Proyecto de Calculo

2013 Proyecto de Cálculo Diferencial Braquistócrona (Aplicación del Cálculo a la Física)

Integrantes:

Menéndez Leslie Moreano Silvia Tenesaca Lissette

TEMA Aplicación del Cálculo a la Física a través de la explicación y demostración del funcionamiento de la Braquistócrona.

ANTECEDENTES Johann Bernouilli, matemático de origen holandés, en Junio de 1696 retó a los más brillantes matemáticos del mundo a resolver el problema de la braquistócrona. A diferencia de lo que parece a primera vista, la línea recta no es la que permite el descenso más rápido, sino una curva plana que se llama braquistócrona (del griego braquis, corto, y cronos, tiempo). En el plano inclinado (línea recta), la bola lleva aceleración constante mientras que en la curva la aceleración varía. La mayor aceleración en la parte más vertical de la curva acelera la bola más que en el caso de la línea recta. Si marcamos un punto cualquiera de un aro y lo hacemos rodar por una superficie plana, la trayectoria curva que describe se llama cicloide. El arco de esta curva, entre los puntos A y B, es la braquistócrona.

Historia de la Braquistócrona

Galileo empezó a interesarse por las propiedades de la curva cicloide a partir del año 1599. Hacia 1640, el propio Galileo se había interesado en obtener la relación existente entre el

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área que encierra la cicloide con su cuerda y el área encerrada por la circunferencia que genera dicha curva. En el periodo 1634-1644, G.P. de Roberval y E. Torricelli demostrarían que las áreas están exactamente en razón tres a uno. En 1658, C. Wren mostraría que la longitud de un arco de cicloide es igual a ocho veces el radio de la circunferencia generatriz. En la misma época, B. Pascal también se ocuparía de estas cuestiones en relación con el método de los indivisibles de B. Cavalieri. En junio de 1696, Johann Bernoulli, que ocupaba por entonces la cátedra de matemáticas en Groningen (Holanda), propone en Acta Eruditorum (primera revista científica germana, publicada de 1682 a 1782) el problema de la braquistócrona (del griego, braquistos=el más breve, cronos=tiempo): "Dados dos puntos en un plano vertical a diferente altura, hallar la curva por la que una  partícula móvil, descendiendo sólo por su propio peso, alcanza el punto inferior en el  menor tiempo posible" 

Sarcásticamente, Johann añade como pista que la curva solución es bien conocida entre los matemáticos. La novedad del problema en sí  era notoria: no se trataba de encontrar extremos relativos de una curva, sino que la misma incógnita buscada es una curva que debe minimizar cierta cantidad. G.W. Leibniz admitía que este tipo de problemas era muy novedoso en la época.

Johann Bernoulli

En palabras del propio Johann Bernoulli, en aquella época sólo cinco personas tenían el potencial matemático suficiente para dar una respuesta satisfactoria al problema planteado, a saber, I. Newton,

G.W. Leibniz, G.F.A. L'Hôpital, Jakob Bernoulli y el propio Johann. En la época era bien conocido que tal curva no podía ser una recta (a pesar de que la recta minimice la distancia entre los puntos). Por su parte, Galileo había defendido previamente que la curva solución debía ser un arco de circunferencia, aunque, como veremos, el tiempo le quitaría la razón.

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Más concretamente, Johann Bernoulli había planteado la resolución de dos problemas (uno de los cuales era el problema de la braquistócrona) como reto dirigido especialmente a los matemáticos de la Royal Society de Londres, ofreciendo como premio a quien fuese capaz de dar las soluciones de ambos problemas un libro científico de su biblioteca personal muy ambicionado por los miembros de la Sociedad. Los aspirantes disponían de un plazo máximo de seis meses para presentar sus propuestas de solución. Entre los participantes del certamen se encontraban R. Hooke, E. Halley, G.W. Leibniz, C. Wren, y C. Huygens, entre otros. Por razones no muy bien conocidas, I. Newton no se percató del reto en el momento de su planteamiento. Los seis meses transcurrieron, y sólo Leibniz había encontrado una solución satisfactoria al problema de la braquistócrona, aunque no había podido resolver el segundo problema

Gottfried Wilhelm Leibniz

planteado. Así pues, Johann Bernoulli optó por extender el plazo de resolución por seis meses más. Molesto por su fracaso, Leibniz sugirió a Bernoulli que se solicitara la intervención de Newton. Johann encargó entonces a Halley la entrega de los dos problemas. El 29 de enero de 1697 a las 6 de la tarde, Newton, ya retirado de la vida académica, recibió de manos de Halley la carta de Bernoulli conteniendo los dos problemas. A las cuatro de la mañana del día siguiente tenía preparada las soluciones, y a las ocho las envió en una carta sin firma al presidente de la Royal Society. Sus desarrollos eran tan perfectos y elegantes que las soluciones propuestas por Newton fueron publicadas, también en forma anónima, en el número de febrero de 1697 de la revista Philosophical Transactions Of The Royal Society. Johann Bernoulli, impresionado por la elegancia de las soluciones propuestas en el artículo anónimo, no tuvo dificultad en identificar al autor y lo expresó con la histórica frase: "Por las garras se reconoce al león".

