Programación lineal final
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Programación lineal y método simplex aplicado para economía
Guillermo Pardo Arteaga A00889951 Bibiana Alejandra Miranda López A01122834 Roberto Mendoza Hernández A01213035
Doctor José Fernández García Matemáticas para economía I
1
ÍNDICE INTRODUCCIÓN. ................................................................................................ 3 PLANTEAMIENTO DE LOS PROBLEMAS ................................................................. 5 RESOLUCIÓN DE LOS PROBLEMAS ...................................................................... 8 1.1 Un problema agrícola .......................... ............. ......................... ......................... .......................... .................... ....... 8 1.2 Formulación Matemática ................................................................. 11 2.1 Un problema en en un negocio familiar ......................... ............ ......................... ...................... .......... 13 2.2 Formulación matemática ................................................................. 19 CONCLUSIONES .............................................................................................. 19 FUENTES CONSULTADAS .................................................................................. 20
2
Introducción.
El motivo del presente trabajo es hacer una revisión bibliográfica acerca de una aplicación del álgebra lineal dentro del campo de la economía, así como plantear distintos ejemplos que puedan permitirnos la comprensión del tema. Para iniciar con este trabajo haremos un breve recuento teórico de nuestro tema. En 1939 surge un problema de recursos limitados. Se necesitaba distribuir los recursos disponibles entre los diferentes regímenes, sin embargo, se tenia otro problema: cómo distribuir estos recursos sin que se generara un costo extra, Leonid Kantorovich matemático y economista ruso, ganador del premio nobel en 1975 crea el modelo de programación lineal (1939), utilizado para resolver los problemas de distribución de recursos en la Segunda Guerra Mundial, ya que esta no solo se llevaba acabo en el campo de batalla, se necesitaba diseñar estrategias, disponer de recursos para cuando fuera necesario, etc. La Programación Lineal ayudó a encontrar la forma de reducir reducir costos, y así colocar el ahorro en otra división o bien conseguir más recursos. La Programación Lineal nace como estrategia militar, así que por un tiempo fue secreto, nadie tenia acceso al sistema, solo la milicia lo conocía. Fue George Dantzig, matemático americano, graduado de la Universidad de Maryland y Doctor por la Universidad de Berkeley, quien publica el método simplex para la resolución de sistemas de inecuaciones. El método simplex es una técnica para resolver problemas de optimización, generalmente se utiliza cuando se tienen sistemas de inecuaciones. Estos sistemas son desigualdades algebraicas en las cuales se encuentran varias incógnitas, los sistemas de inecuaciones puede ser de 2 tipos, en sentido estricto (< o >) o en sentido amplio (
).
3
El método simplex consiste en convertir los sistemas de inecuaciones en ecuaciones, esto por medio de variables de holgura, son variables que convierten las inecuaciones en igualdades pero estas deben satisfacer una serie de reglas, por lo general la variable de holgura se igualan a los recursos, trabajan como restricción. Se construye la matriz, donde se podrán observar los coeficientes de restricción, así como los coeficientes de la función objetivo, se localizan las variables no básicas, son aquéllas con coeficiente distinto de cero en la función objetivo, se elige aquélla que tenga el coeficiente más negativo, y éste indicará la columna correspondiente a la variable que entra. Se dividen los elementos de la columna b i por sus correspondientes a ij en la columna de la variable que entra, siempre que estos últimos sean mayores que cero. Si hubiese algún elemento menor o igual que cero, no se haría dicho cociente. En el caso de que todos los elementos fuesen menores o iguales a cero, entonces tendríamos una solución no acotada y no podríamos seguir. Lo que necesitamos es incrementar la variable que entra en la base, hasta que hagamos nula una de las variables que están ahora en la base. Entonces saldrá aquélla variable básica, Xi, tal que el cociente b i / aij sea menor. Se hace 1 el coeficiente a ij de la variable seleccionada. Se divide la fila i por a ij; en el resto de las filas haremos la eliminación de Gauss. El método simplex sirvió como base para la investigación de operación, ya que ayuda a optimizar procesos, pero que es la investigación de operaciones? “La investigación de operaciones es la aplicación, por
grupos
interdisciplinarios,
problemas
relacionados
del con
método el
científico
control
de
a las
organizaciones o sistemas (hombre-maquina) a fin de que se produzcan soluciones que mejor sirvan a los objetivos de todas la organización. ” (Prawda, 2004) La Investigación de Operaciones tiene como objetivo principal proveer información para la toma de decisiones, tomando en cuenta sistemas reales y
4
complejos, de esa forma busca optimizar, tomando en cuenta los recursos disponibles y así poder encontrar la solución solución a los problemas. problemas.
