Programación por metas

Investigación de Operaciones II Programación por Metas

Programación por Metas Los procesos de toma de decisiones por lo general gener al se analizan de la siguiente forma: • Se est estab able lece ce el el conj conjun unto to de de soluc solucio ione ness posi posibl bles es o fact factib ible less del del problema de decisión analizado. • Se aso asoci ciaa a cada cada sol soluc ució ión n o alte alterna rnati tiva va un núm número ero,, medi median ante te la la evaluación de una función, que representa el grado de importancia que tiene cada alternativa para el tomador de decisiones • Se proc proced edee a busca buscarr entre entre las las solu soluci cion ones es fac facti tibl bles es aqu aquel ella la que que posee un mayor grado de importancia. Dicha alternativa es la solución óptima. • En muc mucho hoss casos casos rea reale les, s, los los tom tomad adore oress de dec decis isio ione ness est están án interesados en la utilización de diferentes criterios (al mismo tiempo) para evaluar las diferentes alternativas.

Ejemplo Principales Objetivos de las empresas:

• Maximizar servicio al cliente. • Minimizar la inversión. • Maximizar la eficiencia de operación de la planta.

Programación por Metas • La programación multiobjetivo constituye un enfoque multicriterio cuando el contexto de decisión está definido por una serie de objetivos a optimizar que deben de satisfacer un determinado conjunto de restricciones.

opt ( f 1 ( x),  f 2 ( x),...,  f k  ( x) ) s.a :  x ∈ X  • Aquí algunos objetivos pueden ser de maximización y otros de minimización. • La optimización simultánea de todos los objetivos es usualmente imposible, ya que los diferentes objetivos pueden estar en conflicto. • En este caso, el enfoque multiobjetivo en vez de intentar determinar un óptimo existente, lo que hace es establecer un conjunto de soluciones eficientes.

Programación por Metas Conceptos y definiciones : • Atributo: Este concepto se refiere a valores de parámetros relacionados con una realidad objetiva que el tomador de decisiones quiere mejorar. Estos valores pueden medirse independientemente de los deseos del tomador de decisiones, siendo usualmente susceptibles de expresarse como una función matemática  f ( x) de las variables de decisión. • Objetivos: Representan direcciones de mejora de los atributos. La mejora puede interpretarse en el sentido (más del atributo mejor) o bien (menos del atributo mejor). El primer caso corresponde a un proceso de maximización y el segundo a uno de minimización de las funciones que corresponden a los atributos que reflejan los valores del tomador de decisiones.

Programación por Metas Conceptos y definiciones : • Nivel de aspiración: representa en nivel de logro que el tomador de decisiones decea para el correspondiente atributo. La combinación de un nivel de aspiración con un atributo genera una meta. • Criterio se utiliza como un término general que engloba los tres conceptos precedentes (atributo, objetivo y metas). En otras palabras, los criterios constituyen los atributos, objetivos o metas que se consideran relevantes para un cierto problema de decisión.

Programación por Metas • La programación por metas es un enfoque para tratar problemas de decisión multicriterio donde están definidas metas múltiples. • Las metas pueden tener el mismo nivel de importancia o pueden estar agrupadas en niveles de prioridad de . cada meta puede tener una ponderación. Estos elementos son determinados por el tomador de decisiones. • Una ventaja importante de la programación por metas es su flexibilidad en el sentido de que permite al tomador de decisiones, experimentar con una multitud de variaciones de las prioridades de las metas cuando en la resolución de un problema de decisión con objetivos múltiples.

Programación por Metas Existen tres tipos de metas, según lo que se quiera lograr: • 1.-Que el atributo sea igual al nivel de aspiración. Las desviaciones en ambas direcciones son indeseables. • 2.- Que el atributo sea mayor o igual al nivel de aspiración. Las desviaciones hacia abajo son indeseables. • 2.- Que el atributo sea menor o igual al nivel de aspiración. Las desviaciones hacia arriba son indeseables. Estas metas se escriben en forma de restricciones, que pueden no cumplirse. De ahí que se denominen restricciones suaves. Además, el problema puede tener otras restricciones que deben cumplirse obligatoriamente , que se denominan restricciones duras.

