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PROPAGAÇÃO DE ERROS

Medidas diretas: medidas tomadas com o uso de um tipo específico de instrumento: paquímetro, micrômetro. ●

Medidas indiretas: o valor da grandeza é determinado a partir da medição direta de outras grandezas: ensaio de fratura, torção, tração. ●

PROPAGAÇÃO DE ERROS A maior parte das quantidades ou relações que pretendemos obter não são dadas por leitura direta, mas calculadas a partir dos valores experimentais e de equações de definição: ●

1 f= T D Vol=π . h. 4

2

PROPAGAÇÃO DE ERROS O erro que vem para a frequência ou para o volume depende do erro determinado para T ou para D e h. ●

O que se pretende determinar é como os erros em T, h e D se propagam para f e V. ●

Podemos definir uma grandeza Z como função das grandezas medidas (A, B, C . . .). ●

Z = f(A, B, C, . . .)

MÉTODO DE KLEINE E MCCLINTOCK Qualquer método realista de medida deve estar baseado e fundamentado em aspectos estatísticos. ●

O método mais usado e aceito na bibliografia especializada é o conhecido Método de Kleine e McClintock. ●

Segundo seus autores, o resultado do cálculo do erro é uma função das variáveis independentes X1, X2, X3, …, Xn ●

MÉTODO DE KLEINE E MCCLINTOCK ∆Z = f(X1, X2, X3, ..., Xn) Chamamos ∆Z o erro do resultado (sendo ∆X1, ∆X2, ∆X3, ..., ∆Xn os erros das variáveis independentes) ●

Δ Z=

√(

2

2

) (

)

(

Z' Z' Z' . Δ X1 + . Δ X2 +...+ . Δ Xn X1 ' X2 ' Xn '

Δ Z=

√

q

∑ n=1

(

Z' . Δ Xn Xn '

2

)

2

)

MÉTODO DE KLEINE E MCCLINTOCK Exemplo 1) Aplicando, pois, essa expressão geral nos dois exemplos citados, da frequência (f) de um sistema e do volume (Vol) de um cilindro, e sabendo que as grandezas T, h e D com seus respectivos erros são T = 50s ± 5%, (h = 50 ± 0,2) cm e (D = 10 ± 0,2) cm Derivada

1 1 f= = =0,02 Hz T 50s

∂ f −1 f= = 2 ∂T T

MÉTODO DE KLEINE E MCCLINTOCK Δ X 1=Δ T =5 % de 50s=2,5 s Δ Z=

√(

√(

−1 .ΔT 2 T

2

)

2

)

−1 Δ Z= .(2,5 s) 2 50s Δ Z =0,001 Hz

Assim temos : f =(0,02±0,001) Hz

MÉTODO DE KLEINE E MCCLINTOCK Erro do volume do cilindro: Cálculo erro altura 2

2

(10cm) D 3 Vol=π . h. =π . 50cm. =3.927 cm 4 4 2

D ∂ Vol 1 2 Vol=π . h. ≫ = .π. D 4 ∂h 4 Δ X1=Δ h=0,2 cm

MÉTODO DE KLEINE E MCCLINTOCK Erro do volume do cilindro: Cálculo de erro Diam. D 2 ∂ Vol 1 Vol=π . h. ≫ = . π . h. D 4 ∂D 2 Δ X2=Δ D=0,2 cm

MÉTODO DE KLEINE E MCCLINTOCK Aplicando-se a equação do método:

ΔZ= Δ Z=

√(

√(

2

) ( ) (

∂ Vol ∂ Vol .Δh + .Δ D ∂h ∂D 2

2

)

1 1 2 . π (10 cm) .0 ,2 cm + . π .50 cm .10 cm .0 ,2 cm 4 2 3 Δ Z =157,86 cm Vol=(3927±157,86)cm

3

2

)

MÉTODO DE KLEINE E MCCLINTOCK Exemplo 2) Para realizar o tratamento de têmpera em uma determinada peça mecânica, é preciso mantê-la aquecida durante certo período de tempo em um forno elétrico a temperatura de 550 °C. Sabendo que o erro (imprecisão) do termopar utilizado é de ±0,75% para essa faixa de temperatura, e seus cabos de compensação produzem um erro de ± 1°C, e além disso um termômetro de mercúrio monitora a temperatura ambiente (erro de ±0,5°C), o erro do instrumento digital de leitura é de ±1°C. Qual será o erro final na temperatura do forno ? (Observação: 0,75% de 550 é aproximadamente 4 °C)

MÉTODO DE KLEINE E MCCLINTOCK Aplicando o método de Kleine e McClintock

Δ Z = √(4) +(1) +(0,5) +(1) Δ Z≈4 ° C 2

2

2

2

MÉTODO DE KLEINE E MCCLINTOCK Exemplo 3) Aplica-se uma ddp de 220V ± 1% em um resistor de resistência R = 50Ω ± 2%, sendo a corrente medida I = 15 A ± 1%. Deseja-se calcular a potência dissipada de dois modos diferentes: a) P = U2 / R b) P = U . I

MÉTODO DE KLEINE E MCCLINTOCK Solução do 1º Modo

Derivada em relação a U ∂ Z ∂ P 2 .U = = ∂ X 1 ∂U R Δ X 1=Δ U =±1 =±2,2 V

Derivada em relação a R 2

∂Z ∂P U = =− 2 ∂ X2 ∂R R Δ X 2=Δ R=±2 =±1Ω

MÉTODO DE KLEINE E MCCLINTOCK Solução do 1º Modo

Aplica−se a equação do método substituindo as variáveis

(√ (√

Δ Z= Δ Z=

2

) ( )(

2

2.U U .ΔU + − 2 .Δ R R R 2

2

2

) )

(220) 220 2. . 2,2 + − 2 .1 50 50 Δ Z≈27,379W

2

MÉTODO DE KLEINE E MCCLINTOCK Solução do 2º Modo

Derivada em relação a U ∂Z ∂P = =I ∂ X 1 ∂U Δ X 1=Δ U =±1 =±2,2V Derivada em relação a I ∂Z ∂P = =U ∂X2 ∂I Δ X 2=Δ I =±1 =±0,15 A

MÉTODO DE KLEINE E MCCLINTOCK Solução do 2º Modo

Aplica−se a equação do método substituindo as variáveis

√

2

2

Δ Z = ( I. Δ U ) +( U. Δ I )

√

2

Δ Z = ( 15.2,2 ) +( 220.0,15 ) Δ Z≈46.669 W

2

MÉTODO DE KLEINE E MCCLINTOCK Solução do 2º Modo

A potencia calculada pelo método a ) será : 2 (220V) U P= = ≈(3227±27,38)W ou 3227W ±0,85 % R 15 A 2

A potencia calculada pelo método b ) será : P=U . I =(220V).15 A≈(3300±46,67)W ou 3300W ±1,42 %

EXERCÍCIOS Resolver os exercícios exemplo 4 e 5 e exercícios propostos 1 e 2 Livro: Instrumentação Industrial: Conceitos, Aplicações e Análises. Autor: Eng. Arivelto Bustamante Fialho