Programación Lineal Ejercicios

Universidad de Santiago de Chile Facultad de Ingeniería Departamento de Ingeniería en Minas Laboratorio de Modelación y Simulación

Una empresa vitivinícola ha adquirido recientemente un terreno de 110 hectáreas. Debido a la calidad del sol y el excelente clima de la región, se puede vender toda la producción de uvas Sauvignon Blanc y Chardonay. Se desea conocer cuánto plantar de cada variedad en las 110 hectáreas, dado los costos, beneficios y requerimientos de mano de obra según los datos que se muestran a continuación. Variedad Sauvignon Blanc Chardonay

Costo [US$/Ha] 100 200

Beneficio [US$/Ha] 50 120

Mano de Obra [Días Persona / Ha] 10 30

Suponga que posee un presupuesto de US$ 10.000 y una u na disponibilidad de 1.200 hombres durante el horizonte de planificación. Se pide: 1. Formular un modelo de programación lineal que permita realizar un negocio económicamente rentable. Defina claramente variables, objetivo y restricciones. 2. Graficar las restricciones asociadas al modelo Programación Lineal. Detalle claramente el espacio de soluciones factibles (ESF) y las variables v ariables que lo delimitan. 3. Resolver el modelo utilizando Solver de Excel. Indique cuál es la solución óptima y valor óptimo asociado al problema, y el significado de cada uno de los valores obtenidos. 4. Se determina que, debido a mejoras tecnológicas en el proceso de producción, el costo de las variedades disminuye en un 10% y 5% para Sauvignon Blanc y Chardonay respectivamente. respectivamente. Considerando la información reciente, analice de forma gráfica y analítica los cambios recientes indicando las nuevas restricciones y solución óptima.

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Una cooperativa minera administra la venta de mineral de dos pequeñas minas de cobre en la III Región. El mineral disponible por semana de cada mina, las leyes, impurezas y el costo total por tonelada están dados en la siguiente Tabla: Mina 1 2

Leyes %Cu 2.10 2.80

Leyes %As 0.35 0.56

Leyes %Sb 0.25 0.52

Máxima Producción 1800 1200

Costo/ton ($/t) 36.500 42.500

Las condiciones establecidas para la venta a ENAMI son las siguientes: Tolerancia Mínima Máximo

% Cu 1.80

%As

%Sb

0.50

0.40

Valor venta $/t 56.000

La cooperativa puede vender el total de la producción de ambas minas; sin embargo, tiene un contrato para abastecer un mínimo de 650 toneladas. La cooperativa necesita encontrar los tonelajes a producir en cada mina que permitan maximizar sus ganancias de venta a ENAMI. ACTIVIDADES A DESARROLLAR 1. FORMULAR EL MODELO LINEAL AL CASO DE ESTUDIO (Variables, Restricciones y función de desempeño) 2. ENTREGAR EL PLAN MNA que permite el máximo valor para la empresa. 3. Considerar que debido a mejoramientos en le planta propia de concentración de ENAMI, se logra aumentar la tolerancia del Arsénico de 0.50% a 0.80% ¿Cuál es el nuevo plan y su valor? 4. ¿Cuál es la operación unitaria o tarea minera que Ud. recomendaría modificar para aumentar la eficiencia y el valor del plan minero? Fundamente.

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Una refinería puede comprar petróleo crudo ligero y pesado. El coste por barril de estos dos tipos de petróleo es de US$ 10 y US$ 9, respectivamente. De cada tipo de petróleo por barril se producen las siguientes cantidades de gasolina, keroseno y combustible para reactores. Variedad Petróleo crudo ligero Petróleo crudo pesado