Programación por Metas Paso para la formulación de un modelo de programación por metas 1. Fijar los atributos que se consideran relevantes para el problema que se está analizando. 2. Determinar el nivel de aspiración que corresponde a cada atributo, es decir, el nivel de logro que el tomador de decisiones desea alcanzar. 3. Definir las variables de decisión del roblema 4. Definir las metas en forma de restricciones , relacionando los atributos, expresados en términos de las variables de decisión, con los niveles de aspiración. 5. Definir las restricciones duras del problema.

Programación por Metas 1. 2. 3. 4.

5.

Transformación a un modelo de Programación Lineal para el problema de programación por metas ponderadas. A cada atributo restarle su nivel de aspiración e igualarlo a una variable de desviación. Descomponer la variable de desviación en las variables de desviación positiva y negativa. Identificar entre las variables de desviación ositivas negativas a las variables de desviación no deseadas. Definir el objetivo del modelo lineal como la suma de las variables de desviación no deseadas, dividida, cada una por su nivel de aspiración. Introducir las ponderaciones de cada meta en el objetivo del modelo lineal, asignándole un peso a cada variable de desviación no deseada.

Programación por Metas • Problema1: En una papelera de propiedad pública la pulpa celulosa es obtenida por medio de dos procesos distintos, uno químico o el otro mecánico. • Las capacidades máximas de producción de pasta de celulosa se estiman en 300 toneladas/día para el proceso químico y en 200 toneladas/día para el proceso mecánico. En cualquiera de los dos procesos, cada tonelada de pasta de celulosa producida demanda, en prome o, una orna a a ora e un ra a a or. a empresa spone de una plantilla de 400 trabajadores y desea mantener su fuerza laboral constante, es decir, no quiere contratar ni despedir mano de obra eventual. • La ganancia por tonelada de pasta de celulosa obtenida por medios químicos se estima en $1000 y en $3000 la que se obtiene a través de medios mecánicos. La empresa desearía, al menos tener una ganancia total de $600000.

Programación por Metas • La papelera vierte sus residuos productivos en un rio cercano y se estima que los residuos producidos por cada tonelada de pasta de celulosa obtenida por medios químicos y por medios mecánicos generan unas demandas de oxígeno en las aguas del río de 1 y 2 unidades respectivamente. El límite permitido en de 300 unidades de oxígeno. • Las preferencias de la empresa se concentran en la maximización e a gananc a o a , en a m n m zac n e a o genera o en e río y en mantener su nivel de empleo. • Plantee un modelo de Programación por metas y resuélvalo mediante la transformación a un modelo de Programación Lineal.

Programación por Metas • A la vista de estos datos, la estructura matemática del modelo de programación por metas es la siguiente: Metas • G1:1,000 x1 + 3,000 x2 ≥ 600,000 (Ganancia Total) • G2: x1 + 2 x2 ≤ 300 (Demanda de oxígeno) • G3: x 1 + x2 = 400 (Nivel de empleo) Restricciones • R1: x1 ≤ 300 (capacidad de producción) • R2: x2 ≤ 200 (capacidad de producción)

Programación por Metas Transformemos a un problema de programación lineal, agregando las variables de desviación: • G1: x1 + 3 x2 -600= y11- y12 (Ganancia Total) • G2: x1 + 2 x2 -300= y21- y22 (Demanda de oxígeno) • G3: x1 + x2 -400= y31- y32 (Nivel de empleo) Identificamos las variables no deseadas • G1: x1 + 3 x2 -600= y11- y12 (Ganancia Total) • G2: x1 + 2 x2 -300= y21- y22 (Demanda de oxígeno) • G3: x1 + x2 -400= y31- y32 (Nivel de empleo)

Programación por Metas • La manera más intuitiva de acometer la minimización de las variables de desviación no deseadas consiste en minimizar la suma de dichas variables. así, para nuestro ejemplo, tendríamos que proceder a minimizar la siguiente suma: min z =  y12 + y21 + y31 + y32

(4)

• Ahora bien, la expresión (4) carece de significado y no debe de u zarse como una agregac n e as pre erenc as e oma or de decisiones por las siguientes razones. La expresión (4) suma variables de desviación medidas en unidades diferentes (unidades de oxígeno, unidades monetarias, número de trabajadores o toneladas de pasta de papel, etc.) por lo que su suma no tiene significado. Además, como los valores absolutos de los niveles de aspiración son muy diferentes, la minimización de (4) puede producir soluciones sesgadas hacia un mayor cumplimiento de las metas con niveles de aspiración elevados.

