Propiedades de La Media Aritmética

Propiedades de la media aritmética

PROPIEDAD 1: La suma de las desviaciones de los valores de la variable con respecto a la media aritmética es 0. n

Veamos que resulta al operar la siguiente expresión:

( x i 

X ) .

Tendremos que

i  1

n

( x i   X ) i  1

n i  n i 

( x i n i   X n i  )

1 n i 

1 n i 

1 n i 

 x i n i 

 x i n i 

n

.n

0

 x i n i 

 X n i 

1 n i 

 x i n i   X 

n i 

1 n i 

 x i n i   X n

1 n i 

0

PROPIEDAD 2: La media aritmética aritmética de los cuadrados de las desviaciones de los valores de la variable con respecto a una constante cualquiera se hace mínima cuando dicha constante coincide con la media aritmética (Teorema de KÖRING). 2

Dk  

  x i   k  n i 



n



2

  x i   x  n i 

n

 prop 1  0  prop

n i  n

0

Para k   x   (media aritmética) el valor de las desviaciones será mínimo. 

PROPIEDAD 3: Si a todos los valores de la variable se le suma una misma cantidad, la media aritmética queda aumentada en dicha cantidad: Supongamos que tenemos una variable x de la que conocemos su media. Supongamos ahora que tenemos otra variable, que se calcula a partir de la anterior de la siguiente forma: y i   x i  k  . Si ahora queremos calcular la media de esta segunda variable: n

y i n i  y 

 x i 

i  1

k  n i 

n  x i n i 

kn

n  x i n i 

n

n

n

Como

 x i n i  n

 x i n i  n

kn i 

 x i n i 

k n i  n

 x i n i 

k n i 

n

n

k 

 X    si sustituimos tendremos Y   X  k 

que es lo que pretendíamos

demostrar. PROPIEDAD 4: Si todos los valores de la variable se multiplican por una misma constante la media aritmética queda multiplicada por dicha constante. La demostración se realizaría de manera análoga a la anterior.  NOTA: De las dos propiedades anteriores se deduce que la resta y la división se realizarían de igual manera para la propiedad 3 y 4 respectivamente.

Corolario:

Si una variable es transformación lineal de otra variable (suma de un número y multiplicación por otro), la media aritmética de la 1ª variable sigue la misma transformación lineal con respecto a la media aritmética de la 2ª variable, siendo yi = a xi + b , donde a y b son números reales: y i n i 

y 

(ax i  b)n i 

n

(ax i n i  bni  )

n

a

n

 x i n i 

b

n

n i  n

a x  b

Podemos utilizar esta metodología para calcular la med ia de la siguiente distribución.

Xi

ni

38432 38432 38436 38438 38440

4 8 4 3 8

Si efectuamos un cambio de variable y i 

 x i 

38436 2

 tomando como nueva variable el

valor más centrado, tendremos::

xi

ni

yi

yi ni

3843

4

(38432 - 38436)/2

-8

(38432 - 38436)/2

-8

(38436 - 38436)/2

0

(38438 - 38436)/2

3

(38440 - 38436)/2

16

2

= -2 3843

8

2

= -1 3843

4

6

= 0 3843

3

8

= 1 3844

8

0

= 2

n = 27 y  

y i n i  n



Como y 

3

3 1  27 9

 x  38436 , entonces  x  2y  38436 2

2

1 38436 9

0,222 38436

38436,222

PROPIEADAD 5: - Si en un conjunto de valores se pueden obtener 2 ó más subconjuntos disjuntos, la media aritmética aritmética del conjunto se relaciona con la media aritmética de cada uno de los subconjuntos disjuntos de la siguiente forma:

N 

 x i N i   X 

I  1

n 

Siendo subconjunto.

 x i 

  la media de cada subconjunto y Ni  el núm. de elementos de cada

Veamos la demostración de la propiedad: Sea la distribución x1, x2, x3, x4, …… xn, xn+1, xn+2

……….xk,

observando que habrían como dos subconjuntos de n y k-n

elementos cada uno. Si consideramos la media aritmética de la distribución:  X 

 x i n i  n

y

calculamos los sumatorios para los dos subconjuntos, la ex presión de la media quedaría: n

k 

 x  j n j   X 

n

 x r n r 

 j  1

k 

 x  j n j 

r  n 1

 j  1

n

 x r n r  r  n 1

n

n

Si multiplicamos numerador y denominador de cada una de las fracciones por una misma cantidad el resultado no varía, por tanto, multiplicaremos la primera por N1 que es su número de elementos del primer subconjunto y la segunda por N2  que es el correspondiente, la expresión quedará: n

n

 x  j n  j  n

N 1  X 

N 1

k 

 x  j n j   j  1

N 1n

N 2

 x r  n r 

 x  j n j 

 j  1

N 2

N 1

 j  1

N 2

r  n 1

N 2 n

n

n

n

 x  j n j 

 

como

 j  1

N 1

 x 1

y

kn

 x rj n jr  r  n 1

N 2

primer y segundo segundo subconjunto, la expresión la podemos  x 2 son la media del primer

expresar de la siguiente manera:  X   X 1

N 1 n

 X 2

N 2

 X 1N 1  X 2 N 2

n

n

  que es lo que queríamos

demostrar ya que si las frecuencias se multiplican o dividen por un mismo número, la media no varía IMPORTANTE: Hay que tener en cuenta que la media aritmética es muy sensible a los valores extremos, es decir, decir, a valores numéricos muy diferentes, (tanto (tanto por lo grandes, o  pequeños que sean), al resto de la muestra. Esto puede resultar un problema. Ha y formas de resolverlo, que veremos más adelante.

Propiedades de la varianza Dos propiedades importantes de la varianza son: 1. La varianza de una constante es cero

2. Otra propiedad importante es que si se tiene la varianza datos y a cada observación se multiplica por una constante

de de un conjunto de , entonces la nueva

varianza de los datos se obtiene multiplicando a la varianza de los datos por

.

Ejemplo La varianza muestral para los datos del ejemplo 1 de la clase 04, se determina de la siguiente manera