Prontuario Placas
November 30, 2022 | Author: Anonymous | Category: N/A
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PLAC PL ACAS AS DE DELG LGAD ADAS AS ME MEDI DIAN ANTE TE MÉTOD MÉT ODOS OS CLÁ CLÁSIC SICOS OS
A NÁLISIS DE E STRUCTURAS II I I O 4 DE I.C.C.P.
Por R. Gallego Sevilla, G. Rus Carlborg y A. E. Martínez Castro
Departamento de Mecánica de Estructuras e Ingeniería Hidráuli Hidráulica ca , Universidad de Granada Edificio Politécnico Fuentenueva, C/ Severo Ochoa s/n, CP 18071 Granada
Octubre de 2007
Placas delgadas (Teoría (Teoría de Kirchhoff). Resumen
Ecuación de gobierno: w, xxxx + 2 · w, xxyy + w, yy yy = Donde: D =
E h3 ; 12 (1 − ν 2 )
= I =
p(x, y ) D
(0.1)
E I h3 ; D = 12 1 − ν 2
(0.2)
(0.3)
P (x, y )
x
y Q y
Qx
M y M yx
Mxy
Mx
A partir del campo de desplazamientos verticales, w verticales, w ( x, y ), se obtienen: Giros: θ x =
∂w ∂x
= w , x ;
θ y =
∂w ∂ y
= w , y
Momentos unitarios: Mx = − D w, xx + ν w, yy M y = − D w, yy + ν w, xx Mxy = −2 G I w , xy = −D (1 − ν ) w, xy
(0.4)
E . 2 (1 + ν ) Cortantes unitarios:
siendo G siendo G =
Q x = − D w, xxx + w, xy y Q y = − D w, yy y + w, yx x Cortante generalizado en bordes:
V x = − D w, xx x + ( 2 − ν ) w, xy y V y = − D w, yy y + ( 2 − ν ) w, yx x
I
(0.5)
(0.6)
Índice general
Placas delgadas (Teoría de Kirchhoff). Resumen Capítulo 1. Placas delgadas rectangulares 1.1. 1.1. Pl Plac acas as de delg lgad adas as recta ectang ngul ular ares es.. Méto Método do de Navi Navier er . . . . 1.1.1. Carga uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1. .1.2. Car arg ga puntual. Función de Green. . . . . . . . . . 1.1.3. Carga distribuida distribuida en una una linea linea y y = η 0 . . . . . . . . 1.1.4. Carga distribuida distribuida en una una linea linea y y = f ( x). . . . . . 1.1.5. Momento Momento puntual puntual M M y . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.6. Momento Momento distribuid distribuido o M y ( x) en una línea y línea y = η 0 . 1.1.7. Superficie de carga lineal . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
I
. . . . . . . .
1 1 2 3 4 5 6 7 8
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
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. . . . . . . .
. . . . . . . .
1.1.8. Superficie de carga en un parche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2. 1.2. Pl Plac acas as de delg lgad adas as recta ectang ngul ular ares es.. Méto Método do de Levy Levy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2. 1.2.1. 1. Fu Func nció ión n de car arg ga con coefi coefici cien enttes cons consta tant ntes es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.2. 1.2. 2. Placa Placa rectan rectangul gular ar someti sometida da a carga carga uni unifor forme. me. Placa Placa tet tetraa raapo poyada yada . . . . . . . . 1.2.3. Placa rectang rectangular ular tetraap tetraapoyada oyada sometida sometida a dos distribu distribucion ciones es de momento momento M M y en dos bordes paralelos (caso simétrico (caso simétrico)) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.4. Placa rectang rectangular ular tetraapoy tetraapoyada ada sometida sometida a dos distribucion distribuciones es de momento momento en dos bordes paralelos (caso antimétrico (caso antimétrico)) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.5. 1.2. 5. Placa Placa rectan rectangul gular ar tetraap tetraapoya oyada da someti sometida da a una ley de carga carga lineal lineal . . . . . . .