Gasolina [%] 40 32

Keroseno [%] 20 40

Combustible [%] 35 20

La refinería tiene un contrato para entregar un millón de barriles de gasolina, cuatrocientos mil barriles de keroseno, y doscientos cincuenta mil barriles de combustible para reactores. Se pide: 1. Formular un modelo de programación lineal que permita satisfacer la demanda y minimizar los costos. Defina claramente variables, objetivo y restricciones. 2. Graficar las restricciones asociadas al modelo Programación Lineal. Detalle claramente el espacio de soluciones factibles (ESF) y las variables que lo delimitan. 3. Resolver el modelo utilizando Solver de Excel. Indique cuál es la solución óptima y valor óptimo asociado al problema, y el significado de cada uno de los valores obtenidos. 4. Se determina en base a estudios a nivel piloto que es posible obtener aceite lubricante, lo que significa un aumento en un 5% de los costos de producción. Variedad Petróleo crudo ligero Petróleo crudo pesado

Gasolina [%] 40 32

Keroseno [%] 20 40

Combustible [%] 35 20

Aceite lubricante [%] 5 8

Se den entregar un total de doscientos mil barriles de este nuevo producto. Frente al nuevo escenario, ¿es conveniente realizar el procesamiento del aceite lubricante? Resuelva el modelo considerando la información reciente, indicando si existe cambio en la solución óptima.

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Una empresa vende tres tipos de productos para la industria de la construcción y obras civiles. Para la fabricación de los productos se necesitan tres componentes esenciales, A, B y C. Los tipos de productos fabricados y sus componentes corresponden a los siguientes. Variedad Producto 1 Producto 2 Producto 3

Compuesto A [u] 1 2 2

Compuesto B [u] 1 1 1

Compuesto C [u] 0 2 1

Se dispone de 95.000 unidades de A, 80.000 unidades de B y 60.000 unidades de C. Los costos de producción e ingreso por concepto de venta se presentan a continuación. Variedad Producto 1 Producto 2 Producto 3

Costo de producción [US$/u] 20 30 10

Precio de venta [US$/u] 60 120 100

Se pide: 1.

Formular un modelo de programación lineal que permita maximizar el beneficio del negocio. Defina claramente variables, objetivo y restricciones.

2. Resolver el modelo utilizando Solver de Excel. Indique cuál es la solución óptima y valor óptimo asociado al problema, y el significado de cada uno de los valores obtenidos. 3. Suponga que la empresa desea fabricar una nueva variedad de producto. Variedad Producto 4

Compuesto A [u] 0

Compuesto B [u] 2

Compuesto C [u] 1

Costo [US$/u] 15

Precio [US$/u] 80

Frente al nuevo escenario, ¿es conveniente realizar el procesamiento del nuevo producto? Resuelva el modelo considerando la información reciente, indicando si existe cambio en la solución óptima.

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La compañía minería "La Disputada" tiene una mina a cielo abierto que se encuentra explotando Sulfuros de Cobre. El rajo tiene cinco sectores de explotación que se encuentran activas. En la siguiente tabla se entrega las siguientes características de cada sector. Sector Ley de cobre Capacidad de producción (Kt/d) Costo (US$/t)

