Programación por metas

SEPI - UPIICSA – IPN Investigación de operaciones Avanzada Maestría en Ingeniería Industrial Sesión 7

Programación por metas Introducción Se ha visto que un modelo de programación lineal está constituido de una o más restricciones, pero de una sola función objetivo. Sin embargo, en muchas de sus aplicaciones pueden existir objetivos múltiples. En estos casos no se deben aplicar los modelos lineales de la forma que hemos revisado. Además en muchas ocasiones no se obtiene la solución óptima, sino la más factible. Lo anterior se debe a que los objetivos múltiples pueden ser opuestos y por consiguiente sería sumamente difícil que una solución que resulta óptima en la minimización de recursos sea la misma para el caso de maximización de recursos. Por tales razones sólo se habla de soluciones eficientes. Se puede decir que la programación por metas es una técnica de la investigación de operaciones y una herramienta de toma de decisiones dentro de la organización. La programación por metas sirve para tratar problemas de decisión gerencial que comprenden metas múltiples de acuerdo a la importancia que se les asigne a éstas. El generador de decisiones (directivo) debe ser capaz de establecer al menos una importancia, para clasificar dichas metas. Programar por metas es realizar un modelo de programación lineal donde se tenga una función objetivo que optimizar y sujeta a una o varias restricciones. Sin embargo, se caracteriza por dos conceptos nuevos. El primero es el de las restricciones de meta en lugar de las restricciones de recurso o disponibilidad y el segundo concepto es el de rango de prioridad entre las funciones de objetivo.

Ventajas de la programación por metas: •

Una ventaja de la programación por metas es su flexibilidad en el sentido de que permite al directivo que toma las decisiones, experimentar con una multitud de variaciones de las restricciones y de prioridades de las metas cuando se involucra con un problema de decisión de objetivos múltiples.

•

Permite tomar decisiones más estudiadas, no decisiones arbitrarias que lo único que pueden ocasionar es la inestabilidad económica de la empresa.

PASOS EN LA FORMULACIÓN DE UN MODELO DE PROGRAMACIÓN POR METAS: •

Fijar los atributos que se consideran relevantes para el problema que se está analizando. Este concepto se refiere a valores de la gerencia relacionados con una realidad que se pueda alcanzar. Estos valores pueden medirse independientemente de los deseos del centro decisor, siendo usualmente susceptibles de expresarse como una función matemática de las variables de decisión.

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Elaboró Dr. Eduardo Gutiérrez González •

Determinar el nivel de aspiración (meta) que corresponde a cada atributo, es decir, el nivel de logro que la gerencia desea alcanzar. Definir si se quiere maximizar o minimizar el atributo.

•

Conectar el atributo con el nivel de aspiración, por medio de la introducción de las variables de déficit y exceso. Las variables de déficit cuantifican la falta de logro de una meta con respecto a su nivel de aspiración, mientras que las variables de exceso cuantifican lo que sobrepaso el logro de una meta con respecto a su nivel de aspiración.

•

Establecer el concepto de variable de decisión no deseada. Una variable de decisión se dice que no es deseada cuando al gerente de la empresa le interesa que la variable en cuestión alcance su valor más pequeño (esto es cero). Cuando la meta u objetivo es maximizar, la variable no deseada es minimizar. Finalmente, cuando se desea alcanzar exactamente el nivel de aspiración tanto la variable de déficit como la de exceso son variables no deseadas y por tanto variables a minimizar.

FUNCIÓN OBJETIVO La función objetivo para un problema de programación por meta siempre es minimizar alguna combinación de variables de déficit. Desde un punto de vista de toma de decisiones administrativa, esto significa que se está buscando la combinación de variables reales por ejemplo (mesas y sillas) que cumplan mejor con todos los objetivos. Esto podría llamarse optimizar un conjunto de objetivos "satisfactorios" o a satisfacer. La forma exacta de la función objetivo varia según la respuesta a estas dos preguntas: 1. ¿Son conmensurables o proporcionales los objetivos? 2. ¿Cuál es la importancia relativa de cada objetivo? •

Objetivos conmensurables de igual importancia: este es el caso más sencillo, aunque muy pocas veces se encuentra en la práctica. Aquí los objetivos se miden en una escala común y tienen la misma importancia.

