Projekt belki żelbetowej i słupa wg EC2

1. Belka żelbetowa 1.1 Wstępne przyjęcie przekroju belki Obciążenia belki żelbetowej: kN gk =4,55 kPa⋅5 m=22,75 m kN q k=3,00 kPa⋅5m=15,00 m Warianty obciążeń belki:

kN m kN 1,50 qk + 1,15 gk = 48,66 m kN 0,00 qk + 1,00 gk = 22,75 m 1,05 qk + 1,35 gk = 44,46

I: II: III

Przyjęcie długości obliczeniowych przęsła i wsporników: l eff 1 2,00 m0,15m=2,15m l eff 6,50 m2⋅0,15 m=6,80m 2

Obwiednia momentów gnących dla przyjęcia przekroju wstępnego:

1

Wstępne wymiary przekroju obliczamy dla momentu gnącego w przęśle (Msd = 228,67kN) przyjmując: Beton B30: Stal zbrojeniowa A-III (34GS): Stopień zbrojenia: Stosunek bw:d :

fcd=16,7 MPa fyd=350 MPa ρ=2,00% , stąd: A=0,3318 bw:d = 3:5

Stąd: A=

M sd

= 2

M sd

⇒ d= 3

f cd⋅b⋅d f cd⋅0,6⋅d Ostatecznie przyjęto: Wysokość obliczeniowa belki: Wysokość całkowita belki: Szerokość środnika: Szerokość półki: Wysokość półki:



M sd

3

Ciężar własny belki:  g k =0,3⋅0,40,4⋅0,1⋅25=4

f cd⋅A⋅0,6

=

 3

228,67 =0,41m 16,7⋅0,3318⋅0,6

d = 0,45m h = 0,50m bw = 0,30m beff = 0,40m hf= 0,10m kN m

Skorygowane warianty obciążeń: kN I: 44,46 + 1,10·4 = 48,86 m kN II: 48,66 + 1,10·4 = 53,06 m kN III: 22,75 + 1,00·4 = 26,75 m Obwiednia momentów gnących dla wymiarowania belki:

2

1.2 Wymiarowanie belki ze względu na zginanie Wymiarowanie zbrojenia pasa dolnego Przyjęto do obliczeń:

Msd=0,24486 MNm

M sd= f cd⋅b w⋅x eff⋅d −0,5⋅x eff  0,24486=16,7⋅0,3⋅x eff⋅0,45−0,5⋅x eff  2,505⋅x 2eff −2,2545⋅x eff 0,24486=0 xeff=0,774m lub xeff=0,126m f cd⋅b w⋅x eff = A s1⋅f yd f ⋅b ⋅x 16,7⋅0,3⋅0,126 A s1= cd w eff = =18,09cm 2 f yd 350 Przyjęto zbrojenie 2Ф22: 2 2 2 A s1=5⋅1,1 ⋅3,14=19,00cm 18,04cm A ⋅f 0,0019⋅350 x eff = s1 yd = =0,133m f cd⋅b w 16,7⋅0,3 A 0,0019 = s1 = =1,41% b w⋅d 0,3⋅0,45 x 0,133 = eff = =0,300,53 d 0,45 Wymiarowanie zbrojenia pasa górnego Przyjęto do obliczeń:

Msd=0,10617MNm

M R , lim =b eff⋅h f⋅f cd⋅d−0,5⋅h f =0,4⋅0,1⋅16,7⋅0,45−0,5⋅0,1=0,26MNm0,11MNm Przekrój jest pozornie teowy. M sd= f cd⋅b eff⋅x eff⋅d −0,5⋅x eff  0,10617=16,7⋅0,4⋅x eff⋅0,45−0,5⋅x eff  3,34⋅x 2eff −3,006⋅x eff 0,10617=0 xeff=0,863m

lub

xeff=0,037m

f cd⋅b eff⋅x eff = A s2⋅f yd f ⋅b ⋅x 16,7⋅0,4⋅0,037 A s2= cd eff eff = =7,06cm 2 f yd 350 Przyjęto zbrojenie 2Ф22: 2 2 2 A s2=2⋅3,14⋅1,1 =7,60 cm 7,06cm

3

Całkowity stopień zbrojenia belki: 0,00190,00076 = =1,97 % 0,45⋅0,3 Nośność belki Nośność została wyliczona według poniższych wzorów i zestawiona w tabeli: A ⋅f x eff = s1 yd , oraz M Rd =b w⋅x eff⋅f cd⋅d −0,5⋅x eff  b w⋅f cd Pręty

As [cm2]

xeff [m]

Mrd [kNm]