1 1,2% 5 3,85

2 2,0% 5 4,2

3 1,2% 4 4,5

4 1,30% 4 4,4

5 2,2% 4 3,8

La mina cuenta con una planta de molienda y flotación que tiene una capacidad de 20000 toneladas diarias y además necesita ser alimentada con una ley de cabeza de 1.6%. Se le pide determinar la óptima planificación de producción según el caso. 1. Definición de problema de programación lineal y desarrollo de este utilizando Solver (Definir variables, restricciones y función objetivo). 2. Si existiera la posibilidad de aumentar la producción en alguno de los sectores, cual es la mejor opción de hacerlo. Indique en que sectores productivos no realizaría un aumento_ Justifique. 3. Se está probando una nueva tecnología de camiones autónomos en el sector tres, lo que con lleva a una reducción del 10% en sus costos unitarios de producción. ¿Existe algún cambio en la solución óptima inicial? Explique. Determine si existe un cambio en la solución. 4. Se pretende realizar una nueva fase en el rajo, con lo que aumentaría la capacidad de producción de los sectores productivos en 2,5; 1; 2; 2 y 4 Kt respectivamente. Además, se estima un aumento del 5% en los costos unitarios de cada sector. Considerando que la planta solo puede aumentar su capacidad de tratamiento en 7,5 Kt, indique recomendaciones o críticas al nuevo plan. 5. A medida que se fue avanzando con la explotación se registró un cambio en la mineralización en los pozos de perforación, con lo que en el sector 3 ahora existe una ley medía de 3%. Determine la nueva solución. 6. Por problemas en uno de los molinos dentro de la planta se debe disminuir temporalmente la capacidad de esta, en 7 mil toneladas diarias. Explique la información entregada para la planta, desde el punto de vista del análisis de sensibilidad e indique como va afectar a la producción mina. Determine la nueva solución.

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Considerar una explotación subterránea por Block Caving, en la cual existen tres áreas de extracción de mineral con diferentes características de ley y dureza. El plan minero contempla mantener una alimentación a chancador SAG de 60.000 tpd, con un 30% máximo del sector ALMAGRO debido a la dureza del mineral aportado. El sector BALTAZAR tiene una capacidad de extracción mineral de 55.000 toneladas. De acuerdo al régimen de concentración, se recomienda que el mineral alimentado contenga una ley mayor a 0,95% Cu y menor a 1,25% Cu. Los minerales aportados contienen arsénico, no deseado en el proceso de concentración, y está limitado a un máximo de 0,5% en la mezcla. La Gerencia Mina requiere un plan diario con un costo de producción promedio de horas-persona (HP) menor a 51, y que maximice el valor por tonelada. Planificación Mina indica que las reservas, leyes, costo de producción expresado en HP y el valor por tonelada esperado, son las mostradas en la siguiente tabla: MINA ALMAGRO BALTAZAR MELCHOR

Reservas (kt) 500.000 620.000 450.000

Leyes (%Cu) 1.50 0.85 1.10

Costo (HP) 56 45 60

% As 0.30 0.60 0.45

Valor ($/t) 65 52 56

1. FORMULAR EL MODELO LINEAL AL CASO DE ESTUDIO a. Definición de las variables a usar (características y atributos) b. Definición de las restricciones del problema, en términos de las variables establecidas. c. Definición de la función de desempeño a emplear para resolver el caso de estudio. 2. ¿Cuál es el plan minero que usted recomienda? 3. ¿Cuál es el plan minero, el caso que se proponga ampliar la capacidad de la molienda SAG en 80.000 tpd y su valor? 4. Se contempla agregar un proceso de tostación para eliminar los contenidos de arsénico, y aumentar el máximo permitido a 0.55%. ¿Cuál es el resultado del plan en estas nuevas condiciones? 5. Considerar que es posible aumentar la participación del Sector ALMAGRO a 40%, ¿Qué ocurre con el plan optimo, y que ventaja ofrece?

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La compañía de distribución de insumos para la metalurgia ANDES S.A. (CODIMAS) dispone de dos procesos de reacción mediante los cuales debe producir tres tipos de colectores, que serán utilizados en procesos de flotación. Con el primer proceso se produce 1 [kg/hr] del colector I, 2 [kg/hr] del colector II y 3 [kg/hr] del colector III. En el segundo proceso se produce 3 [kg/hr] del colector I, 5 [kg/hr] del colector II y 4 [kg/hr] del colector III. El régimen de trabajo contempla un total de 10 horas disponibles al día para cada uno de los procesos. La gerencia de CODIMAS ha determinado las siguientes condiciones: • • • • •

La cantidad de colector II no puede sobrepasar los 20 [kg/día] La cantidad de colector I debe ser mayor o igual a los 4 [kg/día] La cantidad de colector III debe ser por lo menos 3.5 [kg/día] El proceso I no puede superar en un máximo de 4 horas al día el tiempo del proceso II Los colectores I, II y III son comercializados a 22 USD/kg, 62 USD/kg y 37 USD/kg, respectivamente.

