Semestre Module Matière Enseignant
:5 : Techniques Quantitatives : Recherche Oppérationnelle : Mr EZZEHAR Eléments du cours
Programme Linéaire Résolution du Simplexe Notion de Dualité Exemples avec corrigés
Numérisation & Conception
Mr Lehcen HABCHI
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Synthèse de Cours
Recherche Opérationnelle
Résolution Simplexe Soit le programme linéaire (P) suivant : Max z =500 x1 +300 x2 20 x1 +10 x2 ≤ 2000 10 x1 + 45 x2 ≤ 5400 40 x1 + 30 x2 ≤ 4800 x1 ≥0, x2 ≥ 0 1ère étape : Mettre le P.L sous sa forme standard : Max z =500 x1 +300 x2+0 e1 + 0 e2 + 0 e3 20 x1 +10 x2+1 e1 + 0 e2 + 0 e3 = 2000 10 x1 + 45 x2 +0 e1 + 1 e2 + 0 e3 = 5400 40 x1 + 30 x2 +0 e1 + 0 e2 + 1 e3 = 4800 x1 ≥0, x2 ≥ 0 ; e1≥0, e2≥0 , e3≥ 0 2ème étape : Solution de base initiale : HB : x1 =0, x2 =0 B : e1=0, e2=0, e3= 0 Z = 0Dh 3ème étape : La saisie du problème TAB 0 :
C’est la ligne du Pivot qui correspond à V.E ∩ V.S ici c’est 20
( V.E V.S
Base
e1 e2 e3 Zk
x1 x2 e1 e2 e3 Rés Rés/Coeff 20 10 1 0 0 2000 2000/20 =100 10 45 0 1 0 5400 5400/10 =540 40 30 0 0 1 4800 4800/40 =120 500 300 0 0 0 Z=0
V.E qui correspond au Max de Z 500,300 ;0,0,0,0 V.S qui correspond au Min de Rés/Coeff 100,540 ;120
ici le Max =500 ici le Min =100 C’est la ligne du Pivot qui correspond à V.E ∩ V.S ici c’est 10
TAB 1 : V.E Base x1 x2
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V. S
x1 e2 e3 Zk
1 1/2 0 40 0 10 0 50
Rés e1 e2 e3 Rés/Coeff 1/20 0 0 100 100/(1/2) =200 -1/2 1 0 4400 4400/40 =110 -2 0 1 800 800/10 = 80 -25 0 0 Z= -5000
V.E qui correspond au Max de Z 0 ;50 ;-25 ;0 ;0 ici le Max = 50 V.S qui correspond au Min de Rés/Coeff 200,110 ;80 ici le Min = 80 Comment on a arriver à faire ce Calcul : c’est simple ☺ regardez : 1. D’abord x1 va entrer comme base alors il va remplacer la variable Sortante qui correspond à e1
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Donc : Base x1
x1 e2 e3 Zk
x2 e1 e2 e3 Rés Rés/Coeff
1 0 0 0
2. Ensuite, on fait les calcules correspondant à la ligne du Pivot Comme indique les tableau ci-dessous : à savoir : Nouveau valeur =Valeur (Ancien ligne du pivot) / Pivot Donc : Base
x1 e2 e3 Zk
x1 1 0 0 0
x2 10/20
e1 1/20
e2 0/20
e3 0/20
Rés 2000/20
Base
càd
x1 e2 e3 Zk
x1 1 0 0 0
x2 1/2
e1 1/20
e2 0
e3 0
Rés 100
En fin, on complète le tableau on utilisant le règle de pivotage à savoir : V. correspond (V.E) * V. correspond (V.S) Nouveau valeur = Ancien Valeur Pivot
Exemple : pour l’ancien valeur du tableau 0 : 30 Sa Valeur correspond (V.E) = 40 Sa Valeur correspond (V.S) = 10 V.E Base x1
e1 e2 e3 Zk
V.S
40
x2 e1 e2 e3 Rés Rés/Coeff 10 30
