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 APLICACIÓN  APL ICACIÓN DE UN SISTEMA DE POLEAS POL EAS EN EL L EVANTAMIENTO EVANTA MIENTO DE CARGAS I. OBJETIVOS. 

Reducir el desgaste físico en la construcción construcción civil



Mejorara la velocidad velocidad en la construcción.



Conocer las ventajas ventajas de usar el sistema de poleas en la construcción civil. civil.



Evitar segregación cuando se transporta transporta mezclas

II. PROBLEMA.

¿Cuáles deberían ser las aceleraciones en un sistema que pretende alternar dos cargas y cuál es la fuerza de tensión posible a soportar si la mezcla que se desea subir pesa 40 kg, además hallar la otra carga que la ara subir? ( g=10m g=10m/s2). /s2). III. HIPÓTESIS.

Realizando una serie de ecuaciones se podrá encontrar la aceleración y la fuerza de tensión en un sistema de poleas.

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IV. MARCO TEÓRICO

.

 ⃗ =     

 =   

1. Vecto Vectores. res.

 =   

VECTORES VECTORES EN EL PL ANO.

Y

Vy

V

Ø

î=Ux  j=Uy

X Vx

1.2. VECTORES EN EL ESPACIO. Un sistema de coordenadas tridimensional   se construye trazando un eje Z, perpendicular en el origen de coordenadas a los ejes X e Y.

Cada punto  viene determinado por tres co ordenadas ord enadas P(x, P(x, y, z) z).

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Los ejes de coordenadas determinan tres planos coordenados: XY, XZ e YZ. Estos planos coordenados dividen al espacio en ocho regiones llamadas octantes, en el primer octante las tres coordenadas son positivas.  A. CONCEPTO. CONCEPTO.

Un vector en el espacio  es cualquier segmento segmento orientado  que tiene su origen en un punto y su extremo  en el otro.

⤍

B. COMPONENTES DE UN VECTOR EN EL ESPACIO.

Si las coordenadas de A y B son: A(x 1, y1, z1) y B(x2, y2, z2) Las coordenadas o componentes del vecto r

son las coordenadas del extremo menos las

coordenadas del origen.

= (1  2, 1  2, 1  2) 

MÓDULO DE UN VECTOR.

El módulo  de un vector  es  es la longitud  del segmento  orientado que lo define. El módulo  de un vector  es   es un número  siempre positivo  y solamente el vector nulo  tiene módulo cero .

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

CÁLCULO DEL MÓDULO CONOCIENDO SUS COMPONENTES.

 = (1,2,3)

U = √ 1  2 = 3 

CÁLCULO DEL MÓDULO CONOCIENDO LAS COORDENADAS DE LOS PUNTOS.

  = (1,1,1)  = (2,2,2) | | =  ( 21)  (21) (2 1) 

Distancia entre dos pu ntos.

La distancia entre dos puntos   es igual al módulo del vector   que tiene de extremos dichos puntos. D (ab)=



| | =  ( 21)  (21) (2 1)

Vector unitario.

Un vector unitario  tiene de módulo la unidad. La normalización de un vector consiste en asociarle otro vector unitario , de la misma dirección y sentido  que el vector dado, dividiendo cada componente del

vector por su módulo.

⃗ =  ||

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2. Fuerzas. En mecánica, es generalmente suficiente clasificar  las fuerzas que actúan sobre

los cuerpos en dos tipos: de acción a distancia y de contacto. Del primer tipo las fuerzas se conocen generalmente como campos de fuerza. Así existen fuerzas de campos gravitacionales, de campos eléctricos, de campos magnéticos y otras. Es probable que usted se extrañe que un cuerpo pueda ejercer una acción sobre otro que está distante. Explicaciones formales existen, pero están fuera del alcance de estos apuntes. Si usted sabe algo de Física moderna se debería extrañar también que hablemos de fuerzas de contacto. En realidad un trozo de materia no puede tocar a otro. La materia está formada por átomos que contienen un núcleo positivo y están rodeados de electrones que son da carga negativa. Ellos se repelen impidiendo que se toquen. Tampoco se puede tocar los núcleos, que son positivos. Sin embargo esas distancias son tan pequeñas que el efecto es como si los cuerpos se tocaran. 2.1 FUERZAS CONCURRENTES.