Planteamiento de los Problemas
El objetivo de la presente sección es introducir la formulación de nuestros modelos matemáticos a partir del planteamiento de los problemas. Esta sección debe tomarse como una ilustración introductoria a l a Investigación de Operaciones, y particularmente a la Programación Lineal, dejando las próximas dos secciones a la explicación y resolución de la misma. No es importante a estas alturas si el lector no entiende cómo se derivó cierta expresión matemática. En esta sección presentaremos dos tipos de problemas: a) Un problema agrícola que puede ser aplicado en un entorno macroeconómico. b) Un problema en un negocio familiar que representa una situación microeconómica. A continuación se plantean plantean ambos problemas. problemas. a) Un problema agrícola: Supóngase que en el poblado de Tixtla, Guerrero la Nacional Financiera pretende hacer inversiones cuantiosas en el cultivo de aguacate, lima, mango y zapote prieto. Se persiguen dos objetivos, uno el de aumentar el empleo rural y otro el de aumentar las exportaciones que vendrán a equilibrar la balanza de pagos de la nación. Se sabe que la producción promedio de cada árbol está dada por la siguiente tabla: Tabla 1.1 Tipo
de Producción
árbol
Aguacate
promedio Observación
anual
(en unidades)
(en kg)
350
150
Una vez por año
5
Lima
230
200
Una vez por año
Mango
150
50
Una vez por año
Zapote
400
150
Una vez por año
El precio promedio en el mercado mundial fue de $10.00 por kg de aguacate, $4.00 por kg de lima, $15.00 por kg de mango y $7.00 por kg de zapote prieto en 1974. Existe una extensión de 250 000 m 2 de tierra de propiedad federal propicia para el cultivo de esos productos. Supóngase que técnicos de la Secretaría de Agricultura han determinado que las siguientes extensiones mínimas son necesarias para el cultivo de esos productos. Tabla 1.2 Tipo árbol
de Extensión mínima
de
cultivo
por
árbol Aguacate 4 m Lima
5 m2
Mango
3m
Zapote
6 m2
Afortunadamente no existe problema de agua, pues hay varios manantiales dentro de la propiedad, que aseguran la existencia de ese preciado líquido por los próximos 20 años. El costo por sembrar un árbol de aguacate es de $2.00, $0.50 por árbol de lima, $1.00 por árbol de mango y $1.50 por árbol de zapote prieto; estos costos ya incluyen la compra del árbol más su cuidado y mantenimiento. Cada árbol de aguacate requiere de cuidados equivalentes a 36 horas-hombre/año; 72 horas-hombre/año por árbol de lima; 50 horas-hombre/año por árbol de mango y 10 horas-hombre/año por árbol de zapote prieto.
6
La Nacional Financiera pretende hacer una inversión de 20 millones de pesos, pensando exportar toda su producción. El número de personas que desea emplear el Gobierno Federal con este proyecto debe ser a lo mucho de 200 personas. Bajo estas circunstancias, ¿cuántos árboles de aguacate, lima, mango y zapote prieto deberán sembrarse con objeto de maximizar el valor de la futura exportación anual? ¿Cuál será la ganancia de tomar esta decisión respecto a la inversión inicial? b) Un problema en un negocio familiar: Don Francisco quiere mejorar el negocio familiar de explotación de la patata integral. Su negocio es la venta de productos derivados de la patata, de los cuales hay cuatro tipos: patatas troceadas para ensaladilla, puré de patatas, patatas fritas a la inglesa y patatas congeladas para freír. A su negocio, don Francisco y doña Remedios, su mujer, dedican como máximo entre los dos 100 horas semanales. Para fabricar un kilo de cada producto el tiempo a dedicar es el siguiente: patatas troceadas 3 horas, puré de patatas 5 horas, patatas fritas a la inglesa 10 horas, patatas congeladas 15 horas. Como su almacén es pequeño no pueden tener almacenados más de 15 kilos de producto terminado y más de 120 kilos en sacos de patata. No todos los productos tienen igual rendimiento. Por cada kilo de producto terminado necesita una cantidad mayor de producto bruto. Esta relación es la siguiente: -
Para hacer un kilo de patatas para ensalada necesita 7 kilos de patatas.