Donc : maintenant si vous avez compris, on va compléter le tableau : Base x1
x1
x2 1/2
e1 1/20
e2 0
e3 0
Rés 100
(10)(10) 20 (40)(10) 30 − 20 (500)(10) 300 − 20
(10)(1) 20 (40)(1) 0− 20 (500)(1) 0− 20
(10)(0) 20 (40)(0) 0− 20 (500)(0) 0− 20
(10)(0) 20 (40)(0) 1− 20 (500)(0) 0− 20
(10)(2000) 20 (40)(2000) 4800 − 20 (500)(2000) 0− 20
1
e2
0
e3
0
Zk
0
45 −
0−
1−
Alors :
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Base x1
x1 e2 e3 Zk
1 0 0 0
e2 e3 x2 e1 Rés 1/2 1/20 0 0 100 40 -1/2 1 0 4400 10 -2 0 1 800 50 -25 0 0 Z= -5000
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0−
5400 −
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Remarque : Concentrez vous sur les valeurs de e1, e2 et e3, qui ce que vous remarquez ? x1 1 0 0 0
Base
x1 e2 e3 Zk
x2
e2 0 1 0 0
e1 1/20 -1/2 -2 -25
e3 0 0 1 0
Rés
Dans la base, il n y a pas de e1 c’est pourquoi vous remarquez qu’il y a un changement dans ces valeurs anciens ; Alors que e2 et e3 sont tjrs dans la base, donc ils ont gardé les anciennes valeurs autant que base. La prochaine fois essayer de distinguer les variables qui sont de la base pour ne pas faire des calculs inutiles. Càd : Tu dois procéder comme suit : Base x1
x1 e2
0
e3
0
Zk
0
e2 0
x2 1/2
e1 1/20
(10)(10) 20 (40)(10) 30 − 20 (500)(10) 300 − 20
(10)(1) 20 (40)(1) 0− 20 (500)(1) 0− 20
1
45 −
0−
e3 0
1
0
0
1
0
0
Rés 100
(10)(2000) 20 (40)(2000) 4800 − 20 (500)(2000) 0− 20 5400 −
Alors : Situation initial du TAB 1 : HB : x2 =0, e1=0 B : x1 =0, e2=4400, e3= 800 Z = |-5000| = 5000Dh TAB 2 : Base
x1 e2 x2 Zk
x1 1 0 0 0
x2 0 0 1 0
e1 ///// ///// -1/5 -15
e2 0 1 0 0
e3 ///// ///// 1/10 -5
Rés 60 1200 80 Z= -5400
Voila comment on a fait ce calcul ? Base x1 x2
e3
Rés
x1
1
0
/////
0
/////
e2 x2
0 0
0 1
///// -2/10
1 0
///// 1/10
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e2
e1
0
(50)(−2) − 25 − 10 0
(50)(1) 0− 10 0
(1 / 2)(800) 10 (40)(800) 4400 − 10 100 −
800/10
(50)(800) − 5000 − 10
Conclusion : Toutes les valeurs de la ligne Zk du TAB 2 sont ≤ 0 donc la solution optimale est atteinte dans ce tableau (TAB 2)
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La solution de base optimale primale est : HB : e1 = 0 e3= 0 B : x1 = 60, x2= 80, e2= =1200 Zmax = |-5400| = 5400Dh
Ils sont nuls car ils ne sont pas dans la colonne de Base
Interprétation économique de la solution optimale primale:
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Pour réaliser une Marge bénéficiaire Max de 5400Dh, on doit produire et vendre 60 unité de Bien A et 80 Unités de Bien B avec plein emploi en facteurs F1 et F3 et sous-emploi de 1200 de F2.
