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PROPIEDADES ORTOGONALES EN SISTEMAS VIBRATORIOS MODULO: VIBRACIONES MECANICAS ALUMNA: UXMAL SANCHEZ PARRA LUIS GERARDO CARLOS ALARCON

DOCENTE: JESUS JOAQUIN SALAS

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Resumen: En la siguiente investigación se hablará sobre las propiedades ortogonales que tienen los modos de vibración, una propiedad que es muy importante para su análisis, ya que gracias a esa propiedad podemos desacoplar ecuaciones de movimiento convirtiéndolas en un numero n de ecuaciones cambiando las variables llamada transformación nodal.

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Introducción: Una propiedad de gran importancia en el estudio de las vibraciones es la ortogonalidad de los modos. Desacoplar las ecuaciones del movimiento convirtiéndolas en N ecuaciones diferenciales independientes por medio del cambio de variables conocido como transformación modal. Empleando las propiedades de ortogonalidad e independencia de los modos es posible resolver el problema de vibraciones libres de otra forma mas simple, mediante el desacoplamiento de las ecuaciones del movimiento. Se van a extender los resultados de 2 gdl al caso general de N gdl. El estudio general de los sistemas con N gdl, no obstante, no es posible sin echar mano de la formulación matricial y del uso intensivo de resultados y propiedades del Álgebra Lineal. Por ell o, sólo se llevará a cabo un tratamiento breve y simplificado del problema; centrándose la atención en aquellos aspectos conceptuales que añadir a lo visto en sistemas de 1 y 2 gdl. Por otro lado, en este estudio de los sistemas con N grados de libertad, sí se va a prestar una especial atención al problema del desacoplamiento de las ecuaciones diferenciales del movimiento por medio del Análisis Modal. La hipótesis de discretización realizada para pasar del sistema continuo a uno de N gdl implica que el desplazamiento de un punto cualquiera puede ser calculado a partir de los desplazamientos de dichos nudos. Una vez elegidos los grados de libertad del sistema, pueden definirse los coeficientes de rigidez, inercia y amortiguamiento del modo siguiente: Coeficiente de rigidez kij: fuerza que hay que aplicar según el gdl i para producir un desplazamiento unidad según el gdl j, y cero según todos los demás gdl. Coeficiente de inercia mij: fuerza que hay que aplicar según el gdl i para producir una aceleración unidad según el gdl j y cero según todos los demás gdl. 

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Índice Resumen: Pàg.1 Introducción: Pàg.2 Antecedentes: Pag.5 Desarrollo: Pàg.7 Conclusión: Pàg.12 Bibliografías: Pàg.13

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Antecedentes: Oscilación : Para ilustrar este tipo de movimiento consideremos una masa m unida al extremo de un muelle elástico de constante k, a un amortiguador de constante de amortiguamiento r, y sometido a una fuerza armónica aplicada.

Imagen 1.1 : oscilador forzado Obtenida de www.http://www.ehu.eus/acustica/espanol/basico/osfoes/osfoes.htmlk Resonancia Las amplitudes del desplazamiento y de la velocidad para la soluc ión estacionaria del oscilador amortiguado dependen de las características físicas del oscilador y de la frecuencia de la fuerza aplicada. En la frecuencia w a la que la amplitud del desplazamiento se hace máxima se dice que se produce resonancia en amplitud. Cuando es la amplitud de la velocidad la que se hace máxima se dice que se produce resonancia en energía. El fenómeno de resonancia se manifiesta en la mayoría de los sistemas naturales. Es bien conocido que cuando una formación de soldados cruza un puente, rompe el paso, p ara evitar que la frecuencia de la m archa sea próxima a la frecuencia natural de la estructura. La resonancia es observada con frecuencia en maquinaria rotatoria. Un circuito receptor de radio o TV sintoniza en una frecuencia específica ajustando la

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frecuencia natural del circuito receptor para que sea exactamente igual a la frecuencia del transmisor. Y sistemas atómicos o nucleares exhiben fenómenos de resonancia cuando son excitados con luz o partículas.

