Proiect Licenta Roboti Industriali

INTRODUCERE Lucrarea de licentă analizează cinematica mecanismelor din compunerea roboţilor,  bazele teoretice ale dinamicii roboţilor roboţilor industriali industriali şi arhitectura arhitectura unui model model de robot 4R în vederea optimizării şi corectării performanţelor la unele sisteme robotizate. Există numeroase definiţii definiţii ale robotului, robotului, el reprezentând un automat universal, universal, destinat efectuării unor funcţii motoare sau intelectuale ale omului. Printre diferitele clase de roboţi una dintre cele mai importante o formează roboţii manipulatori, manipulatori, între care sunt roboţii industriali. În realizarea sistemului de conducere a roboţilor industriali şi a celulelor de fabricaţie flexibilã se propune aplicarea unor tehnici ale inteligenţei artificiale pentru realizarea nivelelor  ierarhice superioare şi a unor metode avansate, de control predictiv, în materializarea nivelului ierahic inferior. Un robot industrial industrial este un echipament care nu funcţioneazã în mod izolat, ci lucreazã împreunã cu alţi roboţi şi/sau maşini unelte, benzi transportoare, ajungându-se ajungându-se astfel la noţiunea de celulã flexibilã de fabricaţie. Dacã acest termen este acceptat şi folosit adesea împreunã cu acela de sistem de tip CIM (Computer Integrated Manufacturing), Manufacturing), conducerea şi optimizarea funcţionãrii funcţionãrii unei celule de fabricaţie este încã o problemã deschisã. Pentru obţinerea flexibilitãţii flexibilitãţii în utilizare, împreunã cu autonomia şi siguranţa în funcţionare, se inpune o abordare unitarã a unei celule de fabricaţie robotizatã, care sã îmbine elementele de automaticã şi cele de inteligenţã artificialã (IA).

Lucrarea de licentă are următoarele obiective: - Analiza funcţionării şi structurii generale a unui robot industrial industrial în vederea introducerii introducerii in procesele de fabricatie; - Prezentarea arhitecturii unui robot industrial 4R; - Optimizarea constructi c onstructivv funcţională a robotului robotului industrial 4R; - Programarea robotului robotului industrial 4R pentru pentru operaţiuni manipulare manipulare a unor obiecte; - Planificarea mişcării robotului în coordonate carteziene şi generarea traiectoriilor 

care unesc două puncte ale spaţiului de lucru; - Realizarea conducerii simultane simultane a articulaţiilor robotului robotului 4R cu motoare electrice  pas cu pas;

CAPITOLUL 1 CERCETĂRI ACTUALE ÎN ANALIZA ROBOŢILOR INDUSTRIALI 1.1 Scurt istoric şi aplicaţii ale roboţilor neindustriali Primele cercetări în domeniul roboticii au fost iniţiate începând cu anul 1960. Dupa un avânt substanţial al aplicaţiilor roboticii în domeniul industrial, cu precadere în industria automobilelor, automobilelor, după 1990 s-au conturat multiple aplicatii a plicatii in domeniile neindustriale (nemanufacturiere). Această dezvoltare, chiar spectaculoasă, în direcţia aplicaţiilor neindustriale justifică justifică trecerea în revistă a principalelor subdomenii în care roboţii nemanufacturieri sau roboţii de serviciu îşi pot gasi aplicabilitate.

1.2 Clasificarea roboţilor industriali. Definiţii, domenii de utilizare, evoluţie Robotul este un sistem automatizat de înalt nivel al cărui principal rol este manipularea  pieselor şi uneltelor, uneltelor, înlocuind înlocuind acţiunea umană. Principalele aplicaţii în care utilizarea roboţilor industriali industriali are avantaje evidente: - sudură prin puncte sau pe contur; - operaţii de ansamblare; ansamblare; - vopsire; - turnarea în forme a pieselor mari; mari; - controlul calităţii; - manipularea substanţelor substanţelor toxice, toxice, radioactive; Robotul industrial industrial este definit în prezent ca un manipulator tridimensional, tridimensional, multifuncţional, multifuncţional, reprogramabil, capabil să deplaseze materiale, piese, unelte sau aparate speciale după traiectorii programate, în scopul efectuării unor operaţii diversificate de

fabricaţie. Pentru diferitele componente ale roboţilor industriali (fig. 1.1.), s-au definit termeni specifici preluaţi din literatura anglo – saxonă.

a.

b.

 Fig. 1.1 Roboţi industriali tip manipulator 

1.2.1 Clasificarea manipulatoarelor şi roboţilor pe generaţii Clasificarea pe generaţii foloseşte drept criteriu de bază capacitatea maşinii de  percepere şi interpretare a semnalelor din mediul exterior, precum şi de adaptare la mediu în timpul procesului de lucru. Deosebim: - manipulatoarele manuale (prima generaţie); - manipulatoare automate (generaţia a doua); - manipulatoare inteligente (generaţia a treia); - roboţii industriali din prima generaţie sunt manipulatoare automate programabile, având cel puţin 3 axe (dintre care cel puţin 2 axe sunt programabile prin învăţare sau printr-un limbaj simbolic); - roboţii industriali din generaţia a doua; - roboţii industriali din generaţia a treia sunt dotaţi cu senzori inteligenţi (prelucrare locală a informaţiei) şi utilizează elemente de inteligenţă artificială; - roboţii inteligenţi sunt dotaţi cu programe de inteligenţă artificială avansate, au capacitate de autoinstruire. Majoritatea roboţilor industriali folosiţi în prezent sunt din generaţia 1 şi 2. În funcţie de scara evolutivă a treptelor de automatizare roboţii industriali se clasifică în:

Sursa de informaţii

Energia

Treapta 10 9

Mediul exterior  Electrică

8

Hidraulică 7 Program variabil (programabilitate)

