Prolog

 

 

 A  Ana nalisis lisis Nume Numer i k - 2019 2019

BAB 1 PENDAHULUAN

Tujuan mempelajari Bab 1:

1.  Dapat memahami pengertian metode numerik dan penerapannya dalam ilmu rekayasa 2.  Dapat membedakan pemakaian algoritma dan flowchart dalam menyelesaikan masalah-masalah numerik serta menerapkan dalam program komputer. 3.  Dapat memahami pengertian galat, jenis-jenis galat dan perhitungan galat secara manual dan memakai program komputer.

1.1

Latar Belakang Metode Numerik  

Dalam dunia matematika dikenal ada dua metode pemecahan masalah yaitu dengan metode analitik dan metode numerik. Metode analitik disebut juga metode sejati karena ia memberi kita solusi sejati ( exact  solution ) atau solusi yang sesungguhnya, yaitu solusi yang memiliki galat (error ) sama dengan nol. Sayangnya, metode analitik hanya unggul untuk sejumlah persoalan yang terbatas, yaitu persoalan yang memiliki tafsiran geometri sederhana serta bermatra rendah. Padahal persoalan yang muncul dalam dunia nyata seringkali nirlanjar serta melibatkan  bentuk dan proses yang rumit. Akibatnya nilai praktis penyelesaian metode analitik menjadi terbatas. Bila metode analitik tadak dapat lagi diterapkan, maka solusi persoalan sebenarnya masih dapat dicari dengan menggunakan metode numerik. Metode numerik adalah teknik yang digunakan untuk memformulasikan persoalan matematika sehingga dapat dipecahkan dengan operasi perhitungan atau aritmatik biasa (tambah, kurang, kali dan bagi). Metode artinya cara, sedangkan numerik artinya angka. Jadi metode numerik secara harafiah  berarti cara berhitung berhitung dengan menggunakan menggunakan angka-angka. Perbedaan utama antara metode numerik dengan metode analitik terletak pada dua hal. Pertama, solusi dengan menggunakan metode numerik selalu berbentuk angka. Bandingkan dengan metode analitik yang biasanya menghasilkan solusi dalam bentuk fungsi matematika yang selanjutnya fungsi matematika tersebut dapat dievaluasi untuk menghasilkan nilai dalam bentuk angka.

STIKOM Uyelindo Kupang 

1

 

 

 A  Ana nalisis lisis Nume Numer i k - 2019 2019

Kedua, dengan metode numerik, kita hanya memperoleh solusi yang menghampiri atau mendekati solusi sejati sehingga solusi numerik dinamakan juga solusi hampiran (approximation approximation)) atau solusi pendekatan, namun solusi hampiran dapat dibuat seteliti yang kita inginkan. Solusi hampiran jelas tidak tepat sama dengan solusi sejati, sehingga ada selisih antara keduanya. Selisi inilah yang disebut dengan galat (error )[3]. )[3]. Ada beberapa alasan mempelajari metode numerik : 1. 

Sebagai alat bantu memecahkan masalah. Metode ini mampu menangani banyak  persamaan, ketidaklinearan, ketidaklinearan, dimensi y yang ang tinggi

2. 

Banyak terdapat paket program yang bisa dipakai untuk membuat fungsi  penyelesaian memakai memakai metode numerik: numerik: MATLAB, MAPLE, FOR FORTRAN. TRAN.

3. 

Dapat membuat program numerik sendiri. Paket program yang ada masih memiliki keterbatasan, sehingga untuk mengoptimalkan pemakaian komputer mau tidak mau kita harus membuat program numerik sendiri.

Kemampuan Metode Numerik:

a. 

Merupakan alat pemecahan masalah yang sangat ampuh, metode numerik mampu menangani sistem persamaan besar, ketaklinearan, geometri yang rumit.

 b. 

Paket program yang banyak melibatkan metode numerik.

c. 

Banyak masalah tak dapat didekati dengan memakai program paket, penguasaan metode numerik dan mahir dalam program akan mampu merancang program sendiri.

d. 

