Propiedades de Los Radicales y Exponentes

PROPIEDADES DE LOS RADICALES Los radicales tienen una serie de propiedades, que debemos conocer y utilizar con soltura. Todas ellas son consecuencia inmediata de conocidas propiedades de las potencias. Veámoslas una a una, estudiando su significado en algunos ejemplos. Primera:

np

Segunda:

a p  a p / np  a1/ n  n a

n

Ejemplos: 4

9  4 32  3

6

4 2  2 6

2

a  b  (a  b)1/ n  a1/ n  b1/ n  n a  n b

Ejemplos:

3x 2 y  3 x 2 y

3

5

Esta propiedad tiene dos importantes aplicaciones: - simplificar radicales tal y como se ha visto en los ejemplos anteriores;

32 x  5 32  5 x  25 x

Esta propiedad tiene dos importantes: -sacar un factor de la raíz; 3

- conseguir que dos o más radicales tengan el mismo índice (reducir a índice común). 3

103  6 103 2  6 10609

32  3 8  4  3 8  3 4  2  3 4 18  9  2  3  2

-de modo contrario, juntar varios radicales en uno solo.

22  6 22 3  6 10648

15  20  300

Tercera:

Cuarta:

( a )  (a )  a n

aplicaciones

p

1/ n p

Ejemplos: (  5 )  4

(1/ n ) p

 (a )

p 1/ n

 a n

p

m n

a  (a1/ n )1/ m  a (1/ n)(1/ m)  a1/ mn  mn a

Ejemplos:

(5) 4  25

3

3 6 3 5 8 5

Quinta:

n

a na  b nb

Ejemplos:

3  x3 3

3 x3

x5 3 x5 3 x5  3  8 2 8

Esta propiedad, junto con la primera y segunda, sirve para poner productos y cocientes de radicales bajo una sola raíz.

3  3 4 6 33  6 42 6 33  24 6    2  32  6 18 3 6 6 3 2 3 24 2 3 Ejercicios 1. Resuelve:

3a  2a  6

a.

b.



c. 2  3 3

26 a : 2a



2

2 x 3 : 2 x

d.

2. Expresa las siguientes raíces con un índice común: a.

3

a

y

a

b.

a

9

y

b

5

c.

2a

c.

6

3n ,

a2

3m

y

a

mn

3. Expresa en forma de una sola raíz los siguientes términos. a.

3

2

b.

5 4

3 2

Un radical es una expresión de la forma

3 2 3

4

4

, en la que n

; con tal que cuando a sea negativo, n ha de ser impar.

y a

Expresión de un radical en forma de potencia

Simplificación de radicales

Si existe un número natural que divida al índice y al exponente (o los exponentes) del radicando, se obtiene un radical equivalente.

Reducción de radicales a índice común

1Hallamos el mínimo común múltiplo de los índices , que será el común índice

2Dividimos el común índice por cada uno de los índices y cada resultado obtenido se multiplica por sus exponentes correspondientes.

Extracción de factores fuera del signo radical

Se descompone el radicando en factores. Si:

Un exponente es menor que el índice, el factor correspondiente se deja en el radicando.

Un

exponente es igual

al índice,

el factor correspondiente

sale

fuera del radicando.

Un exponente es mayor que el índice, se divide dicho exponente por el índice. El cociente obtenido es el exponente del factor fuera del radicando y el resto es el exponente del factor dentro del radicando.

Introducción de factores dentro del signo radical

Se introduce los factores elevados al índice correspondiente del radical.

Suma de radicales

Solamente pueden sumarse (o restarse) dos radicales cuando son radicales semejantes, es decir, si son radicales con el mismo índice e igual radicando.

Propiedades de los radicales Producto de radicales Radicales del mismo índice

Para multiplicar radicales con el mismo índice se multiplican los radicandos y se deja el mismo índice .

Radicales de distinto índice

Primero se reducen a índice común y luego se multiplican.

Cociente de radicales

Para dividir radicales con el mismo índice se dividen los radicandos y se deja el mismo índice.

Radicales de distinto índice

Primero se reducen a índice común y luego se dividen.

Potencia de radicales

Para elevar un radical a una potencia se eleva a dicha potencia el radicando y se deja el mismo índice.

Raíz de un radical

La raíz de un radical es otro radical de igual radicando y cuyo índice es el producto de los dos índices.

Racionalizar radicales Consiste en quitar los radicales del denominador , lo que permite facilitar el cálculo de operaciones com o la suma de fracciones.

Podemos distinguir tres casos.

1Del tipo

Se multiplica el numerador y el denominador por

.

2Del tipo

Se multiplica numerador y denominador por

3Del tipo

.

, y en general cuando el denominador sea un

binomio con al menos un radical.

Se multiplica el numerador y denominador por el conjugado del denominador.

Propiedades de los exponentes Esta página introduce las propiedades de los exponentes una por una en una forma diseñada para ayudarle a recordarlas. Si desea una referencia rápida, todas las propiedades están enlistadas en una tabla al final de esta página.