Pneumatică 6 5

Program fix

Om

4 Mecanică

3

Manuală

2 1

Descriere Maşină care se autoperfecţionează: robot cu inteligenţă artificială Maşină cu program adaptabil în funcţie de condiţiile externe: robot cu elemente de inteligenţă artificială, robot industrial generaţia 3 Maşină care îşi corectează programul în funcţie de condiţiile de lucru: maşină unealtă cu comandă adaptativă Maşină universală programabilă: sistem sau centru de prelucrare cu CNC, robot industrial generaţia 2 Maşină monooperaţie programabilă: maşină unealtă cu CN, robot industrial generaţia 1 Maşină automată pentru operaţii multiple: strung cu prelucrare automată, automat de montaj Maşină automată monooperaţie: automat de montaj rigid, manipulator automat Sculă mecanizată, maşină comandată manual, manipulator  manual (teleoperator) Sculă de mână Mână

1.2.2 Clasificare pe categorii Din punctul de vedere al relaţiei om-robot în timpul desfăşurării lucrului roboţilor, acestia se impart in trei mari categorii: • Roboţi automaţi, • Roboţi biotehnici, • Roboţi interactivi. În cazul robotior comandaţi pas cu pas, prin acţionarea de către operatorul uman a unui buton sau manetă, este pus in funcţiune unul din gradele de mişcare ale robotului. Roboţii

master-slave sunt constituiţi din doua lanţuri cinematice deschise, primul lanţ (master) având mişcarea comandată de operatorul uman, iar al doilea (slave) copiind la scară această mişcare şi efectuând operaţiile de manipulare pentru care este destinat robotul. In alte cazuri, legatura

dintre master şi slave este indirectă, prin teletransmisie. In ambele cazuri, operatorul uman trebuie să vadă tot timpul mişcarea elementului manipulat de slave, aceasta printr-o fereastră sau pe un ecran display. În cazul roboţiior biotehnici semiautomaţi, operatorul uman participă nemijlocit în  procesul de comandă, dar în acelasi timp cu el lucrează şi un calculator universal sau specializat. Semnalul de comandaă la aceste sisteme este dat de operatorul uman, obisnuit  printr-o manetă de comandă ce poate avea 3-6 grade de mişcare. Semnalul obţinut prin apăsarea manetei după un grad de mişcare oarecare este preluat de calculator, care efectuează calcule şi formează semnalele de comandă pentru fiecare grad de mişcare al organului de execuţie al robotului. Roboţii ce acţionează in medii industriale au capătat denumirea de roboţi industriali. In general, acestia sunt roboţi automaţi şi în cazuri mai rare se utilizează in industrie şi roboţi  biotehnici sau interactivi. Sunt răspândiîi, in special, roboţii programaţi şi, mai puţin, cei adaptivi. Roboţii inteligenţi se află în faza de încercări în laboratoare sau aplicaţii la unele operaţii de montaj automat.

1.3 Domeniul inteligenţei artificiale (IA) Se consideră că obiectul IA se referă la modalităţile prin care poate fi imitată inteligenţa umană cu ajutorul calculatoarelor electronice şi a unor programe performante. Referitor la inteligenţa artificială se consideră că: -

IA este domeniul de studiu care îşi propune să explice şi să modeleze comportamentul inteligent în termenii proceselor de calcul;

-

IA este de natură interdisciplinară care implică ştiinţa calculatoarelor, matematica,  psihologia proceselor cognitive ş.a.

-

Ingineresc IA se ocupă cu generarea reprezentărilor procedurilor care în mod automat şi autonom permit rezolvarea până acum numai de oameni;

-

Obiectul IA este abordarea inteligenţei ca pe un calcul posibil de efectuat, fezabil.

O definiţie operaţională a inteligenţei artificiale este Testul Turing, care constă într-o conversaţie (discuţie prietenească - chat), la distanţă, între un om (operator) şi un calculator. La sfârşitul testului, calculatorul se consideră inteligent când operatorul nu poate spune dacă a dialogat cu un alt operator uman sau cu o maşină. Se obţin următoarele concluzii:

-

IA poate fi descrisă drept domeniu al informaticii care se ocupă cu proiectarea şi construirea sistemelor capabile să realizeze funcţii ale intelectului uman, cum ar fi învăţatrea din experienţă, înţelegerea limbajului natural sau utilizarea unui raţionament pentru rezolvarea problemelor;

-

este mai uşor de exprimat ce trebue să facă maşinile inteligente decât descrierea a ceea ce trebue să fie ele;

-

structura arhitecturală a calculatoarelor electronice rămâne încă foarte diferită de structura sistemelor biologice,

-

comportamentul inteligent se caracterizează prin: - flexibilitate – disponibilitatea de adaptare la condiţii noi; - feed – back (reacţie) – posibilitatea de a compara rezultatele acţiunilor cu

aşteptările şi apoi modificarea corespunzătoare a acţiunilor; - memoria – pentru înmagazinarea informaţiilor în vederea utilizării ulterioare.

1.4 Roboţi mobili Unul din obiectivele esenţiale ale roboticii este elaborarea roboţilor autonomi. Asemenea roboţi ar putea accepta o descriere naturală - formală - (de nivel înalt) a sarcinilor  de îndeplinit şi executarea comenzilor fără alte intervenţii umane. Descrierile necesare vor   preciza ce doreşte utilizatorul şi nu cum să execute comenzile. Roboţii capabili să îndeplinească aceste operaţii vor fi dispozitive mecanice versatile, echipate cu senzori de  perceperea a mediului şi aflate sub controlul unui sistem de calcul. Orientarea într-un mediu total necunoscut, folosind senzori pentru detectarea obstacolelor şi comunicaţia cu un calculator aflat la distanţă sunt două aspecte importante care trebuie luate în considerare atunci când lucrăm cu un robot mobil. Fără senzori, roboţii nu ar putea executa altceva decât sarcini fixate dinainte, repetând operaţiile ce le are de realizat iar şi iar, dar dotaţi cu senzori, roboţii au capacitatea de a face mult mai mult decât atât. Problemele specifice ce apar la roboţii mobili sunt următoarele: -

evitarea impactului cu obiectele staţionare sau în mişcare;

-

determinarea poziţiei şi orientării robotului pe teren;

-

planificarea unei traiectorii optime de mişcare.

