Proporcionalidad

 

PROPORCIONALIDAD  Definición de proporción Proporción es una igualdad entre dos razones.  

Constante de proporcionalidad

Propiedades de las proporciones En una proporción del producto de los medios es igual al producto de los extremos.  

En una proporción o en una serie de razones iguales, la suma de los antecedentes dividida entre la suma de los consecuentes es igual a una cualquiera de las razones.  

-1–

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PROPORCIONALIDAD  Si en una proporción cambian entre sí los medios o extremos la proporción no varía.  

Cuarto proporcional Es uno cualquiera de los términos de una proporción.   Para calcularlo se divide por el opuesto, el producto de los otros dos términos.

Medio proporcional Una

proporción es continua si tiene los dos medios iguales .

Para calcular el medio proporcional de una proporción continua se extrae la raíz cuadrada del producto de los extremos.

-2–

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PROPORCIONALIDAD  Tercero proporcional En

una

proporción

continua ,

se

denomina

tercero

proporcional a cada uno de los términos desiguales. Un

tercero proporcional   e s i g u a l a l c u a d r a d o d e l o s

términos iguales, dividido por el término desigual.

Dos

magnitudes

son

directamente

proporcionales   c u a n d o , a l

multiplicar o dividir una de ellas   p o r u n n ú m e r o c u a l q u i e r a , l a otra queda multiplicada o dividida  p o r e l m i s m o n ú m e r o . Se establece una relación de proporcionalidad directa entre dos magnitudes cuando: A

m á s  c o r r e s p o n d e m á s .

A

menos  c o r r e s p o n d e menos .

Son magnitudes

directamente proporcionales , e l p e s o d e u n p r o d u c t o y s u

precio. Si 1 kg de tomates cuesta 1 €, 2 kg costarán 2 € y ½ kg costará 50 céntimos. Es decir:

m á s  k i l ó g r a m o s d e t o m a t e m á s  e u r o s . A menos  k i l ó g r a m o s d e t o m a t e menos  e u r o s . A

-3–

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PROPORCIONALIDAD  También son

directamente proporcionales :

El espacio recorrido por un móvil y el tiempo empleado. El volumen de un cuerpo y su peso. La longitud de los lados de un polígono y su área.

Aplicaciones de la proporcionalidad directa Regla de tres simple y directa  Repartos directamente proporcionales  P o r c e n t a j e s  Consiste magnitudes

en

que

dadas

dos

cantidades

correspondientes

a

directamente proporcionales , c a l c u l a r l a c a n t i d a d d e u n a d e

estas magnitudes correspondiente a una cantidad dada de la otra magnitud.

La

regla

de

tres

directa   l a a p l i c a r e m o s c u a n d o e n t r e l a s

magnitudes se establecen las relaciones: A

más 

más.

A

menos  

menos .

-4–

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PROPORCIONALIDAD  Ejemplos

Un automóvil recorre 240 km en 3 horas. ¿Cuántos kilómetros habrá recorrido en 2 horas? Son magnitudes recorrerá

directamente proporcionales , y a q u e a menos   h o r a s

menos  k i l ó m e t r o s . 240 km x

3 h

km

2 h

Ana compra 5 kg de patatas, si 2 kg cuestan 0.80 €, ¿cuánto pagará Ana? Son magnitudes kilos,

directamente proporcionales , y a q u e a m á s  

m á s  e u r o s . 2 kg

5

Consiste en que

0.80 €

kg

x €

dadas unas magnitudes de un mismo tipo y una

magnitud total, calcular la parte correspondiente a cada una de las magnitudes dadas.

-5–

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PROPORCIONALIDAD 

Ejemplo

Un abuelo reparte 450 € entre sus tres nietos de 8, 12 y 16 años de edad; proporcionalmente a sus edades. ¿Cuánto corresponde a cada uno?

Llamamos x, y, z a las cantidades que l e corresponde a cada uno.

1 º  E l r e p a r t o p r o p o r c i o n a l e s :

2 º  P o r l a p r o p i e d a d d e l a s r a z o n e s i g u a l e s :

3 º  C a d a n i e t o r e c i b i r á :

-6–

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PROPORCIONALIDAD 

Un porcentaje es un tipo de regla de tres directa en el que una de las cantidades es 100.  

Ejemplos de porcentajes

Una moto cuyo precio era de 5.000 €, cuesta en la actualidad 250 € más. ¿Cuál es el porcentaje de aumento? 5000 €

250 €

100 €

El

x €

5%.

