Projet Escalier
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Escalier
Escalier
Généralités Un escalier se compose d’un certain nombre de marches. On appelle emmarchement la longueur de ces marches ; g la largeur d’une marche et marche et s’appelle le giron ; giron ; h est la hauteur d’une marche. Le mur qui limite l’escalier s’appelle mur d’échiffre. d’échiffre. Le plafond qui monte sous les marches s’appelle paillasse. La partie verticale d’une marche s’appelle contre marche. La cage est le volume circonscrit à l’escalier. Les marches peuvent prendre appui sur s ur une poutre droite, courbe en hélicoïdale qu’on appelle limon. La projection horizontale d’un escalier laisse au milieu un espace appelé : jour Le collet est le bord qui limite l’escalier du côté du jour. La ligne de foulée est la courbe décrite par décrite par une personne gravissant l’escalier, on la suppose tracée à 0,50 en arrière du collet. On appelle échappée la hauteur libre verticale au-dessus au-dessus de l’arête l’arête ou nez d’une marche, minimum : 1,90 m. Une suite ininterrompue de marches s’appelle une volée, une volée peut être droite ou courbe, elle doit comporter au maximum 18 à 20 marches, la partie horizontale d’un escalier entre eux volées s’appelle un pallier ou pallier de repos. A chaque étage l’escalier aboutit à un palier d’arrivée, d’arrivée, qui est en même temps palier de départ de l’étage l’étage audessus. La longueur d’un palier doit être de trois marches. Du côté du vide, les volées et paliers sont munis d’un garde-corps ou rampe. Deux volées parallèles ou en biais sont réunies par un ou plusieurs paliers ou par un quartier tournant, cette dernière disposition de construction plus délicate, permet de gagner un peu de place sur le développement de l’escalier.
Différents systèmes d’escaliers On peut pratiquement à condition bien entendu que les dimensions le permettent, adapter un tracé d’escalier à n’importe qu’elle forme de cage. Un escalier extérieur permettant l’accès d’un immeuble s’appelle un perron. On peut en imaginer de formes et de dispositions très variés.
Dimensions des escaliers, Tracé D’après la formule de BLONDEL, on a : 0 .59 ≤ g+2h ≤ 0 66 g+2h = 0.59 : correspond à des escaliers courants d’appartement g+2h = 0 66 : correspond à des locaux publics. Généralement ; on utilise : g+2h = 0 .64 m avec : g=30cm ; h=17cm . L’emmarchement des escaliers est :
Pour les escaliers courants : 1m. Les grands escaliers : 1.50 à 2.00 m. Les escaliers de service : de 0.70 à 0.90 m Les descentes de caves: 1m.
Un collet normal a 10cm d’épaisseur et 6 cm au minimum. H : hauteur libre sons plafond + épaisseur du plancher fini (hauteur d’étage) N : le nombre de marches : ou inférieur).
h=
n=
(on prendra le nombre entier n’immédiatement supérieur
Méthodes de Calcul La méthode de calcul à utiliser dépendra de la disposition envisagée pour l’escalier ; on peut distinguer : escalier en console, escalier à limon, escalier sans limon, escalier à paillasses adjacentes.
Escaliers à paillasses adjacentes On appelle paillasse en terme de bâtiment, le plafond incliné courant sous une volée d’escalier. Du point de vue béton armé on appelle aussi paillasse de la dalle inclinée
supportant les marches. Il existe de nombreux types d’escaliers a paillasse avec un ou deux paliers, volées droites adjacentes, paillasses à quartier tournant, paillasse hélicoïdale . A noter que dans notre cas d’étude notre dévolu s’est jeté sur le modèle d’escalier à paillasses adjacentes.
Escaliers à paillasses adjacentes C’est un escalier à deux paillasses et un palier intermédiaire. Ces systèmes constructifs sont très variés selon les possibilités d’appui des paillasses et du pallier sur les murs, poutres et voiles formant la cage d’escalier. Dans tous les systèmes, les paillasses prennent appui sur les planchers d’étages (appui simple ou plus ou moins encastré) selon la ligne AB par des poutres ou des murs, mais des appuis existent ou non selon AC, BD et CD.