În cazul unui sistem robotic automat distribuit poziţiile spaţiale sunt de o extremă importanţă şi de ele depinde îndeplinirea scopurilor dorite şi funcţionarea întregului sistem.

Cu alte cuvinte, robotul trebuie să fie capabil să-şi planifice mişcările, să decidă automat ce mişcări să execute pentru a îndeplini o sarcină, în funcţie de aranjamentul momentan al obiectelor din spaţiul de lucru. Planificarea mişcărilor nu constă dintr-o problemă unică şi bine determinată, ci dintrun ansamblu de probleme dintre care unele sunt mai mult sau mai puţin variante ale celorlalte. Evitarea coliziunii cu obstacole fixe sau mobile (de exemplu alţi roboţi mobili) aflate în spaţiul de lucru al robotului se poate face prin mai multe metode: realizarea unei apărători mecanice care prin deformare opreşte robotul, folosirea senzorilor care măsoară distanţa până la obstacolele de pe direcţia de deplasare, folosirea senzorilor de proximitate, folosirea informaţiilor corelate de la mai multe tipuri de senzori. Localizarea obiectelor se poate realiza şi prin contact fizic, dar acesta impune restricţii asupra vitezei de mişcare a structurii manipulate. Contactul fizic dintre robot şi obiectele din mediu generează forţe de reacţiune care modifică starea robotului. Vitezele mari de lucru fac ca efectele dinamice ale unui contact fizic cu obstacole sau obiecte manipulate să fie riscante (pot duce la deteriorarea obiectelor sau a robotului). Sistemul senzorial mai este numit şi sistem de măsurare. El asigură măsurarea unor  mărimi fizice şi eventual perceperea unor modificări semnificative a acestor mărimi.

1.5.3 Laborator de fabricaţie asistată de calculator Dezvoltarea unor cercetari privind conducerea inteligentă şi optimală a unui sistem flexibil de fabricatie şi concretizarea metodelor şi algoritmilor intr-un sistem informatic integrat pentru conducerea fabricatiei a condus la realizarea unui sistem integrat de laboratoare  pentru studiul domeniului fabricatiei asistate de calculator. În realizarea studiilor teoretice privind analiza si optimizarea sistemelor de fabricatie se inpun: - modelarea sistemului de fabricatie din laboratorul de fabricatie asistata de calculator  ca un sistem cu evenimente discrete; - cercetari privind programarea robotilor industriali; - cercetari privind conducerea asistata de calculator a masinilor unelte; - dezvoltarea unui sistem de vedere artificiala pentru conducerea inteligentă şi optimală a unui sistem flexibil de fabricatie; - cercetari privind folosirea sistemelor expert in planificarea si monitorizarea unui

sistem flexibil de fabricatie. Un laborator de fabricaţie asistată de calculator are următoarea organizare:

 Fig. 1.8. Arhitectura sistemului de fabricaţie flexibilă 1. Robot industrial (IRB 1400), 2. Robot industrial (IRB 2400), 3. Maşină unealtă cu comandă numeric (EMCO PC Mill 55 CNC), 4. Sistem de vedere artificială (OptiMaster), 5. Conveior, 6. Magazie piese finite, 7. Magazie piese brute, 8.Buffer piese, 9.Controler Robot (IRB 1400), 10. Controler Robot (IRB 2400)

1.5.4 Modelarea şi analiza sistemelor cu evenimente discrete 1.5.4.1 Reţele Petri Retelele Petri reprezintă o categorie aparte de grafuri. Un graf este complet definit dacă se cunosc mulţimile nodurilor si arcelor acestuia. Diferenţa dintre un graf şi o reţea Petri constă în faptul că, în cazul acesteia din urmă, mulţimea nodurilor este înlocuită cu doua mulţimi disjuncte : - mulţimea locurilor  Pi , i = 1, ..., n (reprezentate prin cercuri); - mulţimea tranziţiilor  T j , j = 1, ..., m (reprezentate prin bare verticale sau prin  pătrate). Arcele unei retele Petri sunt unidirecţionale. Un arc nu poate lega decât fie o tranzitie de un loc, fie un loc de o tranzitie. La o tranziţie sau la un loc pot ajunge mai multe arce, iar de la o tranzitie sau de la un loc pot pleca de asemenea mai multe arce. Un loc şi o tranziţie pot fi legate prin cel mult un arc. Structura unei reţele Petri este astfel complet definită de cele trei mulţimi anterioare: a locurilor, a tranziţiilor şi a arcelor.

 Fig. 1.9. Retea Petri cu trei locuri şi trei tranziţii

În fig. 1.9 toate arcele au evaluare unitara, cu excepţia arcelor de la T2 la P3 şi de la T3 la P1, care au evaluarea 2: a( P1,T1 ) = a( P1,T2 ) = a( T1,P2 ) = a( P2 ,T3 ) = a( P3 ,T3 ) = 1; a( T2 ,P3 ) = a( T3 ,P2 ) = 2.

(1.3)

Matricea de incidenţă a reţelei din fig. 1.9 este

 −1 −1 2      A= 1 0 −1  , (1.4)  0 2 −1      unde elementele a 2,2 şi a 3,1 au valori nule deoarece intre locul P2 şi tranziţia T2 , sau intre locul P3 şi tranziţia T1 nu există nici un arc; elementele a1,1 , a1,2 , a 2,3 şi a 3,3 au valori negative deoarece tranziţiile corespunzatoare sunt tranziţii de ieşire ( T1 şi T2 sunt tranziţii de iesire din P1, iar  T3 este tranziţie de iesire din P2 şi P3 ). Marcajul reţelei din fig. 1.9. este M = (2, 1, 0), deoarece locul P1 contine 2 jetoane, locul P2 conţine un jeton iar locul P3 nu conţine nici un jeton. Reguli de funcţionare: Fiind dată o reţea Petri marcată, se spune că o tranziţie T j a acestei reţele este activabilă pentru marcajul M dacă şi numai dacă, pentru orice loc Pi care este loc de intrare în tranziţia T j , marcajul locului Pi este mai mare sau la limita egal cu evaluarea arcului dintre Pi şi T j .