Un sistema de fuerzas concurrentes es aquel para el cual existe un punto en común para todas las rectas de acción de las fuerzas componentes. La resultante es el elemento más simple al cual puede reducirse un sistema de fuerzas. Como simplificación diremos que es una fuerza que reemplaza a un sistema de fuerzas. Se trata de un problema de equivalencia por composición, ya que los dos sistemas (las fuerzas componentes por un lado, y la fuerza resultante, por el otro) producen el mismo efecto sobre un cuerpo.

⃗ =  =   

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2.2 FUERZAS COPLANARES.

Las fuerzas coplanarias, se encuentran en un mismo plano y en 2 ejes, a diferencia de las no coplanarias que se encuentran en más de un plano, es decir en 3 ejes. Tienen dos condiciones independientes algebraicas de equilibrio. Pueden expresarse en tres formas: 1.-

∑  = ∑  = 0……………. (1)

La forma expresa que la suma algebraica de los componentes según los ejes x, y (en el plano de las fuerzas) es cero. 2.-

∑  = ∑  = 0…………. (2)

Esta forma indica que la suma algebraica de las componentes según cualquier eje y la suma algebraica de los momentos de todas las fuerzas respecto a un punto es cero (el punto debe estar en el plano de las fuerzas y la línea que lo une en la intersección de las fuerzas, debe ser inclinado al eje tomado). 3.-

∑  = ∑  = 0…………….. (3)

En esta forma se explica, asimismo, refiriéndose a momentos respecto dos puntos no colineales con la intersección aludida. 2.3 FUERZAS PARALELAS.

Si sobre un cuerpo rígido actúan dos o más fuerzas cuyas líneas de acción son paralelas, la resultante tendrá un valor igual a la suma de ellas con su línea de acción también paralela a las fuerzas, pero su punto de aplicación debe ser determinado con exactitud para que produzca el mismo efecto que las componentes. En los siguientes ejemplos se determinará en forma gráfica en punto de aplicación de la resultante de dos fuerzas paralelas con igual y diferente sentido:

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En la figura se tiene una barra de 90 cm de longitud, soportando una fuerza de 20 N y otra de 30 N. La resultante evidentemente es la suma de las dos fuerzas, o sea 50 N, pues actúan en forma paralela y con el mismo sentido. Para encontrar el punto donde debe actuar la resultante, se produce de la siguiente forma, tal como se ve en la figura: se traza una paralela de F2 sobre F1 en el mismo sentido, después una paralela de F1 a partir del origen de F2 pero en sentido contrario. Se traza una línea uniendo los extremos de F1 y F2 de tal forma que en punto preciso en que la línea corta la barra, se tendrá el origen o punto de aplicación de la resultante a 54 cm de F1. Las fuerzas paralelas son aquellas que actúan sobre un cuerpo rígido con sus líneas de acción en forma paralela, como se ve en las figuras siguientes:

La resultante de dos o más fuerzas paralelas tiene un valor igual a la suma de ellas con su línea de acción también paralela a las fuerzas. Cuando dos fuerzas paralelas de la misma magnitud pero de sentido contrario actúan sobre un cuerpo, se produce el llamado par de fuerzas en el que el resultante es igual a cero y su punto de aplicación está en el centro de la línea que une a los puntos de aplicación de las fuerzas componentes. 3. DIAGRAMA DEL CUERPO LIBRE(DCL)

Un diagrama de cuerpo libre o diagrama de cuerpo aislado debe mostrar todas las fuerzas externas que actúan sobre el cuerpo. Es fundamental que el diagrama de cuerpo libre esté correcto antes de aplicar la Segunda ley de Newton, F ext = ma

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En estos diagramas, se escoge un objeto o cuerpo y se aísla, reemplazando las cuerdas, superficies u otros elementos por fuerzas representadas por flechas que indican sus respectivas direcciones. Por supuesto, también debe representarse la fuerza de gravedad y las fuerzas de fricción. Si intervienen varios cuerpos, se hace un diagrama de cada uno de ellos, por separado. A continuación se muestra algunos sistemas (izquierda) y los correspondientes diagramas de cuerpo aislado (derecha). F (ó T) representa la fuerza trasmitida por la cuerda; N la normal; mg el peso y f la fuerza de roce o de fricción

3.1 REGLAS BÁSICAS.  A. FUERZA DE GRAVEDAD (W, mg).

La fuerza de gravedad se grafica verticalmente hacia abajo y se le ubica en el centro de la gravedad (C.G) del cuerpo o sistema. Su valor se calcula:

 = .………… (4)

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 Ejemplo:

B. CUERDAS TENSAS.

Se hace un corte imaginario y se grafican las fuerzas internas tensión (T).

