Prontuario Scienze Delle Costruzioni

Prontuario Scienze delle Costruzioni Conversioni 1 Pa = 1 N/m² N= (Kg m)/s

2

1Mpa= 1N/mm

2

1kg=9,81 N

Cinematica e sistemi di travi Cerniera con più aste collegate Data una cerniera non collegata al suolo se essa collega n aste essa avrà 2(n-1) gradi di libertà residui. Data un carrello collegato al suole e siano ad esso collegate n aste esso avrà 2(n-1)+1 gradi di libertà residui.

Catene Cinematiche Se siamo in presenza di una struttura a un grado di libertà per determinare il centro di rotazione mancante basta applicare il 1° Teorema delle Catene Cinematiche. Per strutture a 3 o più corpi rigidi per individuare i centri di rotazione mancanti possiamo considerare 2 dei corpi rigidi collegati tra loro di cui conosciamo almeno 2 CIR e trovare il terzo applicando il 1° Teorema delle Catene Cinematiche. Nell’evenienza andremo ad applicare il 2° Teorema delle Catene Cinematiche.

Geometria delle Masse Momento Statico Di un punto rispetto all’asse x: Di un punto rispetto all’asse y: Se si è in presenza di un sistema discreto di masse si andrà a fare la sommatoria dei momenti statici dei singoli punti per avere il momento statico totale rispetto all’asse considerato. Nel caso continuo :

∫

,

∫

Note la massa totale del sistema, e le coordinate del baricentro i momenti statici saranno rispettivamente: dove con e si intende la distanza del baricentro del sistema di masse dall’asse considerato.

Caratteristiche delle sollecitazioni

1

q 0 costante Lineare Concentrato Momento concentrato

T -0 - costante lineare Parabolico Discontinuità pari al carico Non Varia

M -cost - lineare Parabolico con massimo in T=0 Cubico Cuspide Discontinuità

Strutture iperstatiche Metodo delle forze 1) Svincoliamo opportunamente la struttura facendo attenzione che essa sia isostatica. Nei punti in cui vi erano i vincoli soppressi inseriamo le reazioni vincolari che essi esplicavano sotto forma di forze esterne. 2) Scriviamo le equazioni di congruenza caratteristiche dei vincoli soppressi: - carrello: nessuno spostamento perpendicolarmente al piano su cui è applicato - cerniera: nessuno spostamento orizzontale ne verticale - doppio pendolo: nessuna rotazione e nessun movimento perpendicolarmente al piano su cui esso è applicato - incastro: nessun movimento. Dalle equazioni di congruenza ricaviamo le incognite iperstatiche. Plv 1) Svincoliamo opportunamente la struttura facendo attenzione che essa sia isostatica. Nei punti in cui vi erano i vincoli soppressi inseriamo le reazioni vincolari che essi esplicavano sotto forma di forze esterne. 2) Analizziamo la struttura isostatica composta dai carichi esterni e dalle rispettive reazioni vincolari disegnandone i diagrammi del momento, tale struttura verrà detta reale. 3) Analizziamo la struttura composta dalla reazione vincolari create (prese singolarmente una alla volta) disegnandone i diagrammi. 4) Applichiamo il PLV ∫ dove con

e con

Deformate Linea Elastica Applicabile a travi rettilinee, la dove vi sono discontinuità occorre dividere il dominio. Si effettuano due integrazioni della seguente equazione differenziale e con le condizioni al contorno si ricavano le costanti.

Composizione di rotazioni e spostamenti Strutture complesse si possono ridurre in modo semplice. Si analizza pezzo pezzo la struttura supponendo il resto infinitamente rigido e alla fine si sommano tutti i contributi.