5Ф22 2Ф22

19,00 7,60

0,133 0,053

255,54 112,45

2Ф22

7,60

0,040

114,90

Długość zakotwienia pręta Dla prętów żebrowanych Ф22 i betonu klasy B30 podstawowa długość zakotwienia pręta wynosi:  f 22 350 l b = ⋅ yd = ⋅ =713mm 4 f bd 4 2,7

4

1.3 Wymiarowanie belki ze względu na ścinanie Przyjęto strzemiona Ф8 ze stali AIII (fyd=350MPa) Znalezienie odcinków pierwszego i drugiego rodzaju fctd=1,20MPa k=1,6-0,45=1,15 7,60 L = =0,56 % 0,45⋅0,3 f 25 =0,5− ck =0,5− =0,4 250 250 V Rd1=0,35⋅k⋅f ctd⋅1,240⋅L ⋅b w⋅d =0,35⋅1,15⋅1,2⋅1,240⋅0,0056⋅0,3⋅0,45=0,093MN V Rd2=0,5⋅⋅f cd⋅b w⋅z =0,5⋅0,4⋅16,7⋅0,3⋅0,9⋅0,45=0,406MN Dopuszczalne długości podziału odcinków drugiego rodzaju: l t , min =z⋅ctg =0,45⋅0,9⋅1=0,405m l t , max =z⋅ctg =0,45⋅0,9⋅2=0,81m

5

Wymiarowanie wspornika Długość odcinka drugiego rodzaju: l t 0,15 2,15 = ⇒ l =0,25 m 0,11408−0,093 0,11408 t Siła tnąca w licu: V Sd 0,11408 = ⇒V Sd =0,10612MN 2,15−0,15 2,15 Dla przyjętego lt=0,405m rozstaw strzemion wynosi: A ⋅f ⋅l 1,0048⋅350⋅0,405 s= sw1 ywd1 t = =0,134 m V Sd 0,10612 Przyjęto: 4 strzemiona Ф8 co 13cm, dalej strzemiona Ф8 co 24cm. Nośność odcinka drugiego rodzaju: l t =4⋅0,13 m=0,52m A sw1⋅f ywd1⋅l t 1,0048⋅350⋅0,52 V Rd= = =0,141MN s 0,13 Wymiarowanie przęsła Długość odcinków drugiego rodzaju: l t 0,15 3,4 = ⇒ l =1,50 m 0,18040−0,093 0,18040 t Przyjmujemy podział odcinka na długości l1=0,7m oraz l2=0,8m Siły tnące na początkach odcinków: V Sd1 0,18040 = ⇒V Sd1=0,17244MN 3,4−0,15 3,4 Rozstaw strzemion: A ⋅f ⋅l 1,0048⋅350⋅0,7 s 1= sw1 ywd1 1 = =0,143m V Sd1 0,17244

V Sd2 0,18040 = ⇒V Sd2=0,13530MN 3,4−0,85 3,4

s 2=

A sw1⋅f ywd1⋅l 2 1,0048⋅350⋅0,8 = =0,208m V Sd2 0,13530

Przyjęto: 5 strzemion Ф8 co 14 cm, 4 strzemiona Ф8 co 20 cm, dalej strzemiona Ф8 co 24cm. Nośność odcinków drugiego rodzaju: l 1 =5⋅0,14 m=0,7m A ⋅f ⋅l 1,0048⋅350⋅0,7 V Rd1= sw1 ywd1 1 = =0,176 MN s1 0,14 l 2 =4⋅0,20 m=0,8 m A ⋅f ⋅l 1,0048⋅350⋅0,8 V Rd2= sw1 ywd1 2 = =0,141 MN s2 0,20

6

2. Słup żelbetowy 2.1 Wstępne przyjęcie przekroju słupa Dane: lo =5,5m NSd=5,0MN MSd=0,150MNm NSd,lt/NSd=0,39 Przyjęto beton B35 oraz stal A-IIIN: fcd=20MPa fyd=420MPa Ecm=32GPa Es=205GPa Mimośród statyczny i niezamierzony: l h e a=max col , , 20mm ={9mm , ≃17mm , 10mm }≈0,02m 600 30 M 0,150 e e = Sd = =0,03 m N Sd 5

{

}

Mimośród początkowy: e o=0,02 m0,03m=0,05m Dla niewielkiego mimośrodu lub spodziewanej całej strefy ściskanej możemy przyjąć: =2,5% b /d=1/1,2 b=h 2 M 2⋅0,150⋅1,2 , lub Sd 5 bd 2= ⇒d = 3 =0,32 m N Sd=0,9 b h f cd ⇒h= =0,53 m f yd  420⋅0,025 0,9⋅20 b=0,27m





