp escalera 0,00 6.775,00 6.775,00 6.775,00 6.775,00 6.775,00 6.775,00 6.775,00 6.775,00 6.775,00

Wp total 15.458,00 140.171,35 173.740,30 173.740,30 182.560,30 182.560,30 182.560,30 193.900,30 193.900,30 217.051,30 1.655.642,75

Me = (Wp total * b)/2 = Me = (1.655.642,75*22,8)/2 = 18.874.327,35 Kg*mts Factor de Seguridad al Volcamiento = Fsv = Me/Mv Fsv = 18.874.327,35 Kg*mts/149.673,44 Kg*mts = 126,10 >= 1 OK. Generalmente en los edificios de concreto no hace falta verificar los efectos de viento ya que estas estructuras son muy pesadas y su propia masa contrarresta el efecto del viento. Cuando se efectúa un análisis por viento las columnas exteriores por efecto del volcamiento son sometidas a una fuerza axial adicional y esta será igual a: N=Mv/L N= 149.673,44 Kg*mts/22,80 mts = 6.564,62 Kg Esta fuerza habría que agregarcelas a las columnas exteriores al momento de diseñarlas. En sitios con acciones de viento similares a los tornados o si la edificación es muy alta es conveniente comprobar siempre el efecto que produce el viento sobre la estructura indistintamente que sea de concreto o de acero.

Ya determinadas las acciones del viento sobre los elementos resistentes, procedemos a determinar el efecto del viento sobre los componentes y los cerramientos. Este valor es importante en los casos de edificios con techos que no son de concreto en alguno de sus niveles y para saber a que fuerzas estarán sometidas las ventanas y pantallas y poder saber la resistencia que deberán tener las mismas.

La impermeabilidad de las diferentes caras del edificio es: Caras a Barlovento y Sotavento a la dirección del Viento: Si las ventanas son de 1 mts por 1 mts tenemos que: Permeabilidad = (2ventanas*8pisos*1mts*1mts)/((12,60*25,20)+(3,90*2,80)) = 0,0487 De la misma forma sacamos la permeabilidad de la fachada principal y de la posterior, obteniendo los siguientes valores: Fachada Principal: Permeabilidad = 0,20

Fachada Posterior: Permeabilidad = 0,0424 Como se puede ver la suma de las fachadas a Barlovento, Sotavento y posterior es de 0,1398, siendo la diferencia con la fachada principal de 0,0602 que es una diferencia mayor al 10% de la suma de las permeabilidades y teniendo en cuenta que ninguna sobrepasa individualmente el valor de 0,20 tenemos entonces que: Gcpi = 0,75 y -0,25

Como se puede ver el valor de GCpe es por Zonas por lo tanto debemos determinar en nuestro edificio dichas zonas. El valor de a será 0,05*b1 ya que b1 es menor que h entonces: a = 0,05 * 12,60 = 0,63 mts.

Como el techo tiene una pared que funciona como parapeto tenemos en el techo solamente zonas 4 y 5. Con los valores geométricos y en cada nivel determinamos las áreas de las diferentes zonas y obtenemos la siguiente tabla de los valores de GCpe: Superficie

Nivel

Facha Barlovento

Todos los Niveles

Facha Sotavento

Todos los Niveles

Techo

Ultimo

zona

área Tributaria

Gcpe

1 2 3 1 2 3 4 5

28,22 1,76 1,76 28,22 1,76 1,76 204,42 42,96

0,84 1,06 1,06 -0,89 -1,8 -2,5 -1 -2

Si recordamos de los datos iniciales del cálculo de las fuerzas de viento tenemos que el tipo de exposición de los componentes y cerramientos es: Tipo B De la tabla 6.2.3 tenemos que: β = 4,5 Zg = 370 De la misma forma que con los sistemas resistentes determinamos los valores de qz y qh:

Nivel

z

Kz

qz

Kh

qh

PB 1 2 3 4 5 6 7 Azotea Escalera

2,8 5,6 8,4 11,2 14 16,8 19,6 22,4 25,2 28

0,36 0,40 0,48 0,55 0,60 0,65 0,70 0,74 0,78 0,82

16,25 17,91 21,44 24,37 26,91 29,18 31,25 33,16 34,94 36,62

0,82 0,82 0,82 0,82 0,82 0,82 0,82 0,82 0,82 0,82

36,62 36,62 36,62 36,62 36,62 36,62 36,62 36,62 36,62 36,62

Teniendo los valores de qz, qh, Gcpe y Gcpi tenemos los siguientes valores de presión sobre los componentes y cerramientos:

Nivel PB 1 2 3 4 5 6 7 Azotea Escalera

Gcpi Gcpe Zona1 -0,25 0,84 17,71 -0,25 0,84 19,52 -0,25 0,84 23,37 -0,25 0,84 26,56 -0,25 0,84 29,33 -0,25 0,84 31,80 -0,25 0,84 34,06 -0,25 0,84 36,14 -0,25 0,84 38,08 -0,25 0,84 39,91

