Proyecto de Dinamica

UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CENTRO DEL PERÚ 

INGENIERIA CIVIL

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INTRODUCCION El concepto de energía es uno de los temas más importantes en ciencia e ingeniería. En la vida diaria , consideramos la energía en términos de combustible, para transporte y calefacción, electricidad para alumbrado y aparatos domésticos y alimentos para consumo, pero estas ideas en realidad no definen la energía y solo nos dicen que los combustibles se necesitan para realizar y que nos dan algo que llamamos energía. La energía esta presente en el universo en varias formas. Todo proceso físico que ocurra en el universo comprende energía y transformaciones de energía. Desafortunadamente, a pesar de su enorme importancia, no es fácil definirla. Las variables que vemos en temas diferentes son relativamente concretas; tenemos experiencia cotidiana con velocidades y fuerzas.

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OBJETIVOS 

El principal objetivo de esta experiencia es verificar la conservación de la energía mecánica de un cuerpo que se mueve sobre una superficie sin forma.



Verificar la conservación de la “Cantidad de movimiento lineal” en una colisión entre dos masas.

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MARCO TEORICO 1. Energía Es la capacidad para realizar un trabajo.

1.1 Energía Potencial Es la energía que se le puede asociar a un cuerpo o sistema conservativo en virtud de su posición o de su configuración. Si en una región del espacio existe un campo de fuerzas conservativo, la energía potencial del campo en el punto (A) se define como el trabajo requerido para mover una masa desde un punto de referencia (nivel de tierra) hasta el punto (A). Por definición el nivel de tierra tiene energía potencial nula. Algunos tipos de energía potencial que aparecen en diversos contextos de la física son:

1.1.1 Energía potencial gravitatoria  Asociada a la posición de un cuerpo en el campo gravitatorio (en el contexto de la mecánica clásica). La energía potencial gravitatoria de un cuerpo de masa m en un campo gravitatorio constante viene dada por: Ep =mgh donde h es la altura del centro de masa respecto al cero convencional de energía potencial.

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1.1.2 Energía potencial elástica  Asociada al campo de tensiones de un cuerpo deformable. La energía potencial puede definirse solamente cuando existe un campo de fuerzas que es conservativa, es decir, que cumpla con algunas de las siguientes propiedades: 

El trabajo realizado por la fuerza entre dos puntos es independiente del camino recorrido.



El trabajo realizado por la fuerza para cualquier camino cerrado es nulo.



Cuando el rotor de F es cero (sobre cualquier dominio simplemente conexo).

Se puede demostrar que todas las propiedades son equivalentes (es decir que cualquiera de ellas implica la otra). En estas condiciones, la energía potencial en un punto arbitrario se define como la diferencia de energía que tiene una partícula en el punto arbitrario y otro punto fijo llamado “potencial cero”.

1.2 Energía cinética la energía cinética es un concepto fundamental de la física que aparece tanto en mecánica clásica, como mecánica relativista y mecánica cuántica. La energía cinética es una magnitud escalar asociada al movimiento de cada una de las partículas del sistema. Su expresión varia ligeramente de una teoría física a otra. Esta energía se suele designar como K , T  o Ec . El límite clásico de la energía cinética de un cuerpo rigido que se desplaza a una velocidad v viene dada por la expresión:

Una propiedad interesante es que esta magnitud es extensiva por lo que la energía de un sistema puede expresare como suma de las energías de las partes disjuntas del sistema. Así por ejemplo puesto que los cuerpos están formados de

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partículas, se puede conocer su energía sumando las energías individuales de cada partícula del cuerpo.

2. Teorema de las fuerzas vivas El trabajo realizado sobre una partícula que se mueve desde un punto A a un punto B recorriendo una curva C es igual a la suma de los trabajos elementales a lo largo de dicha curva

Se define asimismo la potencia desarrollada por la fuerza como el trabajo que realiza durante un tiempo dt  dividido por dicho intervalo. ,

 Aplicando la segunda ley de Newton la potencia desarrollada por una fuerza puede escribirse como la derivada respecto al tiempo de la energía cinética

siendo K la energía cinética de la partícula

(donde

es el módulo de la velocidad, o celeridad, al cuadrado).

Integrando respecto al tiempo obtenemos el teorema de las fuerzas vivas (o teorema trabajo-energía cinética):

En palabras:

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“El trabajo realizado sobre una partícula entre dos puntos equivale al incremento de la energía cinética de dicha partícula. ” El trabajo realizado no tiene por qué ser necesariamente positivo. Si la partícula se ve frenada, su energía cinética disminuye y el trabajo resultante es negativo.

