Projet Tfe (Étude Comparative Entre BAEL91 Et L'Eurocode2)

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Liste des Tableaux Tableau 1 : Liste des Eurocodes.....................................................................................................20 Tableau 2 : Les Eurocodes applicables au calcul des bâtiments en béton.....................................22 Tableau 3 : Classification des états limites ultimes........................................................................26 Tableau 4 : Valeurs recommandées des coefficients  pour les actions courantes.......................29 Tableau 5 : Etapes du traitement des résistances..........................................................................31 Tableau 6 : Etapes du traitement des actions aboutissant aux valeurs de calcul des....................32 Tableau 7 : Combinaisons d’actions.............................................................................................44 Tableau 8 : Valeurs des coefficients  relatifs aux charges d’exploitation.................................47 Tableau 9 : Valeurs des coefficients  relatifs aux actions climatiques......................................48 Tableau 10 :Valeurs recommandées des coefficients  pour les bâtiments.................................47 Tableau 11: Combinaisons d’actions à ELS..................................................................................49 Tableau 12 : Valeurs nominales du retrait de dessiccation.............................................................61 Tableau 13 : fe en fonction du type d’acier...................................................................................66 Tableau 14 : fyk en fonction du type d’acier.................................................................................66 Tableau 15 : Caractéristiques de la ductilité de l’acier.................................................................69 Tableau 16 : Coefficient de fissuration et de scellement des armatures........................................70 Tableau 17 : Surfaces projetée des nervures des armatures..........................................................70 Tableau 18 : Diamètre maximal des barres...................................................................................96 Tableau 19 : Espacement maximal des barres...............................................................................97 Tableau 20 : Valeurs de base du rapport portée/hauteur utile.....................................................102 Tableau 21 : Diamètre minimal du mandrin afin d'éviter les dommages aux armatures............113 Tableau 22 : Caractéristiques mécaniques de l’acier de classe B...............................................143 Tableau 23 : Caractéristiques de résistance et de déformation du béton.....................................202 Tableau 24 : Classes d'exposition en fonction des conditions d'environnement.........................204 Tableau 25 : Enrobage minimal c min;b requis vis-à-vis de l'adhérence.....................................205 Tableau 26 : Classification structurale recommandée.................................................................205 Tableau 27 : Valeurs de l'enrobage minimal c min,dur requis vis-à-vis de la durabilité dans le cas des armatures de béton armé...................................................................................205

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Liste des figures Figure 1 : Liens entre les Eurocodes..............................................................................................21 Figure 2 : Représentation schématique des valeurs caractéristiques.............................................28 Figure 3 : Illustration schématique des diverses............................................................................30 Figure 4 : Diagramme parabole- rectangle.....................................................................................57 Figure 5 : Diagramme parabole- rectangle.....................................................................................57 Figure 6 : Diagramme rectangulaire de compression du béton....................................................58 Figure 7 : Diagramme rectangulaire de compression du béton......................................................58 Figure 8 : Diagramme contrainte- déformation de l’acier.............................................................68 Figure 9 : Diagramme contrainte- déformation de l’acier............................................................68 Figure 10 :Diagramme de la contrainte de cisaillement et résultante sur la section (cadres verticaux).....................................................................................................................78 Figure 11 : Modèle de treillis et notations dans le cas d'éléments comportant des armatures d'effort tranchant..........................................................................................................76 Figure 12 : Bilan du noeud d'appui d'un poutre BA.......................................................................83 Figure 13 : Section creuse équivalente à une section rectangulaire pleine....................................89 Figure 14 : Symboles et définitions...............................................................................................87 Figure 18 : Définition de l’ancrage normal..................................................................................114 Figure 19 : Dispositions à prendre en cas de recouvrements de barres terminées par des crochets normaux :....................................................................................................................114 Figure 20 : Méthodes d'ancrage autres que le scellement droit....................................................114 Figure 22 : Exemples de modes de flambement et longueurs efficaces correspondantes dans le cas d’éléments isolés..................................................................................................134 Figure 23 : Diagramme contrainte - déformation rectangulaire du béton....................................142 Figure 24 : Diagramme contraintes – déformation de l’acier de béton armé...............................143 Figure 25 : Paramètres déterminants la largeur participante........................................................146 Figure 26 : Dispositions constructives des armatures de flexion.................................................152 Figure 27 : Méthode de détermination du coefficient de fluage pour le béton............................203

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Listes des notations 

Majuscules latines

A A Ac As As,min Asw E Ec, Ec(28) Ec,eff Ecd Ecm Ec(t) Es EI EQU F Fd Fk Gk I L M MEd N NEd Qk R S S SLS T TEd ULS V VEd

: Action accidentelle : Aire de la section droite : Aire de la section droite du béton : Aire de la section des armatures de béton armé : Aire de la section minimale d'armatures : Aire de la section des armatures d'effort tranchant : Effet des actions : Module d'élasticité tangent à l'origine (σc = 0) pour un béton de masse volumique normale à 28 jours : Module d'élasticité effectif du béton : Valeur de calcul du module d'élasticité du béton : Module d'élasticité sécant du béton : Module d'élasticité tangent à l'origine (σc = 0) au temps t pour un béton de masse volumique normale : Valeur de calcul du module d'élasticité de l'acier de béton armé : Rigidité en flexion : Équilibre statique : Action : Valeur de calcul d'une action : Valeur caractéristique d'une action : Valeur caractéristique d'une action permanente : Moment d'inertie de la section de béton : Longueur : Moment fléchissant : Valeur de calcul du moment fléchissant agissant : Effort normal : Valeur de calcul de l'effort normal agissant (traction ou compression) : Valeur caractéristique d'une action variable : Résistance : Efforts et moments internes (sollicitations) : Moment statique : État-limite de service (ELS) : Moment de torsion : Valeur de calcul du moment de torsion agissant : État-limite ultime (ELU) : Effort tranchant : Valeur de calcul de l'effort tranchant agissant

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Minuscules latines

a b

: Distance ; Donnée géométrique : Largeur totale d'une section droite ou largeur réelle de la table d'une poutre en T ou en L bw : Largeur de l'âme des poutres en T, en I ou en L d : Diamètre ; Profondeur ;Hauteur utile d'une section droite e : Excentricité fc : Résistance en compression du béton fcd : Valeur de calcul de la résistance en compression du béton fck : Résistance caractéristique en compression du béton, mesurée sur cylindre à 28 jours fcm : Valeur moyenne de la résistance en compression du béton, mesurée sur cylindre fctk : Résistance caractéristique en traction directe du béton fctm : Valeur moyenne de la résistance en traction directe du béton f0,2k : Valeur caractéristique de la limite d'élasticité conventionnelle à 0,2% de l'acier de béton armé ft : Résistance en traction de l'acier de béton armé ftk : Résistance caractéristique en traction de l'acier de béton armé fy : Limite d'élasticité de l'acier de béton armé fyd : Limite d'élasticité de calcul de l'acier de béton armé fyk : Limite caractéristique d'élasticité de l'acier de béton armé fywd : Limite d'élasticité de calcul des armatures d'effort tranchant h : Hauteur ; Hauteur totale de la section droite i : Rayon de giration k : Coefficient ; Facteur l : (ou L) Longueur ; Portée m : Masse r : Rayon 1/r : Courbure en une section donnée t : Epaisseur t : Instant considéré t0 : Age du béton au moment du chargement u : Périmètre de la section droite de béton dont l'aire est Ac x : Profondeur de l'axe neutre x,y,z : Coordonnées z : Bras de levier des forces internes

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Minuscules grecques

α β γ γA γC γF γG γM

: Angle ; Rapport : Angle ; Rapport ; Coefficient : Coefficient partiel : Coefficient partiel relatif aux actions accidentelles A : Coefficient partiel relatif au béton : Coefficient partiel relatif aux actions F : Coefficient partiel relatif aux actions permanentes G : Coefficient partiel relatif à une propriété d'un matériau, tenant compte des incertitudes sur la propriété elle-même, sur les imperfections géométriques et sur le modèle de calcul utilisé γQ : Coefficient partiel relatif aux actions variables Q δ : Coefficient de redistribution ξ : Coefficient de réduction / coefficient de distribution εc : Déformation relative en compression du béton εc1 : Déformation relative en compression du béton au pic de contrainte fc εcu : Déformation relative ultime du béton en compression εu : Déformation relative de l'acier de béton armé sous charge maximale εuk : Valeur caractéristique de la déformation relative de l'acier de béton armé sous charge maximale θ : Angle λ : Coefficient d'élancement ν : Coefficient de Poisson ρ : Masse volumique du béton séché en étuve, en kg/m3 ρl : Pourcentage d'armatures longitudinales ρw : Pourcentage d'armatures d'effort tranchant σc : Contrainte de compression dans le béton τ : Contrainte tangente de torsion Øn : Diamètre équivalent d'un paquet de barres φ(t,t0) : Coefficient de fluage, définissant le fluage entre les temps t et t0, par rapport à la déformation élastique à 28 jours φ(∞,t0) :Valeur finale du coefficient de fluage Ψ : Coefficients définissant les valeurs représentatives des actions variables Ψ0 : pour les valeurs de combinaison Ψ1 : pour les valeurs fréquentes Ψ2 : pour les valeurs quasi-permanentes

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Introduction générale Depuis plusieurs années,vous avez certainement entendu parler,de façon plus ou moins intermittente ou disparate, d’un projet européen ambitieux intitulé «Eurocodes ». Ces «Eurocodes structuraux »ont bien un apport particulier pour les pays membre de l’union européenne,et c’est bien celui d ’harmoniser les règles de conception et de calcul et de contribuer à la création du marché unique de la construction des bâtiments et des ouvrages de génie civil. Ces normes structurales sont regroupées en dix Eurocodes, dont L’Eurocodes 2, qui vise à encadrer les méthodes de calcul des structures en béton, les règles de vérification de résistance et de la déformation du béton et de l’acier et enfin les dispositions constructives permettant de respecter les hypothèses de comportement. l’Eurocode 2 est obligatoirement applicable à l’union européenne depuis début 2006. ainsi les états membres sont amenés à laisser de coté toutes les normes nationales. Que fera donc notre pays devant cette situation ? doit il suivre l’évolution, ou bien continuer à appliquer les règlements anciens ! En effet, la construction au Maroc, se caractérise par la multiplicité des maîtres d’ouvrage et des maîtres d’oeuvre, peu préparés (pour la plupart) à une reconversion vers de nouvelles règles techniques. Aussi les réalisations expérimentales sont restées très rares (même en Europe). Devant cette situation d’incertitude, la direction des affaires techniques nous a proposé d’élaborer la présente comparaison BAEL91-Eurocode 2 mais en ne traitant que la partie béton armé applicable au bâtiment. Notre but est d’apprécier l’apport du nouveau règlement, de découvrir les difficultés de ses applications, et enfin de détecter les éventuelles failles de l’ancien règlement pour enfin conclure à propos de son avenir dans notre pays. Pour cela nous avons fait une comparaison théorique (en tenant toujours compte de l’RPS 2000 vu qu’il est obligatoirement applicable au Maroc) suivi d’une application pratique des différents éléments constitutifs du bâtiment et enfin nous nous sommes servi d’un questionnaire afin de mesurer le degré d’enthousiasme des responsables techniques marocains pour le nouveau règlement.

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Chapitre I :Généralités sur les méthodes de calcul des bâtiments

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I. Évolution des méthodes de calcul du béton armé Après une période relative de stabilité, jusqu’aux environs de 1945, les méthodes de calcul des éléments des constructions en béton armé ont subi une évolution continue qui a abouti, depuis les quarante dernières années, à une modification profonde des principes mêmes sur lesquels reposaient ces méthodes. Les changements successifs ont résulté :  d’une part, d’une connaissance plus précise du comportement du matériau béton armé, acquise à la suite de nombreux essais effectués dans différents pays ;  d’autre part, d’une évolution dans la notion même de la sécurité des constructions, où l’on est passé d’une conception de caractère déterministe à une conception de caractère probabiliste ou plutôt semi - probabiliste.

1.Méthode dite classique La méthode dite classique ou aux contraintes admissibles est la première méthode de calcul de caractère scientifique ; elle a été officialisée par la Circulaire ministérielle de 1906 , et est pratiquement restée en vigueur jusqu’en 1945. Entre ces deux dates sont parus deux textes de caractère réglementaire : 



le Règlement sur les constructions en béton armé de la Chambre syndicale , qui ouvrait la voie à des idées nouvelles (courbe intrinsèque, déformations différées), mais qui a été peu appliqué la Circulaire ministérielle de 1934 , mais elle n’apportait pas de changements notables à celle de 1906.

La méthode classique a pour base l’extension aux pièces hétérogènes des méthodes de la Résistance des Matériaux en phase élastique. L’hétérogénéité dont il est ici question concerne les différentes fibres d’une même section transversale, mais chaque fibre est homogène dans sa longueur. La section transversale d’une pièce en béton armé comporte donc des fibres béton et des fibres acier. Ces dernières peuvent être remplacées par des fibres béton équivalentes, obtenues en multipliant les aires des premières par le rapport des modules de déformation Es /Eb = n ; ″n″ est le coefficient d’équivalence. On a donc : aire acier A équivalente à aire béton : BA = n.A Si l’on considère, dans une section transversale, le point de contact de deux fibres acier et béton, situées dans une zone non fissurée, les variations relatives de longueur (raccourcissement ou allongement) εs et εb doivent être égales, puisqu’il y a adhérence entre béton et acier, et l’on a, d’après la loi de Hooke : εs = σs /Es pour l’acier εb = σb /Eb pour le béton d’où σs /Es = σb /Eb ou encore σs = (Es /Eb ) σb = n σb Les hypothèses de la Résistance des Matériaux sont à compléter par l’hypothèse suivante :

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La résistance du béton tendu est négligée dans la vérification des sections des pièces en béton armé, ce qui est légitime en raison de la faible valeur de cette résistance et de son caractère aléatoire (certaines pièces peuvent être fissurées, même sous des charges très faibles, sous le seul effet du retrait). Les méthodes de la Résistance des Matériaux, ainsi complétées, permettent le calcul des contraintes de compression σbc dans le béton, de compression σsc ou de traction σst dans l’acier ; il faut alors vérifier que ces contraintes sont inférieures à des valeurs admissibles  ,  et  , fixées en fonction de la résistance à la compression du béton et de la limite d’élasticité de l’acier, indépendamment du mode de sollicitation des pièces. bc

sc

st

Cette méthode de calcul, que l’on a longtemps considérée comme la seule scientifiquement valable, était la base des prescriptions des premiers règlements : Circulaires ministérielles de 1906 et de 1934 et, dans une large mesure, Règles BA 1945. Toutefois, une remarque s’impose concernant le coefficient d’équivalence n égal, par définition, à Es /Eb . Nous verrons que, si Es peut être considéré comme sensiblement constant quelle que soit la nuance de l’acier, le module de déformation E b du béton varie dans de larges limites, en fonction des résistances mécaniques du béton et de la durée d’application des charges . Les valeurs extrêmes de Eb peuvent être dans le rapport de 7 à 1. Considéré strictement comme le rapport des modules de déformation, le coefficient n pourrait ainsi varier entre deux valeurs extrêmes qui seraient respectivement de l’ordre de 4 et de 30. Pour un même béton courant, les valeurs extrêmes sont dans le rapport de 1 à 3 ; par exemple : 7 à 8 d’une part, 20 à 24 d’autre part. Il en résulte que, si l’on voulait être logique, il conviendrait d’introduire, dans les calculs, des valeurs variables de n ; mais cela conduirait à de grandes complications. On adopte donc, dans les vérifications des contraintes des pièces en béton armé, une valeur fixe de n, qu’il faut alors considérer non pas comme un coefficient théorique égal à E s /Eb , mais comme un coefficient de caractère semi- empirique, dont la valeur moyenne a été choisie pour conduire à des résultats présentant, dans l’ensemble, une assez bonne concordance avec l’expérience. Les règlements antérieurs prescrivaient de prendre soit n = 10 (Circulaire de 1906), soit n = 15 (Règles BA 1945). Compte tenu de l’approximation résultant du choix d’une valeur fixe de n, et compte tenu également du fait que le béton ne suit qu’imparfaitement la loi de Hooke , on peut se demander quelle est la valeur réelle de la méthode classique telle qu’elle est définie au début de ce paragraphe. Il est évident que les résultats auxquels elle conduit ne sauraient correspondre à une représentation des phénomènes parfaitement conforme à la réalité. Bien que cette méthode ait, dans une large mesure, reçu la sanction de l’expérience, en ce sens qu’elle a été appliquée au dimensionnement d’un nombre considérable de constructions qui n’ont donné lieu à aucun incident, il est apparu, à la lumière des résultats de nombreux essais systématiques, que son application conduisait à des coefficients de sécurité qui étaient loin d’être homogènes à l’égard des différents modes de sollicitations. Il convenait donc d’apporter des correctifs à la méthode classique pour pallier cet inconvénient.

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2. Corrections apportées à la méthode classique Le mode de calcul des contraintes reste le même que dans la méthode classique exposée en paragraphe 1.1, mais les valeurs des contraintes admissibles sont fonction non seulement des caractères mécaniques des matériaux, mais aussi du mode de sollicitation des pièces. Le choix de ces valeurs a été fait pour obtenir des coefficients de sécurité sensiblement homogènes dans les différents cas, sans complication excessive ; il a donc eu pour fondement essentiel les résultats d’essais systématiques. Un premier pas dans cette voie avait été fait dans les Règles BA 1945, qui admettaient une légère augmentation des contraintes sur appuis des poutres continues. Mais les Règles BA 1960 sont allées beaucoup plus loin ; c’est ainsi que, dans une poutre fléchie de section rectangulaire, la contrainte admissible du béton était double de celle d’un poteau soumis à la compression simple, en raison de l’importance des phénomènes d’adaptation plastique qui peuvent intervenir en flexion. De même, les valeurs des contraintes admissibles des armatures transversales sous l’effet de l’effort tranchant variaient en fonction de la valeur de la contrainte tangente, afin de tenir compte des résultats de nombreux essais. Les Règles CCBA 1968 , ainsi que le titre VI du fascicule 61 du Cahier des prescriptions communes (CPC) applicable aux marchés de l’État , qui sont pratiquement identiques, avaient repris pour l’essentiel les prescriptions fixées par les Règles BA 1960. La méthode de vérification des sections par application de ces différents textes avait constitué un progrès notable par rapport à celle de la méthode classique . Il convient, de plus, de remarquer que dans certains modes de sollicitation (flexion composée, notamment) les contraintes des pièces en béton armé ne sont pas proportionnelles aux éléments de réduction des forces élastiques M, N et V. Toute méthode de vérification en phase élastique, en limitant les contraintes à des valeurs fixées d’avance, risque de conduire à des insuffisances graves. C’est la raison pour laquelle, déjà à partir des Règles BA 1945, les règlements français avaient prescrit une vérification complémentaire de la sécurité à l’égard des charges variables (charges d’exploitation ou charges climatiques), où les contraintes étaient déterminées compte tenu d’une majoration des efforts agissants. Cette vérification a été généralisée dans les règlements ultérieurs, notamment dans les Règles CCBA 1968 et le titre VI du fascicule 61 du CPC, sous la dénomination de justification sous sollicitation totale pondérée du second genre. Les contraintes admissibles étaient alors supérieures à celles adoptées sous efforts d’intensité normale.

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3. Méthodes de calcul à la rupture À partir de l’interprétation de l’ensemble des résultats obtenus dans les essais systématiques effectués dans des conditions sérieuses en divers pays, on a pu échafauder des théories permettant de déterminer les sollicitations probables de rupture d’une pièce (par exemple, le moment fléchissant probable de rupture d’une poutre) en fonction des caractères géométriques de la pièce (dimensions du béton, position et section des armatures) et des caractères mécaniques du béton et de l’acier. On peut alors comparer la sollicitation de service et la sollicitation probable de rupture, et apprécier si l’on a un coefficient de sécurité suffisant. À l’inverse, à partir d’une sollicitation de service donnée et d’un coefficient de sécurité fixé, on peut déterminer une sollicitation de rupture et en déduire le dimensionnement des sections. De telles méthodes sont dites méthodes de calcul à la rupture. On a assez souvent utilisé en France une telle méthode, sous la forme due à R. Chambaud , qui a donné une théorie du calcul des pièces à la rupture à la suite des essais faits, sous sa direction, sur des poutres en béton armé à l’instigation de la Chambre syndicale des constructeurs en ciment armé. L’application de cette méthode était, dans certains cas, plutôt laborieuse, mais elle a permis de conserver, sans renforcement, certains éléments d’ouvrages non conformes aux prescriptions des règlements alors en vigueur. Les méthodes de calcul à la rupture, et en particulier celle de R. Chambaud, permettent d’estimer une façon assez précise la sécurité des pièces en béton armé et, par conséquent, d’avoir des coefficients de sécurité sensiblement homogènes. Toutefois, ces méthodes s’avèrent incomplètes, car elles ne dispensent pas de procéder à d’autres vérifications suivant les méthodes réglementaires sous les charges de service, notamment en ce qui concerne les déformations et la fissuration. Il convenait donc d’imaginer et de mettre au point une extension et une généralisation de ces méthodes ; les méthodes de calcul aux états- limites répondent à cet objet.

4. Méthodes de calcul aux états- limites 4.1 Définition des états- limites Un ouvrage doit être conçu et calculé de manière à présenter durant toute sa durée d’exploitation des sécurités appropriées vis-à-vis :  de sa ruine ou de celle de l’un quelconque de ses éléments  d’un comportement en service susceptible d’affecter gravement sa durabilité, son aspect ou encore le confort des usagers. Tout état au-delà duquel une structure ou une partie de cette structure cesserait de remplir les fonctions, ou ne satisferait plus aux conditions pour lesquelles elle a été conçue, est appelé étatlimite. Les divers états- limites que l’on peut envisager peuvent être classés en deux catégories :

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 

les états- limites ultimes correspondant à la ruine de l’ouvrage ou de l’un de ses éléments par perte d’équilibre statique, rupture, flambement, etc. les états- limites de service au-delà desquels ne sont plus satisfaites les conditions normales d’exploitation et de durabilité (ouverture excessive des fissures, déformations excessives des éléments porteurs, vibrations inconfortables pour les usagers, etc.). 4.2 Origine des méthodes de calcul aux états- limites

Les méthodes de calcul aux états- limites ont leur origine : 



d’une part, dans les recherches théoriques dans le domaine du probabilisme concernant la sécurité des constructions, telles que celles effectuées en France dès 1936 par Marcel Prot et Robert Lévi d’autre part, dans le développement continu des recherches théoriques et expérimentales sur le comportement des matériaux et des structures.

Les recherches dans le domaine du probabilisme ont donné naissance à des principes de sécurité exposés pour la première fois en 1957 dans un rapport du Conseil international du bâtiment, et adoptés par la suite par le Comité européen du béton (1964), la Fédération internationale de la précontrainte (1966), l’Organisation internationale de normalisation (norme internationale ISO 2394, 1972) et par la Convention européenne de la construction métallique. Ces principes de sécurité ont également constitué la base de la deuxième édition des Recommandations internationales CEB/FIP pour le calcul et l’exécution des ouvrages en béton (armé ou précontraint) publiées en 1970 . 4. 3 État actuel des travaux :influence du Comité euro -international du béton Après 1970, le Comité euro- international du béton (CEB) avait décidé que les éditions futures de ses Recommandations internationales devraient s’insérer dans un vaste Système international de réglementation technique unifiée des structures, à établir par les diverses associations techniques internationales, agissant en étroite collaboration. Les travaux, commencés en 1974, avaient abouti à la publication en 1978 des deux premiers volumes de ce grand ensemble, à savoir :  

le volume I : Règles unifiées communes aux différents types d’ouvrages et de matériaux, issu des travaux du Comité mixte inter- associations sur la sécurité des structures (JCSS) le volume II : Code Modèle CEB/ FIP pour les structures en béton, issu des travaux du Comité euro- international du béton.

Ces deux documents tenaient compte de l’évolution scientifique et technique concernant les concepts relatifs à la sécurité des structures et à l’analyse de leur comportement. Les Directives Communes de 1979 et les Règles BAEL s’en sont, respectivement, largement inspirées. L’influence du Code Modèle CEB/FIP est également sensible dans l’Eurocode 2, future norme pour le calcul des ouvrages en béton à l’usage des pays de l’Union européenne, où elle va être appliquée à titre expérimental dans les toutes prochaines années.

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Il convient de noter que le CEB a procédé à une quatrième édition de ses Recommandations internationales, sous le nom de Code Modèle CEB/FIP 1990 . Ce texte comporte de nombreuses innovations, en particulier en ce qui concerne les données relatives aux propriétés physiques et mécaniques des bétons, l’introduction de modèles de calcul généralisés, les analyses linéaire et non- linéaire des structures, les vérifications globales vis-à-vis des sollicitations normales (M, N ) et des sollicitations tangentes (V, T ) par la considération de modèles de calcul à bielles comprimées et tirants tendus (qui se substituent aux vérifications séparées antérieures), la vérification à la fatigue, etc. À cause de toutes ces nouveautés, l’usage courant du Code Modèle CEB-FIP 1990 demandera probablement une assez longue période d’adaptation. 4.4 Idée de base du probabilisme Un état- limite pourrait être atteint par intervention combinée de multiples facteurs aléatoires d’insécurité. L’idée de base du probabilisme est de limiter la probabilité d’atteindre l’un quelconque des états- limites à une valeur acceptable, en tenant compte du caractère aléatoire : 





des résistances des matériaux (incertitudes dues à la dispersion des mesures en laboratoire sur éprouvettes, ou dues aux défauts locaux, conditions climatiques, etc., affectant la résistance effective du matériau en œuvre) des actions, c’est-à-dire des forces ou charges, et des déformations imposées (incertitudes sur les valeurs normalement prévisibles, les valeurs anormales ou imprévues, les combinaisons possibles) des sollicitations, c’est-à-dire des efforts (normaux ou tranchants) ou des moments (de flexion ou de torsion) qui sont déduits des actions par des méthodes de calcul appropriées (incertitudes dues aux approximations inévitables adoptées dans les modèles de calcul utilisés, et aux imperfections de l’exécution). 4.5 Recours au semi- probabilisme

Malheureusement, si le problème exposé précédemment est théoriquement résolu, il est loin de l’être pratiquement. En effet, certains facteurs d’insécurité ne sont pas probabilisables ; pour ceux qui le sont, les lois de probabilité à prendre en compte ne sont pas toujours connues. Il n’était donc pas possible d’envisager une application systématique des méthodes probabilistes. C’est pourquoi le procédé de calcul, préconisé par le CEB et la FIP et adopté par de nombreux pays dont la France , est encore de nos jours un procédé semi- probabiliste dans lequel les aspects probabilistes sont traités comme suit : 





la variabilité de la résistance et des autres propriétés du béton et de l’acier est prise en compte en définissant sur une base statistique, à partir des mesures effectuées en laboratoire sur éprouvettes, des résistances caractéristiques associées à des propriétés caractéristiques la variabilité des actions sur la structure est prise en compte en définissant pour celles-ci des valeurs caractéristiques, déterminées soit par l’exploitation statistique des données nécessaires, lorsqu’elles existent, soit par une estimation fondée sur l’expérience dans le cas contraire les valeurs caractéristiques des résistances et des actions sont transformées en valeurs de calcul en les affectant de coefficients γ (coefficient diviseur γm, pour les résistances des matériaux ; coefficients multiplicateurs γQ ou γS , pour les actions ou les sollicitations)

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dont les valeurs sont fixées, en fonction de l’état- limite considéré, sur la base de considérations probabilistes. 4.6 Vérification de la sécurité Une structure est soumise à des combinaisons d’actions complexes et variées. La sollicitation de calcul (effort normal N, moment de flexion M, effort tranchant V, couple de torsion T ), correspondant à une combinaison et à un état- limite donnés, est dite sollicitation agissante de calcul et désignée symboliquement par la lettre S. Pour déterminer S, on est amené à faire un choix parmi toutes les combinaisons d’actions qui peuvent agir simultanément, et à ne retenir que celles qui sont physiquement possibles et hautement probables. On définit ainsi, à partir de certaines combinaisons d’actions de calcul (ΣγQiQj ) et par une méthode de calcul appropriée, des sollicitations agissantes de calcul S (ΣγQiQj ) qui peuvent, selon l’état- limite considéré et les valeurs de γQi prises en compte, être des sollicitations agissantes ultimes Su ou de service Sser . Lorsque plusieurs actions individuelles interviennent dans une même combinaison, la valeur du coefficient γQi affectant certaines d’entre elles peut d’ailleurs être réduite (par rapport à la valeur prise en compte pour la même action supposée isolée) pour tenir compte du fait que la probabilité que toutes les actions de la combinaison atteignent simultanément leur valeur caractéristique est faible. Pour chaque état- limite, il existe une sollicitation résistante de calcul de la structure, qui est celle pour laquelle l’un des matériaux constitutifs a atteint soit une certaine déformation limite, soit une certaine contrainte limite Cette sollicitation résistante de calcul, désignée symboliquement par S , est déterminée dans l’hypothèse :  

d’un comportement plastique des matériaux dans le cas des états- limites ultimes d’un comportement élastique des matériaux dans le cas des états- limites de service ; en prenant en compte leurs résistances de calcul (c’est-à-dire leurs résistances caractéristiques divisées par les coefficients γm).