II
9 10 12 13 14 15 16
C APÍTULO 1 Placas delgadas rectangulares
1.1. Placa Placass delg delgadas adas recta rectangul ngulares. ares. Méto Método do de Navi Navier er El método de Navier es aplicable en las siguientes condiciones: 1. Placa rectangula rectangularr, de de dimensi dimensiones ones a a × b. 2. Condición de apoyos simples en los cuatro cuatro bordes (placa tetraapoyada en bordes rectos). 0;; w, nn = 0 w = 0 Considérese la referencia R(O; x, y y,, z), situada en una esquina de la placa, con con x ∈ [0, a] e y ∈ [0, b]. La ecuación de gobierno de flexión de placas delgadas es la siguiente: ∆
2
w( x, y ) =
p( x, y ) D
(1.1)
siendo: 2
= w , xxxx + 2 w, xxyy + w, yy yy sentido z positivo. positivo. w( x, y ) ⇒ Campo de desplazamiento vertical, positivo en sentido z sentido z positivo. positivo. p( x, y ) ⇒ Carga superficial, positiva en sentido z E h3 espesor h,, y constantes elásticas E elásticas E,, ν , con D con D = . D ⇒ Rigidez de la placa de espesor h 12 (1 − ν 2 ) ∆
La solución general es: ∞
w(x, y ) =
∞
∑ ∑ wnm sen 1
1
=
n
=
m
n π x x m π y y sen a b
(1.2)
donde n donde n,, m ∈ , y
1
pnm ; Fnm = wnm = 4 · π D Fnm
n a
2
m + b
2 2
(1.3)
corres respo ponde nden n co con n el desarr desarroll ollo o en serie serie de Fouri Fourier er doble doble con extens extensión ión impar impar Los coeficient coeficientes es p p nm cor para la carga: 4 pnm = ab
a
b
0
0
∞
p(x, y ) =
sen en p( x, y ) s ∞
∑ ∑ pnm sen n 1m 1 =
=
1
m π y y n π x x d xd y sen b a
m π y y n π x x sen b a
(1.4)
(1.5)
1.1.1. 1.1 .1. Carga Carga uni unifor forme me
Se considera una placa rectangular, de dimensiones a × b. La placa está simplemente apoyada en sus cuatro bordes. El espesor de la misma es h son E y ν . La carga es h.. Los parámetros del material son E constante, de valor p valor p 0 .
z
p( x, y ) = p0
y x a
b
Desplazamiento: ∞
∑
w( x, y ) =
n 1,3,5... m =
16 16 p p 0 sn ( x) sm ( y) 6 n m π D Fnm 1,3,5,... ∞
∑
(1.6)
=
con: Fnm =
2 2
2
n a
+
m b
n π x x a m π y y sm ( y) = se sen n b
(1.7)
sn ( x) = s sen en
2
(1.8)
1.1.2. Carga Carga puntua puntual. l. Fu Función nción de Green. Green.
Se considera una placa rectangular, de dimensiones a × b. La placa está simplemente apoyada en sus cuatro bordes. El espesor de la misma es h son E y ν . La carga es h.. Los parámetros del material son E una fuerza puntual, de valor p valor p 0.
z p( x, y ) = p0 δ( x − ξ ; y − η) η ξ
y
x a
b Desplazamiento:
w( x, y ) = p 0 · K (x, y; y ; ξ , η) ∞
K ( x, y y;; ξ , η) =
∞
(1.9)
4
sn (ξ ) sm (η) sn ( x) sm ( y) ∑ ∑ 4 n 1 m 1 a b π D Fnm =
(1.10)
=
donde sn , sm vienen dadas en Eq. (1.8) y F y Fnm en Eq. (1.7). La función función K ( x, y y;; ξ , η) es la función de Green (o solución fundamental) al problema de placas delgadas rectangulares con condiciones de contorno en apoyos simples.
