Programas para el cálculo de variogramas

Programas de computadora para el cálculo de variogramas por

Marco Antonio Alfaro Sironvalle

Noviembre, 2008

γ (h) =

1 2 z x + h − z x ( ) ( ) ∑[ i i ] 2N ' i

Programas para el cálculo de variogramas por Marco Antonio Alfaro Sironvalle

1.

Introducción.

Los programas (variogramas.exe, etc…) sirven para calcular variogramas experimentales γ(h) en el espacio de tres dimensiones. Son compatibles con Windows XP y Vista y fueron programados en el lenguaje “PowerBasic”. El vector h de γ(h) está definido (además de su módulo) por la inclinación φ y el azimuth θ , medidos en grados La figura 1 muestra el vector h :

Figura 1: Características del vector h.

Si el vector h apunta por debajo de la horizontal, entonces la inclinación φ es negativa. El programa de cálculo de variogramas es el más rápido del mercado (según comprobaciones realizadas en Octubre de 2008, versus Vulcan Gemcom, Isatis y MineSight) y trabaja en doble precisión. Los paquetes tradicionales trabajan en precisión

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simple (se proporcionan también los programas equivalentes en precisión simple, los cuales, son, en promedio, un 12% más rápidos). El programa se basa en el estimador clásico:

γ ( h) =

(1)

1 2 [ z ( xi + h) − z ( xi )] ∑ 2N ' i

En que N’ es el número de pares xi , xi + h . El costo que hay que pagar por tener un programa más rápido y de mayor precisión es que solo se debe correr de manera única el programa (y ningún otro, es decir el programa ocupa todos los recursos de la computadora). En consecuencia, si se cliquea con el mouse fuera de la ventana del programa, el cálculo “se cae”, aparece el reloj de arena y hay que detener el proceso. Variogramas.exe ocupa un espacio en disco de 27 K , es decir cero (¡somos enemigos del “bloatware” o “software guatón”!) y se puede copiar en el mismo directorio en el cual están los datos de los compósitos. No se pueden hacer cálculos simultáneos, es decir, en una sola corrida calcular el variograma en varias direcciones. Entonces: Una corrida = una dirección. Esta característica ligada a la velocidad de proceso hace que el programa sea más poderoso y robusto (en particular hay menos posibilidad de cometer errores). El número máximo de compósitos que admite el programa es de 4,294,967,295 , es decir infinito, si la memoria de la computadora lo permite. Lo he probado con más de 100,000 compósitos y se demora unos pocos minutos (conozco un colega que lo corrió con un millón de compósitos “simulados” y demoró unas cuantas horas).

2.

La ventana del programa.

La figura 2 muestra la ventana del programa “variogramas.exe”, junto a la descripción de los parámetros que hay que definir (archivo de entrada, archivo de salida, paso del variograma, tolerancia en distancia, azimuth, inclinación, tolerancia angular, número máximo de pasos, filtro por arriba, filtro por abajo):

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Figura 2: La ventana del programa.

3.

Descripción de los parámetros.

Archivo de entrada. Es el archivo que contiene la información de los compósitos (ya regularizados a un largo constante). Este archivo es un archivo de texto, con columnas, con el orden siguiente: x (coordenada este), y (coordenada norte), z (cota o elevación), variable (ley u otra característica). Los datos están separados por espacios o por comas (no importa su orden). Ejemplos: Se tienen dos extractos de archivos válidos: Archivo 1. Datos x, y, z, ley de cobre, separados por uno o más espacios: 518469.0 7412547.0 2624.413 2.84 518467.0 7412547.0 2620.417 1.34 518466.0 7412548.0 2615.719 1.21 518464.0 7412548.0 2611.023 1.45 518462.0 7412549.0 2606.332 1.44 518461.0 7412549.0 2601.643 1.71 518459.0 7412550.0 2596.957 1.09 518457.0 7412550.0 2592.274 1.07 518456.0 7412551.0 2587.594 2.22 518454.0 7412551.0 2582.917 2.16 518452.0 7412552.0 2578.242 1.13 ………………………………….. 3