BARLOVENTO Final Gcpe Zona2 30,00 1,06 21,28 30,00 1,06 23,46 30,00 1,06 28,09 30,00 1,06 31,92 30,00 1,06 35,25 31,80 1,06 38,22 34,06 1,06 40,93 36,14 1,06 43,44 38,08 1,06 45,77 39,91 1,06 47,97

Final Gcpe Zona3 Final 30,00 1,06 21,28 30,00 30,00 1,06 23,46 30,00 30,00 1,06 28,09 30,00 31,92 1,06 31,92 31,92 35,25 1,06 35,25 35,25 38,22 1,06 38,22 38,22 40,93 1,06 40,93 40,93 43,44 1,06 43,44 43,44 45,77 1,06 45,77 45,77 47,97 1,06 47,97 47,97

Nivel

Gcpi PB 0,75 1 0,75 2 0,75 3 0,75 4 0,75 5 0,75 6 0,75 7 0,75 Azotea 0,75 Escalera 0,75

Gcpe -0,89 -0,89 -0,89 -0,89 -0,89 -0,89 -0,89 -0,89 -0,89 -0,89

Zona1 -44,77 -46,02 -48,67 -50,86 -52,77 -54,47 -56,02 -57,46 -58,79 -60,05

Final -44,77 -46,02 -48,67 -50,86 -52,77 -54,47 -56,02 -57,46 -58,79 -60,05

SOTAVENTO Gcpe Zona2 Final -1,80 -78,09 -78,09 -1,80 -79,34 -79,34 -1,80 -81,99 -81,99 -1,80 -84,18 -84,18 -1,80 -86,09 -86,09 -1,80 -87,79 -87,79 -1,80 -89,34 -89,34 -1,80 -90,78 -90,78 -1,80 -92,11 -92,11 -1,80 -93,37 -93,37

Gcpe -2,50 -2,50 -2,50 -2,50 -2,50 -2,50 -2,50 -2,50 -2,50 -2,50

Zona3 -103,72 -104,97 -107,62 -109,81 -111,72 -113,42 -114,97 -116,41 -117,74 -119,00

Final -103,72 -104,97 -107,62 -109,81 -111,72 -113,42 -114,97 -116,41 -117,74 -119,00

Y en los techos: Zona 4: P = -64,08 Kg/m2 Zona 5: P = -100,71 Kg/m2 Los signos negativos nos indican que en el techo y a sotavento los componentes y cerramientos están sometidos a succión, es decir el viento los separa de la edificación. 4.5.2 Cargas Horizontales de sismo: Ya determinadas las cargas a las que estará sometida la edificación por efecto del viento procedemos a determinar lo correspondiente a las fuerzas horizontales de sismo. Para el análisis sísmico debemos seguir los procedimientos establecidos en la norma

Covenin 1756-01 Edificaciones Sismorresistentes. Como se supo en el análisis de las fuerzas horizontales correspondientes a viento, el edificio será construido en la ciudad de Maracaibo, de donde tenemos según la norma:

Zona sísmica : 3

Aceleración Horizontal Ao = 0,20

Vamos a suponer que el estudio de suelos arrojo Roca Blanda con una forma espectral S3 y un Factor de Corrección φ = 0,70

Clasificación según su uso = B2

Factor de Importancia según uso α = 1

Nivel de Diseño requerido: ND2

Clasificación según el tipo de Estructura: Tipo I

Factor de Reduccion de Respuesta: 4

análisis estático de la Estructura.

Tenemos Ct = 0,07 hn = 28 mts Ta = T = 0,07*(280,75) = 0,8521

Si: N = 10 niveles T = 0,8521 T* = 1,0 Entonces: µ = 1,4* ((10+9)/((2*10)+12)) = 0,8313 µ = 0,8+((1/20)*((0,8521/1)-1)) = 0,9926 Entonces µ = 0,9926

T+= 0,1*(R-1) = 0,1*(4-1) = 0,3 T = 0,8521 T* = 1,0 T+= 0,3 < T = 0,8521 < T* = 1,0 β = 2,8 (Tabla 7.1) Entonces:

Ad = (1*0,70*2,80*0,20)/4 = 0,0980 µ* Ad = 0,9926*0,0980 = 0,0973 (α*Ao)/R = (1*0,20)/4 = 0,05 µ* Ad = 0,0980 > (α*Ao)/R = 0,05 OK. Ahora Determinamos el peso total de la edificación w reducidas las cargas variables según lo establecido en el articulo 7.1 de la norma ( Ya mencionado). Del análisis de viento tenemos que el peso de la edificación por efecto de cargas permanentes es 1.655.642,75 Kg. Y por efecto de cargas variables factorizadas tenemos: NIVEL Techo Esca. Azotea 7 6 5 4 3 2 1 PB