1. FORMULAR un modelo de programación lineal que permita a CODIMAS correr de la mejor forma posible ambos procesos, de tal forma que se puedan maximizar las utilidades por la venta de ambos colectores. Defina claramente variables, función objetivo y restricciones. 2. Graficar el espacio de soluciones factibles (ESF) utilizando el método que usted estime conveniente, determinando las variables que lo delimitan. RESUELVA el modelo utilizando Solver de Excel. Indique cuál es la solución óptima de este problema, y el significado de cada uno de los valores obtenidos. 3. Suponga que CODIMAS ha debido enfrentar una inestabilidad considerable en los precios de los surfactantes, lo que le ha obligado a ir cambiando los precios de cada colector en los últimos 2 meses. La referencia histórica de dichos precios es la siguiente: MES Febrero Marzo

COLECTOR 1 24 USD/kg 20 USD/kg

COLECTOR 2 56 USD/kg 64 USD/kg

COLECTOR 3 31 USD/kg 27 USD/kg

Utilizando las mismas restricciones consideradas en (1), obtenga las utilidades máximas para cada caso. A partir de lo anterior, explique la relación gráfica que puede deducirse de estos cambios en los precios con respecto al ESF del problema. 4. A partir de mejoras tecnológicas fue posible producir un cuarto tipo de colector que será utilizado en procesos de flotación, donde el proceso 1 y 2 producen 5 [kg/hr] y 1 [kg/hr], respectivamente. La Gerencia de CODIMAS ha determinado que la cantidad de este colector no puede ser menor a 2 [kg/día], además que su valor de comercialización es de 42 USD/kg. Determinar las nuevas restricciones y graficar el espacio de soluciones factibles (ESF) utilizando el método que usted estime conveniente. RESUELVA el modelo utilizando Solver de Excel. Indique cuál es la solución óptima de este problema, y el significado de cada uno de los valores obtenidos. ¿Se ve afectado el ESF?

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La administración de la empresa minera ALUMEX S.A., se dedica exclusivamente a la producción de aleaciones para la fabricación de artículos no planos. Dicha empresa produce dos clasificaciones de aleaciones de metal, tipo A y B, los cuales posee límites específicos en el contenido de sus componentes. La Gerencia de la empresa, con miras a obtener mayores utilidades en la producción de aleaciones metálicas, desarrolló un análisis composicional de tres tipos de rocas mineralizadas. Mineral 1 2 3

Cantidad Máxima (ton) 1000 2000 3000

Constituyentes (%) Aluminio

Silicio

Hierro

Magnesio

Otros

Costo (USD/ton)

20 10 5

10 20 5

30 30 70

30 30 20

10 10 0

30 40 50

Venta (USD/ton) 250 350 220

Además de dicha información dispuesta, el personal de la planta realizó una caracterización de los tipos de aleaciones que se desean obtener, con el fin de estandarizar la calidad de sus productos. Esta información es presentada en la siguiente tabla: Aleación

A

Especificaciones Máximo 80% de Aluminio Máximo 30% de Silicio Entre 30% y 55% de Hierro Mínimo 15% de Magnesio Máximo 20% de otro Metal

Aleación

B

Especificaciones Entre 40 y 60 % de Silicio Mínimo 30% de Hierro Máximo 70% de Magnesio Máximo 30% de otro Metal Mínimo 7% de Aluminio