Archivo 2 . Datos x, y, z, ley de cobre, separados por comas: 2849.962,1996.995,2620.779,0.450 2854.385,1940.833,2627.223,0.240 2918.053,2252.848,2563.482,2.390 2934.321,2283.415,2530.368,3.500 2972.592,2355.768,2567.101,0.560 2992.977,2499.723,2552.387,1.870 2994.069,2399.564,2549.021,1.920 2999.440,3393.222,2319.290,0.790 3011.153,3408.896,2178.548,0.770 3012.128,2406.602,2562.350,1.085 3015.462,2900.301,2411.869,1.640 ………………………………… Este tipo de archivos tiene, a veces la extensión “csv” (comma separated variables) y puede ser leído con el Excel. Observaciones: •

• •

•

El símbolo coma “,” sirve para separar datos contiguos. El símbolo decimal es el punto “.”. Luego el computador debe estar configurado para tal efecto. Para ello ir a Panel de Control – Configuración Regional – Personalizar, y, en símbolo decimal, poner “.”. Si su computadora está configurada con símbolo decimal = “,”, entonces el programa no funcionará. El archivo no debe tener encabezado ni líneas en blanco y el número total de líneas debe ser igual al número de compósitos. El usuario es el que debe preparar los archivos. Por ejemplo separar todos los compósitos correspondientes a una misma unidad geológica en un solo archivo x, y, z, variable. Siempre el archivo debe tener 4 columnas. Si los datos son bidimensionales, una de las tres primeras columnas es constante. También, en el caso del cálculo de un variograma de indicadores, es necesario preparar previamente el archivo de entrada con ceros y unos. Se puede utilizar un editor de texto para preparar el archivo de entrada. Se recomienda hacer previamente un análisis estadístico de la variable, con el propósito de encontrar valores anómalos altos o anómalos bajos.

Archivo de salida. Este archivo de salida contiene los resultados del cálculo, y es un archivo de texto, al cual conviene ponerle la extensión “gam” para poder ser leído con el programa “gama.exe”. Un ejemplo de este tipo de archivos es:

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paso=8, azim=90 ,incl=0 ,tol= 22.5 ,eps=4 ,zmin=0 ,zmax=3 , media=0.403,varianza=0.332 8 8.41432625929782 .148763290009973 60160 16 16.2258438395981 .202631489985516 104948 24 24.4422483384088 .230866963380182 166713 32 32.2980063784307 .257400835715897 380892 40 40.1432389264656 .273924016616007 525818 48 48.1047268316163 .288404055681399 636577 56 56.2229519847580 .304495870186067 893710 64 64.0983220837240 .318152199261616 1113802 72 72.0671623594450 .330557486461216 1260712 80 80.1539252532942 .343748662082865 1474505 La primera línea contiene los parámetros de calculo: paso (8 metros), azimuth (90°), inclinación (0°), tolerancia angular (22.5°), tolerancia en distancia (4 metros), c (0) y d (3), (ver la figura 2). Escribe también la media y la varianza de los datos utilizados en el cálculo. Se trata entonces de un variograma en la dirección EW (azimuth = 90°). Observamos que el cálculo se hace para múltiplos del paso k * 8 ( k = 1, 2, …, 10 ) La primera columna 8, 16, 12, …, 80, representa los valores del módulo del vector h para los cuales se calcula γ(h) . La segunda columna 8.41, 16.22, …, 80.15, representa los valores medios reales de las distancias (no coincide con la columna anterior dado que la malla es irregular). La tercera columna 0.14, 0.20, …, 0.34 representa los valores del variograma γ(h) , para h = 8.41, 16.22, …, 80.15. La cuarta columna representa el número de parejas con las cuales se calculó γ(h). El gran número de decimales tanto para las distancias como para el variograma se debe a que se utilizó doble precisión en los cálculos. El archivo de salida lo lee el programa “gama.exe”, el cual grafica γ(h) además de permitir su ajuste a un modelo teórico (esférico, exponencial, etc…). La figura 3 muestra el resultado de correr gama.exe con la salida anterior:

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Figura 3: Gráfico del variograma

Se recomienda elegir un nombre nemotécnico para el archivo de salida, por ejemplo: “GamaEsteOesteOxidos.gam”.

