PROPAGATION DES ONDES SISMIQUES By : Djeddi Mabrouk 04/2016
Introduction Ondes elastiques Tenseurs de contraintes et de déformations Loi de Hooke Loi de comportement élastique Paramètres élastiques Equation d’ondes Paramètres décrivant un train d’ondes Bibliographie
Ce cours présente un bref aperçu sur la théorie des ondes élastiques (sismiques) (sismiques) dans les matériaux. Celles - ci sont utilisées en méthodes d’exploration sismique, sismologie, sismologie, génie civil, contrôle contrôle non destructif par ultrasons ultrasons et bien dans d’autres domaines. Il est en constante perfectionnement en partie grâce aux retours que vous pouvez apporter par vos remarques remarques et commentaires. commentaires. Ceux-ci sont sont les bienvenus par courrier électronique à mon adresse :
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1
PROPAGATION DES ONDES SISMIQUES INTRODUCTION Tout milieu sur lequel on applique une perturbation perturbation (faible contrainte) réagit (se déforme) pour revenir à son état initial (de repos) lorsque cette perturbation cesse. Cette perturbation du milieu donne naissance à des ondes élastiques qui transportent de l’énergie mécanique sans transfert de matière.
⃗
Ainsi, le terme onde sismique indique la propagation des perturbations (déplacement d’une particule) d’un milieu par rapport à sa position d’équilibre.
ONDES ELASTIQUES En méthodes sismiques d’exploration, le sismicien génère à l’aide de sources sismiques impulsives (dynamite, dinoseis, chute de poids etc…) ou non – impulsives impulsives
(vibroseis) des perturbations mécaniques à la surface du sol ou à son voisinage. voisi nage. Ces perturbations se caractérisent caractérisen t généralement par des amplitudes très faibles pour ne provoquer que des déformations élastiques .Dans de telles conditions, le champ de déformation déformation d’une onde sismique peut être décrit par la loi de Hooke
généralisée dont le fondement théorique suppose que le sous-sol est un milieu déformable et élastique. La détection de la réponse du sous-sol à ces perturbations qui se propagent par ondes sismiques (mécaniques) s’opère par des géophones ou des hydrophones (prospection en mer). L’enregistrement de ces ondes sismiques réfléchies réfléchi es ou réfractées (selon la méthode ), puis le traitement et l’interprétation structurale ou stratigraphique permet d’obtenir des images des couches du sous-sol fondées sur
les contrastes des propriétés élastiques.
TENSEURS DE CONTRAINTES ET DE DEFORMATIONS La théorie de l’élasticité et le principe fondamental de la dynamique, dévoilent que les ondes sismiques se propagent selon un train d’ondes dans le sous -sol de façons distinctes et fournissent de ce fait différents types d’ondes sismiques se
propageant de manière indépendantes. Dans un enregistrement sismique appelé également section sismique ou coupe temps, nous pouvons repérer la présence de différe nts types d’ondes sismiques. 1- Des ondes de volume qui sont composées des : - Ondes de compression ou longitudinales (onde - Ondes de cisaillement cisaillem ent ou transversales (onde
) )
2
2- Des ondes de surface et ondes guidées qui sont composées des : - Ondes de Rayleigh (ou ) - Ondes de Love (ou ) - Ondes Stoneley Les ondes sismiques (dans un milieu isotrope, homogène et élastique), comme les ondes électromagnétiques, sont polarisées. Chaque type d’onde sismique possède
une polarisation propre. Les matériaux homogènes, isotropes et élastiques soumis à de faibles contraintes subissent des déformations. Ils se comportent alors comme des matériaux élastiques et ils se caractérisent par une relation linéaire entre le tenseur de contraintes et le tenseur de déformations. TENSEUR DES CONTRAINTES
⃗ ∆,∆∆ ∆∆
⃗ = ⃗
Une force agissant sur une surface forme une contrainte(vecteur) ( S.I : Pascal) Pour un petit cube élémentaire fig.1, Le tenseur de contraintes éprouvées par ses faces est exprimé par la matrice (tenseur) suivante :
Fig 1
, = = , = , , , = , = , = ,
La matrice est symétrique par rapport à la diagonale et les égalités entre les composantes tangentielles (dites de glissement ou de cisaillement ) Constituent le principe de réciprocité des contraintes tangentielles.
