Programacion No Lineal

INDICE 2…………………………Introducción 3…………………………Programación no lineal 4………………………… Los tipos de problemas de programación no lineal 5………………………… Método de búsqueda directa 9………………………… Optimización No Restringida 11……………………….. Optimización Linealmente Restringida 11……………………….. Programación Cuadrática 13……………………….. Programación Convexa 13……………………….. Programación Separable 14……………………….. Programación No Convexa 15……………………….. Programación Geométrica 16……………………….. Programación Fraccional 19……………………….. Conclusión 20……………………….. Bibliografía

Introducción:

El estudio realizado hasta el momento se ha dedicado a problemas de programación lineal, que modelizaban situaciones donde el objetivo y las restricciones son lineales en las variables de decisión. Aunque los problemas de programación lineal son muy comunes y cubren un amplio rango de aplicaciones, en la vida real uno se tiene que enfrentar con cierta frecuencia a otro tipo de problemas que no son lineales. Cuando el conjunto de restricciones, la función objetivo, o ambos, son no lineales, se dice que se trata de un problema de programación no lineal (PPNL). Los problemas de optimización no lineal son más difíciles de resolver que los lineales. Estas dificultades aparecen incluso en el caso más simple como el de optimizar una función de una variable en R sin restricciones. En este tema se presentan algunos problemas de programación no lineal. En algunos casos, coinciden con los que se han descrito en temas precedentes, pero bajo hipótesis distintas.

Programación No Lineal.

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Un modelo de Programación No Lineal (PNL) es aquel donde las variables de decisión se expresan como funciones no lineales ya sea en la función objetivo y/o restricciones de un modelo de optimización. Esta característica particular de los modelos no lineales permite abordar problemas donde existen economías o des economías de escala o en general donde los supuestos asociados a la proporcionalidad no se cumplen.

Los problemas de programación no lineal se presentan de muchas formas distintas. Al contrario del método simplex para programación lineal, no se dispone de un algoritmo que resuelva todos estos tipos especiales de problemas. En su lugar, se han desarrollado algoritmos para algunas clases (tipos especiales) de problemas de programación no lineal. Se introducirán las clases más importantes y después se describirá cómo se pueden resolver algunos de estos problemas.

Si la función objetivo f es lineal y el espacio restringido es un poli topo, el problema es de Programación lineal y puede resolverse utilizando alguno de los bien conocidos algoritmos de programación lineal.

Si la función objetivo es cóncava (problema de maximización), o convexa (problema de minimización) y el conjunto de restricciones es convexo, entonces se puede utilizar el método general de Optimización convexa

Existe una variedad de métodos para resolver problemas no convexos. Uno de ellos consiste en utilizar formulaciones especiales de problemas de programación lineal. Otro método implica el uso de técnicas de Ramificación y poda, cuando el problema se divide en subdivisiones a resolver mediante aproximaciones que forman un 2

límite inferior del coste total en cada subdivisión. Mediante subdivisiones sucesivas, se obtendrá una solución cuyo coste es igual o inferior que el mejor límite inferior obtenido por alguna de las soluciones aproximadas. Esta solución es óptima, aunque posiblemente no sea única. El algoritmo puede ser parado antes, con la garantía de que la mejor solución será mejor que la solución encontrada en un porcentaje acotado. Ello se utiliza en concreto en problemas importantes y especialmente difíciles y cuando el problema cuenta con costes inciertos o valores donde la incertidumbre puede ser estimada en un grado de fiabilidad apropiado.

Las condiciones de Karush-Kuhn-Tucker proporcionan las condiciones necesarias para que una solución sea óptima.

Los tipos de problemas de programación no lineal son: 1.

Optimización no restringida.

2.

Optimización linealmente restringida.

3.

Programación cuadrática

4.

Programación convexa.

5.

Programación separable.

6.

Programación no convexa.

7.

Programación geométrica.

8.

Programación fraccional.

9.

Problema de complementariedad.

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ALGORITMOS SIN RESTRICCIÓN En esta sección se presentarán dos algoritmos para el problema no restringido: el algoritmo de búsqueda directa y el algoritmo de gradiente.