Dacă o tranziţie este activabilă atunci ea poate fi activată. Activarea unei tranziţii constă în modificarea marcajelor locurilor de intrare şi de ieşire din tranziţia respectivă. La activarea tranziţiei T j , marcajul unui loc Pi de intrare în tranziţia respectiva scade cu o cantitate egală cu evaluarea arcului ( Pi , T j ). Daca Pi este un loc de ieşire din tranziţia

T j , atunci marcajul său creşte cu o cantitate egală cu evaluarea arcului ( Tj , Pi ). Dacă un loc al reţelei nu este legat de tranziţia T j prin nici un arc, la activarea acesteia marcajul locului rămâne neschimbat.

1.6 Sistem robotizat de montaj Folosind noţiunile din teoria sistemelor, o unitate de productie se poate considera că este compusă dintr-o serie de subsisteme, montajul fiind unul dintre acestea şi ocupând locul final. Costul de productie in construcţia de maşini este influenţat in mare masura (30 % - 40 %) de volumul de muncă din montaj, care poate atinge 25 % - 30 % din volumul total. In construcţia de aparate, volumul de munca in montaj poate ajunge pina la 40 % - 70 %. Se consideră la nivel mondial ca optimizarea acestei munci poate conduce la o puternica economisire a resurselor.  Numarul mare al parametrilor ce trebuie inregistraţi şi luaţi in considerare ca de fapt  problema de rezolvat “montajul robotizat” conduce la realizări sub formă complexă a cuplului “instalatii periferice - robot industrial “. Un rol esenţial in asigurarea flexibilităţii il reprezintă utilizarea elementelor senzoriale şi a efectorilor finali specializaţi pentru compensarea erorilor inerente ce apar.

1.7 Planificarea mişcărilor robotului industrial Robotul fiind o maşină cu abilităţi în mişcare şi/sau de manipulare una din cele mai importante probleme de rezolvat este de a îi planifica mişcările, ceea ce implică modelarea spaţiului de lucru, cu obstacolele pe care le conţine, şi a robotului, ca entitate de formă complexă şi variabilă. Planificarea mişcărilor poate fi considerată ca problema realizării algoritmilor pentru a

calcula automat o traiectorie continuă pentru o mulţime de obiecte (posibil legate) astfel încât să se deplaseze de la o poziţie la alta evitând coliziunile cu alte obiecte fixe sau având mişcare  proprie. Pentru un robot cu bază fixă problema se poate formula mai simplu prin alegerea unei traiectorii ferite de coliziuni pentru braţul robotului, între două poziţii, în cazul unui spaţiu închis.

Reprezentarea parametrică Reprezentarea parametrică tratează reprezentarea parametrică a curbelor şi suprafeţelor, expunând modul de abordare a reprezentării curbelor  Bézier şi B-spline, precum şi construcţia porţiunilor de suprafaţă pe baza acestor tipuri de curbe. O curbă parametrică este definită printr-o mulţime discretă de puncte cunoscute ca  puncte de control împreună cu un set de funcţii de bază. Această metodă de specificare a curbei este complet diferită faţă de cea matematică normală, care are forma unei funcţii implicite. Cercetări recente sunt orientate spre: Reprezentarea parametrică a curbelor tridimensionale: - curbele cubice Bézier  - unirea segmentelor de curbe cubice Bézier  - curbele B-spline, uniforme şi neuniforme; Reprezentarea suprafeţelor cubice biparametrice: - combinarea porţiunilor de suprafaţă Bézier  - porţiuni de suprafaţă B-spline - editarea suprafeţelor parametrice Reprezentarea parametrică a spaţiilor de lucru proprii ale roboţilor prin utilizarea Matlab: - funcţii utilizate în programele Matlab scrise pentru generarea reprezentărilor grafice; - modelarea suprafeţelor descrise de efectorul final

Program de calcul pentru trasarea curbelor Bezier Parametrii curbei

Parametrii curbei unde x şi y sunt coordonatele punctelor de control.

Bez( t , P )

:=

( 1 − t) ⋅ P

〈0〉

〈〉 + t ⋅P 1

if  cols( P )

2

otherwise for  i ∈ 0 .. cols(P )

−2 〈〉i 〈〉i 〈i+ 1〉 M ← ( 1 − t) ⋅ P + t ⋅P Bez( t , M)

Pentru variaţia t = 0, 0.001 . . 1 se obţine următoarea reprezentare grafică a curbei Bezier: 5.4 4.8 T 4.2 y 3.6 3 Bez( t, P) 1 2.4 1.8 1.2 0.6 0

1

1.4

1.8

2.2

2.6 T

x

3

3.4

3.8

, Bez( t, P) 0

Fig. 1.14 Curbă Bezier 

4.2

4.6

5

CAPITOLUL 2 ANALIZA CINEMATICĂ A MECANISMELOR  DIN COMPUNEREA ROBOŢILOR 

Solidul rigid este un sistem de puncte materiale la care distanţele dintre acestea rămân constante în timpul mişcării şi nu îşi modifică poziţiile în raport cu un reper fixat de rigid. A cunoaşte mişcarea unui solid înseamnă a determina, la un moment dat, vectorul de poziţie, viteza şi acceleraţia unui punct oarecare al acestui solid.

2.1.1 Translaţia axelor de coordonate Translaţia este determinată prin vectorul de poziţie al noii origini faţă de originea sistemului iniţial (fig. 2.1). Relaţiile de legătură între coordonatele unui punct M ( ρx , ρy , ρz ) , faţă de sistemul iniţial O0 x0 y 0z 0 şi coordonatele aceluiaşi punct M(x,y,z), faţă de sistemul translatat Oxyz, se obţin în urma proiectării ecuaţiei vectoriale.

