Prova de matemática 2 (com respostas justificadas)

Matemática 2  01. Cada quadrado pequeno ilustrado na figura tem lado 2. Qual é a área do

polígono ABCDE? D

C E

A

B

Resposta: 64 Justificativa: O polígono pode ser decomposto no triângulo ABE e no quadrado BCDE que tem lado 4 2 + 62 . Logo, a área em questão é 1/2.6.4+4 +6 = 12+16+36=64. Alternativamente, a área em questão é igual i gual à área do quadrado maior m enos três vezes vezes a área do triângulo ABE. Logo, a área é 10.10 – 3.1/2 . 6.4 =64. 2

2

02. Para rebocar uma parede, será necessário preparar 420kg de uma mistura com

cimento, saibro e areia na proporção de 1 : 2 : 4. Indique quantos quilos de cimento serão necessários. Resposta: 60 Justificativa: Seja x a quantidade de cimento. Então x+2x+4x = 420

∴

7x = 420 ∴ x = 60

3

03. Um filtro de ar retém 0,7g de poeira para cada 100m de ar filtrado. Indique 3

quantos gramas de poeira são retidos de 8000m de ar filtrado. Resposta: 56 Justificativa: -2 3 P = 0,7.10 .8.10 = 7.8 = 56 04. Na figura a seguir, as quatro circunferências têm o mesmo m esmo centro, e seus raios

são 2, 3, 4 e 5. A área do maior anel sombreado é p% maior do que a área do menor anel sombreado. Indique p.

Resposta: 80 Justificativa: Sejam A1, A2, as áreas dos anéis menor e maior, respectivamente. Temos A 2 π25 − π16 9 = = = 1,8 e p = 80 A1 5 π9 − π 4 05. A figura abaixo ilustra a planificação de uma pirâmide de base quadrada com

lado medindo b e faces laterais formadas por t riângulos isósceles com um lado medindo b e os outros dois medindo a. Analise as afi rmações.

a b

0-0) A soma dos comprimentos das arestas da pirâmide é 4(a + b) b2 2 a2 − 1-1) A área da superfície da pirâmide é b + 2b 4 2-2) a > b/2 3-3) A altura da pirâmide é 4-4) O volume da pirâmide é

(a 2

−

b2 b2 )− 4 4

1 2 ba 3

Resposta: VVVVF Justificativa: 0-0 e 2-2 são claram ente verdadeiras. 1-1 e 3-3 são conseqüências do teorema de Pitágoras. 4-4 é falsa, pois a altura da pirâmide é menor do que a.

06. A figura a seguir il ustra a região sólida R de um cone reto, compreendida entre

duas seções meridianas que formam, entre si, um ângulo θ. Indique o volume de R, sabendo que a altura do cone é 5, o raio de sua base é 3 e θ = 2 radianos.

Resposta: 15 Justificativa: 2 Volume de R = 1/3 (altura x área da base) = 1/3 . 5 . 1/2.2 . (3 ) = 15 07. Dentre os retângulos com um vértice na origem de um sistema de coordenadas

cartesianas xOy, um vértice no semi-eixo positivo das abscissas, outro no semieixo positivo das ordenadas e o quarto vértice na reta 9x+5y=45, existe um que tem a maior área. Assinale o perímetro deste retângulo. Resposta: 14 Justificativa: O vértice do retângulo que está sobre a reta situa-se no primeiro quadrante. Se o ponto no eixo das abscissas tem coordenada x, então, a altura do retângulo é (45-9x)/5, e sua área é x(45-9x)/5 que tem valor máximo para x=(0+45/9)/2=5/2. A altura do triângulo de área máxima é 9-9/5.5/2=9/2 e seu perímetro é 2(5/2+9/2)=14. 08. Os pontos F1 e F2 são os focos de uma elipse cujo eixo maior mede 10 e cujo

eixo menor mede 6. Indique a soma dos perímetros dos triângulos ACF1, BCF2 e F1F2D. B

A C

F2

F1

D Resposta: 38 Justificativa: A soma pedida é igual a BF 2+BF1+AF2+AF1+DF2+DF1+F1F2 = 3.10 + F1F2. 2 F1F2 F1F2 2 2 Temos +3 = 5 e 2 = 4. A soma pedida é, portanto, 3.10 + 8 = 2 38 ¥ 

