Propiedades Transformada de Fourier

I. LINEALIDAD

Si a y b son números y existen las transformadas de Fourier  de  de  f(t)y  g(t), entonces:

Si a y b son números y existen las transformadas inversas de Fourier de  F(w)y G(w) , entonces:

EJEMPLO:

Calcular Aplicando la propiedad de la linealidad

EJEMPLO:

Calcular Aplicando la propiedad de la linealidad

II. TRASLACIÓN EN EL TIEMPO

 Demostración:

 como u es muda entonces podemos escribir lo siguiente

lo cual queriamos demostrar  Si

y

, entonces:  Es decir, la transformada de Fourier de la función  f(t) traslada en el tiempo a , es igual a la transformada de Fourier 

de  f(t) multiplicada por

.

Para la transformada inversa, tenemos: Si

, entonces:

EJEMPLO:  Calcular

EJEMPLO:

Calcular

donde

Es una función pulso trasladada en el tiempo. El intervalo de duración del pulso es [3,7] siendo su punto medio 5, entonces de a es la mitad de la longitud del intervalo, en este caso es 2 y el valor del pulso k  es 6.

Y aplicando la propiedad de traslación del tiempo:

= 5, siendo este el origen del pulso. El valor 

EJEMPLO:

Calcular: Aplicando la traslación del tiempo:

donde

 por tanto

EJEMPLO:

Calcular Primero se aplica la propiedad de linealidad

luego se aplica la propiedad de traslación del tiempo

La solución es:

III. TRASLACIÓN EN LA FRECUENCIA

Demostracion:

 entonces

Si

y

es un número, entonces:

En forma inversa:

Ejemplo:

Calcular

Se realiza el producto en el exponente

Se identifica la propiedad de traslación en la frecuencia

y se aplica

entonces se obtiene

Ejemplo:

Calcular

Ejemplo:

Calcular Aplicamos la propiedad de la linealidad:

Se aplica la propiedad de traslación en la frecuencia:

El resultado es:

Ejemplo:

Calcular

Solución

Ejemplo:

Calcular Se completa el cuadrado en el denominador:

Se aplica la propiedad de la linealidad:

Se aplica la propiedad de la traslación en la frecuencia:

El resultado es:

Ejemplo:

Calcular Se aplica la propiedad de linealidad:

Se aplica la propiedad de traslación en la frecuencia:

Se aplica la propiedad de traslación en el tiempo:

El resultado es:

IV. SIMETRÍA  sabemos que

ahora vamos a escribir la transformada inversa de Fourier 

vamos a hacer una sustitución en la cual w = n entonces sustituimos

vamos a decir que t = -t

 a lo que queríamos llegar.

V. ESCALAMIENTO

I. a > 0:

entonces escribimos de nuevo y tenemos lo siguiente

  que nos da un resultado positivo.

II. a < 0

ahora sustituimos y nos queda lo siguiente

y tenemos lo siguiente que nos dara un resultado negativo los dos resultado obtenidos los podemos escribir de la siguiente manera

lo cual conocemos como el valor absoluto y lo podemos escribir asi

VI. INVERSIÓN DEL TIEMPO

VII. MODULACIÓN La modulación engloba el conjunto de técnicas para transportar información sobre una onda portadora, típicamente una onda sinusoidal. Estas técnicas permiten un mejor  aprovechamiento del canal de comunicación lo que posibilita transmitir más información en forma simultánea, protegiéndola de posibles interferencias y ruidos

VIII. DIFERENCIACIÓN EN EL TIEMPO Si

y

entonces:

y por aplicación sucesiva de la fórmula anterior:

IX. DIFERENCIACIÓN EN LA FRECUENCIA

Ejemplo: Calcular

Lo que hacemos es separar la funcion para poder ver que propiedad podemos utilizar 

Con esta expresion nos damos cuenta que a la segunda expresion le podemos hallar su transformada aplicando la propiedad de inversión del tiempo

Ahora lo que hacemos es derivar con respecto a w en este caso como t tiene exponete 1 solo vamos a derivar una vez

Ejemplo:

Se aplica la propiedad de diferenciación en la frecuencia:

X. CONVOLUCIÓN Sif(t) y g(t)  son funciones, entonces la convolución de f  y g   se define como:

Sif(t) y g(t)  tienen transformadas de Fourier, entonces:

(convolución en el tiempo)

(convolución en la frecuencia)

La forma inversa es:

Ejemplo:

Se factoriza:

 Y por definició n de convolució n:

Si

Luego se integra:

El resultado es:

Ejemplo:

Usando la propiedad de la convolución:

y

Luego se usa el escalón unitario:

 Y el resultado es:

Propiedades de la Transformada de Fourier 

Las funciones son periódicas con período T, a > 0; b,to y , son constantes reales, con

Transformadas de Fourier  Ejemplos Ejemplo 1 Resolver Aplicamos la transformada de Fourier 

Ejemplo 2