ρ = ρ0 + r 

 Fig.2.1 Sisteme de referinţă

(2.1)

Matriceal, se scrie sub forma:

ρ x  ρ0x  1 0 0  x   ρ  = ρ  +  0 1 0   y  ,  y   0y     ρz  ρ0z  0 0 1   z 

(2.3)

( ρ ) = ( ρ0 ) + [ E ] ( r ) .

(2.4)

sau

Poziţia şi mişcarea solidului rigid , faţă de sistemul cartezian fix O0 x0 y0z 0 , corespund poziţiei şi mişcării unui triedru Oxyz ataşat rigidului respectiv. Cele şase grade de libertate ale rigidului vor fi determinate de vectorul de poziţie versorilor mobili

i, j şi k 

ρ0 al originii O şi de poziţia

ai axelor Ox, Oy şi Oz (fig. 2.3).

 Fig. 2.3. Determinarea gradelor de libertate ale solidului rigid 

Vectorul de poziţie al punctului M în raport cu sistemul mobil este: r = x ⋅ i + y⋅ j + z ⋅ k , 

(2.21)

Proiecţiile vectorului r 0 pe axele sistemului fix se pot deduce făcând produsele scalare corespunzătoare:

 ( i0 ) T ( r )  α x + α y + α z  α 11 α 21 α 31  x  21 31   T   11 ( r 0 ) =  ( j0 ) ( r )  = α12x + α 22y + α 32z  = α 12 α 22 α 32  y    T ( k 0 ) ( r )   α13x + α 23y + α 33z  α 13 α 23 α 33  z  unde:

,

(2.24)

α11 = ( i0 ) T  ( i ) ; α12 = (  j0 ) T  ( i ) ; α13 = ( k 0 ) T ( i) ; α 21 = ( i0 ) T  (  j ) ; α 22 = (  j0 ) T  (  j ) ; α 23 = ( k 0 ) T (  j) ; α 31 = ( i0 ) T  ( k ) ; α 32 = (  j0 ) T  ( k ) ; α 33 = ( k 0 ) T ( k ) .

(2.25)

2.2 Determinarea distribuţiei de viteze şi acceleraţii Produsul scalar a doi vectori a1 şi b1 poate fi exprimat matriceal sub forma T ( a1 ) ( b1 ) = a1x a1y

 b1x    a1z   b1y  = a1x b1x + a1y b1y + a1z b1z ,  b   1z 

(2.37)

iar cel vectorial

 0 −a1z a 1y    0 −a 1x  [ a1 ] ( b1 ) =  a1z  −a1y a1x 0   

 b1x    b1y  b   1z 

,

(2.38)

unde: [ a1 ] este matricea antisimetrică asociată vectorului a1 ,

( b1 ) - matricea coloană asociată vectorului b1 . Poziţia punctului M în raport cu sistemul de referinţă fix O0 x0 y 0z 0 este determinată  prin vectorul:

( ρ ) = ( ρ0 ) + [ a] T ( r ) ,

(2.39)

de unde, prin derivare în raport cu timpul, se obţine viteza punctului M în raport cu sistemul fix:

( ρ ) = ( ρ 0 ) + [ a ] T ( r ) .

(2.40)

Pentru a determina proiecţiile vitezei punctului M în raport cu sistemul de referinţă mobil (sistemul propriu), se înmulţeşte la stânga cu operatorul [ a] , obţinându-se: T

[ a ] ( ρ&) = [ a ] ( ρ&0 ) + [ a] [ a&] ( r) .  

(2.41)

Pe baza relaţiei (2.46) expresia vitezei punctului M în raport cu sistemul propriu Oxyz dată de relaţia (2.42) devine:

(V  M  ) = (V 0 ) + [ ω]( r ) ,

(2.47)

unde:

 0 −ωz ωy    T T T 0 −ωx  , [ ω] = − [ ω] = [ a ] [ a&] = −[ a&] [ a ] =  ωz  −ωy ωx 0    VM  V = ( M )  VM   VM

x

y

z

   ; ( V0 ) = [ a ] ( ρ&0)  

V0    =  V0  .    V0  x

(2.48)

y

z

Menţiuni 1. Ecuaţia [ ω] = [ a ] [ a ] T  se multiplică la stânga cu matricea [ a ] , obţinându-se: T 

T

T

[ a&] = [ a ] [ ω] ,

(2.49)

respectiv ecuaţia [ ω] T  = [ a ] [ a ] T  se multiplică la dreapta cu matricea [ a] , rezultând T

[ a&] = [ ω] [ a ] ,

(2.50)

două relaţii foarte importante pentru stabilirea regulilor de derivare, în vederea obţinerii ecuaţiilor cinematice;

[ ω] joacă rolul unui operator diferenţial aplicat unui vector,

2. Matricea antisimetrică

exprimat prin proiecţiile sale pe axele unui sistem de referinţă mobil (propriu): d dt

( r) = [ a]

d

{ dt

[ a ] ( r ) } = [ a ] [ a ] [ ω ] ( r ) = [ ω ] ( r ) .  T

T

(2.51)

Pe baza formulei (2.51) se obţin, în cazul versorilor mobili i, j, k , relaţiile lui Poisson: d d t 

( i)

= [ ω] ( i ) ;

d d t 

(  j )

= [ ω] (  j ) ;

d d t 

( k )

= [ ω] ( k ) .

(2.52)

Ţinând cont de relaţia (2.49), ecuaţia (2.40) devine T

( ρ&) = ( ρ&0 ) + [ a ] [ ω] ( r ) .

(2.53)

Acceleraţia punctului M, exprimată în raport cu proiecţiile sale pe axele sistemului de referinţă fix, se obţine prin derivare în raport cu timpul a ecuaţiei (2.53), obţinându-se:

T

T

ρ&) = ( ρ&&0 ) + [ a&] [ ω] ( r ) + [ a ] ( ω&) ( r ) = (&

 

= ( ρ&&0 ) + [ a ] { [ ω] + [ ω&] } ( r ) . T

2

(2.54)

2.4 Determinarea matricei de rotaţie în cazul unei rotaţii oarecare Se consideră în acest caz rotaţia solidului rigid în jurul unei axe oarecare, ∆, cu un unghi ϕ [84, 125, 128, 131](fig. 2.6).