Plv 1) Calcoliamo i diagrammi della struttura, se tale struttura è soggetta a momenti flettenti si andranno a trascurare le componenti deformative dovute a taglio e sforzo normale. 2) Consideriamo una struttura fittizia; tale struttura sarà l’isostatica in questione caricata con un carico unitario: - Se si cerca lo spostamento in P con direzione a la forza unitaria diretta in direzione a; - Se si cerca una rotazione assoluta in una sezione S una coppia unitaria in S

2

-

Se si vuole trovare uno spostamento relativo si assume un sistema fittizio con due forze unitarie opposte in P e Q e dirette secondo P e Q; - Se occorre determinare una rotazione relativa tra sue sezioni S1 e S2 il sistema deve essere costituito da due coppie unitarie in S1 e S2 di segno opposto. 5) Applichiamo il PLV ∫

Saint Venant Sforzo normale centrato Nascerà solo sforzo normale costante su tutta la sezione e sarà pari a:

Flessione retta La flessione retta può essere generata da un momento flettente intorno ad x o y, sulla sezione nasceranno sforzi normali sia a trazione che a compressione e l’asse neutro sarà coincidente con l’asse su cui è applicato il momento:

Torsione -

Sezioni Polarsimmetriche (Piene)

Nelle sezioni polarsimmetriche piene la torsione genererà delle tensioni tangenziali che aumenteranno con l’allontanarsi dal centro e raggiungeranno il valore massimo all’esterno. Il fattore di rigidezza torsionale sarà il momento di inerzia polare. A

-

;

-| | -|

|

- Sezioni Polarsimmetriche (Cave) Analogamente alle sezioni polarsimmetriche piene si può procedere nelle sezioni polarsimmetriche cave con la differenza del fattore di rigidezza torsionale.

|

| 3

- Sezioni sottili chiuse circolari Nelle sezioni sottili chiuse circolari il vettore tensione tangenziale può essere considerato costante su tutta la superficie e tangente ad essa. Il fattore di rigidezza torsionale sarà dato da con omega area del raggio medio e t spessore. con - Sezioni sottili aperte Nelle sezioni sottili aperte il vettore tensione tangenziale si racchiuderà nello spessore della sezione, esso quindi risulterà essere massimo sul bordo della superficie, inoltre cambierà direzione agli angoli. a/b

1 4,8 0,141

2 4,6 0,229

10 3,2 0,312

3 1/3

Se la sezione non è a spessore costante il momento deve essere ripartito tra i singoli tratti, si calcola la tensione per ogni singolo tratto sarà

∑

∑

per sezioni allungate (a/b> 10) -

Sezioni sottili chiuse Nelle sezioni sottili chiuse si applica la formula di Bredt:

-

∫

Taglio retto Nel taglio retto si utilizza la formula di Jourowsky per calcolare un valore approssimato del taglio. Il taglio sarà in funzione sia di b, lunghezza della corda, sia del momento statico dell’area sottesa dalla corda rispetto all’asse x. Generalmente per il calcolo del momento statico si individua il centro di massa del sistema sotteso dalla corda e si calcola il momento statico con la formula dove è la distanza del centro di massa del sistema sotteso dalla corda dall’asse x. Flessione Deviata Nella flessione deviata il momento flettente è applicato ad un asse diverso rispetto a quelli centrali di inerzia. Nasceranno delle tensioni normali, l’asse neutro passera per il baricentro.

Sforzo normale eccentrico Nello sforzo normale eccentrico lo sforzo normale non è applicato nel punto G bensì in un punto C. Nasceranno delle tensioni normali. L’asse neutro poiché 1/A è una sorta di intercetta non passerà per il baricentro.

[

]

4

Verifiche di resistenza Criterio di Huber-Mises √ Criterio di tresca √

Teoria Equazioni indefinite di Equilibrio (servono per ricavare le C.D.S. attraverso delle equazioni che descrivono il loro andamento) - Concio con coppie e carici distribuiti - Equilibrio alla rotazione e traslazione - Eliminiamo infinitesimi di ordine superiore al primo nell’equazione del momento Metodo dei nodi per travature reticolari (Ricaviamo gli sforzi nelle singole aste della trave) - Calcolo delle reazioni vincolari - Nodo semplice con al massimo 2 reazioni incognite - Imponiamo l’equilibrio alla traslazione verticale e orizzontale - Proseguiamo da nodo semplice a nodo semplice fino ad esaurimento della struttura Metodo delle sezioni di Ritter per travature reticolari (Ricaviamo gli sforzi nelle singole aste della trave) - Una sezione di Ritter taglia la struttura a metà spezzando un certo numero di aste tutte confluenti in un polo tranne una (che non confluisce nel polo) - Se il polo è un punto proprio si impone l’equilibrio alla rotazione, dell’asta coniugata, intorno al polo - Se il polo è un punto improprio si impone l’equilibrio alla traslazione dell’asta nella direzione ortogonale al punto improprio Analisi della deformazione Funzione Spostamento (scrittura della funzione spostamento come composizione di una rototraslazione e deformazione) -

