Propiedades Algebraicas de Los Números Reales
August 7, 2022 | Author: Anonymous | Category: N/A
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Propied piedades ades alge algebrai braicas cas de los núm números eros real reales es 1.3 Pro 1.3.1 1.3. 1 Pro Propied piedades ades bási básicas cas
En los números reales se definen dos operaciones, adición y multiplicación, las cuales tienen ciertas propiedades:
Propiedades
Adición
Conmutatividad
C b D b C a .a C b/ C c D a C .b C c/
D b a .a b/ c D a .b c /
Exi xist sten enci ciaa de dell elem elemen ento to neutro
a
C0 D a
a 1
Existencia del elemento inverso
a
C .a/ D 0
a a1
Asociatividad
a
Multiplicación a b
Da
D 1 si a ¤ 0
Propiedad distributiva distributiva de la multiplicaci multiplicación ón con respecto a la adición a
.b C c / D .a b/ C .a c /
Al producto de dos números reales a , b lo denotaremos indistintamente indistintamente poniendo punto entre ellos: a b , o : a b o simplemente yuxtaponiéndolos: a b .
Conmutativa. Ejemplos:
1. 8 C 2 D 2 C 8.
4. 3 6 D 6 3.
2. a C 3 D 3 C a.
5. a 5 D 5 a.
2
3. x Asociativa.
2
1 D 1 C x .
Ejemplos:
1. .5 C 2/ C 6 D 5 C .2 C 6/.
4. .3 6/ z D 3 .6 z/ .
2. .a C 7/ C g D a C .7 C g/ .
5. .5 x
3. .y
2
C c/ C 2 D y C .c C 2/. 2
9 D 5 .x 9/. 6. y f / h D y .f h /. 2
2
Existencia del elemento neutro. Ejemplos:
1. 5 C 0 D 5.
2
/
4. 8 1 D 8.
2
2. .a C c / C 0 D a C c .
5. .g C h/ 1 D g C h.
3. .ya/ C 0 D y a.
6. .g h/ 1 D g h.
Existencia del elemento inverso. Ejemplos:
1. 7 C .7/ D 0.
4. 4 4
2. c
5. 15
D 1.
1
1
C .c/ D 0. 3. 3b C .3b/ D 0.
15 D 1. 6. h h D 1 si h ¤ 0. 1
distributiva iva de la multiplicación con respecto a la adición. Propiedad distribut Ejemplos:
1. 7 .a C h/ D .7 a/ C .7 h/ o bien 7.a C h/ D 7a C 7h. b .5 C c/ D 5b C bc . 2. b .5 C c/ D .b 5/ C .b c / o bien b.5
3. f h .g C b/ D Œ.f h/ g C Œ.f h/ b o bien .f h/.g C b/ D .f h/g .f h/b .
C
Expresiones tales como: fŒ.a C b/ C c C d g C e C o bien fŒ.a b/ c d g e :::
se escriben simplemente así: a
C b C c C d C C e C
o bien
:::
a b c d e
pues son equivalentes y no se prestan a confusión. Ejemplos:
D 3 C a C g C 7b C 5 d . 1. fŒ.3 C a/ C g C 7b g C 5 d D 2. fŒ.7 a/ c d g 2 a c D 7 a c d 2 a c . 1.3.2 Conse nsecue cuenci ncias as 1.3.2 Co
Sean a; a; b; c;d; números reales:
a C b D a C c ) b D c .
Esta expresión se lee: si a C b D a C c , entonces b D c . Es decir, se puede cancelar un mismo término de los dos miembros de una igualdad.
a 0 D 0. a b D a c & a ¤ 0 ) b D c.
Nótese que no podemos cancelar el 0 como factor, pues entonces tendríamos aberraciones del tipo siguiente:
D 0 & 0 2 D 0 ) 0 1 D 0 2 ) 1 D 2:
0 1
a b D 0 ) a D 0 o bien b D 0.
Esta propiedad se usa para resolver ecuaciones: si logramos factorizar un polinomio de grado n, P.x/
Q.x/R.x/
Dmismo que resolver las dos ecuaciones Q.x/ D 0 entonces, resolver la ecuación P .x/ D 0 es lo y R.x/ D 0 que no son de grado mayor que n. Ejemplo:
Se tiene que x
3x 10 D .x 5/.x C 2/; .x 5/.x C 2/ D 0 ) x 5 D 0 o bien x C 2 D 0 ) x D 5 o bien x D 2. 2
Se definen la sustracción y la división como:
a b def D a C .b/.
a def 1 a b b
D
con b ¤ 0.
