Propiedades de La Integral Indefinida

Propiedades de la integral indefinida. La integral definida es lineal esto implica las siguientes propiedades. 1.-La integral de una suma o resta de funciones, es igual a la suma o resta de sus integrales.

  f  x   g  x  dx   f  x  dx   g  x  dx  C Si sumamos varias integrales, no es necesario que sumemos sus respectivas constantes, puesto que C  C sigue siendo constante. 2.-la integral del producto de una constante k por una función f (x ) , es igual a la constante por la integral de la función.

 kf ( x)dx  k 

f ( x ) dx  C

Esta propiedad nos permite arreglar integrales a base de multiplicar y dividir por constantes. Si en una integral inmediata cualquiera, necesitásemos una constante determinada para completarla, la podríamos incluir con la condición de dividir la integral por dicha constante. Esto es: 1

1

 f ( x)dx  k  kf ( x)dx

Por el mismo razonamiento, se puede escribir: 1

1

 f ( x)dx  k  k

f ( x )dx

3.- los signos de integración y diferenciación escritos juntos se anulan entre sí. d dx

 f ( x)dx  f ( x)

Nota: Una práctica normal en el cálculo de primitivas, es la de sumar y restar una constante en el seno de una integral, de forma que se pueda proceder a su descomposición. Supongamos que se quiere calcular una integral cuyo integrando se halla compuesto por una fracción que no es una integral inmediata, pero si le sumamos y restamos una constante determinada, la transformaremos en dos integrales inmediatas fáciles de calcular, es decir: 1

f ( x)

 g ( x) dx 

f ( x)  k  k f ( x)  k dx  g ( x) g ( x)

k

 g ( x) dx

Bibliografía CASTELEIRO, J. M. (2002). CÁLCULO INTEGRAL. MADRID: ESIC. CITA (CASTELEIRO, CÁLCULO INTEGRAL, 2002)

Calculo de integrales indefinidas La adición y la sustracción son operaciones inversas, la multiplicación y la división son igualmente operaciones inversas, así como la potenciación y la extracción de raíces, etc. Ahora, conoceremos la operación inversa de la derivación o diferenciación denominada antiderivacion o antidiferenciación, la cual implica el cálculo de una antiderivada, concepto que se da a conocer a continuación. Antiderivada. La antiderivada de una función f es un intervalo  a, b  , es otra función F tal que para todo x   a, b  , F ´(x )  f ( x) Ejemplo: Si F es la función definida por f ( x)  4 x 3  x 2  5 , entonces, F ( x)  12 x 2  2 x . De modo que si f ( x)  12 x 2  2 x , entonces, f es la derivada de F , y así, F es una antiderivada de f . Si G es una función definida por G ( x)  4 x 3  x 2  17 , entonces, G es una antiderivada de f , porque G´(x)  12 x 2  2 x . En realidad, debemos considerar que cualquier función H definida por H ( x )  4 x 3  x 2  C , donde C es una constante real, es una antiderivada de f . Teorema: “infinidad de antiderivadas de una función”. Observación: “Puesto que existen números reales, podemos afirmar que una función posee infinitas antiderivadas”.

(Garcia, 2002)

Bibliografía Garcia, E. J. (2002). Cálculo de Integrales Indefinidas. España: Esc.

Integrales y propiedades de las integrales indefinidas

 cf ( x)dx  c 

f ( x ) dx

 kdx  kx  C n  x dx 

e

x

x n 1  C ( n  1) n 1

dx  e x  C

 senxdx   cos x  C  sec

2

xdx  tan x  C

 sec x tan xdx  sec x  C

x

1 dx  tan 1 x  C 1

2

  f ( x)  g ( x) dx   f ( x)dx   g ( x)dx 1

 x dx  ln x  C x  a dx 

ax C ln a

 cos xdx  senx  C  csc

2

xdx   cot x  C

 csc x cot xdx   csc x  C



1 1 x

2

dx  sen 1 x  C

(Steward, 2001)

Bibliografía Steward, J. (2001). Cálculo de una variable. Bogotá,Colombia: Thomson.