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Ponderación preferente de los objetivos: las ponderaciones de preferencia pueden aplicarse a cualquier grupo de objetivos conmensurables. Las ponderaciones deben reflejar la utilidad o el valor de los objetivos.

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 Rango de prioridad de los objetivos:  ¿qué pasa cuando los objetivos no son conmensurables, cuando no hay una escala común para comparar las desviaciones de los diferentes objetivos?. Este es un caso importante, al que se enfrentan con frecuencia los administradores. Si el administrador puede ordenar o dar un rango para sus metas entonces la solución es posible.

Quizás no sea una tarea fácil dar un rango a los objetivos de acuerdo con su importancia pero es algo que la mayoría de las personas entienden y pueden lograr. En la programación por objetivos se le asigna la prioridad P1 al objetivo más importante, siguiendo P2 a una prioridad más baja. No existe límite en el número de niveles de prioridad pero debe asignarse una prioridad para cada variable de déficit o exceso. Se permiten empates o prioridades iguales. Los problemas de programación por meta se resuelven en orden de prioridad. Es decir, se prueba la optimización en el nivel de prioridad más alto ignorando las prioridades más bajas hasta optimizar este nivel.

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Investigación de Operaciones Avanzada. Sesión 7 En esta sesión revisaremos los métodos más comunes de soluciones eficientes, cuando tenemos un problema con objetivos múltiples.

1.- MÉTODO DE UN SÓLO OBJETIVO Este método se utiliza cuando dos o más objetivos están en conflicto y consiste en proponer un objetivo como la función objetivo y los demás objetivos plantearlos como restricciones.

EJEMPLO 1 Considere la problemática de un administrador forestal. La ley especifica que debe administrar el bosque de manera de estimular el crecimiento de árboles, aumentando los refugios para los animales y que lo haga a costo mínimo. Suponga que existen dos actividades básicas: limpiar el bosque (cortar arbustos) y abrir brechas contra incendio. Cada una de estas actividades tiene un costo y requiere mano de obra. También produce beneficios y daños. En la tabla de abajo se muestran los parámetros asociados a una hectárea de bosque limpiada y un kilómetro de brecha para incendio.

Actividad forestal Limpieza Abrir brecha

Concepto

Costos Beneficios

Costo um Mano de obra (horas) Crecimiento árboles Refugio para animales

500 150 10 − 10

500 50 −5 60

Los recursos que dispone el administrador son: 90,000 horas de trabajo, las condiciones del bosque limitan los kilómetros de brecha contra incendio a 300 y el presupuesto disponible es de 350,000um. El problema del administrador consiste en determinar el número de hectáreas limpias (  x1 ) y los kilómetros de brecha abiertos ( x 2 ), para que proporcione el todo el refugio posible para los animales.

máximo  crecimiento de los árboles y

Solución Vemos que tenemos dos objetivos Crecimiento de árboles: max Z  = 10 x1

− 5 x2

Refugio de animales: max Z  = −10 x1

+

60 x 2

Las restricciones son:

 150 x1 + 50 x2   x 2  500 x1 + 500 x2 

≤

90000

≤

300

≤

350000

Para resolver el problema buscamos la frontera eficiente, la misma que obtenemos al proponer una de las funciones objetivo como restricción. En este caso tenemos dos objetivos el crecimiento de árboles y la cantidad de refugios, para ejemplificar proponemos a los refugios como una nueva restricción, pero para esto requerimos una acotación de los refugios en este caso debe ser una cantidad mínima que se quiera satisfacer. Vamos a determinar la frontera eficiente, dando valores mínimos a los refugios, desde cero hasta 16,500 con saltos de 500 refugios. Es decir, el problema a resolver será:

3

Elaboró Dr. Eduardo Gutiérrez González max Z  = 10 x1

 150 x1 + 50 x2   x 2   500 x1 + 500 x2  − 10 x1 + 60 x2

− 5x2

≤

90000

≤

300

≤

350000

≥

c

En donde, c representa los requerimientos mínimos de refugio a satisfacer y le daremos los valores de: 500, 1000, 1500, 2000, etc. sus resultados se muestran en la siguiente tabla.