Al adquirir un vehículo cuyo precio es de 8800 €, nos hacen un descuento del 7.5%. ¿Cuánto hay que pagar por el vehículo?

100 €

7.5 €

8800 €

x €

8800 € − 660 € =

-7–

8140 €

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PROPORCIONALIDAD  También

se

puede

calcular

directamente

del

siguiente modo:

100 €

92.5 €

8800 €

x €

El precio de un ordenador es de 1200 € sin IVA. ¿Cuánto hay que pagar por él si el IVA es del 16%?

100 €

116 €

1200 €

Dos

magnitudes

son

inversamente

x €

proporcionales

cuando,

al

multiplicar o dividir una de ellas por un número cualquiera, la otra queda dividida o multiplicada por el mis mo número.   Se establece una relación de

proporcionalidad inversa   e n t r e d o s

magnitudes cuando:

-8–

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PROPORCIONALIDAD  A

m á s  c o r r e s p o n d e  menos .

A

menos  c o r r e s p o n d e   m á s .

Son

magnitudes inversamente proporcionales , l a v e l o c i d a d y e l

tiempo: A

m á s  v e l o c i d a d c o r r e s p o n d e  menos  t i e m p o .

A

menos  v e l o c i d a d c o r r e s p o n d e   m á s  t i e m p o .

Un vehículo tarda en realizar un trayecto 6 horas si su velocidad es de 60 km/h, pero si doblamos la velocidad el tiempo disminuirá a la mitad. Es decir, si la velocidad es de 120 km/h el tiempo del trayecto será de 3 horas.

Aplicaciones de la proporcionalidad inversa Regla de tres simple inversa  Repartos inversamente proporcionales 

Consiste

en

que

dadas

dos

cantidades

correspondientes

a

magnitudes inversamente proporcionales, calcular la cantidad de una de estas magnitudes correspondiente a una cantidad dada de la otra magnitud.  

-9–

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PROPORCIONALIDAD 

La

regla

de

tres

inversa   l a a p l i c a r e m o s c u a n d o e n t r e l a s

magnitudes se establecen las relaciones: A

más 

menos .

A

menos  

más.

Ejemplo Un grifo que mana 18 l de agua por minuto tarda 14 horas en llenar un depósito. ¿Cuánto tardaría si su caudal fuera de 7 l por minuto? Son magnitudes por minuto tardará

inversamente proporcionales , y a q u e a menos   l i t r o s

más en llenar el depósito.

18 l/min

14 h

7 l/min

x h

3 obreros construyen un muro en 12 horas, ¿cuánto tardarán en construirlo 6 obreros?

- 10 –

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PROPORCIONALIDAD  Son magnitudes obreros tardarán

inversamente proporcionales , y a q u e a m á s  

menos  h o r a s .

3 obreros

12 h

6 obreros

x h

Dadas unas magnitudes de un mismo tipo y una magnitud total, debemos hacer un reparto directamente proporcional a las inversas de las magnitudes.  

Ejemplo Tres

hermanos

ayudan

al

mantenimiento

familiar

entregando

anualmente 5900 €. Si sus edades son de 20, 24 y 32 años y las aportaciones son inversamente proporcionales a la edad, ¿cuánto aporta cada uno?

1 º  T o m a m o s l o s i n v e r s o s :

2 º  P o n e m o s a c o m ú n d e n o m i n a d o r :

3º  Realizamos

un

reparto

directamente

proporcional

numeradores: 24, 20 y 15.

- 11 –

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a

los

 

PROPORCIONALIDAD 

La

regla de tres compuesta   s e e m p l e a c u a n d o s e r e l a c i o n a n tres o

más magnitudes , d e m o d o q u e a p a r t i r d e l a s r e l a c i o n e s e s t a b l e c i d a s entre las magnitudes conocidas obtenemos la desconocida. Una

regla de tres compuesta   s e c o m p o n e d e v a r i a s reglas de tres

simples a p l i c a d a s s u c e s i v a m e n t e . Como entre las magnitudes se pueden establecer relaciones de

proporcionalidad directa o inversa , p o d e m o s d i s t i n g u i r tres casos   d e regla de tres compuesta :

Regla de tres compuesta directa

- 12 –

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PROPORCIONALIDAD  Ejemplo

Nueve grifos abiertos durante 10 horas diarias han consumido una cantidad de agua por valor de 20 €. Averiguar el precio del vertid o de 15 grifos abiertos 12 horas durante los mismos días. A

m á s  g r i f o s , más e u ros

Directa .