La solución para una carga p carga p ( x, y ) puede construirse a partir de la función de Green. w( x, y ) =
a
b
0
0
p(ξ , η) K ( x, y; y ; ξ , η) dξ dη
3
(1.11)
1.1.3. Carga Carga distr distribuida ibuida en una linea y = η 0 .
Se considera una placa rectangular, de dimensiones a × b. La placa está simplemente apoyada en sus cuatro bordes. El espesor de la misma es h son E y ν . La carga es h.. Los parámetros del material son E lineal, distribuida según la función q función q (x) en una línea de y de y constante, constante, de valor η 0 .
z q( x ) η0
y x a
b Carga: p(x, y ) = q ( x) δ( y − η0 )
(1.12)
Desplazamiento: ∞
w( x, y ) =
∞
∑ ∑ n 1 m 1 =
=
π 4
4 · sm ( η0 ) sn ( x) sm ( y) γ n a b D Fnm
con:
a
γ n =
0
sn (ξ )q(ξ )dξ
(1.13)
(1.14)
Si la función q función q ( x) se expresa mediante su desarrollo en serie (en seno), se tiene: ∞
q( x ) =
∑ qk s k (x); k 1
p(x) s (x)dx =
a
qk = 2a
k
0
(1.15)
k ∈ . La expresión del desplazamiento queda:
w( x, y ) =
∞
∞
=
=
q 2 s (η )
n m 0 ∑ ∑ b π 4 D Fnm sn ( x) sm ( y) n 1 m 1
(1.16)
Para carga constante q constante q ( x) = q 0 , y la integral en Eq. (1.14) queda:
γ n =
Por tanto: n
2 q0 a n impar n π 0 n par
∑ n π 58bqD Fnm sm (η0 ) sn ( x) sm ( y) 1,3,5... m 1 ∞
∑
w( x, y ) =
=
∞
0
=
4
(1.17)
(1.18)
1.1.4. Carga Carga distr distribuida ibuida en una linea y = f (x).
Se considera una placa rectangular, de dimensiones a × b. La placa está simplemente apoyada en sus cuatro bordes. El espesor de la misma es h son E y ν . La carga h.. Los parámetros del material son E es lineal, distribuida según la función q( x) en una línea definida en el plano plano x y según la función y = f (x).
z q( x ) y = f ( x) y x a
b
Carga: p( x, y ) = q (x) δ ( y − f ( x)) Coeficientes de la carga: 4 pnm = ab
a
0
q( x)sn ( x) sm ( f ( x)) d x
(1.19)
(1.20)
Desplazamiento: ∞
∞
pnm sn ( x)sm ( y) D Fnm
(1.21)
m π c c x dx q( x)sn (x) sen b
(1.22)
∑ ∑
w(x, y ) =
n 1 m 1 =
Caso particular: y particular: y = c x. x. 4 pnm = ab
a
0
=
π 4
Caso particular. Carga constante en una diagonal: q diagonal: q ( x) = q 0 ; y = (b/ a) x. x. 4 q0 pnm = ab
a
0
sen
m π x x n π xx 2 q0 d x = δnm sen a a b
(1.23)
donde δnm es la delta de Kronecker, definida como sigue: δnm =
1
si n = m
0
si n = m
5
(1.24)
1.1.5. Momento Momento puntual puntual M y
Se considera una placa rectangular, de dimensiones a × b. La placa está simplemente apoyada en sus cuatro bordes. El espesor de la misma es h h.. Los parámetros del material son E y ν . En el punto de coordenadas (ξ , η) actúa un momento M momento M y .