La vérification de la sécurité consiste à s’assurer que, pour chaque état- limite, et pour le cas de charge le plus défavorable sous la combinaison d’actions considérée, la sollicitation agissante de calcul S correspondante ne dépasse pas la sollicitation résistante de calcul S , c’est-à-dire, symboliquement et vectoriellement : ou, de façon plus précise :

SS

S    Qi Qi   S  f e /  s ; f bc /  b ; f bt /  b 

avec : fe :limite d’élasticité (ou résistance caractéristique ) de l’acier fbc , fbt :résistances caractéristiques du béton respectivement à la compression et à la traction γs , γb : coefficients partiels, au moins égaux à l’unité, relatifs respectivement à l’acier et au béton.

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II. Présentation générale : Les Eurocodes La normalisation en matière de construction codifie des méthodes de conception et de calcul permettant d’obtenir, lorsqu’elles sont correctement appliquées et sous réserve d’une qualité de réalisation adéquate, un ouvrage assurant la sécurité des personnes et des biens, offrant l’usage auquel il est destiné et bénéficiant d’une durabilité en cohérence avec sa durée d’usage prévue. En effet, les normes et notamment les Eurocodes, sont établies et approuvées par des commissions réunissant les organismes intéressés par chacun des sujets concernés : maîtres d’ouvrages, maîtres d’oeuvre, entreprises et industriels.

1. Que sont les Eurocodes ? Les Eurocodes sont des normes européennes de conception et de calcul des ouvrages de génie civil et des bâtiments. Leur rôle est de définir des exigences de performances d ’ouvrages, des niveaux de sécurité et des méthodes de vérification pour satisfaire ces exigences ou atteindre les niveaux de sécurité requis. Ils admettent que certains paramètres soient déterminés au niveau national les Eurocodes sont utilisées par les maîtres d’œuvre, les bureaux d’études et les entreprises, et servent de base aux contrôleurs pour juger de la conformité des projets. Cependant, les autorités nationales (pour ce qui relève de la sécurité publique), les maîtres d’ouvrages (et éventuellement les compagnies d’assurance pour limiter les risques dans les marchés privés) sont les prescripteurs des règles à appliquer dans les marchés publics ou privés. Faire référence à ces règles est pour ces prescripteurs le moyen de satisfaire à leurs obligations légales et d’atteindre leurs objectifs en termes de qualité.

2. Place des Eurocodes dans la normalisation européenne L’objet des Eurocodes est de donner des méthodes communes de conception organisées dans une série de textes techniques mis à disposition des états membres, constituant une référence technique et commerciale dans le domaine du génie civil. Ces règles communes à l’intérieur de l’Union européenne sont également adoptées par des états européens non membres de l’UE, éventuellement destinés à le devenir. L’application des Eurocodes permet de bénéficier d’une présomption de respect des prescriptions de sécurité, de stabilité (Exigence Essentielle n°1) et de durabilité des constructions en service, ainsi que de sécurité au feu (Exigence Essentielle n°2), exigées par la Directive du Conseil 89/106/CEE sur les produits de construction (DPC), dans la mesure où ils permettent de déterminer les performances des structures ou des éléments structuraux vis-à-vis de ces exigences. Leur application doit faciliter les échanges des services, des travaux et des produits dans le domaine de la construction dans le marché intérieur. La conception d’un ouvrage est conforme aux Eurocodes (et donc aux Exigences Essentielles) si elle respecte l’ensemble des dispositions de l’ensemble des Eurocodes avec les valeurs des paramètres de sécurité définies dans chaque état membre par l’annexe nationale. Si un état accepte sur un sujet particulier l’application de règles de calcul non explicitement autorisées par les Eurocodes, ce qui est son droit, la conception ne pourra être déclarée « conforme aux Eurocodes ».

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3. Bref historique Le 25 mars 1957 était signé à Rome le traité instituant la Communauté économique européenne (CEE), qui fut au coeur de l’unification européenne et dont l’un des objectifs était de favoriser la libre circulation des personnes et des biens à l’intérieur de la Communauté. La première directive européenne sur les marchés publics de travaux fut publiée en 1971 ; et il s’agissait d’ouvrir le marché européen à tous les entrepreneurs et bureaux d’études de la Communauté européenne. Vis-à-vis des disparités de règles de conception en usage dans les divers Etats, la directive avait une réponse simple : le principe de la reconnaissance mutuelle, Selon le Traité de Rome, ce qui est jugé satisfaisant dans un Etat (sur le plan des exigences réglementaires) doit être considéré satisfaisant dans les autres Etats.. Mais sa mise en application en ce qui concerne les règles de calcul se révéla pratiquement impossible, en particulier à cause d’une disposition irréaliste interdisant, lors d’un appel d’offres, d’écarter une proposition pour le simple motif qu’elle aurait été basée sur une méthode de calcul admise dans la réglementation d’un pays différent de celui dans lequel se déroulait l’appel d’offres. En 1975, la Commission européenne a décidé de lancer un programme d’actions visant notamment à l’harmonisation des spécifications techniques dans le domaine de la construction, afin d’éliminer dans ce domaine les obstacles techniques au libre échange à l’intérieur du Marché commun. Ces règles techniques (les Eurocodes structuraux ), devant servir d’alternative aux règles nationales équivalentes dans un premier temps, étaient destinées, à terme, à les remplacer. Au début des années 1980, après quelques années de travail d’experts européens rassemblés pour cette tâche et s’inspirant des travaux des associations scientifiques internationales (telles que le CEB – Comité Euro- international du Béton –, la CECM – Convention Européenne de la Construction Métallique –, le JCSS – Joint Committee for Structure Safety ), une première version des Eurocodes fut diffusée au sein de la communauté technique. Ces textes furent ensuite l’objet de longues enquêtes qui arrivèrent à leur terme pratiquement au moment où fut signé l’Acte Unique européen (en 1986), dont l’objet était de modifier et compléter le traité de Rome en élargissant les compétences de la Communauté dans plusieurs domaines et en affinant les procédures de décision (vote à la majorité qualifiée). La nature des directives communautaires évolua : elles ne s’attachèrent plus qu’à définir des Exigences Essentielles (directives dites « Nouvelle approche »), en laissant le soin à des organismes reconnus d’établir des normes en conformité avec les dites exigences. Une de ces directives, publiée en 1989, à laquelle furent rattachés les Eurocodes, concernait directement le secteur du BTP (directive produits de construction) et comportait les Exigences Essentielles suivantes:  

la première étant l’exigence de résistance mécanique et de stabilité la seconde traitant de la sécurité au feu.

En conséquence, en 1989, la Commission décida de transférer le travail de développement des Eurocodes au CEN (Comité européen de normalisation), afin de les transformer à terme en normes européennes (EN). Au sein du CEN, le comité technique TC250 a été créé pour établir l’ensemble des Eurocodes. Une première version des Eurocodes a été établie à fin d’expérimentation à travers une utilisation limitée. Il s’agit des normes expérimentales codifiées de ENV 1991 à ENV 1999, dont les différentes parties (62 textes au total) ont été éditées entre 1992 et 1998. ce stade, de larges choix de paramètres étaient laissés aux états membres, de nombreuses valeurs (dites « boxées ») étant simplement suggérées dans le corps du texte.

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Par ailleurs, chaque ENV était édité dans les états membres accompagné d’un « Document d’application nationale » (DAN) permettant en fait, outre la fixation des valeurs des paramètres, d’amender plus ou moins largement le corps du texte, rendant ainsi improbable l’harmonisation des méthodes. Chaque partie d’Eurocode accompagnée de son DAN a fait l’objet d’une enquête publique dans chaque état membre, les observations formulées à cette occasion ayant servi de donnée de départ pour la conversion en norme européenne (EN). Constatant l’état très imparfait de la convergence au stade des ENV, la Commission européenne a fixé des règles beaucoup plus strictes pour l’établissement des normes européennes finales. Dans les normes européennes (EN), les valeurs « boxées » ont été classées en deux catégories :  

celles qui se rapportent à des choix de sécurité, de fonctionnalité ou de durabilité sont transformées en paramètres ou classes à fixer nationalement les valeurs des autres paramètres doivent être fixées dans le corps du texte.

Le processus de transformation en normes EN commencé en 1998 est largement engagé et devrait prendre fin vers 2006 en déclenchant parallèlement celui de retrait des textes nationaux. Cependant, l’histoire des Eurocodes n’en est qu’à ses débuts, puisqu’il est envisagé un processus permanent de révision, comme c’est d’ailleurs actuellement le cas pour toutes les normes nationales. Cependant, dans cette attente, les problèmes qui pourraient se faire jour vis-à-vis de la sécurité seront traités en urgence. Sur le long terme, le processus de révision des Eurocodes devrait aller dans le sens de la convergence par la réduction du nombre des choix nationaux.

4. Objectifs des Eurocodes Les objectifs fixés étaient (et sont toujours) de donner une base commune pour: 

 

les vérifications de conformité des projets aux exigences réglementaires sur la solidité des constructions (ce qu’on appelle, dans la directive sur les produits de construction, l’exigence essentielle n°1, stabilité et résistance mécanique et, pour la partie résistance au feu, l’exigence essentielle n° 2, sécurité en cas d’incendie) les contrats, et particulièrement les marchés publics, dans le domaine de l’ingénierie et des travaux les spécifications européennes et le marquage CE pour les composants structuraux.

5. Le statut actuel des Eurocodes Les Eurocodes ont actuellement le statut de norme européenne (EN). Au contraire des ENV, ce statut est contraignant sur différents plans. 

Les règles du CEN obligent les instituts nationaux de normalisation, comme l’AFNOR, à reprendre les normes européennes dans la collection des normes nationales, sans pouvoir en changer le contenu, et à retirer les normes nationales comportant des dispositions divergeant de la norme européenne. Les Eurocodes seront donc publiés comme normes françaises homologuées, NF EN 199x.

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



En matière de marchés publics, en application des directives marchés publics de travaux ou de services, la référence aux Eurocodes en tant que normes homologuées deviendra obligatoire. Il a été cependant prévu une période de coexistence pendant laquelle on pourra continuer à faire référence aux règles anciennes si le recours aux Eurocodes est source de trop de difficultés. Vis-à-vis de la réglementation, le statut de norme européenne n’est en principe pas contraignant pour les autorités nationales. Cependant, on sera fortement incité à baser la réglementation future sur les Eurocodes, pour différentes raisons :  supprimer ou réduire les particularités réglementaires qui resteront à prendre en compte dans les projets, même s’ils sont calculés par les Eurocodes, de façon à contribuer à l’ouverture du marché européen de la construction ;  permettre l’utilisation des produits de construction caractérisés sur la base des Eurocodes sans créer d’obstacle technique ;  préparer le chemin à une harmonisation plus poussée de ces réglementations, même si en principe c’est une question de compétence de chaque Etat, et non de l’Union européenne.

6. Contenu des Eurocodes La transposition des normes expérimentales en normes européennes EN a permis une réorganisation de l’ensemble des normes qui sont regroupées dans dix Eurocodes (tableau 1) En fait, chaque Eurocode, à l’exception de l’EN 1990, est divisé en plusieurs parties ; en conséquence, près de soixante normes constituent l’ensemble des Eurocodes structuraux. Tableau 1 : Liste des Eurocodes EN 1990 EN 1991 EN 1992 EN 1993 EN 1994 EN 1995 EN 1996 EN 1997 EN 1998 EN 1999

Eurocode Eurocode 1 Eurocode 2 Eurocode 3 Eurocode 4 Eurocode 5 Eurocode 6 Eurocode 7 Eurocode 8 Eurocode 9

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Bases de calcul des structures Actions sur les structures Calcul des structures en béton Calcul des structures métalliques Calcul des structures mixtes acier- béton Calcul des structures en bois Calcul des structures en maçonnerie Calcul géotechnique Calcul des structures pour leur résistance aux séismes Calcul des structures en aluminium

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La figure 1 montre les liens entre les différents Eurocodes. Les prescriptions des Eurocodes sont de deux sortes:  

les principes (qui sont désignés par la lettre P en début de clause), qui définissent des objectifs de comportement généraux permettant de respecter les Exigences Essentielles les clauses d’application qui sont des méthodes généralement acceptées pour respecter les principes. Il peut y avoir éventuellement des méthodes alternatives pour respecter un même principe. Cependant, des méthodes qui ne seraient pas explicitement mentionnées ou autorisées dans l’Eurocode ne peuvent pas être qualifiées de conformes à l’Eurocode, même si elles respectent les principes.

Figure 1 : Liens entre les Eurocodes Comme il l’est rappelé dans la préface de tous les Eurocodes, ces derniers ne sont pas censés couvrir la conception et le calcul des ouvrages de taille ou de forme exceptionnelle( barrages, centrales nucléaires, etc.) ou de constructions utilisant des matériaux nouveaux. Ils ne sont plus destinée à l’évaluation des ouvrages existants et ne fournissent pas de règles de justification pour les renforcements, les réparations ( sauf dans le cas des bâtiments en zone sismique). Ou en cas de modification des conditions d’exploitation d’un ouvrage. Cependant, ils ont été complétés par des textes européens ou nationaux. Les Eurocodes applicables à la conception et au calcul des bâtiments en béton sont indiqués dans le tableau 2 :

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Tableau 2 : Les Eurocodes applicables au calcul des bâtiments en béton Textes de référence Détermination des actions et formation des combinaisons d’actions Poids volumique et actions dues au poids propre EN 1991-1-1 Charges d’exploitation des bâtiments EN 1991-1-1 Actions sur les structures exposées au feu EN 1991-1-1-2 Charges de neige EN 1991-1-1-3 Actions du vent EN 1991-1-1-4 Actions thermiques EN 1991-1-1-5 Actions en cours de construction EN 1991-1-1-6 Actions accidentelles EN 1991-1-1-7 Combinaisons d’actions EN 1990+Annexe A1 Calcul de la structure en béton Dimensionnement(règles générales) EN 1992-1-1 Calcul au feu EN 1992-1-2 Calcul des fondations Dimensionnement (règles générales) EN 1997-1+EN1992-1-1 Calcul des constructions en zone sismique Dimensionnement : règles générales, actions sismiques et règles pour EN 1998-1 les bâtiments Renforcement et réparation des bâtiments EN 1998-3 Dimensionnement des fondations et murs de soutènement EN 1998-5

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III. L’Eurocode EN 1990 « bases de calcul des structures » L’Eurocode EN 1990 développe de nombreux aspects de la conception et du dimensionnement des constructions : exigences fondamentales, différenciation de la fiabilité, durée d’utilisation de projet (50 ans pour les bâtiments courants), durabilité, gestion de la qualité,etc.

1. Exigences générales pour les constructions 1.1.

Exigences fondamentales

Les exigences fondamentales spécifiées dans la norme EN 1990 sont la traduction, sous l’angle de la fiabilité structurale, d’une politique de gestion des risques ainsi que du bon fonctionnement d’un pays ou d’une zone administrative au plan économique et social. Ainsi, le principe suivant : « (1) P Une structure doit être conçue et réalisée de sorte que, pendant sa durée de vie escomptée, avec des niveaux de fiabilité appropriés et de façon économique :  

elle résiste à toutes les actions et influences susceptibles d'intervenir pendant son exécution et son utilisation elle reste adaptée à l'usage pour lequel elle a été conçue. »

Pour la première fois, un code indique dans quel état doit se trouver la structure à la fin de sa durée de vie escomptée. Elle doit rester apte au service, c’est-à-dire ne pas avoir trop dépassé d’états limites de service irréversibles . La norme EN 1990 énonce un autre principe : « (4) P Une structure doit être conçue et exécutée de telle sorte qu'elle ne soit pas endommagée par des événements tels que :   

une explosion; un choc ; les conséquences d'erreurs humaines »

1.2.

Fiabilité structurale

La norme EN 1990 fixe un certain nombre de définitions, dont celle de la fiabilité à laquelle se réfèrent les exigences fondamentales pour les constructions :

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La fiabilité est la capacité d'une structure ou d'un élément structural à satisfaire les exigences spécifiées, y compris la durée d'utilisation de projet, pour lesquelles il (ou elle) a été conçu(e). La fiabilité s'exprime habituellement en termes de probabilité. Ainsi, la fiabilité structurale est un concept très général qui couvre différents aspects liés aux phénomènes et situations à éviter ou vis-à-vis desquels il faut se prémunir, auxquels se rapportent les exigences pour la fiabilité, à savoir :  la sécurité structurale ;  l'aptitude au service, tant en phase d’exploitation qu’en phase de construction ;  la tenue aux influences de l'environnement relative à l'intégrité physico-chimique ;  la robustesse associée à des risques de rupture ou d’instabilité et à des situations accidentelles prévues ou non prévues. Il est possible de différencier la fiabilité en fonction de la cause et/ou du mode de défaillance, des conséquences possibles de la défaillance en termes de risques pour la vie humaine, de blessures, de pertes économiques potentielles, de la pression de l’opinion publique, des dépenses et dispositions nécessaires pour réduire le risque de défaillance. Le but d’une différentiation de la fiabilité est une optimisation socio-économique des ressources utilisées pour la construction d’ouvrages en tenant compte des conséquences prévisibles des défaillances et du coût des constructions. Il y a cependant lieu de bien distinguer les concepts de différentiation de la fiabilité et de gestion de la fiabilité à l’aide de mesures appropriées :  un renforcement du contrôle de qualité du projet ou de l’exécution pouvant permettre une réduction (modérée) de certains coefficients partiels constitue un exemple du second concept ;  la différentiation de la fiabilité peut être obtenue par une combinaison appropriée de mesures préventives ou de protection (par exemple vis-à-vis du risque d’incendie), de mesures relatives au format de fiabilité (par exemple en jouant sur les valeurs représentatives des actions et sur les coefficients partiels), de mesures relatives à la gestion de la qualité dans le but de réduire les erreurs de conception et d’exécution (y compris les erreurs humaines graves).

1.3.

Durée d’utilisation de projet

La durée d’utilisation de projet est la durée pendant laquelle une structure, ou une partie de cette structure, doit pouvoir être utilisée comme prévu, en étant l’objet d’une maintenance planifiée, mais sans qu’il soit nécessaire d’effectuer des réparations majeures. Pour chaque ouvrage individuel, la durée d’utilisation de projet doit être spécifiée dans le cahier des charges si elle n’est pas définie au niveau national pour certaines catégories de constructions. La norme propose un tableau de valeurs indicatives :     

10 ans pour les ouvrages provisoires ; 10 à 25 ans pour certaines parties d’ouvrages remplaçables (appareils d’appui d’un pont, par exemple) ; 15 à 30 ans pour des bâtiments agricoles ; 50 ans pour les bâtiments courants ; 100 ans pour les ponts et autres ouvrages de génie civil.

Mais, dans une même construction, tous les éléments structuraux n’ont pas forcément la même durée d’utilisation de projet Travail de fin d'études 2006

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1.4.

Durabilité

La norme EN 1990 énonce le principe suivant : « (1) P La structure doit être projetée de sorte que sa détérioration, pendant la durée d'utilisation de projet, n’abaisse pas ses performances au-dessous de celles escomptées, compte tenu de l'environnement et du niveau de maintenance escompté. » Ce principe est très contraignant, mais les marchés de grands ouvrages spécifient de plus en plus fréquemment des exigences quantifiées de durabilité. Il convient donc de considérer les influences de l’environnement dès le stade du projet afin de déterminer leurs incidences sur la durabilité et de pouvoir prendre les dispositions permettant d’assurer la protection des matériaux et des produits. Le degré de détérioration prévisible (par exemple dû à l’altération des matériaux) peut être estimé sur la base de calculs, d’essais, de l’expérience provenant de constructions antérieures ou d’une combinaison de ces trois moyens.

1.5.

Gestion de la qualité

La norme EN 1990 mentionne à plusieurs reprises les questions de gestion de la qualité. Ici encore, l’application des Eurocodes suppose que des mesures appropriées soient prises pour obtenir une structure correspondant aux exigences et aux hypothèses admises lors du calcul. Ces mesures comprennent la définition des exigences en matière de fiabilité, des mesures d’organisation et des contrôles aux différents stades du projet, de l’exécution, de l’utilisation et de la maintenance. La démarche qualité vise principalement à éviter des erreurs d’origine humaine et à détecter en temps utile d’éventuelles circonstances imprévues. D’autres objectifs possibles sont de satisfaire certains désirs du maître d’ouvrage, par exemple pour rechercher une amélioration de la durabilité à long terme. Décrivons maintenant les aspects techniques liés à la représentation des actions et à la formation des combinaisons d’actions pour les divers états limites à considérer.

2. États limites Les états limites d’une structure sont des états idéalisés (présentant donc un certain caractère conventionnel) tels qu’en cas de dépassement ladite structure ne satisfait plus à certaines exigences structurales ou fonctionnelles définies lors de son projet. La justification d’une structure consiste alors à s’assurer que de tels états ne peuvent pas être atteints ou dépassés avec une probabilité dont le niveau est, en général, fixé à partir de l’expérience. Pour simplifier, les états limites sont classés en deux familles:  

les états limites ultimes les états limites de service

L’intérêt d’une telle classification est essentiellement pratique : il s’agit d’unifier, dans chaque catégorie, les probabilités d’occurrence des états limites ou des effets des actions correspondants afin que la plus grande partie des applications soit commune au plus grand nombre possible de calculs justificatifs.

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2.1.

Etats limites ultime

Les états limites ultimes sont associé à une rupture entraînant l’effondrement total ou partiel de la structure considérée, et mettant en cause la sécurité des personnes et/ou des biens. L’Eurocode EN 1990 classe les états limites ultimes comme indiqué dans le tableau 3: Tableau 3 : Classification des états limites ultimes

Notation

Définition

EQU

perte d’équilibre statique de la structure ou d’une partie quelconque de celle –ci, considérée comme un corps rigide, lorsque : - des variations mineures de la valeur ou de la distribution spatiale d’actions d’une source unique sont significatives ; - et les résistances des matériaux de construction ou de sol ne sont généralement pas dominantes. Défaillance interne ou déformation excessive de la structure ou d’éléments structuraux, y compris semelles, pieux, murs de soubassement, etc., lorsque la résistance des matériaux de construction de la structure domine. Défaillance ou déformation excessive du sol, lorsque les résistances du sol ou de la roche sont significatives pour la résistance. Défaillance de la structure ou d’éléments structuraux due à la fatigue.

STR

GEO FAT

Le trait commun aux états limites STR ou GEO est que les vérifications sont effectuées avec un niveau de charges très élevé qui n’a de signification que dans le cadre d’une interprétation probabiliste (ou fiabiliste). Bien que les charges de fatigue soient différentes des autres charges cas elles se composent plutôt de charges correspondant aux conditions de service, mais assorties d’effets du temps (par exemple, un nombre de cycles), les états limites de fatigue ont été rangés dans la catégorie des états limites ultimes.

2.2.

États limites de service

Les états limites de service sont associés à des états de la structure, ou de certaines de ses parties, lui causant des dommages limités ou rendant son usage impossible dans le cadre des exigences définies lors de son projet (exigences de fonctionnement, de confort pour les usagers ou d’aspect). Ils sont définis en tenant compte des conditions d’exploitation ou de durabilité de la construction ou de l’un de ses éléments : leur dépassement une ou plusieurs fois entraîne des dommages matériels ou empêche des conditions normales d’exploitation, sans qu’il puisse en résulter, du moins à court terme, la ruine de la construction. Une distinction doit être faite, le cas échéant, entre les états limites de service réversibles et irréversibles. À cette distinction se rattache le choix des combinaisons d’actions à considérer, a savoir combinaisons fréquentes ou quasi-permanentes pour les états limites réversibles et combinaisons caractéristique en cas d’états limites irréversibles.

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3. Situations de projet L’analyse des conditions d’une possible défaillance structurale conduit à sélectionner, pour une structure donnée, des situations de projet suffisamment sévères et variées pour couvrir toutes les situations physiques qu’il est raisonnable de s’attendre à rencontrer lors de l’exécution et de l’utilisation de la structure. Dans les applications pratiques, les situations de projet sont classées en :    

situations durables, qui font référence aux conditions d'utilisation normale ; situations transitoires, qui font référence à des conditions temporaires applicables à la structure, par exemple lors de son exécution ou de réparations ; situations accidentelles, qui font référence à des conditions exceptionnelles applicables à la structure ou à son exposition, par exemple à un incendie, une explosion, un choc ; situations sismiques, qui font référence aux conditions exceptionnelles applicables à la structure lors de tremblements de terre.

4. Représentation des actions Une action (F ) est définie comme :  

un ensemble de forces (charges) appliquées à la structure ; un ensemble de déformations ou de déplacements imposés (éventuellement dépendant du temps) résultant, par exemple, de changements de température, de variations du taux d’humidité, de tassements différentiels ou de tremblements de terre.

Les actions sont l’objet de diverses classifications, schématiques, facilitant la formation de leurs combinaisons. La classification la plus utilisée, dans les applications pratiques courantes, est celle qui établit une distinction entre actions permanentes, actions variables, actions accidentelles et actions sismiques.

4.1.

Actions permanentes

Les actions permanentes (notées G ) sont des actions dont la durée d’application est égale à la durée de vie de la structure ; elles peuvent être constantes ou connaître de faibles variations au cours du temps. Sont également rangées dans cette catégorie les actions qui, comme la précontrainte ou le retrait du béton, présentent dans le temps une variation monotone en tendant vers une limite. Les actions permanentes sont représentées par leurs valeurs caractéristiques. Si la variabilité d’une action permanente particulière est faible, on lui attribue une valeur caractéristique unique G k . C’est le cas des actions dues au poids propre : elles sont généralement représentées par une valeur nominale calculée à partir des dessins du projet et des poids volumiques moyens des matériaux ( G k  Gm ).

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Lorsque les incertitudes sur une action permanente ne sont pas négligeables et en admettant qu’il existe des informations statistiques suffisantes, des valeurs caractéristiques sont choisies telles que la probabilité pour que la valeur réelle de l’action les dépasse (dans un sens ou dans l’autre) soit inférieure à 5 %, la fonction de répartition étant supposée Normale (figure 2 ).

Figure 2 : Représentation schématique des valeurs caractéristiques

4.2.