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Notion de dualité :
o Exemple de Travail :
Soit le même programme linéaire (P) ou encore programme primale : Max z = 500 x1 +300 x2 20 x1 + 10 x2 ≤ 2000 (F1) 10 x1 + 45 x2 ≤ 5400 (F2) 40 x1 + 30 x2 ≤ 4800 (F3) Avec x1 ≥0, x2 ≥ 0
(1) (2) (3)
Remarque : 1. Max z = 500 x1 +300 x2 est dite fonction économique primale 2. x1, x2, e1, e2, e3 sont dites des variables primales 3. les contraintes de (P) : (1), (2) et (3) sont dites contraintes primales Le dual (P’) du primal (P) s’écrit comme : Min Z’ =2000 y1 + 5400 y2 + 4800 y3 20 y1 + 10 y2 + 40 y3 ≥ 500 10 y1 + 45 y2 + 30 y3 ≥ 300 Avec y1 ≥0, y2 ≥0, y3 ≥0
(1’) (2’)
Remarque : 4. Min Z’ =2000 y1 + 5400 y2 + 4800 y3 est dit Objectif dual ; 5. y1, y2, y3 sont dites des variables duales 6. les contraintes de (P’) : (1’), (2’)) sont dites contraintes duales. Problème : On cherche maintenant la solution optimale duale y*= (y1*, y2*, y3*) à partir de la résolution simplexe du primal ‘ ce qu’on a déjà fait’
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1ère étape : écrivons la forme standard du dual (P’) : Min Z’ =2000 y1 + 5400 y2 + 4800 y3 + e1’+ e2’ 20 y1 + 10 y2 + 40 y3 - e1’ = 500 10 y1 + 45 y2 + 30 y3 - e2’ = 300 Avec y1 ≥0, y2 ≥0, y3 ≥0, e1≥0, e2’≥0
(1’) (2’)
A partir du dernier tableau simplexe primal on peut avoir le tableau de dualité permettant la déduction de la solution duale.
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e1 e2 ///// 0
p
x1
x1 1
x2 0
e2
0
0
/////
1
/////
1200
x2 Zk
0 0
1 -1/5 0 -15
0 0
1/10 -5
80 Z= -5400
Base
e3 /////
Rés
Primal
60
x1
x2 e1 e2 e3
’
e2’ y1 y2 y3
e1
Dual
Valorisation Marginale on des facteurs de P primale
0
0 15
0
5
Ça devient, On utilisant les valeurs absolus
Conclusion : La solution optimale duale est y*= (y1*, y2*, y3*) = (15DH, 0DH, 5DH) Avec : Z *min = (2000 * 15DH) + (5400*0DH) + (4800*5DH) = 5400Dh (On a utilisé la relation : Min Z’ =2000 y1 + 5400 y2 + 4800 y3) et on remarque que Z *min = Z max Interprétation économique de la solution optimale duale en tant que valorisation marginale des facteurs de P° primale : y1*= 15DH, valorisation marginale de facteur de P° : ‘F1’ ; càd si on augmente notre disponibilité en facteur de P° primale ‘F1’ d’une unité, notre Marge bénéficiaire Max 5400 augmente de 15DH et inversement ; y2*= 0DH, valorisation marginale de facteur de P° : ‘F2’qui est sous-employé de 1200 unités ; y3*= 5DH, valorisation marginale de facteur de P° : ‘F3’ ; càd si on augmente notre disponibilité en facteur de P° primale ‘F3’ d’une unité, notre Marge bénéficiaire Max 5400 augmente de 5DH et inversement Exercice : Une société S.A fabrique et vend 2 Produits P1 et P2, exprimés en Kilo, dont les prix de vente unitaire respectif sont 75Dh et 45Dh. Le temps d’emploi maximum des machines de fabrication est de 150 heures dans l’atelier A1 et de 250 heures dans l’atelier A2. Le temps de passage dans les ateliers de chaque unité de produit P1 et P2, exprimé en heure, est résumé dans le tableau suivant : P1 3 2
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ATELIER 1 ATELIER 2
P2 1 4
Travail à faire : 1. Formuler le problème de l’entreprise qui cherche à maximiser son chiffre d’affaires. 2. Donner la solution optimale du problème primale par une résolution simplexe. 3. donner l’interprétation économique de la solution optimale. 4. En déduire votre solution optimale duale. 5. Donner la l’interprétation économique de votre solution optimal dual en terme de valorisation marginal des facteurs de Production primales.
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Correction : 1. Formulation : Variables économiques :
x1 : Qté de P1 à produire x2 : Qté de P2 à produire
D’où le programme linéaire (P) (programme primale) à résoudre : Max z = 75 x1 + 45 x2 3 x1 + 1 x2 ≤ 150 (Disponibilité en h dans l’atelier A1) 2 x1 +4 x2 ≤ 250 (Disponibilité en h dans l’atelier A2) Avec x1 ≥0, x2 ≥ 0 2. Résolution simplexe du primal de (P) 1ère étape : forme standard de (P): Max z = 75 x1 + 45 x2+ 0 e1 + 0 e2 3 x1 + 1 x2 + 1 e1 + 0 e2 =150 (Disponibilité en h dans l’atelier A1) 2 x1 +4 x2 + 0e1 + 1 e2 =250 (Disponibilité en h dans l’atelier A2) Avec x1 ≥0, x2 ≥ 0 ; e1≥0, e2≥0 2ème étape : Solution de base initiale : HB : x1 =0, x2 =0 B : e1=150, e2=250 Z = 0Dh 3ème étape : Les tableaux : TAB 0 : V.E
Voilà pourquoi ?