Programación por Metas • Ambos problemas pueden evitarse si en vez de minimizar una suma de desviaciones absolutas procedemos a minimizar una suma de desviaciones porcentuales. Así, la expresión (4) se convierte en: min z = y12 /600 + y21 /300 + ( y31 + y32 )/400 (5) • Como los porcentajes carecen de dimensión, la suma dada por no presen a pro ema e omogene a . em s, e procedimiento de normalización empleado elimina cualquier sesgo hacia el cumplimiento de metas con niveles de aspiración elevados. • No obstante, la expresión (5) presenta todavía un problema para poderla considerar como una agregación de las preferencias del tomador de decisiones, ya que el supone la misma importancia al logro de todas las metas, lo cual no tiene necesariamente que ser cierto.

Programación por Metas • Este problema puede superarse sustituyendo la expresión (5) por:

min  z =

w1

600

 y12 +

w2

300

 y21 +

w31

400

 y31 +

w32

400

y32

• Donde los coeficientes wi ponderan la importancia relativa que el tomador de decisiones asigna a la realización de cada meta. • Este método consiste en minimizar la suma ponderada de las variables de desviación no deseadas, expresadas en términos porcentuales, se conoce en la literatura con el nombre de programación por metas ponderada.

Programación por Metas • Para nuestro ejemplo, a formulación completa del modelo de metas ponderadas sería el siguiente:

min z =

w1

 y12 +

w2

600 300  x1 + 3 x2 −  y11 +  y12



1

2 −

21

 y21 +

w31

 y31 +

w32

 y32

400 400 = 600 (Ganancia Total)

22

 x1 +  x2 −  y31 +  y32 = 400 ( Nivel de empleo)  s.a  x1 ≤ 300  x ≤ 200  2  x1 ≥ 0,  x2 ≥ 0,  y11 ≥ 0,  y12 ≥ 0,   y21 ≥ 0,  y22 ≥ 0,  y31 ≥ 0,  y32 ≥ 0,

Programación por Metas • Algorítmicamente, la estructura del modelo (5) corresponde a la de un modelo de programación lineal tradicional que puede resolverse de una manera inmediata recurriendo al Simplex. • Para diferentes sistemas de pesos se irán generando distintas soluciones. Así, si hacemos W1=...=W5=1, esto es, si el oma or e ec s ones as gna a m sma mpor anc a a a realización de las diferentes metas, se obtiene la siguiente solución óptima: •  x1 = 300, x 2= 100

• •

y11=y12= 0, y21= 200 , y22= 0 y31= y32= 0

Programación por Metas • La solución obtenida permite la completa realización de las metas G1 (margen bruto), G3(trabajadores disponibles). Por el contrario, en lo referente a la meta G2, se supera la demanda biológica de oxígeno deseada en 100 unidades. • Obviamente, los análisis basados en modelos de programación por me as pue en enr quecerse cons era emen e, some en o los pesos preferenciales a un análisis de sensibilidad. De esta forma, para cada conjunto de pesos considerados, se obtendrá la solución óptima del modelo que mejor se ajusta a las preferencias del tomador de decisiones.

Programación por Metas Problema2: Una compañía estudia tres nuevos productos P1, P2 y P3 para sustituir los modelos actuales que piensa descontinuar. Para la fabricación de estos productos, se utiliza el mismo tipo de materia prima, en las cantidades 4, 2 y 5 unidades respectivamente por producto y se disponen de 60 unidades La administración quiere determinar la mezcla que debe producir de estos nuevos productos, prestando especial atención a tres factores: 1. Lograr una ganancia a largo plazo de al menos 160 millones de dólares por los tres productos 2. Mantener el nivel actual de empleo de 5200 empleados 3. Mantener la inversión de capital en menos de 56 millones

Programación por Metas La gerencia entiende que es posible que no se logren todas las metas de forma simultanea por lo que solicitó un estudio de las prioridades, obteniéndose las siguientes ponderaciones de penalización para cada factor: 5 por cada millón menos que se logre de la ganancia 2 por cada 100 empleados por encima de la meta y 4 por estar por debajo 3 por cada millón de exceso en la inversión de capital.

Programación por Metas Contribución Productos Factor

3

Meta

1

2

(Unidades)

Ganancia a largo plazo Nivel de empleo

10

9

15 >=160 M. D.

5

3

4

=52 cientos Empl

Inversión de capital

5

7

6