A

m á s  h o r a s , más e u r o s

Directa .

9 grifos

10 horas

20 €

15 grifos

12 horas

x €

Regla de tres compuesta inversa

- 13 –

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PROPORCIONALIDAD  Ejemplo 5 obreros trabajando, trabajando 6 horas diarias construyen un muro en 2 días. ¿Cuánto tardarán 4 obreros trabajando 7 horas diarias? A

menos o b r e r o s , m á s   dí días

A

m á s  h o r a s , menos d í a s

5 obreros

4 obreros

Inversa .   Inversa .

6 horas

2 días

7 horas

x días

Regla de tres compuesta mixta

- 14 –

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PROPORCIONALIDAD  Ejemplo Si 8 obreros realizan en 9 días trabajando a razón de 6 horas por día un muro de 30 m. ¿Cuántos días necesitarán 10 obreros trabajando 8 horas diarias para realizar los 50 m de muro que faltan? A

más o b r e r o s ,  menos d í a s

A

m á s  h o r a s ,  menos d í a s

  Inversa .

A

m á s  m e t r o s , más d í a s

Directa .

8 obreros

Inversa .

9 días

10 obreros

x días

6 horas 8 horas

30 m 50 m

Ejercicios y problemas de proporcionalidad 1Calcular el término desconocido de 1

 

2

 

3

las siguientes proporciones:

 

- 15 –

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PROPORCIONALIDAD  4

 

5

 

2Dos

ruedas están unidas por una correa transmisora. La primera

tiene un radio de 25 cm y la segunda de 75 cm. Cuando la primera ha dado 300 vueltas, ¿cuántas vueltas habrá dado la segunda?

3Seis

personas pueden vivir en un hotel durante 12 días por 792 €.

¿Cuánto costará el hotel de 15 personas durante ocho dí as?

4Con

12 botes conteniendo cada uno ½ kg de pintura se han pintado

90 m de verja de 80 cm de altura. Calcular cuántos botes de 2 kg de pintura serán necesarios para pintar una verja similar de 120 cm de altura y 200 metros de longitud.

511

obreros labran un campo rectangular de 220 m de largo y 48 de

ancho en 6 días. ¿Cuántos obreros serán necesarios para labrar otro campo análogo de 300 m de largo por 56 m de ancho en cinco días?

6  Seis

grifos, tardan 10 horas en llenar un depósito de 400 m³ de

capacidad. ¿Cuántas horas tardarán cuatro grifos en llenar 2 depósitos de 500 m³ cada uno?

7De

los 800 alumnos de un colegio, han ido de viaje 600. ¿Qué

porcentaje de alumnos ha ido de viaje?

8Una

moto cuyo precio era de 5.000 €, cuesta en la actualidad 250

 € m á s . ¿ C u á l e s e l p o r c e n t a j e d e a u m e n t o ?

- 16 –

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PROPORCIONALIDAD  9Al

adquirir un vehículo cuyo precio es de 8800 €, nos hacen un

descuento del 7.5%. ¿Cuánto hay que pagar por el vehículo?

10Al

comprar un monitor que cuesta 450 € nos hacen un descuento

del 8%. ¿Cuánto tenemos que pagar?

11 Se

vende un artículo con una ganancia del 15% sobre el precio de

costo. Si se ha comprado en 80 €. Halla el precio de venta.

12  Cuál

será el precio que hemos de marcar en un artículo cuya

compra ha ascendido a 180 € para ganar al venderlo el 10%.

13  ¿Qué

precio de venta hemos de poner a un artículo comparado a

280 €, para perder el 12% sobre el precio de venta?

14Se

vende un objeto perdiendo el 20% sobre el precio de compra.

Hallar el precio de venta del citado artículo c uyo valor de compra fue de 150 €.