¢ 

¤ 

¡ 

09. Determine a abscissa x0 do ponto da reta

y = 7x – 3 que está a menor

distância do ponto (1,3). I ndique 100x0. Resposta: 86 Justificativa: Justificativa: O quadrado da distância entre um ponto (x, 7x – 3) da reta e o 2 2 2 ponto (1,3) é (x-1) + (7x – 3 – 3) = 50x – 86x + 37, que tem mínimo para x0 = 86/100 = 0,86. 10. Na ilustração abaixo, temos um cone reto com geratriz 10cm e raio da base

6cm, assim como sua planificação. Uma formiga, inicialmente no ponto A da base do cone, poderá atingir o ponto B, caminhando sobre a superfície do cone. Se o ponto B é o ponto médio de uma geratriz VC e o arco AC da base mede 5 π   /9 radianos, determine a menor distância d que a formiga percorrerá para 2 alcançar o ponto B. Indique d . V

B

C

A

V

B

A

C

Resposta: 75 Justificativa: O arco AC na circunferência da base mede 5 π   /9.6 = 10 π   /3. Na planificação, o ângulo AVC mede (10 π   /3)/10 = π   /3 radianos. Usando a 2 2 2 Lei dos cosenos, temos d = 10 + 5 – 2.10.5cos( π   /3) = 125 – 50 = 75.

11. O triângulo ABC ilustrado a seguir tem os lados AB e AC medindo 6 e 5, o

respectivamente, e o ângulo BAC medindo 120 . Determine o volume V do sólido obtido quando o triângulo ABC gira em torno de uma reta contendo o lado AC. Indique V/ π. B

A

C

Resposta: 45 Justificativa: o

O sólido é obtido retirando-se, de um cone de raio da base 6sen 60 = 3 3 o e altura 5 + 6cos 60 = 8, um cone de mesmo raio da base e altura 3. O sólido tem volume V =

π(3

2

3 ) (8-3)/3 = 45π.

12. Seja G o baricentro do triângulo ABC e sejam I e J os pontos médios dos

segmentos AG e BG. Analise as afirmações a seguir. C

K

L G I

A

J

B

0-0) O segmento IJ é paralelo ao lado AB. 1-1) O segmento KL mede metade do lado AB. 2-2) Os segmentos IJ e KL são congruentes. 3-3) Os segmentos IJ e KL são paralelos. 4-4) IJKL é um paralelogramo. Resposta: VVVVV Justificativa: Como I e J são os pontos médios de AG e BG, respectivamente, segue que IJ é paralelo a AB e mede metade de AB. Analogamente, LK é paralelo a AB e mede metade de AB. Portanto, 0-0, 1-1, 2-2 e 3-3 são verdadeiros. Como IJ e KL são paralelos e congruentes, temos que IJKL é um paralelogramo.

13. Quantos ângulos triedros ficam determinados por três retas não-coplanares e

concorrentes em um mesmo ponto? Resposta: 08 Justificativa: Temos seis semi-retas com origem na interseção das três retas. Para a escolha da primeira semi-reta, temos seis possibilidades, da segunda, quatro possibilidades, e da terceira, duas possibilidades, resultando em 6.4.2/6 = 8 ângulos triedros (observe que, permutando-se as três semi-retas, o triedro fica inalterado). As informações abaixo referem-se às duas questões seguintes: Seja ABC um triângulo isósceles com AB = AC = 2BC e BC = 10 15 . Seja I o incentro do triângulo, e D o ponto onde a circunferência inscrita intercepta o lado AB. A

D I B

C

14. Determine o raio da circunferência inscrita no t riângulo ABC.

Resposta: 15 Justificativa: A altura do triângulo ABC mede AB2

−

(BC / 2)2

=

4BC2

− BC

2 / 4

=

e

15BC / 2

sua

área

mede

BC.( 15 .BC/2)/2 = BC2 15 / 4 . Portanto, se r é o raio da circunferência inscrita ao triângulo ABC, temos (BC+AB+AC).r/2 = BC2 15 / 4 ou 5BC.r/2 = 2 15 / 4

e segue que r = BC 15 /10 =

BC

15

15 = 15.