 Fig. 2.6. Rotaţia rigidului în jurul axei

∆

Se consideră axa de rotaţie (∆), definită în raport cu sistemul triortogonal fix

O0 x0 y 0z 0 , prin cosinuşii directori:

α11 = cos α , α 12 = cos β, α13 = cos γ   şi sistemul de referinţă O1x1 y1z1 a cărui axă O1x1 coincide cu axa de rotaţie (∆), iar axa

O1z1 este situată în planul O0 x 0z 0 .

( )

2 Considerăm că un punct M′ definit în sistemul O 2 x2 y 2 z 2 , de vector  r M ′ , se obţine

ca rezultat al rotaţiei de unghi ϕ în jurul axei ( ∆) din punctul M ce aparţine sistemului 1 O1 x1 y1 z 1 , de vector  ( r   M  ) . Ştiind că expresia analitică a vectorului de poziţie este un

invariant faţă de rotirea axelor de coordonate, se poate scrie

( rM2 ′ ) = ( r M1 ) , din care, prin multiplicare la stânga cu matricea [ a 21 ] T , se obţine

[ a 21 ]

T

T

( r ′ ) = [ a ] ( r )  . 2 M

1 M

21

(2.85)

Relaţia (2.91) devine T

T

( r ′ ) = [ a ] [ a ] [ a ] ( r )  , 0 M

10

21

10

0 M

şi deci matricea transformării este T

T

T

[ a r ] = [ a10 ] [ a 21 ] [ a 10 ] .

(2.92)

Matricea [ ar ] , definită de relaţia (2.92), defineşte rotaţia solidului rigid în jurul axei (∆), cu unghiul ϕ , în raport cu sistemul de referinţă fix.  Notăm cα = cos α, sα =sinα, . . . şi efectuând produsele matriceale,

cα −cα cβ − cγ   0  sβ sβ  1 0   T T T sβ 0  0 cϕ −sϕ = [ a 20 ] [ a10 ] [ a 21 ] =  cβ    cγ −cβ cγ cα  0 sϕ cϕ  sβ sβ   şi T

[ a 20 ] [ a10 ] =  cα − cαcβc ϕ + cγsϕ −cγcϕ + cαcβsϕ    sβ sβ   =  cβ −sβsϕ sβ cϕ   cαsϕ − cβ cγcϕ cβ cγsϕ + cα cϕ   cγ   sβ sβ  

  cα   cαcβ  − sβ   cϕ  − sβ 

 cβ cγ    cβ cγ    sβ − , sβ   cα  0 sβ 

T

în final, matricea transformării, [ a r ] , devine

 α11r α r21 α31r   T T T   [ a r ] = [ a10 ] [ a 21 ] [ a 10 ] = α12r α r22 α r 32  ,  α13r α 23r α 33r   unde:

(2.93)

c2α ⋅ c2β ⋅ cγ + cα ⋅ cβ ⋅ cγ ⋅ sϕ − cα ⋅ cβ ⋅ cγ ⋅ sϕ + c 2γ ⋅ cϕ α =c α+ ; s 2β r 11

2

α r 21 = cα ⋅ cβ −

sβ ⋅ cϕ ⋅ cα ⋅ cβ sβ ⋅ cγ ⋅ sϕ + ; sβ sβ

c2α ⋅ cβ ⋅ sϕ cα ⋅ c 2β ⋅ cγ ⋅ cϕ cβ ⋅ c 2γ ⋅ sϕ + cα ⋅ cγ ⋅ cϕ α = cγ ⋅ cα − + − ; s 2β s 2β s 2β r  31

α12r  = cα ⋅ cβ −

cα ⋅ c β⋅ sβ⋅ cϕ + cγ ⋅ sβ⋅ sϕ sβ

;

α r22 = c2β + s 2β ⋅ cϕ ; α32r  = cγ ⋅ cβ +

(2.94)

cα ⋅ s β⋅ sϕ − cβ ⋅ sβ⋅ cγ ⋅ cϕ ; sβ

cα ⋅ c2β ⋅ c γ ⋅ cϕ + cβ ⋅ c 2γ ⋅ sϕ − cα ⋅ cγ ⋅ cϕ + c 2α ⋅ cβ ⋅ sϕ α = cα ⋅ cγ + ; 2 sβ r  13

α r 23 = cβ ⋅ cγ − α =c γ− r 33

2

sβ ⋅ cβ ⋅ cγ ⋅ cϕ sβ

cα ⋅ cβ ⋅ cγ ⋅ sϕ s

β

2

+

−

sβ ⋅ cα ⋅ sϕ sβ

c 2β ⋅ c 2γ ⋅ cϕ s

β

2

;

+

cβ ⋅ cγ ⋅ cα ⋅ sϕ + c 2α ⋅ cϕ s

β

2

.

Semnul pentru ϕ este determinat de regula burghiului drept, când rotaţia are loc în sensul pozitiv al axei ( ∆). Fiind dată matricea de rotaţie, se pot determina cosinusurile directoare şi unghiul de rotaţie:

ϕ = arc cos

α11 + α 22 + α 33 − 1 , 2

α r23 − α32r   1  r  ⋅  α 31 − α13r   . ( u) = 2 ⋅ sϕ  α12r − α r 21 

(2.96)

(2.97)

2.6. Mişcarea compusă a solidului rigid 2.6.1 Distribuţia vitezelor Se consideră că se cunosc parametrii cinematici ai mişcării solidului rugid faţă de un sistem mobil O1x1 y1z1 , precum şi parametrii cinematici ai mişcării acestui sistem de referinţă în raport cu cel fix O0 x0 y 0z 0 . Se consideră referenţialul triortogonal O 2 x2 y 2 z2 invariabil legat de solidul rigid (fig.2.8).