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En forma práct ica se hará el cort e imaginario sob re la misma figura, quedando

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POLEAS FIJAS Y MÓVILES

“A”: polea fija de masa



“B”: polea móvil ingrávida (no tiene

peso)

De la forma práctica aprendida anteriormente:

 Los puntos “1”,”2” y”3” pertenecen a la misma cuerda,

por tanto soportan la misma tención (T).  En la polea móvil observar, si hay equilibrio:

T = 2T

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C. ARTICULACIONES, PASADORES LISOS O PINES.



D. FUERZA DE COMPRESIÓN ( ).

Aparece muy comúnmente en las barras. De modo similar a la cuerda se hace un corte imaginario:

E. FUERZA ELASTICA.

Aparasen en los materiales elásticos. Es común encontrar en los resortes cuando son comprimidos o estirados. La fuerza elástica se calcula según la ley de Hooke.

 = 

K: constante de rigidez del resorte (N/m) X: deformación (m) Resorte estirado

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Resorte comprimid o

F. SUPERFICIES LISAS (u = 0).

(En los puntos de contacto), la interacción se grafica perpendicularmente a las superficies en contacto.

G. SUPERFICIE ASPERA O RUGOSA (u

≠ 0)

En este caso la interacción se grafica inclinada con cierto Ángulo respecto a la normal.  Una

de la fuerzas es la llamada fuerza de rozamiento (f).

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N: fuerza de reacción normal f: fuerza de rozamiento

Según la observación (

)

4. CONDICIONES DE EQUILIBRIO. 4.1 LA PRIMERA LEY DE NEWTON.

Un cuerpo se encuentra en estado de equilibrio traslaciones si y sólo si la suma vectorial de las fuerzas que actúan sobre él es igual a cero. Cuando un cuerpo está en equilibrio, la resultante de todas las fuerzas que actúan sobre él es cero. En este caso, Rx como Ry debe ser cero; es la condición para que un cuerpo esté en equilibrio:

∑  = 0, ∑  = 0………………. (5)

4.2 LA SEGUNDA LEY DE NEWTON.

Se encarga de cuantificar el concepto de fuerza. Nos dice que la fuerza neta aplicada sobre un cuerpo es proporcional a la aceleración que adquiere dicho cuerpo. La constante de proporcionalidad es la masa del cuerpo,  de manera que

podemos expresar la relación de la siguiente manera:

 =  ∗ Tanto la fuerza como la aceleración son magnitudes vectoriales, es decir, tienen, además de un valor, una dirección y un sentido. De esta manera, la Segunda ley de Newton debe expresarse como:

 =  ∗

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La unidad de fuerza en el Sistema Internacional es el Newton y se representa por N. Un Newton es la fuerza que hay que ejercer sobre un cuerpo de un kilogramo de masa para que adquiera una aceleración de 1 m/s2, o sea,

1 N = 1 Kg · 1 m/s 2

La expresión de la Segunda ley de Newton que hemos dado es válida para cuerpos cuya masa sea constante. Si la masa varia, como por ejemplo un cohete que va quemando combustible, no es válida la relación F = m · a. Vamos a generalizar la Segunda ley de Newton para que incluya el caso de sistemas en los que pueda variar la masa. Para ello primero vamos a definir una magnitud física nueva. Esta magnitud física es la cantidad de movimiento que se representa por la letra p y que se define como el producto de la masa de un cuerpo por su velocidad,  es decir:

 =  ∗

La cantidad de movimiento también se conoce como momento lineal. Es una magnitud vectorial y, en el Sistema Internacional se mide en Kg.m/s. En términos de esta nueva magnitud física, la Segunda ley de Newton se expresa de la siguiente manera: La Fuerza que actúa sobre un cuerpo es igual a la variación temporal de la cantidad de movimiento de dicho cuerpo, es decir:

