Progresiones aritméticas y geometricas.docx

Progresiones aritméticas

Una progresión aritmética  e s u n a sucesión de números   tales que cada uno de ellos (salvo el primero) es igual al anterior más un número fijo llamado diferencia  q u e se representa por d.

Diferencia

d = a n - a n-1

Término general de una progresión aritmética

a n = a 1   + (n - 1) · d

a n = a k  + ( n - k ) · d

nterpolación de términos

Sean los e!tremos a " # , y e l n ú m e r o d e medios a interpolar m.

$uma de términos e%uidistantes

a i + a & = a 1 + a n

a' + an- = a + an-1 = a1 + an

$uma de n términos consecutios

Progresiones geométricas

Una progresión geométrica  e s u n a sucesión  e n l a q u e cada término se otiene multiplicando al anterior una cantidad f i j a r, llamada r a * ó n.

Término general de una progresión geométrica

an = a1 · r n-1

an = ak · rn-k

nterpolación de términos

$uma de n términos consecutios

$uma de los términos de una progresión geométrica decreciente

Producto de dos términos e%uidistantes

a i  a & = a 1  a n

a ' · a n -  = a  · a n - 1  = ... = a 1 · a n

Producto de n términos e%uidistantes

,&ercicios

! l c u a r t o t é r m i n o d e u n a progresión aritmética   es "#, y el se$to es "%. !scriir la progesi&n.

a

'

a

= "#

n

= a

k

a

%

= "%

+ (n - k) · d

"% = "#  (% * ') d

a " = a '  * +d

a "  = " # *  = "

1 . / 10 1' 

d= +

-nterpolar tres medios aritméticos entre  y *"/.

,

' - -/ ,

*"/.

! l p r i m e r t é r m i n o d e u n a progresión aritmética  e s * " , y el décimoquinto es /0. 1allar la diferencia y la suma de los quince primeros términos.

a

"

= 2 "

a

n

= a

1

a

"3

= /0

+ (n - 1) · d

/0= *"  ("3*") d

/ = "'d

d = /

S = ( * "  / 0 ) " 3 4 / = 1 2

1allar los ángulos de un cuadrilátero conve$o, saiendo q u e e s t á n e n progresión aritmética , s i e n d o d = / 3 5 .

6a suma de los ángulos interiores de un cuadrilátero es +%#5.

+%#= ( a "  a ' ) 7 '4/

a ' = a "   + 7 / 3

+%#= ( a "  a "   + 7 /3) 7 '4/

a 1 = 1023 = 24 '05

a' = 104 '05

a   = //4 '05

a .   = 1/4 '05

!l cateto menor de un triángulo rectángulo mide  cm. 8alcula los otros dos, saiendo que los lados del triángulo forman una progresión aritmética .

a / =   d

a +  =   / d

(  /d) /  = (   d ) /  % '

d = 

6  1 7   ..

8alcula tres números en progresión aritmética , q u e suman /0 y siendo la suma de sus cuadrados es +""4/.

9érmino central

$

"5

$ * d

+5

$  d.

$ 2 d  $  $  d = /0

$ = 

( 2 d) /    "  (   d ) /  = 3"" 4 /

d = : 3 4 /

1' 3   '3

' 3   1'3

! l / 5 t é r m i n o d e u n a progresión geométrica  es %, y el 35 es '. !scriir la progesi&n.

a/= %

an = ak · r

a3= '

n-k

' = % r 3*/ 

r + = 

a " = a /  4 r a " = %4/= +

' 7 1 . .6 

r = /.

!l " e r t é r m i n o d e u n a progresión geométrica  es +, y el 5 es +'. 1allar la ra;&n, y la suma y el producto de los  primeros términos.

a

"

= +

a

+' = + 7 r *" 



= +'

r0 = "/

r0 = /0

r= 

S  = (+' 7 / * + ) 4 (/ 2 ") = 0%3

-nterpolar tres medios geométricos entre + y '.

a = +

+,

 = '

7 1 .

'

, por el /5 / >, por el +5 ' >, por el '5  > y a? sucesivamente. 8uánto a pagado por los liros.

a"= "

r= /

n = /#

S= (" 7 / / # * "  * ") 4 (/ * ") = 1 0 . 6 2 / 2 8 .

Uniendo los puntos medios de los lados de un cuadrado de lado l, se otiene otro cuadrado, en el que volvemos a acer la misma operaci&n, y as? se continua indefinidamente. 8alcular la suma de las áreas de los infintos cuadrados.

Introducción Podemos definir, de forma no rigurosa, una progresión (o sucesión ) numérica como un conjunto de números ordenados. A cada uno de estos números los llamamos términos de la sucesión: a1 es el primer término, a2 es el segundo término, a3 es el tercer  término... an es el n-ésimo término. Veamos las características ue las definen: •

•

!as sucesiones pueden ser o infinitas.

finitas (un número finito de términos)

Crecientes  si cada término es ma"or ue su anterior, es decir, an ≤ a n + 1

# decrecientes  si an ≥ a n + 1 . •

$on arítmeticas  cuando cada término es la suma del término anterior  m%s un número en concreto, al ue llamamos diferencia , d . &s decir, an+1 = an + d 

•

$on geométricas cuando cada término es el término anterior  multiplicado por un número en concreto, al ue llamamos razón, r . &s decir, an+1 = an · r 

&n el caso de las aritméticas " geométricas, podemos encontrar una fórmula, a la ue llamamos fórmula general de la progresión  ue nos proporciona el término n-ésimo ue ueramos sin necesidad de escri'ir los términos anteriores. gualmente podemos calcular la suma de n términos consecutios e, incluso en ocasiones, la suma de infinitos términos. &n esta sección resolemos pro'lemas de sucesiones aritméticas " geométricas. !os pro'lemas est%n escritos en orden creciente de dificultad.

Antes de empe*ar, +aremos un recordatorio de todas las fórmulas ue necesitaremos.

SUCESIÓN ARIT!TICA &s de la forma

iferencia

érmino general

$uma de n primeros términos

SUCESIÓN "E#!TRICA &s de la forma

a*ón

érmino general

$uma de todos los términos $uma de n primeros términos

E$ERCICI#S RESUE%T#S &clic' para (er la solución) /

&n una progresión aritmética, sa'emos ue el se0to término es 12 " ue la diferencia es 3. 4alcular el término general " los 3 primeros términos.

1

&n una progresión geométrica, sa'emos ue el primer término es 5 " el cuarto 62. 4alcular el término general " la suma de los 3 primeros términos.

&ncontrar el término general de la sucesión 18,/9.7,/2.5,/.9,;

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