Prof. Gennaro Olivieri - Appunti Matematica Finanziaria 2 (LUISS)

Appunti delle lezioni di Matematica Finanziaria a.a. 2007/2008 G. Olivieri, G. Foschini, M. Staffa II parte

1

Indice Capitolo 2: Le operazioni finanziarie composte............................................. 3 1 Introduzione.................................................................................................... 3 2 Le rendite ........................................................................................................ 3 2.1 Valore capitale di una rendita.................................................................... 4 3 Il Bootstrapping............................................................................................ 10 4 Classificazione delle rendite ........................................................................ 13 6 Valutazione di rendite con rate costanti a tassi costanti .......................... 14 6.1 Il Valore attuale di rendite intere e periodiche............................................................. 14 6.2 Il Montante di rendite intere e periodiche.................................................................... 19 6.3 Il Valore attuale e montante di rendite frazionate e periodiche ................................... 21

7 Valutazione di rendite con rate variabili secondo leggi assegnate .......... 24 7.1 Valutazione di rendite con rate variabili in progressione geometrica.......................... 24 7.2 Valutazione di rendite con rate variabili in progressione aritmetica ........................... 27

8 Principali problemi sulle rendite ................................................................ 29 8.1 La ricerca di n ............................................................................................................ 30 8.2 La ricerca di i ............................................................................................................. 33 8.2.1 Il metodo iterativo............................................................................................... 34

Esercizi proposti .............................................................................................. 36

2

Capitolo 2: Le operazioni finanziarie composte

1 Introduzione Un’operazione finanziaria composta è un contratto di scambio tra n (n≥2) importi esigibili in epoche diverse. Se n=2 lo scambio è tra due importi e dunque l’operazione finanziaria posta in essere è un’operazione finanziaria semplice. Per identificare un’operazione finanziaria composta è necessario definire univocamente: •

il vettore dei cash flows (rate) {R0 ; R1 ;K; Rn };

•

il vettore delle scadenze (scadenzario) {t 0 ; t1 ;K; t n };

•

il vettore “dei segni”, con cui si identificano le poste in entrata (contraddistinte con il segno “+”) e quelle in uscita (contraddistinte con il segno “-”).

Ci soffermeremo, nel prosieguo, sulle operazioni finanziarie composte contraddistinte da un solo cambiamento nel vettore dei segni.

2 Le rendite Si vuole valutare all’epoca x (y) una serie di capitali disponibili in date diverse (si veda la Figura 1), dette scadenzario o epoche di esigibilità. R0

R1

R2

…

Rn-1

Rn

t0

t1

t2

…

tn-1

tn

Figura 1 Le date di esigibilità sono ordinate: t 0 ≤ t1 ≤ K ≤ t n −1 ≤ t n Per ciascuna epoca sono esigibili gli importi, detti rate:

3

R0 , R1 ,K Rn −1 , Rn L’operazione finanziaria descritta, ipotizzando almeno una delle rate con segno negativo1, è, per quanto detto, un’operazione finanziaria composta. In particolare se le rate sono tutte dello stesso segno, e sono precedute (seguite) da un importo di segno opposto, l’operazione finanziaria prende il nome di rendita. Se t k +1 − t k = α

∀ k ∈ [0, n − 1] la rendita si dice periodica, inoltre, se α=1, la rendita è

periodica di periodo 1.

2.1 Valore capitale di una rendita Definiamo valore capitale di una rendita la somma delle rate riportate finanziariamente all’epoca h di valutazione (con h ∈ [0, n ] ):

n

h

W h = ∑ R s ⋅ r (s , h ) + s =0

∑ R ⋅ v(h, k )

k = h +1

k

(2-2.1)

In particolare, se h=0, il valore capitale è dato dalla somma dei valori attuali delle rate, e prende il nome di valore attuale della rendita: n

W0 = A = ∑ Rk ⋅ v(0, k )

(2-2.2)

k =1

Se h=n, il valore capitale è dato dalla somma dei montanti delle rate, e prende il nome di montante2 della rendita: n

Wn = M = ∑ Rs ⋅ r (s, n )

(2-2.3)

s =0

1

Dunque si ipotizza almeno un’uscita e una serie di flussi in entrata: è infatti lo scambio di capitali esigibili su epoche diverse a definire l’operazione finanziaria. 2 Come si vedrà più avanti, non è sempre possibile calcolare il montante di una rendita (si pensi, ad esempio, ad una rendita perpetua).