Método de búsqueda directa Los métodos de búsqueda directa se aplican principalmente a funciones estrictamente unimo- dales de una variable. Aunque puede parecer trivial el caso, la sección 21.1.2 muestra que la optimización de funciones de una variable juega un papel clave en el desarrollo de los algoritmos de varias variables, más generales. La idea de los métodos de búsqueda directa es identificar el intervalo de incertidumbre que comprenda al punto de solución óptima. El procedimiento localiza el óptimo estrechando en forma progresiva el intervalo de incertidumbre hasta cualquier grado de exactitud que se desee. En esta sección se presentan dos algoritmos estrechamente relacionados: los métodos de búsqueda dicótomo y de sección dorada (o áurea). Ambos buscan la maximización de una función unimodal/(x) en el intervalo a ^ x < b, que se sabe que incluye el punto óptimo x*. Los dos métodos comienzan con / 0 = (a, b) que representa el intervalo inicial de incertidumbre. Paso general i. Sea /, _ , = (xD xR) el intervalo actual de incertidumbre (en la iteración 0, xL = a y xR = b). A continuación se definen xx y x2 tales que Xj^ ^ ^ x2 ^ xr El siguiente intervalo de incertidumbre, /z, se define como sigue: 1. Si f(xx) > /(x2), entonces xL < x* < x2. Se definen xR = x2 e /, = (xL, x2) 4

2. Si f(xx) < f(x2\ entonces xx < x* < xR. Se definen xL = xx e I¡ = (xh xR) 3. Si f{x\) = /(jc2), entonces xx < x* < x2. Se definen xL = x2 e /, = (xb x2).

La manera en que se determinan xx y x2 garantiza que /, < /,_ p como se demostrará en breve. El algoritmo termina en la iteración ksilk< A, donde A es un grado de exactitud definido por el usuario. * La diferencia entre los métodos dicótomos y de sección dorada estriba en la forma en que se calculan xx y x2. La tabla siguiente presenta las fórmulas.

En el método dicótomo los valores jc, y x2 se encuentran simétricos respecto del punto medio del actual intervalo de incertidumbre. Esto significa que

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La aplicación repetida del algoritmo garantiza que la longitud del intervalo de incertidumbre se acercará al nivel de exactitud deseado, A. En el método de la sección dorada la idea es de mayor involucramiento. Se puede apreciar que cada iteración del método dicótomo requiere calcular los dos valores/(jc,) y f(x2), Pe” ro termina por descartar alguno de ellos. Lo que propone el método de la sección dorada es ahorrar cálculos mediante el reusó del valor descartado en la iteración inmediata siguiente. Para definir 0 < a < 1

Cuando el intervalo de incertidumbre /, en la iteración i es igual a (jc¿, x2) o a (xu xR). Considere el caso en que /, = (jcl, x2), lo cual significa que xx está incluido en /,. En la iteración /+1, seleccione x2 igual a jc, de la iteración /, lo cual lleva a la siguiente ecuación: X2(iteración i+l) = x{(iteración i)

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Comparado con el método dicótomo, el método de la sección dorada converge más rápidamente hacia el nivel deseado de exactitud. Adicionalmente, cada iteración en el método de la sección dorada requiere la mitad de los cálculos, en virtud de que recicla siempre un conjunto de los cálculos correspondientes a la iteración inmediata anterior. EJEMPLO

El máximo valor de f(x) ocurre en x = 2. La siguiente tabla muestra los cálculos para las iteraciones 1 y 2, usando el método dicótomo y el de la sección dorada. Supondremos que A = 0.1.

Al continuar de la misma forma, el intervalo de incertidumbre terminará por estrecharse hasta la tolerancia A deseada.