Debido a las oscilaciones del mercado de los metales, es de suma importancia cumplir la demanda de los compradores, correspondiente a 1.5 kton de aleaciones de tipo A y 2.5 kton de tipo B. Sabiendo que el precio de la aleación tipo A y B, son 200 USD/ton y 300 USD, respectivamente. 1. FORMULAR un modelo de programación lineal que permita a ALUMEX S.A obtener la mayor cantidad de aleaciones tipo A, de tal forma que se puedan maximizar las utilidades asociados a la adquisición de las materias primas. Defina claramente variables, función objetivo y restricciones. 1. Graficar el espacio de soluciones factibles (ESF) utilizando el método que usted estime conveniente. RESUELVA el modelo utilizando Solver de Excel. Indique cuál es la solución óptima de este problema, y el significado de cada uno de los valores obtenidos. 2. Planificación ha determinado que se debe explotar un sector con presencia de mineral 2 y 3, por lo que los costos de estos se vieron reducidos en un 20%. A partir de esto, explique la relación que puede deducirse de estos cambios en los costos con respecto la solución óptima del problema y ESF. 3. En la exploración del yacimiento se encontró otro tipo de mineral con 37% de aluminio, 33% de Silicio, 10% Plomo, 10% Manganeso y 10% de Hierro. Considerando que este mineral posee un costo de extracción de 65 USD/ton, su precio de comercialización corresponde a 270 USD/ton y una disponibilidad máxima de 2500 ton. FORMULAR un modelo de programación lineal que permita maximizar las utilidades de la aleación tipo A. Defina claramente variables, función objetivo y restricciones. Determine solución óptima. Comente la contribución del nuevo mineral a la solución óptima, además del tipo de restricción que es.

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Debido a una serie de malas decisiones técnico-administrativas, Compañía Minera Gestión Minera S.A, (CMGMSA, subsidiaria de Milpo S.A)  ha contratado sus servicios como asesor técnico para enmendar esta situación. La empresa posee una pequeña operación minera en Perú, Cerro Lindo, productora de Cobre y Zinc. El programa de trabajo contempla, por el momento, dos puntos de extracción (Costa Uno y Cerro Uno); las condiciones actuales están sujetas a la información proveniente de Superintendencia Mina (ver tabla). Puntos de Extracción

Ley de Zn (%)

Ley de Cu (%)

Costa Uno Cerro Uno

4.2 4.5

3.1 2.5

Costo Producción (USD/t) 2.8 2.1

Mineral Disponible (Kton) 4.5 3.8

Razón de Remoción (L/M) 2.5 2.0

Junto a lo anteriormente expuesto, añadir que la capacidad Mina es de 12 Ktpd. Por su parte, Planta exige una alimentación mínima de 3.3 Ktpd, una ley de Cobre de, al menos, 2.3% y no mayor a 4.4% para Zinc, con una capacidad máxima de 4 Ktpd. 1. FORMULAR un modelo de programación lineal, de manera tal que su elección sea la más adecuada para la compleja situación que atraviesa esta empresa. Defina claramente variables, función objetivo y restricciones. 2. Señalar las condiciones que lo delimitan el ESF. RESUELVA el modelo utilizando Solver de Excel. Indique cuál es la solución óptima de este problema, y el significado de cada uno de los valores obtenidos. 3. Debido a las buenas leyes en el Sector Cerro Uno, planificación ha decidido extraer más mineral de este sector, por lo que la disponibilidad de Mineral se ha reducido en 0.5 Kt. Explique los efectos que tiene esta medida en el espacio de soluciones factibles y solución óptima. 4. Gracias a la inversión por parte del consorcio, ahora es posible aumentar el ingreso mínimo a planta en 0.1 Ktpd, además de reducirse en un 5% los costos asociados a cada sector. Describa la nueva situación frente a los cambios. 5. Por mal infortunio de la empresa, un nuevo estudio g eológico revela una disminución de leyes de Cu en el sector Cerro Uno en 0.7%. Se pide determinar los posibles cambios respecto a lo primeramente evaluado. 6. Debido a que no fueron suficientes las medidas tomadas en los dos sectores iniciales, se decidió comenzar la explotación del sector  Andes Uno, el cual había sido previamente evaluado. Dicho sector presenta las siguientes características: Costo Mineral Disponible Razón de Ley de Zn (%) Ley de Cu (%) producción (Kton) Remoción (L/M) (USD/t) 4.1 2.9 2.5 7.5 5.5 Indicar las nuevas variantes que ofrece la integración de este sector (solución óptima y significado de cada uno de los valores obtenidos) 7. Si los valores obtenidos en el mercado por los sectores Costa Uno, Cerro Uno y Andes Uno, corresponden a 22.8 USD/ton, 24.1 USD/ton y 34.5 USD/ton, respectivamente. ¿Cuál será la máxima utilidad que puede obtener Milpo SA? ¿Bajo qué tasas de producción?