3
Ainsi, la contrainte contrainte en un point du matériau est définie par six composantes composantes : trois trois contraintes normales et trois contraintes tangentielles, tangentiell es, qui forment un tenseur. Ces informations suffisent à caracteriser l’état des contraintes en un point du materiau.
= , = , = , , , >
designent les composantes normales des contraines respectivement dans les directions et . Une contrainte 0 correspond à une sollicitation sollic itation de tension tandis que 0 correspond à une sollicitation sollic itation de compression.
< , , , ,
designent les deux composantes tangentielles tangentiell es de la facette , la première parallèle à l’axe et la deuxième parallèle à
..
designent les deux composantes tangentiell tangentielles es ou de cission de la facette la première parallèle à l’axe et la deuxième parallèle parallèle à .
designent les deux composantes tangentielles tangentiell es de la facette première parallèle à l’axe et la deuxième parallèle à .
, la
Les composantes (Fig2) peuvent être rassemblées dans une matrice des contraintes. A titre d’exemple décrit que indique l’orientation de la facette alors que l’indice
dévoile la projection de la contrainte dans la direction concernée.
Fig.2 contraintes normales et tengentielles
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Tenseur des déformations Tous les matériaux soumis sous l’effet des contraintes se déforment même si cela n’est pas toujours perceptible à l’œil nu.
Le tenseur des déformations indique les déformations éprouvées par le cube élémentaire sous l’action des contraintes.
Un point
(fig.2) de coordonnées
,⃗,
des contraintes subit un déplacement
, ,
situé sur un cube élémentaire soumis à de composantes
. Le cube subit
alors sous l’action des contraintes contraintes un changement relatif de forme forme qui peut être
, =
décrit par le tenseur (matrice) des déformations.
, , = = , = , = ⃗ = = = = ( ) = = ( ) = = ( ) , = , , = ,
Les déformations
s’expriment à partir des déplacements
par l’expression :
Les termes de compression s’expriment par les relations :
Avec :
Les termes de cisaillement ont pour expressions :
Comme le tenseur des contraintes, celui des déformations locales est symétrique et
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LOI DE HOOKE Loi de comportement élastique La déformation subie par un corps homogène, isotrope et parfaitement élastique est proportionnelle proportionnel le à la force ou à la contrainte appliquée. Cette relation entre contraintes et déformations a été énoncée en 1678 et porte le nom de la loi de Hooke (Astronome et Mathématicien Mathématici en Britannique). Britannique) . Cette loi de comportement élastique réversible réversibl e est valable tant que les sollic sollicitations itations subies par par les matériaux restent assez faibles. La loi de Hooke s’écrit alors :
,, = .., .., , = = , = ≠ = = ⃗ : Symbole de Kronecker .
, si
et
et
si
sont les constantes de Lamé .
.
: Dilatation volumique
Les développements de l’équation de Hooke Hooke fournit relations linéaires entre les
contraintes et les déplacements qui sont :
= = ⃗ . == == ⃗⃗ .. = = . = = . = = . .
.
.
PARAMETRES ELASTIQUES Les paramètres élastiques intervenant dans l’étude des milieux élastiques linéaires,
homogènes et isotropes sont nombreux (tableau 1) .Ce sont des coefficients coefficien ts intrinsèques à chaque type de matériau qui permettent de faire le lien entre la contrainte au taux de déformation d’un milieu soumis respectivement à une compression ou à un cisaillement. Les principaux paramètres les plus utilisés sont : 6
Premier paramètre de Lamé
Il a pour expression
.. =
Deuxième paramètre de Lamé
Il est appelé encore module de cisaillement ou de rigidité. Il mesure le rapport entre la contrainte tangentielle au cisaillement cisaill ement correspondant et a pour expression :
== = + en
Ces deux paramètres de Lamé et définissent complètement le comportement du matériau élastique linéaire linéai re et isotrope .
Module d’Young
mesure le rapport de la contrainte normale à la compression /extension correspondante. On peut l’écrire en fonction fonction des paramètres de Lamé comme suit fig. 3 :
Le module
d’Young
∆ = = µ + =µ + = ++ = ++ =
Fig 3 module de Young
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Module cisaillem cisaillement ent d’un solide Il a pour exression :
=µ = µ ∅ µ =
(La loi de Hooke pour une déformation de cisaillement) Le module de cisaillement cisaillement définit définit le rapport entre la contrainte contrainte tangentielle tangentielle à la déformation de cisaillement correspondante fig4.