2

15. Calcule BD e indique BD /5.

Resposta: 75 Justificativa: 2

2

2

2

2

2

2

2

2

Temos BD = BI – r = r + (BC/2) – r = (BC/2) = BC /4 = (10 15 ) /4 = 5.75. Alternativamente, tem-se que BD = BE = BC/2, onde E é o ponto de tangência da circunferência ao lado BC.

16. Na ilustração a seguir, os pontos P1, P2, P3 e P4 são pontos médios das arestas

VA1, VA2, VA3 e VA4. Se a pirâmide VA1A2A3A4 tem volume 480, qual o volume da pirâmide VP1P2P3P4 ? V

P3

P4 P1

P2

A3

A4

A1

A2

Resposta: 60 Justificativa: As pirâmides são semelhantes com razão de semelhança 2. Logo, o volume 3 de VP1P2P3P4 é 480/2 = 60. 17. Considerando z = (1 +

3 i)/2, analise as afirmações a seguir:

0-0) A forma trigonométrica de z é cos(π/3) +isen(π/3). 6 1-1) z = 1 3 5 2-2) Os afixos de z, z , z são vértices de um triângulo eqüilátero. 2 4 5 3-3) Os afixos de z, z , z e z são vértices de um quadrado. 3 4-4) z = 1. Resposta: VVVFF Justificativa: z forma com o semi-eixo positivo das abscissas um ângulo θ tal que sen θ = 3

3 /2 e cos θ = ½ logo, θ = π/3 e z = cos(π/3) +isen(π/3). Daí z = cos(3π/3) 6 +isen(3π/3) = -1 e z = 1. Segue que 0-0 e 1-1 são verdadeiras e 4-4 é falsa. 2 3 4 5 Temos também que 1, z, z , z , z , z são vértices de um hexágono regular. 3

3

5

A distância entre z e z e entre z e z é dada por

9 / 4 + 3 / 4

5

3 ; a

=

5 distância entre z e z é 2. 3 /2 = 3 . Portanto, os afixos de z, z e z formam um triângulo eqüilátero; logo, 2-2 é verdadeira. A distância entre z e 2

5

3

2

4

5

z é 1 e entre z e z é 3 ; logo, os afixos de z, z , z , z não são vértices de um quadrado e 3-3 é falsa.

18. A ilustração abaixo representa parte do gráfico de um polinômio cúbico p(x)

com coeficientes reais e coeficiente dominante positivo. O gráfico do polinômio passa pelos pontos (-1,0) e (2,0). y -3

-2

-1

0

1

2

3 x

-50 -100 -150 -200 Considerando as inform ações acima, analise as alternativas a seguir: 0-0) p(x) admite exatamente duas raízes reais. 1-1) p(x) ≤ 100, para todo x real. 2 2-2) p(x) é divisível por x – x – 2. 3-3) p(x) admite uma raiz complexa não real. 4-4) p(x) ≥ -250, para todo x real. Resposta: FFVFF Justificativa: Como p(x) é ilimitado para x positivo, temos que p(x) admite três raízes reais; portanto, 0-0, 1-1 e 3-3 são falsas. Como –1 e 2 são raízes de p(x), 2 temos que p(x) é divisível por (x + 1)(x – 2) = x – x – 2; logo, 2-2 é verdadeira. Para x negativo, p(x) não admite valor mínimo. 19. Encontre a raiz racional x da equação

x+3 x2 − 1

+

x−3 x2 − x

+

x+2 x2 + x

=

0

e indique -30x. Resposta: 50 Justificativa: Multiplicando a igualdade por (x – 1)x(x + 1), obtemos x(x + 3) + (x + 1)(x –  2 3) + (x – 1)(x + 2) = 0 que se simplifica como 3x + 2x – 5 =0 que tem raízes x = (-2 ± 64 )/6 = -5/3 e 1. x = 1 não é raiz da equação e –30.(-5/3) = 50.

20. Um cilindro reto de raio da base 8cm e altura 30cm está inscrito em uma 3

superfície esférica. Calcule o volume V, em cm , da região da esfera exterior ao cilindro e indique a soma dos dígitos do inteiro mais próximo de V. Aproxime π por 3,14.

Resposta: 14 Justificativa: 82 + 152 3 2 é 4π17 /3 - π.8 .30 = 14540,29.