La curva solución al problema de la

braquistócrona era efectivamente una curva de tipo cicloide. Hasta la Pascua de 1697 habían aparecido en total cinco soluciones

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al problema de la braquistócrona: además de Johann Bernoulli, Leibniz y Newton, habían resuelto el problema Jakob Bernoulli y L'Hôpital. La solución más sencilla y popular en su época fue la concebida por el autor del problema, Johann Bernoulli. El método de Johann consistía en establecer una analogía entre la curva de descenso más rápido con la trayectoria que seguiría un rayo de luz en un medio con una densidad adecuadamente elegida. Por su parte, la solución propuesta por Jakob Bernoulli es considerada hoy día uno de los problemas inaugurales del Cálculo de Variaciones, disciplina matemática desarrollada con los aportes fundamentales de L. Euler y J.L. Lagrange y dedicada a la búsqueda de extremos relativos de funcionales definidos sobre algún espacio de funciones.

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JUSTIFICACION Existen una variedad infinita de aplicaciones del cálculo a muchas ramas de las ciencias, sin embargo es interesante observar como su aplicación a la física puede permitir la explicación del problema de la braquistócrona planteado por Johann Bernoulli en junio de 1696 por medio de la combinación de ecuaciones de la física y el cálculo. La física de este problema es clásica y no relativista, se aplican las leyes del movimiento de Newton y el principio de relatividad de Galileo, el espacio es tridimensional y euclídeo y el tiempo sirve de etiqueta independiente.

OBJETIVO GENERAL 

Encontrar una curva a lo largo de la cual una partícula pueda deslizarse sin fricción en un tiempo mínimo desde un punto A hasta un punto B situado más abajo. Si se permite que la partícula descienda exclusivamente bajo la acción de la gravedad, determinar cuál es la curva que debe elegirse para que el tiempo empleado en el descenso desde A hasta B sea mínimo.

OBJETIVOS ESPECIFICOS 

Observar como en un plano inclinado (línea recta) un cuerpo mantiene una aceleración constante mientras que en la parte más vertical de una curva la aceleración del cuerpo es mayor que en la del plano inclinado.



Demostrar que al marcar un punto cualquiera de un aro y hacerlo rodar por una superficie plana se producirá una trayectoria curva llamada cicloide y que el arco de esa curva entre los dos puntos tomados se denomina Braquistócrona.

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MARCO DE REFERENCIA DEFINICIONES 

Curva braquistócrona

Un curva braquistócrona (gr. βραχίστος brachistos 'el más corto', χρόνος chronos '[intervalo de] tiempo'), o curva del descenso más rápido, es la curva entre dos puntos que es recorrida en menor tiempo, por un cuerpo que comienza en el punto inicial con velocidad cero, y que debe desplazarse a lo largo de la curva hasta llegar al segundo punto, bajo acción de una fuerza de gravedad constante y suponiendo que no existe fricción. 

La Cicloide

La cicloide es la curva que describe un punto de una circunferencia que rueda sobre una recta sin deslizar como se ve en la figura. La cicloide fue llamada la Helena de la geometría, no solo por sus múltiples propiedades sino también por haber sido objeto de disputa entre muchos matemáticos. El primero que la estudio en profundidad fue Evangelista Torricelli(1608-1647) quien en 1644 publicó un tratado sobre la misma. 

Cálculo de variaciones

El cálculo de variaciones es un problema matemático consistente en buscar máximos y mínimos (o más generalmente extremos relativos) de funcionales continuos definidos sobre algún espacio funcional. Constituyen una generalización del cálculo e lemental de máximos y mínimos de funciones reales de una variable.

Descripción de la Braquistócrona

El dispositivo consta de tres curvas de madera sobre las cuales pueden deslizarse pequeñas esferas. Por medio de unas ranuras movibles, uno puede asegurarse de que dichas esferas partan simultáneamente desde el punto más alto. Tenemos un cuerpo puntual y con masa, sometido a la atracción de un campo gravitatorio uniforme e invariable en el tiempo. Sostenemos el cuerpo en el borde de una rampa que

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conecta con un punto de destino que se encuentra más abajo. En un momento dado, soltamos el cuerpo y dejamos que se deslize sin rozamiento por la rampa bajo la acción de su propio peso. La pregunta es: ¿qué forma ha de tener la rampa para que el tiempo sea mínimo? La forma de esta rampa (la forma de la trayectoria) es la braquistócrona: la curva de descenso más rápido. Esta curva no es, en general, una línea recta. Al fin y al cabo, si nuestro móvil se desplaza en línea recta, acelera a ritmo constante durante todo el camino y buena parte del mismo se mueve muy despacio, así que no parece descabellado que una trayectoria distinta, con un tramo inicial más próximo a la vertical que sirva para acelerar mucho al principio del camino, permita alcanzar el destino en menos tiempo.