Actions variables

Les actions variables sont des actions à occurrences discrètes plus ou moins ponctuelles dans le temps ou à caractères (intensité, direction, etc.) variables dans le temps et non monotones (neige, vent, température, houle par exemple). Les actions variables sont représentées par la lettre Q. Les principales valeurs représentatives d’une action variable qui peuvent intervenir dans les combinaisons d’actions sont :    

la valeur caractéristique, notée Qk; la valeur de combinaison, notée ψ0Qk ; la valeur fréquente, notée ψ1Qk ; la valeur quasi permanente, notée ψ2Qk .

Dans un souci de simplification, ces dernières valeurs sont définies par une fraction de la valeur caractéristique obtenue en lui appliquant des coefficients réducteurs, mais les valeurs fréquente et quasi permanente sont des propriétés intrinsèques de l’action variable considérée et les coefficients  1 et  2 sont des quotients, par la valeur caractéristique, d’autres valeurs déterminées directement. Il n’en va pas de même du coefficient  0 , appelé coefficient de combinaison, qui fixe le niveau d’intensité d’une action variable non dominante, c’est-à-dire lorsqu’elle est prise en compte, dans les calculs, en même temps qu’une autre action variable dite dominante affectée de sa valeur caractéristique. Le tableau 4 reproduit le tableau A1.1 de la norme EN 1990 – annexe A1, indiquant les valeurs recommandées des coefficients  pour certaines actions courantes applicables aux bâtiments.

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Tableau 4 : Valeurs recommandées des coefficients  pour les actions courantes

La valeur caractéristique d’une action variable est définie comme étant celle qui présente une probabilité  R , acceptée a priori, d’être atteinte ou dépassée du côté des valeurs les plus défavorables au cours de la durée de référence R. Pour la plupart des actions variables climatiques (neige, vent, température, etc.), ainsi que pour les charges d’exploitation sur les planchers de bâtiments, la valeur caractéristique correspond à une probabilité de dépassement égale à  R = 0,02 par an (R = 1 an), pour l’action elle même ou pour un paramètre spécifique auquel elle est liée, ou, autrement dit, à une période de retour de 1 = 50 ans. la valeur caractéristique de l’action sismique est fixée, dans l’Eurocode 8 (EN 0.02

1998), sur la base d’une période de retour de 475 ans, correspondant à une probabilité de dépassement de 0,1 en 50 ans, mais la période de retour peut être modulée par l’intermédiaire d’un coefficient d’importance  1 . Dans le cas des charges sur les planchers de bâtiments, la valeur fréquente est choisie de telle sorte que la fraction du temps au cours de laquelle elle est dépassée soit égale à 1 % de la durée de référence de 50 ans. En ce qui concerne la valeur quasi permanente, elle est définit de façon

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que la proportion de temps au cours duquel elle est dépassée soit égale à 50% de la même durée de référence. La figure 3 schématise les valeurs représentatives des actions variables pour les actions applicables aux bâtiments.

Figure 3 : Illustration schématique des diverses valeurs représentatives des actions variables pour les bâtiments

4.3.

Actions accidentelles

En général, On détermine directement une valeur nominale unique dans la mesure ou, du fait de leur caractère accidentel, trop peu de données sont disponibles pour appliquer de façon pertinente les méthodes statistiques.

5. Résistance des éléments structuraux 5.1. Valeurs caractéristiques des propriétés des matériaux et des produits Dans les constructions, différentes propriétés des matériaux interviennent. L’une des plus importantes est la résistance, c’est-à-dire l’aptitude de la matière à ce qu’existent des contraintes qui équilibrent les forces agissantes sur la structure. Les propriétés de résistance des matériaux sont représentées par des valeurs caractéristiques, notées f k , c’est-à-dire des valeurs qui ont une probabilité donnée de ne pas être atteintes lors d’une hypothétique série d’essais illimitée. En règle générale (y compris pour les sols et roches), la valeur caractéristique d’une propriété est définie comme étant le fractale 5 % si une valeur basse est défavorable, ou le fractale 95 % si une valeur haute est défavorable, de sa distribution statistique. Les paramètres de comportement mécanique ou physique (module d’élasticité, coefficients de fluage, de dilatation thermique, etc.) sont représentés par une valeur moyenne pour le motif que, selon les cas, ils peuvent être favorables ou défavorables.

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Les propriétés des produites sont également représentées par une ou un ensemble de valeurs caractéristiques en fonction de leur matériaux constitutif.

5.2. Valeurs de calcul des propriétés des matériaux et des produits L’ensemble des étapes qui permettent de passer des valeurs caractéristiques des résistances individuelles ou des produits aux valeurs de calculs des résistances structurales est résumé dans le tableau 5: Tableau 5 : Etapes du traitement des résistances

Expression

Les résistances des matériaux et des produite à prendre en compte sont recensées. Les résistances des matériaux et des produite sont représentées par leurs valeurs caractéristiques.

Xi X k ,i

X d ,i  

La valeur de calcul d’une propriété d’un matériaux est obtenue à partir de sa valeur caractéristique : - en la divisant par un coefficient partiel m qui tient compte des incertitudes, dans un sens défavorable, sur la valeur caractéristique de la dite propriété et d’éventuels défauts localisés ; - en la multipliant éventuellement par un coefficient de conversion  destiné à tenir compte principalement des effets de volume et d’échelle.

X k ,i

 m ,i

On détermine la résistance structurale à partir des valeurs de calcul des propriétés individuelles des matériaux associés et des données géométrique.

 X k ,i  R  ; a d    m ,i  Rd 

Commentaires

1

 Rd

 X k ,i  R  ; a d    m ,i 

 X k ,i  Rd  R  ; a d    m ,i 

Selon une procédure parallèle à celle aboutissant à la valeur de calcul des effets des actions, on détermine la valeur de calcul de la résistance structurale, fonction des propriétés individuelles des matériaux associés et des données géométriques.  Rd est un coefficient couvrant les incertitudes du modèle de résistance et les variations des données géométriques si elles ne sont pas explicitement modélisées. Comme dans le cas des effets des actions, le coefficient  Rd est souvent intégré dans un coefficient de sécurité global affectant la résistance caractéristique des matériaux, et on pose :  M ,i   Rd   m ,i

5.3. Valeurs de calcul des actions et effets des actions

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D’une façon générale, les valeurs de calcul des actions, des effets d’actions (ainsi que des résistance) sont les valeurs effectives introduites dans les calculs, toutes pondérations incluses. Les symboles qui les représentent sont affectés de l’indice d. L’ensemble des étapes permettant de passer des valeurs représentatives des actions aux valeurs de calcul des effets des actions est résumé dans le tableau 6. Tableau 6 : Etapes du traitement des actions aboutissant aux valeurs de calcul des effets des actions

Expression

Commentaires Les actions à prendre en compte sont recensées.

Fi Fk ,i

(ou Fk ,i )

On leur affecte des valeurs représentatives : valeur caractéristique ou autres valeurs (d’accompagnement, fréquentes, quasi-permanentes)

(   0 , 1 , 2 )

Fd ,i  

(ou 

f ,i

Fk ,i

Fk ,i )

f ,i

(   0 , 1 , 2 )

E (

Fk ,i ; a d )

f ,i

Ed   sd E ( f ,iFk ,i ; a d )

E d  E (

Fk ,i ; a d )

f ,i

6.

La valeur de calcul d’une action F est obtenu en multipliant sa valeur représentative Fk (ou Fk , (   0 , 1 , 2 )) par un coefficient partiel  f .  f est un coefficient partiel destiné à couvrir, de manière générale, les incertitudes sur le choix de la valeur caractéristique de l’action F et, parfois, une partie des incertitudes liées au modèle de l’action. Dans le cas des actions permanentes, lorsqu’une distinction doit etre faite entre les parties favorables et défavorables, deux coefficients partiels différents sont employés, notée  G ,sup et  G ,inf . On considère alors, pour une construction donnée, les actions physiques compatibles et on forme les combinaisons d’action, qui sont des ensembles à considérer simultanément. On calcule ensuite les effets de ces combinaisons(par exemple un moment fléchissant). a d représente la valeur de calcul de l’ensemble des données géométriques ( en général les valeurs issues des dessins du projet). Il peut également s’agir des données couvrant de possibles imperfections géométriques pouvant entraîner des effets du scend ordre. La valeur de calcul des effets est obtenue en les multipliant par un coefficient partiel noté  sd . Le coefficient partiel  sd est principalement destiné à couvrir les incertitudes de modèle structurale. Dans les cas courant, l’expression précédente est simplifiée de la manière suivante, avec :  F   sd   f Le coefficient de modèle  sd n’est donc pas explicite et on appelle souvent, directement, valeur de calcul de l’action F le produit : Fd   F Fk (ou  FFk ;   0 , 1 , 2 )

Vérification des constructions

Travail de fin d'études 2006

30

6.1 Vérifications aux états limites ultimes Les justifications vis à vis des états limites ultimes EQU et STR/GEO ( les états limites de fatigue sont l’objet de vérifications plus complexes) consistent, dans les cas usuels, à vérifier des inégalités dont les expressions formelles sont les suivantes. 

États limites ultimes d’équilibre statique (EQU) : Les vérifications se traduisent par une inéquation de la forme : E d , dst  E d , stb

avec : Ed , dst Ed , stb 

valeur de calcul de l’effet des actions déstabilisatrices ; valeur de calcul de l’effet des actions stabilisatrices ;

États limites ultimes de rupture ou de déformation excessive d’une section, d’un élément ou d’un assemblage (STR et/ou GEO) : E d  Rd

avec : Ed

Rd

valeur de calcul de l’effet des actions, valeur de la résistance de calcul correspondante, associant toutes les propriétés structurales avec leurs valeurs de calcul respectives.

Les justifications aux états limites ultimes autres que ceux liés à  la fatigue ou à une perte d’équilibre statique sont principalement basées sur la combinaison fondamentale vis-à-vis de situations durables ou transitoires dont la forme courante est la suivante (expression 6.10 dans l’EN 1990) :

 j 1

Gj

G kj   p P   Q ,1Qk ,1    Q ,i 0 ,i Qk ,i i 1

avec Qk ,1 action variable dominante introduite avec sa valeur caractéristique. ou , alternativement, la plus défavorable des deux expressions suivantes (expressions 6.10a et 6.10b dans l’EN 1990) :

 j 1

Gj

Gkj   p P   Q ,1 01Qk ,1    Q ,i 0,i Qk ,i

  j 1

j

i 1

Gj

Gkj   p P   Q ,1Qk ,1    Q ,i 0,i Qk ,i i1

Avec :  : un coefficient réducteur affectant les actions permanentes à caractère défavorable, à choisir dans l’intervalle 0,85 à 1,0. Le choix entre l’expression (6.10) et le couple (6.10 a/b) de l’EN 1990 est laissé aux autorités nationales. Les combinaisons accidentelles ont pour expression courante(expression 6.11 dans l’EN 1990):

G j 1

avec

Ad

kj

 P  Ad   1,1ou 2,1Qk1   2,i Qk ,i i1

action accidentelle de calcul.

Travail de fin d'études 2006

31

Si une action variable peut être physiquement présente lors de l’occurrence de l’action accidentelle, elle est prise en compte avec sa valeur fréquente. Les autres actions variables éventuelles sont introduites dans la combinaison avec leur valeur quasi permanente. Le choix entre  1,1Qk et  2 ,1Qk ,1 dépend de la situation de projet accidentelle considérée (choc, incendie, etc.). La combinaison en situation sismique s’exprime de la façon suivante (expression 6.12 dans l’EN 1990) :

G

kj

j 1

avec

AEd

 P  AEd   2 ,i Qk ,i i1

action sismique de calcul.

En règle générale, les actions variables ne sont prises en compte dans la combinaison sismique que par leur valeur quasi permanente.

6.2 Vérifications aux états limites de services Les vérifications vis-à-vis des états limites de service se traduisent, de manière générale, par une inéquation de la forme : Ed  C d

avec

Cd

valeur de calcul limite correspondant au critère d’aptitude au service considéré Ed

valeur de calcul de l’effet des actions intervenant dans le critère d’aptitude au service, déterminée à partir de la plus défavorable des combinaisons détaillées ci-après

Les combinaisons considérées sont les suivantes :  combinaison caractéristique:

G

kj

j 1

 combinaison fréquente :

G j 1

kj

 P  Qk ,1   0,i Qk ,i i 1

 P   1,1Qk ,1   2,i Qk ,i i 1

 combinaison quasi-permanente:

G j 1

kj

 P   2 ,i Qk ,i i 1

La combinaison caractéristique est à considérer normalement pour les états limites à court terme, dans lesquels un effet étudié (par exemple, formation d’une fissure, rupture d’une cloison par déformation instantanée excessive) atteint une seule fois une certaine valeur. Elle correspond à des sollicitations et autres effets dont les probabilités de dépassement sont voisines de la

Travail de fin d'études 2006

32

probabilité de dépassement de sa valeur caractéristique par l’action variable dominante Qk ,1 . De façon plus synthétique, la combinaison caractéristique est à considérer pour des justifications visà-vis d’états limites de service irréversibles : par exemple, un état limite, dans une pièce en béton, caractérisé par une ouverture de fissure de 0.5mm est état limite irréversible car, avec une telle ouverture, la fissure ne pourra pas se refermer totalement. La combinaison fréquente est à considérer pour des états limites à moyen terme, liés à l’atteinte par l’effet étudié d’une certaine valeur, soit pendant une petite partie de la durée de référence, soit un certain nombre de fois. Elle correspond à des effets dont les durées ou fréquences de dépassement sont voisines de celle de la valeur fréquente  1Qk ,1 de l’action variable dominante Q1 . La combinaison quasi-permanentes est à considérer pour l’étude des effets à long terme des actions, liés à l’atteinte d’une certaine valeur par ces effets pendant une longue durée( par exemple pour l’étude du fluage d’une structure en béton). Les combinaisons fréquentes et quasipermanentes sont à considérer pour la justification vis-à-vis d’états limites réversible, c’est à dire d’états limites qui ne seront pas atteints ou légèrement dépassés lorsque les actions à l’origine de l’atteinte ou du dépassement auront disparu.

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IV. L’Eurocode EN 1991 « Actions sur les structures » L’Eurocode EN 1991 « actions sur les structures » traite des actions pour le calcul des constructions. Sa partie 1 est plus particulièrement orientée vers le calcul des bâtiments et comprend les textes suivants :       

Partie 1-1 : actions générales – poids volumique, poids propre, charges d’exploitation des bâtiments. Partie 1-2 : actions générales – actions sur les structures exposées au feu Partie 1-3 : actions générales – charges de neige Partie 1-4 : actions générales – Actions du vent Partie 1-5 : actions générales – Actions thermiques Partie 1-6 : actions générales – Actions en cours de construction Partie 1-7 : actions générales – Actions accidentelle

1. Actions permanentes (EN 1991-1-1) Les actions permanentes comprennent les actions dus au poids propre des constructions, à d’éventuelles actions de poussée des terres et, lorsqu’il y a lieu, à certaines actions dues à l’eau. La poids propre des constructions inclut celui des structures et des éléments non structuraux ( par exemple, les toitures, les revêtements de sol et muraux, les cloisons, etc.), y compris les équipements techniques fixes ( par exemple : les équipements des ascenseurs, des escaliers roulants,etc.).Dans les combinaisons d’actions, le poids propre total des éléments structuraux et des éléments non structuraux est considéré comme une action unique.

2. Charges d’exploitation des bâtiments ( EN 1991-1-1) Les charges d’exploitation des bâtiments sont celles provoquées par l’occupation des locaux. Les valeurs indiquées dans l’Eurocode tiennent compte :  De l’usage normal que les personnes font des locaux  Des meubles et objets mobiles ( cloisons mobiles, rangements, marchandises des conteneurs)  Des véhicules  Des événements rares prévus tels que concentration de personnes ou de mobilier, ou déplacement ou empilage d’objets susceptibles de se produire à l’occasion d’une réorganisation ou d’un changement de décoration. Les charges d’exploitation codifiées pour les bâtiments comprennent :  Les charges sur les planchers, les aires de circulation et les aires de stockage  Les charges sur les toitures  Les actions des chariots élévateurs dans les aires de stockage et les locaux industriels ( forces concentrées verticales et horizontales cumulables aux charges d’exploitation réparties)  Les actions dues aux véhicules de transport  Les actions des équipements de maintenance spéciaux

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

Les charges horizontales sur les parapets et les murs de séparation agissant comme barrières.

3. Charges de neige ( EN 1991-1-3) Les actions dues à la neige sont des actions climatiques engendrant des charges sur les toitures, et donc des efforts dans les constructions. L’Eurocode EN 1991-1-3 indique comment déterminer les valeurs des charges de neige sur les toitures a partir de charges de neige sur le sol par l’intermédiaire de coefficients de forme. En France, les charges au sol sont en général fixées sur la base de mesures des hauteurs de neige.

4. Actions du vent ( EN 1991-1-4) La parties 1-4 de l’Eurocode 1 traite des actions du vent sur les constructions. Son champs d’application, se limite aux ouvrages de hauteur inférieure à 200m qui ne nécessitent pas une analyse dynamique. Il couvre les situations de projet durables (en service) et transitoires (construction), et envisage des situations accidentelles (par exemple, portes et/ou fenêtres normalement fermées, mais supposées ouvertes).

5. Actions thermiques ( EN 1991-1-5) Les actions thermiques, définies dans la partie 1-5 de l’Eurocode 1 ( EN 1991-1-5), appartiennent à la catégorie des actions variables. Leurs valeurs caractéristiques pour les situations de projet durables correspondent à une période de retour de 50 ans, comme celles des autres actions climatiques. D’une manière générale, les effets climatiques doivent être déterminés en considérant la variation de la température de l’air sous abri et le rayonnement solaire ; Les effets opérationnels( dus au chauffage, aux processus technologiques ou industrielles) doivent être décrits au niveau des spécifications de chaque projet individuel.

6. Actions en cours d’exécution ( EN 1991-1-6) L’Eurocode1 parties 1-6 définit les actions applicables aux ouvrages en phase ( transitoire d’exécution). En réalité, les problématiques originales de cet Eurocode concernent principalement les actions variables d’origine naturelle et les charges de construction

Travail de fin d'études 2006

35

V. L’Eurocode EN 1992 « Calcul des structures en béton » L’Eurocode 2 est composé de quatre parties :    

EN 1992-1-1 partie 1 : Règles générales et règles pour les bâtiments EN 1992-1-2 partie 1 : Règles générales – calcul du comportement au feu. EN 1992-2 partie 2 : ponts en béton EN 1992-3 partie 1 : silos et réservoirs

La partie 1-1 comprend toutes les généralités sur le calcul des ouvrages en béton. Les autres parties nécessitent d’avoir cette partie 1-1 sous les yeux pour pouvoir être utilisées, car elles ne comportent que les compléments ou les modifications des règles pour leur application aux structures qu’elles traitent. Comme pour tous les Eurocodes, l’application en France de l’EC2 ne pourra se faire qu’en concomitance avec son annexe nationale. Celle-ci aura en effet un caractère normatif sur le plan national, après la procédure habituelle d’adoption d’une norme française. L’annexe nationale définira les valeurs des paramètres appelés NDP dans le texte européen, dont la valeur est laissé au libre choix de chaque pays. De plus, dans cette annexe, on trouvera le chois des méthodes proposées et l’applicabilité des annexes informatives. Elle ajoutera, en outre, des précisions non contradictoires permettant d’éclaircir certains points qui le nécessiteront. Elle pourra être complétée par un document informatif donnant des éclaircissements et des détails de méthodes non décrites. En effet, la norme a été conçue pour donner les principes de calcul sans qu’elle devienne un cours de béton armé ou précontraint

1. Histoire et mise à disposition de EN 1992-1-1 Cette norme est issue des travaux du CEB (comité européen du béton) qui a produit un premier code modèle en 1987. A partir de ce code, la commission européenne a décidé d’établir une norme européenne qui, après une longue période de gestation, a été publiée en décembre 1992 sous le nom d’ENV 19921-1 (norme provisoire), accompagnée de son document d’application national ( DAN). Entre – temps le CEB avait mis à jour son code modèle, et l’avait numéroté CM90. C’est sur la base de celui-ci et de l’ENV que le CEN a entrepris la transformation de la norme provisoire en norme définitive EN 1992-1-1. En Juillet 2002 le technical committee chargé de cette norme (TC 250 SC2) a voté le texte définitif en anglais, qui a été traduit en allemand et en français, avec mises à jour éditoriales dans les trois langues. Celui-ci a été proposé au vote des états, et il a été publié début 2004 dans toute l’Europe comme norme harmonisée. Pendant ce temps, en France, on rédigeait l’annexe nationale , dont la mise en l’enquête pour la transformer en en norme nationale.

Travail de fin d'études 2006

36

2. Organisation de l’EN 1992-1-1 Elle comporte : 

Avant – propos national ;



Avant – propos européen ;





Section 1- généralités. Celle-ci définit le domaine d’application du code, les références normatives, les hypothèses de conception, calcul, exécution et maintenance de la structure, la distinction entre principes et règles d’application et les définitions et symboles utilisés ; Section 2- Bases de calcul. Références aux EN1990 et 1991. Prise en compte des effets thermiques, des tassements différentiels, de la précontrainte, du retrait et du fluage. De plus, les coefficients  spécifiques aux matériaux sont données (conformément aux BAEL et BPEL) :      

c : s :

( coefficient partiel de sécurité béton) normal : 1.5 ; accident : 1.2. ( coefficient partiel de sécurité Acier ) normal : 1.15 ; accident : 1.0.  F , fat : (coefficient partiel de sécurité pour charges de fatigue) :1.0  P , fav : (coefficient partiel de sécurité pour la prise en compte des forces de précontrainte favorable à l’ELS) : 1.0  P ,unfav : (coefficient partiel de sécurité précontrainte défavorable) : pour les étatlimites de stabilité : 1.3  P,unfav : (coefficient partiel de sécurité précontrainte défavorable) : pour les effets locaux : 1.2

On y trouve des exigences complémentaires pour les fondations, les pieux et les chevilles d’ancrages ; 





section 3 - matériaux. Elle regroupe les données relatives aux propriétés du béton, modèles de calcul à l’ELS et l’ELU ; propriétés des armatures de béton armé et de béton précontraint. Annexes associés : B ( fluage et retrait) , C ( propriété des aciers passifs), D( relaxation des aciers de précontrainte) ; section 4 – durabilité et enrobage des armatures. Cette section introduit l’environnement de la structure pour sa conception vis à vis de la durabilité, qu ‘elle relit à la durée d’utilisation de projet, définie dans l’EN 1990. Annexe associée : E classe de béton indicative pour la durabilité. Section 5 - Analyse structurale. Cette section , tout en définissant les méthodes applicables, laisse à l’ingénieur toute latitude pour le choix de celle-ci et les détails de leur application. C’est ce qui la différencie des règlements français habituels.

Travail de fin d'études 2006

37

 Modélisation géométrique de la structure et de ces imperfections.  Méthodes de détermination des sollicitations, déformations et déplacement : analyse linéaire, analyse linéaire avec redistribution, analyse plastique, analyse non linéaire.





 



Effets du second ordre sous sollicitation axiale. Etude par quatre méthodes : méthode générale par étude non linéaire, méthode basée sur la rigidité, méthode basée sur un coefficient d’amplification du moment, méthode basée sur la courbure.



Structures et éléments de structures en béton précontraint, rupture fragile, forces maximales à la mise en tension, pertes en compte de la précontrainte dans l’analyse structurale ; effets de la précontrainte à l’ELU et à l’ELS. Annexes associées : G ( interactions sol - structure), H (effets du second ordre);

Section 6 – Etats limites ultimes. Flexion, Effort tranchant, Torsion, Poinçonnement, Méthode des bielles et tirants, ancrages et recouvrements, zones chargées localement, fatigue ; Section 7 - Etats limites de service. Limitations de contraintes, fissuration, flèches. Section 8 – Dispositions constructives relatives aux armatures de BA et BP. Section 9 – Dispositions constructives relatives aux éléments et règles particuliers. C’est ici qu’on trouve les pourcentages minimales d’armatures. Cette section et la précédente nécessitent de se reporter souvent à l’annexe nationale, car elles contiennent des sujets qui sont liés aux habitudes locales.



Section 10 – règles additionnelles pour les éléments et les structures préfabriqués.



Section 11 – structures en béton de granulat léger.



Section 12 – Structures en béton non armé ou faiblement armé.



 





Annexe A (informative) – Modifications des coefficients partiels relatifs aux matériaux. Annexe B (informative) – déformations dues au fluage et au retrait. Annexe C (normative) – propriétés des armatures compatibles avec l’utilisation de cet Eurocode ; Annexe D (informative) – Méthode de calcul détaillée des pertes de précontraintes par relaxation ; Annexe E (informative) – Classes indicatives de résistance pour la durabilité.

Travail de fin d'études 2006

38



Annexe F (informative) – Expressions pour le calcul des armatures tendues dans les situations de contraintes planes.



Annexe G (informative) – Interaction sol – structure ;



Annexe H (informative) – Effets globaux du second ordre sur les structures ;





Annexe I (informative) – Analyse des planchers dalles et des voiles de contreventement. Annexe J (informative) – Dispositions constructives pour des cas particuliers. Armatures de peau, angles de portiques, corbeaux.