Ejercicios y problemas resueltos de proporcionalidad Calcular el término desconocido d e las siguientes proporciones:

1

 

2

 

- 17 –

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PROPORCIONALIDAD  3

 

4

 

5

 

2 Dos ruedas están unidas por una correa transmisora. La primera tiene un radio de 25 cm y la segunda de 75 cm. Cuando la primera ha dado 300 vueltas, ¿cuántas vueltas habrá dado la segunda? 25 cm

300 vueltas

75 cm

x vueltas

Seis personas pueden vivir en un hotel durante 12 días por 792 €. ¿Cuánto costará el hotel de 15 personas durante ocho dí as? 6 personas

12 días

15 personas

8 días

792 € x €

- 18 –

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PROPORCIONALIDAD 

Con 12 botes conteniendo cada uno ½ kg de pintura se han pintado 90 m de verja de 80 cm de altura. Calcular cuántos botes de 2 kg de pintura serán necesarios para pintar una verja similar de 120 cm de altura y 200 metros de longitud. ½ kg

90 · 0.8 m²

12 botes

2 kg

200 · 1.2 m²

x botes

11 obreros labran un campo rectangular de 220 m de largo y 48 de ancho en 6 días. ¿Cuántos obreros serán necesarios para labrar otro campo análogo de 300 m de largo por 56 m de ancho en cinco días? 220 · 48 m²

6 días

11 obreros

300 · 56 m²

5 días

x obreros

Seis grifos, tardan 10 horas en llenar un depósito de 400 m³ de capacidad. ¿Cuántas horas tardarán cuatro grifos en llenar 2 depósitos de 500 m³ cada uno? 6 grifos

10 horas

4 grifos

x horas

1 depósito 2 depósitos

- 19 –

400 m³ 500 m³

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PROPORCIONALIDAD 

De los 800 alumnos de un colegio, han ido de viaje 600. ¿Qué porcentaje de alumnos ha ido de viaje? 800 alumnos

600 alumnos

100 alumnos

x alumnos

Al adquirir un vehículo cuyo precio es de 8800 €, nos hacen un descuento del 7.5%. ¿Cuánto hay que pagar por el vehículo? 100 €

7.5 €

8800 €

x €

8800 € − 660 € =

8140 €

También se puede calcular directamente del siguiente modo: 100 €

92.5 €

8800 €

x €

- 20 –

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PROPORCIONALIDAD 

El precio de un ordenador es de 1200 € sin IVA. ¿Cuánto hay que pagar por él si el IVA es del 16%? 100 €

116 €

1200 €

x €

Al comprar un monitor que cuesta 450 € nos hacen un descuento del 8%. ¿Cuánto tenemos que pagar? 100 €

92 €

450 €

x €

Se vende un artículo con una ganancia del 15% sobre el precio de costo. Si se ha comprado en 80 €. Halla el precio de venta. 100 €

115 €

80 €

x €

- 21 –

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PROPORCIONALIDAD  Cuál será el precio que hemos de marcar en un artículo cuya compra ha ascendido a 180 € para ga nar al venderlo el 10%.

venta compra   100 € x €

90 € 180 €

¿Qué precio de venta hemos de poner a un artículo comparado a 280  € , p a r a p e r d e r e l 1 2 % s o b r e e l p r e c i o d e v e n t a ?

venta compra   100 € x €

112 € 280 €

Se vende un objeto perdiendo el 20% sobre el precio de compra. Hallar el precio de venta del citado artículo c uyo valor de compra fue de 150 €. 100 €

80 €

150 €

x €

- 22 –

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PROPORCIONALIDAD  Ejercicios y problemas de proporcionalidad 1Un

abuelo reparte 450 € entre sus tres nietos de 8, 12 y 16 años

de edad; proporcionalmente a sus edades. ¿Cuánto corresponde a cada uno?

2  Se

asocian tres individuos aportando 5000, 7500 y 9000 €. Al

cabo de un año han ganado 6 450 €. ¿Qué cantidad corresponde a cada uno si hacen un reparto directamente proporcional a los capitales aportados?

3 

Se

reparte

una

cantidad

de

dinero,

entre

tres

personas,

directamente proporcional a 3, 5 y 7. Sabiendo que a la segunda le corresponde 735 €. Hallar lo que le corresponde a la primera y tercera.

4Se

reparte dinero en proporción a 5, 10 y 13; al menor le

corresponden 2500 €. ¿Cuánto corresponde a los otros dos?

5Tres

hermanos

ayudan

al

mantenimiento

familiar

entregando

anualmente 5900 €. Si sus edades son de 20, 24 y 32 años y las aportaciones son inversamente proporcionales a la edad, ¿cuánto aporta cada uno?

6Repartir

420

€,

entre

tres

niños

en

partes

inversamente

proporcionales a sus edades, que son 3, 5 y 6.

Un abuelo reparte 450 € entre sus tres nietos de 8, 12 y 16 años de edad; proporcionalmente a sus edades. ¿Cuánto corresponde a cada uno?