z
η ξ
y
M y
x a
b Desplazamiento: w( x, y ) =
4 M y π 3 a b2 D
∞
∞
sn (ξ ) cm (η) m sn ( x) sm ( y) F nm 1
∑ ∑ n 1 m =
(1.25)
=
con: cm (η) = co coss
6
mπη b
(1.26)
1.1.6. Momento Momento distribuido distribuido M y ( x) en una línea y = η 0
Se considera una placa rectangular, de dimensiones a × b. La placa está simplemente apoyada en sus cuatro bordes. El espesor de la misma es h son E y ν . En la línea h.. Los parámetros del material son ( My ( x) = ∑n 1 Mn s n ( x)) momento M y , distribuido ( My y = η 0 se aplica un momento M ∞
=
z
M y ( x) η0
y x a
b Desplazamiento: wnm = co s llamando cm (η0 ) = cos
2 m Mn mπ η 0 cos b b2 π 3 D Fnm
mπ η0 se tiene: b
∞
w( x, y ) =
∞
2 m Mn Cm (η0 ) sn (x) sm ( y) b2 π 3 D Fnm 1
∑ ∑ n 1 m =
=
7
(1.27)
(1.28)
1.1.7. Superficie Superficie de carga carga lineal
Se considera una placa rectangular, de dimensiones a × b. La placa está simplemente apoyada en sus cuatro bordes. El espesor de la misma es h es h.. Los parámetros del material son E son E y y ν . La carga es de (triangular en y). la forma p forma p ( x, y ) = p 0 /b · y y (triangular
z
p0 y x a
b Carga: p(x, y ) = p0
y b
(1.29)
Término w Término w nm wnm =
−8 p 0 con n n im p a r · (−1) m , co n m π 6 D Fnm
8 p w( x, y ) = − 6 0 π D
( −1 )m ∑ ∑ n m Fnm sn (x) sm ( y) 1,3,5,... m 1 ∞
n
(1.30)
∞
=
=
8
(1.31)
1.1.8. Superficie Superficie de carga carga en un un parche parche
Se considera una placa rectangular, de dimensiones a × b. La placa está simplemente apoyada en sus cuatro bordes. El espesor de la misma es h son E y ν . La carga es h.. Los parámetros del material son E constante en un parche, con variable x variable x ∈ [0, a] e y e y ∈ [b/2, b]. z
p0 y x
b/2 a
b
Desplazamiento:
8 p w( x, y ) = 6 0 π D
sn ( x ) · ∑ n 1,3,5,... ∞
n
=
m
sm ( y) ∑ m Fnm − m 1,3,5,...
∞
∞
=
9
∑ 2,4,6,...
=
1 − (−1 ) m/ 2 sm ( y) m Fnm
(1.32)
1.2. Placa Placass delg delgadas adas recta rectangul ngulares. ares. Méto Método do de Levy El método de Levy es aplicable en las siguientes condiciones: 1. Placa rectangula rectangularr, de de dimensi dimensiones ones a a × b. 2. Condición Condición de apoyo apoyoss simples simples en dos bordes bordes paralelos. paralelos. w 0 , w , nn = 0. w = 0, El método de Levy presenta ventajas sobre el método de Navier, en general: Se elimina elimina en parte parte el fenóm fenómeno eno de Gibbs Gibbs para la la represent representación ación de cargas cargas con valor valores es no nulos nulos en los bordes perpendiculares a los simplemente apoyados. Las series convergen más rápido. Sólo hay 1 sumatorio. Considérese la siguiente figura: z
p( x, y )
Condiciones cualesquiera
? x
y
? a
b
La función de carga, p carga, p ( x, y ), se expresa en serie, serie, como sigue: ∞
p( x, y ) =
∑ gn ( x) sen (λn y )
(1.33)
n 1 =
con: λn =
n π b
(1.34)
La función g función g n ( x) se obtiene mediante integración: 2 gn ( x) = b
b
0
p( x, y ) s sen en (λn y ) d y
(1.35)
La función de desplazamientos tiene forma de serie en seno: ∞
w(x, y ) =
∑ wn (x) sen (λn y )
(1.36)
n 1 =
Sobre esta serie, se observa que: de x.. El coeficiente w coeficiente w n no es una constante. Es una función de x Por construcción, la serie cumple las condiciones de contorno en y en y = 0 e y = b. b . determina inan n sustit sustituye uyendo ndo las derivada derivadass de la ecuaci ecuación ón (1.36) (1.36) en la ecuaci ecuación ón Las funci funciones ones wn ( x) se determ de gobierno: ∆