% CV

AREA Wv m2 Kg/m2

0,00 0,00 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25

27,00 231,51 206,79 206,79 206,79 206,79 206,79 206,79 206,79 101,61

100,00 100,00 175,00 175,00 175,00 175,00 175,00 175,00 175,00 175,00

TOTAL Kg 0,00 0,00 9.047,06 9.047,06 9.047,06 9.047,06 9.047,06 9.047,06 9.047,06 4.445,44

NIVEL Techo Esca. Azotea 7 6 5 4 3 2 1 PB

NIVEL PB

% CV

AREA Wv m2 Kg/m2

0,50 0,50 0,50 0,50 0,50 0,50 0,50 0,50 0,50

11,40 36,12 36,12 36,12 36,12 36,12 36,12 36,12 39,69

300,00 300,00 300,00 300,00 300,00 300,00 300,00 300,00 300,00

TOTAL Kg

1.710,00 5.418,00 5.418,00 5.418,00 5.418,00 5.418,00 5.418,00 5.418,00 5.953,50

% AREA Wv TOTAL Kg CV m2 Kg/m2 0,50 101,61 500,00 35.801,44

Peso Total de la edificación por efecto de las cargas variables factorizadas = 138.766,88 Kg Peso Total de la edificación = 1.794.409,63 Kg. La fuerza cortante Basal será: Vo = µ* Ad*W = 0,9926*0,0980*1.794.409,63 = 174.550,84 Kg

El peso de la salida de las escaleras es de 15.458,00 Kg, el 25 del peso total de la estructura es de 33.112,86 Kg, lo que es mayor que el peso de la salida de la escalera, pero el 10% del peso del piso donde esta vinculado es 14.017,14 Kg, lo que es menor que el peso del elemento, por lo tanto debe considerarse como parte integra de la estructura. T = 0,8521 seg. T* = 1 seg. Vo = 174.550,84 Kg Ft = (0,06*(0,8521/1)-0,02)*174.550,84 = 5.433,07 Kg 0,04Vo = 0,04*174.550,84 = 6.982,03 Kg 0,10Vo = 0,010*174.550,84 = 17.455,08 Kg 0,04Vo = 6.982,03 Kg Vu = 23.921,00 Kg OK.

En el tramo 3-2: Ln 350 = = 6,36 h 55 Lcf =

h ⎛ Ln ⎞ 55 ⎛ 350 ⎞ + 2⎟ = ⎜ + 2 ⎟ = 76,67cms ⎜ 6⎝ h ⎠ 6 ⎝ 55 ⎠

En el tramo 2-1: Ln 570 = = 10,36 > 10 h 55 Lcf = 2h = 2 * 55 = 110 cms

Con estribos de 3/8” y el diámetro menor ½” en la viga tenemos que la separación en la zona de confinamiento será: d 52 = = 13cms 4 4 S = 8φb = 8 *1,27 = 10,16cms

S=

S = 24φe = 24 * 0,95 = 22,80cms S = 30cms

Como se puede ver la separación en la zona de confinamiento será de 10 cms, ahora debemos verificar el diámetro del estribo.

Av ≥

23921*10 Vu * S = = 1,42 cm2 φ * fy * d 0,75 * 4200 * 52

Barra de Φ 3/8” As = 0,71 cms * 2 ramas = 1,42 cm2 OK. Se colocan los estribos a cada 10 cms en la zona de confinamiento comenzando con el primer estribo a 5 cms de la cara de la columna, en el centro del tramo por una distancia de 1 mts también se deben confinar los estribos a cada 10 cms, la separación en el resto del tramo será: S < 0,5d = 0,5 * 52 = 26 cms .

En resumidas cuentas para condiciones normales las ecuaciones anteriores y los límites quedarían de la siguiente manera: Para acero de refuerzo a tracción:

⎡ ⎤ ⎢ ⎥ f y * γ * db ⎥ ⎢ Ld = 0,283 * ≥ 30cms ⎢ ⎥ ' ⎛ cd ⎞ f c ⎜⎜ ⎟⎟ ⎥ ⎢ ⎢⎣ ⎝ d b ⎠ ⎥⎦

Y para barras de acero a tracción en flexión tenemos los siguientes límites: Barras en zonas de momentos negativos y negativos: Ld

Pr olongacion Re cta ≥

d 12d b

La longitud de desarrollo seria para γ=1 , Cd=2.5 y db=2.54 cms cd 4,09 = = 2,15 ≤ 2,5 OK db 1,9

⎡ 4200 *1*1,9 ⎤ Ld = ⎢0,283 * = 66,43 cms 250 * 2,15 ⎥⎦ ⎣ En el tramo 3-2

Como se ve la barra de ¾” se corta y se prolonga después del punto de inflexión una distancia igual a la longitud de desarrollo. En las barras inferiores no hay corte, ya que el acero continua completo ya que es acero mínimo el que se esta colocando.