- 23 –

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PROPORCIONALIDAD 

Se asocian tres individuos aportando 5000, 7500 y 9000 €. Al cabo de un año han ganado 6 450 €. ¿Qué cantidad corresponde a cada uno si hacen un reparto directamente proporcional a los capitales aportados?

De los 800 alumnos de un colegio, han ido de viaje 600. ¿Qué porcentaje de alumnos ha ido de viaje?

2Una

moto cuyo precio era de 5.000 €, cuesta en la actualidad 250

 € m á s . ¿ C u á l e s e l p o r c e n t a j e d e a u m e n t o ?

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PROPORCIONALIDAD  3Al

adquirir un vehículo cuyo precio es de 8800 €, nos hacen un

descuento del 7.5%. ¿Cuánto hay que pagar por el vehículo?

4Al

comprar un monitor que cuesta 450 € nos hacen un descuento

del 8%. ¿Cuánto tenemos que pagar?

5 Se

vende un artículo con una ganancia del 15% sobre el precio de

costo. Si se ha comprado en 80 €. Halla el precio de venta.

6  Cuál

será el precio que hemos de marcar en un artículo cuya

compra ha ascendido a 180 € para ganar al venderlo el 10%.

7  ¿Qué

precio de venta hemos de poner a un artículo comparado a

280 €, para perder el 12% sobre el precio de venta?

8Se

vende un objeto perdiendo el 20% sobre el precio de compra.

Hallar el precio de venta del citado artículo c uyo valor de compra fue de 150 €. De los 800 alumnos de un colegio, han ido de viaje 600. ¿Qué porcentaje de alumnos ha ido de viaje? 800 alumnos

600 alumnos

100 alumnos

x alumnos

Al adquirir un vehículo cuyo precio es de 8800 €, nos hacen un descuento del 7.5%. ¿Cuánto hay que pagar por el vehículo?

- 25 –

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PROPORCIONALIDAD  100 €

7.5 €

8800 €

x €

8800 € − 660 € =

8140 €

También se puede calcular directamente del siguiente modo: 100 €

92.5 €

8800 €

x €

El precio de un ordenador es de 1200 € sin IVA. ¿Cuánto hay que pagar por él si el IVA es del 16%? 100 €

116 €

1200 €

x €

Al comprar un monitor que cuesta 450 € nos hacen un descuento del 8%. ¿Cuánto tenemos que pagar? 100 €

92 €

450 €

x €

- 26 –

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PROPORCIONALIDAD 

Se vende un artículo con una ganancia del 15% sobre el precio de costo. Si se ha comprado en 80 €. Halla el precio de venta. 100 €

115 €

80 €

x €

Cuál será el precio que hemos de marcar en un artículo cuya compra ha ascendido a 180 € para ga nar al venderlo el 10%.

venta compra   100 € x €

90 € 180 €

¿Qué precio de venta hemos de poner a un artículo comparado a 280  € , p a r a p e r d e r e l 1 2 % s o b r e e l p r e c i o d e v e n t a ?

venta compra   100 € x €

112 € 280 €

- 27 –

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PROPORCIONALIDAD 

Se vende un objeto perdiendo el 20% sobre el precio de compra. Hallar el precio de venta del citado artículo c uyo valor de compra fue de 150 €. 100 €

80 €

150 €

x €

Ejercicios y problemas de regla de tres 1Dos

ruedas están unidas por una correa transmisora. La primera

tiene un radio de 25 cm y la segunda de 75 cm. Cuando la primera ha dado 300 vueltas, ¿cuántas vueltas habrá dado la segunda?

2Seis

personas pueden vivir en un hotel durante 12 días por 792 €.

¿Cuánto costará el hotel de 15 personas durante ocho dí as?

3Con

12 botes conteniendo cada uno ½ kg de pintura se han pintado

90 m de verja de 80 cm de altura. Calcular cuántos botes de 2 kg de pintura serán necesarios para pintar una verja similar de 120 cm de altura y 200 metros de longitud.

411

obreros labran un campo rectangular de 220 m de largo y 48 de

ancho en 6 días. ¿Cuántos obreros serán necesarios para labrar otro campo análogo de 300 m de largo por 56 m de ancho en cinco días?

- 28 –

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PROPORCIONALIDAD  5  Seis

grifos, tardan 10 horas en llenar un depósito de 400 m³ de

capacidad. ¿Cuántas horas tardarán cuatro grifos en llenar 2 depósitos de 500 m³ cada uno?

- 29 –

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