Metode

numerik

memperkuat

pengertian

metematika.

Metode

numerik

menyederhanakan menyederhanaka n matematika menjadi operasi matematika mendasar.

1.2 Pemodelan Matematis

Pemecahan masalah rekayasa menerapkan dua cabang pendekatan yaitu : 1. 

Empiris / numeris :

Penyelesaian yang diselesaikan berupa hampiran. h ampiran. 2. 

Analisis Teoritis

Penyelesaian yang dihasilkan akan memenuhi persamaan semula secara eksak.

STIKOM Uyelindo Kupang 

2

 

 

 A  Ana nalisis lisis Nume Numer i k - 2019 2019

Definisi masalah TEORI

 

DATA

Model Matematis

alat pemecahan masalah -Komputer  -Statistika -Metode Numerik  -Grafik 

Hasil-hasil numerik/grafik

Public review :

*Penjadwalan *Optimisasi  *Komunikasi  *Interaksi Publik 

implementasi

  Gambar 1.1 Proses pemecahan masalah-masalah rekayasa

Secara umum terdapat tahap-tahap yang harus ditempuh dalam menyelesaikan masalah matematika secara numerik dan memakai alat bantu komputer. Langkahlangkahnya sebagai berikut: 1. 

Pemodelan dan Penyederhanaan Model

Penetapan model matematis, merumuskan masalah dalam istilah matematis, mendefinisikan

peubah - peubah dan persamaan yang terlibat

dengan

memperhitungkan jenis komputer yang ingin dipakai. 2. 

Pemilihan metode (algoritma) numerik

Perumusan penyelesalan secara matematis dilanjutkan dengan rancang bangun algoritma; bersama dengan analisis galat pendahuluan (galat, penentuan ukuran langkah, dsb.

STIKOM Uyelindo Kupang 

3

 

  3. 

 A  Ana nalisis lisis Nume Numer i k - 2019 2019

Pemrograman

Biasanya dimulai dengan dengan bagan alir yang memperlihatkan diagram blok dari prosedur yang harus dilaksanakan oleh komputer, kemudian penulisan  program (coding  (coding ), ), pencarian & perbaikan kesalahan dan pengujian. 4. 

Operasi, dokumentasi, penyimpanan dan perawatan.

5. 

Penafsiran hasil,

yang boleh jadi mencakup keputusan untuk menjalankan

ulang jika diperlukan data lebih jauh. Tahap 1 dan 5 dikerjakan oleh pakar atau ahli di bidangnya masing-masing (sipil, kimia, mesin, elektro) untuk merumuskan fenomena fisik menjadi model persamaan matematik. Ilustrasi pada Gambar 1.2 Pada kuliah ini hanya menekankan pada tahap 2, 3, dan 4 Ringkasan masing-masing materi dapat dijelaskan sebagai berikut[3]: 1. 

Solusi persamaan non linear (akar-akar persamaan)

f(x)

Selesaikan f(x) = 0 untuk x

x akar

2. 

Solusi sistem persamaan linear

Selesaikan sistem 2X1 + 5X2 = 20 9X1 + 3X2 = 15 untuk harga-harga x

X2 

X1 

3. 

Interpolasi polinomial

Diberikan titik-titik (x0 , y0) , (x2 , y2) , . . . , (xn , yn)

y

Tentukan polinomial pn(x) yang melalui semua titik tersebut.

x

STIKOM Uyelindo Kupang 

4

 

  4. 

 A  Ana nalisis lisis Nume Numer i k - 2019 2019

Turunan numerik

Diberikan titik (xi , yi) dan (xI+1 , yI+1)

Yi+1

Tentukan f  Tentukan  f  ’( xi ) Yi X

xi 

5. 

