Programacion Lineal - Cusi Alvarado

INVESTIGACION DE OPERACIONES I PROGRAMACION LINEAL Ejercicios de Aplicación

Cusi Alvarado Julio Cesar

24/06/2012

EJERCICIOS DE PROGRAMACIÓN LINEAL Ejercicios Nº9

BGC fabrica camisas para caballeros y blusas para damas al almacén WD. El proceso de producción incluye corte, costura y empacado. BGC emplea a 25 trabajadores en el departamento de corte, a 35 en el departamento de costura y a 5 en el departamento de empacado. La fábrica trabaja un turno de 8 horas, sólo 5 días a la semana. La siguiente tabla proporciona los requerimientos de tiempo y la utilidad por unidad para las dos prendas.  Prenda Camisas  Blusas

 Minutos Por Unidad x Trabajador Corte Costura Empacado 20 60

70 60

12 4

Unidad  $ 2.50 $ 3.20

Determine el programa de producción semanal óptimo para BGC: Solución: i) Declaraciones de Variables X= Cant. de Camisas para Caballeros que deben Fabricarse semanalmente X2=Cantidad de Blusas para Damas que deben Fabricarse Semanalmente

ii) Función Objetivo MAXIMIZAR Z = 2,50 Xc + 3,20 Xb

iii) Restricciones:

(1) + 60 Xb < = 84.000………………. (2) + 4 Xb < = 12.000………………….. (3)

20 Xc + 60 Xb < = 60.000……………… 70 Xc 12 Xc

iv) Condición Técnica: Xc, Xb > = 0 (4) Solución Gráfica: 

Xc = 480 y Xb = 840

Z = 2,50 (480) + 3,20 (840)

Rpta: Zmáx = $ 3.888,00

Ejercicio Nº13 La empresa W.W tiene sólo tres empleados que hacen dos tipos de ventanas a mano: con marco de madera y con marco de aluminio. La ganancia es de $60 por cada ventana con marco de madera y de $30 por cada una con marco de aluminio. Doug hace marcos de madera y puede terminar 6 al día. Linda hace 4 marcos de aluminio por día. Bob forma y corta el vidrio y puede hacer 48 pies cuadrados de vidrio por día. Cada ventana con marco de madera usa 6 pies cuadrados de vidrio y cada una de aluminio, 8 pies cuadrados. La compañía desea determinar cuántas ventanas de cada tipo debe producir al día para maximizar la ganancia total SOLUCION: i) Declaraciones de Variables  Marco de madera  x1  Marco de Aluminio  x2

 x  1  x  2

Empleado Empleado 1 2 6 0 0 4

ii) Función Objetivo  Max ( Z )  60 x1  30 x2

Vidrio

Ganancia

6 8 48

30 60 60 x1  30 x2

iii) Restricciones:  x  1

6

 x2  4 6 x1  8 x2  48

Igualando las restricciones:   x  1

6

 x2  4 6 x1  8 x2  48

Tabulando: 

R1  x  1

R2  x  1

 x  2

0 0 0 6

R3

 x  1

 x  2

0 4 0 0

 x  2

0 6 8 0

Hallando La Pendiente: m = - 60/30 = -2 Entonces Angulo    63.4349

Sacando valores para x1 , x2 :

 x1  x2  6

 6 x1  0 x2  36 6 x1  8 x2  48 8 x2  12

 x2 

3 2

3 6 x1  8    48 2 6 x1  36  x1  6

Reemplazando en: max Z = 60x1 +30x 2

3 max Z = 60 (6) +30   2 max Z = 405

Conclusión: Se necesitan, 6 marcos de madera y 1 marco y medio de aluminio, Para maximizar La ganancia y obtener $ 405.

3.- > Larry Edison es el director del centro de cómputo de BC. Él debe programar las horas de trabajo del

personal del centro. Abre de las 8 am a la media noche. Larry estudió el uso del centro en las diferentes horas del día y determinó los siguientes números de asesores en computación necesarios: HORARIO

Mínimo de Asesores  requeridos 

08 am – 12 am 12 am – 4 pm 4 pm – 8 pm 8 pm – 12 am

4 8 10 6

Los asesores de tiempo parcial pueden trabajar en los cuatro turnos enumerados en la tabla anterior y ganan $12 por hora. Un requisito adicional es que durante todos los períodos debe haber al menos dos asesores de tiempo completo por cada uno de tiempo parcial. Larry desea determinar cuántos asesores de tiempo completo y cuántos de tiempo parcial debe haber en cada turno para cumplir con los requisitos a un costo mínimo. Solucion: i).- Declaración de variables . Ci = Asesores a tiempo completo a contratar en cada turno. Pj = Asesores a tiempo parcial a contratar en cada turno.