O raio da esfera mede

=

17 cm, e o volume da região considerada

21. Na ilustração a seguir, a circunferência passa pelos vértices A e B do quadrado

ABCD e é tangente ao lado CD. Se o quadrado tem lado 12, indique o diâmetro da circunferência. D

C

A

B

Resposta: 15 Justificativa: Considere o triângulo com vértices no centro da circunferência, no vértice A 2 2 2 e no ponto médio de AB. Se r é o raio da circunferência, temos (12-r) +6 = r que se simplifi ca como 180-24r = 0 e daí r = 7,5.

22. Na figura abaixo, ABCD é um quadrado de lado medindo 12, e ABE e CDF são

triângulos equiláteros. Indique o inteiro mais próximo da área do quadrilátero EGFH. (Obs.: Use a aproximação

3

≅

1,73.)

D

C E

G

H

F A

B

Resposta: 22 Justificativa: Solução: EGFH consiste de dois triângulos equiláteros congruentes: EGH e o o FGH. O ângulo BCH mede 30 e, portanto, cos30 =6/CH; logo, CH=4 3 e

o lado do triângulo EGH mede 12-4 3 . A área do quadrilátero EGFH mede 2 2.(12-4 3 ) 3 /4=8(12-6 3 ) 3 = 96

3 -144 ≅ 22,08.

23. As expressões numéricas x-5, 2x-9, 3x-13 e 4x-3 podem ser reordenadas de

modo que a soma das duas primeiras seja 30, e a soma das duas últimas seja 60. Qual o maior dos quatro números? Resposta: 45 Justificativa: A soma das quatro expressões é 90. Portanto, x-5+2x-9+3x-13+4x-3=90 e daí 10x=120 e x=12. Os números são 7, 15, 23 e 45. 24. Na ilustração abaixo, os segmentos AB e EF são paralelos. Determine a soma

S, em graus, dos ângulos indicados com vértices nos pontos B, C, D e E. Indique S/10. B

A

C

D

E

F

Resposta: 54 Justificativa: Seja G o pé da perpendicular a AB, passando por A . O polígono ABCDEG o º tem a soma dos ângulos internos dada por (6-2).180 =4.180 A soma dos o o o º ângulos indicados é 4.180 -180 =3.180 =540 .

o

25. O círculo da ilustração abaixo tem raio 6, o ângulo BOC mede 60 e os ângulos o

AOB e COD medem 30 . Qual o inteiro mais próximo da área da região colorida? (Obs.: use a aproximação π ≅ 3,14.)

O

A

D B

C

Resposta: 19 Justificativa: 2 2 A área do setor OABCD é 1/3.π.6 =12π e a do setor OBC é 1/6. π.6 =6π. O 2 o triângulo OAD tem área 6 .sen120 /2=9 3 e o triângulo OBC tem área 2 6 3 /4=9 3 . A área da região colorida é 12 π-9 3 -(6π-9 3 )=6π ≅ 18,84.

26. O poliedro convexo que inspirou a bola de futebol é formado de faces regulares

pentagonais e hexagonais. O número total de vértices é 60, e o de arestas é 90. Quantas são as faces hexagonais? Resposta: 20 Justificativa: Da relação de Euler obtemos 60 – 90 + F = 2 e F = 32. Se x é o número de faces hexagonais, temos que existem 32 – x faces pentagonais e, contando o número de arestas, temos 6x + 5(32 – x) = 2.90, que equivale a x = 180 –  160 = 20. 27. Na ilustração a seguir, o triângulo ABC é eqüilátero, a circunferência maior está

inscrita no triângulo a as duas menores são tangentes à maior e a dois lados do triângulo. Se o triângulo tem l ado medindo 18, qual o maior inteiro menor que a área da região colorida? (Dado: use as aproximações A

C

B

Resposta: 36

3

≅

1,73 e π ≅ 3,14.)

Justificativa: A circunferência maior tem raio 1/3.18. 3 /2 = 3 3 . As circunferências menores estão inscritas em triângulos eqüiláteros de altura 9 3 - 2(3 3 ) = 3 3 ; logo, têm raio 1/3.3 3 = 2

circunferências é π((3 3 ) + 2. 33π ≅ 36,51.