4

Inoltre, definiamo holding period return (HPR3) la variazione relativa del montante di una rendita rispetto al suo valore attuale:

HPR =

M−A A

(2-2.4)

L’operazione finanziaria di rendita consiste nello scambio tra due soggetti del valore attuale (montante) in cambio della successione delle rate. Osservazione

Le (2-2.1), (2-2.2) e (2-2.3) sono state definite a prescindere dal regime finanziario. Ricordando che una qualsiasi operazione finanziaria è in equilibrio quando le entrate valutate ad una data epoca sono equivalenti alle uscite valutate alla stessa epoca, se utilizziamo un regime finanziario scindibile, stabilita l’equità dell’operazione finanziaria ad una data epoca h, l’operazione rimane in equilibrio per qualsiasi epoca k ∈ [0, n] . Per questo motivo il regime prescelto per la valutazione finanziaria delle rendite è quello della capitalizzazione composta.

Esempio 2.1 I due vettori a e t illustrano un’operazione finanziaria di rendita in cui un soggetto investe la somma A=€100,00 in cambio della successione delle rate. Il vettore a rappresenta il vettore degli importi (rate), il vettore t è lo scadenzario.

a = {− 100,00; 8,00; 10,00; 10,00; 10;00; 10,00; 30,00; 30,00} t=

{

0;

1;

2;

3;

4;

5;

6;

7}

3

Per come è definito l’holding period return è su base periodale: se la rendita ha durata n anni, il rendimento calcolato ha come periodo di riferimento n. Se si vuole calcolare il rendimento su base annua si possono utilizzare i tassi equivalenti.

5

Esempio 2.2 Scrivere il cash flow di un BTP biennale, cedola semestrale al tasso nominale annuo convertibile del 6%, valore nominale di rimborso pari a €100,00, prezzo €98,00. Un Buono Poliennale del Tesoro (BTP) è un’operazione finanziaria di rendita, che, dietro pagamento del prezzo, assicura una serie di importi prefissati disponibili in epoche predeterminate (cedole, c ) e il rimborso a scadenza del capitale investito. Le cedole rappresentano il pagamento per interessi sul valore nominare sottoscritto. Dunque ciascuna cedola è pari al tasso effettivo cedolare per il valore nominale di rimborso (VN):

c=

j (m ) ⋅ VN m

(2-2.5)

La cedola del BTP in esame è

c=

j (2) ⋅ 100,00 = 3 2

Quindi il cash flow richiesto è 3   1 Ft = {− 98,00; 3; 3; 3; 103} 0; ; 1; ; 2 2   2 Esempio 2.3 Dato un BTP triennale con cedole annue al tasso cedolare j(1)=4%, VN=€100,00, calcolare il prezzo in regime di capitalizzazione composta, sapendo che la struttura per scadenza dei tassi di interesse è: i (0,1) = 4% i (0,2 ) = 4,3% i (0,3) = 5%

6

Il prezzo del BTP è il valore attuale delle rate future, quindi in base alla (2-3.2) possiamo scrivere, posto c = VN ⋅

j (1) = 100 ⋅ 0,04 = 4 : 1

(

)

1 1 1 +c⋅ + c ⋅ +VN ⋅ = 2 3 1 + i (0,1) 1 + i (0,2) 1 + i (0,3) 4 4 104 = + + = 97,36 2 1,04 1,043 1,05 3

P = A = c⋅

[

]

[

]

Se conosciamo i successivi tassi a pronti: i(0,1)=4% i(1,2)=4,6009% i(2,3)=6,4141% il prezzo richiesto è

c c c + VN + + = 1 + i (0,1) [1 + i (0,1)] ⋅ [1 + i (1,2 )] [1 + i (0,1)] ⋅ [1 + i (1,2)] ⋅ [1 + i (2,3)] 4 4 104 = + + = 97,36 1,04 1,04 ⋅ 1,046009 1,04 ⋅ 1,046009 ⋅ 1,064161

P= A=

In generale dunque, possiamo scrivere, in regime di capitalizzazione composta a tassi variabili, noti i tassi a pronti: n

A = ∑ Rs ⋅ s =0

1

s

[

n

]

M = ∑ R s ⋅ 1 + i (s , n ) s =0

h

[

]

W h = ∑ R s ⋅ 1 + i (s , h ) s =0

(2-2.6)

[1 + i(0, s )]

h− s

+

n−s

n

∑R

s = h +1

(2-2.7)

1

s

[1 + i(h, s )]

s−h

(2-2.8)

7

Se conosciamo i tassi a termine (o i successivi tassi a pronti, se lavoriamo in un mercato perfetto e deterministico) le (2-2.6), (2-2.7) e (2-2.8) divengono, rispettivamente: n