Integrasi numerik

Xi+1 

F(x)

Hitung integral b



 I     f  ( x)dx   a

a

6. 

b

X

Solusi persamaan diferensial biasa dengan nilai awal Diberikan dy/dx = f(x , y) dan dengan nilai awal y0 = y(x0) Tentukan y Tentukan  y (  ( xt )

1.3

Algoritma dan Flowchart

Algoritma merupakan rentetan( sequence)  sequence) langkah logika yang diperlukan untuk melakukan suatu tugas tertentu atau menyediakan penyelesaian atas suatu masalah atau suatu kelas masalah. Ciri-ciri Algoritma :

1. 

Langkah harus deterministik , tidak ada yang tertinggal untuk ditebak.

2. 

Prosesnya harus selalu berakhir setelah sejumlah berhingga langkah.

3. 

Mempunyai nol atau lebih input dan punya satu atau lebih keluaran.

4. 

Algoritma diterapkan lebih dari satu masalah ketimbang hanya masalah tunggal.

Cara menyatakan algoritma :

1. Kode –  Kode – Pseudo( Pseudo( pseudocode)  pseudocode) : Kalimat yang kata-katanya sudah punya makna tertentu. 2. Flowchart

STIKOM Uyelindo Kupang 

: Menggambark Menggambarkan an masalah dalam bentuk suatu bagan alir

5

 

 

 A  Ana nalisis lisis Nume Numer i k - 2019 2019

Perbandingan antara flowchat dan algoritma ( pseudocode  pseudocode)) terlihat pada Gambar 1.3. FLOWCHART

PSEUDOCODE

mulai

INPUT A

Begin Input (a,b)

INPUT B

c:= a + b Tambahkan A ke B dan  simpan di C

Output(c) End

OUTPUT C

SELESAI

 

Gambar 1.3 Perbandingan antara flowchart dan pseudocode

1.4

Galat dalam Komputasi

Di pasaran ditawarkan komputer yang semakin beraneka ragam, mulai dari kalkulator tangan dan desktop (yang dapat d apat / tidak dapat diprogram), komputer mikro(yang lebih populer dengan dengan nama komputer komputer pribadi(PC : personal computer), komputer mini, dan sebagainya sampai komputer skala-besar yang ampuh. Metode-metode analisis numerik adalah proses-proses berhingga,

dan

hasil

numerik merupakan nilai hampiran dari hasil eksak. Analisis galat sangat penting dalam  perhitungan menggunaka menggunakan n metode numerik. Galat sangat erat dengan seberapa dekat solusi numerik yang didapatkan.Semakin kecil galatnya, semakin teliti solusi numerik yang didapatkan.

STIKOM Uyelindo Kupang 

6

 

 

 A  Ana nalisis lisis Nume Numer i k - 2019 2019

Perumusan Galat (error )

Galat numerik timbul dari penggunaan hampiran (aproksimasi (aproksimasi)) untuk menyatakan operasi dan besaran matematis yang eksak. Ada dua macam galat :  

Galat pemotongan ( truncation error)

 

Galat pembulatan (untuk menyatakan bilangan eksak)

Nilai sejati (a*) Galat (E) Galat Mutlak(Em) Galat relatif pecahan(e)

= = = =

Aproksimasi(a) + galat(E) Nilai sejati(a*) –  Aproksimasi(a)   Aproksimasi(a) |Galat(E)| Galat (E) / nilai sejati (a*)

Persen galat relatif(Et) = Galat / nilai sejati  * 100 % Koreksi (T) = Nilai sejati(a*)  –   Hampiran(a) algoritma perhitungan galat Input : Nilai sejati, nilai hampiran Proses : galat := nilai sejati – aproksimasi jika galat < 0 maka galat mutlak := - (galat) jika galat > 0 maka galat mutlak := galat galat relatif := galat / nilai sejati persentasi galat relatif := (galat relatif * 100 ) Output : galat, galat relatif, persentasi galat relatif

Dari perumusan diatas, koreksi dan galat mempunyai nilai mutlak sama tetapi  berbeda tanda. P Penting enting untuk membedakan antara galat, yang dapat bernilai positif atau negatif, dan suatu batas positif untuk nilai mutlak galat, yakni batas galat. Jadi batas galat untuk a* adalah suatu bilangan ß sedemikian sehingga : | a* - a |