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La plantilla ch21DichotomousGoldenSection.xls de Excel está diseñada para manejar cualquiera de estos dos métodos en forma automática. Los datos son/(*), a,b y A. La función f{x) se captura en la celda E3 como sigue: = IF(C3< = 2,3*C3, (-C3+20)/3)

OPTIMIZACIÓN NO RESTRINGIDA

Los problemas de optimización no restringida no tienen restricciones, por lo que la función objetivo es sencillamente Maximizar f(x)

sobre todos los valores x= (x1, x2,…,xn). Según el repaso del apéndice 3, la condición necesaria para que una solución específica x = x* sea óptima cuando f(x) es una función diferenciable es

Cuando f (x) es cóncava, esta condición también es suficiente, con lo que la obtención de x* se reduce a resolver el sistema de las n ecuaciones obtenidas al establecer las n derivadas parciales iguales a cero. Por desgracia, cuando se trata de funciones no lineales f (x), estas ecuaciones suelen ser no lineales también, en cuyo caso es poco probable que se pueda obtener una solución analítica simultánea. ¿Qué se puede hacer en ese caso? Las secciones 13.4 y 8

13.5 describen procedimientos algorítmicos de búsqueda para encontrar x* primero para n = 1 y luego para n > 1. Estos procedimientos también tienen un papel importante en la solución de varios tipos de problemas con restricciones, que se describirán en seguida. La razón es que muchos algoritmos para problemas restringidos están construidos de forma que se adaptan a versiones no restringidas del problema en una parte de cada iteración. Cuando una variable Xj tiene una restricción de no negatividad, x- > 0, la condición necesaria (y tal vez) suficiente anterior cambia ligeramente a

para cada j de este tipo. Esta condición se ilustra en la figura 13.11, donde la solución óptima de un problema con una sola variable es x = 0 aun cuando la derivada ahí es negativa y no cero. Como este ejemplo tiene una función cóncava para maximizar sujeta a una restricción de no negatividad, el que su derivada sea menor o igual a 0 en # = 0, es una condición necesaria y suficiente para que x= 0 sea óptima.

Un problema que tiene algunas restricciones de no negatividad y que no tiene restricciones funcionales es un caso especial (m = 0) de la siguiente clase de problemas.

OPTIMIZACIÓN LINEALMENTE RESTRINGIDA

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Los problemas de optimización linealmente restringida se caracterizan por restricciones que se ajustan por completo a la programación lineal, de manera que todas las funciones de restricción g¡ (x) son lineales, pero la función objetivo es no lineal. El problema se simplifica mucho si sólo se tiene que tomar en cuenta una función no lineal junto con una región factible de programación lineal. Se han desarrollado varios algoritmos especiales basados en una extensión del método simplex para analizar la función objetivo no lineal.

Un caso especial importante programación cuadrática.

descrito

a

continuación

es

la

PROGRAMACIÓN CUADRÁTICA

De nuevo los problemas de programación cuadrática tienen restricciones lineales, pero ahora la función objetivo /(x) debe ser cuadrática. Entonces, la única diferencia entre éstos y un

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problema de programación lineal es que algunos términos de la función objetivo incluyen el cuadrado de una variable o el producto de dos variables.

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PROGRAMACIÓN CONVEXA La programación convexa abarca una amplia clase de problemas, entre ellos como casos especiales, están todos los tipos anteriores cuando /(x) es cóncava. Las suposiciones son 1. f(x) es cóncava. 2. Cada una de las g(x) es convexa.

PROGRAMACIÓN SEPARABLE

La programación separable es un caso especial de programación convexa, en donde la suposición adicional es Todas las funciones f(x) y g(x) son funciones separables. Una función separable es una función en la que cada término incluye una sola variable, por lo que la función se puede separar en una suma de funciones de variables individuales. Por ejemplo, si f(x) es una función separable, se puede expresar como

son cada tina funciones de una sola variable x1 y x2, respectivamente. Usando el mismo razonamiento, se puede verificar que la función considerada en la figura 13.7 también es una función separable.

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Es importante distinguir estos problemas de otros de programación convexa, pues cualquier problema de programación separable se puede aproximar muy de cerca mediante uno de programación lineal y, entonces, se puede aplicar el eficiente método símplex.

son cada tina funciones de una sola variable x1 y x2, respectivamente. Usando el mismo razonamiento, se puede verificar que la función considerada en la figura 13.7 también es una función separable.

Es importante distinguir estos problemas de otros de programación convexa, pues cualquier problema de programación separable se puede aproximar muy de cerca mediante uno de programación lineal y, entonces, se puede aplicar el eficiente método simplex.