Refugio

Árboles

X1

X2

Refugio

Árboles

X1

X2

0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 5000 5500 6000 6500 7000 7500 8000

5211 5145 5079 5013 4947 4882 4816 4750 4643 4536 4429 4321 4214 4107 4000 3893 3786

568 566 563 561 558 555 553 550 543 536 529 521 514 507 500 493 486

95 103 111 118 126 134 142 150 157 164 171 179 186 193 200 207 214

8500 9000 9500 10000 10500 11000 11500 12000 12500 13000 13500 14000 14500 15000 15500 16000 16500

3679 3571 3464 3357 3250 3143 3036 2929 2821 2714 2607 2500 2000 1500 1000 500 0

479 471 464 457 450 443 436 429 421 414 407 400 350 300 250 200 150

221 229 236 243 250 257 264 271 279 286 293 300 300 300 300 300 300

Gráficamente la frontera eficiente se muestra a continuación. 5500

Curva de la frontera eficiente para el objetivo de árboles

5000 4500   s   e    l 4000   o    b   r 3500     Á   e 3000    d    d 2500   a 2000    d    i    t   n 1500   a    C 1000 500 0         0         0         0         0         1

        0         0         0         2

        0         0         0         3

        0         0         0         4

        0         0         0         5

        0         0         0         6

        0         0         0         7

        0         0         0         8

        0         0         0         9

        0         0         0         0         1

        0         0         0         1         1

        0         0         0         2         1

        0         0         0         3         1

        0         0         0         4         1

        0         0         0         5         1

        0         0         0         6         1

Cantidad de refugios

Ahora la elección de cuántos refugios pedir se debe cumplir y con ello tendremos la maximización de los árboles.

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Investigación de Operaciones Avanzada. Sesión 7

2.- MÉTODO PONDERACIÓN DE OBJETIVOS Este método se utiliza cuando se tienen dos o más objetivos que son del mismo tipo, ya sea maximizar o minimizar. El método consiste en ponderar los objetivos y sumarlos.

EJEMPLO 2 En el ejemplo anterior tenemos dos objetivos similares de maximización, por tales razones si es posible ponderar las unidades de árboles y las de refugio, podemos establecer un problema de ponderación de objetivos.

Solución En este caso se puede apreciar que una ponderación factible se puede hacer con el dinero. Supóngase que una unidad de crecimiento de árbol es equivalente a 600um y una unidad de refugio para animales es equivalente a 100um. De la tabla anterior tenemos dos actividades forestales y cada una de ellas la vamos a ponderar.

Limpieza: Por cada hectárea que se limpie se producen 10 unidades de árboles y se eliminan 10 unidades de refugio para animales con un costo de 500um. 10(600) − 10(100) − 500 = 4500 um.

Abrir brecha: Por cada kilómetro abierto de brecha contra incendio se producen 60 unidades de refugio y se eliminan 5 árboles con un costo de 500um, de donde el beneficio neto − 5( 600) +

60(100) − 500 = 2500 um.

Por lo tanto, el problema a resolver estará dado por: max Z  = 4500 x1

+

2500 x 2

Las restricciones son:

 150 x1 + 50 x2   x 2  500 x1 + 500 x2  Ejemplo 2 Horas de trab. Km de brecha Presupuesto Max árboles Solución

X1 150 500 4500 550

X2 50 1 500 2500 150

≤

90000

≤

300

≤

350000

90000 150 350000 2850000