Fig 4 module de de cisaillement
Tableau 1 : relations entre les differents paramètres elastiques
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Relation entre module d’Young,de rigidité et comprissibilité
Module d’incompres d’incompressibilité sibilité (bulk modulus) Il mesure la variation d’un volume soumis à une pression.
= ∆ = + ∆+ = µ = − ⃗ = + +
.
Le module d’incompressibilité est lié aux paramètres de Lamé, au module d’Young
et au coefficient de Poisson par les expressions :
Pour le cas de contraintecontrainte- déformation déformation quelconque on on a :
.
Fig. 5 .Module de compressibilité 9
Un parallélépipède soumis à une pression uniforme sur toutes ses faces subit une contraction. Le coefficient d’incompressibilité se caractérise donc par le changement relatif de volume du parallélogramme soumis à une pression Fig.5 Fig.5
: Dilatation cubique
/ = / = ∆/∆ = ∆/
∆.
Coefficient de Poisson
= + = . = ⃗ = . , >. >. Le coefficient de Poisson
exprime le
rapport de la compression dans une
direction à l’extension dans la direction perpendiculaire Il renseigne sur la conservation de volume et l’incompressibilité. Le coefficient de
Poisson peut être exprimé en fonction des paramètres de Lamé comme suit : .
En compression compression uniaxiale l’expression reliant le coefficient coefficient de Poisson à la variation
de volume est :
Le coefficient de Poisson ne peut dépasser . Il est utilisé pour pour différencier les formations déconsolidées des formations consolidées et peut dévoiler l’existence des hydrocarbures, particulièrement dans le cas des formations
géologiques gréseuses remplies en gaz.
EQUATION d’ONDES L’équation d’ondes de base dans les méthodes sismiques et en sismologie est l’équation d’ondes dans un milieu élastique .Elle est compliquée pour être résolue
analytiquement. En supposant le matériau homogène et en négligeant les gradients des paramètres de Lamé, elle se simplifie simplifi e sous la forme vectorielle.
⃗ ⃗ µ.∆⃗ µ ⃗ ⃗ = . ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ∆⃗ = ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ µ µ.∆ = µ µ = ⃗ En introduisant la relation
, on obtient :
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La déduction de l’équation d’onde peut être obtenue en appliquant le principe fondamental de la dynamique. En effet, l’application du principe de la dynamique
au cube élémentaire de la figure 2 et en écrivant que la somme des composantes qui s’exercent dans une direction donnée, en agissant sur les six faces du cube de volume unité, est égale au produit de la masse volumique par l’accélération. L’application du principe fondamental de la dynamique dans la direction direction donne l’équation d’ondes dans cette direction :
= ⃗ µ.µ. = ⃗ µ µ.=∆⃗ ∆=⃗ ⃗ ⃗
La substitution des déformations déformations à la place place des contraintes contraintes de Hooke à cette équation, on obtient :
et en appliquant appliquant la loi
.
Cette équation équation (pour un milieu isotrope isotrope et non forcé) peut s’écrire comme suit.
. Le laplacien de
En suivant le même raisonnement, on déduit les expressions identiques pour les autres directions et
⃗ ⃗ µ.∆⃗ = µ ⃗ ⃗ µ ⃗ ⃗ ⃗ = ⃗ µ ⃗ ,, ∶ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ = ⃗ ⃗ = , , ⃗ On remarque que l’équation d’ondes
Contient des termes vectoriels vectoriel s .On envisage alors deux types de solutions : : Déplacement du point de coordonnées : représente représente la direction direction du profil profil Direction Direction transverse : Direction verticale
au passage de l’onde.
: Masse volumique ou la densité du milieu dans lequel s’effectue la propagation.
On peut décomposer le vecteur déplacement en un potentiel scalaire (composante de dilatation) et un potentiel vectoriel composant c omposant de distorsion) suivant la décomposition de Helmholtz. Celle – ci ci nous fait apparaitre séparément les équations d’ondes longitudinales transversales.
: Le potentiel vecteur de distorsion de composantes
Les potentiels
et
sont appelées fonctions de Lamb.