On peut enfin n’avoir d’appui possible que selon AB ; cette possibilité qui paraît favorable s’explique très bien si on voit l’escalier dans l’espace et les deux volées inclinées raccordées par le palier horizontal, le triangle AB, A’B’, EF état indéformable. Le calcul est très simple. Soit P la réaction d’appui de chaque volée ; en EF, l’effort total vertical est 2P qui se décompose en deux efforts égaux C 1 et T1 compression et traction.
C1 = T1
Par ailleurs, le palier est en porte à faux sur les volées. Soit P 1 l’effort tranchant et
moment d’encastrement. Ces deux valeurs introduisent dans chaque volée un moment
et
le
deux nouveaux efforts :
C2= T2
Chaque volée sera donc une pièce fléchie calculée comme nous savons le faire compte tenu des conditions d’extrémité ef fectives en A/B et A’/B’ et d’une articulation en E/F ou encore
selon le calcul plastique en EF au moment et aux efforts normaux :
N Le palier est à calculer en porte à faux : moment
et effort tranchant P1.En plan chaque volée
réagit horizontalement sur le palier ce qui introduit un moment de torsion Ncos dans le pallier que l’on peut considérer comme intéressant chacune des deux volées pour
transmis par flexion jusqu’aux planchers ou sont attelées les volées. Les efforts Ncos cidessus fléchissent horizontalement le palier qui constitue une poutre plate de grande hauteur.
Nous avons dit que l’on pouvait conduire les calculs en admettant comme encastrées leur jonction, par le pallier, doit dans ce cas transmettre par torsion le moment d’encastrement admis d’une volée à l’autre ; il n’y a là aucune difficulté pratique, l’inertie de torsion du palier étant très importante.
Réf. Traité de BETON ARMÉ par A. Guerrin page 318-320
Pré-dimensionnement On sait que Ht = h/2==== avec Ht = 3,70 m === Ht = 1,85 m Calcul du nombre de marches
Donc n= 10 marches nombre total de marches 20 Calcul du contre marche :
Calcul du giron
Nous retiendrons g = 30 cm puisque 25
Calcul de l’angle de l’inclinaison
Calcul de l’épaisseur de la paillasse L’épaisseur des paillasses :
l 30
e
l 20
avec l
L cos
, L = 2.80m nous retiendrons
e = 0.15 m. Calcul de l’épaisseur du palier L’épaisseur du palier :
l 30
e
l 20
avec L = 1.66m on retiendra e = 0.20m.
Descente de charge: - Poids propre de la paillasse; - Poids propre des marches; - Sur charge; q = poids Propre de la paillasse + poids propre des marches + surcharges. Pp: Paillasse = 2500*Z=2500*
[N/m²] pour une bande de 1m de largeur.
α : l’inclinaison de la paillasse. P. des marches= [N/m3]: pour un béton non armé. Remarque : En charge marche, on a un poids propre
⇒ peut
être considéré comme une charge
uniformément repartie. * 25000*
25000
Pour une bande de 1 mètre de largeur
⇒ sera q en [N/m]
S : surcharge majorée. F1 : effort normal; F 2:effort de flexion. Remarque :
L’effort normal engendré dans la section est très faible
⇒on
ne considère que la
flexion simple (pas de flexion composée).
La composante horizontale est considérée comme un effort normal qui a tendance à faire tendre la partie supérieure et comprimer la partie inférieure.
Palier Charges permanentes Poids propre du palier : G 1 Poids propre du revêtement : G 2
Poids propre d’enduit hydraulique:G 3
Poids propre total du palier : GT Gi 6660 N/m Charges d’exploitation : Q 4500 1m 4500 N/m Combinaison d’action :
Pu 1.35G 1.5Q 15741 N/m Pser G Q 11160 N/m
Paillasses Charges permanentes Poids propre de la paillasse : G1 Poids propre d’une marche : G2
Poids propre du revêtement : G3 1000 1m 1000 N/m Poids propre d’enduit hydraulique: G 4
Poids propre du garde-corps : G5 2000 1m 2000 N/m Poids propre total de la paillasse : GT Gi 9909,87 N/m
Charges d’exploitation : Q 4500 1m 4500 N/m
Combinaison d’action : Pu 1.35G 1.5Q 20128, 32 N/m Pser G Q 14409, 87 N/m
Sollicitations On devra considérer que les éléments de l’escalier travaillent d’une part à la traction et d’autre part à la compression. Les paillasses étant encastrées à ses extrémités et partiellement encastrées à la jonction.