3 . A soma das áreas limitadas pelas 2

3 ) = 33π e a área colorida é 18

2

3 /4 – 

28. Na ilustração abaixo, o ponto P está no interior do triângulo ABC, e por P são

traçadas paralelas aos lados AB, AC e BC que interceptam estes lados nos pontos D, E, F, G, H e I. Se ABC é eqüilátero de lado 100, DE = 25 e FG = 45, qual a medida de HI? C G

H P

I

A

D

F

E

B

Resposta: 30 Justificativa: Os triângulos ABC, DEP, FGP e HIP são todos semelhantes. Portanto, DE/AB + FG/BC + HI/AC = DE/AB + PF/AB + PI/AB = (EB + DE + AD)/AB = 1. Daí 25/100 + 45/100 + HI/100 = 1 e HI = 30.

29. Na ilustração abaixo, ABCD é um quadrado, e EFGHIJ é um hexágono regular

com os vértices E, G, H e J, nos lados AB, BC, CD e DA do quadrado, respectivamente. A diagonal FI do hexágono está contida na diagonal AC do quadrado. Se o quadrado tem lado 100, qual o inteiro mais próximo do lado do o hexágono? (Dado: use a aproximação: cos 15 ≅ 0,96.)

D

H

C

I

G

J

F

A

E

B

Resposta: 52 Justificativa: Seja O o centro do hexágono (ou do quadrado), e seja K o pé da perpendicular por O ao lado AB. Temos que o triângulo KOE tem o ângulo o o o o EOK medindo 60 – 45 = 15 ; daí cos 15 = OK/OE e OE = 50/0,96 ≅ 52,08. 30. Um tablete de doce de goiaba tem a forma de um paralelepípedo reto retângulo

de dimensões 10cm, 8cm e 6cm. O tablete foi embrulhado em papel celofane e dividido em cubos de aresta 1cm. Analise as afirmações abaixo, a partir destes dados: 0-0) Existem 480 cubos de aresta 1cm. 1-1) Existem 245 cubos sem qualquer face coberta pelo papel. 2-2) Existem 208 cubos com exatamente uma face coberta pelo papel. 3-3) Existem 36 cubos com exatamente duas faces cobertas pelo papel. 4-4) Existem 8 cubos com exatamente três faces cobertas pelo papel. Resposta: VFVFV Justificativa: O número de cubos é 10.8.6 = 480, logo, 0-0 é verdadeira. O número de cubos sem qualquer face coberta de papel é (10 - 2)(8 - 2)(6 - 2) = 192; logo, 1-1 é falsa. O número de cubos com uma face coberta pelo papel é 2(8.6 + 8.4 + 6.4) = 208; logo, 3-3 é verdadeira. O número de cubos com duas faces cobertas de papel é 72; logo, 3-3 é falsa; existem oito cubos com três faces cobertas de papel, o que torna 4-4 verdadeira. 31. Um jogador esteve em três casas de apostas durante uma noite: na primeira,

ele dobrou a quantia que possuía ao chegar e, posteriormente, gastou R$ 30,00. Na segunda, ele triplicou a quantia que tinha ao chegar e, posteriormente, gastou R$ 54,00 e, na terceira, ele quadruplicou a quantia que tinha ao chegar, então gastou R$ 72,00 e observou que lhe restavam R$ 48,00. Qual a quantia, em reais, que ele tinha ao chegar à prim eira casa de apostas? Resposta: 29 Justificativa: Ao chegar à terceira casa de apostas, ele tinha (72 + 48)/4 = 30 reais; ao

chegar à segunda casa de apostas ele tinha (30 + 54)/3 = 28 reais e, ao chegar à prim eira casa, ele tinha (28 + 30)/2 = 29 reais. 32. No primeiro semestre de 2003, a indústria X teve um faturamento 20% superior

ao da indústria Y. No primeiro semestre de 2004, os faturamentos das indústrias X e Y cresceram 20% e 50%, respectivamente. No primeiro semestre de 2004, o faturamento da indústria X foi inferior em p% ao faturamento da indústria Y. Indique 10p. Resposta: 40 Justificativa: Se y denota o faturamento da indústria Y no primeiro semestre de 2003, então, o faturamento da indústria X, no mesmo período, foi de 1,2y. No primeiro semestre de 2004, os faturamentos das indústrias X e Y foram de 1,2.1,2y=1,44y e 1,5y, respectivamente. Portanto, o f aturamento da indústria X foi inferior em (0,06./1,5).100%=4% ao faturamento da indústria Y.