Progamação Linear

Agrupamento de Escolas de Aljustrel Escola Secundária com 3º ciclo de Aljustrel Ano lectivo 2015/2016 11ºAno, Turma 1A

Isilda Moreira, nº25 Maria Godinho, nº10 1 Aljustrel, Janeiro de 2016

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Introdução…………………………………………………………………………p.3 História……………………………………………………………………………..p.4 Alguns conceitos…...............................................................p.5 Definição de programação linear………………………………………p.6 Resolução de um problema……………………………………………….p.7 Conclusão………………………………………………………………………….p.13 Bibliografia……………………………………………………………………….p.14

2 Aljustrel, Janeiro de 2016

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Este trabalho foi-nos proposto pelo professor Luís Martins da disciplina de Matemática A e cujo tema faz parte do programa escolar do 11º ano de escolaridade. Programação Linear é uma área importante da optimização por várias razões que irão ser abordadas mais à frente neste trabalho. Esta é útil para conduzir a decisões relativas nos negócios, empresas de engenharia industrial, software e resoluções de vários problemas do mundo actual.

3 Aljustrel, Janeiro de 2016

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À semelhança de outros ramos científicos, a Programação Linear tem raízes na Antiguidade Clássica ou talvez na Antiguidade Oriental, uma vez que a optimização é um tema que sempre preocupou o Homem. Durante os séculos XVII e XVIII, desenvolveram-se métodos de cálculo os quais permitiram resolver os problemas de optimização, como por exemplo, problemas de extremos condicionados com restrições de igualdade, sendo notáveis os contributos dados por alguns cientistas da época como: Newton, Fermat, Leibniz, Lagrange e Bernoulli. O grande salto da Programação Linear é dado através das aplicações em problemas de transportes na década de 40 (em particular, pelas Forças Armadas durante a Segunda Guerra Mundial). Em 1947, Dantzig apresentou o Método Simplex   que tornou possível a solução de problemas de optimização de vários tipos como transportes, produção, locação de recursos e problemas de escalonamento. Um ano mais tarde, Dantzig e Koopmans encontraram-se na praia de Santa Mónica e Koopmans disse: «Why not shorten “Programming in a Linear Structure” to “Linear Programming”?» ao que Dantzig respondeu: «That’s it! From now on that will be its name.». Acabando assim por se designar programação linear. Com a apresentação do Método Simplex,  Programação Linear, teve um grande impulso, pois contribuiu bastante para contribuições de economistas e matemáticos, e para o desenvolvimento da informática. Tudo isto contribui-o para a evolução acelerada nas últimas décadas.

Fig.1: Dantzig

Fig.2: Koopmans

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Conjunto de regras que hão-de levar à solução de um problema.

Num problema de optimização tenta-se maximizar ou minimizar uma função das variáveis de decisão. À função que deverá ser maximizada ou minimizada chama-se função objectivo, e poderá ser linear ou nãolinear. Conjunto de pontos que satisfazem todas as restrições .

: Quando a operação é definida pelo utilizador, este vai seleccionar o plano. Após estarem satisfeitos estes requisitos determina-se a recta de nível do plano. Para determinar a recta de nível do plano, é feita a intercepção de um plano de nível (com a mesma cota da recta de nível pretendida), com o plano seleccionado. Como a intercepção de dois planos é uma recta, está determinada a recta de nível do plano.

: Consiste em relacionar cada actividade e recursos utilizados e respeitar a disponibilidade de recursos. Muitas das vezes, as restrições são escritas através de inequações ou equações lineares.

5 Aljustrel, Janeiro de 2016

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A Programação Linear é considerada uma ciência voltada para a resolução de problemas reais, e procura trazer para o campo de tomada de decisões (Economia, Medicina, Agricultura, etc.) os métodos próprios de outras áreas científicas; refere-se a um conjunto de métodos cujo objectivo principal é tirar o maior proveito possível de sistemas económicos como por exemplo: industriais, militares, etc. cuja estrutura possa ser definida matematicamente. Um Programa Linear é um problema de optimização em que a função que se pretende optimizar (função objectivo) é linear e está sujeita a restrições (geralmente inequações lineares) que redefinem o seu domínio, ou seja, num problema de Programação Linear pretende-se determinar o óptimo de uma função linear num conjunto convexo que resulta da intersecção de inequações lineares. Num Programa Linear, a optimização poderá ser maximização ou minimização da função objectivo, e as restrições podem ser do tipo ≤ , =, ≥ . Destina-se, essencialmente, a administradores, engenheiros, técnicos, com o objectivo de, por exemplo, minimizar custos ou maximizar lucros.