Palier A l’ ELU Le moment à l’appui B : M B
Ql 2 2
L’effort tranchant à l’appui B : Pl = 2*Q
L’effort Normal dans le palier : N
V
tg
A l’ELS Le moment à l’appui B : M B
Ql 2 2
L’effort tranchant à l’appui B : P1 = 2* Q
L’effort Normal dans le palier : N
V
tg
22320 N
Paillasses A l’ELU Volée basse : au ml horizontal
L’effort tranchant à l’appui B :
==
= 33111, 08 N
C2 = T2 =
C1 = T1 =
La volée étant encastrée à ses deux extrémités M à l’appui EF MEF =
M b = = 35304,87 N.m
Calcul du moment A’/B M positif =
MA’/B
Le moment d’appui d’une volée au droit du palier n’est équilibré qu’en partie par le moment de flexion de celui-ci. Moment de torsion résiduel
Mt= 31584,81 = 9896, 87 N.m Calcul du moment en travée
A l’ELS
Volée basse : au ml horizontal L’effort tranchant à l’appui B :
==
= 23704,23 N
C2 = T2 =
C1 = T1 =
La volée étant encastrée à ses deux extrémités M à l’appui EF MEF =
M b
=
= 25124, 60 N.m
Calcul du moment A’/B M positif =
MA’/B
Le moment d’appui d’une volée au droit du palier n’est équilibré qu’en partie par le moment de flexion de celui-ci.
Moment de torsion résiduel Mt= 25124, 60
= 9748,36 N.m
Calcul du moment en travée
Section d’ armatures er
1 cas La paillasse travaille en traction Aux appuis La position du centre de pression C
h
0.346 m (d ) 0,035m 2
, le centre de pression se trouve à l’extérieur du
segment limité par les armatures et l’effort normal étant un effort de traction, donc la section est partiellement tendue.
Etat-limite ultime Au centre de gravité du béton seul e0u
e0u
e0u = 0,369 m
ea = eou – ( d- h/2 ) 0,369 - ( 0,11- 0,15/2 ) ea = 0,334m
Sollicitations ramenées au centre de gravité des aciers tendus MuA = Nu * ea MuA = * 0,334= 31893,23 N.m
Etat-limite service e0ser
e0ser
e0u = 0,369 m
Au centre de gravité du béton seul ea = eoser – ( d- h/2 ) 0,369 - ( 0,11- 0,15/2 ) ea = 0,334m Sollicitations ramenées au centre de gravité des aciers tendus MserA = Nser * ea MserA = * 0,334= 22761, 69 N.m
Armatures Introduction A l’état limite ultime Nu < 0 traction = Nu = - N e0u
d2 == e0u 0,04 = e0u d2 e0u = 0, 035 m
Calcul en flexion simple Calcul du moment réduit limite
= 1, 40
Par la formule approchée valable pour FeE400 et f c28 104
lu
4 10
lu
lu Nécessités d’aciers comprimés A’
bu = 0,205 bu lu
donc pas de nécessité d’armatures comprimées
Section A d’aciers tendus On va utiliser la formule simplifiée étant donnée
bu lu
réf. BAEL 91 cours pratique page
226 z b d (1- 0,6 bu) ==== z b 0,11 (1- 0,6 0,205) = 0,09 m
Armatures en flexion composée A= A –
A= 11, 17 +
à 25 cm
La section d’aciers de répartition :
à 30 cm
La condition de non fragilité :
0,011 0,001 la condition est vérifiée
Le diamètre minimal des barres :