-
Para hacer un kilo de puré de patatas necesita 5 kilos de patatas.
-
Para hacer un kilo de patatas a la inglesa necesita 3 kilos de patatas.
-
Para hacer un kilo de patatas congeladas necesita 2 kilos de patatas. La ganancia también es diferente:
-
4 patatas/kg patatas ensalada.
-
5 patatas/kg puré de patatas.
-
9 patatas/kg patatas inglesa.
-
11 patatas/kg patatas congeladas. 7
¿Cuánto debe fabricar de cada una de sus especialidades para que su beneficio sea el máximo? Resolución de los Problemas
El propósito de esta sección es resolver paso a paso los dos problemas anteriormente planteados con el método simplex; el cual mencionamos en la primera sección. 1. 1 U n p r o b l e m a a g r íc o l a
Paso 1. Sean Xa:
el número de árboles de aguacate a ser sembrados,
Xl:
el número de árboles de lima a ser sembrados,
Xm:
el número de árboles de mangos a ser sembrados,
Xz:
el número de árboles de zapote prieto a ser sembrados,
La notación usada para denotar todas las variables del problema. El valor promedio de la exportación ( VPE ) anual se puede representar por:
Cuyas dimensiones están dadas por:
Una vez que tenemos definidas nuestras ecuaciones, identificamos cual
es la que vamos a optimizar. Para nuestro primer problema la ecuación a optimizar es:
E identificamos las ecuaciones a las que estará sujeta nuestra optimización. En este problema la optimización está sujeta a tres restricciones, estas son:
Paso 2.
8
Sea:
la forma general de la ecuación a optimizar. Entonces:
es nuestra ecuación a optimizar en la forma general. Paso 3.
Paso 4. Xa
Xl
Xm
Xz
U
V
Y
Bi
LO -1500
-800
-750
-1050
0
0
0
0
L1 2
0.5
1
1.5
1
0
0
20,000,000
L2 4
5
3
6
0
1
0
250,000
L3 36
72
50
100
0
0
1
584,000
Xl
Xm
Xz
U
V
Y
Bi
LO -1500
-800
-750
-1050
0
0
0
0
L1 2
0.5
1
1.5
1
0
0
20,000,000
L2 4
5
3
6
0
1
0
250,000
L3 36
72
50
100
0
0
1
584,000
Paso 5. Xa
Paso 6.