Travail de fin d'études 2006

39

Chapitre II :Etude comparative l’Eurocode2 - BAEL91

Travail de fin d'études 2006

40

I. Eurocode2 et BAEL 91 : Tableaux comparatifs 1.

Combinaisons d’actions

La formation des combinaisons pour le calcul des ouvrages est axée sur une action dominante qui peut être une action variable, une action accidentelle ou une action sismique. Lorsque l’action dominante est une action variable, les autres actions variables sont introduites (si leur présence simultanée avec la dite action variable dominante est physiquement possible) avec leurs valeurs de combinaison.( 0i Qk ,i ). Il est clair que l’on ne combine que des actions compatibles et que les actions accidentelles ou sismiques ne sont jamais des actions d’accompagnement. Les combinaisons possibles étant très nombreuse, seules les plus agressives vis-à-vis de l’effet considéré sont à prendre en compte ; celles qui sont manifestement couvertes par une combinaison plus défavorable n’ont pas à figurer dans les justifications. L’annexe A1 de l’Eurocode EN1990 fournit les règles de formation des combinaisons d’actions pour les bâtiments, à partir des expressions symboliques et des valeurs recommandées des coefficients partiels applicables aux actions dans les combinaisons. Les valeurs à employer dans un état membre du CEN peuvent être fixées dans l’annexe national. Quant au BAEL91, les combinaisons d’actions sont données par les paragraphes : A.3.3 et D.2.2. Récapitulons les dispositions de chaque règlement dans le tableau suivant :

Travail de fin d'études 2006

41

BAEL 91

Eurocode2

Sollicitations de calcul vis à vis des états limites ultimes ; ELU

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1) Combinaisons fondamentales : 1) Combinaisons fondamentales : La combinaison fondamentale fait intervenir les actions permanentes et variables, à l’exception des actions accidentelles et dans ce cas les  pour l’équilibre statique (EQU) (Ensemble A) : sollicitations de calcul sont déterminés à partir de la combinaison suivante: 1.35Gmax  Gmin  1.5Q1  1.3 0 i Qi pour les situations de projets durables ou transitoires : l’équation 6.10 et le tableau A1.2(A) note1 (NF) donnent les combinaisons suivantes : Pour les bâtiments, les combinaisons d’actions sont comme suit : coefficients habituels : Tableau 7 : Combinaisons d’actions Actions permanentes 1.35G max  G min

1.10 G kj ,sup + 0.9 G kj ,inf + 1.5 Qk ,1 +

Actions variables De

base D’accompagnement D’accompagnement  Q1Q1 1.3 02 Q2 1.3 03 Q3

1.5 Q B 1.5 W

0 ou W ou S n ou W + S n

ou 1.3  0 Q B +

0 ou 0.8 T

Sn

1.5 S n

0 ou 1.3  0 Q B ou W 0 ou 0.8 T ou 1.3  0 Q B + W

0 ,i

Q k ,i

coefficients alternatif : 1.35 G kj ,sup + 1.15 G kj ,inf + 1.5 Qk ,1 + 

0 ou 1.3  0 Q B ou Sn

1.35 G ou G

0 ou 0.8 T

1.5

1.5

0 ,i

Q k ,i

pour la résistance des structures de bâtiments non soumises à des actions géotechniques (STR) (Ensemble B)

l’équation 6.10 et le tableau A1.2(B) note2 (NF) donnent : 1.35 G kj ,sup + 1.00 G kj ,inf + 1.5 Qk ,1 +



1.5

0 ,i

Q k ,i

pour la résistance des structures de bâtiments soumises à des actions géotechniques (STR/GEO) (Ensemble B) :

Remarque : les effets de la température ne sont généralement pas pris en compte ;S’ils doivent intervenir en tant qu’action de base, ils sont introduits avec le coefficient 1.35. l’équation 6.10 et le tableau A1.2(B) note2 (NF) donnent : 1.35 Travail de fin d'études 2006

+ 1.00

+ 1.5

+

1.5

0 ,i

Q k ,i

43

Sollicitations de calcul vis à vis des états limites de service; ELS Les combinaisons d’actions à considérer sont les suivants : G max  G min  Q1   0i Qi

Sauf spécification contraire dans les EN 1991 à EN 1999, pour les états limites de service, il convient de prendre pour les coefficients partiels des actions la valeur 1,0. Ainsi :  en combinaison caractéristique : G kj ,sup

Tableau 11: Combinaisons d’actions à ELS Actions permanentes G max + G min

Actions variables De base Q1 D’accompagnement

+

G kj ,inf

+

Qk ,1

+   0 ,i Q k ,i

 en combinaison fréquente : G kj ,sup + G kj ,inf +  11 Qk ,1 +  2 ,i Q k ,i  en combinaison quasi-permanente : G kj ,sup + G kj ,inf +  21 Qk ,1 +  2,i Q k ,i

 02 Q2

G

QB

0 ou 0.77W ou 0.77 Sn

W

0 ou  0 Q B

Sn

0 ou  0 Q B

Travail de fin d'études 2006

44



Commentaire :

A l’état limite ultime, et en combinaisons fondamentales, l’EC2 prévoit des combinaisons d’action différentes suivant le type de l’état limite ultime à vérifier : (EQU, STR ou STR/GEO) En notant que la clause (7.1) du règlement de construction parasismique Marocain , RPS 2000, stipule que la combinaison fondamentale des actions à considérer pour le calcul des sollicitations et la vérification des états limites est : S c  G  E  0.3 N  Q

avec

0.2    1

selon la nature des surcharges du bâtiment (tableau 6.1 de l’RPS 2000).

nous avons pu tirer les conclusions suivantes: 





dans les combinaison d’action sismiques, l’EC2 à la spécificité de prendre l’action variable principale avec sa valeur quasi-permanente,différemment des deux règlements BAEL et RPS2000. l’EC2 prend pour l’action de la neige une valeur (0.2N) plus proche de celle donnée par l’RPS2000 (0.3N). quant au BAEL, il ne prend en considération l’action de la neige qu’avec le coefficient 0.1 ! Pour un bâtiment d’habitation par exemple ; nous aurons les combinaisons suivantes : G  A  0.2 N  0.3Q  Pour l’EC2 : G  E  0.1N  0.77Q  Pour le BAEL :  Pour l’RPS2000 : G  E  0.3N  0.2Q

Nous voyons nettement que l’EC2 est plus proche de l’RPS 2000 que le BAEL en terme de combinaisons d’actions ! 

En général, les combinaisons d’actions déterminées par l’EC2 sont plus défavorables que celles du BAEL 91.

2.

Caractéristiques des matériaux

Travail de fin d'études 2006

45

2.1.

Béton

Le béton est un matériau de construction reconstituant artificiellement la roche, composé de granulats, de sable, de ciment, d’eau et éventuellement d’adjuvants pour en modifier les propriétés. C’est le matériau de construction le plus utilisé au monde, que ce soit en bâtiment ou en travaux publics. Le dosage des différents constituants du béton dépend du type de matériau recherché, déterminé par ses utilisations. En effet, ses propriétés physiques et mécaniques dépendent de sa composition et de facteurs extérieurs, tels que la température. Le béton résiste aux efforts de compression, mais il présente une résistance faible aux efforts de traction ou d'extension, c'est pour cela que l'on adjoint au béton des armatures en acier qui travaillent à la fois à la traction et en compression. Cette association donne naissance à un matériau résistant appelé le béton armé .Or, l’utilisation du béton sur le plan pratique présente des avantages et des inconvénients résultants de la complexité de ce matériau. 

avantages du béton armé :   



La simplicité d’exécution : grâce à l’état pâteux du béton et le pliage d’acier. La commodité de préfabrication : le développement du béton armé a donné des éléments préfabriqués faciles à poser et à assembler sur le chantier. La résistance au feu : le béton par sa nature est un matériau résistant à la chaleur excessive ; une construction en béton peut être réutilisée, en cas d’incendie, après sa réfection contrairement à une construction métallique

inconvénients du béton armé :  



Son poids : sa charge très lourde nécessite une base solide pour la stabilité ainsi que des dépenses coûteuses à envisager. Ses risques imprévisibles : le béton armé peut toujours engendrer des accidents sans prévenir. Donc des précautions doivent être prises en cas d’étude des ouvrages et leur réalisation. La difficulté de modifier un ouvrage en béton armé présentant des imperfections.

Résumons ainsi les propriétés mécaniques et physiques du béton :

Travail de fin d'études 2006

46

Caractères béton

Travail de fin d'études 2006

BAEL91

EUROCODE II

47

Résistance caractéristique en compression

1) La résistance à la compression du béton est mesurée par 1) La résistance à la compression du béton, fck(t), à t compression axiale de cylindres droits de révolution de 200 jours, est donnée par la relation suivante : cm2 de section et d’une hauteur double de leur diamètre (16×32) .  f ck (t )  f cm (t )  8( MPa) pour 3 12 :……………………… fR,min =0.056

Commentaire :  La capacité d’adhérence de l’acier est caractérisée, dans le BAEL, par le coefficient de fissuration η et le coefficient de scellement ψs  Cette capacité peut être estimer, dans l’EC2, moyennant des valeurs de la surface projetée des nervures fR,min .  On peut tirer comme conclusion, que les deux règlements prennent en considération des notions totalement différentes pour justifier la même caractéristique de l’acier.

Travail de fin d'études 2006

66

3.

Etats limites ultimes 3.1.

Etat limite ultime de résistance 3.1.1. flexion simple et flexion composée

La méthode de calcul suivant l’EC2 ( principalement la règle des trois pivots ) ne diffère pas de celle des règles BAEL et BPEL. Les seules particularités concernent des valeurs limites de contrainte ou de déformation des matériaux à utiliser. 3.1.2. Effort tranchant 

Poutres sous sollicitations d’effort tranchant

Pendant de nombreuses années, jusque vers 1930, on a souvent calculé les poutres en béton armé sous sollicitation d’effort tranchant de la façon suivante : on admettait que le béton équilibrait une partie de l’effort tranchant par sa résistance au cisaillement, prise égale à la résistance à la traction, l’autre partie étant équilibrée par les armatures transversales (étriers ) que l’on supposait travailler au cisaillement sous une contrainte égale aux huit dixièmes de la contrainte admissible en traction. Cette méthode de calcul, que paraissaient légitimer certains commentaires de la circulaire de 1906, était sans fondement théorique : d’une part, armatures transversales et béton n’interviennent pas simultanément ; d’autre part, admettre qu’une armature peut être cisaillée par le béton équivaudrait à envisager que l’on peut, suivant l’expression imagée de M. Caquot, « cisailler un fil d’acier entre deux mottes de beurre ». Ultérieurement, à la suite de nombreux essais, l’emploi de la méthode du treillis de RitterMörsch s’est progressivement généralisé. Cette méthode a été préconisée en France par le Règlement de la Chambre syndicale des constructeurs en ciment armé , la circulaire ministérielle du 19 juillet 1934 et les Règles BA 1945 . Mais les nombreux essais réalisés par la suite ont montré que le schéma de fonctionnement de Ritter-Mörsch ne décrit pas le mécanisme réel de la résistance à l’effort tranchant et conduit, dans la plupart des cas, à surestimer les armatures d’âme nécessaires, surtout lorsque la contrainte tangente du béton sous charge de calcul est faible. Pour pallier cet inconvénient, les Règles BA 1960 et CCBA 1968 avaient, tout en conservant le même principe de calcul, fixé pour les armatures transversales une contrainte admissible variable en fonction de la contrainte tangente, et d’autant plus élevée que celle-ci était plus faible. Dans les Règles BAEL , la formule donnant la section d’armatures nécessaire pour équilibrer l’effort tranchant comporte deux termes : le premier résulte de la théorie du treillis de RitterMörsch ; le second, soustractif, tient compte, par l’intermédiaire d’un coefficient empirique, de la partie de l’effort tranchant équilibrée par la membrure comprimée du treillis et d’autres phénomènes (inclinaison des bielles de béton, effet de goujon des armatures longitudinales, etc ). Tandis que l’Eurocode2 prévoit une autre démarche pour déterminer la section d’armature d’effort tranchant en faisant appel à une méthode de bielles d’inclinaison variable. Le tableau cidessous compare la vérification à l’effort tranchant suivant les deux règlements

Travail de fin d'études 2006

67

Effort tranchant

Travail de fin d'études 2006

BAEL 91

EUROCODE 2

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Contrainte tangentielle

1) Justification de l'âme d'une poutre : On définit réglementairement la contrainte conventionnelle de cisaillement τELU par la relation suivante : V ELU  max  ELU  b0 d Avec :  V ELU max : La valeur maximale à l’ELU de l’effort tranchant.  b0 : désigne la largeur de l´âme  d :la hauteur utile de la poutre Dans le cas particulier des sections circulaires de diamètre Ød, on pourra adopter l’expression suivante : 1.4VELU  max  ELU 

1) Vérification de la résistance à l'effort tranchant On définit: VEd :l'effort tranchant agissant de calcul dans la section considérée, résultant des charges extérieures appliquées . VRd,c :l’effort tranchant résistant de calcul de l'élément en l'absence d'armatures d'effort tranchant. VRd :la résistance à l'effort tranchant d'un élément comportant des armatures d'effort tranchant est donnée par la relation suivante :

VRd = VRd,s + Vccd + Vtd

Avec : VRd,s : l’effort tranchant de calcul pouvant être repris par armatures d'effort tranchant travaillant à la limite d'élasticité Vccd :la valeur de calcul de la composante d'effort tranchant de la force de compression, dans le cas d'une membrure comprimée inclinée Vtd :la valeur de calcul de la composante d'effort tranchant de d la force dans l'armature tendue, dans le cas d'une membrure tendue inclinée. NB : En cas des pièces dont toutes les sections droites sont entièrement comprimées, il n’y a pas lieu d’appliquer les prescriptions qui suivent à 2) Éléments pour lesquels aucune armature d'effort tranchant n'est requise : condition que la contrainte τELU soit au plus égale à L'effort tranchant résistant de calcul VRd,c est donné par : la valeur suivante : VRd ,c  C Rd ,c k (100  l f ck )1 / 3  k1 cp  bw d VRd,c en Newtons.  0.06 f    min  ;1.5Mpa      Avec une valeur minimale de l’effort tranchant résistant de calcul VRd,c : c 28

ELU





b

VRd ,c  (vmin  k1 cp )bw d

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Travail de fin d'études 2006

70

Etat limite ultime du béton de l’âme

1) Contrainte tangente maximale τ ELU -max : Pour les armatures transversales, la contrainte Avec:  fck : résistance caractéristique en compression du béton, mesurée sur conventionnelle de cisaillement τELU  doit vérifier les cylindre à 28 jours. (en MPa) conditions suivantes : 200  avec d en mm k  1  2 .0 a) En cas des armatures d’âme « droites » d (perpendiculaires à la ligne moyenne) avec ou A   l  sl  0.02 sans barres relevées : bw d  En fissuration peu préjudiciable :  Asl :l'aire de la section des armatures tendues .  0.2 f c 28   bw :la plus petite largeur de la section droite dans la zone tendue, en  ELU  min  ;5Mpa  mm  b   d : la hauteur utile de la section .  En fissuration préjudiciable ou très préjudiciable :  σcp = NEd/Ac < 0,2 fcd en MPa  0.15 f c 28    ELU  min  ;4 Mpa  NEd : l'effort normal agissant dans la section droite, dû aux charges b   extérieures appliquées , en newtons (NEd>0 pour la compression). b) En cas des armatures d’âme (cadres et/ou étriers  Ac :l'aire de la section droite du béton, en mm2 uniquement) inclinées à 45o sur la ligne moyenne :  CRd,c = 0,18/γC  0.27 f   k1 = 0,15   min  ;7 Mpa      vmin = 0,34/γC fck1/2 : pour les dalles bénéficiant d'un effet de c) Cas d’armatures d’âme inclinées sur la ligne redistribution transversale sous le cas de chargement considéré moyenne avec un angle α compris entre 45o et 90 o:  v min = 0,35/γC fck1/2 : pour les voiles la valeur limite de τ ELU peut être déterminée  v min = 0,053/γC k3/2 fck1/2 : pour les poutres, et pour les dalles autres par interpolation linéaire, en fonction de que celles ci-dessus. l’angle d’inclinaison, entre les valeurs données en a) et b) . c 28

ELU

b

Etat limite ultime du

N. B : 

Si : τ ELU ≤ τ ELU –max :on peut continuer le calcul

Travail de fin d'études 2006

N. B : a) Dans les zones de l'élément où VEd VRd,c, aucune armature d'effort

71

béton de l’âme



Si : τ ELU > τ ELU -max :on change α, ce qui donne un nouveau τ ELU –max ou on change d et/ou b0 (attention à l’augmentation du poids propre)

tranchant n'est requise par le calcul, mais il convient de prévoir un ferraillage transversal minimal défini ci-après :  Le taux d’armatures d’effort tranchant est donné par l’expression suivante : Asw w  s  bw  sin  où :  ρw : le taux d’armatures d’effort tranchant, il ne devrait pas être inférieur à ρw,min  Asw : l’aire de la section des armatures d’effort tranchant régnant sur la longueur s  s :l'espacement des armatures d’effort tranchant, mesuré le long de l'axe longitudinal de l’élément  bw :la largeur de l’âme de l’élément  α :l’angle entre les armatures d’effort tranchant et l'axe longitudinal. Le taux minimal d’armatures d’effort tranchant est donné par l’expression suivante :   (0.08 f ) / f où : fyk : limite caractéristiques d’élasticité de l’acier de béton armé . 

w , min

Vérification de l’état limite ultime des armatures

ck

yk

b) Dans les régions où VEd > VRd, c, il convient de prévoir des armatures d'effort tranchant en quantité suffisante de telle sorte que VEd VRd (VRd à déterminé dans la suite) 1)Etat limite ultime des armatures d’âme : 1) Éléments pour lesquels des armatures d'effort tranchant sont Le pourcentage des armatures transversales doit vérifier la requises (VEd > VRd, c) : condition suivante : Le calcul des éléments comportant des armatures d'effort tranchant est basé sur un modèle de treillis. (Analogie avec le BAEL)    0.3kf tj  A  t 0  t  s ELU Les symboles apparaissant sur la Figure ci-dessous sont les suivants : b  s 0.9 f  sin   cos   t

Travail de fin d'études 2006

e

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d’âme

Avec :       

At : section d’armature d’âme St : l’espacement de deux cours successifs γs : le coefficient sécurité de l’acier (γs=1.15) fe :la limite d’élasticité de l’acier b : la largeur de la section τELU : la valeur calculé de l’effort tranchant à l’ELU α : l’angle d’inclinaison des armatures d’âme avec l’axe de la poutre  ftj : désigne la résistance à la traction du béton à j jours d’âge (en général, j = 28).  Le coefficient k a pour valeur : k = 1 : en flexion simple ; k = 1 + 3Nu/B.fcj : en flexion composée avec compression, B désignant l’aire de la section droite du béton seul (supposé non fissuré) ; k = 1 – 10Nu/B.fcj : en flexion composée avec traction (ce terme peut prendre une valeur négative, ce qui traduit le fait que la résistance à l’effort tranchant des pièces tendues est médiocre) . k = 0 : en cas de reprises de bétonnage ou lorsque la fissuration est très préjudiciable k = 1 : en cas des surfaces de reprise, si elles sont munies d’indentations atteignant au moins 5mm Etat limite ultime des armatures d’âmes Travail de fin d'études 2006

α :l’angle entre les armatures d'effort tranchant et la fibre moyenne de l’élément (mesuré positivement comme indiqué sur la figure) θ : l’angle entre la bielle de compression et la fibre moyenne de l’élément Ftd : la valeur de calcul de l'effort de traction dans les armatures longitudinales Fcd : la valeur de calcul de l'effort de compression dans le béton dans la direction de l'axe longitudinal de l'élément bw :la plus petite largeur de la section comprise entre la membrure tendue et la membrure comprimée z : le bras de levier des forces internes, pour un élément de hauteur constante correspondant au moment fléchissant dans l'élément considéré. Pour les calculs à l'effort tranchant d'une section de béton armé sans effort normal, on peut normalement adopter la valeur approchée z = 0,9d

Figure 9 : : Modèle de treillis et notations dans le cas d'éléments comportant des armatures d'effort tranchant N. B : Il convient de limiter l'angle θ : En compression, ou flexion simple :1  cot   2.5 En traction : 1   / f  cot   2.5 1   / f Où : σct : la contrainte de traction au centre de gravité (20mm → eH ≤ 4Ø Densité d’armature de peau égale à 3cm2/m Cas dalle → eH ≤ min(25cm ; 2h)

Avec :  As,min : la section minimale d'armatures de béton armé dans la zone tendue  Act : l'aire de la section droite de béton tendu.  σs : la valeur absolue de la contrainte maximale admise dans Avec : l'armature immédiatement après la formation de la fissure. fe : la limite d’élasticité de l’acier  fct,eff : la valeur moyenne de la résistance en traction du béton au η = 1 pour acier lisse moment où les premières fissures sont supposées apparaître η = 1.6 pour HA fct,eff = fctm  k = 1 pour les âmes telles que h 300 mm ou les membrures Cas 3 – fissuration très préjudiciable d'une largeur inférieure à 300 mm  k = 0,65 pour les âmes telles que h 800 mm ou les membrures Pour maîtriser l’ouverture des fissures, il est nécessaire de vérifier d'une largeur supérieure à 800 mm les conditions suivantes :  En traction pure : kc = 1   st  0.8  En flexion simple ou en flexion composée :  Ø ≥ 8mm o Pour des sections rectangulaires et âmes des caissons et  Cas poutre si Ø>20mm → eH ≤ 3Ø des sections en T :  Densité d’armature de peau égale à 5cm2/m   c  Cas dalle → eH ≤ min(20cm ; 1.5h) k c  0.4  1   1 k1 (h / h*) f ct ,eff  

Travail de fin d'études 2006

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Maîtrise de la fissuration (suite)

o Pour des membrures des caissons et des sections en T: Fcr k c  0. 9  0.5 Act f ct ,eff Avec :  σc : contrainte moyenne dans le béton régnant dans la partie de la section considérée : N  c  Ed bh  NEd : effort normal agissant à l'état limite de service dans la partie de la section considérée  h* = h pour h < 1,0 m h* = 1 m pour h 1,0 m 

k1 = 1,5 si NEd est un effort de compression k1 = 2h*/ 3h si NEd est un effort de traction

Fcr : la valeur absolue de l'effort de traction dans la membrure juste avant la fissuration  b : la largeur de la section considérée  h : la hauteur de la section considérée 

3) Maîtrise de la fissuration sans calcul direct :

Travail de fin d'études 2006

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Maîtrise de la fissuration (suite)

a) Diamètre maximal Ø*s des barres : La limitation de l’ouverture des fissures est obtenue en limitant les diamètres des barres aux valeurs suivantes (en fonction de la contrainte de l’acier et la valeur recommandée de l’ouverture de fissuration) : Tableau 18 : Diamètre maximal des barres

Le diamètre maximal des barres peut être modifié comme suit : - En cas de flexion (une partie de la section au moins est comprimée)

s  s * ( f ct ,eff / 2,9)

k c hcr 2( h  d )

- En cas de traction (traction axiale)

Travail de fin d'études 2006

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Maîtrise de la fissuration (suite)

s  s * ( f ct ,eff / 2,9)

hcr 8(h  d )

où :  Øs : le diamètre maximal modifié de la barre  Ø*s : le diamètre maximal de la barre donné dans le Tableau cidessus.  h : la hauteur totale de la section  hcr : la hauteur de la zone tendue juste avant la fissuration  d : hauteur utile au centre de gravité du lit extérieur d'armatures b) Espacement maximal des barres La limitation de l’ouverture des fissures est obtenue en limitant la distance entre les barres par les valeurs suivantes : Tableau 19 : Espacement maximal des barres

Travail de fin d'études 2006

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Maîtrise de la fissuration (suite)

4) Calcul de l'ouverture des fissures La maîtrise de l’ouverture des fissures peut également être faite par le calcul suivant : wk  sr ,max ( sm   cm ) Où : sr,max : l'espacement maximal des fissures donné ci- après. εsm : la déformation moyenne de l'armature de béton armé sous la combinaison de charges considérée εcm : la déformation moyenne du béton entre les fissures Avec : f  s  kt ct ,eff 1   e  p ,eff   p ,eff   sm   cm   0.6 s Es Es Avec :  σs : la contrainte dans les armatures tendues  αe : le rapport Es/Ecm As  p ,eff   Ac ,eff  Ac,eff : l'aire de la section effective de béton autour des armatures tendues  As : l’aire de la section des armatures de béton armé  Es : le module d’élasticité de l’acier  Ecm : module d’élasticité sécant du béton  kt : un facteur dépendant de la durée de la charge kt = 0,6 dans le cas d'un chargement de courte durée kt = 0,4 dans le cas d'un chargement de longue durée 5) L'espacement maximal des fissures : a) Cas d’un espacement des armatures adhérentes  5(c+Ø/2)

Travail de fin d'études 2006

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Maîtrise de la fissuration (suite)

s r , max  k 3 c  k1 k 2 k 4 /  p , eff

Avec : 

Ø : le diamètre des barres. Lorsque plusieurs diamètres de barres sont utilisés dans une même section, il convient de retenir un diamètre équivalent Øeq. Dans le cas d'une section comportant n1 barres de diamètre Ø1 et n2 barres de diamètre Ø2.

n   n22 eq  1 1 n11  n22 2

2

Ou : c : l'enrobage des armatures longitudinales k1 :un coefficient qui tient compte des propriétés d'adhérence des armatures adhérentes : = 0,8 pour les barres à haute adhérence = 1,6 pour les armatures ayant une surface lisse  k2 : un coefficient qui tient compte de la distribution des déformations : = 0,5 en flexion = 1,0 en traction pure  Dans le cas d'une traction excentrée ou pour certaines zones localisées k 2  ( 1   2 ) / 2 1  ε1 est le plus grand et ε2 le plus petit allongement relatif en fibre extrême, la section étant supposée fissurée  k3 = 3,4  k4 = 0,425. b) Cas d’un espacement des armatures adhérentes >5(c+Ø/2)  

sr ,max  1.3( h  x)

Avec :

Travail de fin d'études 2006

97

x Maîtrise de la fissuration (suite)

: Profondeur de l'axe neutre

c) Cas des éléments armés dans deux directions orthogonales L'angle entre les directions des contraintes principales et les directions des armatures est significatif (>15°),l'espacement des fissures sr,max est le suivant : sr , max 

1

cos  sin   sr , max, y sr , max, z

où :  θ :l'angle entre les armatures dans la direction y et la direction de la contrainte principale de traction  sr,max,y sr,max,z sont les espacements des fissures calculés respectivement dans les directions y et z

Travail de fin d'études 2006

98

Limitation des flèches

 Calcul des flèches  Calcul des flèches Les déformations (y) dues à la flexion sont obtenues par une L’état limite de déformation peut être vérifié soit en limitant le rapport double intégration des courbures le long des pièces : portée/hauteur (l/d), soit en comparant une déformation calculée à la valeur limite à considérer . 1) vérification de la flèche par Limitation du rapport 1) Calcul de courbure : portée/hauteur : a) Courbure dans l’état non fissuré :

1 d 2 y M ( x)   r dx 2 Eb I 0

 Eb :Le module de déformation longitudinale du béton  I0 : Le moment d’inertie de la section totale rendue homogène (avec n = Es/Eb =15)  M (x ) : Le moment fléchissant dans la section . b) Courbure dans l’état fissuré :

1 d 2 y d  s   bc    r dx 2 dx d

Avec :  εbc le raccourcissement relatif du béton sur la fibre extrême comprimée : εbc = σbc/Eb  εs l’allongement relatif moyen de l’acier le plus tendu εs = σs/Es  d : la hauteur utile de la section considérée.

Travail de fin d'études 2006

Avec :  l/d : la valeur limite du rapport portée/hauteur  K : un coefficient qui tient compte des différents systèmes structuraux  ρ0 : le pourcentage d'armatures de référence = fck 10-3  ρ : le pourcentage d'armatures de traction nécessaire à miportée (ou sur appui dans le cas des consoles) pour reprendre le moment engendré par les charges de calcul  ρ´ :le pourcentage d'armatures de compression nécessaire à mi-portée (ou sur appui dans le cas des consoles) pour reprendre le moment engendré par les charges de calcul  fck en MPa

99

Limitation des flèches

 Valeurs de base du rapport portée/hauteur utile pour les éléments en béton armé (bâtiment), en l'absence d'effort normal de compression Tableau 20 : : Valeurs de base du rapport portée/hauteur utile

Travail de fin d'études 2006

100

Limitation des flèches

2) Vérification des flèches par le calcul Le calcul des flèches nuisibles consiste à déterminer les courbures (1/r) en différentes sections réparties le long de l'élément, et puis à calculer la flèche par intégration numérique. Travail de fin d'études 2006

101

a) calcul de courbure : Limitation des flèches

   II  (1   ) I

où  α :Le paramètre de déformation considéré, qui peut être par exemple une déformation unitaire, une courbure ou une rotation.  αI , αII : sont les valeurs du paramètre calculées respectivement dans l'état non fissuré et dans l'état entièrement fissuré  ζ : un coefficient de distribution (qui tient compte de la participation du béton tendu dans la section), donné par l'Expression : 2   sr     1     s  Avec :  ξ = 0 pour les sections non fissurées  β : coefficient prenant en compte l'influence de la durée du 2) Flèche admissible : chargement ou de la répétition du chargement sur la déformation unitaire moyenne  La flèche limite d’un élément support reposant sur = 1,0 dans le cas d'un chargement unique de courte durée deux appuis est égale à: = 0,5 dans le cas d'un chargement prolongé ou d'un grand nombre de cycles de chargement  L /500 si L 5m supposant la section fissurée  σsr :la contrainte dans les armatures tendues, calculée en  La flèche calculée d’un élément support en console ne supposant la section fissurée sous les conditions de chargement provoquant la première fissure doit pas dépasser la valeur suivante : b) Les courbures dues au retrait : 1 S  L /250 si L16mm

Longueur d’ ancrage

1) Crochet normal Le BAEL propose d’adopter le crochet normal à 180° (A.6.1,253) de longueur d’encombrement de l’ancrage suivante pour des barres d’aciers ( Fig 19) . la = 0.6 l s si RL la = 0.4 l s si HA

Figure 16 : Définition de l’ancrage normal

Diamètre minimal du mandrin dans le cas des coudes ou boucles 4 7

si

Ф ≤ 16mm alors r ≥ 4Ф+Ф/2 =4.5Ф

si

Ф > 16mm alors r ≥ 7Ф+Ф/2 =7.5Ф

1) Coude normal, crochet normal, boucle normale La clause 8.4.1(1)P de L’EC2 stipule que les barres, doivent être ancrés de manière à assurer une bonne transmission des forces d'adhérence au béton, en évitant toute fissuration longitudinale ainsi que tout éclatement du béton. Un ferraillage transversal est à prévoir si nécessaire. La clause 8.4.1 (2) stipule que,autre le scellement droit, différents modes d'ancrage sont possibles (figure 20)

longeur d’ancrage équivalente pour un crochet normal

longueur d’ancrage équivalence pour une boucle normale.