h
0
10
0 N 5 1.588cm 1.8cm , N 5 convient !
Vérification à l’ELS Vis-à-vis de l’état de condition de compression du béton : bc bc 15 MPa Vis-à-vis de l’état de condition de fissuration des aciers : D’où, Ast
=== D
st st
240 Pa
D = 2, 19 cm 2
cm2 √ y = 5 cm 1- K= 15
L’état de condition des fissurations des aciers :
L’état de condition de compression du béton :
Les conditions Vis-à-vis de la durabilité de l’ouvrage sont assurées. La nécessite d’armatures d’âme :
0,28 MPa
0,05 les armatures d’âme ne sont pas nécessaires
Etat-limite ultime En travée Au centre de gravité du béton seul e0u
e0u
e0u = 0,171 m
ea = eou – ( d- h/2 ) 0,171 - ( 0,11- 0,15/2 ) ea = 0,136m Sollicitations ramenées au centre de gravité des aciers tendus MuA = Nu * ea MuA = * 0,136= 12981, 04 N.m
Etat-limite service e0ser
e0ser
e0u = 0,171 m
Au centre de gravité du béton seul ea = eoser – ( d- h/2 ) 0,369 - ( 0,11- 0,15/2 ) ea = 0,136m Sollicitations ramenées au centre de gravité des aciers tendus MserA = Nser * ea MserA = * 0,136= 9268,23 N.m
Armatures Introduction A l’état limite ultime Nu < 0 traction = Nu = - N e0u
d2 == e0u 0,04 = e0u d2 e0u = 0, 035 m
Calcul en flexion simple Calcul du moment réduit limite
= 1, 40 Par la formule approchée valable pour FeE400 et f c28 104
lu
104
lu
lu Nécessités d’aciers comprimés A’
bu = 0,095 bu lu
donc pas de nécessité d’armatures comprimées
Section A d’aciers tendus On va utiliser la formule simplifiée étant donnée
bu lu
Réf. BAEL 91 cours pratique page 226 z b d (1- 0,6 bu) ==== z b 0,11 (1- 0,6 0,095) = 0,103 m
Armatures en flexion composée A= A -
A= 4, 57 +
à 25 cm
La section d’aciers de répartition :
soit 2,13cm2 à 30cm
La condition de non fragilité :
0,004 0,001 la condition est vérifiée
Le diamètre minimal des barres :
h
0
10
0 N 5 1.588cm 1.8cm , N 5 convient !
Vérification à ELS Vis-à-vis de l’état de condition de compression du béton : bc bc 15 MPa Vis-à-vis de l’état de condition de fissuration des aciers : D’où, Ast
=== D
D = 0,8 cm 2
cm2 √ y = 3,48 cm 1- K= 15
L’état de condition des fissurations des aciers :
st
st
240 Pa
L’état de condition de compression du béton :
Les conditions Vis-à-vis de la durabilité de l’ouvrage sont assurées.
0,05
La nécessite d’armatures d’âme :
0,28 MPa
les armatures d’âme ne sont pas nécessaires
Section d’ armatures
2eme cas La paillasse travaille en compression Aux appuis La position du centre de pression C
h
0.346 m (d ) 0,035m 2
, le centre de pression se trouve à l’extérieur
du segment limité par les armatures et l’effort normal étant un effort de traction, donc la section est partiellement tendue.