Ahora tomando la combinación más desfavorable para la columna B2 tenemos los siguientes valores:

AXIAL MX MY V

231,995.60 7,913.25 40,841.00 25,108.90

Con estos valores calculamos ν y µ con los cuales entramos al ábaco y determinamos ω :

ν=

NU 231.995,60 = = 0,37 f * Ac 250 * 50 * 50

µ=

Mx My 791325 2510890 + ' = + = 0,11 f * Ac * t f c * Ac * b 250 * 2500 * 50 250 * 2500 * 50

' c

' c

w = 0,18

ω=

w * f c' * Ac 0,18 * 250 * 2500 As * fy → As = = = 26,79cms 2 f c' * Ac fy 4200

As 26,79 = = 0,0107 = 1,07% OK Ac 2500 Cuando se predimensionaron las columnas se dimensionaron con 8 barras de 1” que dan un área de acero de 40,56 cms2 y mantenemos este diseño.

Presentamos detalles de ligaduras:

La disposición de las ligaduras serán según los siguientes detalles:

4.8.- Diseño de Fundaciones:

Vamos a suponer un suelo con las siguiente características: σadm = 2,5 kg/cm2 Profundidad de desplante = Df = 2,00 mts Columnas B2 = 50cms x 50 cms ACCIONES REACCION Mx My

CARGA PERMANENTE

CARGA VARIABLE

159,212.00 89.00 858.00

32,908.00 0.00 177.00

ν es igual: Df ≤ 1,5mts ν = 1,15 1,5mts < Df ≤ 3mts ν = 1,20 3mts < Df ≤ 5mts ν = 1,30

Anec =

ν * P 1,2 *192.120,00 = = 92.217,60cm2 σadm 2,5

Como la fundación será cuadrada: Bx = By = Anec = 92.217,00 = 303,67cms = 305 cms Pu = 1,2 *159.212,00 + 1,6 * 32.908,00 = 243.707,20 Kg

σu =

Pu 243.707,20 = = 2,62 Kg/cm2 Af 305 * 305

2

n Bx − columna * By → n = = 127,50cms 2 2 2 m By − columna Muy = σu * * Bx → m = = 127,50cms 2 2

Mux= σu *

n2 127,50 2 = 2,62 * 305 = 6.495.184,69 Kg * cms 2 2 Mu 6.495.184,69 ≥ = 24,25cms ' µ * fc * B 0,1448 * 250 * 305

Mu1 = Mu2 = σu * B * d≥

d min = 30cms hzapata = d + rec = 30 + 10 = 40cms

El valor de µ se toma 0,1448 para garantizar ductibilidad de la zapata. Verificación por corte de la Zapata: φVc > Vc Vca = σu * Bx * (m − d ) Vcb = σu * By * (n − d ) Vc = 2,62 * 305 * (127,50 − 30) = 77.912,25 Kg

φVc = 0,75 * 0,53 * f c' * b * d = 0,75 * 0,53 * 250 * 305 * 30 = 57.508,00 Kg No cumple por lo tanto hay que aumentar el valor de d tomamos d = 40 cms, entonces: Vc = 2,62 * 305 * (127,50 − 40) = 69.921,25 Kg

φVc = 0,75 * 0,53 * f c' * b * d = 0,75 * 0,53 * 250 * 305 * 40 = 76.677,33Kg φVc = 76.677,33 > Vc = 69.921,25 OK Entonces: d=40cms zapata=50cms

Verificación de Punzonamiento: Vup = (σu * ( B 2 − (d + columna) 2 ) = (2,62 * (3052 − (40 + 50) 2 ) = 222.503,50 Kg Verificación 1: ⎛ 1,06 ⎞ φVc = 0,75 * ⎜⎜ 0,53 + ⎟⎟ * f c' * bo * d βc ⎠ ⎝ Lmayor de la columna 50 = =1 βc = Lmenor de la columna 50 bo = Perimetor de Punzonamiento = 4 * (d + columna) = 4 * (40 + 50) = 360 ⎛ ⎝

φVc = 0,75 * ⎜ 0,53 +

1,06 ⎞ ⎟ * 250 * 360 * 40 = 271.513,16 Kg 1 ⎠

Verificación 2:

αs * d ⎞ ⎛ ' ⎟ * f c * bo * d bo ⎠ ⎝ αs : Factor que depende de la ubicacion de la columna. αs = 10,6 columnas interiores. αs = 8 columnas laterales αs = 5,3 columnas de esquina φVc = 0,75 * ⎜ 0,53 +

⎛ ⎝

φVc = 0,75 * ⎜ 0,53 +

10,6 * 40 ⎞ ⎟ * 250 * 360 * 40 = 291.625,25Kg 360 ⎠

Verificación 3:

φVc = 0,75 *1,06 * f c' * bo * d φVc = 0,75 *1,06 * 250 * 360 * 40 = 181.008,77 Kg Se toma el menor de los tres y se compara con Vup :

φVc = 181.008,77 Kg < Vup = 222.503,50 Kg no cumple Se debe volver a aumentar el valor de d, como todos cumplían menos la tercera verificación se calcula esta directamente y se compara con el nuevo Vup.