 Fig. 2.8. Mişcarea compusă a solidului rigid 

Poziţia solidului rigid faţă de triedrul O1x1y1z1 este dată prin coordonatele originii

O 2 ( x21 , y 21 , z 21 ) şi prin unghiurile lui Euler  ψ r , θr  şi ϕr  formate de axele O 2 x 2 , O 2 y 2 şi O 2z 2 cu axele mobile O1x1 , O1 y1 , O1z1

 x21  ψ r   ( r 21 ) =  y 21 , ( λ r  ) =  θ r   .      z 21   ϕ r  

(2.119)

Matricea de trecere de la sistemul O1x1y1z1 , la sistemul O 2 x2 y 2 z 2 este

[ a 21 ] = [ a r ] = a ϕr  a θr   a ψ r   .

(2.120)

Parametrii de poziţie ai triedrului mobil O1x1 y1z1 faţă de reperul fix O0 x0 y 0z 0 , vor  fi coordonatele x10 , y10 , z10 ale originii O1 şi unghiurile lui Euler  ψ t ,

θt , ϕ t care

formează matricele coloană:

ψ t  ( λ t ) =  θt   , (2.121)  ϕt   iar matricea transformării [ a10 ] = [ at ] are componentele date de relaţiile (2.108).  x10  ( r 10 ) =  y10  ;  z 10 

Poziţia punctului M faţă de referenţialul mobil O 2 x2 y2 z 2 este dată de componentele vectorului de poziţie r 2 , unde T

( r2 ) = [ x 2 y2 z 2 ] .

(2.122)

Ştiind că (fig. 2.8)

( r1 ) = ( r21 ) + ( r 2 ) ,

(2.123)

( ρ) = ( r10 ) + ( r 1 ) ,

(2.124)

T

( r21 ) + [ a 21 ] ( r2 ) = ( r1 ) ,  

(2.125)

[ a ] = [ a 21 ] [ a10 ] = [ a r ] [ a t ] se obţin proiecţiile vitezei punctului M pe axele sistemului legat O 2 x2 y2 z 2 :

+ [ a 21 ] ( r&21 ) + [ a 21 ] [ ω10 ] ( r1 ) + [ ω 21 ] ( r2 ) . ( VM ) = [ a 21 ] [ a10 ] ( r& 10 )

  (2.126)

Folosind notaţiile:

[ ω10 ] = [ ωt ] , [ ω21 ] = [ ωr ] ,  [ a10 ] ( r&10 ) = ( V10 ) , [ a 21 ] ( r&21 ) = ( V21 ) ,

(2.127)

ecuaţia (2.126) capătă forma:

( VM ) = [ a 21 ] { ( V10 ) + [ ωt ] ( r1 ) } + { ( V21 ) + [ ω r ] ( r2 ) } .

 

(2.128)

2.6.2 Distribuţia acceleraţiilor Pentru determinarea acceleraţiei punctului M, se derivează în raport cu timpul viteza  punctului M, obţinându-se

+ [ a10 ] ( & + [ a10 ] { [ ω10 ] + [ ω&10 ]} ( r1 ) + r& 21 )

 

+2[ a10 ] [ ω10 ] ( r& + [ a10 ] [ a 21 ] { [ ω21 ] + [ ω&21 ]} ( r2 ) , 1)

 

ρ&) = ( & r& (& 10 )

T

T

T

T

T

2

2

(2.132)

Prin multiplicarea la stânga cu [ a ] = [ a21 ] [ a10 ] , se obţine acceleraţia punctului M dată prin proiecţiile sale pe axele sistemului legat O 2 x2 y 2z 2 :

{

}

2 & & r& a r a + + ω + [ ω&10 ] ( r1 ) + ( a M ) = [ a 21 ] [ a10 ] ( & ( ) ) [ ] [ ] [ ] 10 21 21 21 10

&21 ] } ( r2 ) , +2[ a 21 ] [ ω10 ] ( r& 1 ) + { [ ω21 ] + [ ω 2

Revenind în sistemul fix, prin multiplicare la stânga cu [ a ]

T

T

(2.133)

T

= [ a10 ] [ a 21 ] , se obţine

T

T

[ ω&20 ] = [ a 21 ] [ ω&10 ] [ a 21 ] + [ ω&21 ] + [ a 21 ] [ ω10 ] [ a 21 ] [ ω 21 ] + T

 

T

+ [ ω21 ] [ a 21 ] [ ω10 ] [ a 21 ] .

(2.135)

Pe baza relaţiilor (2.129) şi (2.134), se poate scrie

[ ω20 ] + [ ω&20 ] = [ a 21 ] { [ ω10 ] + [ ω&10 ]} [ a 21 ] + [ ω 21] + [ ω&21 ] + 2

2

T

2

T

(2.136)

+2[ a 21 ] [ ω10 ] [ a 21 ] [ ω21 ] , ceea ce permite scrierea acceleraţiei punctului M sub forma

( a M ) = ( a o ) + { [ ω20 ] + [ ω&20 ] } ( r 2 ) , 2

2

2

(2.137)

atunci când se cunoaşte acceleraţia originii O 2 a sistemului de referinţă legat de solidul rigid.

cθ −sθ ⋅ cα sθ ⋅ s α  R = R z,θR x ,α =  s θ c θ ⋅ c α − cθ ⋅ s α  .  0 sα cα 

(2.141)

Deoarece coloanele lui R sunt ortonormate, iar r31 = 0 rezultă că 2 2 r11 + r21 = 1,

2 2 r32 + r33 = 1.

(2.142)

Relaţiile (2.142) conduc la valori unice pentru θ şi α astfel încât :

( r11, r21 ) = ( cθ , sθ ) şi ( r33 , r32 ) = ( cα , sα ) .