Paso del variograma. Es la distancia “b” mínima para calcular el variograma. Depende, evidentemente de la dirección del vector h. Veamos con algunos ejemplos, cómo se elige este valor: • • •

Si se desea calcular el variograma en la dirección vertical y todos los sondajes son verticales con compósitos de largo 15 metros (altura del banco) entonces conviene poner b = 15 metros. Si tenemos pozos de tronadura con una malla irregular de aproximadamente 8mx 8m, entonces para los variogramas en el plano conviene tomar b = 8 metros. Si se tiene una situación como en la figura 4, conviene tomar b = 25 metros para cálculo de variogramas en el plano.

Figura 4: La distancia entre estos dos puntos contiguos es del orden de 25 metros.

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•

En casos más complicados (sondajes en todas las direcciones del espacio), se puede proceder a determinar b por “tanteos” (aprovechando la rapidez del programa).

Tolerancia en distancia. El programa utiliza una tolerancia de ± ε para el cálculo de la distancia h . Por ejemplo si h = kb , el cálculo se realiza para todos los h que están en ( kb – ε , kb + ε ). La práctica recomienda que este valor sea igual a la mitad del paso: ε = ½ paso . Mientras más pequeño sea ε mejor es la aproximación. Sin embargo un ε cercano a 0 ocasiona una disminución del número de parejas y el variograma se hace más errático.

Azimuth. Es el ángulo del vector h medido desde el norte (figura 1) en grados. Si se trata de la dirección NS (en el plano) entonces el azimuth es 0 . Si es EW en el plano, entonces el azimuth es 90°.

Inclinación. Es el ángulo que el vector h forma con la horizontal (figura 1). Un sondaje inclinado hacia abajo tiene inclinación negativa. Si la dirección en la cual se desea calcular γ(h) en la dirección vertical, poner cualquier valor para el azimuth y -90° para la inclinación (observamos que en este caso es equivalente poner 90°).

Tolerancia angular. Es la tolerancia θ del ángulo sólido del vector h , tal como muestra la figura 5:

Figura 5: El vector h y su tolerancia angular.

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La práctica recomienda elegir un valor de 22.5° (correspondiente a la mitad de 45°) para la tolerancia angular. Debido a que el ángulo se abre (figura 5), la aproximación tiende a ser más grosera para |h| grande. En estos casos se puede utilizar el método del lápiz (programa “variogramas-lapiz.exe”, tal como se ve en la figura 6:

Figura 6: Método del lápiz. La práctica recomienda tomar una valor e igual al paso b .

El método del lápiz es a veces cuestionado porque, en la práctica, solo interesa tener un buen variograma en la vecindad del origen, es decir para |h| pequeño, y, en este caso, el método “sin lápiz” funciona bien.

Número máximo de pasos. Es el número entero k que define la máxima distancia para el cálculo del variograma. La máxima distancia es h = kb . En el ejemplo anterior k = 10 , b = paso = 8, luego se calcula γ(h) hasta h = 80 metros. Recordemos la regla práctica que dice que un variograma, en una cierta dirección, debe ser calculado hasta la mitad del diámetro del cuerpo mineralizado en esa dirección (en algunos casos conviene llegar hasta ¼ de este diámetro). En la figura 7, en la dirección Este Oeste conviene llegar hasta 200 metros:

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Figura 7: No conviene calcular γ(h) hasta |h| = 2000 metros en la dirección Norte Sur.