d= 50 cms Vup = (σu * ( B 2 − (d + columna) 2 ) = (2,62 * (3052 − (50 + 50) 2 ) = 217.525,50 Kg bo = 4 * (50 + 50) = 400

φVc = 0,75 *1,06 * 250 * 400 * 50 = 251.401,07 Kg φVc = 251.401,07 Kg > Vup = 217.525,50 Kg OK Verificación del aplastamiento:

(

)

A2 A1 A1 = Area de la columna = 50 * 50 = 2500 cm2

Puapl = φ * 0,85 * f c' * A1 *

B columna − 2 2

L = Columna + 2 * 2h = 50 + 2 * 2 * 60 = 290

A2 = L * L = 290 * 290 = 84.100,00cm2 84100 = 2.002.812,50 Kg 2500 Pu = 1,2 *159.212,00 + 1,6 * 32.908,00 = 243.707,20 Kg Puapl > Pu OK . Puapl = 0,65 * (0,85 * 250 * 2500 )*

Calculo del acero de la fundación: 6.495.184,69 Mu = = 39,18cm2 φ * Ju * Fy * d 0,9 * 0,9 * 4200 * 50 14 14 * 305 * 50 = 50,83cm2 As min = * b * d = 4200 fy 50,83cm2 cm2 = 17,23 As = 2,95mts mts Colocar un φ 5/8" cada 12,5 cms As =

Viga de riostra: Pu = 243.707,20Kg Puvr = 0,15Pu = 0.15 * 243.707,20 = 36.556,08 Kg Mu = 1,2 * 858 + 1,6 *177 = 1.312,00Kg * mts

Ln 570 = = 57cms 10 10 Ln 570 = = 28,50cms Ancho Minimo = 20 20 Altura Minima = 30 cms Ancho Minimo = 30 cms

Altura Minima =

Se toma una viga de riostra de 30 cms *60 cms

Acero de la viga de riostra: 36.556,08 = 0,08 250 * 30 * 60 131.200,00 Kg * cm µ= = 0,005 250 * 30 * 60 2 Entrando al Abaco ω = 0

ν=

Ast =

ω * Ac * f c'

=0 fy As min = 0,01* b * d = 0,01* 30 * 60 = 18cm2

b * d * f c' 30 * 60 * 250 = 0,15 * = 16,07cm2 4200 fy Tomar el mayor de los dos : As min = 0,15 *

As = 18 cm2 Colocar 9 cm2 en la cara superior y 9 cm2 en la cara inferior de la viga. Mu = As * φ * Ju * fy * d = 9 * 0,9 2 * 4200 * 55 = 1.683.990,00 Kg * cm Mu es mayor que el momento actuante OK.

CONCLUSION Esta visto que el diseño de un edificio por métodos tradicionales es una tarea ardua y laboriosa, para lo cual existen los programas de computación. No debemos descartar nuestros conocimientos como ingenieros y limitarnos a recibir información de un programa sin estudiarla y analizarla. Para poder analizar la información que entra y que sale del programa debemos mantener nuestros conocimientos al día y actualizados con las normas vigentes. Es importante al momento de diseñar una edificio de altura y de forma irregular verificar su capacidad resistente a torsión (τ y Ω) , ya que la torsión puede ser un factor de importancia si el edificio no esta bien estructurado. Debemos recordar que somos ingenieros y no operadores de computadoras.

Cualquier sugerencia para mejorar este material será bien recibida.

Ingeniero Civil Antonio Antonello CIV 67.156 Celular:0414-6497634 y 0416-6654790 Email= [email protected]

Muchas Gracias a Todos.

ANEXOS

Usuario: ING. ANTONIO ANTONELLO Proyecto: CURSO DISEÑO EDIFICIOS APORTICADOS DE CONCRETO IP3-LOSAS Versión 3.0

Calculista: INGENIERO ANTONIO ANTONELLO

B

C 3.20

1236

Reacción Nervio:

1978

Reacción por ml:

1978

Macizados (m):

0.00

MU Sup (kgf-m):

1978 1978 0.00

0

MU Inf (kgf-m):

0 1582

As Sup (cm2):

0.00

0.00

0.00

As Inf (cm2):

0.00

1.73

0.00

Inflexión (m): AsMín = 0.92

Despiece:

LP-1 Nervada e = 0.30

Usuario: ING. ANTONIO ANTONELLO Proyecto: CURSO DISEÑO EDIFICIOS APORTICADOS DE CONCRETO IP3-LOSAS Versión 3.0

Calculista: INGENIERO ANTONIO ANTONELLO

D

E 3.20

1556

Reacción Nervio:

2490

Reacción por ml:

2490

Macizados (m):

0.22

MU Sup (kgf-m):

2490 2490 0.22

0

MU Inf (kgf-m):

0 1992

As Sup (cm2):

0.00

0.00

0.00

As Inf (cm2):