Intorno di un corpo (centrato in P e Q punto sulla circonferenza Associamo a ea

-

La differenza

con

5

-

Esplicitando inseriamo il tutto nella matrice Jacobiana Scomponiamo la matrice Jacobiana come una matrice antisimmetrica

-

Si ottiene la funzione spostamento esplicitata come

e simmetrica

ossia

Significato geometrico - Punti P, Q, R , e -

Supponiamo rotazione rigida nulla

-

Consideriamo il grafico PQR (positivo se di allungamento) Otteniamo che ; è la variazione d’angolo tra i segmenti originariamente paralleli ad x e y (positiva se l’angolo diminuisce)

Reciprocità Funzione spostamento - Considero intorno sferico centrato in P e quindi posso dire che - { } [ ]{ } e { } [ ]{ } - calcolo e - Faccio la trasposizione di uno dei due Deformazioni principali (contengono la massima e la minima deformazioni e inoltre ogni intorno aumenterà solo il suo volume) { } { } - { } [ ]{ }= { } [ ] { } [ ] - soluzione diversa da quella banale imponiamo risolvendo tale polinomio otteniamo le deformazioni principali Direzioni principali di deformazione -

(

)

(

)

da qui derivano i tre casi

Tetraedro di Cauchy (tensore delle tensioni) - Tetraedro di Cauchy - Equilibrio alla traslazione - Trascuriamo forze di volume - Si ottiene Reciprocità del tensore delle tensioni - Cubo dx dy dz con le tensioni - Equilibrio alla rotazione intorno all’asse z - Elido infinitesimi del quarto ordine Tensioni principali { } - { } - ( ){ } - per escludere le soluzioni banali - (

(

)

Cerchi di Mohr (note le tensioni principali possiamo sapere come varia il vettore tensione al variare della giacitura) - Tensore nel riferimento principale - Le equazioni a me utili sono: ; | | ;

6

-

Consideriamo il sistema di tre equazioni nelle tre incognite:

-

Dopo aver individuato i segni imponendo

-

Scrivendo le tre disequazioni

-

Rappresentando le disequazioni nel piano di Mohr otteniamo il dominio di Mohr

individuiamo i segni di

(

)

(

(

)

)

Piano di Mohr - Individuo lo stato tensionale sulla faccia di normale x positiva , Individuo lo stato tensionale sulla faccia di normale x positiva - Congiungendo e l’intersezione del segmento con l’asse troviamo C - Circonferenza in C con C le intersezioni con l’asse x sono le tensioni principali - Mandiamo la parallela a x da e a y da l’intersezione delle due rette è polo di Mohr - Per qualunque direzione uscente dal polo lo stato tensionale sulla faccia di normale uguale all’asse uscente dal polo Equazioni indefinite di equilibrio (impongono l’equilibrio in ogni sezione infinitesima del corpo - Cubo dx dy dz con rispettive tensioni - Equilibrio alla traslazione lungo x - Consideriamo le forze di massa e di volume solo in direzione x - Equazione indefinite di equilibrio Condizioni al Contorno - Francobollino di superficie -

Forza

-

Per equivalenza il vettore tensione sulla faccia inclinata deve coincidere con la forza di superficie applicate

-

{

{

}

Plv per i corpi deformabili (afferma l’uguaglianza tra il lavoro virtuale esterno, forze per relativi spostamenti, e lavoro virtuale interno, tensioni per relative deformazioni) { } { } { } staticamente ammissibile ossia rispetta le equazioni indefinite di - consideriamo un sistema equilibrio e le condizioni di equilibrio al contorno { } { } cinematicamente ammissibile ossia rispetta le equazioni cinematiche - consideriamo un sistema -

tenendo conto delle formule di Green ∫

-

∫[

+

v+ w]ds=∫ {

∫ }

e∫

∫ ]