Imagen 1.2 : Resonancia Obtenida de www.http://www.ehu.eus/acustica/espanol/basico/osfoes/osfoes.htmlk

Imagen 1.3 : Resonancia Obtenida de www.http://www.ehu.eus/acustica/espanol/basico/osfoes/osfoes.htmlk

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Desarrollo :

Imagen 1.4 Propiedades ortogonales .Obtenida de www.http://www.ehu.eus/acustica/espanol/basico/osfoes/osfoes.htmlk Nos permite desacoplar las ecuaciones del movimiento convirtiéndose en N ecuaciones diferenciales independientes por medio del cambio de variables conocido como transformación nodal. Propiedad Ortogonal : Una propiedad importante de los modos de vibración es su ortogonalidad. No es una ortogonalidad normal, sino con respecto a la m atriz de masa y a la de rigidez. Su demostración es simple, como se verá a continuación. Considérense dos soluciones,

,

y

,

del problema de auto valores. Dichas

soluciones se pueden escribir:

Premultiplicando la primera ecuación por

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y la segunda por

, se obtiene:

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Si se traspone la segunda ecuación y se resta de la primera, teniendo en cuenta que las matrices [m] y [ k ] son simétricas, se obtiene:

Teniendo en cuenta que, en general, las frecuencias naturales son distintas,

Φ j  ≠ Φk ,

de la

ecuación anterior se deduce que

Lo que implica que

y

son ortogonales respecto a la matriz de masa.

Sustituyendo la ecuación anterior en la (7.140), se comprueba fácilmente que también se cumple

Es decir, los modos de vibración son también ortogonales respecto a la matriz de rigidez. Normalización De las propiedades de los autovectores, se conoce que si un autovector, { Φ} j, es solución de la ecuación del problema de autovalores, también lo es α {Φ} j. Por ello, los autovectores se expresan asignando un valor a uno de los elementos del vector, quedando todos los demás en función de este. Este proceso se denomina normalización. La normalización más corrientemente usada es aquella con la que se consigue:

En ese caso, teniendo en cuenta la ecuación (7.129) y (7.132), es fácil comprobar que se obtiene:

Con esta normalización se consiguen algunas simplificaciones en el cálculo de la respuesta de los sistemas.

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Imagen 1.5 Aplicaciones sobre las propiedades de ortognalidad. Obtenida de www.http://www.ehu.eus/acustica/espanol/basico/osfoes/osfoes.htmlk Ejemplo 1

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Imagen 1.6 Problema 1.1 obtenida de www.http://www.ehu.eus/acustica/espanol/basico/osfoes/osfoes.htmlk

Imagen 1.7 Problema 1.1 obtenida de www.http://www.ehu.eus/acustica/espanol/basico/osfoes/osfoes.htmlk

Imagen 1.8 Problema 1.1 obtenida de www.http://www.ehu.eus/acustica/espanol/basico/osfoes/osfoes.htmlk

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Imagen 1.9 Problema 1.1 obtenida de www.http://www.ehu.eus/acustica/espanol/basico/osfoes/osfoes.htmlk

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Conclusión : En conclusión la propiedad octagonal ayuda y Nos permite desacoplar las ecuaciones del movimiento convirtiéndose en N ecuaciones diferenciales independientes por medio del cambio de variables conocido como transformación nodal, asi mismo encontramos las ecuaciones de masas , rigidez y amortiguamiento para sistemas de diferentes grados de libertad y no solo de uno o dos.

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Referencias Guia.com. (s.f.). www.metas.com/vibraciones mecanicas . Obtenido de http://www.metas.com.mx/guiametas/La-Guia-MetAs-03-07-Vib.pdf: http://www.metas.com.mx/guiametas/La-Guia-MetAs-03-07-Vib.pdf  LAFITA, F., & MATA, H. (1968). Introducción a la Teoría de las vibraciones. En Introducción a la Teoría de las vibraciones. Monografias.com. (s.f.). monografias.com -vibraciones-mecanicas . Obtenido de http://www.monografias.com/trabajos81/vibraciones-mecanicas/vibracionesmecanicas.shtml: http://www.monografias.com/trabajos81/vibracionesmecanicas/vibraciones-mecanicas.shtml Ordoñez, P. (1998). http://www.academia.utp.ac.pa/sites/default/files/docente/72/clase_3_vibracion_con_ex  citacion_armonica_de_un_sistema_de_un_grado_de_libertad.pdf . Obtenido de http://www.academia.utp.ac.pa/sites/default/files/docente/72/clase_3_vibracion_con_ex citacion_armonica_de_un_sistema_de_un_grado_de_libertad.pdf Peña, J. A. (s.f.). Propiedades Octagonales . Obtenido de http://www.ehu.eus/acustica/espanol/basico/osfoes/osfoes.html: http://www.ehu.eus/acustica/espanol/basico/osfoes/osfoes.html

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