Etat-limite ultime Au centre de gravité du béton seul e0u
e0u
e0u = 0,369 m
ea = eou – ( d- h/2 ) 0,369 - ( 0,11- 0,15/2 ) ea = 0,334m
Sollicitations ramenées au centre de gravité des aciers tendus MuA = Nu * ea MuA = * 0,334= 31893,23 N.m
Etat-limite service e0ser
e0ser
e0u = 0,369 m
Au centre de gravité du béton seul ea = eoser – ( d- h/2 ) 0,369 - ( 0,11- 0,15/2 ) ea = 0,334m
Sollicitations ramenées au centre de gravité des aciers tendus MserA = Nser * ea MserA = * 0,334= 22761, 69 N.m
Armatures -
Aux appuis :
Introduction A l’état limite ultime Nu > 0 traction = Nu = N e0u
d2 == e0u 0,04 = e0u d2 e0u = 0, 035 m
Calcul en flexion simple Calcul du moment réduit limite
= 1, 40
Par la formule approchée valable pour FeE400 et f c28 104
lu
4 10
lu
lu Nécessités d’aciers comprimés A’
bu = 0,205 bu lu
donc pas de nécessité d’armatures comprimées
Section A d’aciers tendus On va utiliser la formule simplifiée étant donnée
bu lu
réf. BAEL 91 cours pratique page
226 z b d (1- 0,6 bu) ==== z b 0,11 (1- 0,6 0,205) = 0,09 m
Armatures en flexion composée A= A –
A= 11, 17 –
La section d’aciers de répartition :
La condition de non fragilité :
0,008 0,001 la condition est vérifiée
Vérification à ELS Section minimale e à ELS ayant même signe que N : e0ser = - 0,369
*
*
0,05
La nécessite d’armatures d’âme :
Etat-limite ultime -
En travée :
Au centre de gravité du béton seul e0u
e0u
e0u = 0,171 m
ea = eou – ( d- h/2 ) 0,171 - ( 0,11- 0,15/2 ) ea = 0,136m
Sollicitations ramenées au centre de gravité des aciers tendus MuA = Nu * ea MuA = * 0,136= 12981, 04 N.m
Etat-limite service e0ser
e0ser
e0u = 0,171 m
Au centre de gravité du béton seul ea = eoser – ( d- h/2 ) 0,369 - ( 0,11- 0,15/2 ) ea = 0,136m
Sollicitations ramenées au centre de gravité des aciers tendus MserA = Nser * ea MserA = * 0,136= 9268,23 N.m
Armatures En travée Introduction A l’état limite ultime Nu > 0 compression = Nu = e0u
N
d2 == e0u 0,04 = e0u d2 e0u = 0, 035 m
Calcul en flexion simple Calcul du moment réduit limite
= 1, 40 Par la formule approchée valable pour FeE400 et f c28 104
lu
4 10
lu
lu Nécessités d’aciers comprimes A’
bu = 0,095 bu lu
donc pas de nécessité d’armatures comprimées
Section A d’aciers tendus On va utiliser la formule simplifiée étant donnée
bu lu
réf. BAEL 91 cours pratique page
226 z b d (1- 0,6 bu) ==== z b 0,11 (1- 0,6 0,095) = 0,103 m
Armatures en flexion composée A= A -
A= 4, 57 -
La section d’aciers de répartition :
La condition de non fragilité :
0,004 0,001 la condition est vérifiée
Vérification à ELS Section minimale e à ELS ayant même signe que N : e0ser = - 0,369
*
*
ok
Pallier En traction La position du centre de pression C
h
0.413 m (d ) 0,06m 2
, le centre de pression se trouve à l’extérieur du
segment limité par les armatures et l’effort normal étant un effort de traction, donc la section est partiellement tendue.
Etat-limite ultime Au centre de gravité du béton seul e0u
e0u
e0u = 0,413 m
ea = eou – ( d- h/2 ) 0,413 - ( 0,16- 0,20/2 ) ea = 0,353m
Sollicitations ramenées au centre de gravité des aciers tendus MuA = Nu * ea MuA = * 0,353= 18495,37 N.m
Etat-limite service e0ser
e0ser
e0u = 0,413 m
Au centre de gravité du béton seul ea = eou – ( d- h/2 ) 0,413 - ( 0,16- 0,20/2 ) ea = 0,353m
Sollicitations ramenées au centre de gravité des aciers tendus MserA = Nser * ea MserA = * 0,353= 13112,78 N.m
Armatures Introduction A l’état limite ultime Nu < 0 traction = Nu = - N e0u
d2 == e0u 0,04 = e0u d2 e0u = 0, 06 m
Calcul en flexion simple Calcul du moment réduit limite
= 1,41 Par la formule approchée valable pour FeE400 et f c28 104
lu
4 10
lu
lu Nécessités d’aciers comprimes A’
bu = 0,059 bu lu
donc pas de nécessité d’armatures comprimées
Section A d’aciers tendus On va utiliser la formule simplifiée étant donnée
bu lu
réf. BAEL 91 cours pratique page
226 z b d (1- 0,6 bu) ==== z b 0,16 (1- 0,6 0,059) = 0,154 m
Armatures en flexion composée A= A -
A= 4,04 +
soit 5,08 cm 2 à 25 cm
La section d’aciers de répartition :
soit 2,84 cm2 à 25 cm
La condition de non fragilité :
0,008 0,001 la condition est vérifiée
Le diamètre minimal des barres :
h 10
0
0 N 5 1.588cm 1.8cm , N 5 convient !
Vérification à ELS Section minimale e à ELS ayant même signe que N : e0ser = - 0,369
*
*
ok
En compression La position du centre de pression C
h
0.413 m (d ) 0,06m 2
, le centre de pression se trouve à l’extérieur du
segment limité par les armatures et l’effort normal étant un effort de traction, donc la section est partiellement tendue.
