Proporcionalidad (1º ESO)

Actividad de proporcionalidad directa. Curso 1º ESO. Problema 1: Un disco da 70 vueltas por minuto. ¿Cuántas vueltas dará en 3h y 45 minutos? Solución: (Fíjate como se resuelve paso a paso) Primero pasamos todo a minutos. Observa como:

3 horas y 45 minutos = 3 · 60 + 45 = 225 min.

Luego, vemos que a más tiempo más vueltas, a doble tiempo, doble de vueltas. Por consiguiente se trata de una proporcionalidad directa. Entonces se verifica:

70 x = 1 225

x = 15750 vueltas

También podría haberse hecho por regla de tres simple directa: Si en 1 minuto da

70 vueltas

En 225 minutos dará

x vueltas

x=

70 ⋅ 225 = 15750 vueltas 1

Ahora inténtalo tú, con el siguiente problema: (Siempre fijándote en el que acabas de ver resuelto)

Problema 2: Por 1'5 kg de cordero se pagan 15 euros. ¿Cuánto se pagará por 7 kg y 350 g? Solución: Primero pasamos todo a gramos. (Recuerda que cada Kg son 1000 g)

1,5 Kg = ………………………….. 7 kg y 350 g =……………………. Vale. Ahora explica por qué es una relación de proporcionalidad directa: ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… De acuerdo. A continuación escribimos la proporción: (Y despejamos la x)

x=

·

=

Hazlo ahora por regla de tres, a ver que tal te sale.

Si ……………….

………………….

En ………………

………………….

Muy bien, ahora resuelve la x.

x=

·

=

(Si lo has hecho bien tiene que darte 73,5 €)

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Actividad de proporcionalidad directa. Curso 1º ESO. Inténtalo tú con los siguientes problemas:

Problema 3: Si 1 Kg de tomates cuesta 1'77 Euros. ¿Cuánto costarán 4 Kg? ¿Cuántos Kg se podrán comprar con 6'2 Euros? (Solución: 4 Kg de tomates costarán 7'08 €. Por 6'2 € nos darán 3 Kg y medio) Solución:

Problema 4: En una clase de 1º de ESO por cada 3 alumnos hay 4 alumnas. Si el número total de alumnos es 15. ¿Cuántas alumnas hay? (Solución: 20 alumnas) Solución:

Problema 5: En una familia se consume por término medio 5'25 l de leche en 5 días. ¿Cuánto se consumirá en 1 mes? ¿Y en un año? (Solución: 31,5 litros se consumen en 1 mes. 378 litros consumen en 1 año) Solución:

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Actividad de proporcionalidad directa. Curso 1º ESO. Problema 6: Hacer 100 fotocopias cuesta 350 pesetas y hacer 150 fotocopias cuesta 525 pesetas. a) ¿Qué magnitudes se relacionan? ¿Cómo es esa relación? b) ¿Cuál es la constante de proporcionalidad? Solución Construimos una tabla con los valores del problema. Número de fotocopias Coste de las fotocopias

100 350

150 525

a) Número de fotocopias y precio que se paga son las dos magnitudes que se relacionan. Son directamente proporcionales:

100 150 = 350 525

100 · 525 = 150 · 350

b) La constante de proporcionalidad es:

52500 = 52500

350 : 100 = 3'5

Problema 7: Dos magnitudes vienen relacionadas por la siguiente tabla: Magnitud A Magnitud B

2 4

3 6

4 8

7

9

12 32

54

¿Son proporcionales? ¿Qué tipo de proporcionalidad? Explica las respuestas. ¿Cuál es la constante de proporcionalidad? Completa la tabla. Solución:

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Actividad de proporcionalidad directa. Curso 1º ESO. Problema 8: En cierta empresa se necesitan ingenieros, comerciales y secretarias en la siguiente proporción: por cada secretaria, 2 ingenieros y 3 comerciales. Si la empresa dispone de 3 secretarias, ¿cuántos ingenieros y comerciales tendrá? (Solución: 6 ingenieros; 9 comerciales) Solución:

Problema 9: Calcula el valor de x en las siguientes proporciones: a)

5 25 = 3 x

b)

x + 2 20 = 4 16

c)

7 14 = x 4

d)

6 x −1 = 5 40

Solución:

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Actividad de proporcionalidad inversa. Curso 1º ESO. Problema 1: Un coche con velocidad media 72 Km/h tardar 1 hora y cuarto en hacer el recorrido previsto. Otro coche hace el mismo recorrido en 45 minutos. ¿Son proporcionales? ¿Por qué? ¿De qué tipo? ¿A qué velocidad media ha ido el segundo coche? Solución: (Fíjate como se resuelve paso a paso) 1 hora y cuarto = 60 min + 15 min = 75 min Velocidad en Km/h Tiempo en minutos

72 75

x 45

Las magnitudes son inversamente proporcionales, porque a mayor velocidad, menor es el tiempo que tarda en hacer el recorrido. Y además a doble velocidad, mitad de tiempo. A triple velocidad, tercera parte de tiempo, etc. Recuerda que por ser magnitudes inversamente proporcionales el producto de las dos magnitudes ha de ser constante. O sea: 72·75 = 45·x 72 ⋅ 75 x= = 120 Km/h 45 También podría haberse hecho por regla de tres simple inversa: Si tarda 75 minutos va a

72 Km/h

Si tarda 45 minutos irá a

x Km/h

Recuerda que en la regla de tres inversa se multiplican en horizontal (no en cruz como en la directa) con lo cual, nos 72 ⋅ 75 = 120 Km/h queda que la velocidad del segundo coche es de x = 45 Ahora inténtalo tú, con el siguiente problema: (Siempre fijándote en el que acabas de ver resuelto)

Problema 2: Un barco tarda 36 minutos en ir de una isla a otra con una velocidad de 50 nudos/min. A veces, el barco se llena de pasajeros, sale antes y tiene que hacer el mismo recorrido en 1 hora. ¿A qué velocidad tendrá que ir? Solución: Pasamos todo a minutos: 1hora = 60 min. Completa la tabla:

Velocidad en nudos/min. Tiempo en minutos

Vale. Ahora explica por qué es una relación de proporcionalidad inversa: ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… Expresa que los productos son iguales:

Y despeja la x

· x=

= ·

· =

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Actividad de proporcionalidad inversa. Curso 1º ESO. Hazlo ahora por regla de tres, a ver que tal te sale.

Si ……………….

………………….

A ………………

………………….

(Recuerda que es inversa, se multiplican las cantidades en horizontal y se divide por la cantidad que está en horizontal con la “x”) Muy bien, ahora resuelve la x.

x=

·

=

(Si lo has hecho bien tiene que darte 30 nudos/min)

Inténtalo tú con los siguientes problemas:

Problema 3: Seis ovejas comen la hierba de un campo en 12 días. ¿Cuántas ovejas serían necesarias para agotar la hierba del campo en 8 días? (Solución: 9 ovejas)

Problema 4: En una acampada hay víveres para alimentar a 96 personas durante 3 semanas. Si se tiene que permanecer 24 días, ¿A cuántas personas no se podrían alimentar? (Solución: Tendrán comida para 84 personas durante 24 días. Luego no se podría alimentar a 96 - 84 = 12 personas)

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Actividad de proporcionalidad inversa. Curso 1º ESO. Problema 5: Para pintar una casa de 5 plantas en 10 días se precisa de 9 pintores. Si se quiere terminar en 6 días, ¿de cuántos pintores habrá que disponer? (Solución: Se necesitarían 15 pintores)

Problema 6: Un recipiente se llena en 2h con un grifo que arroja 45l por minuto. ¿Cuánto tiempo tardaría en llenarse con un grifo que arrojase 0'25 l por segundo? (Solución: Tardaría en llenarse 6 horas)

Problema 7: Tres operarios siegan un campo en 7 horas. ¿Cuánto tardarían 7 operarios? (Solución: Tardarían 3 horas)

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Actividad de proporcionalidad inversa. Curso 1º ESO. Problema 8: Un pozo tarda en vaciarse 40 min. abriendo 4 salidas para el agua. a) Identifica las magnitudes que se relacionan. b) ¿Son directa o inversamente proporcionales? c) ¿Cuánto tardaría en vaciarse si se abren 5 salidas? (Solución: 32 minutos)

Problema 9: Las cantidades de dos magnitudes vienen dadas por la siguiente tabla: Magnitud A Magnitud B

2 12

4 6

6 4

1

8

12 1

8

¿Son proporcionales? ¿Qué tipo de proporcionalidad? Explica las respuestas. ¿Cuál es la constante de proporcionalidad? Completa la tabla.

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