0.00

2.17

0.00

Inflexión (m): AsMín = 0.92

Despiece:

LP-2 Nervada e = 0.30

Usuario: ING. ANTONIO ANTONELLO Proyecto: CURSO DISEÑO EDIFICIOS APORTICADOS DE CONCRETO IP3-LOSAS Versión 3.0

Calculista: INGENIERO ANTONIO ANTONELLO

A

Reacción Nervio:

2371

Macizados (m):

0.21

D

E

F

3.20

5.00

3.20

5.50

1036

1036

1236

1556

1556

5238 5238

0

MU Inf (kgf-m):

C

5.50

2371

Reacción por ml:

MU Sup (kgf-m):

B

4504

4835

4504

1.13 0.00

0.00 0.76

-2630

-1819

2690

4835

8254

3529

8254

0.75 0.00

0.69 1.85

-1773

-4126

2067

3529 0.88 0 3960

As Sup (cm2):

0.00

0.00

2.87

1.98

0.00

1.93

4.46

0.00

0.00

As Inf (cm2):

0.00

2.93

0.00

0.00

2.25

0.00

1.19

4.32

0.00

Inflexión (m):

0.92

AsMín = 0.92

Despiece:

LP-3 Nervada e = 0.30

0.68

0.66

0.96

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Calculista: INGENIERO ANTONIO ANTONELLO

A

Reacción Nervio:

2310

Macizados (m):

0.15

3.20

1036

1036

5972

731

5972 1.19 0.41

0

MU Inf (kgf-m):

C

5.50

2310

Reacción por ml:

MU Sup (kgf-m):

B

731 0.00

-2964 2548

0 243

As Sup (cm2):

0.00

0.00

3.23

0.00 0.00

As Inf (cm2):

0.00

2.78

0.00

0.26 0.00

Inflexión (m):

1.04

AsMín = 0.92

Despiece:

LP-4 Nervada e = 0.30

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Calculista: INGENIERO ANTONIO ANTONELLO

D

Reacción Nervio:

E

1098

Macizados (m):

0.00

MU Sup (kgf-m): MU Inf (kgf-m):

3.20

5.50

1556

1556

1098

Reacción por ml:

F

0

8969

3470

8969

3470

1.11 1.89

0.84

-4452 364

0 3827

As Sup (cm2):

0.00 0.00

4.81

0.00

0.00

As Inf (cm2):

0.00 0.40

1.53

4.17

0.00

Inflexión (m):

1.04

AsMín = 0.92

Despiece:

LP-5 Nervada e = 0.30

Usuario: ING. ANTONIO ANTONELLO Proyecto: CURSO DISEÑO EDIFICIOS APORTICADOS DE CONCRETO IP3-LOSAS Versión 3.0

Calculista: INGENIERO ANTONIO ANTONELLO

A

B 5.50

1236

Reacción Nervio:

3399

Reacción por ml:

3399

Macizados (m):

1.01

MU Sup (kgf-m):

3399 3399 1.01

0

MU Inf (kgf-m):

0 4635

As Sup (cm2):

0.00

0.00

0.00

As Inf (cm2):

0.00

5.06

0.00

Inflexión (m): AsMín = 0.92

Despiece:

LP-6 Nervada e = 0.30

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Calculista: INGENIERO ANTONIO ANTONELLO

E

F 5.50

1556

Reacción Nervio:

4279

Reacción por ml:

4279

Macizados (m):

1.37

MU Sup (kgf-m):

4279 4279 1.37

0

MU Inf (kgf-m):

0 5835

As Sup (cm2):

0.00

0.00

0.00

As Inf (cm2):

0.00

6.36

0.00

Inflexión (m): AsMín = 0.92

Despiece:

LP-7 Nervada e = 0.30

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B

C 3.20

1116

Reacción Nervio:

1786

Reacción por ml:

1786

Macizados (m):

0.00

MU Sup (kgf-m):

1786 1786 0.00

0

MU Inf (kgf-m):

0 1428

As Sup (cm2):

0.00

0.00

0.00

As Inf (cm2):

0.00

1.56

0.00

Inflexión (m): AsMín = 0.92

Despiece:

LE-1 Nervada e = 0.30

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Calculista: INGENIERO ANTONIO ANTONELLO

D

E 3.20

1116

Reacción Nervio:

1786

Reacción por ml:

1786

Macizados (m):

0.00

MU Sup (kgf-m):

1786 1786 0.00

0

MU Inf (kgf-m):

0 1428

As Sup (cm2):

0.00

0.00

0.00

As Inf (cm2):

0.00

1.56

0.00

Inflexión (m): AsMín = 0.92

Despiece:

LE-2 Nervada e = 0.30

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Calculista: INGENIERO ANTONIO ANTONELLO

A

Reacción Nervio:

2097

Macizados (m):

0.00

D

E

F

3.20

5.00

3.20

5.50

916

916

1116

916

916

4621 4621

0

MU Inf (kgf-m):