Les figures ci-dessous illustrent les dispositions à prendre en cas de recouvrements de barres terminées Travail de fin d'études 2006

112

par des crochets normaux :

longueur d’ancrage équivalente pour un coude normal

Figure 17 : Dispositions à prendre en cas de recouvrements de barres terminées par des crochets normaux :

Ancrage des armatures transversales

La longueur de recouvrement est donnée par : 0.6l s ou 0.4l s si c  5  lr= 0.6l s +c ou 0.4l s si c > 5  1) l’épingle, le cadre et l’étrier : On prend comme rayon de courbure le rmin . Si d est la longueur rectiligne au delà de la partie courbe de l’ancrage : d = 5  pour un arc de 180° d = 10  pour un arc de 135° d = 15  pour un arc de 90°

Travail de fin d'études 2006

Figure 18 : Méthodes d'ancrage autres que le scellement droit la clause 8.4.4 (2) de L’EC2 consiste à considérer que l’ancrage de barres tendues peut être assurée moyennant la prise en compte d’une longueur d’ancrage équivalente lb , rqd , pour les formes cidessus : lb ,eq  1lb ,rqd  0.7 à1lb ,rqd

1) l’épingle, le cadre et l’étrier Il convient normalement de réaliser l’ancrage des armatures d’effort tranchant et autres armatures transversales au moyen de coudes et de crochets, en prévoyant une barre à l’intérieur du crochet ou du coude: d = max (5  , 50mm) pour un arc de 135° 113

d = max (10  , 70mm) pour un arc de 90°

Travail de fin d'études 2006

114

 











 

Commentaire : Pour des barres à haute adhérence, La contrainte d’adhérence donnée par l’EC2 tient compte des conditions du bétonnage et du diamètre de la barre, en plus de la résistance de calcul en traction du béton. Alors que le BAEL ne dépend que de la contrainte caractéristique à la traction du béton. Ainsi, pour des barres de diamètre inférieure à 32mm, et une contrainte caractéristique à la compression du béton à 28 jours de 25MPa et on supposant que les conditions de bétonnages ne sont pas assez bonnes, on trouve :  su = 2.84MPa et f bd =1.89MPa. c’est à dire :  su = 1.5 f bd . Dans la détermination de l’ancrage, l’EC2 (contrairement au BAEL) tient compte de plusieurs facteurs d’influence à savoir : la forme des barres, l’enrobage, le confinement par des armatures transversales soudées et non soudées aux armatures principales, et enfin le confinement par compression transversale. Mais aussi tient compte du type d’ancrage (droit ou autres). pour une limite d’élasticité f e  f yk  400 MPa , La longueur de recouvrement des barres comprimées, est égale à 21  pour le BAEL, alors qu’elle est plus grande pour l’EC2 ( 32  ). Quant à la longueur de recouvrement des barres tendues, le BAEL s’avère plus généreux ( 35.2  ) que l’EC2 ( de 15  à 32  ). Dans le cas d’une barre faisant partie d’un paquet de barres, le BAEL fait la distinction entre le paquet de 2 et de 3 barres, en donnant au paquet de 3 une longueur de recouvrement plus importante. Alors que l’EC2 fait calculer un diamètre équivalent  m quelque soit le nombre de barres incluses, et c’est à partir de ce dernier diamètre qu’on calcule la longueur de recouvrement selon les expressions données auparavant. Il y a également une différence majeur, en matière de disposition des armatures de couture ; c’est que le BAEL dispose ces dernières sur toute la longueur de recouvrement alors que l’EC2 propose de les disposer seulement aux deux extrémités du recouvrement comme indiqué à la fig 16 ci -dessus. Pour les barres à haute adhérence, et pour un diamètre   16mm, le rayon minimal de courbure donné par l’EC2 ( 4.5  ) est inférieur à celui donné par le BAEL. Mais dés que le diamètre des armature dépasse les 16mm, la valeur de l’EC2 devient plus grande ( 7.5  ). Le BAEL ne donne la longueur d’ancrage que pour un crochet normal, alors que l’EC2 fait bien intervenir d’autres types d’ancrages. La longueur rectiligne au delà de la partie courbe de l’ancrage des armatures d’effort tranchant est moins importante à l’EC2 qu’au BAEL.

6.3. Protection des armatures

Travail de fin d'études 2006

115

L’enrobage c est la distance de l’axe d’une armature au parement le plus voisin, diminuée du rayon nominal de l’armature. Le calcul des distances libres d s’effectue conventionnellement sur les sections nominales des armatures, c’est à dire sans tenir compte des aspérités d’adhérence pour les barres à haute adhérence comme représenté ci-après :

c

d

 c

Figure 19 : : Dispositions constructives des armatures En effet ; Les structures en béton armé sont conçues et réalisées pour une durée de service qui est définie par le concepteur et maîtrisée par le constructeur. Pendant cette durée, la structure ne doit pas se dégrader à un point tel qu'elle ne remplit plus ses fonctions. La dégradation du béton armé est surtout due à la corrosion des armatures. Les armatures se corrodent lorsqu'elles sont en contact avec une forte quantité d'agents agressifs. C'est pourquoi, la prévention de la corrosion de ces armatures, dans des structures à construire, se fait principalement en maîtrisant l'épaisseur et la qualité du béton d'enrobage. Dans la section 4 ,de l’Eurocode 2, sont représentés les enrobages des armatures, qu’on va essayer de comparer a ceux donnés par le BAEL 91 dans le tableau ci après :

Travail de fin d'études 2006

116

Protection des Armatures

BAEL 91 L’enrobage de toute armature est au moins égal à:

protection des armatures

Travail de fin d'études 2006

4cm : ouvrages à la mer, exposés à des atmosphères agressives 3cm : pour parements non coffrées soumis à des actions agressives 2cm : parements exposés aux intempéries, ou condensations 1cm : parois situées dans des locaux couverts et clos.

EUROCODE 2 La valeur de l’enrobage à utiliser est la plus grande valeur de c min satisfaisant aux exigences à la fois en ce qui concerne l'adhérence et les conditions d'environnement. c min  maxc min,b ; c min, dur  c dur ,  c dur , st  c dur , add ;10

avec : c min;b

enrobage minimal vis-à-vis des exigences l’enrobage minimal vis-à-vis des conditions d'environnement, voir tableau C (Annexe 4) c min,dur enrobage minimal vis-à-vis des conditions d’environnement, voir tableau E (Annexe 4) c dur , marge de sécurité c dur , st réduction de l'enrobage minimal dans le cas d'acier inoxydable c dur , add réduction de l'enrobage minimal dans le cas de protection supplémentaire. Détermination de c min;b : Pour assurer à la fois une transmission sans risque des forces d'adhérence et un béton suffisamment compact, il convient que l'enrobage minimal ne soit pas inférieur à c min,b donné dans le Tableau C (Annexe 4) Détermination de c min, dur : c min,dur est L’enrobage minimale des armatures de béton armé dans un béton de masse volumique normale, qui tient compte des classes d’exposition et des classes structurales.

117

Les classes structurales et les valeurs de c min,dur à utiliser peuvent être fournies par l’annexe nationale. La classe structurale recommandée ( pour une durée d’utilisation de projet de 50 ans ) est la classe S 4 , pour les résistances indicatives du béton données à l’annexe E ; le tableau D donne les modifications de classe structurales recommandées. La classe structurale minimale recommandée est la classe S1 .les valeurs recommandées de c min,dur sont données dans le tableau E. Détermination de c dur , , cdur , st et cdur , st : Les valeurs de ces marges à utiliser dans un pays donné peut être donné par son annexe national. Les valeurs recommandées sont : c dur , = cdur , st = cdur , st = 0

protection des armatures

possibilité de bétonnage correct

possibilité de bétonnage correct

Travail de fin d'études 2006

1) Enrobage des armatures Doit être au moins égale à : . son diamètre si elle est isolée . largeur du paquet dont elle fait partie contraire

1) L’enrobage nominale L’enrobage nominal doit être spécifié sur les plans. Il est définit comme l’enrobage minimal plus une marge de calcul dans le cas pour tolérances d’exécution cdev ( 4.4.1.3 de l’EN2) :

1) Distance verticale entre deux armatures . Leur diamètre si elle sont isolées. . la largeur des paquet dont elles font partie

cnom  cmin  cdev

1) Distance verticale et horizontale entre deux armatures Il convient d'adopter une distance libre (horizontalement et

118

. la dimension cg du plus grand granulat 2) Distance horizontale entre deux armatures Dans le cas des poutres et si la distance libre d t entre armatures transversales est inférieure au double de la distance libre d des armatures longitudinales, on doit effectuer une vérification du rayon moyen rg des mailles formées par ces armatures.

verticalement) entre barres parallèles ou entre lits horizontaux de barres parallèles supérieure ou égale à la plus grande des valeurs suivantes : k1 fois le diamètre de la barre, (dg + k2) mm ou 20 mm (où dg est la dimension du plus gros granulat). Avec : k1 = 1 et k2 = 5mm

cg . rg  si granulats roulés 1.4 cg . rg  si granulats concassés. 1.2

d .d t 2( d  d t ) dans les autres cas, la valeur de la distance libre d entre armatures doit être au moins égale à : . leur diamètre si elles sont isolée. . la largeur des paquets dont elles font partie dans le cas contraire. . 1.5 cg.

avec : rg 

Travail de fin d'études 2006

119



Commentaire :

Si, selon l’usage, les enrobages des armatures dépendent des conditions d’adhérence et d’environnement, ces dernières, en revanche, relèvent d’un principe nouveau : tenir compte de « la durée d’utilisation du projet ». telle que définie dans l’Eurocode0, et ensuite de l’agressivité du milieu, considérée conformément aux conditions d’environnement établies par « les classes d’exposition ». Pour la correspondance de ces classes d’exposition avec les divers ouvrages de bâtiments et de génie civil relevant de l’Eurocode 2, on se reportera à l’annexe nationale de celui-ci. A partir de la durée d’utilisation du projet et de la classe d’environnement, divers tableaux faisant intervenir les qualité de béton et d’exécution ainsi que le type de structure permettent de fixer l’enrobage nominale c min . Sur la base de cet enrobage minimal, un enrobage nominal c nom est défini : c’est celui qui figure sur le plan et qui tient compte principalement de la tolérance d’exécution c dev .

Travail de fin d'études 2006

120

Chapitre III : Etude technique d’un bâtiment R+2 suivant l’Eurocode2 et le BAEL91

Travail de fin d'études 2006

121

I. Description technique Le bâtiment, dont les plans de coffrage sont donnés dans l’annexe, est une structure porteuse R+2, avec un rez-de-chaussée et une soupente destinés au commercial de surface couverte de 80m2 et de hauteur sous plafond totale 5m . Le 1 er et le 2ème étage sont à usage d’habitation avec une surface couverte de 86.4m 2 et de hauteur sous plafond 2.8m .Ce bâtiment contient une terrasse accessible.

1. Méthode utilisée dans le calcul 1.1. Règles B.A.E.L Ce sont des règles de calcul Françaises qui sont applicables aux ouvrages et constructions en béton armé. Elles reposent sur le principe des états limites.

1.2. l’Eurocode2 (EN 1992-1-1) Ce sont des normes européennes de conception et de calcul des bâtiments et des ouvrages de génie civil en béton non armé, en béton armé ou en béton précontraint, elles reposent également sur le principe des états limites.

1.3. Les états limites Ce sont les états au-delà desquels une structure ou une partie de cette structure cesserait de remplir les fonctions, ou ne satisferait plus aux conditions pour lesquelles elle a été conçue. Ils sont classés en deux catégories: 

Etat limite ultime : correspondant à la ruine de l'ouvrage ou de l'un de ses éléments par perte d'équilibre statique, rupture, flambement, etc.



Etat limite de service : (ou d'utilisation) au-delà desquels ne sont plus satisfaites les conditions normales d'exploitation et de durabilité (ouverture excessive des fissures, déformations excessives des éléments porteurs, vibrations inconfortables pour les usagers, etc.).

1.4. Actions et sollicitations

Travail de fin d'études 2006

122

Les actions sont les forces et les couples qui sont appliqués à une construction soit directement (charges permanentes, d'exploitation, climatiques, etc.), soit indirectement et résultant alors de déformations imposées (retrait, fluage, variations de température, tassement, etc.) Les règles B.A.E.L distinguent: 

Les actions permanentes: d'intensité constante ou très peu variable.



Les actions variables: dont l'intensité varie fréquemment et de façon importante.



Les actions accidentelles: provenant de phénomène rares (séismes, chocs.).

Les sollicitations sont les efforts (effort normal, effort tranchant) et les moments (moment de flexion, moment de torsion) calculés à partir des actions par des méthodes appropriées (procédés de la R.D.M, ou méthode des éléments finis...).

1.5. Combinaisons d'actions Sachant qu'une construction peut être soumise à un grand nombre de combinaisons d'actions complexes et variées, il faut donc choisir, en s'efforçant de couvrir avec une forte probabilité, les circonstances les plus défavorables susceptibles de se présenter au cours de la vie de la construction.

Travail de fin d'études 2006

123

II. Calcul de la structure 1. Pré dimensionnement des éléments de la structures Avant d’effectuer la descente de charges, il faut pouvoir estimer le poids propre de la structure, d’où la nécessité d’un pré dimensionnement des éléments constitutifs du plancher.

1.1. Poutres Voici la formule générale du pré dimensionnement des poutres : Travée continue :

 = ht / l

varie de 1/12 à1/16

L/16 : pour les travées moins sollicités (poutres de rives) L/12 : pour les travées plus sollicités(poutres porteuses) L

: portée de la poutre,

1.2. Dalles pleines sur quatre appuis  = ht

/ l

varie de 1/30 à 1/45

1.3. Dalle à corps creux en béton armé  = ht

/ l

#

1/22.5

Nous récapitulons les dimensions des poutres et des dalles dans le tableau suivant : Poutres

Dalles

Axe (A ,D ,E) (B,C) (2,3) (1,4) Dalle pleine Dalle à corps creux

Travail de fin d'études 2006

Rez-de-chaussée 20×25 20 40 20 30 20 35 12cm

1er & 2ème étage 20 30 20 40 20 30 20 35 12cm 16+4

124

2. Evaluation des charges 2.1. Charges sollicitant plancher terrasse 

Charges permanentes : 

Poids propre du plancher (164)

= 265Kg/m2



Etanchéité - Forme de pente : 0.08 x 2400 - Isolation : - Complexe étanche : - protection : 0.04 x 2400

= 192Kg/m2 = 2Kg/m2 = 8Kg/m2 = 96Kg/m2

enduits sous plafond : 20Kg/m x 1.5 cm

= 30Kg/m2



 = 328Kg/m2 

Charges d’exploitation :

QT = 175Kg/m2

2.2. Charges sollicitant plancher habitation 

Charges permanentes : Poids propre du plancher (20+5)  Poids propre du plancher (12+4)

= 325Kg/m2 = 240Kg/m2

 Revêtement du sol : 0.07m x 2200  Faux plafond et enduit :  cloisons distribuées :

= 140Kg/m2 = 30Kg/m2 = 75 Kg/m2



 = 245Kg/m2 

Charges d’exploitation :

Q H = 175Kg/m2

2.3. Charges sollicitant plancher RDCH+ soupente 

Charges permanentes :  

Dalle pleine : 0.12 x 2500 Revêtement du sol : 0.07m x 2200

= 300 Kg/m2 = 140 Kg/m2

 = 440 Kg/m2 

Charges d’exploitation : :

Q R  S = 500Kg/m2

3. Descente de charge: poteau B3

Travail de fin d'études 2006

125

On évalue les charges permanentes et d’exploitation pour un poteau dans les différents étages. En admettant la discontinuité des travées, les charges doivent être majorées de :  10% pour les poteaux intermédiaires voisins des poteaux de rive dans le cas des bâtiments comportant au moins trois travées.  15% pour les poteaux courants de la file centrale d’un bâtiment à 2 travées.

Après tout calcul fait, on trouve :

B3 1 2 3 4 5

Terrasse 2ème 1er Soupente RDCH

Charges permanentes propres Cumulées 10.79 10.79 9.57 20.36 9.29 29.65 7.79 37.44 7.79 45.23

Surcharges propres 2.98 2.98 2.85 8.15 8.15

coefficient 1 1 0.95 1 1

dimensions cumul 2.98 5.96 8.52 16.67 24.82

25  25 25  25 25  25 30  30 30  30

Donc : RDCH/ soupente :

Nu = 1.35  45.23 + 1.5 = 98.29

2 poteau carré donc : a 

a= 1er/ 2ème étage :

avec

98.29  10 2 = 0.256 15

 b = 0.6 f c 28 =15MPa.

donc on prend un poteau : 30

Nu = 1.35  29.65 + 1.5 = 52.81

2 poteau carré donc : a 

a=

Nu b

Nu b

avec

52.81  10 2 = 0.188 15

 24.82

 30.

 8.52

 b = 0.6 f c 28 =15MPa.

donc on prend un poteau : 25

 25.

4. Calcul du poteau B3 suivant l’eurocode2

Travail de fin d'études 2006

126

4.1.

Description du poteau

Le poteau P3 a une section transversale carrée de 0.3m  0.3m et est situé au rez-de-chaussée du bâtiment, dans le plan de flambement le plus défavorable, ce poteau est relié en tête et en pied à deux dalles pleines de 12cm d’épaisseur, ces dalles, de 6.4m de portée, ne peuvent pas se déplacer dans le plan horizontal. Le poteau est considéré à nœuds non déplaçables. Sa hauteur entre axes est : 3.00m.

4.2.

Données du calcul

4.2.1.

Données géométriques

Les données de coffrage sont donc les suivantes :  Largeur du poteau : b = 0.30m.  Epaisseur du poteau : e = 0.30m  Hauteur du poteau entre axes des nœuds de jonction , h = 3.00m 4.2.2.

Données matériaux

Ce poteau est réalisé en béton de classe C25 dont les caractéristiques sont les suivants :    

Résistance caractéristique à la compression, f ck = 25MPa. f 25 f cd  ck   16.7 MPa  c 1.5 Module d’élasticité sécant, (tableau 3.1 de l’EC2-1-1) E cm = 31 000 MPa. Les armatures de béton armé sont de classe B, les caractéristiques de ces barres sont données dans le tableau C1 de l’EC2-1-1 :  Limite d’élasticité caractéristique, f yk = 400 MPa.  Module d’élasticité, E s = 200 GPa. 4.2.3.

Effets des actions

le calcul d’ensemble du bâtiment fournit les effets des actions suivants : 

Effort normal de calcul : N ED = 0.98 MN.



Effort normal issu de la combinaison quasi-permanent : N Eqp = 45.23+0.6  24.82 = 0.60 MN.

4.3 dispositions constructives au poteau EC2

Travail de fin d'études 2006

BAEL

127

Dimensionnement Minimum b,h -Coulé en place - Préfabriqué à plat Aciers longitudinaux - diamètre  L 

≥140mm ≥140mm

-section minimale As  ( N Ed =effort de calcul en ELU)

0.10 N Ed f yd

4 cm 2 par mètre de parement

0.002 Ac

0.002 Ac

0.04 Ac en zone courante et 0.08 Ac en zone de recouvrement

0.05 Ac

dans chaque angle si  ≥20mm

dans chaque angle si  ≥20mm

4

6

L et 6mm 4

L 3

20  L min la plus petite dimension du poteau 400mm

15  L min la plus petite dimension du poteau+100mm 400mm

f yd 

f yk

s

; s

8mm

 1.15

( Ac =aire brute de béton) - section maximale ≤

- nombre minimal de barres - en section circulaire Aciers transversaux - diamètre  t  - espacement s t ≤

- espacement en zone particulière : s t ≤

zone de recouvrement des 0.6 fois l’espacement limite armatures ci-dessus, ne s’appliquant qu’aux poteaux longitudinale :3cadres de portiques de contreventement : minimum. *en dessous et au dessus d’une poutre ou dalle, sur une hauteur égale à la plus grande dimension transversale du poteau *près des jonctions de recouvrement si  L  14mm

4.4 Calcul des armatures le rayon de giration :

i=

h 0 .3 = = 0.0866m 12 12

Travail de fin d'études 2006

128

l’élancement :



Lf i



3.00  34.6 ( Lf = l car le poteau est bi-articulé) 0.0866

EC2 As minimale

BAEL91

a) 0.002 Ac = 0.002  0.3  10 =1.8 cm 2 2

b)

4

0.10 N Ed = 2.82 cm 2 f yd

donc As = 3 HA 8 par face = 3.01 2.82 cm 2 élancement

 =34.64 < 70  donc on calcule N ud 0.85 f ck bh As f yk  =1.048MN c s

N ud 

a) 0.002 Ac = =1.8 cm 2

b)8 cm 2  (2  0.3) = 4.8 cm 2 donc As = 2 HA 12 & 1HA8 par face = 4.52+1.00=5.52 4.8 cm 2

 =34.64 < 70 donc on calcule N u ,lim 0.85  2 = 0.7108 1  0.2 2 35

N Ed  0.98  N ud

N u ,lim   

ok

Br f c 28 A f  s e 0.9 b s

= 1.367 on a donc N Ed  0.98  N u ,lim ok

Vérification du poteau B3 Dimensionnement Minimum b,h -Coulé en place préfabriqué à plat Aciers longitudinaux - diamètre  L 

b et h > 140mm

88 4(barres dans les angles)

- nombre minimal de barres - longueur de recouvrement

l 0  0.7 

 sd = 26cm 4 f bd

avec f bd  2.251 2 f ctd =2.25  1.2  0.7 =1.9

l r  0.6 

f e = 17cm 4 su

avec : 2  su  0.6 s f tj  0.6  1.5 2  2.1 = 2.84Mpa.

Travail de fin d'études 2006

129

& f ctd 

f ctk , 0.05

Aciers transversaux - diamètre  t 

b

= 1.2.

6

- espacement en zone courante s t = - espacement en zone particulière : st = ferraillage

8  2mm 4

s t  Min[20  0.008;0.3;0.4]

= 16cm

6

8  3mm 3

s t  Min[15  0.008;0.4;0.4]

= 12cm zone de recouvrement : 3 cadres sur 17cm.

6 HA 8  3.26 21 cadres HA6  1.30 21 épingles HA6  0.41

[4HA12 & 2HA 8]  3.17 28 cadres HA6  1.30 28 épingles HA6  0.41

7.7 kg 8kg 15.7k

13.8kg 10.6kg 24.4kg

Quantités d’acier -longitudinale -transversal -totales

4.5 Longueur de flombement L’Eurocode 2-1-1 rappelle en 5.8.3.2 les différentes valeurs théoriques de la longueur de flambement ( appelée longueur efficace) en fonction des conditions d’appui:

Travail de fin d'études 2006

130

Figure 20 : Exemples de modes de flambement et longueurs efficaces correspondantes dans le cas d’éléments isolés Quant au BAEL, il prescrit dans la clause B.8. 3, 3 que la longueur l est prise égale à :  0.7 l 0 si le poteau est à ses extrémités :  soit encastré dans un massif de fondation ;  soit assemblé à des poutres de plancher ayant au moins la même raideur que lui dans le sens considéré et le traversant de part en part.  l0 dans tous les autres cas. f

Dans notre cas, l f (EC2)= l f (BAEL) = 0.7 l0 . 4.5.1. Longueur de flambement : Méthode pratique de calcul selon l’EC2 4.2.3.1. Coefficient k La longueur de flambement d’un élément de structure dépend des conditions de liaison de cet élément avec le reste de la structure. Ces conditions correspondent rarement aux cas théoriques de la résistance des matériaux ; l’EC2-1-1 fournit les expressions permettant de calculer la longueur de flambement en fonction des raideurs des liaisons aux extrémités du poteau. La raideur d’une liaison est caractérisée par un coefficient k qui varie entre 0, dans le cas d’un encastrement parfait, à l’infini, dans le cas d’une articulation avec un minimum égal à K min  0.10 . La formulation du coefficient k est donné par la clause 5.8.3.2 de l’EC2 :

Travail de fin d'études 2006

131

k=

 M 

éléments

 l

 EI

poteau ( x )

en appliquant un couple M au nœud de liaison, ce nœud tourne d’une valeur  ce qui permet de calculer la raideur de la liaison. En supposant que la liaison se fait avec une poutre isostatique on obtient :

on obtient : M 

3EI  l

En supposant que la liaison se fait avec une poutre encastrée à son extrémité

on obtient : M 

4 EI  l

si le poteau est lié à plusieurs éléments,

l’équilibre du nœud permet d’établir la relation recherchée : M = M1  M 2

 M 

On obtient alors :

4.5.2

éléments

 ( k i Ei I i / li ) 1

Longueur de flambement- structure contreventée

La longueur de flambement d’un poteau dont le nœud supérieur ne peux pas se déplacer par rapport au nœud inférieur est donné par la relation suivante ou k1 et k 2 représentent les raideurs des liaisons aux extrémités du poteau :

Travail de fin d'études 2006

132

   k1 k2   1   l 0  0.5l  1  0.45  k1   0.45  k 2   on vérifie que les valeurs extrêmes de k1 et de k 2 redonnant les résultats connus : k1 / k 2 0





0 0.5 l 0.7 l

0.7 l l

4.5.3 Longueur de flambement- structure non contreventé La longueur de flambement d’un poteau dont le nœud supérieur ne peux pas se déplacer par rapport au nœud inférieur est donné par la relation suivante ou k1 et k 2 représentent les raideurs des liaisons aux extrémités hautes et basses :     k1 k2 k  k    1   ;  1  1   1  2  ] l 0  l  max[  1  0.45  k1   0.45  k 2   1  k1   1  k2   on vérifie que les valeurs extrêmes de k1 et de k 2 redonnant les résultats connus : k1 / k 2 0





0 l 2l

2l -

4.5.4 Application au poteau Raideurs des liaisons aux extrémités du poteau On considère les éléments qui s’opposent à la rotation du poteau sont deux dalle de 3.35m de largeur et de 0.12m d’épaisseur et on suppose pour simplifier que ces dalles sont isostatiques de portée 6.4m. Par application du commentaire (4) de la clause 5.8.3.2, la raideur du poteau adjacent s’ajoute à la raideur propre du poteau considéré. Le commentaire (5) de la clause 5.8.3.2 recommande de prendre en compte l’influence de la fissuration sur les éléments s’opposant à la rotation du poteau, l’inertie fissurée des poutres est prise égale à 1/1.5 fois l’inertie brute. Les coefficients k1 et k 2 sont égaux à : 3.35  0.12 3 





1



 k1 = k 2 =  2  3  12  6.4  1.5 

 0.3 4   = 1.4925   2  12  3  

En reportant ces valeur dans l’expression ci dessus on obtient : l 0 = 2.64m soit 0.88l.