Przyjmujemy: b=0,40m d =0,42m h=0,50m a=0,08m

2.2.Wymiarowanie słupa w płaszczyźnie xz Smukłość słupa:

l o 5,5 = =117 , należy uwzględnić efekty drugiego rzędu. h 0,5

Momenty bezwładności stali i betonu: b h3 0,4⋅0,53 I c= = =4,1667⋅10−3 m 4 12 12 2 2 h 0,5 I s =b d  −a =0,4⋅0,42⋅0,025⋅ −0,08 =0,1214⋅10−3⋅m 4 2 2

 





7

Współczynnik oddziaływania długotrwałego: N k l t =10,5 Sd , l t ⋅ ∞ , t 0 =10,5⋅0,39⋅2=1,39 N Sd Siła krytyczna: 9 I E 0,11 N crit = 2 c cm 0,1 E s I S l o 2k l t 0,1e o /h

[ 

eo h

=max

{

eo h

;

 ] }

l 0,5−0,01⋅ o −0,01 f cd ; 0,05 =max {0,1 ; 0,19 ; 0,05} h

[





]

9 4,1667⋅10−3⋅32000 0,11 0,1 205000⋅0,1214⋅10−3 =14,24kN 2 2⋅1,39 0,10,19 5,5 1 1 = = =1,54 N Sd 5,00 1− 1− 14,24 N crit N crit =

Mimośród końcowy: e tot =e o =0,05⋅1,54=0,077m Do obliczeń założono mały mimośród: s =−1 x eff =d Zbrojenie As2: N Sd e tot h/2−a= f cd b d d −0,5 d  As2 f yd d−a N e h/ 2−a− f cd bd d−0,5 d A s2= Sd tot f yd d −a 50,0770,5⋅0,5−0,08−20⋅0,4⋅0,420,42−0,5⋅0,42 A s2= =37,07cm 2 4200,42−0,08 Zbrojenie As1: N Sd= A s2 f yd  A s1⋅f yd  f cd b d ⇒ A s1= A s1=

f

N Sd− A s2 f yd − f cd b d 

yd

1 2 5−0,003707⋅420−20⋅0,5⋅0,42=1,98cm 420

Przyjęto:

=

1

4 pręty Φ35: As2=38,48cm2 4 pręty Φ12: As1=4,52cm2

0,0038480,000452 ⋅100%=2,56%4 % 0,4⋅0,42

A s , min =max

{

}

0,15 N Sd ; 0,3 % =max {0,18% ; 0,3 % }≤2,56% f yd

8

2.3 Nośność w płaszczyźnie xz Zasięg strefy ściskanej nośności na zginanie: 21− eff  N Sd= A s2 f yd  f cd b d  eff− A s1 f yd −1 1− eff,lim

[

] [

5=0,003848⋅42020⋅0,4⋅0,42⋅eff −0,000452⋅420⋅

2 1−eff  −1 1−0,5

]

 eff =0,96  s=

21− eff  1−eff,lim

21−0,96 −1=−0,84 1−0,5  s ∈〈−1 ; 1〉

−1=

Moment graniczny: 2 M Rd N Sd  h/2−a= f cd b d eff 1−0,5 eff A s2 f yd d −a  2 M Rd = f cd b d eff 1−0,5eff  A s2 f yd d −a−N Sd  h/2−a  M Rd =20⋅0,4⋅0,422⋅0,961−0,5⋅0,960,000452⋅4200,42−0,08−50,5⋅0,5−0,08 M Rd =0,40MNmM Sd =0,15MNm Zasięg strefy ściskanej nośności na ściskanie: h x M Sd= s f yd A s1 h /2−a f cd b x eff − eff  f yd As2 h/2−a 2 2 21−eff  h x M Sd= −1 f yd A s1 h/2−a f cd b x eff − eff  f yd A s2 h /2−a 1−eff,lim 2 2



[





]

[

0,150=

]







21−eff  0,5 0,5 0,42⋅eff −1 ⋅420⋅0,000452⋅ −0,08 20⋅0,4⋅0,42⋅ eff −  1−0,5 2 2 2 0,5 420⋅0,003848 −0,08 2 ξeff=-0,25 ξeff=1,26 2 1−eff  21−1,26 s = −1= −1=−2,04 1− eff, lim 1−0,5









9

Dla κs = -1:





0,5 0,5 0,42⋅ eff −0,08 20⋅0,4⋅0,42⋅ eff −  2 2 2 0,5 420⋅0,003848 −0,08 2 ξeff=-0,10 ξeff=1,29



 

0,150=−1⋅420⋅0,000452⋅



Graniczna siła ściskająca: N Rd= As2 f yd  f cd b d eff − As1 f yd s =420⋅0,00384820⋅0,4⋅0,42⋅1−0,000452⋅420⋅−1= =5,166MNm N Rd =5,166MNmN Sd=5,0 MNm

2.4 Wymiarowanie w płaszczyźnie xy b=0,50m d =0,32m h=0,40m a=0,08m Zakładamy zbrojenie symetryczne As Mimośród statyczny i niezamierzony: e e =0 e a=max