C

5.50

2097

Reacción por ml:

MU Sup (kgf-m):

B

4041

4041

4041

0.86 0.00

0.00 0.57

-2321

-1633

2380

4041

4621

2097

4621

0.57 0.00

0.00 0.86

-1633

-2321

1854

2097 0.00 0 2380

As Sup (cm2):

0.00

0.00

2.53

1.78

0.00

1.78

2.53

0.00

0.00

As Inf (cm2):

0.00

2.60

0.00

0.00

2.02

0.00

0.00

2.60

0.00

Inflexión (m):

0.92

AsMín = 0.92

Despiece:

LE-4 Nervada e = 0.30

0.68

0.68

0.92

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A

Reacción Nervio:

2042

Macizados (m):

0.00

3.20

916

916

5280

647

5280 0.92 0.14

0

MU Inf (kgf-m):

C

5.50

2042

Reacción por ml:

MU Sup (kgf-m):

B

647 0.00

-2621 2253

0 215

As Sup (cm2):

0.00

0.00

2.86

0.00 0.00

As Inf (cm2):

0.00

2.46

0.00

0.23 0.00

Inflexión (m):

1.04

AsMín = 0.92

Despiece:

LE-5 Nervada e = 0.30

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Calculista: INGENIERO ANTONIO ANTONELLO

D

Reacción Nervio:

E

647

Macizados (m):

0.00

MU Sup (kgf-m): MU Inf (kgf-m):

3.20

5.50

916

916

647

Reacción por ml:

F

0

5280

2042

5280

2042

0.14 0.92

0.00

-2621 215

0 2253

As Sup (cm2):

0.00 0.00

2.86

0.00

0.00

As Inf (cm2):

0.00 0.23

0.00

2.46

0.00

Inflexión (m):

1.04

AsMín = 0.92

Despiece:

LE-6 Nervada e = 0.30

Usuario: ING. ANTONIO ANTONELLO Proyecto: CURSO DISEÑO EDIFICIOS APORTICADOS DE CONCRETO IP3-LOSAS Versión 3.0

Calculista: INGENIERO ANTONIO ANTONELLO

A

B 5.50

1116

Reacción Nervio:

3069

Reacción por ml:

3069

Macizados (m):

0.82

MU Sup (kgf-m):

3069 3069 0.82

0

MU Inf (kgf-m):

0 4185

As Sup (cm2):

0.00

0.00

0.00

As Inf (cm2):

0.00

4.56

0.00

Inflexión (m): AsMín = 0.92

Despiece:

LE-7 Nervada e = 0.30

Usuario: ING. ANTONIO ANTONELLO Proyecto: CURSO DISEÑO EDIFICIOS APORTICADOS DE CONCRETO IP3-LOSAS Versión 3.0

Calculista: INGENIERO ANTONIO ANTONELLO

E

F 5.50

1116

Reacción Nervio:

3069

Reacción por ml:

3069

Macizados (m):

0.82

MU Sup (kgf-m):

3069 3069 0.82

0

MU Inf (kgf-m):

0 4185

As Sup (cm2):

0.00

0.00

0.00

As Inf (cm2):

0.00

4.56

0.00

Inflexión (m): AsMín = 0.92

Despiece:

LE-8 Nervada e = 0.30

Usuario: ING. ANTONIO ANTONELLO Proyecto: CURSO DISEÑO EDIFICIOS APORTICADOS DE CONCRETO IP3-LOSAS Versión 3.0

Calculista: INGENIERO ANTONIO ANTONELLO

B

C 3.20

622

Reacción Nervio:

995

Reacción por ml:

995

Macizados (m):

0.00

MU Sup (kgf-m):

995 995 0.00

0

MU Inf (kgf-m):

0 796

As Sup (cm2):

0.00

0.00

0.00

As Inf (cm2):

0.00

0.87

0.00

Inflexión (m): AsMín = 0.92

Despiece:

LA-1 Nervada e = 0.30

Usuario: ING. ANTONIO ANTONELLO Proyecto: CURSO DISEÑO EDIFICIOS APORTICADOS DE CONCRETO IP3-LOSAS Versión 3.0

Calculista: INGENIERO ANTONIO ANTONELLO

D

E 3.20

622

Reacción Nervio:

995

Reacción por ml:

995

Macizados (m):

0.00

MU Sup (kgf-m):

995 995 0.00

0

MU Inf (kgf-m):

0 796

As Sup (cm2):

0.00

0.00

0.00

As Inf (cm2):

0.00

0.87

0.00

Inflexión (m): AsMín = 0.92

Despiece:

LA-2 Nervada e = 0.30

Usuario: ING. ANTONIO ANTONELLO Proyecto: CURSO DISEÑO EDIFICIOS APORTICADOS DE CONCRETO IP3-LOSAS Versión 3.0

Calculista: INGENIERO ANTONIO ANTONELLO

A

Reacción Nervio:

1417

Macizados (m):