4.6 Imperfections géométriques Les imperfections géométriques sont définies dans la clause 5.2 de l’EC2-1-1. A partir d’une valeur de base de la rotation  0  1

 200 et d’un facteur de réduction h lié à la hauteur, on

obtient la valeur ei caractérisant la flèche à mi-hauteur du poteau liée aux imperfections géométriques :

Travail de fin d'études 2006

133

 i   0 . h . m = 1

h = 2

ei 

 i .l 0

200

l

 2  0.67 3

2

 0.0045

 0.67  0.0034

M 0 Ed  N Ed .ei =0.0044MN.m

Le moment M 0 Ed est appelée moment du premier ordre. 4.7 Coefficient de fluage effectif Le coefficient de fluage est déterminé par la construction graphique définie dans la clause 3.1.4 de l’EC2 en fonction :  De l’age du béton au moment du chargement(on adopte une valeur moyenne de t 0 = 50j) 

Du rayon moyen du poteau h0 = 0.15m ( 2 Ac



périmètre) De la classe du béton ( C25)

u

ou Ac est l’aire du poteau et u son

la valeur obtenue pour le coefficient de fluage est :   , t 0   2.4

t 0  50 j

150mm   , t 0   2.4 Seule la partie quasi-permanente des charges est susceptible de générer du fluage, le coefficient de fluage effectif est donné dans la clause 5.8.4 :  eff    , t 0  

M 0 Eqp M 0 Ed

soit pour l’ensemble choisi, en notant qu’il s’agit des moments de premier

ordre tenant compte des imperfections géométriques :

Travail de fin d'études 2006

134

M 0 Ed  0.0044 MNm M 0 Eqp  N Eqp .ei = 0.0027 MNm

enfin :  eff  2.4 

0.0027 = 1.47 0.0044

remarque : le calcul du fluage est donné par le BPEL. 4.8 critères pour effets du second ordre Selon la clause 5.8.3 .1 les effets du second ordre peuvent être négligés si l’élancement du poteau est inférieur à un élancement limite dont la valeur est donnée par l’expression suivante:    lim  20 A.B.C /(  )

avec :  élancement du poteau A=

1

(1  0.2 eff )

B = 1  2 C = 1.7 - rm  ef Coefficient de fluage effectif = 1.47 

As f yd Ac f cd

A s aire totale des aciers passifs N Ed  Ac f cd M 01 rm= M 02 M 01 , M 02 moments du premier ordre aux extrémités

Dans le cas présent on obtient les valeurs suivantes :   2.64  12 / 0.30  30.48

 ef = 1.47

Travail de fin d'études 2006

135



400 1.15  0.07 25 0.3 2  1.5

3.01  10  4 

  0.65 rm = 1

A = 0.77 B = 1.07 C = 0.7 Et lim = 14.31 Donc les effets du 2ème ordre ne peuvent pas être négligés. Remarque : pour le BAEL, on trouve λ = 24,6 < 70. c’est à dire que les effets du second ordre peuvent être négligés. 4.9 Méthodes d’analyse Trois méthodes d’analyse des effets du second ordre sont présentées en 5.8.5 de l’EC2-1-1 :   

une méthode générale basée sur une analyse non linéaire au second ordre ; une analyse au second ordre basée sur une évaluation de la raideur du poteau ; une méthode basée sur une évaluation de la courbure.

Nous allons nous contenter de calculer le moment du second ordre par les deux dernières méthodes. 4.9.2 Méthode basée sur une rigidité nominale 4.9.2.1

Principe de la méthode

La méthode d’analyse au second ordre basée sur une rigidité nominale est présentée dans la clause 5.8.7. Cette méthode consiste à :  déterminer la rigidité nominale du poteau en flexion en tenant compte des effets de la fissurations, des non –linéarités des matériaux et du fluage.  en déduire une force critique de flambement.  utiliser le facteur d’amplification pour déterminer le moment total(premier ordre + second ordre). 4.9.2.2

Rigidité nominale

La rigidité nominale est estimée par l’expression suivante : EI  K c E cd I c  K s E s I s

Travail de fin d'études 2006

136

le premier terme correspond à la raideur du béton et le second à la contribution des aciers : K c  k1 k 2 /(1   eff ) = 1.12  0.12 /(1+1.47) = 0.054

ce coefficient prend en compte le fluage, la fissuration et la résistance du béton : N Ed  f ck 25 k2    0.2 = 1.12 ; k1   Ac f cd 170 20 20 0.98 30.48   0.12 0.3  16.67 170 E 33000  cm   27500 MPa  cE 1.2

k2  E cd

Ic 

2

0.3 4  0.000675m 4 12

; I s = 0.00002 m 4

EI  5.00 MN.m

Moment total : La force critique de flambement correspondant à la raideur nominale précédemment calculée a pour valeur : NB 

 2 EI  2  5.00   7.07 MN 2 2.64 2 lf 

 





  0.0044   M Ed  M 0 Ed  1  NB     1    N Ed  





 

 1.23  1   0.0053 7.07  1  0.98

2 2   1.23 c0 8

le moment total donné par cette méthode a pour valeur : M Ed = 0.0053 MN m.

4.9.3 4.9.3.1

Evaluation de la courbure du poteau : Principe de la méthode

La méthode basée sur une courbure nominale est présentée dans la clause 5.8.8, cette méthode consiste à estimer une courbure maximale et à en déduire un moment nominal du second ordre. La courbure maximale est obtenue par une interpolation entre deux situations : - courbure nulle, ou la section équilibre un effort normal maximal ;

Travail de fin d'études 2006

137

- courbure de référence (1 / r0 ) ou la section équilibre le moment résistant maximal. La figure suivante représente la courbure (1 / r0 ) 4.9.3.2

Courbure maximale

La courbure maximale est donnée par les expressions suivantes : 1 1  K r K r r0

K r   nu  n  /(nu  nbal )  0.63 N Ed n  0.65 ; nu  1    1.07 ; nbal  0.4 Ac f cd f  K  1   eff  1.65 ;   0.35  ck   0.27 200 150  yd 1 0.00174    0.0109 ; r0

 yd

0.45d 0.45  0.354 f yd 347.8    1.74 0 00 Es 200000

donc

;

d

; 

h  i s  0.354 ; i s  2

As f yd Ac f cd

 0.07

I  0.204 ; A

1  0.63  1.65  0.0109  0.0115 r

Moment de second ordre : Le moment de second ordre est déduit directement de la courbure à l’aide de la relation flèche déplacement présentée plus haut : M 2  N Ed .e2  0.98. 0.0081 = 0.008 MN.m 2

1 l0 2.64 2 e2    0.0115  2  0.0081 r c  Remarque : les deux méthodes donnent le résultat rapidement, mais la dernière méthode à l’avantage d’évaluer la courbure maximale.

Travail de fin d'études 2006

138

5. Poutre continue en béton armé Deux analyses sont proposées, une analyse élastique linéaire menée suivant l’EN 2-1-1, en se servant pour cela des résultats données dans les formulaires de la résistance des matériaux . L’autre analyse emploie une méthode courante en France dite « Méthode forfaitaire ». Celle-ci est explicitée dans les règles BAEL .

5.1. Calcul d’une poutre continue suivant l’Eurocode 2 (l’EN 1992-1-1) 5.1.1.

Structure traitée

Dans cette étude, nous avons choisi d’effectuer le calcul du ferraillage d’une poutre continue à deux travées située au plancher haut rez-de-chaussée ( poutre d’axe D : voir plans de coffrage) selon les règles dictées dans le nouveau règlement européen l’Eurocode 2 ( EN 1992-1-1 )

Section poutre : 20×25 cm2 Section appuis ( A1, A2, A3 ) :25×25 cm2 5.1.2.

Matériaux 5.1.2.1.

Béton

En admettant la distribution simplifiée « rectangle plafonné » dans la zone du béton comprimé de la section droite fléchie λ = 0.8 et η = 1 pour fck ≤ 50MPa

Figure 21 : Diagramme contrainte - déformation rectangulaire du béton

Travail de fin d'études 2006

139

5.1.2.2.

Armatures

Se reporter au tableau C1 de l’annexe C de l’EC2-1-1, l’acier du type usuel en France est de classe B .

Figure 22 : Diagramme contraintes – déformation de l’acier de béton armé Le comportement mécanique de l’acier de classe B est résumé dans le tableau suivant : Tableau 22 : :Caractéristiques mécaniques de l’acier de classe B Limite caractéristique d’élasticité fyk (MPa) Coefficient partiel relatif de l’acier γs Contrainte de traction de calcul fyd = fyk / γs (MPa) Module d'élasticité Es (MPa) fyd / Es (%) k = (ft / fy)k Valeur caractéristique de la déformation relative sous charge maximale εuk (%) εud = 0,9 εuk (%)

400 1.15 47.83 200000 0.174 ≥ 1.08 ≥5 4.5

N .B : Pour la suite du calcul, nous retenons le diagramme élasto-plastique croissant .

Travail de fin d'études 2006

140

5.1.3.

Densité de charge appliquée à la poutre

L’ouvrage est essentiellement soumis à des charges uniformément réparties . La répartition sur les poutres se fait suivant les errements habituels .





Charges permanentes :  Poids propre de la dalle à corps creux (16+4) = 265 Kg/m2  Revêtement = 140 Kg/m2  Cloison = 75 Kg/m2  Enduit = 30 Kg/m2 Charge variable :  Charge d’exploitation QB = 175 Kg/m2

D’ou les chargements linéaires suivants : G(Total) = ( 0.24+0.14+0.075+0.03 )×(2.9/2 + 0.2) + 0.2×2.5×(0 .25 – 0.16) = 0.85 T/ml QB = 0.175×( 2.9/2 +2 ) = 0.29 T/ml 5.1.4.

Calcul et comparaison des sollicitations aux points critiques 5.1.4.1.

Portée utile

En appliquant l’EN 1992-1-1, il convient de calculer la portée effective (utile) l eff d’une poutre de la manière suivante : l eff  l n  a1  a 2 Où l n est la distance entre nus des appuis Les valeurs de a1 et a 2 à chaque extrémité de la travée peuvent être déterminées à partir des valeurs appropriés ai , ou t est la profondeur d’appui : ai = min{h /2 ; t /2}

Travail de fin d'études 2006

141

Appliquons donc ses relations sur notre poutre :

a i = min{0.25/2 ; 0.25/2}= 0.125m l eff 1  ln 1  a1  a 2 = 3.525 + 0.125 + 0.125 = 3.775m l eff 2  ln 2  a 2  a 3 = 3.725

+ 0.125 + 0.125 = 3.975m

5.1.4.2.

Combinaison

d’actions

fondamentales

(ELU) : L’examen se limite ici aux états limites ultimes, la combinaison fondamentale est la suivante :

 S d   1.35 Gk   1.5 Qk  A.N Pu = S d = 1.35×0.85 + 1.5×0.29 = 1.58 T/ml

5.1.4.3.

Résultats de calcul des sollicitations aux points critiques

L’analyse élastique linéaire menée suivant l’EN2 -1-1 utilise les résultats de la résistance des matériaux . Le tableau ci-dessous donne les valeurs des différentes sollicitations calculés à partir des actions par des méthodes appropriées (procédés de la R.D.M ) Sollicitations Moment maximal en travée M ud (T .m) Moment minimal sur appuis M ud (T .m) Effort tranchant sur appuis (T)

Travail de fin d'études 2006

A1 A2

Méthode élastique EC2-1-1 1.53

A2 A3

1.78

A1

-0.23

A2

-2.97

A3

-0.28

V A1

2.2

V A2 g

-3.77

V A2d

3.2

V A3

-2.37

142

5.1.5.

Détermination des armatures de flexion 5.1.5.1.



Largeur de la table associée à la nervure

Définition de l0 pour le calcul de la largeur participante de la table de compression :

Avec : l 01 = 0.85 l1 = 0.85×3.78 = 3.12m l 02 = 0.85 l 2 = 0.85×3.98 = 3.38m l 0 = 0.15(l1 + l2) = 0.15(3.78+3.98) = 1.16m

Il s’agit par la suite de déterminer la largeur effective de la table de compression beff pour une section en T selon l’EC2-1-1 quelque soit l’état limite considéré . La largeur participante beff d’une poutre en T peut être prise égale à :  

beff   beff ,i  bw  b

 beff ,i  0.2bi  0.1l0  0.2l0  beff ,i  bi 

Pour les notations : voir figure ci-dessous :

Travail de fin d'études 2006

143

Figure 23 : Paramètres déterminants la largeur participante Appliquons ces formules pour calculer les largeurs participantes des deux travées de la poutre. Travée A1 A2 ( l 01 = 3.12m ) : La largeur de la table associée à la nervure A1 A2 est ainsi : 

bi = ( b- bw ) /2 = 1.45m beff ,i bi l 01

= 0.2×

beff

+ 0.1×

= 0.611m VRd,c , toute la travéeA2A3 a besoin des armatures d’effort tranchant . La résistance des bielles inclinées est donnée par l’équation : 

VRd ,max   cwbw z 1 f cd /  cot   tan  

Avec :

Travail de fin d'études 2006

151

  

D’ou 

αcw = 1 (béton non précontraint) θ = 45° υ1 = 0.6 ( fck =25MPa < 60MPa) VRd , max  0.2 MN elle est donc suffisante sur toute la travée A2A3

c) L’armature d’âme requise près de l’appui A2 : Cette armature est déterminée avec l’effort tranchant : VEd = 3.77T A VRd ,s  VEd  sw z  f ywd cot  s Avec : cot   cot(45)  1 f ywd  f yd  347.83MPa

Asw  5.47cm 2 / m s

d’ou :

d) L’armature d’âme requise près de l’appui A3 : L’armature d’âme près de l’appui A3 est déterminée par le pourcentage minimal d’armature de l’effort tranchant : Asw  2cm 2 / m s N. B : Pour homogénéiser la section d’armature dans les deux travées ,nous prenons la section d’armature suivante : Asw  5.47cm 2 / m 2HA6 (s = 10cm ) s

5.2.

Calcul d’une poutre continue suivant la méthode BAEL

5.2.1. Dimensionnement Les poutres principales sont par définition les poutres sur lesquelles reposent les poutrelles de la dalle à hourdis (corps creux) et les poutres parallèles à la disposition de ces dernières sont dites poutres secondaires. On calcule le ferraillage, en tenant compte des dimensions minimales de la section de la poutre, la hauteur h est donnée par les relations suivantes : o Poutres principales : h = L /12

Travail de fin d'études 2006

152

o Poutres de rives :

h = L /16

Les largeurs b des poutres sont prises égales à 0.2m. Les hauteurs h et les largeurs de l’ensemble des poutres de la structure sont déjà données dans la partie du pré dimensionnement des éléments porteurs . 5.2.2. Ferraillage des poutres 5.2.2.1 Méthodologie Pour calculer le ferraillage d’une poutre (travée et appui) , on peut utiliser trois méthodes selon les conditions suivantes :

1  Condition de ch arg e :  QB  500 kg / m²   QB  2G avec QB ch arg e d ' exp loitation G ch arg e permanente 2  Inértie cons tan te 3  0.8 

li li 1

 1.25 avec li longueur de travée i

4  Fissuration peu préjudiciable N. B : Toutes les conditions sont vérifiées Seulement la condition 1 est non vérifiée

 

Méthode forfaitaire Méthode de Caquot

Les autres cas



Méthode de Caquot modifiée.

5.2.2.2. Terminologie 

Données de calcul :  la charge permanente : G  la charge d’exploitation : Q  fc28= 25 MPa  les armatures sont de type Fe E400 fe = 400 MPa  γb = 1.5  γs = 1.15

Travail de fin d'études 2006

153

5.2.2.3. Calcul des armatures longitudinales 

Méthode forfaitaire :  Calcul des moments de référence : Pu=1.35G+1.5Q M0 = Pu. l²/8 avec : M0 = La valeur maximale du Moment fléchissant dans la travée de comparaison. 

Calcul des moments sur appuis :

Pour les appuis de la poutre on calcule les sections sous l’effet d’une partie du moment maximal M 0 des deux travées adjointes : Pour une poutre à deux travées : - Appuis de rive : MA=0 .2 M0 - Appuis médiane : MA=0.6 M0 Pour une poutre à trois travées et plus : - Appuis de rive : MA=0.2 M0 - Appuis voisin d’appuis de rive : MA=0.5 M0 - Appuis intermédiaire : MA=0.4 M0



Calcul des moments en travée : 

Qb Qb  G

avec

(1+0.3

 ) >= 1.05

La valeur maximale du moment en travée Mt doit vérifier les conditions suivantes : Mw  Me 2



Mt  (1  0.3 ) * Mo 



Mt min 

1  0. 3 *  Mo 2



Mt min 

1.2  0.3 *  M0 2

pour une travée intermédiaire pour une travée de rive

Avec : Mt et Me sont respectivement les valeurs absolues des moments sur appuis de gauche et de droite de la travée considérée .

Travail de fin d'études 2006

154



Méthode de Caquot :

Dans le cas ou l’une des conditions du domaine d’application de la méthode forfaitaire n’est pas vérifiée ; on applique la méthode de Caquot. Mais avec atténuation des moments sur appuis dus aux seules charges permanentes par application aux valeurs trouvées d’un coefficient de 2/3. Les moments en travées sont majorés en conséquence . Soient : -le moment d’inertie: I -la charge permanente : G -la charge d’exploitation : Q 

Calcul des moments sur appuis :

Les moments aux nus des appuis, considérée comme sections à vérifier, sont calculés en ne tenant compte que des charges des travées voisines à gauche (w) et de droite (e).On détache de chaque coté des appuis, des travées fictives de longueurs (l’ w) à gauche et (l’e) à droite égale à: - La portée libre l de la travée si elle est simplement posée sur l’autre appui . - 0.8l si elle est continue au delà de l’autre appui. Dans le cas des poutres à moment d’inertie variable d’une travée à l’autre : Une charge uniformément répartie ( Pw & Pe ) par unité de longueur donne les moments d’appui suivants :

M 12  M

21

M

22

Pu',1w .lw' 2   .Pu',2e .le' 2 8,5.(1   )

Pu',2w .lw' 2   .Pu',1e .le' 2  8,5.(1   ) Pu',2w .l w' 2   .Pu',2e .le' 2  8,5.(1   )

Avec :



l e' .I w l w' .I e

Pu'1  1,35 

Iw Ie

2 2 G & Pu' 2  1,35  G  1,5Q B 3 3

: Moment d’inertie de la travée de gauche . : Moment d’inertie de la travée de droite .

Travail de fin d'études 2006

155

M 12 : Moment sur appui dans le cas ou la travée de gauche est déchargée et la travée de droite est chargée. M21 : Moment sur appui dans le cas ou la travée de gauche est chargée et la travée de droite est déchargée . 22 M : Moment sur appui dans le cas ou les 2 travées sont chargées . 

Calcul des moments de référence : Pu1  1,35.G

M 01 



& Pu1 .l ² 8

&

Pu2  1,35.G  1,5Q B

M 02 

Pu2 .l ² 8

Calcul des moments en travée :

Pour avoir le moment minimal dans une travée , il faut considérer le cas ou cette travée est chargée au maximum et les deux travées encadrant la travée considérée déchargées soit :

 M T ,max  M 02  0,42.M A21e

travée de rive gauche

12 21  M T ,max  M 02  0,5.(M A e  M A w )

travée intermédiaire

 

12  M T ,max  M 02  0,42.M A w

travée de rive droite

Pour avoir le moment minimal dans une travée, il faut considérer le cas ou cette travée est déchargée et les deux travées encadrant la travée considérée chargées au maximum soit :

 M T ,min  M 01  0,42.M 12A e

travée de rive gauche

21 12  M T ,min  M 01  0,5.( M A e  M A w )

travée intermédiaire

 

21  M T ,min  M 01  0,42.M A w

travée de rive droite

On vérifie toujours qu’on a bien M tmin ≥ 0 sinon il y a risque de soulèvement de la travée considérée et par suite , il faut considérer une armature supérieure pour équilibrer le moment Mtmin . 5.2.2.4. Calcul des armatures transversales

Travail de fin d'études 2006

156

On calcule l’effort tranchant et la contrainte de cisaillement pour chaque travée en utilisant les formules suivantes : M  M A2 Tu  T0  A1 l



Pu l  T0  effort trachant de la travée de comparaison isostatique  2  Pu  1,35.G  1,5.Q 

 Avec :  l : la portée de la travée de comparaison  M  moment sur l ' appui dans la sec tion où on calcule l ' effort  A1  M A2  moment sur l ' appui de l ' autre extrémité de la travée de comparaison   l’effort tranchant Vu=max (Tu,gauche ; Tu,droite) en valeur absolue. Vu < min (0.1fc28 ; 3MPa) b0 .d

la contrainte tangente  u 

soient φt le diamètre des armatures transversales et φl le diamètre des armatures longitudinales . φt = φl/3 < min (b/35 ; φl ; b0/10 ) At = nombre de( cadre + épingle + étrier)*section de φt L’espacement des armatures transversales :

S t1 

0,8 At. fe (cos   sin  )   b0 u 

S t2  min (40 cm ; 0,9d )  

 St  min (S t1; S t2 ; S t3; S t4 )

At. fe S t3  0,4 sin  .b0 S t4 

2 At. fe  u sin  .b0

     

On prend k=0 ( reprise de bétonnage ) α = 90° : angle d’inclinaison des armatures avec l’axe de la poutre . 5.2.3. Calcul de la poutre de l’axe D ( plancher 1er étage) :

Travail de fin d'études 2006

157

5.2.3.1 Armature longitudinale : 

Méthode de calcul : On a : G = 495 kg/m² Q = 175 kg/m²

Q  500 Kg/m² Q  2G

I = 20 × 25 = cte l1 3.525   0.95 l 2 3.725

on considère l’état de fissuration peu préjudiciable. Puisque les charges d’exploitation sont modérés, l’inertie est constante, la fissuration est peu préjudiciable, et les portées des poutres sont admises, on applique la méthode Forfaitaire pour le calcul des moments en travées et sur appuis.

Travail de fin d'études 2006

158



Calcul des appuis :

Appui

A1

A2

A3

Section (cm x cm)

25x25

25x25

25x25

M01 (T. m)

0.00

1.53

1.78

M02 (T. m)

1.53

1.78

0.00

Mu (T. m)

0.306

1.068

0.356

A'(st) (cm²)

0.41

1.45

0.47

Armature tendue

2HA6

2HA10

2HA6

Section à calculée



Calcul des travées :

Travail de fin d'études 2006

159

Travée

T1

T2

Longueur (m)

3.525

3.725

Section (cm x cm) G (T/ml)

20x25

20x25

0.85

0.85

QB(T/ml)

0.29

0.29

Pu(T/ml)

1.58

1.58

M0 (T. m)

1.53

1.78

α 1+0.3*α

0.26

0.26

1.08

1.08

Mw (T. m)

0.306

1.068

Me (T. m)

1.068

0.356

MT,min (T. m)

0.98

1.14

MT (T. m) Mu (T. m)

0.965 0.98

1.21 1.21

0.91

0.95

1.29 2HA10

1.59 2HA12

Section à calculée

b=b0+2li/10 (m) A'(st) (cm²) Armature tendue

5.2.3.2. Travée

Travail de fin d'études 2006

Armature transversale T1

T2

160

Longueur (m)

3.525

3.725

Section (cm x cm)

20x25

20x25

G (T/ml)

0.85

0.85

QB(T/ml)

0.29

0.29

Pu(T/ml)

1.58

1.58

T0 (T)

2.78

2.94

MA1 (T. m)

0.306

1.068

MA2 (T. m)

1.068

0.356

Tu,gauche (T)

2.57

3.13

Tu,droite (T)

3

2.75

Vu (T)

3

3.13

τu (MPa)

0.68

0.7

Armature longitudinale Armature transversale At (cm²)

2HA10

2HA12

2HA6

2HA6

0.56

St1 (cm)

13.18

0.56 12.8

St2 (cm)

19.8

19.8

St3 (cm)

28

28

St4 (cm)

32.94

32

13

13

St (cm)

5.3. Comparaison des résultats données par l’Eurocode 2 (l’EN 19921-1) et le BAEL 5.3.1. Résultats de calcul des sollicitations aux points critiques Dans le tableau suivant, sont comparées les valeurs de quelques sollicitations aux points critiques, valeurs déduites :  D’un calcul élastique suivant l‘EC2-1-1

Travail de fin d'études 2006

161



D’un calcul suivant la méthode forfaitaire

Sollicitations Moment maximal en travée Mud (T .m) Moment minimal sur appuis Mud (T .m) Effort tranchant sur appuis (T)

A1A2 A2A3 A1 A2 A3 VA1 VA2g VA2d VA3

Méthode élastique EC2-11 1.53 1.78 -0.23 -2.97 -0.28 2.2 -3.77 3.2 -2.37

Méthode forfaitaire BAEL 0.98 1.21 -0.31 -1.07 -0.37 2.2 -3.77 3.2 -2.37

Remarque : On voit bien que les sollicitations déterminées par la méthode élastique (EC2-1-1) sont plus élevées que celles déduites de la méthode forfaitaire du BAEL . Cela est du à la définition de la portée utile des travées et à la non prise en compte, dans le cas présent, de toute redistribution des sollicitations . Pour les appuis d’extrémités, on constate que les moments calculés suivant la méthode forfaitaire sont plus élevés que ceux déterminés par l’EC2-1-1, cela revient à la définition du moment sur appui d’extrémité qui est égal à 0.2× moment maximal sur travée dans le BAEL au lieu de 0.15×moment maximal du travée dans l’EC2 . 5.3.2. Résultats de calcul des sections d’aciers (cm2) aux points critiques Le tableau suivant propose une comparaison des sections d’armatures longitudinales calculées aux points critiques, les écarts sont moins marqués au niveau des sections d’armatures que dans les sollicitations .

Méthode de calcul BAEL

EC2.1.1

Section calculée Acier placé Section placée Section

Appui A1

Travée

Appui A2

Travée

Appui A3

0.41

1.29

1.45

1.59

0.47

2HA6 0.56

2HA10 1.57

2HA12 2.26

2HA12 2.26

2HA6 0.56

0.74

1 .86

4

2.17

0.74

Travail de fin d'études 2006

A1A2

A2A3

Amin (M>0) 0.53

0.74

162

calculée Acier placé Section placée

2HA8 1

2HA12 2.26

4HA12 2.26

2HA12 2.26

2HA8 1

Avec: : 



f tj  b  d  0.53cm 2 fe f ctm  bt  d  0.74cm 2 : AS min  0.26  f yk 5.3.3. Résultats de calcul des sections d’armatures transversales

BAEL : EC2

AS min  0.23 

On remarque que les deux méthode de calcul donnent la même section de cadre verticale (cadre HA6), une différence nette est constatée au niveau de l’espacement longitudinale entre les armatures transversales ( Le taux d’armature dans la section de béton donné par l’EC2 par rapport est élevé par rapport à celui du BAEL). Méthode de calcul BAEL

(As/s) en cm2/m Armature

EC2.1.1

(As/s) en cm2/m Armature

Travée

Travée

4.25 2HA6 (s =13cm) 5.47 2HA6 (s = 10cm )

4.38 2HA6 (s =13cm) 5.47 2HA6 (s = 10cm )

A1A2

A2A3

5.3.4. Résultats des armatures de couture D’après le tableau suivant : Il est clair que l’EC2 prévoit plus d’armature d’attache que le BAEL . Méthode de calcul BAEL At / st (cm2 /m) Acier placé st (cm) EC2.1.1 At / st (cm2 /m) Acier placé

Travail de fin d'études 2006

T1 0.98 2HA5 38 1.25 2HA5

T2 1.02 2HA5 37 1.54 2HA5

163

st (cm)

30

25

5.4 Conclusion A l’issue de cette étude, nous pouvons faire les remarques suivantes :  Les habitudes de calcul ne changent guère avec l’EN 1992-1-1 pour ceux qui pratiquent les règles BAEL, celles-ci étant déjà basées sur le concept du calcul aux états limites .  Certaines définitions nouvelles, comme la portée des travées, conduisent certes à des sollicitations calculées plus élevées. Néanmoins, dans notre exemple, l’écart entraîné par les nouvelles méthodes de calcul de béton armé est apparu limité, même dans la situation d’un calcul élastique selon l’EN 1992-1-1.  Les modifications apportées aux propriétés des matériaux offrent :  Une démarche plus logique, qui consiste à chercher à employer d’abord au mieux la capacité du béton, et à déterminer ensuite l’armature dans la situation correspondante .  Des résultats plus avantageux que le BAEL pour l’effort tranchant, avec le concept de l’inclinaison variable des bielles  Les pourcentages forfaitaires minimaux semblent être plus déterminants qu’avec BAEL .