{

}

l col b , , 10mm =9mm , 13mm , 20mm=0,01 m 600 30

Mimośród początkowy: e o=e e e a =0,01m Smukłość słupa:

l o 5,5 = =13,757 , należy uwzględnić efekty drugiego rzędu. b 0,4

10

Momenty bezwładności betonu i stali: b h3 0,5⋅0,43 I c= = =2,6667⋅10−3 m 4 12 12 2 1 h 1 I s =  A s1 A s2 −a = 0,0038480,0004520,2−0,082=0,03096⋅10−3 m 4 2 2 2

 

Współczynnik oddziaływania długotrwałego: N k l t =10,5 Sd , l t ⋅ ∞ , t 0 =10,5⋅0,39⋅2=1,39 N Sd Siła krytyczna: 9 I c E cm 0,11 N crit = 2 0,1 E s I S l o 2k l t 0,1e o /h

[  {

eo e =max o ; h h

 ] }

l 0,5−0,01⋅ o −0,01 f cd ; 0,05 =max {0,03 ; 0,16 ; 0,05} h

[





]

9 2,6667⋅10−3⋅32000 0,11 0,1 205000⋅0,03096⋅10−3 =6,67 kN 2 2⋅1,39 0,10,16 5,5 1 1 = = =3,99 N Sd 5,00 1− 1− 6,67 N crit N crit =

Mimośród końcowy: e tot =e o =0,01⋅3,99=0,04m Założono do obliczeń mały mimośród: s =−1 x eff =d N Sd e tot h/2−a= f cd b d d −0,5 d  As f

yd

d −a

Zbrojenie As: N e h/2−a− f cd b d d −0,5d  A s = Sd tot f yd d−a 50,0240,4⋅0,5−0,08−20⋅0,5⋅0,320,32−0,5⋅0,32 As = =20,63 cm2 4200,32−0,08 Brakujące zbrojenie:  A  A s2 38,484,52 A s − s1 =20,63− =9,88cm 2 4 4 Przyjęto 1Φ12 oraz 1Φ35 (10,75cm2) Dla prętów 2Φ12 oraz 2Φ35 : A s =21,5cm 2

11

2.5 Nośność w płaszczyźnie xy Zasięg strefy ściskanej na zginanie: 21−eff  N Sd= A s f yd  f cd b d  eff −A s f yd −1 1−eff,lim

[

] [

5=0,00215⋅42020⋅0,5⋅0,32⋅eff −0,00215⋅420⋅

21−eff  −1 1−0,5

]

eff =1 s =

21− eff 

21−1 −1=−1 1−eff,lim 1−0,5  s ∈〈−1 ; 1〉 −1=

Graniczny moment gnący: M Rd N Sd  h/2−a= f cd b d 2 eff 1−0,5 eff A s f yd d−a M Rd = f cd b d 2 eff 1−0,5eff  A s f yd d −a−N Sd h/2−a M Rd =20⋅0,5⋅0,322⋅11−0,5⋅10,00215⋅4200,32−0,08−50,4⋅0,5−0,08 M Rd=0,129 MNm Zasięg strefy ściskanej nośności na ściskanie: h x 0=s f yd A s e tot h/2−a− f cd b x eff e tot −  eff − f yd A s e tot−h/2a 2 2 21−eff  h d 0= −1 f yd A s e tot h/2−a− f cd b d eff e tot −  eff − f yd A s e tot −h /2a 1−eff,lim 2 2



[ [

0=

]







]

21−eff  −1 420⋅0,002150,0240,2−0,08−20⋅0,5⋅0,32eff  0,024−0,20,16 eff − 1−0,5 −420⋅0,002150,024−0,20,08 ξeff=-0,92 ξeff=1,01 2 1−eff  21−1,01 s = −1= −1=−1,04 1− eff, lim 1−0,5

12

Dla κs = -1: 0=−1⋅420⋅0,002150,0240,2−0,08−20⋅0,5⋅0,32 eff  0,024−0,20,16 eff − −420⋅0,002150,024−0,20,08 ξeff=0,08 ξeff=1,02

Graniczna nośność na ściskanie N Rd= A s f yd f cd bd eff −A s f yd  s=420⋅0,0021520⋅0,5⋅0,32⋅1−0,00215⋅420⋅−1= =5,01 MNm N Rd=5,01 MNmN Sd =5,0 MNm

2.6 Rozstaw strzemion Rozstaw:

{

≤15 ≤3% ≤10 ≥3% s1 , zatem ≤b≤h ≤400mm

{

≤350mm s 1 ≤400mm ≤400mm

Przyjęto podwójne strzemiona z prętów Φ8 co 350mm.

13