{ }
Paso 7. Xa
Xl
Xm
Xz
U
V
Y
Bi
LO -1500
-800
-750
-1050
0
0
0
0
L1 2
0.5
1
1.5
1
0
0
20,000,000
L2 4
5
3
6
0
1
0
250,000
L3 36
72
50
100
0
0
1
584,000
9
¶ La intersección en la tabla de la columna que entra y la que sale determina el elemento pivote. Aplicamos operaciones matriciales elementales en el pivote con objeto de convertir a la columna correspondiente en el vector unitario, es decir ceros en toda la columna, y un uno en la celda del renglón correspondiente, es decir el pivote. Xa LO 0
Xl
Xm
U
V
Y
2200
1333.33333 3116.666667 0
0
41.6666667
24,333,333.33
0
-0.05555556
19,967,555.56
L1
0
-3.5
L2
Xz -
1.77777778 4.055555556 1 -
Bi
-
0
-3
2.55555556 5.111111111 0
1
-0.11111111 185,111.11
1
2
1.38888889 2.777777778 0
0
0.02777778
L3 16,222.22
Después de realizar el Paso 7 revisamos el renglón que corresponde a nuestra ecuación a optimizar, comúnmente llamado LO en la tabla, buscando la variable más negativa y repitiéndose los pasos 5, 6 y 7. En el momento en el que no encontremos más variables negativas en el renglón de nuestra ecuación a optimizar, podemos decir que encontramos la solución óptima. Paso 8. Este es un paso adicional que hemos decidido introducir para analizar e interpretar los resultados arrojados por la tabla. Xa LO 0
Xl
Xm
U
V
Y
2200
1333.33333 3116.666667 0
0
41.6666667
24,333,333.33
0
-0.05555556
19,967,555.56
L1
0
-3.5
L2
Xz -
1.77777778 4.055555556 1 -
Bi
-
0
-3
2.55555556 5.111111111 0
1
-0.11111111 185,111.11
1
2
1.38888889 2.777777778 0
0
0.02777778
L3 16,222.22
10
Podemos representar las variables óptimas con sus valores en una tabla como la siguiente: Xa
16,222.22
U
19,967,555.56
V
185,111.11
Función Objetivo
24,333,333.33
De aquí podemos interpretar que para optimizar la función objetivo que se nos dio cumpliendo con los objetivos y sujeto a las restricciones presupuestarias; el número de árboles de aguacate que se deben sembrar es de 16,222.22, el sobrante del presupuesto, representado por la variable U, es de 19, 967,555.56 pesos; y el sobrante de terreno, representado con la variable V, es de 185,111.11 m2. El valor de las ganancias totales por la exportación fue de 24, 333,333.33 pesos. 1.2
F o r m u l a c i ó n M a t e m át i c a
Sean
el número de árboles de aguacate a ser sembrados, el número de árboles de lima reina a ser sembrados, el número de árboles de mangos a ser sembrados, el número de árboles de zapote a ser sembrados.
La notación usada para detonar todas las variables del problema. El valor promedio de la l a exportación (VPE) anual se puede representar por:
( ) ( ) 11
( ) ( ) La restricción correspondiente a la extensión de tierra t ierra laborable está dada por:
Dimensionalmente, se puede verificar que en efecto las unidades en ambos
Respecto a la inversión inversión inicial se tiene que lados de la desigualdad son
siendo pesos las unidades que prevalecen en ambos lados de esta última
desigualdad. Respecto a la condición de empleo mínimo que el Gobierno Federal se ha fijado, ésta puede representarse por:
siendo las dimensiones de esta desigualdad, las siguientes
)( ) ( ) ( ) () ( y ya simplificando, queda (horas-hombre)/año en ambos lados de la desigualdad. Finalmente, como él número de árboles, de cualquier especie, no puede ser negativo (en vez de sembrar, se destruye), se tiene que
12
Resumiendo, se tiene que el siguiente modelo matemático formula el problema en cuestión
Maximizar Sujeto a
2 .1 .1
U n p r o b l e m a e n u n n e g o c i o f a m i l i ar
Paso 1. Sean X1:
el número de patatas ensalada a ser fabricadas,
X2:
el número de puré patatas a ser fabricados,
X3:
el número de patatas inglesa a ser fabricadas,
X4:
el número de patatas congeladas a ser fabricadas,
La notación usada para denotar todas las variables del problema. El valor promedio del beneficio ( VPB) semanal se puede representar por:
Cuyas dimensiones están dadas por: Y las dimensiones de las ecuaciones a las que estamos sujetos:
13
Una vez que tenemos definidas nuestras ecuaciones, identificamos cual es la que vamos a optimizar. Para nuestro primer problema la ecuación a optimizar es:
E identificamos las ecuaciones a las que estará sujeta nuestra optimización. En este problema la optimización está sujeta a tres restricciones, estas son:
14
Paso 2. Sea:
la forma general de la ecuación a optimizar. Entonces:
es nuestra ecuación a optimizar en la forma general. Paso 3.