(
Base x1
e1 e2 Zk
x2 e1 e2 Rés Rés/Coeff 3 1 1 0 150 150/3 =50 2 4 0 1 250 250/2 =125 75 45 0 0 Z=0
Base x1
X1 e2
0
Zk
0
TAB 1 : V.E Base x1
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x1 e2 Zk
1 0 0
x2
1
e1 1/3
1/3
(2)(1) 3 (75)(1) 45 − 3
(2)(1) 3 (75)(1) 0− 3
Rés/Coeff x2 e1 e2 Rés 50/(1/3 =150 50 1/3 1/3 0 10/3 -2/3 1 150 150/(10/3) =45 0 Z=-3750 20 -25 Base x1 x2
4−
0−
x1 X2 Zk
1 0 0
e1 e2 Résultat 35 0 ///// ///// 1 -1/5 3/10 45 0 -21 -6 Z=-4650
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x1 x2 Zk
1 0 0
e1
0 1 0
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Rés 50
(2)(150) 1 3 (75)(150) 0− 0 3 250 −
Voilà pourquoi ? e2
TAB 2 : Base x1 x2
e2 0
1/3 (-2/3)/(10/3)
− 25 −
0 1/(10/3)
Rés
50 −
(150)(1 / 3) 10 / 3
(20)(−2 / 3) (20)(1) (150)(20) 0− − 3750 − 10 / 3 10 / 3 10 / 3
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Conclusion : Toutes les valeurs de la ligne Zk du TAB 2 sont ≤ 0 donc la solution optimale est atteinte dans ce tableau (TAB 2) La solution de base optimale primale est : HB : e1 = 0 e2= 0 B : x1 = 35, x2= 45 Zmax = |-4650| = 4650Dh 3. Interprétation économique de la solution optimale primale: Pour réaliser une chiffre d’affaire Maximum de 4650Dh, on doit produire et vendre 35 kilos de P1 et 45 kilos de P2 avec plein emploi en facteurs heures machine dans les ateliers A1 et A2. 4. Déduction de la solution optimale duale:
Base x1 x2
x1
1
X2 Zk
0 0
0
e1 /////
e2 /////
Résultat p 35
Tableau correspondance par dualité
Primal
x1 x2 e1 e2
Dual
e1’ e2’ y1 y2
Valorisation Marginale on des facteurs de P primale
1 -1/5 3/10 45 0 -21 -6 Z=-4650
0
0 21
6
Conclusion : La solution optimale duale est y*= (y1*, y2*) = (21DH, 6DH) Avec : Z *min = (150 * 21DH) + (250*6DH) = 4650Dh = Z max (On a utilisé la relation : Min Z’ = 150 y1 + 250 y2 )
5. Interprétation économique de la solution optimale duale en tant que valorisation marginale des facteurs de Pon primale :
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y1*= 21DH, valorisation marginale de l’heure machine A1; càd si on augmente notre disponibilité dans A1 d’une heure, notre Chiffre d’affaire Max (4650) augmente de 21DH et inversement ; y2*= 6DH, valorisation marginale de l’heure machine A2; càd si on augmente notre disponibilité dans A2 d’une heure, notre Chiffre d’affaire Max (4650) augmente de 6DH et inversement
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Exercice N°2: Une entreprise fabrique deux articles A et B à partir de deux facteurs de production F1 et F2. Le tableau des divers renseignements techniques et financières relatifs aux deux articles à fabriquer est le suivant :
F1 F2 Prix de vente unitaire en Dh de chaque articles A et B
A
B
2 8 600
3 4 400
Coût d’un facteur de Production utilisé (En Dh) 20 40
Capacité maximum mensuelle en F1 et F2 240 400
Travail à faire : 1. Formuler le problème de l’entreprise qui cherche à maximiser sa marge sur coût total en respectant les contraintes de production. 2. Donner la solution optimale du problème primale par une résolution simplexe. 3. Donner l’interprétation économique de la solution optimale. 4. En déduire votre solution optimale duale. 5. Donner la l’interprétation économique de votre solution optimal dual en terme de valorisation marginal des facteurs de Production primales. Correction : 1. Formulation :