∫[

Legge costitutiva Elastica Un corpo è elastico quando il lavoro per portarlo ad un certo stato deformativo o tensionale non dipende dal percorso ma solo dallo stato iniziale e finale. - Consideriamo un corpo deformabile in equilibrio sotto l’azione di forze di volume { } e di superficie { } con { } campo di spostamenti tutto diverso da zero tranne in un punto tale che non ci siano moti rigidi - Si incrementano le forze { }, { } dai rispettivi incrementi si hanno delle rispettive { } , { } - Applichiamo il PLV: sistema cinematicamente ammissibile { } , { }, staticamente ammissibile { }, { } e tensioni prodotte { } un corpo è deformabile quando è un differenziale esatto, affinché sia un differenziale ∫{ } { } { } { } esatto lo deve essere { } { }e - dall’uguaglianza tra si ottiene che -

{ } { } Considerando il lavoro virtuale infinitesimo { } { } poiché { } { } è funzione di stato e Possiamo affermare che anche è funzione di stato detta potenziale elastico complementare { } { } con Dall’uguaglianza di otteniamo che

Elasticità lineare Partendo dallo sviluppo in serie di Mac-Laurin di

è funzione di stato

e imponendo che nello stato indeformato

7

-

Inseriamo i 36 coefficienti nella matrice Hessiana [ ] { } [ ]{ } Possiamo affermare

-

Per derivazione parziale otteniamo che { } { } { }

[ ]{ }

-

Dato che nello stato indeformato la matrice Hessiana deve rappresentare un minimo assoluto essa deve essere definita positiva, quindi essa è anche invertibile e otteniamo che { } [ ] { } Principio sovrapposizione degli effetti Consideriamo un sistema { }, { }, { } che generano { } e quindi { } , { }; e { }, { }, { } che generano { } e quindi { } , { } Si ha che { } { } genererà { } { } quindi { } { } e { } { } Teorema di Kirkhhoff - Se { } esiste è unica consideriamo un sistema di forze di volume { } e di superficie { } e { } e supponiamo per assurdo che si generi { },{ }, { } e { },{ }, { }. - Supponendo che { } { } { } , { } { } { } e { } { } { } { } { } - Applico il PLV ∫{ } { } dato che ∫ ciò implica { } { } Teorema di Clapeyron - Corpo linearmente elastico soggetto a { } e { } di cui { } - Applico il PLV sistema cinematicamente ammissibile campi finali e staticamente ammissibile campi forze finali { } { } - Lavoro totale fatto per deformare un corpo è pari alla metà del prodotto della forza finale per lo spostamento finale Teorema di Betti { } sia il lavoro delle forze del - Corpo elastico lineare sottoposto a processo di carico quasi stabile { }, { } { } sia il lavoro delle forze del sistema (b) per gli sistema (a) per gli spostamenti del sistema (a) , { }, { } spostamenti del sistema (b) . { } sia il lavoro mutuo - { }, { } { } sia il lavoro mutuo - { }, { } - generalmente poiché e il lavoro non dipende dal percorso di carico - se i due sistemi sono energeticamente ortogonali Isotropia (caratteristiche in un punto non cambiano base alla giacitura) ( ) ( ) -

Derivando parzialmente rispetto a [ [ ] [ ] { } { } [ ]{ } [ ] definita positiva Si hanno le limitazioni di E>0; -1< resistenza agli scorrimenti.

con

] otteniamo che [ ]

ma fisicamente 0<

. E rigidezza del materiale,

coefficiente di Poisson e G

Saint Venant Sforzo Normale ;

applichiamo in G:

-

Equilibrio alla rotazione è soddisfatto poiché non ci sono bracci, da ∫

-

Equazioni costitutive elastiche

da cui

,

Flessione Retta -

∫ ∫

; ;∫ ; ∫(

: con )

;∫ con

,

con ;∫ quindi un’identità

;

- Dalle leggi costitutive elastica

;

8

Torsione Sezioni circolari -

u=

;

; w=0 ; dalle equazioni costitutive elastiche si ottiene

;

;

9