Elaboramos las tablas que indiquen la distribución de cada uno de ellos para facilitar el enfoque de resolución del problema: Turnos para Asesores Ci  HORARIO

Identificación 

08 am – 4 am 12 am – 8 pm 4 pm – 12 pm

C1 C2 C3

Turnos para Asesores Pi  HORARIO

Identificación 

08 am – 12 am 12 am – 4 pm 4 pm – 8 pm 8 pm – 12 am

P1 P2 P3 P4

Turno de 8 am a 12 am: C1 + P1 Turno de 12 am a 4 pm: C1 + C2 + P2 Turno de 4 pm a 8 pm: C2 + C3 + P3 Turno de 8 pm a 12 pm: C3 + P4 Los asesores a tiempo completos ganan $14 por hora y trabajan turnos de 8 horas (cada uno gana 14x8 = $112 por turno) Los asesores a tiempo parcial ganan $12 por hora y trabajan turnos de 4 horas (cada uno gana 12x4 = $48 por turno). Aclarados todos estos aspectos podemos expresar el Modelo de Programación Lineal ENTERA como:

ii) función objetivo:

MINIMIZAR Z = 112 (C1+C2+C3) + 48 (P1+P2+P3+P4)

iii) Restricciones: - Mínimo de asesores por turno (Tomando en cuenta el horario indicado en el enunciado del problema) : C1 C1 C2 C3

+ + + +

P1 > = 4 ……………………………..….(1) C2 + P2 > = 8 ……………………….…(2) C3 + P3 > = 10 …………………………(3) P4 > = 6……………………………….. (4)

- Requisito adicional (Ci > = 2Pj) C1 C1 C2 C3

> + + >

= 2 P1 ……………………………….…..(5) C2 > = 2 P2 …………………………….. (6) C3 > = 2 P3 …………………………..… (7) = 2 P4 ……………………………………(8)

- Condición de no negatividad: Ci , Pi > = 0 ……………………………………..(9) Solución no gráfica:

Al utilizar cualquier programa de MPL (entera) para computadoras obtendremos la siguiente solución: C1 = 3 C2 = 3 C3 = 4 P1 = 1 P2 = 2 P3 = 3 P4 = 2 Zmín = 112 (3+3+4) + 48 (1+2+3+2) Zmín = $ 1.504,00

4.- > Lea con atención el siguiente enunciado: “Una

fábrica de

aparatos electrónicas puede

tener una

producción diaria de televisores de pantalla plana mínima de 300  y máxima de 600; en lo que se refiere a televisores con pantalla de cristal liquido la producción diaria fluctúa entre 200 y 500 unidades. Para mantener una calidad optima en su producto debe de fabricar un máximo de 900 unidades entre ambos tipos de televisor. El costo de producción de un televisor de pantalla plana es de $ 3,400.00. y el de pantalla de cristal liquido es de $ 5,600.00 Cada televisor de pantalla plana se vende a $ 6000.00, y cada televisor de pantalla de cristal liquido se vende a $ 10800.00. La fabrica desea maximizar las utilidades." En base a dicha información: escriba un planteamiento para resolver por programación lineal. Solución: i) Declaraciones de Variables

 x 

1

=

Cantidad de Televisores con Pantalla Plana que deben 

Producirse al día   x  = Cantidad de Televisores con Pantalla Vidrio Liquido que  2 deben Producirse al día 

ii) Función Objetivo

El Modelo de Programación Lineal (MPL) quedará expresado como: MAXIMIZAR

 Z  6,000.00x1  10,800.00 x2

iii) Restricciones:  x  1

 600 ……………

(1)

 300

…………… (2) 2  500 ………….… (3) 2  200 ……………(4)

 x 1  x 

 x 

 x1  x2  900

……………(5)

 x1 , x2  0

Solución Grafica:

5.- > Un dietista está planeando el menú de la cena de un comedor universitario. Se servirán tres alimentos principales, todos ellos con distinto contenido nutricional. El dietista quiere suministrar por lo menos la ración mínima diaria de tres vitaminas en la cena. En la siguiente tabla se da el contenido vitamínico por gramo de cada tipo de alimento, el costo de un gramo de cada alimento y la ración diaria mínima de las tres vitaminas. Alimento

1 2 3 Ración diaria Mínima en Miligramos

Contenido de Vitaminas en Miligramos A B C 2.0 0.8 0.4 1.2 0.4 2.0 0.8 1.2 0.8 290 200 210

Costo por Gramo

$0.10 $0.15 $0.12

Puede seleccionarse cualquier combinación de los tres comestibles a condición de que el tamaño de la porción total sea de cuando menos 225 gramos. a) Halla como estará integrado el menú del menor costo. b) Halla el costo mínimo. Solución: i) Declaración de Variables:

Cantidad mínima de vitaminas del tipo 1 que se suministrara  Cantidad mínima de vitaminas del tipo 2 que se suministrara  Cantidad mínima de vitaminas del tipo 3 que se suministrara ii) Función Objetivo: 

 x  1  x 

2

 x 3

 Z

min 

0.10 x  0.15x  0.12x 1 2 3

iii) Restricciones: 2.0 x  1.2 x  0.8 x  240 ………………………………. 1 2 3

(1)

0.8 x  0.4 x  1.2 x  200 ………………………………. 1 2 3

(2)

0.4 x  2.0 x  0.8 x  210 ………………………………. 1 2 3

(3)

 x  x  x  255 ………………………………. 1 2 3

(4)