2
w( x, y ) =
10
p( x, y ) D
(1.37)
La ecuación diferencial para w para w n ( x) es: 2 gn (x) d 4 wn ( x ) 2 d wn ( x ) 4 w ( x ) = − 2 λ + λ n n n D d x4 d x2
(1.38)
Esta ecuación se puede reescribir con una notación más compacta, IV
2
I I
gn ( x)
4
wn ( x) − 2 λn wn ( x) + λ n wn (x) =
D
(1.39)
Esta ecuación es una Ecuación Diferencial Ordinaria (EDO), lineal, con coeficientes constantes. Su solución se obtiene sumando dos soluciones: la del problema homogéneo, w hn (x), que es siempre p particular, wn (x), que la misma, y depende de cuatro constantes ( A ( A n , Bn , Cn , Dn ) más una solución particular,w depende de la función g función g n ( x). p
wn ( x) = w hn ( x) + wn ( x)
(1.40)
Solución del problema homogéneo: La E.D. a resolver es: (whn ) IV ( x) − 2 λn2 (whn ) I I ( x) + λ n4 w hn ( x) = 0
(1.41)
Su solución general es: whn ( x) = ( An + Bn λ n x ) S Sh h(λn x ) + ( + (Cn + D n λ n x ) Ch (λn x )
(1.42)
donde Ch = cosh y Sh = senh. Solución del problema particular p por w Se resuelve sustituyendo w sustituyendo w n por w n en la ecuación 1.39. Finalmente, imponiendo las condiciones de contorno en x en x = 0, x = a se resuelven las constantes ( An , Bn , Cn , Dn ). Una buena elección de la referencia, en problemas con simetría o antimetría, facilita la expresión de la solución. Para eso se han introducido las funciones hiperbólicas
11
1.2.1. Función Función de carga carga con con coeficient coeficientes es consta constantes ntes
= b En este caso, g caso, g n ( x) = b n (constante). Así: ∞
sen n(λn y ) ∑ bn se
p( x, y ) =
(1.43)
n 1 =
La solución particular es fácil de obtener. La ED para determinarla es la siguiente: p
p
p
(wn ) IV ( x) − 2 λn2 (wn ) I I ( x) + λn4 w n ( x) =
bn D
(1.44)
p
p
Probando una solución de la forma w forma w n ( x) = ω n , (una constante), se tiene: p
ω n =
bn D λn4
(1.45)
Y la solución general será:
∞
w( x, y ) =
∑ n 1 =
bn sen (λn y ) (1.46) + (Cn + D n λ n x ) Ch (λn x ) + ( An + Bn λ n x ) Sh (λn x ) + ( D λn4
12
1.2.2. Placa rrectangular ectangular sometida a carga uniforme. Placa ttetraapoyada etraapoyada
Se considera una placa rectangular, de dimensiones a × b. La placa está simplemente apoyada en sus cuatro bordes. El espesor de la misma es h h.. Los parámetros del material son E y ν . La carga es constante, de valor p valor p 0 . z p0
x
y a
b
Se considera la referencia R(O; x, y y,, z) mostrada en la figura. Desplazamiento: 1 w(x, y ) = 2 p 0 b4 ∑n 1,3,5,... × D (n π )5 Ch (α n ) 2 Ch (α n ) + λn x Sh (λn x ) − (2 + α n Th (α n )) Ch (λn x ) sen (λn y ) ∞
=
con:
(1.47)
λn =
n π b
n π a a α n = 2b
13
(1.48)
1.2.3. Placa rrectangular ectangular tetraapoyada sometida a dos distribuciones de momento momento M y en dos bordes paralelos (caso simétrico)
Se considera una placa rectangular, de dimensiones a × b. La placa está simplemente apoyada en sus cuatro bordes. El espesor de la misma es h parámetros del material material son E son E y y ν . En dos bordes h.. Los parámetros paralelos actúa una distribución de momentos simétrica, M y ( x).