0.00

D

E

F

3.20

5.00

3.20

5.50

622

622

622

622

622

3220 3220

0

MU Inf (kgf-m):

C

5.50

1417

Reacción por ml:

MU Sup (kgf-m):

B

2329

2329

2329

0.00 0.00

0.00 0.00

-1613

-905

1599

2329

3220

1417

3220

0.00 0.00

0.00 0.00

-905

-1613

1039

1417 0.00 0 1599

As Sup (cm2):

0.00

0.00

1.76

0.99

0.00

0.99

1.76

0.00

0.00

As Inf (cm2):

0.00

1.74

0.00

0.00

1.13

0.00

0.00

1.74

0.00

Inflexión (m):

0.94

AsMín = 0.92

Despiece:

LA-3 Nervada e = 0.30

0.67

0.67

0.94

Usuario: ING. ANTONIO ANTONELLO Proyecto: CURSO DISEÑO EDIFICIOS APORTICADOS DE CONCRETO IP3-LOSAS Versión 3.0

Calculista: INGENIERO ANTONIO ANTONELLO

A

Reacción Nervio:

1387

Macizados (m):

0.00

3.20

622

622

3585

439

3585 0.00 0.00

0

MU Inf (kgf-m):

C

5.50

1387

Reacción por ml:

MU Sup (kgf-m):

B

439 0.00

-1780 1530

0 146

As Sup (cm2):

0.00

0.00

1.94

0.00 0.00

As Inf (cm2):

0.00

1.67

0.00

0.16 0.00

Inflexión (m):

1.04

AsMín = 0.92

Despiece:

LA-4 Nervada e = 0.30

Usuario: ING. ANTONIO ANTONELLO Proyecto: CURSO DISEÑO EDIFICIOS APORTICADOS DE CONCRETO IP3-LOSAS Versión 3.0

Calculista: INGENIERO ANTONIO ANTONELLO

D

Reacción Nervio:

E

439

Macizados (m):

0.00

MU Sup (kgf-m): MU Inf (kgf-m):

3.20

5.50

622

622

439

Reacción por ml:

F

0

3585

1387

3585

1387

0.00 0.00

0.00

-1780 146

0 1530

As Sup (cm2):

0.00 0.00

1.94

0.00

0.00

As Inf (cm2):

0.00 0.16

0.00

1.67

0.00

Inflexión (m):

1.04

AsMín = 0.92

Despiece:

LA-5 Nervada e = 0.30

Usuario: ING. ANTONIO ANTONELLO Proyecto: CURSO DISEÑO EDIFICIOS APORTICADOS DE CONCRETO IP3-LOSAS Versión 3.0

Calculista: INGENIERO ANTONIO ANTONELLO

A

B 5.50

622

Reacción Nervio:

1711

Reacción por ml:

1711

Macizados (m):

0.00

MU Sup (kgf-m):

1711 1711 0.00

0

MU Inf (kgf-m):

0 2333

As Sup (cm2):

0.00

0.00

0.00

As Inf (cm2):

0.00

2.54

0.00

Inflexión (m): AsMín = 0.92

Despiece:

LA-6 Nervada e = 0.30

Usuario: ING. ANTONIO ANTONELLO Proyecto: CURSO DISEÑO EDIFICIOS APORTICADOS DE CONCRETO IP3-LOSAS Versión 3.0

Calculista: INGENIERO ANTONIO ANTONELLO

E

F 5.50

622

Reacción Nervio:

1711

Reacción por ml:

1711

Macizados (m):

0.00

MU Sup (kgf-m):

1711 1711 0.00

0

MU Inf (kgf-m):

0 2333

As Sup (cm2):

0.00

0.00

0.00

As Inf (cm2):

0.00

2.54

0.00

Inflexión (m): AsMín = 0.92

Despiece:

LA-7 Nervada e = 0.30

Usuario: ING. ANTONIO ANTONELLO Proyecto: CURSO DISEÑO EDIFICIOS APORTICADOS DE CONCRETO IP3-LOSAS Versión 3.0

Calculista: INGENIERO ANTONIO ANTONELLO

2 0.50

3.50

0.50

562

562

562

Reacción Nervio:

1265

Reacción por ml:

1265

1265

Macizados (m): MU Sup (kgf-m):

3

1265

0.00 0.00 0

0.00 0.00

-70

MU Inf (kgf-m):

-70

0

773

As Sup (cm2):

0.00

0.12

0.00

0.12

0.00

As Inf (cm2):

0.00

0.00

1.32

0.00

0.00

Inflexión (m):

0.07

AsMín = 0.58

Despiece:

LTEA Nervada e = 0.20

0.07

COVENIN 1753-2006 Pag. 119

Página 21

Cont…. Página 21

COLUMNAS

Página 22

COLUMNAS

Cont…. Página 22

Página 23

COVENIN 1753-2006 Pag. 301

Requisitos de diseño ND3 para vigas, columnas y nodos

Figura H-18.3a