(2.143)

Odată gasite valorile lui θ şi α, este usor de verificat că elementele rămase din matricea R corespund formei (2.141), folosind faptul că matricea R este o matrice de rotaţie. Ceea ce s-a discutat anterior reprezintă semnificaţiile logice şi condiţiile necesare aplicării formalismului Denavit-Hartenberg şi a alegerii parametrilor. În plus se pot desprinde şi semnificaţii fizice ale parametrilor şi anume: - a reprezintă distanţa dintre axele z0 şi z1 , măsurată de-a lungul lui x1 , - unghiul α este masurat într-un plan perpendicular pe x1 între axele z0 şi z1 , - parametrul d reprezintă distanţa între O0 şi intersectia lui x1 cu axa z 0 măsurată de-a lungul lui z0 , - unghiul θ reprezintă unghiul dintre x 0 şi x1 măsurat într-un plan perpendicular pe axa z 0 . Se poate arăta că pentru un sistem manipulator se pot alege întotdeauna sistemele de coordonate 0, 1,..., n în aşa fel încât să se respecte cele două ipoteze Denavit-Hartenberg, (DH1) şi (DH2), în condiţiile în care se acceptă posibilitatea că sistemul “i” să nu aparţine în unele situaţii articulaţiei “i”.

2.7.2 A două metodă de alocare a sistemelor de coordonate conform formalismului Denavit-Hartenberg A două metodă de alocare a sistemelor de coordonate şi de stabilire a parametrilor  Denavit-Hartenberg este prezentată în fig.2.12:

 Fig. 2.12. Alocarea sistemelor de coordonate

Regulile folosite sunt următoarele: Sistemul de coordonate cu originea Oi −1 se va plasa în articulaţia "i - 1". Primul sistem de coordonate O0 x0 y 0z 0 se stabileşte în baza sistemului de mişcare şi nu reflectă  prima tendinţă de mişcare. Sistemul de coordonate în jurul căruia se realizează prima mişcare, de translaţie sau de rotaţie, este O1x1y1z1 . Axa zi −1 este axa de mişcare, adică se alege astfel încât mişcarea articulaţiei “i” să fie de rotaţie în jurul axei zi −1 , sau de translaţie de-a lungul axei zi −1 . Cu această regulă se stabilesc toate axele zi −1 din articulaţiile robotului. Axa x i −1 se stabileşte de-a lungul perpendicularei comune între axele zi −1 şi zi . Axa yi −1 se alege astfel încât să completeze sistemul cartezian de coordonate

Oi −1xi −1y i −1zi −1 . Parametrii Denavit-Hartenberg sunt daţi de următorul set de valori: - unghiul

αi de rotaţie în jurul axei x i −1 pentru a suprapune vectorul zi −1 peste

vectorul zi (paralela la zi dusa din Oi −1 ). - distanţa  bi măsurată de-a lungul axei x i −1 , de la originea Oi −1 până la punctul de intersecţie dintre axele x i −1 şi zi . - unghiul

θi de rotaţie în jurul axei zi pentru a suprapune vectorul x i −1 (paralela la

x i −1 dusă din Oi peste vectorul x i . - distanţa di măsurată de-a lungul axei zi , de la originea Oi până la punctul de intersecţie dintre axele x i −1 şi zi . Matricea de transformare omogenă este :

Tii−1

1 0 =  0   0

= Txi−1 ,αi Txi −1 ,bi Tzi , θi Tzi ,di = 0

0 i

−s αi

i

cα

cα sα 0

0

i

0  1

 0 0  0 0  0   0

cθi −s θi   ⋅ sθi cθi 0  0 0   1  0 0 

0

1

0  bi   0 0

0

0

1

1

0

0

0

0

−sθi 0 bi   cθi   c s c c s d s − −  αi θi α i θi αi i αi  =  s s s c c d c α θ α θ α α i  i i i i i i   0 0 0 1 

0  1

 0 0   0 0  1   0

0

0

1

0

0

1

0

0

0

 = di   1 0

(2.147)

CAPITOLUL 3 CARACTERISTICI GENERALE ALE ANGRENAJELOR SI A MECANISMELOR FOLOSITE IN CONSTRUCTIA ROBOTULUI 4R  CARACTERIZARE. CLASIFICARE. DOMENII DE FOLOSIRE Angrenajul este mecanismul format din două roţi dinţate, care transmite - prin intermediul dinţilor aflaţi succesiv şi continuu în contact (angrenare) - mişcarea de rotaţie şi momentul de torsiune între cei doi arbori. Angrenajele au o largă utilizare în transmisiile mecanice, datorită avantajelor pe care le prezintă: raport de transmitere constant; siguranta în exploatare; durabilitate ridicată; randament ridicat; gabarit redus; posibilitatea utilizării pentru un domeniu larg de puteri, viteze şi rapoarte de transmitere. Ca dezavantaje, se pot menţiona: precizii mari de execuţie şi montaj; tehnologie complicate zgomot şi vibraţii în functionare.

Clasificarea angrenajelor se realizează după cum urmează: - după poziţia relativă a axelor de rotaţie: angrenaje cu axe paralele (fig. 3.1, a, b,d, e); angrenaje cu axe concurente (fig.3.2); angrenaje cu axe încrucişate

(fig.3.3);

Fig. 3.1 - după forma roţilor componente: angrenaje cilindrice (fig.3.1, a, b, d, e); angrenaje conice (fig. 3.2); angrenaje hiperboloidale (elicoidale fig.3.3, a; melcate - fig.3.3, b; hipoide - fig.3.3, c); în fig31.1, c este prezentat angrenajul roată- cremalieră;

- după tipul angrenarii : angrenaje exterioare (fig.1.1, a, d, e); angrenaje interiorare (fig.1.1,b);

Fig 3.2

Fig. 3.3

- după direcţia dinţilor : angrenaje cu dantură dreaptă (fig.1.1, a, b şi 1.2, a); angrenaje

cu dantură înclinată (fig.1.1, d şi 1.2, b); angrenaje cu dantură curbă (fig.1.2, c şi 1.3, c); angrenaje cu dantură în V (fig.1.1, e); - după forma profilului dinţilor : profil evolventic; profil cicloidal; profil în arc de

cerc;