6. Poutre isostatique en béton armé 6.1. Calcul d’une poutre isostatique suivant l’Eurocode 2 (l’EN 19921-1) :poutre d’axe 4 Nous avons choisi de faire le calcul de la poutre isostatique de l’axe 4 dans le plancher soupente.

Travail de fin d'études 2006

164

6.1.1. Données du problème 6.1.1.1 Données géométriques de la poutre

Les notations ci-dessus sont définies comme suit :  La portée de la poutre ( entre axe des appuis ) est égale à 3m  La largeur de l’âme b0 = 0.2m  La hauteur de la poutre h = 0.3m  La hauteur utile de la poutre d = 0.26m  L’épaisseur de la table de compression h0 = 0.12m 6.1.1.2 Chargement 



Charges permanentes :  Poids propre de la dalle pleine (12cm) = 300 Kg/m2  Revêtement = 140 Kg/m2 Charge variable :  Charge d’exploitation QB = 500 Kg/m2

D’ou les chargements linéaires suivants : G(Total) = ( 0.14+0.3 )×(4.7+3.1/2)×1.15 + 0.2×2.5×(0 .3 – 0.12)×1.15 = 2.1 T/ml QB = 1.15×0.5×( 4.7+3.1/2 ) = 2.24 T/ml

6.1.2. Calcul de la flexion à mi-travée 6.1.2.1. Largeur participante de la table de compression La largeur participante beff d’une poutre en T peut être prise égale à :

Travail de fin d'études 2006

165

beff   beff ,i  bw  b  beff ,i  0.2bi  0.1l0  0.2l0  beff ,i  bi   

Appliquons ces relations, à notre poutre exemple :

La largeur de la table associée à la nervure A1 A2 est ainsi : bi1 = ( 3.1-0.2 ) /2 = 1.45m bi1 = ( 4.7-0.2 ) /2 = 2.25m beff, i 1= 0.2×bi1 + 0.1×l0 = 0.59m {0.2×l01 = 0.6m} donc beff, i 1= 0.6m < bi2 = 2.25m beff = bw + ∑ beff ,i = 0.2 + 0.6 + 0.59 = 1.39m < b1 = 3.1m ; b2 = 4.7m 6.1.2.2 . Résistance et diagramme de calcul pour le béton Le diagramme de calcul est un diagramme parabole- rectangle :  Début du palier plastique : εc2 = 0.2%  Maximum du palier plastique : εcu2 = 0. 35%  Rapport hauteur effectivement comprimée/hauteur comprimée pour le diagramme rectangulaire simplifiée : λ = 0.8  Résistance La résistance de calcul fcd égale à :   f ck 1  25 f cd  cc   16.7 MPa (αcc=1:En conditions normales) c 1.5

6.1.2.3. Armature passive Choix possible entre deux diagramme de calcul :  Un diagramme élasto- plastique parfait, sans limitation de déformation ème  Un diagramme bilinéaire, la 2 branche ayant un point limite (εud = 0,9 εuk ; k.fyk / γs), pour la classe B (classe recommandée)

Travail de fin d'études 2006

166

k = (ft / fy)k ≥ 1.08 et εuk ≥ 5% 6.1.3. Calcul de la section théorique de l’acier En utilisant le diagramme rectangulaire simplifié pour le béton et le diagramme bilinéaire pour l’acier, on calcule la section d’armature de la poutre Moment ELU (T . m) Hauteur utile (m) Largeur (m) Résistance de calcul du béton (MPa) Moment réduit μu Déformation de l’armature (%) Taux de travail de l’acier (MPa) Déformation du béton (%)

α Section d’armature (cm2)

Mu d beff fcd

u 

6.97 0.26 1.39 16.7 0.04

M ud bd 2 c

4.5

εs σs = k. fyk / γs εc = 4.5% [α /(1-α)]

375.65 0.63

  1.251  1  2  

AS 

0.051 6.89

M ud  k . f yk  s

1  0.4 .d 

  

►(4HA16)

6.1.4. Enrobage nominal des armatures Nous examinons ici la disposition de l’armature dans la section la plus fléchie de la travée A1A2 , les conditions d’environnement retenues correspondent à la classe d’exposition XC1 : milieu sec ou en permanence humide. Nous déterminons l’enrobage nominal, d’après l’équation suivante :

cnom = cmin + cdev Ou :

cmin = max {cmin,b; cmin,dur +  cdur,-  cdur,st -  cdur,add; 10 mm} Avec : cmin,b = 16mm : c’est le plus grand diamètre des barres cmin,dur = 15mm : c’est la valeur donnée par le tableau 4.3N pour la classe d’exposition XC1 et la classe structurale S4, dans notre cas il n’y a un changement de classe cdur,= 0 : pas de marge de sécurité cdur,st = 0 : acier classique de béton armé

Travail de fin d'études 2006

167

cdur,add = 0 : pas de protection particulière du béton . Quant à la déviation cdev, elle est définie pour tenir compte des tolérances dans l’écart d'exécution .En admettant ici que la fabrication soit soumise à un système d’assurance de qualité, on adopte une valeur de 5mm . D’ou finalement un enrobage cnom = 16+5 = 21mm pour les barres HA16 Soit une distance du centre de gravité des aciers à la sous- face égale à (21+16)mm = 3.7cm < 4cm .Donc la hauteur utile d = 26cm adoptée au départ des calculs convient . 6.1.5. Vérification à l’état limite de service 6.1.5.1. Limitation de la compression du béton Sous chargement déduit de la combinaison caractéristique, cette limitation égale à 0.6f ck pour les classes d’environnement XD, XF, XF. Sous chargement quasi- permanente, elle égale à 0.45fck Dans l’exemple traité (Classe d’exposition d’environnement XC1), il n’y a, donc pas de limitation applicable. 6.1.5.2. Maîtrise de la fissuration Pour la classe d’exposition XC1, l’ouverture des fissures (w max = 0.4mm) n’a pas d’incidence sur la durabilité et cette limite est fixée pour garantir un aspect acceptable . En l’absence de conditions sur l’aspect, cette limite peut être traitée de manière moins stricte. Pour cette classe d’exposition (XC1), la maîtrise de fissuration est supposée assurée par les dispositions constructives minimales .

6.1.5.3.

Longueur d’ancrage

La longueur d'ancrage de calcul lbd vaut :

lbd = α 1 α 2 α 3 α 4α 5 lb,rqd > lb,min où α 1 α 2 α 3 α 4 et α 5 sont des coefficients donnés dans le Tableau 8.2 de l’EC2-1-1:  α 1 = 1 : barre droite (forme de barre)

Travail de fin d'études 2006

168



α 2 = 1-0.15(cd – Ø)/Ø : avec cd = min (a/2, c1, c) et Ø le diamètre de barre

Pour notre cas :

 c  20mm   c1  30mm  a  108mm 

cd  20mm

Avec les barres HA16 :

α 2 (HA16)= 1-0.15(cd – Ø)/Ø = 0.96 On admet : α 3 α 4α 5 = 0.7 La longueur de base pour ancrer une force Asfyd en supposant une contrainte d’adhérence constante fbd :

lb ,rqd 

  sd 4 f bd

Avec :

σsd : La contrainte de calcul de la barre dans la section à partir de laquelle on mesure l’ancrage σsd = 375.65MPa

f bd  2.251 2 f ctd f ctd  f ckt , 0.05 /  c  1.8 / 1.5  1.2 MPa

 1  0.7  2  1

Pour un diamètre de barre ≤ 32mm .On a  A. N : f bd  1.9 MPa lb ,rqd ( HA16)  0.79m

Finalement : lbd ( HA16)  0.53m Soit : 33 Ø La valeur calculée de lbd doit être supérieure à la valeur de lbmin donnée par la relation suivante :

lb min ( HA16)  max 0.3lb ,rqd ;10 ;100mm  0.237 m

6.1.6. Détermination des armatures transversales

Travail de fin d'études 2006

169

La valeur de l’effort tranchant de calcul est déterminée en utilisant les résultats de la résistance des matériaux : L’EC2-1-1 mi-travée A1A2

Effort tranchant (T)

9.29

6.1.6.1. Détermination de la capacité portante en cisaillement de la section droite sans armatures d’âme ( Travée A1A2) La résistance est évaluée selon l’équation :

VRd ,c   C Rd ,c k (100  l f ck )1 / 3   bw d Avec : 200  1.88  2.0 d  0.18 /  c  0.12

k  1 C Rd ,c

( d en mm)

Asl 6.89  10 4 l    0.013  0.02 bw d 0.2  0.26 A. N :

VRd ,c  3.7T

Donc toute la travée A1A2 doit comporter des armatures transversales (VEd >VRd,c). 6.1.7. Détermination des armatures d’âme ( Travée A1 A2 ) la résistance des bielles inclinées est donnée par l’équation : VRd ,max   cwbw z 1 f cd /  cot   tan  

Avec : αcw = 1 (béton non précontraint) θ = 45° υ1 = 0.6[1-fck/250] = 0.54 ( fck =25MPa < 60MPa) z = 0.9d D’ou

VRd ,max  0.21MN cette valeur étant plus grande que l’effort tranchant maximum, la valeur

de cot θ de 1 est validée . 6.1.7.1. L’armature d’âme requise près de l’appui A1 et A2

Travail de fin d'études 2006

170

Cette armature est déterminée avec l’effort tranchant : VEd = 9.29T A VRd ,s  VEd  sw z  f ywd cot  s Avec : cot   cot(45)  1 f ywd  f yd  347.83MPa

d’ou 

Asw  11.5cm 2 / m s

2HA6 (s = 5cm)

l’espacement longitudinal maximal entre cours droits est exprimé par la relation suivante : sl ,max  0.75d  19.5cm

6.1.8 Armature de couture de la table de compression La contrainte de cisaillement longitudinale est égale à : VEd = ΔFd /hf . Δx Avec : hf = h0 : L’épaisseur de la membrure à la jonction Δx : C’est la moitié de la distance entre la section de moment maximal et la section de moment nul .Soit ici le quart de la portée Δx = 3m/4 = 0.75m ΔFd : La variation de l’effort normal dans la membrure sur la longueur Δx Effort de compression Fd = Mud / βd = 29.8 T Suivant la clause 6.2.4(3) de l’EC2 ΔFd = Fd ( beff – bw ) / 2beff = 0.3(1.39 – 0.2)/(2×1.39) = 0.128MN D’ou : La valeur de la contrainte de cisaillement longitudinale : VEd = ΔFd /hf . Δx = 0.128/(0.12×3/4) = 1.42 MPa La résistance du béton des bielles dans la table de compression est donnée par l’inéquation suivante : 

VEd ≤ υ. fcd .sinθf .cosθf



26.5° ≤ θf ≤ 45°



υ = 0.6(1-fck/250) = 0.54

Avec:

En prenant θf =45° , L’inéquation ci-dessus est largement vérifiée  VEd = 1.42MPa ≤ υ. fcd .sinθf .cosθf = 0.54×16.7×0.5 = 4.51 MPa

Travail de fin d'études 2006

171

L’armature de couture nécessaire à la jonction âme- membrure est déterminée par l’équation suivante : VEd .h f Ast   5cm 2 / m  st cot  f . f yd En adoptant des barres HA6 ( supérieur et inférieur ) : 2×0.28= 0.56cm2 L’espacement de barre est : sf = 0.56/5 = 11cm

6.2. Calcul de la poutre d’axe 4 isostatique suivant la méthode BAEL

Travail de fin d'études 2006

Travée

T1

Longueur (m)

3

Section (cm x cm)

20x30

G (T/ml)

2.1

QB(T/ml)

2.24

Pu(T/ml)

6.2

172

Vu (T)

9.29

τu (MPa)

1.79

Armature longitudinale Armature transversale At (cm²)

4HA16

St1 (cm)

5

St2 (cm)

23.4

St3 (cm)

28

St4 (cm)

12.51

2HA6 0.56

St (cm) 5

6.3. Comparaison des résultats données par l’Eurocode 2 1992-1-1) et le BAEL

(l’EN

6.3.1. Résultats de calcul des sollicitations aux points critiques Dans le cas d’une poutre isostatique, les sollicitations (moment et effort tranchant) déterminées par la méthode élastique (EC2-1-1) sont les mêmes que celles déduites de la méthode du BAEL . Cela est du à l’utilisation des résultats de la résistance des matériaux par les deux règlements . 6.3.2. Résultats de calcul des sections d’aciers (cm2) aux points critiques Le tableau suivant propose une comparaison des sections d’armatures longitudinales calculées à mi-travée par les deux règlements, il est clair que l’EC2 prévoit presque la même section d’armature calculée par le BAEL . Méthode de calcul

Travée A1A2

Travail de fin d'études 2006

Amin (M>0)

173

BAEL

EC2.1.1

Section calculée Acier placé Section placée Section calculée Acier placé Section placée

8

0.63

4HA16 8.04 7

0.88

4HA16 8.04

Avec: 



f tj  b  d  0.63cm 2 fe f  0.26  ctm  bt  d  0.88cm 2 f yk

BAEL :

AS min  0.23 

EC2

AS min

:

6.3.3. Résultats de calcul des sections d’armatures transversales En ce qui concerne l’armature de l’âme, aucune différence n’est constatée entre les deux règlements de calcul. Méthode de calcul

Travée A1A2

2

BAEL

(As/s) en cm /m Armature

EC2.1.1

(As/s) en cm2/m Armature

11 2HA6 (s =6cm) 11.5 2HA6 (s = 5cm )

6.3.4. Résultats des armatures de couture

Travail de fin d'études 2006

174

D’après le tableau suivant : Il est clair que l’EC2 prévoit plus d’armature d’attache que le BAEL . Méthode de calcul BAEL At / st (cm2 /m) Acier placé st (cm) EC2.1.1 At / st (cm2 /m) Acier placé st (cm)

Travail de fin d'études 2006

T1 4.6 2HA6 12 5 2HA6 11

175

7. Dalles 7.1. Description de la structure étudiée : On considère la dalle rectangulaire, continue de rive et appuyée sur ses quatre cotés, du plancher soupente: D1 (l x  l y ) avec:

 l x  2.8m , d’épaisseur 12 cm, reposant sur des poteaux de 30 cm,   l y  7.5m

continue à trois travées dans le sens de l x .

7.2. Calcul de la dalle selon l’EC2-1-1 7.2.1. Définition des portées : La portée de calcul n’est plus la portée entre nus des appuis comme le définit le BAEL, mais une portée supérieure calculée de la manière suivante : l eff  l n  a1  a 2

l n est la portée entre nu des appuis et ai 

t pour un appui de rive comme un appui 2

intermédiaire, t étant l’épaisseur de cet appui ( article 5.3.2.2 de l’EC2-1-1) : les portées efficaces sont ,ainsi, égales à : 0.3 0.3   3.10m 2 2 0.3 0.3  7.5    7.80m 2 2



pour le petit coté :

l xeff  2.80 



pour le grand coté :

l yeff 1

le rapport des portées vaut :

l xeff 1 l yeff 1



3 .1  0.4  0.5 7 .8

la dalle porte donc dans une seule direction (article 5.3.1). Ces dalles, lorsqu’elles sont soumises à des charges uniformément réparties, peuvent être justifiées et analysées comme les poutres.

Travail de fin d'études 2006

176

Le schéma statique est représenté sur la figure ci dessous :

A

B

C

D

7.2.2. calcul des effets des actions 7.2.2.1. Actions 

Charges permanentes : P.P : revêtement :

0.12 0.07

 2.5 =  2.2 = 



0.3 t / m 2 0.14 t / m 2

= 0.44 t / m 2

Charges d’exploitation uniformément répartie: Q = 0.5 t / m 2

7.2.2.2. Principe de l’analyse L’analyse des dalles peut être menée soit à partir d’un calcul linéaire avec ou sans redistribution des moments, soit à partir d’une analyse plastique(lignes de ruptures classiques). On applique les méthodes de calcul pour les poutres (section 5 de l’EC2-1-1). 7.2.2.3. Calcul du moment fléchissant 

MA  MD  0

VA 

G = 0.44 t / m 2

Pour les charges permanentes : ;

GL MB  MC   x 10

2

3GL x 5 GL x  2

2GL x ; 5

VB ( d )

GLx 5 ; 3GL x  5

VC ( g )  

VB ( g )  

;

VC ( d ) 



MA

MB

MC

MD

VA

VB / VB

0

0.42

0.42

0

0.55

-0.82/0.68

Travail de fin d'études 2006



VC / VC

VD  



-0.27/0.82

2GL x 5

VD -0.55

177

Pour les charges d’exploitation : Q = 0.5 t / m 2



Les deux chargements considérés sont les suivants : Cas 1 : 1ère travée chargée

A

MB  

VA 

QL x 15

2

MC 

;

QLx 60

B

C

2

17QLx 30 5QL x  60

VB ( g )  

13QL x ; 30

VB ( d )

D

5QLx 60 ; QL x  60

VC ( g )  ;

VC ( d )

VD  

QL x 60

Cas 2 : travée centrale chargée

A

QL MB  MC   x 20

VA  

B

C

D

2

QLx 20 QL x  2

VB ( g )  

QL x ; 20

VB ( d )

QLx 2 ; QLx  20

VC ( g )   ;

VC ( d )

VD 

QLx 20

Application numérique :

Cas 1 Cas 2





MA

MB

MC

MD

VA

VB / VB

0 0

-0.32 -0.24

0.08 -0.24

0 0

0.67 -0.08

-0.88/0.13 -0.08/0.78

Travail de fin d'études 2006



VC / VC



0.13/-0.03 -0.78/0.08

VD -0.03 0.08

178

7.2.2.4. moment fléchissant à l’état limite ultime sans redistribution 

recherche du moment maximal sur appuis :

la combinaison fondamentale s’écrit : 1.35 G + 1.5 Q = 1.344 t / m 2 sur appui, le cas le plus défavorable, est celui ou l’on charge les travées 1 et 2 : M B =1.35

 0.42 + 1.5 (0.32+ 0.24) = 1.407 t.m /m.

Avec une réaction d’appui égale à : T = 1.344  3.1+1.407/3.1 = 4.62 t / m 2 Le moment maximal correspondant en travée est égal à : 0.986 t .m à l’abscisse 1.19 m. En milieu de la travée, on a 0.667 t.m. 

recherche du moment maximal en travée :

le moment maximal en travée s’obtient en chargeant les deux travées extrêmes. M B = 1.35  0.42 +1.5  (0.32 – 0.08) = 0.927 t.m M 0 = 1.344



3.12 = 1.614 t.m. 8

d’ou un moment en milieu de travée de M t = 1.614 -

0.927 = 1.15 t.m. 2

le moment maximal vaut : 1.186 t.m à 1.40m. 7.3. moment fléchissant à l’état limite ultime avec redistribution( clause 5.5 de l’EC2-1-1) les valeurs du moment fléchissant sur appuis peuvent être redistribuées sous réserve que la nouvelle distribution continue à équilibrer les charges appliquées. Dans le cas des dalles continues sollicités principalement en flexion et dont le rapport des portées adjacentes est compris entre 0.5 et 2 ( c’est bien notre cas), une redistribution des moments fléchissants peut être effectuée sans vérification explicite de la capacité de rotation ( clause 5.6.3 de l’EC2-1-1). Le rapport  du moment après redistribution au moment élastique de flexion doit être supérieure à : x k1  k 2 u si f ck  50 MPa. d x u est la profondeur de l’axe neutre après redistribution et d la hauteur utile de la section.

Travail de fin d'études 2006

179

Les valeurs de k1 et k 2 sont définies dans l’annexe nationale, mais l’EC2-1-1 donne les valeurs recommandées : k1 = 0.44 et k 2 = 1.25 ( 0.6 +

0.0014

 cu 2

). Comme  cu 2  3.5. 10 3 pour les

bétons classiques, k 2 = 1.25. 7.3.1. Choix de la hauteur utile On suppose que la classe d’exposition est XC1 et que la classe structurale est S4 ( durée d’utilisation de projet de 50 ans). La hauteur utile est :

 ; c étant l’enrobage. 2 est égale à l’enrobage minimal c min + la tolérance C dev :

d=h–c-

L’enrobage nominale c nom

c min  maxc min,b ; c min,dur  c dur ,  c dur , st  c dur , add ;10mm

 ( article 4.4.1.2 de l’EC2-1-1)

avec : c min,b

c min, dur

= diamètre de la barre.(Tableau 4.2 de l’EC2-1-1 ) = 15mm ( Tableau 4.4N de l’EC2-1-1)

mais pour les dalles, l’Eurocode autorise la réduction de la classe structurale d’un niveau et de retenir une classe S3, soit c min,dur = 10mm. La tolérance c dur , = 0 par défaut ( précisée dans l’annexe nationale). Les tolérances c dur , st et c dur ,add seront prises égales à 0 en l’absence de complémentaires, d’ou c min = 10mm.

protections

En définitive, on adopte pour les armatures inférieures : c nom  10  c dev

avec c dev = 10mm (valeur recommandée ou en l’absence d’un plan d’assurance qualité sur l’exécution des travaux). Soit c = c nom = 10 +10 = 20 mm. dx  h  c 

 = 120 – 20 - 5 = 95 mm , si  =10mm, et 76 mm si  = 8mm 2

d y  d x   = 95 – 10 = 85 mm , si

 =10mm, et 68 mm si  = 8mm.

Pour les armatures supérieures d = h  c 

 = 120 – 20 – 4 = 76 mm, si 2

 = 8mm

On peut adopter  = 0.7 avec des aciers à haute ductilité ou retenir 1 ( pas de redistribution), d’ou pour :

Travail de fin d'études 2006

180

M w  0.7  1.407 = 0.985 t.m/m 0.985 Tw  1.344  3.1   4.48 t/m 3.1

b 

0.00985 = 0.102 1  0.076 2  16.7

ainsi : xu  1.25(1  1  2  ) = 0.135 d x et  = 0.44 + 1.25 u = 0.61 < 0.7 d En redistribuant la différence de moment sur appui en travée et en raisonnant sur le milieu des travées pour simplifier les calculs, on obtient pour le moment fléchissant en milieu de travée : M tx  0.986 

1.407  0.985  1.197 t.m/m 2

sans redistribution, le moment maximal en travée M tx valait 1.15 t.m/m. on constate que ce moment est plus faible sans redistribution. La figure suivante présente l’effet de la redistribution sur les moments en travée1. Effet de le redistribution sur les moments en travée 1. 1,5

m om ent (t.m /m )

1 0,5 0 -0,5 -1 -1,5

0

1

2

3

4

1,35G+1,5Q 1 & 2 1,35G+1,5Q 1 & 3 redistribution 0,7

-2 x(m )



Moments en travée 1 :

Travail de fin d'études 2006

181

L’EC2 autorise, pour une poutre ou une dalle continue, la minoration du moment sur appui d’une valeur M Ed  FEd sup .t / 8 , ou FEd sup . est la valeur de la réaction d’appui et t la profondeur de l’appui ( clause 5.3.2.2 de l’EC2-1-1) Ici on a donc :  

0.30 =1.234 t.m/m 8 0.30 avec redistribution : M B = 0.985  4.48  = 0.817 t.m/m. 8

sans redistribution : M B = 1.407  4.62 

on peut donc retenir les deux options de calcul : 1) avec redistribution M appui  0.817t.m / m et M travée  1.197t.m / m 2) sans redistribution M appui  1.234t.m / m et M travée  1.186t.m / m Effort tranchant Charges permanentes :



L’effort tranchant par unité de longueur en A et B : V A  0.55 t/m V B  0.82 t/m charges d’exploitation uniformément réparties :



cas1 :

V A  0.67 t/m

 V B  0.88 t/m ;

 V B  0.13 t/m

cas2 :

V A  0.08 t/m

 V B  0.08 t/m ;



 V B  0.78 t/m

Effort tranchant à l’état limite ultime VAEd = 1.35

 0.55 +1.5  0.67 = 1.75 t/m

VB Ed = 1.35

 0.82 +1.5  0.88 = 2.43 t/m.

7.4. calcul des armatures de flexion 7.4.1. Méthode de calcul

Travail de fin d'études 2006

182

L’EC2 autorise l’utilisation de deux lois de comportement pour les aciers : une loi avec branche inclinée et déformation limitée des aciers (pivot A) et une loi avec branche horizontal, sans limitation de la déformation des aciers, c’est à dire que l’on considère alors que la rupture survient en pivot B uniquement. Cas du diagramme à branche inclinée



On a  b = 3.5 10 3 . Pour les aciers de type B :  uk =5%

 ud  0.9   uk  45.10 3 (clause 3.2.7 de l’EC2-1-1). Et k = ( f t / f y ) k =1.08

;

La zone frontière pivot A– pivot B est délimitée par :  AB 

 AB  en pivot A :  b  d’ou :

3.5 =0.072 3.5  45

Mu = 0.8  (1-0.4  ) = 0.056 bd 2 f cd

3.5 1   3.5 1     . En pivot B, après avoir calculé  , on évalue  s  , 1000  1000 

 348  (  - 1.74 10 3 )/(0.05 – 1.74 10 3 ) = 348 + 576.9  (  - 1.74 10 3 )

 s = 348 + 0.08

s

s

= 373 MPa pour les aciers du type B. Pour  s = 45 10 3 , on a  s =373 MPa. 

Cas du diagramme à branche horizontale

L’EC2 n’impose aucune limitation du pivot A. la contrainte dans les aciers est bornée à  s = 348 MPa. La diagramme incliné est légèrement plus favorable puisque la contrainte dans les aciers est un peu plus élevée. Ici nous utiliserons le diagramme à branche inclinée.

7.4.2. Armatures inférieures dans le sens de la petite portée M Ed  M tx  1.1970tm = 0.012 MNm/m.

Travail de fin d'études 2006

183

M Ed 0.012  = 0.08 > 0.056 donc pivot B. 2 bd f cd 1  0.095 2  16.7   1.25(1  1  2  ) = 0.104 z  (1  0.4 )d = 0.09 m.



3.5 1    = 30.15 10 3 . 1000   s = 348 + 576.9  (  s - 1.74 10 3 ) = 364 MPa.

s 

M Ed = 3.66 cm 2 /m. z s

Atx 

7.4.3. Armatures inférieures dans le sens de la grande portée Selon la clause 9.3.1.1(2) de l’EC2-1-1 : M Sd  M ty  0.2  1.20tm / m = 0.24 MN.m/m. cela revient à prendre : Aty  0.2  3.84 = 0.77 cm 2 /m. 7.4.4. Armatures supérieures M Ed  M appui  0.985tm / m = 0.01 MNm/m.

M Ed 0.01  = 0.06 > 0.056 donc pivot B. 2 bd f cd 1  0.095 2  16.7   1.25(1  1  2  ) = 0.077 z  (1  0.4 )d = 0.09 m.



3.5 1    = 41.95 10 3 . 1000   s = 348 + 576.9  (  s - 1.74 10 3 ) = 371 MPa.

s 

As 

M Ed = 2.95 cm 2 /m. ( 4.33 cm 2 /m sans redistribution ) z s

7.4.5. sections minimales (clauses 7.3.2 et 9.3 de l’EC2-1-1) 

Armatures inférieures dans le sens de la petite portée



As ,min  Max As ;0.26bt df ctm / f yk ;0.0013bt d

avec :

ici :



(clause 9.2.1.1)

As = k c k f ct ,eff Act /  s

k c = 0.4 (flexion simple)

k = 1, car h < 30cm. f ct ,eff = f ctm = 2.6 MPa. Act = bh/2 = 100  12/2 = 600 cm 2

Travail de fin d'études 2006

184

 s = f yk = 400 MPa.