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On a alors :
== – = L’équation
d’onde
contient des termes vectoriels, ce qui nous conduit à
considérer deux types de solutions :
Première solution
⃗ ⃗ ⃗ ⃗ = = ⃗ ⃗ ⃗ = .. µ : = 2 +
, l’équation devient
, on a
Lorsque
: Elle représente une équation des ondes
vectorielles de vitesse de propagation Elle devient
=
.
C’est une équation des ondes qui se propagent avec une vitesse
appelée
l’équation de propagation des ondes longitudinales (primaire ).
. Les ondes -
ont les caracteristiques suivantes :
Elles ont une polarisation rectiligne(ou linéaire) c’est-à-dire polarisées suivant
la direction de propagation , elles elles sont non dispersives . -
Lors de leur propagation propagation dans un milieu , les particules particules de celui-ci suivent suivent alternativement alternativem ent des compressions et des dilatations dilatatio ns (compression et étirement du milieu).Donc le mouvement des particules du milieu atteint par l’onde est parallèle à la l a direction de propagation. propagation.
- Elles arrivent les premières aux capteurs puisque ce sont les plus rapides. - Elles se propagent avec une vitesse definie par :
-
-
+ + = = .+..−− = + = = = Dans le cas d’un liquide parfait
, il s’en suit que :
Elles se propagent aussi bien dans les solides que dans les fluides Dans l’air elles constituent les ondes sonores(onde aérienne) 12
-
Elles sont enregistrées (sismomètre)
bien sur la composante verticale du géophone
-
Elles sont responsables du grondement sourd que l'on peut entendre au début d'un séisme.
-
Conventionnement, Conventionnem ent, les ondes longitudinales longitudi nales représentent les ondes les plus utilisées en sismique d’exploration (prospection sismique
réflexion et
réfraction)
Deuxième Solution
⃗⃗ = ⃗ ⃗ =⃗ ⃗ µ.⃗ ⃗ = = = = = ..+
Lorsqu’on considère un mouvement rotationnel pur défini par un potentiel vecteur
de composantes
,
appelé potentiel de distorsion tel que : l’équation devient :
on a
. : Elle représente une équation des ondes vectorielles de vitesse de propagation , ce qui donne : .
C’est une équation des ondes vectorielles qui se propagent propagent avec une vitesse appelée l’équation de propagation des ondes transversales avec :
Les ondes transversales ou secondaires ( ) cisaillement ou de distorsion.
sont appelées
aussi ondes de
Les ondes ont les caracteristiques suivantes : -
Lors du passage
d’une onde dans un milieu matériel, les particules particules de
celui-ci subissent un mouvement perpendiculaire à la direction de propagation.
-
Elles sont polarisées dans le plan tangent au front d’onde de l’onde
c’est
à dire une polarisation dans le plan perpendiculaire à la direction de propagation -
Elles ne sont pas dispersives.
-
elles ne se propagent pas les milieux liquides 13
-
= =
leur vitesse a pour expression Lorsque -
>
leur vitesse peut être approchée par l’émission et l’enregistrement d’onde
=
, avec
(coefficient de rigidité)
l’excitation des ondes
exigent l’utilisation des sources sismiques specifiques
peu commode à manupiler sur le terrain. -
L’enregistrement des ondes
s’effectue à l’aide de geophones horizontaux
qui sont difficiles à implanter de manière horizontale. horizontale. -
Les ondes sont (enregistrements)
plus difficles difficl es à identifier sur les sections sismiques
Convertion des ondes P et S L’étude des contraintes et des déplacements de part et d’autres d’une interface
(marqueur) séparant deux milieux tant tant en réfraction comme en reflexion montre les phénomènes suivants :
Les ondes se décomposent décomposent en deux types d’ondes d’ondes : -
.
Une onde sismique avec une composante horizontale
(perpendiculaire
pour laquelle le mouvement des particules particules du milieu milieu traversé est perpendiculaire au plan du profil profil c’est-à-dire il est compris compris le plan transverse . au plan d’incidence) de vitesse
-
L’onde
Une onde avec une composante verticale (dans le plan d’incidence) de vitesse pour laquelle le mouvement des particules est contenu dans le plan plan vertical passant par le profil.
- Une onde sismique incidente peut generer des ondes et et des ondes et Refractées. - une onde sismique du type reflechies et refractées.