Paso 4. X1
X2
X3
X4
X5
X6
X7
Bi
LO -4
-5
-9
11
0
0
0
0
L1 1
1
1
1
1
0
0
15
L2 7
5
3
2
0
1
0
120
L3 3
5
10
15
0
0
1
100
Paso 5. X1
X2
X3
X4
X5
X6
X7
Bi
LO -4
-5
-9
-11
0
0
0
0
L1 1
1
1
1
1
0
0
15
L2 7
5
3
2
0
1
0
120
L3 3
5
10
15
0
0
1
100
Paso 6.
{ }
Paso 7. 15
X1
X2
X3
X4
X5
X6
X7
Bi
LO -4
-5
-9
-11
0
0
0
0
L1 1
1
1
1
1
0
0
15
L2 7
5
3
2
0
1
0
120
L3 3
5
10
15
0
0
1
100
La intersección en la tabla de la columna que entra y la que sale determina el elemento pivote. Aplicamos operaciones matriciales elementales en el pivote con objeto de convertir a la columna correspondiente en el vector unitario, es decir ceros en toda la columna, y un uno en la celda del renglón correspondiente, es decir el pivote. X1
X5
X6
X7
1.333333333 1.66666667 0
0
0
0.733333333 73.33333333
L1 0.8
0.666666667 0.33333333 0
1
0
-0.06666667 8.333333333
L2 0.6
0.333333333 1.66666667 0
0
1
-0.13333333 106.6666667
L3 0.2
0.333333333 0.66666667 1
0
0
0.2
LO -1.8
X2
X3
-
-
X4
Bi
6.666666667
Después de realizar el Paso 7 nos encontramos que en nuestro LO todavía existen números negativos. Por lo que repetimos el paso 5, 6 y 7. X1
X5
X6
X7
1.333333333 1.66666667 0
0
0
0.733333333 73.33333333
L1 0.8
0.666666667 0.33333333 0
1
0
-0.06666667 8.333333333
L2 0.6
0.333333333 1.66666667 0
0
1
-0.13333333 106.6666667
L3 0.2
0.333333333 0.66666667 1
0
0
0.2
LO -1.8
X1 LO
X2
X3
-
-
X2 -
-1.8
X4
{ } X3
X4
Bi
6.666666667
X5
X6
X7
Bi
0
0
0.733333333 73.33333333
-
1.333333333 1.66666667 0
16
L1 0.8
0.666666667 0.33333333 0
1
0
-0.06666667 8.333333333
L2 0.6
0.333333333 1.66666667 0
0
1
-0.13333333 106.6666667
L3 0.2
0.333333333 0.66666667 1
0
0
0.2
X2
X5
X6 X7
Bi 92.08333333
X1 LO
X3
X4
6.666666667
0
0.166666667 0.91666667 0
2.25
0
3.5
L1 1
0.833333333 0.41666667 0
1.25
0
-0.08333333 10.41666667
L2
-
-
0
1.166666667 1.08333333 0
-8.25
1
0.416666667 37.91666667
L3 0
0.166666667 0.58333333 1
-0.25
0
0.083333333 4.583333333
Podemos observar que en el renglón de nuestra ecuación LO aún se encuentra un número negativo, por lo que tenemos t enemos que repetir el proceso. X1
X2
LO
X3
X4
X5
X6 X7
Bi 92.08333333
0
0.166666667 0.91666667 0
2.25
0
3.5
L1 1
0.833333333 0.41666667 0
1.25
0
-0.08333333 10.41666667
L2
-
-
0
1.166666667 1.08333333 0
-8.25
1
0.416666667 37.91666667
L3 0
0.166666667 0.58333333 1
-0.25
0
0.083333333 4.583333333
X1
} {
X2
LO
X3
X4
X5
X6 X7
Bi 92.08333333
0
0.166666667 0.91666667 0
2.25
0
3.5
L1 1
0.833333333 0.41666667 0
1.25
0
-0.08333333 10.41666667
L2
-
-
0
1.166666667 1.08333333 0
-8.25
1
0.416666667 37.91666667
L3 0
0.166666667 0.58333333 1
-0.25
0
0.083333333 4.583333333
X1
X2
X3 X4
X5
X6 X7
Bi
17
LO 0
0.428571429 0
1.571428571 1.857142857 0
L1
0.714285714 99.28571429
1
L2
0.714285714 0
0.714285714 1.428571429 0
-
-0.14285714 7.142857143
-
0
0.857142857 0
1.857142857 8.714285714 1
0.571428571 46.42857143
L3 0
0.285714286 1
1.714285714 -0.43
0.142857143 7.857142857
0
En esta ocasión ya no tenemos ningún número negativo en LO, por lo que podemos decir que hemos encontrado la solución óptima. Paso 8. Ahora es momento de interpretar los datos datos de nuestra tabla. X1 LO 0
X2
X3 X4
0.428571429 0
X5
X6 X7
1.571428571 1.857142857 0
L1
Bi
0.714285714 99.28571429
1
L2
0.714285714 0
0.714285714 1.428571429 0
-
-0.14285714 7.142857143
-
0
0.857142857 0
1.857142857 8.714285714 1
0.571428571 46.42857143