La braquistócrona es la cicloide

Dados dos puntos A y B, con A a una elevación mayor que B, existe solo una curva cicloide con la concavidad hacia arriba que pasa por A con pendiente infinita ( dirección vertical y sentido de arriba hacia abajo), también pasa por B y no posee puntos máximos entre A

y B. Esta particular cicloide invertida es una curva braquistócrona. la curva no depende de la masa del cuerpo o del valor de la constante gravitacional. El problema puede ser resuelto utilizando los algoritmos del cálculo variacional. Si al cuerpo se le da una velocidad inicial en  A, o si se toma en cuenta el efecto de la fricción, la curva que minimiza el tiempo de tránsito será distinta de la descrita en los párrafos precedentes.

Braquistócrona

El problema de la curva braquistócrona se remonta a J. Bernoulli (1696). Se refiere a encontrar una curva en el plano cartesiano que vaya del punto

al origen de

modo que un punto material que se desliza sin fricción sobre ella tarda el menor tiempo

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posible en ir de

al origen. Usando principios de mecánica clásica el problema puede

formularse como,

donde g es la gravedad y las restricciones son, que en

,

. Hay que notar

existe una singularidad.

Una vía de resolución del problema de la braquistócrona

En este apartado mostraremos cómo el planteamiento del problema de hallar la curva que minimiza el tiempo de recorrido entre dos puntos nos conduce a la curva cicloide. Consideremos la figura 8 y tratemos de hallar la curva que une los puntos

y

de modo que un objeto que desplazándose a través de ella (sin rozamiento) por efecto de la gravedad lo haga en el menor tiempo posible. Por conveniencia en el desarrollo posterior hemos optado por modificar la dirección de los ejes coordenados: abajo;

vertical hacia

horizontal hacia la derecha.

Figura 8: Diferentes curvas que unen los puntos

y

.

Supongamos entonces que un objeto de masa m cae por una curva que une

y

, de

modo que se considera que el rozamiento es despreciable. En consecuencia, el principio de conservación de la energía mecánica nos conduce, en todo tiempo , a la relación:

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Por otro lado, si la posición del objeto en función del tiempo viene dada por

,

entonces se tiene que

Por tanto,

y el tiempo que tarda el objeto en desplazarse desde la posición

a la posición

será

(3)

Así pues, se tratará de hallar la curva cumpla

que haga

mínimo, y de modo que

,

Figura 9: La cicloide como solución al problema de la braquistócrona.

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CONCLUSIONES 

Se demostró que la línea recta no es la que permite el descenso más rápido, sino una curva plana que se llama braquistócrona.



Se determinó cual es la curva que debe elegirse para que el tiempo empleado en el descenso desde A hasta B sea mínimo. Así como el tiempo que tarda el objeto en desplazarse desde la posición

a la posición

, despejando a través del

cálculo la ecuación:



Pudimos concluir junto con los matemáticos quienes resolvieron el problema en 1696 que la respuesta al enigma planteado era la curva cicloide, que se obtiene de observar las posiciones de un punto fijo en una circunferencia que rueda sin deslizar en un plano horizontal.



Se demostró que al marcar un punto cualquiera de un aro y hacerlo rodar por una superficie plana se producirá una trayectoria curva llamada cicloide y que el arco de esa curva entre los dos puntos tomados se denomina Braquistócrona.



En el plano inclinado, la bola lleva una aceleración constante mientras que en la curva la aceleración varía. Concluyendo que la mayor aceleración en la parte más vertical de la curva acelera la bola más que en el caso de la línea recta.

RECOMENDACIONES 

Si al cuerpo se le da una velocidad inicial en  A, o si se toma en cuenta el efecto de la fricción, la curva que minimiza el tiempo de tránsito será distinta de la descrita anteriormente. Por lo tanto para que la curva que soluciona el problema sea una cicloide, se deben despreciar los dos casos anteriores.

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REFERENCIA BIBLIOGRAFICA 

http://sgcg.es/articulos/2011/04/19/braquistocrona/



http://es.wikipedia.org/wiki/C%C3%A1lculo_de_variaciones



http://www.planetamatematico.com/index.php?option=com_content&task=view&i d=348&Itemid=147



http://cms.cnba.uba.ar/limbo/index.php?option=content&task=view&id=56



http://news.magister21.com/index.php?option=com_content&view=article&id=56& catid=39&Itemid=71



http://www.principia-malaga.com/k/images/pdf/web-braquistocrona.pdf 



http://es.wikipedia.org/wiki/Curva_braquist%C3%B3crona



http://www.principia-malaga.com/p/index.php/component/content/article/26mecanica/214-braquistocrona-

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