 = 

De esta forma incluimos también el caso de cuerpos cuya masa no sea constante. Para el caso de que la masa sea constante, recordando la definición de cantidad de movimiento y que como se deriva un producto tenemos:

 .     = (.) =   

Como la masa es constante

  = 

Y recordando la definición de aceleración, nos queda

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F = m a………….. (6)

Tal y como habíamos visto anteriormente. Otra consecuencia de expresar la Segunda ley de Newton usando la cantidad de movimiento es lo que se conoce como Principio de conservación d e la cantidad de movimiento. Si la fuerza total que actúa sobre un cuerpo es cero, la Segunda

ley de Newton nos dice que:

 = 

Es decir, que la derivada de la cantidad de movimiento con respecto al tiempo es cero. Esto significa que la cantidad de movimiento debe ser constante en el tiempo (la derivada de una constante es cero) . Esto es el Principio de conservación de la cantidad de movimiento: si la fuerza total que actúa sobre un cuerpo es nula, la cantidad de movimiento del cuerpo permanece constante en el tiempo.

5. POLEAS 5.1 DEFINICION.

Una polea, garrucha, carrucha, trocla, trócola o carrillo, una de las máquinas simples, es una rueda, generalmente maciza y acanalada, que con el concurso de una cuerda se usa como elemento de transmisión en máquinas y mecanismos para cambiar la dirección del movimiento o su velocidad y formando conjuntos — aparejos o polipastos—  para además reducir la magnitud de la fuerza necesaria para mover un peso. Según definición de Hatón de la Goupillière «la polea es el punto de apoyo de una cuerda que moviéndose se arrolla sobre ella sin dar una vuelta completa» [1] actuando en uno de sus extremos la resistencia y en otro la potencia.[2]

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5.2 TIPOS.  A. POLEA SIMPLE FIJA.

Asumiendo que la polea y la cuerda no tienen peso y que la cuerda arrastra la polea sin deslizar sobre ella, si O es el centro de la polea y P y R las direcciones de los cabos de potencia (extremo del que tiramos) y resistencia (de donde cuelga el peso) respectivamente, M y N serán los puntos de tangencia a la circunferencia de la polea donde podrán suponerse aplicadas ambas fuerzas. La polea a todos los efectos puede asimilarse entonces a una palanca angular cuyo fulcro (punto de apoyo) es el punto O y cuyos brazos de palanca son OM y ON de modo que en virtud de la ley de la palanca:

∗→=  ∗→ Dado que la polea es cilíndrica ambos brazos de palanca serán iguales al radio de la polea y por tanto: P=R Es decir, el uso de la polea simple fija no comporta ninguna ventaja mecánica (ahorro en la fuerza necesaria) ya que las magnitudes de potencia y resistencia son iguales, aunque se podrá mover el peso jalando la cuerda en la dirección que resulte más cómoda. La fuerza que ha de soportar el eje de la polea, Q, será la resultante de las fuerzas aplicadas P y R . Suponiendo ambas fuerzas aplicadas en O, y siendo 2α el ángulo que forman los cordones:

 = 2∗ ∗ cos

Y en el caso de que ambos cordones sean paralelos (α=0, cos α=1):

 = 2 ∗ La fuerza que deberá soportar el eje de la polea y la estructura de la que cuelgue ésta será el doble del peso que se desea levantar.

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B. POLEA SIMPLE MOVIL.

Teniendo en cuenta que ahora la resistencia obra directamente sobre la polea estando uno de los extremos de la cuerda fijo, deben verificarse las mismas condiciones de equilibrio antes consideradas, es decir, aplicando de nuevo la ley de la palanca obtendremos que: P=Q Es decir, al igual que el caso anterior las fuerzas que obran en ambos extremos de la cuerda son iguales. Por otro lado, ya que la resultante de ambas fuerzas actuantes sobre la cuerda debe ser igual a la resistencia que pende del eje de la polea:

Y despejando:

  2∗  cos 1  ∗   = 2∗cos

Puesto que el valor del coseno varía entre 0 (α = 90 º) y 1 (α = 0º), cuanto menor sea el ángulo α y mayor su coseno, tanto menor será la fu erza necesaria para

mover el peso y mayor la ventaja mecánica del uso de la polea; el máximo se dará cuando ambos ramales sean paralelos:

 = 2

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Con esta disposición —la más eficiente —  el peso se reparte por igual entre los dos ramales de la cuerda de la que pende la polea de modo que la fuerza que hemos de realizar es la mitad del peso que deseamos levantar, sin embargo ahora para levantar el peso un tramo h la longitud de cuerda que debemos halar es el doble, 2h. En el caso particular de que el ángulo α  sea de 30 grados — y su coseno 1/2 — la

ventaja mecánica desaparece y la potencia ha de ser igual a la resistencia. Si el ángulo es aún mayor la ventaja mecánica toma un valor menor que la unidad y la potencia necesaria es ya mayor que la resistencia.

5.3 SISTEMA DE POLEAS

De las conclusiones de los análisis de las poleas fijas y móviles se desprende que desde un punto de vista mecánico la eficiencia de un sistema de poleas dependerá del número de poleas movibles que emplee en tanto el uso de poleas fijas no comporta ventaja mecánica alguna. Además, la ventaja máxima se obtendrá cuando los ramales sean paralelos. Teniendo esto en cuenta la disposición más eficiente de un conjunto de poleas es la mostrada en la figura de la izquierda. Cada sucesiva polea movible divide por la mitad la resistencia aplicada: el ramal de la primera polea que es a su vez resistencia de la segunda polea soporta una

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fuerza igual a la mitad del peso; igualmente el ramal de la segunda polea, a su vez resistencia de la tercera polea soporta una cuarta parte del peso, etc. Si se emplean n poleas movibles, la ventaja mecánica será:

  = 2 ↔  = 2

La importante desventaja de este sistema de poleas es que usualmente no se dispone de indefinidos puntos fijos de anclaje sino de uno sólo por lo que las configuraciones más usuales consisten en la utilización de dos grupos, uno fijo y otro móvil, con igual número de poleas y estando éstas dispuestas en cada grupo bien en el mismo plano o sobre el mismo eje

5.4 POLEA DIFERENCIAL.

Una polea diferencial se compone de dos poleas de distinto radio caladas sobre el mismo eje y recibe esta denominación porque la potencia necesaria para elevar el peso es proporcional a la diferencia entre dichos radios; más aún, la máquina no funciona si los radios no son distintos. La cuerda, mejor cadena, es cerrada y se pasa primero por la garganta de la polea mayor (1-2) y luego por la polea móvil

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que sustenta la resistencia (2-3), retorna a la polea diferencial pasándose por la garganta de la menor (3-4) y finalmente se enlaza con el ramal sobre el que se aplica la potencia (4-1). Al aplicar la potencia en la dirección indicada en la figura, los ramales 1 y 3 descienden mientras que 2 y 4 ascienden. La resistencia, que ahora denotaremos Q para distinguirla de los radios R y r de la polea diferencial, está sostenida por dos ramales que supondremos paralelos (2 y 3) que se repartirán la carga estando a una tensión Q/2 mientras en la tira de la polea (1) actúa la potencia P. La condición de equilibrio es que la suma de los momentos de las fuerzas actuantes sobre la polea respecto de su eje sea igual a cero:

       = 0

 = −  

A igual conclusión hubiéramos llegado calculando directamente el brazo de palanca d de la resistencia, ya que si la polea móvil pende libremente quedará centrada entre los puntos de apoyo de los ramales 2 y 3, es decir:

− 

d=

La ventaja mecánica es inversamente proporcional a la diferencia de radios de las poleas de modo que cuanto menor sea dicha diferencia mayor será la ventaja mecánica y menor la fuerza necesaria para elevar el peso. En el caso límite, cuando R = r, el sistema se encuentra en equilibrio sin necesidad de realizar ninguna fuerza (P = 0) si bien, por mucho que tiremos de la cuerda o cadena la carga no se elevará ya que la longitud de cuerda halada será la misma en los cuatro ramales.

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5.4

MOVIMIENTOS DEPÉNDIENTES.