Etat-limite ultime Au centre de gravité du béton seul e0u
e0u
e0u = 0,413 m
ea = eou – ( d- h/2 ) 0,413 - ( 0,16- 0,20/2 ) ea = 0,353m Sollicitations ramenées au centre de gravité des aciers tendus MuA = Nu * ea MuA = * 0,353= 18495,37 N.m
Etat-limite service e0ser
e0ser
e0u = 0,413 m
Au centre de gravité du béton seul ea = eou – ( d- h/2 ) 0,413 - ( 0,16- 0,20/2 ) ea = 0,353m
Sollicitations ramenées au centre de gravité des aciers tendus MserA = Nser * ea MserA = * 0,353= 13112,78 N.m
Armatures Introduction A l’état limite ultime Nu < 0 traction = Nu = - N e0u
d2 == e0u 0,04 = e0u d2 e0u = 0, 06 m
Calcul en flexion simple Calcul du moment réduit limite
= 1,41 Par la formule approchée valable pour FeE400 et f c28 104
lu
4 10
lu
lu Nécessités d’aciers comprimes A’
bu = 0,059 bu lu
donc pas de nécessité d’armatures comprimées
Section A d’aciers tendus On va utiliser la formule simplifiée étant donnée
bu lu
réf. BAEL 91 cours pratique page
226 z b d (1- 0,6 bu) ==== z b 0,16 (1- 0,6 0,059) = 0,154 m
Armatures en flexion composée A= A -
A= 4,04
soit 3,81 cm2
La section d’aciers de répartition :
soit 2,13 cm2
La condition de non fragilité :
0,003 0,001 la condition est vérifiée
Le diamètre minimal des barres :
h 10
0
0 N 5 1.588cm 1.8cm , N 5 convient !
Vérification à ELS Section minimale e à ELS ayant même signe que N : e0ser = - 0,369
*
*
ok
Poutre de jonction des paillasses et du palier Section d’armatures
(Fissuration préjudiciable : justification à ELUR et vérification à ELS ) La contrainte résultante doit être satisfaisante. On complétera cette résistance à la torsion pour la détermination du ferraillage complet de cette poutre éventuelle. Des essais ont prouvé que le noyau d’une section pleine ne jouait aucun rôle dans l’état limite ultime de torsion. La section réelle doit être remplacée par une section creuse ayant pour épaisseur de paroi le sixième du diamètre du cercle pouvant être inscrit à l’intérieur de la section. Réf. Reginald Racine, ing civil
Section retenue de la poutre : b*h Le moment de calcul : Mt
Mt
La valeur de l’épaisseur de la paroi : e
e = 5 cm
L’aire du périmètre tracé à mi- épaisseur des parois :
Le périmètre tracé à mi- épaisseur des parois :
La contrainte tangentielle de torsion :
== La vérification de la contrainte :
= min{
=====2,54 MPa
3,33 MPa
La section d’armatures de résistance : Ast
Ast = 4,58 cm2 soit 5,08 cm2
soit 5,08 cm2
0 Pour les armatures transversales, on retiendra des cadres de N 3
L’écartement des armatures transversales : St
St = 25 cm
Tableau des sections d’aciers des éléments des escaliers
Désignation
Dimensions
Aciers de résistance
Paillasse
e= 15 cm
Traction
Aciers de répartition Traction
( Appui)
( Appui)
et ( travée )
(Travée)
Compression
Palier
E= 20 cm
(travée)
Traction
(Appui)
(travée)
Traction
Compression
compression
S= 30 * 45
Compression
Poutre de jonction
(Appui)
-
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