PROGRAMACIÓN NO CONVEXA

La programación no convexa incluye todos los problemas de programación no lineal que no satisfacen las suposiciones de programación convexa. En este caso, aun cuando se tenga éxito en encontrar un máximo local, no hay garantía de que sea también un máximo global. Por lo tanto, no se tiene un algoritmo que garantice 13

encontrar una solución óptima para todos estos problemas; pero sí existen algunos algoritmos bastante adecuados para encontrar máximos locales, en especial cuando las formas de las funciones no lineales no se desvían demasiado de aquellas que se supusieron para programación convexa. En la sección 13.10 se presenta uno de estos algoritmos.

Ciertos tipos específicos de problemas de programación no convexa se pueden resolver sin mucha dificultad mediante métodos especiales. Dos de ellos, de gran importancia, se presentarán más adelante.

PROGRAMACIÓN GEOMÉTRICA Cuando se aplica programación no lineal a problemas de diseño de ingeniería, muchas veces la función objetivo y las funciones de restricción toman la forma

En tales casos, las ci y a ty representan las constantes físicas y las x} son las variables de diseño. Estas funciones por lo general no son ni cóncavas ni convexas, por lo que las técnicas de programación convexa no se pueden aplicar directamente a estos problemas deprogramacióngeo- métrica. Sin embargo, existe un caso importante en el que el problema se puede transformar en un problema de programación convexa equivalente. Este caso es aquel en el que todos los coeficientes c¿ en cada función son estrictamente positivos, es decir, las funciones son polinomios positivos generalizados (ahora llamados posinomiales), y la función objetivo se tiene que minimizar. El 14

problema equivalente de programación convexa con variables de decisión yx, y2,…, yn se obtiene entonces al establecer

en todo el modelo original. Ahora se puede aplicar un algoritmo de programación convexa. Se ha desarrollado otro procedimiento de solución para resolver estos problemas de programación posinomial, al igual que para problemas de programación geométrica de otros tipos.1

PROGRAMACIÓN FRACCIONAL Suponga que la función objetivo se encuentra en la forma de una fracción, esto es, la razón o cociente de dos funciones,

Estos problemas de programación fraccional surgen, por ejemplo, cuando se maximiza la razón de la producción entre las horas-hombre empleadas (productividad), o la ganancia entre el capital invertido (tasa de rendimiento), o el valor esperado dividido entre la desviación estándar de alguna medida de desempeño para una cartera de inversiones (rendimiento/riesgo). Se han formulado algunos procedimientos de solución especiales1 para ciertas formas de f1(x) y f2 (x)

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Cuando se puede hacer, el enfoque más directo para resolver un problema de programación fraccional es transformarlo en un problema equivalente de algún tipo estándar que disponga de un procedimiento eficiente. Para ilustrar esto, suponga que f(x) es de la forma de programación fraccional lineal

donde c y d son vectores renglón, x es un vector columna y c0 y dQ son escalares. También suponga que las funciones de restricción g¡ (x) son lineales, es decir, las restricciones en forma matricial son Ax < b y x > 0.

Con algunas suposiciones débiles adicionales, el problema se puede transformar en un problema equivalente de programación lineal si se establece

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Que se puede resolver con el método simplex. En términos generales, se puede usar el mismo tipo de transformación para convertir un problema de programación fraccional con /¡(x) cóncava, f2 (x) convexa y g¡ (x) convexas, en un problema equivalente de programación convexa.

Conclusión. 17

Durante el desarrollo del trabajo fue surgiendo, de manera natural, la necesidad de emplear hojas de cálculo, paquetes matemáticos y lenguajes de programación, para lograr aplicar la teoría desarrollada. Este hecho permite concluir que la PNL está compuesta, fundamentalmente, de dos elementos complementarios: el análisis matemático y la implementación de algoritmos en herramientas informáticas. La carencia de uno de estos elementos, así este acompañada de una abundante dosis del otro, tendrá como consecuencia el fracaso de todo intento de lograr resultados fructíferos.

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Bibliografía   

http://lainvestigaciondeoperaciones.blogspot.mx/2013/10/conclusione s-de-la-programacion-lineal.html https://karenbandala.wordpress.com/unidad-iii/3-3-problemas-norestringidos-programacion-no-lineal/ http://www.buenastareas.com/ensayos/Resumen-Sobre-Programaci %C3%B3n-Lineal/48725106.html

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