z M y y
a x b
Se considera la referencia R(O; x, y y,, z) mostrada en la figura. Se consideran las distribuciones de momentos aplicados tales que M que M y (x, b/2) = M y ( x, −b/2). El problema es simétrico en esta referencia. Obsérvese que los momentos son positivos considerando su signo como momentos internos. El momento se desarrolla en serie como: ∞
M y ( x) =
∑ Mn sin (λn x )
(1.49)
(1.50)
n 1 =
Los coeficientes M coeficientes M n se obtienen integrando: Mn =
2
a
M( x) sin (λ x ) a n
0
Desplazamiento: a w( x, y ) = 2 π D D o bien:
Mn b ∑ n Ch(α n ) · 2 Th(α n ) Ch(λn y ) − y Sh(λn y ) sin (λn x ) n 1 ∞
=
Mn b w( x, y ) = ∑ · Th(α n ) Ch(λn y ) − y Sh(λn y ) sin (λn x ) 2 Ch (α n ) 2 n 1 λ n D ∞
=
con: λn =
(1.51)
(1.52)
n π a (1.53)
n π b b α n = 2a
14
1.2.4. Placa rec rectangular tangular tetraapoyada tetraapoyada sometida a dos dist distribuciones ribuciones de momento en dos bordes paralelos (caso antimétrico)
Se considera una placa rectangular, de dimensiones a × b. La placa está simplemente apoyada en sus cuatro bordes. El espesor de la misma es h parámetros del material material son E son E y y ν . En dos bordes h.. Los parámetros paralelos actúa una distribución de momentos antisimétrica, M y (x).
z M y y
a x b
Se considera la referencia R(O; x, y y,, z) mostrada en la figura. Se consideran las distribuciones de momentos aplicados tales que My (x, b/2) = − M y ( x, −b/2). El problema es antisimétrico (o antimétrico) en esta referencia. Obsérvese que los momentos son positivos considerando su signo como momentos internos. El momento se desarrolla en serie como: ∞
M y ( x) =
∑ Mn sin (λn x )
(1.54)
(1.55)
n 1 =
Los coeficientes M coeficientes M n se obtienen integrando: Mn = 2 a
M(x) sin (λ x) a
n
0
Desplazamiento: a w( x, y ) = 2 π D D o bien:
∞
∞
Mn b ∑ n Sh (α n ) · 2 Cth (α n ) Sh(λn y ) − y Ch(λn y ) sin (λn x ) n 1 =
Mn b Cth (α n ) Sh (λn y ) − y Ch(λn y ) sin (λn x ) · w( x, y ) = ∑ 2 n 1 2 λ n D Sh (α n ) =
con: λn =
(1.56)
(1.57)
n π a (1.58) n π b b
α n =
15
2a
1.2.5. Placa recta rectangular ngular tetr tetraapoy aapoyada ada someti sometida da a una ley de carga lineal lineal
Se considera una placa rectangular, de dimensiones a × b. La placa está simplemente apoyada en sus cuatro bordes. El espesor de la misma es h es h.. Los parámetros del material son E son E y y ν . Se aplica una carga distribuida, de valor máximo q máximo q..
q
y q x
b
a
Superficie de carga: p( x, y ) =
2 q y b
(1.59)
Desplazamiento: 2 q a4 1 · ∑ 5 D n 1,3,... (n π ) Sh (α n ) 4 y Sh (α n ) − [2 + α n Cth (α n )] Sh (λn y ) + λn y Ch(λn y ) sen (λn x) b ∞
w(x, y ) =
=
con:
α n =
n π bb 2a
nπ a
λn =
16
(1.60)
(1.61)
(1.62)
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