Cuando se tiene dos cuerpos unidos por cuerdas u otros dispositivos como poleas, el movimiento de uno de ellos depende del otro, pues si uno de ellos se mueve a una cierta distancia, el otro también avanza una distancia que está determinada por la primera o guarda relación con ella. A continuación daremos algunos casos más frecuentes que se presentan y que además nos servirán para resolver los problemas en una forma práctica y eficiente.

 A. RELACION ENTRE DOS CUERPOS UNIDOS POR UN CABLE.

Cuando dos cuerpos están unidos por un cable o cuerda, si uno de ellos se mueve con una aceleración, el otro se mueve con la misma aceleración. Este fenómeno se da aun cuando el movimiento se da en diferentes direcciones para cada uno de los cuerpos, caso que se presenta cuando existe la presenta de una polea como el ejemplo que se presenta a continuación:

Para un cuerpo de masa

"" que recorre una distancia de “X”, el cuerpo de masa

"" también recorrerá la misma distancia “X”

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…………… *

Suponiendo que partían del reposo, (

0). Por cinemática Reemplazando en *: 1   = 1  2 2  = ……………… (7)

B. RELACION ENTRE TENSIONES DE UNA POL EA. Para una polea de masa “

” que se desplaza con una aceleración “a” Aplicando la segunda ley de newton:

 2 =  Si la polea es ingrávida, es decir no tiene peso:

 = 0

 2 = (0)

 =

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C. RELACION DE ACLERACIONES DE CABLES EN POLEAS.

Para visualizar como se inueven los cables conectados a una polea en movimiento, ubiquemos los puntos “0”, “1” y “2” tal como se indica en la figura:

Las aceleraciones estarán relacionadas mediante la fórmula:

 = ⃗+ ⃗ ……. (8) Si el movimiento se da en los ejes coordenados como el caso grafico que da en la dirección del eje “X”:

̂ =  ̂ 2  ̂  =   2  Nota: la polea se mueve con la misma acelera ción que el punto “0” del cable.

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V. METODOLOGIA.

DATOS:

- MASA DE B = 40 kg - GRAVEDAD = 10 m/s 1. APLICAMOS EL DCL:

T T

2T

T

2T T

4T

B

A

400N

 

2. Encontramos la tensión analizando en B:

↑ ∑  = ………(5) ( × ) =    (×) = 

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 =   =  3. Hallamos la masa del bloque A: (para el equili brio)

↑ ∑  = ………(5)     =  (  × ) =   (  × ) =    =     =  kg 4. Hallamos la aceleración en B:

↑ ∑  =  × …. (6)   =  . 

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Segundo caso: dinámico: 

DATOS: - Masa de B = 40kg , masa de A = 50kg - g = 10 m/s²

T



T

T

 

2T 2T

 T

4T





B

A

 400 N



500 N

1. Encontramos la tensión analizando en B:

↑ ∑  = ………(5) ( × ) =    (×) =   =   = 

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2. Hallamos la aceleración en :

↑ ∑   =   ×  …. (6)   = ×   (  × ) =    (×) =    =     =  m/s² 3. Hallamos la aceleración en B:



 + =  …. (8)  Pero:   = 

   =    =  m/s² 

+ = …. (8)  Pero:

 = 

   =    =  m/s²

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VI. RESULTADOS. 

La tensión que se ejerce en la carga A es 100N.



La tensión que se ejerce en la carga B es 400N.

 

Después de haber desarrollado las ecuaciones llegamos a que la aceleración con que sube la carga B es 2 m/s² y la aceleración en A es de 8 m/s².

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VII. CONCLUCIONES.  Gracias

al sistema de poleas se puede reducir el desgaste físico en los obreros

al transportar las cargas. 

Nos ayuda a realizar la construcción en tiempo mínimo.

 Nos

dimos cuenta que con un sistema de poleas es más fácil subir cargas con

un menor esfuerzo 

El transporte a través de un sistema de poleas nos permite evitar la segregación

en el transporte de las mezclas en alturas mayores.



Conocer las ventajas de usar el sistema de poleas en la construcción civil.



Evitar segregación cuando se transporta mezclas

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VIII. BIBLIOGRAFIA.



JORGE MENDOZA DUEÑAS. Física. Edición X 2005.



ALONSOFINN. Física. Vol. I: mecánica.



SERWAY BEICHNER. Física para ciencias e ingeniería. Edición V.