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Problema:

Uma loja de roupa em Barcelos tem em stock 90 T-shirts e 50 calças de ganga, que pretende pôr a venda nos saldos que se irão realizar na próxima semana. A loja vai colocar em saldos dois tipos de conjuntos diferentes: Conjunto A: 2 T-shirts + 1 par de calças de ganga, com o preço de 30€. O conjunto B: 3 T-shirts + 2 pares de calças de ganga, com o preço de 45€. Quantos conjuntos de cada tipo deve o dono da loja vender para que consiga obter o máximo de lucro?

Resolução: Depois de uma leitura atenta ao problema começamos por fazer uma tabela com os dados que os são fornecidos no problema. Nestas tabelas também são inseridas as incógnitas que vamos utilizar e a respectiva legenda. É a partir desta tabela que vamos obter a nossa “função objectivo” que é t ambém uma função linear.

A B

2 3 y 90 

1 2 y 50 

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L= 30x+45y pois o lucro é igual à soma do número de conjuntos multiplicado pelo preço de cada um deles ( tomando como variável “ ” o conjunto A e como variável “y” o conjunto B). 

• A primeira equação (2  + 3y ≤ 90) significa que a venda das T-shirts, seja qual for o conjunto, não pode ultrapassar as 90 peças. 

• A segunda equação (  + 2y ≤ 50) significa que a venda das calças de ganga, seja qual for o conjunto, não pode ultrapassar os 50 pares. 

• As equações ≥ 0 e y ≥ 0 impõem que a venda de conjuntos não seja negativa. 

A solução do problema seria  = 30 e y = 10, ou seja, para se atingir o lucro máximo teria que se vender 30 conjuntos do tipo A e 10 conjuntos do tipo B. 

8 Aljustrel, Janeiro de 2016

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Quando traçamos a reta 2 +3 y=90 obtemos o seguinte gráfico: 

9 Aljustrel, Janeiro de 2016

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Quando traçamos a reta +2 y=50 obtemos o seguinte gráfico: 

Quando traçamos as duas retas com as devidas restrições obrtemos o seguinte gráfico:

10 Aljustrel, Janeiro de 2016

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O gráfico terá 3 soluções possíveis: 

(0;25)



(45;0)

11 Aljustrel, Janeiro de 2016

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

(30;10)

1º- Ligar a máquina e escolher a opção “graph” no menu. 2º- Seleccionar a tecla “F3” (type no visor) e de seguida “F6” (seta) e a tecla “F4”. 3º- Inserir as inequações. ( 2x + 3y ≤ 90 e 50 x + 2y ≤ ). 4º- Seleccionar a tecla “F3” (type no visor) e de seguida “F6” (seta) e desta vez a tecla “F3”. 5º - Inserir a equação y ≥ 0 6º- Seleccionar a tecla “EXE” para esboçar o gráfico. 7º- Seleccionar a tecla “shift” e de seguida “F3” para aceder a opção “v window” para ajustar com as seguintes opções: • Xmin:0 (para dar a ideia d x ≥ 0  já que tal não é função). • Xmax:45 • Ymin:0 • Ymax35 8º- Seleccionar a tecla “shift” e de seguida “F5” para aceder à opção “G -Solv”, em que se seleccionará de seguida a tecla “F5” para aceder à opção “ISCT” que lhe dará as intercepções, sendo estas algumas das soluções possíveis, sendo elas (0,25), (45,0) e (30,10)

12 Aljustrel, Janeiro de 2016

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0 45 30

25 0 10

1125 1350 1350

De acordo com os resultados obtidos podemos concluir que vendendo 45 conjuntos do tipo A, ou 30 conjuntos do tipo A e 10 conjuntos do tipo B, o lucro seria de 1350€, sendo ambas a solução ideal. A Programação Linear apresenta uma grande aplicabilidade no quotidiano, estando presente em diversas áreas como indústria, situações militares, agricultura e apresentando o seu desenvolvimento máximo na área económica, como já foi referido anteriormente. Daí ser muito importante estarmos familiarizados com os problemas que a programação linear nos permite resolver. Relativamente ao nosso problema, a programação linear possibilitou-nos a tomada de decisão em termos de planeamento, com o intuito de maximizar a receita máxima de uma loja de artigos de desporto. Este trabalho permitiu-nos pôr em prática os conhecimentos adquiridos na aula, aprofundando os mesmos e dando-nos uma perspectiva mais ampla das aplicabilidades e importância da Programação Linear.

13 Aljustrel, Janeiro de 2016

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https://pt.wikipedia.org/wiki/Programa%C3%A7%C3%A 3o_linear https://pt.wikibooks.org/wiki/Pesquisa_operacional/Intr odu%C3%A7%C3%A3o_%C3%A0_Programa%C3%A7%C3 %A3o_Linear http://pwp.net.ipl.pt/deea.isel/jsousa/Doc/SIG2005.pdf Livro utilizado na disciplina

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