Soit : As = 0.4  1  2.6  600/400 = 1.56 cm 2 /m. Ainsi : As , min = Max

de : 1.56 cm /m.

  0.26bdf ctm / f yd = 1.61 cm 2 /m.  0.0013bt d = 1.24 cm 2 /m. = 1.61 cm 2 /m. 2



Armatures supérieures dans le sens de la petite portée  Armatures supérieures coté encastrement

La clause 9.3.1.2 (2) indique que, lorsqu’un encastrement partiel se produit, il convient que les armatures supérieures soient capables de résister à au moins 25% du moment maximal de la travée adjacente et que ces armatures soient prolongées d’au moins 0.2 fois la longueur de la travée adjacente. .Ici on a bien 2.95 cm 2 /m > 0.25  3.66 cm 2 /m.  Armatures supérieures coté non encastré La clause 9.3.1.2 (2) indique que « sur un appui d’extrémité le moment à équilibrer peut être réduit jusqu ‘à 15% du moment maximal de la travée adjacente ». Soit 0.15

 3.66 =

0.55 cm 2 /m.

7.4.6. Sections maximales (clauses 9.2.1.1) Dans une même section, les aciers tendus et comprimés < 0.04 Ac ou Ac représente la section transversale du béton : 0.04 Ac =0.04  100  12 = 48 cm 2 /m.

7.4.7. Choix des diamètres et des écartements : (clause 9.3.1.1(3)) Les écartements maximaux doivent respecter:  

Min  3h;40cm  = 36 cm pour les armatures parallèles aux petits cotés. Min  3.5h;45cm = 42 cm pour les armatures parallèles aux grands cotés.

Travail de fin d'études 2006

185

Travées, parallèlement aux petit coté : Atx = 5 10 et s = 20 cm, soit 3.9 cm 2 /m  Travées, parallèlement aux grand coté : Aty = 4  8 et s = 25 cm, soit 2cm 2 /m  sur les appuis intermédiaires : Aw = 4 10 et s = 20 cm, soit 3.12cm 2 /m  sur les appuis d’extrémité : As = 3  6 et s = 33 cm, soit 0.84 cm 2 /m. 

7.5. Arrêt des armatures : 

Armatures inférieures

La moitié des armatures trouvées en travée doit être poursuivie sur appui ( 9.31.2 et 9.2.1.4 de l’EC2) et ancrée d’au moins 10  (clause 9.31.5 de l’EC2) soit : 3.84/2 = 1.92 >1.61cm 2 /m. 

Armatures supérieures  En appuis intermédiaires

L’arrêt des armatures doit être fait en fonction du diagramme du moment sur appui. On peut donc faire une épure d’arrêt des barres comme pour les poutres. L’EC2 impose également de prolonger les armatures sur appui depuis le nu d’appui en respectant la condition suivante (9.3.1.2(2) de l’EC2) : l1  Max l bd ;0.2l x ) ou l bd est la longueur d’ancrage de référence. l bd = 33  = 33  1.0 = 33cm, car dalle d’épaisseur < 30 cm ( bonnes conditions de bétonnage), d’ou l1 = Max [ 33 ; 72] = 72 cm.  sur les appuis d’extrémité la même condition s’impose. Les HA 6 seront donc disposés sur 62cm.

7.6. Vérification de l’effort tranchant 7.6.1. Ancrage des armatures inférieures au niveau des appuis ( clauses 9.2.1.4 et 9.2.1.5) la valeur de l’effort tranchant à l’état limite ultime est :

Travail de fin d'études 2006

186

 Appui de rive donc :  Ed =

VAEd = 1.75 t/m

0.0175 = 0. 184 MPa. 0.095

 Appui intermédiaire  Ed =

VB Ed = 2.43 t/m

0.0243 = 0.256 MPa. 0.095

D’ou une section à ancrer en rive de : V Ed z cot  V Ed = 0.45 = 0.45  0.0175/348 = 0.23 cm 2 /m avec une bielle à 45°. f ywd 2d f ywd

7.6.2. Armatures d’âme L’effort tranchant limite dispensant de la présence d’armatures transversales est : V Rd ,c = C Rd ,c k (100 1 f ck )1 / 3 )bw d ( éq. 6.2) on pose :  Rd ,c 

V Rd ,c bw d

C Rd ,c  0.18 /  c = 0.12

k = 1+

200  2 avec d hauteur utile en mm ; ici : k = 2. d

Asl = aire de l’armature longitudinale prolongée d’une longueur supérieure à d + l bd au delà de

la section considérée. bw = largeur minimale de la section.

1 

Asl  0.02 = pourcentage d’armatures longitudinales. bw d

Pourcentage d’armatures tendues près de l’appui B: 5 10 et s = 20 cm, soit 3.9 cm 2 /m 1 

3 .9 = 0.0041 < 0.02 100  9.5

 Rdc = 0.12  2  (100  0.0041  25) 0.33 = 0.52 MPa.

L’EC2 impose une valeur minimale de V Rd ,c = v min bw d ( éq. 6.2b) On a donc  min  v min = 0.035  2 1.5  25 0.5 = 0.49 MPa < 0.52 MPa.. Il n’est donc pas nécessaire d’avoir des armatures d’âme.(clause 6.2.1).

v min  0.035k 3 / 2 f ck

1/ 2

Travail de fin d'études 2006

187

7.6.3.Vérification de la compression des bielles de béton V Rd , max  0.5 f cd 1b  0.9d

donc :

 Rd ,max  0.45 f cd 1

avec : f cd 1 = 0.6(1 -

f ck ) f cd = 9 MPa. 250

 Rd ,max  0.45  9  4.05MPa  0.52 MPa

7.7. Etat limite de service 7.7.1. Béton en compression (clause 7.2(2)) Pour un élément en classe d’exposition XC1, on doit vérifier, sous charge quasi-permanente :  c  0.45 f ck = 0.45  25 = 11.25 MPa.

Dans le cas des bâtiments courants, cette vérification n’est jamais déterminante pour les dalles. 7.7.2. Aciers en traction (clause 7.2(5)) On doit vérifier, sous charges rares :

f s  0.8 f yk  0.8  400  32 MPa

cette vérification n’est jamais déterminante pour des éléments calculés en ELU, avec coefficient de redistribution supérieur à 0.7. 7.7.3. Etat limite de service de fissuration Bien que les dalles soient en classe d’exposition XC1, aucune vérification particulière n’est demandée ( une dalle XC1 peut en effet être considérée comme XC0 ; tableau 4.3N). 7.7.4. Etat limite de service de déformation 



Calcul de la flèche : méthode directe :

Mu = 0.080 bd 2 f cd

  1.25(1 

1  2 ) =

0.104

d’ou : - la déformation de l’acier :

s 

3.5 1    = 30.15 10 3 1000 

- et la contrainte dans l’acier :  s = 348 + 0.08  348  (  s - 1.74 10 3 )/(0.05 – 1.74 10 3 )

Travail de fin d'études 2006

188

= 348 + 576.9  (  s - 1.74 10 3 ) = 365 MPa. La profondeur de béton comprimé : x =  d = 0.01m. Et la bras de levier : z = d – 0.8x/2 = 0.09. La section d’armature est alors : As 

Mu = 3.65 cm 2 . z s

On calcule maintenant les caractéristiques de la section fissurée à l’ELS : 1 2 y   e As ( d  y )  0 . 2   ( e As ) 2  2 e As d = 1.36 10 3

La position de l’axe neutre :

Donc : Avec  e coefficient d’équivalence calculé avec un module d’élasticité sous charges permanentes E cm 31000 E c ,eff , avec : E c ,eff = = = 10300 MPa. 1   ( , t 0 ) 3  e est donc égale à

200000 10300

 19 ;

d’ou : y   e As 

 = 0.03m.

3 2 et l’inertie fissurée : l f  y   e As (d  y ) = 0.56 10 4 m 4 .

Le moment sous charges semi permanentes étant égal à M s = 0.007 MN.m, on en déduit les contraintes dans les armatures et dans le béton :  s   e M s (d  y ) / I f = 154.4 MPa.  c  M s y / I f = 3.75 MPa.

La flèche en section fissurée vaut donc : f II 

M s l xeff

2

E c ,eff I f

= 0.12m.

Si l’on suppose maintenant que la section est non fissurée, le moment statique est égal à : S 

h2   e As d = 0.008 m 4 . 2

S = 0.07m. S 3 2 Et l’inertie de la section : I  bh / 12   e As d  yS  = 3.53 10 4 m 4

La position de l’axe neutre est : y =

D’ou la flèche en section non fissurée : f I 

Travail de fin d'études 2006

5 2 M s l x ,eff /( E c ,eff I ) = 0.002m. 48

189

La clause 7.4.3 indique que la flèche est une valeur intermédiaire entre f I obtenue dans le cas non fissurée et f II pour une section entièrement fissurée : f  f II  (1   ) f I

le coefficient de distribution  est donné par l’expression 7.19 de l’EC2, exprimée à l’aide des  M cr moments :   1     Ms

2

  

.

avec :  = 0.5 dans le cas d’un chargement prolongé et M cr le moment de la 1ère fissuration ; M cr 

f ctm , fl I

,

h y

f ctm , fl : la résistance en traction par flexion donnée par l’expression 3.23 de l’EC2 comme

suit :

f ctm , fl



= Max  (1.6 

h  ) f ctm ; f ctm  1000 

 f ou : ctm est la résistance moyenne en traction directe, telle qu’indiquée dans le

tableau 3.1. Ici : f ctm , fl = Max 4.16;2.6 = 4.16 MPa.. on a alors : M cr = 0.03 MN.m. Dans ce cas  a une valeur négative. On prend donc  =0 ( une valeur négative n’ayant aucun sens physique). Donc : f  f I = 0.002 m = 2 mm est largement inférieure à la limite fixée à

l =0.0124m = 250

12.4 mm. Enfin récapitulons les résultats obtenus par l’Eurocode 2 tout en les comparant à celles trouvées au BAEL, dans le tableau suivant :

La portée de calcul L(m)

Rapport 

Eurocode 2

BAEL

l xeff  3.10m

 l x  2.8m   l y  7.5m

l yeff  7.80 m

Remarque : La portée de calcul prise par L’EC2 n’est plus la portée entre nus des appuis comme la définit le BAEL mais une portée supérieure.  eff 

l yeff l xeff

 2.52  2

donc la dalle porte dans une seule

Travail de fin d'études 2006

 eff 

lx  0.37  0.4 ly

donc la dalle porte dans une seule

190

Moments fléchissants

direction,celle de l xeff direction,celle de l x Moments de calcul suivant la plus Moments de calcul suivant la plus petite petite portée : portée : La méthode forfaitaire : M travée  1.197t.m / m p u =1.35  0.44+1.5  0.5 =1.344t/ m 2 M appui  0.817t.m / m

 

Q  0.532 QG

1+0.3  = 1.16 > 1.05.  Moments sur appuis : M B  0.5  M 01  0.5 

1.344  2.8 2 8

M appui  0.659t.m / m



Moments en travée :

M t  1.16  M 01  M travée

0.659 2  1.20t.m / m

Remarque : M travée (EC 2) < M travée (BAEL) M appui (EC 2) > M appui (BAEL)

Effort tranchant :

Armatures de flexion :

VAEd = 1.75 t/m VB Ed = 2.43 t/m.

Le BAEL donne : p u l/8 Soit : 1.344  2.8/8 = 1.88 majoré de 10% soit : 2.07 t/m

Remarque par interpolation linéaire, on trouve que l’EC2 prévoit un effort tranchant de 2.09 t/m au milieu de la travée. Le résultat est presque identique à celui fournit par le BAEL. Armatures inférieures dans le sens Armatures inférieures dans le sens de la de la petite portée : petite portée : M t  1.20 tm/m= 0.012 MNm/m. Le moment M Ed  M tx  1.1970tm M 0.012  2t  = 0.012 MNm/m. bd  bc 1  0.095 2  16.7 = 0.08 < 0.186 donc pivot A. donne :   1.25(1  1  2  ) = 0.104 Atx = 3.66 cm 2 /m z  (1  0.4 ) d = 0.09 m.  s  10 0 00 .  s = 348 MPa. M Atx  t = 3.83 cm 2 /m. z s Remarques :

Travail de fin d'études 2006

191

En partant de moments identiques, l’EC2 et le BAEL donnent deux sections d’armature différentes!  Ceci est du à l’utilisation de la loi de comportement avec branche inclinée et déformation limitée des aciers pour l’EC2, puisqu’elle s’est avéré plus favorable.   s (EC2) calculable >  st ( BAEL) constante = 10 0 00   s (EC2) calculable >  st ( BAEL) constante = 348 MPa. Armatures inférieures dans le sens Armatures inférieures dans le sens de la de la grande portée : grande portée : Aty  0.2  Atx = 0.77 cm 2 /m.

L’article A..8.2,41 dispose que :

Aty Atx



1 4

Puisque les charges appliquées sur la dalle sont toutes réparties ; Donc : Aty = 0.25 Atx = 0.25  3.83 = 0.96cm 2 /m. Remarques : La section d’armature prévue dans le BAEL est toujours plus grande que celle de l’EC2. Armatures supérieures : Armatures supérieures : As = 2.95 cm 2 /m. On a : M appui  0.659t.m / m = 0.007MN.m/m. (4.33cm 2 /m sans redistribution) M 0.007  2t  bd  bc 1  0.095 2  16.7 = 0.046 < 0.186 donc pivot A.   1.25(1  1  2  ) = 0.059 z  (1  0.4 ) d = 0.09 m.  s  10 0 00 .  s = 348 MPa. As 

sections minimales :

M appui z s

= 2.23 cm 2 /m.

Remarques : Comme a été prévu, la section d’armatures dans l’EC2 est légèrement supérieure à celle du BAEL. Armatures inférieures : Armatures inférieures : (clauses 7.3.2 et 9.3 de l’EC2-1-1). As , min = 1.61 cm 2 /m.

Travail de fin d'études 2006

(B.4.7) du BAEL 91 dispose que : les taux minimales d’acier  x dans le sens x et  y dans le sens y doivent satisfaire les inégalités suivantes :

192

3

 x  0

lx l y et  y   0

2 avec  0 est le rapport du volume des aciers à celui du béton, mais rapporté à l’épaisseur de la dalle. dans notre cas :  0 = 0.0008 ainsi : Atx   x  b  h

 0.0008  et

Aty

2.8 7.5 2

3

 1  0.12

 0  b  h  0.0008  0.12

donc : Ax ,min = 1.26 cm 2 /m. on a bien 3.83 cm 2 /m >1.26 cm 2 /m

Armatures supérieures dans le sens de la petite portée  Armatures supérieures coté encastrement on a bien : 2.95 cm 2 /m>0.25  3.66 cm 2 /m.  Armatures supérieures coté non encastré Soit : 0.15  3.66 = 0.55 cm 2 /m

A y , min = 0.96 cm 2 /m. et on a bien 0.96cm 2 /m  0.96 cm 2 /m. Armatures supérieures dans le sens de la petite portée  Armatures supérieures coté non encastré : (Article A.8.2,43 ) Soit : 2.23 cm 2 /m > 0.15  3.83 = 0.48 cm 2 /m.

Remarques : les sections d’armatures calculées sont bien bonnes et dépassent les sections minimales pour les deux règlements. Cependant, L’EC2 est plus exigent en armature minimales que le BAEL.

sections maximales :

As doit être < 0.04 Ac ou Ac représente la section

transversale du béton : 0.04 Ac = 0.04  100  12 = 48cm 2 /m.

Travail de fin d'études 2006

As doit être < 0.05 Ac ou Ac représente la section transversale du béton : 0.05 Ac = 0.05  100  12

= 60cm 2 /m.

193

Ecartements des armatures

Arrêt des armatures :

Les écartements maximaux doivent respecter: Min  3h;40cm  = 36 cm pour les armatures parallèles aux petits cotés.

Les écartements maximaux doivent respecter: Min  3h;33cm = 33 cm pour les armatures parallèles aux petits cotés.

Min  3.5h;45cm = 42 cm pour Min  4h;45cm = 45 cm pour les armatures les armatures parallèles aux grands parallèles aux grands cotés. cotés. Remarques : l’EC2 propose que les armatures inférieures dans le sens de la grande portée (0.77 cm 2 /m) sont disposées avec un écartement maximal de 42cm. le BAEL exige un écartement maximal plus grand, de 45cm, alors que qu’il prévoit plus d’armatures (0.96 cm 2 /m)! Armatures inférieures : Armatures inférieures :(A.8.2,43) ( 9.31.2 et 9.2.1.4 de l’EC2) soit : soit : 3.83/2 = 1.92 >1.26cm 2 /m. 2 3.66/2 = 1.83 >1.61cm /m. armatures supérieures : armatures supérieures : En appuis intermédiaires : En appuis intermédiaires Le BAEL retient forfaitairement le quart de l1  Max l bd ;0.2l x ) la portée : application numérique : 2.8 l1 = Max [ 33 ; 72] = 72 cm. Soit : = 0.7m = 70cm. 4

En appui d’extrémité : l1 = 62 cm Remarques : En appui intermédiaire, les deux règlements donnent des valeurs très proches. Armatures d’âme :

La flèche

Mais la longueur l1 donnée par l’EC2 est légèrement plus grande. (6.2.1) de l’EC2 : (A,5.2,2) du BAEL 91: Il n’est pas nécessaire d’avoir des On a : h = 0.12m  0.15m armatures d’âme.(clause 6.2.1). Donc la dalle est considérée comme élément mince et donc ne comporte pas d’armatures d’effort tranchant. f = 0.002 m = 2mm est largement La méthode de l’inertie fissurée : l Soit I 0 le moment d’inertie de la section inférieure à la limite fixée à = 500 totale homogène (avec n = 15 ) : 2 0.0062m b.h 3  h I   15  A    0 s = 6.2 mm. 12  2 =

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0.12 3 + 15  3.83 10 4 12



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0.12 2 4

= 1.65 10 4 (formule approchée supposant que le centre de gravité de la section totale homogène est au centre géométrique, approximation justifiée ici) 0.05 f t 28 As i  b0 avec :   on calcule : b0 d  (2  3 ) b on trouve : i = 5.21. 1.75 f t 28 puis :   1  =0.477 >0 4  s  f t 28 l’inertie fissurée vaut : 1.1I 0 I fi  =5.21 10 5 1  i  les courbures valent :

1 M ser  r E i I fi

enfin la flèche vaut : fi 

.L2  1    = 0.0033m = 3.3mm 10  r 

la flèche ainsi calculée est bien inférieure à la flèche limite :

L = 0.0056m = 5.6mm. 500

Remarques : La flèche donnée par le BAEL est plus défavorable mais sa valeur limite est plus petite que celle prescrite dans l’Eurocode 2. Le calcul des éléments porteurs du bâtiment que nous venons de faire, nous a permis de présenter la tableau suivant : BAEL

Eurocode 2

Poteau

24,4Kg

15,7Kg

Poutre continue

27,2Kg

30,9Kg

Poutre isostatique

27,8Kg

29,5Kg

5,65Kg/m

6,22Kg/m

Dalle

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Conclusion L’Eurocode 2 est utilisable pour la conception et le dimensionnement d’une grande partie des structures courantes en béton non armé, armé ou précontraint. C’est un texte qui fait, enfin, disparaître le clivage entre béton armé et béton précontraint existant dans les règlements nationaux. De plus, la rédaction de l’Eurocode 2 donne une grande liberté de choix au concepteur ou au calculateur. En effet, il évite les clauses dites text book, c’est à dire les références théoriques ( cours de béton armé, par exemple) pour ne laisser que la partie normative nécessaire à la conception et au calcul. De même, plusieurs méthodes sont souvent proposées pour résoudre un même problème. Se présentant au premier abord comme un ensemble de règles relativement complexes, l’Eurocode 2 se révèle, toutefois, riche et complet. D’ailleurs, notre étude donne déjà des indications intéressantes : tout en assurant un bon niveau de sécurité, l’emploi de l’Eurocode 2 ne bouleverse pas l’économie des projets. Il est même permis de penser que la prise en compte plus explicite de l’exigence de durabilité dans les projets prévue par l’Eurocode 2 peut conduire à une réduction des coûts, qui toutefois ne pourrait être détectée qu’à l’issue d’un bilan global actualisé. Notons enfin, que certaines règles techniques peuvent être mal interprétés, ou mélangées sans précaution avec les règles anciennes, par des ingénieurs peu compétents ou mal formés : les dangers d’utilisation des Eurocodes sont principalement liés à ce risque. Sans oublier que l’utilisation des Eurocodes et notamment de l’Eurocode 2 exigera de faire appel à ces annexes nationales et ces documents guide, et ce ne sera pas aussi simple que dans la situation actuelle ou sont réunis dans une même brochure toutes les règles à appliquer pour un certain type de constructions. Il faudra donc être très vigilant tant que ce mode de travail ne sera pas complètement entré dans les habitudes.

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Bibliographie 

           



 

 



NF EN 1992-1-1, décembre 2004 ( indice de classement :P 18-711-1 ), Eurocode 2 : Calcul des structures en béton - Partie 1-1 : Règles générales et règles pour les bâtiments. P 18-711-2, Annexe nationale à l’Eurocode 2, partie 1-1 . Résistance des matériaux, tome 2, par S. P Timoshenko : Edition Dunod technique . Exercices de béton armé selon les règles BAEL83, par Pierre charou : Edition Eyrolles . Propriétés des bétons, par Adam M. Neville : Edition Eyrolles . Béton armé BAEL91 modifiée 99 et DTU associés, par Jean- Pierre Mougin : Edition Eyrolles. Règles BAEL91 modifiée 99 Règles techniques de conception et de calcul des ouvrages et constructions en béton armé suivant la méthode des Etats- limites : Edition Maîtrise du BAEL91 et des DTU associés, par Jean Perchat, Jean Roux, : Edition Eyrolles . Pratique du BAEL91, par Jean Perchat, Jean Roux : Edition Eyrolles . Formulaire du béton armé volume1 : Calculs, par Victor Davidovici : Edition Moniteur . Calcul pratique du béton armé Règles BAEL83, par Géorges Dreux : Edition Eyrolles Conception et calcul des structures de bâtiment Tome 1, 3, 6, par Henry Thonier : Edition Presses de l’école nationale des ponts et chaussées. Introduction aux Euro codes, sécurité des constructions et bases de la théorie de la fiabilité, par Jean- Armand Calgaro : Edition Presses de l’école nationale des ponts et chaussées. Applications de l’Eurocode2, Calcul des bâtiment en béton, sous la direction de JeanArmand Calgaro et Jacques CORTADE : Edition Presses de l’école nationale des ponts et chaussées 2005. Eurocodes structuraux — Eurocodes : Bases de calcul des structures Eurocode 1 — Actions sur les structures — Partie 1-1 : Actions générales -Poids volumiques, poids propres, charges d'exploitation pour les bâtiments Sites internet. Règlement de construction parasismique RPS2000 version 2002 (applicable aux bâtiments). V. Davidovicci, Formulaire du béton armé : règles BAEL 91, Eurocode 2 et règles Parasismiques 92, tome II, Editions du Moniteur, Paris, 1995.

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Annexes

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Annexe 1 : Caractéristiques du béton

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Tableau 23 : Caractéristiques de résistance et de déformation du béton

Annexe 2

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a) Environnement intérieur – RH = 50%

Note : - le point d'intersection des droites 4 et 5 peut également se situer au-dessus du point 1 - pour t0 > 100, il est suffisamment précis de supposer t0 = 100 (et d'utiliser la tangente)

b) Environnement extérieur - RH = 80% Figure 25 : Méthode de détermination du coefficient de fluage pour le béton dans des conditions d'environnement normales

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202

Annexe 3 Tableau 24 : : Classes d'exposition en fonction des conditions d'environnement

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203

Annexe 4 Tableau 25 : Enrobage minimal c min;b requis vis-à-vis de l'adhérence

Tableau 26 : Classification structurale recommandée

Tableau 27 : Valeurs de l'enrobage minimal c min,dur requis vis-à-vis de la durabilité dans le cas des armatures de béton armé.

Annexe 5 :Questionnaire A L’attention des responsables techniques Travail de fin d'études 2006

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Dans le cadre de notre travail de fin d’étude pour l’obtention du diplôme d’ingénieur d’état en génie civil à l’EHTP, nous réalisons une étude comparative entre le BAEL91 et L’EUROCODE II . Auriez-vous un instant à nous consacrer pour répondre à quelques questions, s’il vous plaît ? 1. vous êtes ……………………….du BET …………………………………………………. 2. Quel est le règlement que vous utilisez pour dimensionner une structure porteuse en béton armé ? BAEL 91  Autre  lesquels ? ………………………………………………………………………………………....... 3. Est-ce que vous trouvez des difficultés à appliquer le BAEL 91 ? Oui  Non  Si oui, lesquels ? …………………………………………………………………………………………… 4. Si on vous demande de noter le BAEL 91 , quelle note auriez vous donné : …/10 5. Avez-vous une intention de changer le règlement BAEL 91 par un autre? Oui  Non  6. Avez-vous une idée sur les EUROCODES : les nouveaux règlements appliqués par l’Europe pour le dimensionnement et la vérification des ouvrages de génie civil ? Oui 

Non 

7. Connaissez-vous les différences au niveau des règles entre BAEL 91 et l’EUROCODE II , dans la partie consacrée au calcul du bâtiment ? Oui  Non  Si oui, lesquels ? …………………………………………………………………………………………… 8. Si vous trouverez que l’EUROCODE II est plus complet que le BAEL 91 sur tous les plans , est ce que vous êtes prêt à subir une formation pour l’appliquer ? Oui  Non  Si vous avez d’autres remarques concernant le BAEL 91 ou l’EUROCODE II , veuillez les mentionner s’il vous plait ……………………………………………………………………………………………………… …………..……………………………………………………………………………………….. Nous vous remercions de votre collaboration.

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Analyse du questionnaire Résultats : 2. Quel est le règlement que vous utilisez pour dimensionner une structure porteuse en béton armé ?

lesquels ?  RPS 2000 

PS92



Additifs 99 et DTU

3. Est-ce que vous trouvez des difficultés à appliquer le BAEL 91 ?

Si oui, lesquels ?  Un règlement n’est jamais très explicite  

Le BAEL est un peu difficile à appliquer pour les structures complexes Le calcul des sollicitations reprises par le béton comprimé et par les armatures, pour les structures complexes, n’est pas très clair

4. Si on vous demande de noter le BAEL 91 , quelle note auriez vous donné : 8/10 5. Avez-vous une intention de changer le règlement BAEL 91 par un autre?

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6. Avez-vous une idée sur les EUROCODES : les nouveaux règlements appliqués par l’Europe pour le dimensionnement et la vérification des ouvrages de génie civil ?

7. Connaissez-vous les différences au niveau des règles entre BAEL 91 et l’EUROCODE II , dans la partie consacrée au calcul du bâtiment ?

8. Si vous trouverez que l’EUROCODE II est plus compétant que le BAEL 91 sur tous les plans , est ce que vous êtes prêt à subir une formation pour l’appliquer ?

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Conclusions :  88% des responsables techniques utilisent les règles BAEL91 pour la conception et le dimensionnement des structures en béton armé.  La majorité des bureaux d’études ne trouvent pas des difficultés à appliquer correctement le BAEL91. Par conséquence, ils n’ont aucune volonté à le changer par un autre règlement.  La plupart des utilisateurs des règles BAEL91 n’ont pas une idée sur le nouveau règlement européen et ne connaissent pas ses nouveautés par rapport au règlement français BAEL91, mais, ils sont tous prêt à subir des formations de l’Eurocode2 pour améliorer leurs méthodes de calcul des structures porteuses en béton armé .

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