Filtro por abajo. Si este valor vale c solo se considerarán en el cálculo los compósitos cuya ley es ≥ c . Sirve para filtrar valores anómalos muy bajos (también puede servir para filtrar valores negativos arbitrarios en la base de datos).

Filtro por arriba. Si este valor vale d solo se considerarán en el cálculo los compósitos cuya ley es ≤ d . Sirve para filtrar valores anómalos muy grandes que pueden tener una influencia no despreciable en el cálculo del variograma.

4.

El variograma relativo a pares.

El variograma relativo a pares constituye una herramienta empírica , la cual se basa en la fórmula:

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1 ⎡ z ( xi + h) − z ( xi ) ⎤ γ (h) = ∑ ⎥ w 2 N ' i ⎢⎣ ⎦

2

en que w =

z ( xi + h) + z ( xi ) 2

Existen otros tipos de variogramas relativos, también empíricos, los cuales se diferencian en la expresión de w . El objetivo de esta fórmula es “amortiguar” el efecto de valores anómalos altos en la diferencia al cuadrado [z(xi + h) – z(xi)]2 que figura en la fórmula clásica (1). El variograma relativo a pares no debe ser utilizado en ciertas situaciones en las cuales w puede ser 0 . Por ejemplo en el caso de variograma de indicadores o variables que toman valores positivos y negativos. El programa “variogramas-rlp.exe” realiza los cálculos del variograma relativo.

4.1 Comparación con el variograma absoluto. Con la misma base de datos (“datos.csv”) se corrieron ambos programas (variogramas.exe y variogramas-rlp.exe. La pantalla inicial (en el caso del variograma relativo) aparece en la figura 8 (sin filtrar valores anómalos altos):

Figura 8: Parámetros de cálculo

En la figura 9 se tiene el “variograma absoluto”, junto al ajuste a un modelo esférico, con efecto pepita C0 = 0.11, Meseta C = 0.22, y alcance a = 54 m.

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Figura 9: Variograma absoluto. En línea de puntos, el variograma teórico (esférico).

Figura 10: Variograma relativo a pares. En línea de puntos, el variograma teórico (esférico).

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En la figura 10 se tiene el variograma relativo a pares, junto al ajuste a un modelo esférico, con efecto pepita C0 = 0.39, Meseta C = 0.38, y alcance a = 44 m. Se observa que: • • • •

El variograma relativo tiene alcance inferior (44 metros) que el absoluto (54 metros). El efecto de pepita del variograma relativo es mayor que en el absoluto. En efecto C0 / C vale, respectivamente 0.11 / 0.22 = 50% y 0.39 / 0.38 = 103%. El variograma relativo no acusa un efecto de “deriva” el cual se ve en el variograma absoluto, para distancias mayores a 80 metros. El cálculo del variograma relativo es más lento que el del absoluto.

En consecuencia, el variograma relativo a pares (empírico) debe ser utilizado con mucha precaución.

5.

Ejecución del programa.

Al cliquear en “Ejecutar”, el programa escribe el número de compósitos utilizados en el cálculo, el progreso de los cálculos en % y el tiempo de ejecución. Se recomienda comparar el tiempo de ejecución con el que proporcionan los programas tradicionales (que cuestan miles de dólares), con el tiempo que toma nuestro programa que es de dominio público.

Compósitos repetidos. Una situación, más común que lo que uno se imagina es, cuando, en la base de datos de compósitos existen datos repetidos. Esta situación no es deseable porque los paquetes eliminan estos datos según el orden en que van apareciendo. El programa escribe, por ejemplo, un mensaje como el de la figura 11:

Figura 11: Datos repetidos.

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Los compósitos repetidos también ocasionan problemas a la hora de krigear el depósito. Será necesario entonces intervenir la base de datos de manera de eliminar las repeticiones (problema informático de los “dupes”).

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