Programacion Lineal

PROFESORA: Ing. Carlena Astudillo

INTEGRANTES: Barreto Yoryina C.I: 22.858.246 Garcia Isbeth C.I: 25.893.095 La Rosa Jorge C.I: 21.175.916 Soto Delysmar C.I: 25.934.338

El Tigre, Septiembre de 2018

PROGRAMACIÒN LINEAL

El Modelo de Programación Lineal, es una representación simbólica de la realidad que se estudia, o del problema que se va a solucionar. Se forma con expresiones de lógicas matemáticas, conteniendo términos que significan contribuciones: a la utilidad (con máximo) o al costo (con mínimo) en la Función Objetivo del modelo. Y al consumo de recursos disponibles (con desigualdades = ó = e igualdades =) en las restricciones.

Modelos Matemáticos de Programación Lineal de:  Maximización: ventas,

cuando se desea maximizar o incrementar las utilidades, producción,

beneficios, rentabilidad, publicidad, etc.

 Minimización: paradas,

cuando se desea minimizar o disminuir los costos, perdidas,

desperdicios, distancias, tiempos inoperativos, etc.

Es un procedimiento de solución de problemas de programación lineal, muy limitado en cuanto al número de variables (2 si es un gráfico 2D y 3 si es 3D) pero muy rico en materia de interpretación de resultados e incluso análisis de sensibilidad. El procedimiento consiste en trazar las ecuaciones de las restricciones en un eje de coordenadas X1, X2 para tratar de identificar el área

de

soluciones factibles (soluciones que cumplen con todas las restricciones).

El Método Simplex es un método analítico de solución de problemas de programación lineal capaz de resolver modelos más complejos que los resueltos mediante el método gráfico sin restricción en el número de variables.

El Método Simplex es un método iterativo que permite ir mejorando la solución en cada paso. La razón matemática de esta mejora radica en que el método consiste en caminar del vértice de un poliedro a un vértice vecino de manera que aumente o disminuya (según el contexto de la función objetivo, sea maximizar o minimizar), dado que el número de vértices que presenta un poliedro solución es finito siempre se hallará solución.

Esta estrategia algorítmica se aplica cuando luego de llevar un modelo de programación lineal a su forma estándar no se dispone de una solución básica factible inicial. Fase 1: Consideramos un problema auxiliar que resulta de agregar tantas variables auxiliares a las restricciones del problema, de modo de obtener una solución básica factible. Luego se debe resolver utilizando el Método Simplex un nuevo problema que considera como función objetivo la suma de las variables auxiliares. Si el valor óptimo alcanzado al finalizar la Fase 1 es cero ir a la Fase 2. En caso contrario, no existe solución factible. Fase 2: Resolver a través del Método Simplex el problema original a partir de la solución básica factible inicial hallada en la Fase1.

Cada problema de programación lineal tiene un segundo problema asociado con el. Uno se denomina primal y el otro dual. Los 2 poseen propiedades muy relacionadas, de tal manera que la solución óptima a un problema proporciona información completa sobre la solución óptima para el otro.

Se aplica para resolver problemas que empiezan con factibilidad dual, es decir, óptimos pero infactibles. Es un proceso iterativo que puede generar varias aproximaciones a la solución a través de distintas tablas de solución. Se puede identificar cuando se ha llegado a la solución óptima.

La dualidad en programación lineal provee de resultados teóricos interesantes que justifican su uso como herramienta alternativa y complementaria de resolución. La

dualidad

permite

interpretaciones económicas programación lineal.

realizar

importantes

de los problemas de

El análisis de sensibilidad o postoptimal para los modelos de Programación Lineal, tiene por objetivo identificar el impacto que resulta en los resultados del problema original luego de determinadas variaciones en los parámetros, variables o restricciones del modelo, sin que esto pase por resolver el problema nuevamente.

Es decir, ya sea si resolvemos nuestro modelo gráficamente o utilizando el Método Simplex, lo que se busca es que estas variaciones o sensibilidad hagan uso de la solución y valor óptimo actual, sin tener la necesidad de resolver para cada variación un nuevo problema.

El complemento Solver de Excel (que también esta disponible en una versión Premium de Prueba) es una excelente herramienta para quienes se inician en la resolución de modelos de Investigación Operativa por tener una interfaz amigable, permite resolver aplicaciones estudiantiles (en cuanto al tamaño del modelo) y estar disponible como un complemento del software Excel. Ingrese a la sección Solver de Excel para interiorizarse en cuanto a su uso.

Para hacer uso de Solver se debe activar este complemento y este procedimiento varía dependiendo si se esta utilizando Office 2003 o Office 2007.

INSTALACIÓN SOLVER DE EXCEL UTILIZANDO MICROSOFT OFFICE 2007

Paso 1: Seleccione el boton Office en la esquina superior izquierda.

Paso 2: Seleccione Opciones de Excel.

INSTALACIÓN SOLVER DE EXCEL UTILIZANDO MICROSOFT OFFICE 2007 Paso 3: En el menu de la izquierda debe seleccionar Complementos y luego presionar el boton Ir

INSTALACIÓN SOLVER DE EXCEL UTILIZANDO MICROSOFT OFFICE 2007 Paso 4: Marque la opción Solver y luego seleccione Aceptar. Paso 5: Probablemente autorización para instalar Seleccione Sí.

se le pediría el complemento.

Paso 6: Si la instalación ha resultado satisfactoria el complemento Solver deberá estar disponible en la sección Datos de Excel.