- une onde sismique du type reflechies et et refractées.
reflechies
incidente peut generer des ondes
incidente peut generer des ondes
et
Dans un milieu isotrope, les relations suivantes sont verifiées :
>
et
=
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Les travaux approfondis relatives aux vitesses de propagation des ondes sismiques dans les roches sédimentaires ont montré un certain nombre de facteurs qui agissent sur la variation du paramètre vitesse. Il s’agit de la lithologie, la porosité, l’âge géologique, la pression, la profondeur, la température, la densité etc…
-
Le rapport des vitesses des ondes de Poisson Poisson par la relation fig :
= ,−,−
-
et est intimement relié au coefficient
-
Les ondes et sont considérées comme des signaux utiles ou par leur comportement (réflexion, réfraction etc.), on peut tirer des informations utiles sur la profondeur des indicatrices, indicatric es, leurs vitesses et des autres informations physiques.
-
En présence d’une surface libre, les ondes
et peuvent interférer pour engendrer des ondes de surface (onde de Love et de Rayleigh)
Fig.6
La figure 6 montre la variation de la vitesse des ondes longitudinales et transversales jusqu’au noyau de la terre.
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Fig. 7 distribution des vitesses des ondes P et S à l’intérieur de la terre
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PARAMETRES DECRIVANT UN TRAIN D’ONDES
La propagation des ondes élastiques dans un milieu isotrope, homogène et continu est fondée sur la relation contrainte-déformation (loi de Hooke) et la force – accélération (deuxième loi de Newton) et, que tout signal sismique est qualifié d’un train d’ondes élastiques résultant d’une perturbation se propageant sous
forme de vibration. Dans le domaine temporel tout train d’ondes
se décrit
par les paramètres
suivants : Temps du trajet
Il indique le temps mis par une onde sismique pour traverser une certaine distance (ou épaisseur d’une formation géologique). La connaissance du temps de parcourt (émetteur- récepteur) de l’onde sismique permet alors d’accéder à la mesure
de sa vitesse de propagation. propagation . Amplitude et énergie
= √ = ∫ . =
L’amplitude est liée à l’énergie transportée par l’onde sismique selon la relation.
, soit
L’amplitude est mesurée de pic à pic. Une onde sismique d’amplitude
une énergie cinétique
possède
: étant la vitesse de déplacement d’un point matériel et non la vitesse de
propagation.
Energie d’une onde plane sinusoïdale
Pour une onde sphérique harmonique pour laquelle le déplacement est radial, relation : et pour une valeur déterminée du rayon, il s’exprime par la relation
= = : Où
est l’angle de phase
,
étant étant la fréquence ( Hz)
– = ...
.Puisque le déplacement varie avec le temps, chaque particule du mili eu est animée d’une vitesse ,à : L’amplitude du déplacement déplacement comprise entre
laquelle correspond une énergie cinétique
et
=
: étant le volume de chaque élément du milieu dans lequel se propage l’onde
sismique.
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Le calcul de l’énergie cinétique par unité de volume est exprimé par l’équation :
= . . = . Cette expression varie de la valeur valeur
0
à la valeur maximale
.
Une onde sismique possède également une énergie potentielle découlant des contraintes élastiques produites pendant son passage à travers un milieu matériel. Etant donné que le passage d’une onde sismique entraine la vibration des particules du milieu matériel, la variation de l’énergie s’opère, alors conjointement, de la forme cinétique à la forme potentielle et inversement, l’énergie totale restant
constante. Quand l’élongation d’une particule du milieu est nulle, l’énergie potentielle est nulle et l’énergie cinétique est maximale, et inversement. La densité d’énergie pour une onde harmonique est :
= =
Cette relation montre que la densité d’énergie est directement proportionnelle proportionnelle à la densité du milieu et aux aux carrés de la fréquence fréquence et de l’amplitude de l’onde.
Période
La période notée Fréquence
La fréquence
correspond à la durée d’une oscillation.
en Hertz (Hz) .Elle est liée à la période période par la relation : Longueur d’onde
Elle est notée par expression :
= . =
=
correspond au nombre d’oscillations par seconde .Elle s’exprime
et exprime la distance parcourue pendant une oscillation. Elle a pour
(mètre)
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BIBLIOGRAPHIE
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