PROPIEDAD DEL PRODUCTO DE POTENCIAS Como simplifica 72 × 76? Si Usted recuerda la forma de como son definidos los exponentes, Usted sabe que esto significa: (7 × 7) × (7 × 7 × 7 × 7 × 7 × 7) Si elimina los paréntesis, tenemos el producto de ocho 7s, que puede ser escrito más simplemente como: 78 Esto sugiere un atajo: todo lo que necesitamos hacer es sumar los exponentes! 72 × 76 = 7(2 + 6) = 78 En general, para todos los números reales a, b, y c, ab × ac = a(b + c) Para multiplicar dos potencias con la misma base, sume los exponentes. Si Usted solo recuerda esta y olvida el resto, puede usarla para encontrar la mayoría de las otras propiedades.

EXPONENTES CERO Muchos estudiantes que inician piensan que es raro que algo elevado a la potencia de cero es 1. ("Debe ser 0!") Puede usar la propiedad del producto de potencias para mostrar porque esto debe ser verdadero. 70 × 71 = 7(0 + 1) = 71 Sabemos que 71 = 7. Así, esto nos dice que 70 × 7 = 7. Que número por 7 es igual a 7? Si decimos que 0, tenemos 0 × 7 = 7. No es verdadero. En general, para todos los números reales a, a ≠ 0, tenemos: a0 = 1 Dese cuenta que 00 no está definido. (Presione aquí para ver porque.)

EXPONENTES NEGATIVOS Puede usar la propiedad del producto de potencias para encontrar esta también. Suponga que desea saber cuanto es 5-2. 5-2 × 52 = 5(-2 + 2) = 50 Sabemos que 52 = 25, y sabemos que 50 = 1. Así, esto nos dice que 5-2 × 25 = 1. Que número por 25 es igual a 1? Ese sería su inverso multiplicativo, 1/25.

En general, para todos los números reales a y b, donde a ≠ 0, tenemos:

PROPIEDAD DEL COCIENTE DE POTENCIAS Cuando multiplica dos potencias con la misma base, Usted suma los exponentes. Así cuando divide dos potencias con la misma base, Usted resta los exponentes. En otras palabras, para todos los números reales a, b, y c, donde a ≠ 0,

Lo que realmente está haciendo es eliminar los factores comunes del numerador y del denominador. Ejemplo:

PROPIEDAD DE POTENCIA DE UN PRODUCTO Cuando multiplica dos potencias con el mismo exponente, pero bases diferentes, las cosas se hacen un poco de forma distinta. 32 × 42 = (3 × 3) × (4 × 4) Debido a las propiedades conmutativa y asociativa de la multiplicación, podemos reescribir esto como 32 × 42 = (3 × 4) × (3 × 4) = 122 En general, para todos los números reales a, b, y c (mientras que tanto a y c o tanto b y c no sean cero):

ac × bc = (ab)c Para encontrar la potencia de un producto, ya sea que encuentre la potencia de cada factor y luego multiplique o multiplique los factores y eleve a la potencia el producto.

PROPIEDAD DE POTENCIA DE UN COCIENTE Esta es bastante similar a la anterior. Por la eliminación de factores comunes, puede ver que: Ejemplo 1:

Ejemplo 2:

Simplifique

Para todos los números reales a, b, y c (siempre que b ≠ 0, y a y c ambas no sean 0):

PROPIEDAD DE POTENCIA DE UNA POTENCIA La propiedad del producto de potencias puede ser desarrollada. Suponga que tiene un número elevado a una potencia, y multiplica la expresión completa por si misma una y otra vez. Esto es lo mismo que elevar la expresión a una potencia: (53)4 = (53)(53)(53)(53) Pero la propiedad del producto de potencias nos dice que (53)(53)(53)(53) = 53 + 3 + 3 + 3 = 54(3) = 512 Así es suficiente con solo multiplicar las potencias! En general, para todos los números reales a, b, y c, (ab)c = abc. Para encontrar una potencia de una potencia, multiplique los exponentes.

EXPONENTES RACIONALES Hemos cubierto los exponentes positivos, exponentes negativos, y los exponentes cero. Pero que pasa si tiene un exponente que no es un entero? Que pasa, por ejemplo, si 91/2? Podemos volver a caer otra vez en la propiedad del producto de potencias para encontrar: 91/2 × 91/2 = 9(1/2 + 1/2) = 91 Sabemos que 91 = 9, así 91/2 = Similarmente, a1/3 es equivalente a

. Así, el exponente ½ trabaja como una raíz cuadrada. .

y en general

y

.

Para recapitular: Propiedad del exponente cero

0

a = 1, (a ≠ 0)

Propiedad del exponente negativo Propiedad del producto de potencias Propiedad del cociente de potencias Propiedad de la potencia de un producto Propiedad de la potencia de un cociente Propiedad de la potencia de un a potencia

Propiedad del exponente racional

b c

(a ) = a

bc