Variables économiques :
x1 : Qté de A à produire x2 : Qté de B à produire
Sachant que : MCV/1unité = prix de vente/1unité – les différents charge de P°/1unité D’où la fonction économique : (M/CV globale) Max z = MCV/Ax1 + MCV/Bx2 • •
MCV/1A = 600-[(2*20) + (8*40)] MCV/1A =240Dh
• •
MCV/1B =400-[(3*20) + (4*40)] MCV/1B =180Dh
Donc : Max z = 240x1 + 180x2
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D’où le programme linéaire (P) à résoudre : Max z = 240x1 + 180x2 2 x1 + 3x2 ≤ 240 (Disponibilité F1) 8 x1 + 4 x2 ≤ 400 (Disponibilité F2) Avec x1 ≥0, x2 ≥ 0
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2. Résolution simplexe du primal de (P) 1ère étape : forme standard de (P): Max z = 240x1 + 180x2+ 0 e1 + 0 e2 2 x1 + 3 x2 + 1 e1 + 0 e2 = 240 (Disponibilité F1) 8 x1 + 4 x2+ 0e1 + 1 e2 = 400 (Disponibilité F2) Avec x1 ≥0, x2 ≥ 0; e1≥0, e2≥0 2ème étape : Solution de base initiale : HB : x1 =0, x2 =0 B : e1=240, e2=400 Z = 0Dh 3ème étape : Les tableaux : TAB 0 : V.E Base V.S
e1 e2 Zk
x1 x2 e1 e2 Rés Rés/Coeff 2 3 1 0 240 240/2 =120 8 4 0 1 400 400/8 = 50 240 180 0 0 Z=0
TAB 1 : V.E V.S
Rés/Coeff e2 Rés 0 2 1 -1/4 140 140/2 =70 1 1/2 0 1/8 50 50/(1/2) =100 0 60 0 -30 Z=-12000
Base x1 x2 e1
e1 x1 Zk
TAB 2 : Base x1 x2 e1
x2 x1 Zk
0 1 0
e2 Résultat ///// 70 1 ///// 0 ///// ///// 15 0 -30 -45/2 Z=-16200
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Conclusion : Toutes les valeurs de la ligne Zk du TAB 2 sont ≤ 0 donc la solution optimale est atteinte dans ce tableau (TAB 2) La solution de base optimale primale est : HB : e1 = 0 e2= 0 B : x1 = 15, x2= 70 Zmax = |-16200| = 16200Dh
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3. Interprétation économique de la solution optimale primale: Pour réaliser une Marge bénéficiaire Maximum de 16200Dh, on doit produire et vendre 15 unités de l’article A et 70 unités de l’article B avec plein emploi en facteur de production F1 et F2.
4. Déduction de la solution optimale duale:
Base x1 x2 e1
x2
x1 Zk
0
1 0
1 /////
e2 /////
Résultat p
Primal Tableau correspondance par 70 dualité Dual
Valorisation Marginale on des facteurs de P primale
0 ///// ///// 15 0 -30 -45/2 Z=-16200
x1 x2 e1 ’
e1 e2 0
’
y1
e2
y2
0 -30 -22.5
Conclusion : La solution optimale duale est y*= (y1*, y2*) = (30DH, 22.5DH) Avec : Z *min = (240 *30 DH) + (400*22.5DH) = 16200Dh = Z max (On a utilisé la relation : Min Z’ = 240 y1 + 400 y2 )
6. Interprétation économique de la solution optimale duale en tant que valorisation marginale des facteurs de Pon primale :
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y1*= 30DH, valorisation marginale de Facteur F1 ; càd si on augmente notre disponibilité d’une unité de ce facteur, notre Marge bénéficiaire Max (16200Dh) augmente de 30DH et inversement ; y2*= 22.5DH, valorisation marginale de Facteur F2 ; càd si on augmente notre disponibilité d’une unité de ce facteur, notre Marge bénéficiaire Max (16200Dh) augmente de22.5DH et inversement ;
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