3. Fuerzas conservativas El trabajo realizado por una fuerza cuando una partícula se mueve desde un punto A a un punto B depende en general del camino recorrido. Por ejemplo, una fuerza de rozamiento realiza un trabajo mayor cuanto mayor sea la distancia recorrida, aunque los puntos iniciales y finales sean los mismos en todos los caminos. Existe una clase de fuerzas, denominadas fuerzas conservativas,  para las cuales el trabajo entre dos puntos es independiente del camino que se emplea para ir de uno a otro

para una fuerza conservativa, por tanto, podemos omitir la indicación de la curva y escribir simplemente

donde la integral se calcula por un camino arbitrario. Esto nos permite definir la energía potencial   de la cual deriva la fuerza conservativa como

donde es un punto fijo, conocido como “origen de potencial  para el cual la energía potencial es nula. ”

Para el caso de fuerzas conservativas puede enunciarse un teorema complementario al teorema de las fuerzas vivas.

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 A la hora de calcular el trabajo realizado por una fuerza conservativa para ir de un punto A a uno B podemos elegir un camino que pase por el origen de potencial. De esta forma, podemos expresar el trabajo como diferencia entre dos energías potenciales

esto es: “El trabajo realizado por una fuerza conservativa es igual al decremento de su energía  potencial.” Combinando este teorema con el de las fuerzas vivas se llega al teorema de conservación de la energía mecánica . “ 

” 

Si consideramos la variación instantánea de la energía potencial llegamos a la siguiente relación para fuerzas conservativas

4. Teorema de conservación de la energía mecánica Combinando el teorema de las fuerzas vivas con el de la energía potencial obtenemos que, cuando todas las fuerzas son conservativas

esto es, la que disminuye la energía potencial es igual a lo que aumenta la energía cinética (o viceversa). Reagrupando términos y definiendo la energía mecánica de la partícula como la suma de su energía cinética más la potencial obtenemos

lo que se conoce como teorema de conservación de la energía mecánica : “En ausencia de fuerzas no conservativas, la energía mecánica de una partícula  permanece constante.”

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Este teorema deja de cumplirse cuando sobre la partícula actúan fuerzas no conservativas, como el rozamiento. Las fuerzas que reducen la energía mecánica (normalmente transformándola en calor) se conocen como fuerzas disipativas. La constancia de la energía mecánica puede expresarse en forma de derivada temporal

5. Impulso y Cantidad de Movimiento En un choque obra una gran fuerza en cada una de las partículas que chocan durante un corto tiempo; un bat que golpea una pelota de béisbol o una partícula nuclear que choca con otra son ejemplos típicos. Por ejemplo, durante el intervalo muy corto de tiempo que el bat está en contacto con la pelota se ejerce sobre esta una fuerza muy grande. Esta fuerza varía con el tiempo de una manera compleja, que en general no se puede determinar. Tanto la pelota como el bat se deforman durante el choque. Fuerzas de este tipo se llaman fuerzas impulsivas.

Podemos escribir el cambio de cantidad de movimiento dp de un cuerpo en el tiempo dt durante el cual obra una fuerza F así: d p=

F dt

Podemos obtener el cambio de cantidad de movimiento del cuerpo durante un choque integrando en el tiempo del choque. Esto es, p2 − p1 = I d p= I F dt

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La integral de una fuerza en el intervalo durante el cual obra la fuerza se llama impulso de la fuerza. Por consiguiente, el cambio en la cantidad de movimiento de un cuerpo sobre el cual obra una fuerza impulsiva es igual al impulso. Tanto el impulso como la cantidad de movimiento son vectores y ambos tienen las mismas unidades y dimensiones. La fuerza impulsiva representada en la figura 2 se supone que es de dirección constante. El impulso de esta fuerza I F dt. Está representado en magnitud por el área de la curva fuerza−tiempo. Fenómenos de choque.− Consideremos ahora un choque entre dos partículas, tales como partículas de masa m1 y m2, durante el breve choque, esas partículas ejercen grandes fuerzas una sobre la otra. En cualquier instante F1 es la fuerza ejercida sobre la partícula 1 por la partícula 2 y F2 es la fuerza ejercida sobre la partícula 2 por la partícula 1. En virtud de la tercera Ley de Newton esas fuerzas son iguales en cualquier instante, pero en sentido contrario. Además, cada fuerza obra durante el mismo período de tiempo, esto es, el tiempo del choque, dt = t2 − t1

Dos partículas m1 y m2 en choque, experimentan fuerzas iguales y puestas en la dirección de la línea de sus centros, acuerdo con la tercera ley de Newton. El cambio de la cantidad de movimiento de la partícula resultante del choque es:

En esta expresión es el valor medio de la fuerza F1 durante el intervalo de tiempo. El cambio de cantidad de movimiento de la partícula 2 atribuible al choque es:

En esta expresión

es el valor medio de la fuerza F2 durante el intervalo de tiempo.