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La empresa Agrícola Nacional S.A (Anasac) se encuentra en un proceso de reformulación para gran parte de sus productos domésticos. Dentro de los elementos que están en estudio, el producto “ Tierra Biológica Anasac” requiere de

una redistribución de sus componentes, a fin de optimizar su producción. La empresa ha solicitado sus servicios como Asesor Experto en Gestión Industrial, y ha entregado la siguiente información: Componente Humus de Lombriz Tierra de Hoja Turba Perlita

Contenido Contenido Contenido Costo de N (%) de P (%) de K (%) (USD/ton)

Disponibilidad Precio por día (ton) (USD/ton)

4.00

5

1.25

14.0

35

28

7.50 2.00 0.15

2 8 0

0.25 0.30 0.05

12.8 16.5 18.0

43 37 24

27 25 43

Además, Anasac pide tomar en cuenta, por condiciones contractuales con sus principales clientes, un abastecimiento mínimo de 85 toneladas/día, con un contenido de Tierra de Hoja máximo del 25% del total, un mínimo del 10% del contenido en Perlita, y un contenido de Turba de, al menos, el 15% del contenido de Tierra de Hoja y Perlita presentes en la muestra. El departamento de Ventas de Anasac, planifica que la Tierra Biológica debe ser comercializada en 120 USD/ton. Por recomendaciones del equipo de Investigación Agropecuaria de la empresa, la mezcla debe contener, al menos, un 4% de Nitrógeno (N), un 3.6% de Fósforo (P) y un 0.35% de Potasio (K). Se pide: 1.

2.

3.

4.

FORMULAR un modelo de programación lineal, de manera tal que su elección sea la más adecuada para la situación que atraviesa esta empresa. Defina claramente variables, función objetivo, su valor y sus correspondientes restricciones. Debido a problemas con los trabajadores de la planta abastecedora de Perlita, sólo se dispone de 9 toneladas por día, mientras que la planta de Humus de Lombriz aumentó su disponibilidad en un 20% ¿Hay cambios en la producción y/o en la utilidad? Indique. Durante las próximas semanas,  Anasac  firmará contrato con un importante cliente para la venta de este producto, requiriendo un aumento en el abastecimiento mínimo diario y su disponibilidad de Materias primas en un 10%: 3.1 ¿Qué implicancias conlleva este nuevo escenario? ¿Convendría firmar este nuevo contrato? Indique. 3.2 Además del aumento comentado, el nuevo Cliente solicitará a  Anasac una nueva fórmula para sus cultivos, sin Perlita, y sin un mínimo de Turba establecido. ¿Cuál será el nuevo contenido de “Tierra Biológica” ? ¿Hay variación en la utilidad del producto? ¿Qué restricciones delimitan el ESF? ¿Qué restricción cambiaría Ud. para aumentar la utilidad del producto? Comente al respecto. El Departamento de Marketing ha dispuesto sacos con capacidad máxima de 100 kg, en las cuales irán impresos los nombres de los componentes, además del nombre comercial del producto. Determinar la utilidad de la Tierra Biológica , si el costo de los sacos es 2 USD, y etiquetado de 1,50 USD por saco.