Para ejemplificar respecto al uso de Solver utilizaremos el siguiente modelo de Programación Lineal:

Paso 1: Abrir una planilla de cálculo de Excel y definir las variables de decisión y la función objetivo. En este ejemplo se han marcado con amarillo y verde las variables de decisión y función objetivo respectivamente sólo para facilitar la comprensión. Es importante notar que la función objetivo (celda F4) será siempre una fórmula que depende de los parámetros de la función objetivo (celdas B5, C5, D5) y las variables de decisión (B4, C4, D4)

Paso 2: Se definen las restricciones del modelo. La columna en amarillo bajo el titulo "Lado Izq" es una fórmula de los parámetros y las variables de decisión en las respectivas restricciones. Por ejemplo, la fórmula incorporada en E9 es simplemente: 15X + 7,5Y + 5Z. La celda F9 es el lado derecho de dicha restricción y corresponde a una constante (315).

Paso 3: Ingresamos a la Opción Solver (Ver Instalacion Solver de Excel). Luego definimos la celda objetivo (función objetivo), el valor que buscamos (máximización o minimización), las celdas que deseamos cambiar (variables de decisión) y las restricciones. Para nuestro ejemplo está será la pantalla que se debe obtener:

Paso 4: Accedemos a "Opciones..." y seleccionamos "Adoptar modelo lineal"y "Adoptar no negativos". Finalmente seleccionamos "Aceptar" y luego "Resolver".

Paso 5: Si el proceso se ha desarrollado en forma correcta la planilla de cálculo se actualizará y se obtendrán los siguientes resultados. Solución Óptima: X=4, Y=10, Z=36. Valor Óptimo: V(P)=6.620. Se recomienda requerir el informe de sensibilidad tal como se muestra en la imagen de abajo.

Paso 6: La imagen a continuación ha sido levemente editada y corresponde al informe de sensibilidad. Por ejemplo, el parámetro que actualmente acompaña a X en la función objetivo es 200, sin embargo, si este valor varía entre [120,240] se conservará la actual solución óptima. En cuanto a las restricciones podemos decir, por ejemplo, que si el lado derecho de la segunda restricción (actualmente este lado derecho es igual a 110) aumenta a 120, es nuevo valor óptimo será V(P)=6.620 + 10*10 =6.720, es decir, el valor óptimo aumentará en forma proporcional al precio sombra de dicha restricción. Se recomienda revisar la sección de Análisis de Sensibilidad para reforzar estos conceptos.

PROGRAMACIÒN ENTERA

Es aquel cuya solución óptima tiene sentido solamente si una parte o todas las variables de decisión toman valores restringidos a números enteros, permitiendo incorporar en el modelamiento matemático algunos aspectos que quedan fuera del alcance de los modelos de Programación Lineal. Los modelos de Programación Entera se pueden clasificar en 2 grandes áreas:  Mixta (PEM): A esta categoría pertenecen aquellos problemas de optimización que consideran variables de decisión enteras o binarias pero no de forma exclusiva.  Pura (PEP): En esta categoría encontramos aquellos modelos de Programación Entera que consideran exclusivamente variables de decisión que adoptan valores enteros o binarios

El método de Branch and Bound (en español Ramificación y Acotamiento) aborda la resolución de modelos de programación entera a través de la resolución de una secuencia de modelos de programación lineal que constituirán los nodos o subproblemas del problema entero. Si bien el procedimiento es extensible a un número mayor de variables, para efectos prácticos ilustraremos su aplicación para modelos de programación entera en 2 variables.

PROGRAMACIÒN NO LINEAL

Es el proceso de resolución de un sistema de igualdades y desigualdades sujetas a un conjunto de restricciones sobre un conjunto de variables reales desconocidas, con un función objetivo a maximizar (o minimizar), cuando alguna de las restricciones o la función objetivo no son lineales.

Modelos de Programación no Lineal de:        

OPTIMIZACIÓN NO RESTRINGIDA OPTIMIZACIÓN RESTRINGIDA LINEALMENTE PROGRAMACIÓN SEPARABLE PROGRAMACIÓN CUADRÁTICA PROGRAMACIÓN CONVEXA PROGRAMACIÓN NO CONVEXA ROGRAMACIÓN GEOMÉTRICA PROGRAMACIÓN FRACCIONAL

Un modelo de Programación Lineal (PNL) es aquel donde las variables de decisión se expresan como funciones no lineales ya sea en la función objetivo y/o restricciones de un modelo de optimización. Esta característica particular de los modelos no lineales permite abordar problemas donde existen economías o deseconomías de escala o en general donde los supuestos asociados a la proporcionalidad no se cumplen.

En este sentido el método del gradiente (conocido también como método de Cauchy o del descenso más pronunciado) consiste en un algortimo específico para la resolución de modelos de PNL sin restricciones, perteneciente a la categoría de algoritmos generales de descenso, donde la búsqueda de un mínimo esta asociado a la resolución secuencial de una serie de problemas unidimensionales.

Los pasos asociados a la utilización del método del gradiente o descenso más pronunciado consiste en:

El método de multiplicadores de Lagrange (el cual es generalizado por las condiciones de optimalidad de Karush-Kuhn-Tucker) permite abordar la resolución de modelos de programación no lineal que consideran restricciones de igualdad. En este sentido y como resulta natural, el dominio de soluciones factibles considerará exclusivamente aquellas soluciones que permiten verificar el cumplimiento de la igualdad de dichas restricciones. Por el contrario, un problema de optimización que considera inecuaciones como restricciones, sólo requiere que éstas se cumplan y no necesariamente se deberá forzar el cumplimiento de ellas en igualdad (activas).

No existe una única forma de abordar la resolución de un problema de programación no lineal utilizando el teorema de KKT. Consideraremos la aplicación de este teorema en este caso para problemas sólo con restricciones "=" éstas se pueden transformar por "