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Si no actúan otras fuerzas en las partículas, entonces

y

dan el cambio total

de la cantidad de movimiento para cada una. Pero hemos visto que en cada instante F2 es igual a − F1, de modo que

es igual a

, y por consiguiente:

Si consideramos las dos partículas como constituyendo un sistema, la cantidad de movimiento total del mismo es: P = p1 + p2.

el cambio total de cantidad de movimiento del sistema como resultado del choque es cero, esto es:

Por consiguiente, en ausencia de fuerzas externas, la cantidad de movimiento total del sistema es constante. Las fuerzas impulsivas que obran durante el choque son fuerzas internas que no tienen efecto en la cantidad de movimiento total del sistema. Si consideramos después un sistema de 3, 4, o, de hecho de un número cualquiera de partículas que sufren colisiones entre si por una simple extensión del método usado para dos partículas, podemos demostrar que la cantidad del movimiento del sistema se conserva. El único requisito es que no obren fuerzas externas sobre el sistema.

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METODO EXPERIMENTAL Materiales     

Una rampa libre de fricción. Dos pequeñas esferas de diferentes masas Cinta métrica Papel calca Bastón de madera

Procedimiento Prueba 1. Para el presente trabajo utilizamos la rampa o superficie, en donde colocamos un cuerpo de forma esférica en un punto A que esta a una altura H1 de un nivel referencial y con un ángulo de declinación cualquiera de modo que este ruede a través de la rampa hasta un punto B que se encuentra al final de la rampa y a una altura H  del mismo nivel referencial con ángulo de inclinación de 0º con la horizontal. Sabemos por teoría, que la energía mecánica se conserva en sistema en donde solo actúan fuerzas conservativas, es decir, el cuerpo de forma esférica tendrá una energía mecánica en el punto A y al llegar al punto B debe conservar dicha energía mecánica. Tenemos que: EM(A)=EM(B)

Entonces: MgH1=1/2m(V)^2+mgH

Donde: m : masa del cuerpo esférico H1: altura del punto A respecto de un nivel referencial. V: velocidad del cuerpo esférico en el punto B H: altura del punto B respecto al mismo nivel referencial

Simplificando y despejando tendríamos: V=(2g(H1-H))^ 1/2  ….(1)

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Esta magnitud nos indicaría que en verdad la energía mecánica se conserva en el sistema, la cual debería cumplir: Para hallar la velocidad haremos uso de las ecuaciones de movimiento parabólico, el cual pasaremos a explicar. El cuerpo esférico describirá un movimiento parabólico al salir de la rampa en el punto B. Entonces, como el punto es paralelo a la horizontal, el cuerpo solo presentara velocidad en el eje “x”, por cinemática :

H=Vy.t +1/2.g.t^2 Entonces, Vy=0 y tendríamos: t= (2H/g)^1/2……(2) Por otra parte, d=v.t, entonces reemplazando (1) y (2) en esta fórmula obtendríamos:

D=2((H1.H)^1/2)

Con este dato podemos calcular los errores que nos ayudaran a cumplir nuestros objetivos.

Prueba 2. De igual manera que en la prueba 1 hacemos uso del cuerpo esférico de masa m1 y de la rampa sin fricción, además de otra cuerpo esférica de masa m2 que se encuentra al final de la rampa en el punto B en forma de péndulo sin movimiento. En este caso al soltar el cuerpo esférico de masa m1 en A, este rodara a través de la rampa hasta el punto B y colisionara con la otra masa m2 que está atada a un punto fijo, entonces esta masa se elevara una cierta altura la cual pasaremos a calcular: Como ya sabemos V(B)=(2.g.H1)^1/2…(1),  ahora por conservación de la cantidad de(momento lineal tenemos que: m1.V1+m2.V2=m1.V´1+m2.V´2; como la masa m2 se encuentra en reposo tenemos que: m1.V1=-m1V´1+m2.V´2, y finalmente:

V´2=(m1.V1+m1.V´1)/m2…(2) Entonces con (1) y (2): V´2=(m1.((2.gH1)^1/2)+m1.Sx/(2.H2/g))/m2

Ho=(((m1.((2.g.H1)^1/2)+(m1.Sx)/(2.H2/g)^1/2)/m2)^2)/2.g

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Con esta ultimo formula pasaremos a verificar los objetivos planteados.

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DISEÑO EXPERIMENTAL

VISTA LATERAL

VISTA FRONTAL

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RESULTADOS

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CALCULO DE ERRORES

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CONCLUCIONES 

Del análisis concluimos que efectivamente la energía mecánica se conserva en un sistema aislado de fuerzas no conservativas.



También verificamos, con los resultados obtenidos, que la

“Cantidad de

Movimiento Lineal” se mantiene constante. 

El margen de error se debe a diferentes factores despreciables como el aire, la dilatación, pequeña fricción entre la rampa y el cuerpo esférico, etc.

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ANEXOS

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