Algunas igualdades importantes son:
a1 D a
1
si a ¤ 0.
Ejemplos:
1. 2.
1
1
D 3 3
1
.
.ab/1
si ab
0.
¤ ab D a b D 0 , a D b (esta expresión se lee: a b D 0 si y solamente si a D b). Ejemplos:
1. a 5 D 0 , a D 5. 2. a C b z D 0 , a C b D z. a D 1 , a D b con b ¤ 0. b
Ejemplos: 2
1. 2. 3.
0 D 0. 1 D 1. .a/ D a. 1
D 1 , c D 2. D 1 , z D 6. 6
c z
ac h
D 1 , ac D h con h ¤ 0.
Ejemplos:
1. .10/ D 10.
3. Œ.a C b/ D a C b.
2. Œ.h g/ D h g .
.a
1 1
/
D a con a ¤ 0.
Ejemplos:
1. .3
1 1
/
D 3.
2. Œ.a b/
1 1
3. Œ.8 C a/
1 1
D a b.
.a C b/ D a b. Ejemplos:
1. .2 C 4/ D 2 4. 2. .5 C c/ D 5 c . .a
b 1 .
a1
b/ 1
D
Ejemplos:
D3 g . 2. Œ.b C c/ f D .b C c/ f 1. .3 g/
1
1
1
1
1
1
.
D 8 C a.
a.b/ D .a/b D .ab/ “más por menos es menos", “menos por más es menos". Ejemplos:
1. .c/ h D .c h/ D c .h/. 2. .3/ g D .3 g/ D 3 .g/ . 3. .1/ .5 C c/ D Œ1 .5 C c/ D 1 Œ.5 C c/ D .5 C c/ .
.a b/ c D .a c/ . .bb c / propiedad distributiva de la multiplicación con respecto a la sustracción.
Ejemplos:
1. .3 z/ g D .3 g/ .z g/ . 2. Œ.f h/ y 2 D Œ.f h/ 2 .y 2/.
.a/.b/ D a b “menos por menos es más". Ejemplos:
1. .5/.3/ D .5/.3/ D 15. 2. .z/. 6/ D .z/.6/.
ab D d c , a d D D b c donde b d ¤ ¤ 0. Ejemplos:
1.
a
D b , 5a D 2b .
2.
2
5
7
h
7f
ch donde cf
¤ D f , D ¤ 0. ab ˙ d c D .a db/ ˙d .b c/ donde b d ¤ c
0.
aa bc D bc donde a c ¤ 0, de numerador y denominador se puede cancelar el mismo factor siempre que éste sea diferente de cero. Ejemplos:
g D g donde h ¤ 0. 4h h a g f a g 2. D 5 donde f ¤ 0. 5 f 1.
4
si n D 1I si n > 1I es la enésima potencia de a .
Si n es un número natural, se definen: a n es el exponente, a es la base y a n
n
a n1 a a
D
Ejemplos:
1. a 2. 2
1
3. a
2
1
a0
1
D
D a. D 2. D a a D a a. 1
.con a
0/.
¤
Ejemplos:
4. 6 5. a
2
6. 9
3
3
D 6 6 D 6 6 D 36. D a a. D 9 9 D 729. 1
2
2
D 1. 2. 3 D 1. 1.
4. .3 C a/
0
5. .c d /
0
0
a def D .a n
D 1. D .a / D a1 n 1
/
0
D 1. D 1.
0
3. .a C b/ 1 n
0
n
6. .8 2/ .con a
D 1.
¤ 0/.
Ejemplos: 2
1. b 3
n
2 1
1
D .b / D .b / D b . D .7 / D .7 / D 71 . D a (si n es par entonces a 0 ). 2
2. 7
p a D b ) b
1 2
1 3
3 1
3
n
Ejemplos:
1.
p a D b ) b D a. 2
2
2. En la raíz cuadrada cuadrada poner el índice índice es opcional: opcional: 2. p c D 4 ) 4 D 16 D c . 2
2
3.
p a C c D d ) d D a C c .
3
3
Si n es impar b D a ) p a D b. n
Ejemplo:
n
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