L3 0
0.285714286 1
1.714285714 -0.43
0.142857143 7.857142857
0
Podemos representar las variables óptimas con sus valores en una tabla como la siguiente: X1
7.142857143
X3
7.857142857
X6
46.42857143
Función Objetivo
99.28571429
Luego, don Francisco y doña remedios deberán fabricar cada semana 7.14276 kg de patatas para ensalada y 7.857143 kg de patatas a la inglesa. La variable X6 nos indica que dado esta producción, quedará un sobrante de 46.4286 kilogramos en sacos de patata en su almacén. Su beneficio semanal ascenderá a 99.286 pesos.
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2.2
F o r m u l a c i ó n m a t e m át i c a
Conclusiones
Después de la realización de este trabajo hemos aprendido una aplicación más del álgebra lineal. Nos resulta interesante que la Programación Lineal tenga métodos tan sencillos para resolverse como lo es el método simplex y no por ello deje de sur un método tan eficiente en la toma de decisiones, especialmente en la Investigación de Operaciones. Podemos enumerar, tres elementos que surgieron a través de la elaboración de este trabajo. El primero de ellos, es que conocimos un poco de historia acerca de la Investigación de Operaciones y de cómo, en una situación tan compleja, debido a la intervención de tantos factores, como lo fue la Segunda Guerra Mundial; las matemáticas hayan jugado un papel tan importante para decidir cuáles eran las acciones que se debían de realizar. En segundo lugar, nos llamó mucho la atención la manera en la que la programación lineal, que fue el área de la Investigación de Operaciones que usamos para este trabajo, puede aplicarse en el campo de la economía, para alcanzar ciertos objetivos optimizando los recursos, ya sea maximizando los beneficios o minimizando los costos. Y por último, durante el proceso de investigación bibliográfica para la realización de nuestro trabajo nos encontramos con otros temas también muy llamativos que intentaban volver más exactas y realistas las decisiones tomadas, tal es el caso de la Programación Entera. En conclusión, el trabajo no sólo nos sirvió para conocer una aplicación adicional del álgebra lineal en el campo económico; de igual manera nos sirvió para entender como es que surgen este tipo de herramientas y nos dejó abierta la alternativa a conocer nuevos temas y métodos del universo de las matemáticas.
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Fuentes consultadas García Cabañes, J., Fdez. Martínez, L. y Tejera del Pozo, P.: “Técnicas de investigación operativa”. Tomo II. Ed. Paraninfo. Madrid 1990. Supervisado por:
Jose María Úbeda Delgado. Dr. Juan Prawda. (2004). Métodos y Modelos de Investigación de operaciones. México: Editorial Limusa S.A de C.V. Linear programming. (2012). In Encyclopædia Britannica. Retrieved from http://www.britannica.com/EBchecked/topic/342203/linear-programming
Simplex method. (2012). In Encyclopædia Britannica. Retrieved from http://www.britannica.com/EBchecked/topic/545391/simplex-method
George Dantzig. (2012). In Encyclopædia Britannica. Retrieved from http://www.britannica.com/EBchecked/topic/1090271/George-Dantzig
Operations research. (2012). In Encyclopædia Britannica. Retrieved from http://www.britannica.com/EBchecked/topic/682073/operations-research
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