A = ∑ Rs ⋅ s =0

1

(2-2.6’)

s

∏ [1 + i(0, h, h + 1)] h =0

n

s

s =0

h =0

M = ∑ Rs ⋅ ∏ [1 + i (0, h, h + 1)]

h

s

Wh = ∑ Rs ⋅ ∏ [1 + i (0, k , k + 1)] + s =0

k =0

n

∑R

s = h +1

(2-2.7’)

1 s

s

∏ [1 + i(0, k , k + 1)]

(2-2.8’)

k = h +1

Ovviamente, essendo la struttura a termine implicita in quella a pronti, i risultati ottenuti con le (2-3.6), (2-3.7) e (2-3.8) coincidono con quelli ottenuti con le (2-2.6’), (2-2.7’) e (2-2.8’). In ipotesi di struttura piatta, i (0, t ) = i (0, s, s + 1) = i ∀ t , s ∈ [0, n] , le (2-2.6), (2-2.7) e (2-

2.8) divengono: n

n

A = ∑ Rs ⋅ (1 + i ) = ∑ Rs ⋅ v s −s

s =0

avendo posto v =

(2-2.9)

s =0

1 . 1+ i n

M = ∑ Rs ⋅ (1 + i )

n− s

(2-2.10)

s =0

h

Wh = ∑ Rs ⋅ (1 + i ) s =0

h− s

+

n

∑R

k = h +1

k

⋅ v k −h

(2-2.11)

8

Osservazione

Ipotizziamo una rendita con rate costanti e pari ad 1. Se i valori attuali calcolati con la (22.6), (2-2.6’) e (2-2.9) coincidono, possiamo scrivere:

n

∑ (1 + i ) s =1

−s

n

s

−1

= ∑∏ [1 + i (h, h + 1)]

(2-2.12)

s =1 h = 0

Dunque, per la (2-2.12) il tasso i è quell’unico tasso che, sostituito ai tassi di mercato, permette di ottenere lo stesso valore attuale: è quindi un tasso medio4. Tale tasso unico ha, inoltre, la particolarità di rendere il valore attuale delle rate uguale al prezzo pagato all’epoca t=0 per acquistare la successione delle rate, e dunque di rendere equa l’operazione finanziaria di rendita. Tale unico tasso prende il nome di tasso interno di rendimento (TIR). Esempio 2.4 Data una rendita composta da 4 rate pari a €100,00, disponibili alla fine di ogni anno, calcolare il valore attuale della rendita sapendo che la struttura dei tassi di mercato è: i(0,1)=4% i(1,2)=4,2% i(2,3)=4,5% i(3,4)=4,9% In base alla (2-2.6’) il valore attuale della rendita è:

A=

100 100 100 100 + + + = 360,92 1,04 1,04 ⋅ 1,042 1,04 ⋅ 1,042 ⋅ 1,045 1,04 ⋅ 1,042 ⋅ 1,045 ⋅ 1,049

Verificare che i=4,2435% è il TIR della rendita. Se il tasso dato è il TIR, allora deve risultare

A= 4

100 100 100 100 + + + = 360,92 2 3 1,04235 (1,04235) (1,04235) (1,04235)4

Si tratta di una media funzionale nel senso del Chisini.

9

Esempio 2.5 Fra 3 anni e mezzo si incasserà il valore capitale della rendita rappresentata in Figura 2. Sapendo che i tassi di mercato sono: •

 7 i 0,  = 5,5%  2

•

 7 i1,  finanziariamente equivalente al tasso j(2)=6,4%  2

•

7  i ,5  finanziariamente equivalente al tasso effettivo annuo di sconto d=5% 2 

€680

0

€1.350 €1.350 €1.350

0,5

1

1,5

2

€850

2,5

3

3,5

4

4,5

5

Figura 2

Per la (2-2.8) il valore richiesto è W3,5 = 680€ ⋅ (1 + 0,55)

3, 5

[

]

+ 1.350€ ⋅ 1,032 5 ⋅ 1,032 4 ⋅ 1,032 3 + 850€ ⋅ (1 − 0,05)

1, 5

= 6.202,54€

3 Il Bootstrapping

Nell’esempio 2.3 si è ipotizzato di calcolare il prezzo di un titolo con flussi intermedi (BTP) in base alla struttura dei tassi a pronti, come noto ricavata dalle quotazioni di titoli privi di cedola. Nella realtà operativa non esistono titoli privi di cedole per le scadenze medio lunghe, dunque è necessario ricavare il tasso di un ipotetico zero coupon bond dai titoli con cedole, “trasformandoli” in titoli privi di cedole. Esempio 3.1 Si osservino sul mercato i seguenti titoli:

10

a) ZCB, maturity5 1 anno, prezzo Pa=€98,00 b) ZCB, maturity 2 anni, prezzo Pb=€95,00 c) CB, maturity 3 anni, cedole annue c c = €4,00, prezzo Pc=€93,00, tasso interno di rendimento TIRc=6,6503% d) CB, maturity 4 anni, cedole annue c d = €5,20, prezzo Pd=€92,00, tasso interno di rendimento TIRd=7,5936% Calcolare la struttura a pronti dei tassi di interesse. Possiamo calcolarci il TIR dei primi 2 titoli: TIRa=

VN − Pa = 2,0408% Pa

TIRb=

VN − 1 = 2,5978% Pb

Possiamo affermare che i 4 TIR sono i tassi i (0, n ) ? I due TIR relativi ai due titoli privi di

cedole sono, in effetti, i tassi a pronti i(0,1)=2,0408% e i (0,2 ) = 2,5978% , ma non possono essere confrontati con i 2 TIR relativi ai CB, in quanto disomogenei. Per la (2-2.6) possiamo scrivere che: Pc =

cc cc c c + VN + + 2 3 1 + i (0,1) 1 + i (0,2) 1 + i (0,3)

[

] [

]

ovvero

Pc −

cc cc c c + VN − = 2 3 1 + i (0,1) 1 + i (0,2 ) 1 + i (0,3)

[

] [

]

(2-3.1)

Il termine a sinistra dell’uguaglianza della (2-2.1) rappresenta il prezzo di un ipotetico ZCB con maturity 3 anni e valore di rimborso pari a c c + VN :

5

O “vita a scadenza”.

11

85,3 =

104,00

[1 + i(0,3)]

3

da cui

i (0,3) = 3

104,00 − 1 = 6,8387% 85,30

Ripetiamo la procedura per il titolo d):

Pd =

cd cd cd c d + VN + + + 2 3 4 1 + i (0,1) 1 + i (0,2 ) 1 + i (0,3) 1 + i (0,4)

[

] [

] [

]

ovvero Pd −

cd cd cd c d + VN − − = 2 3 4 1 + i (0,1) 1 + i (0,2) 1 + i (0,3) 1 + i (0,4)

[

] [

] [

]

(2-3.1’)

Il termine a sinistra dell’uguaglianza (2-3.1’) rappresenta il prezzo di un ipotetico ZCB con maturity 4 anni, valore di rimborso pari a c d + VN :

77,70 =

105,20

[1 + i(0,4)]

4

Il tasso i (0,4) è

i(0,4) = 4

105,20 − 1 = 7,8695% 77,70

Come si nota i tassi i (0,3) e i (0,4) sono diversi dai due TIR relativi ai titoli c) e d): infatti, il TIR di un’operazione finanziaria con flussi intermedi, per come viene calcolato, ipotizza il

12

reinvestimento dei flussi sempre al TIR, mentre i tassi relativi a ZCB non si basano su tale ipotesi di lavoro.

4 Classificazione delle rendite

Le rendite possono classificarsi, in base allo scadenzario6 in: •

rendite periodiche, se t k − t k −1 = α , in particolare, se α=1, la rendita si dice periodica di periodo 1.

•

rendite non periodiche, se la distanza tra due rate successive non è costante.

In base all’epoca cui si riferiscono le rate, si può distinguere tra: •

rendite anticipate, se la rata Rk è riferita al periodo [k-1, k] (si veda la Figura 3, in cui è rappresentata una rendita anticipata, periodica, di n rate);

•

rendite posticipate, se la rata Rk è riferita al periodo [k, k+1] (si veda la Figura 4, in cui è rappresentata una rendita periodica, posticipata, di n rate).

R1

R2

0

1

Rn

…

n-1

n

Figura 3: rendita periodica anticipata di n rate

R1

0

1

…

Rn-1

Rn

n-1

n

Figura 4: rendita periodica posticipata di n rate

In base al numero delle rate, si distingue tra: • 6

rendite temporanee, se il numero delle rate è finito Si veda anche il §1 di questo capitolo.

13

•

rendite perpetue, se il numero delle rate è illimitato7

In base alla data cui si versa (incassa) la prima rata rispetto all’epoca cui si calcola il valore attuale: •

rendite immediate, se le due date coincidono

•

rendite differite, se la prima rata è versata (incassata) ad un’epoca successiva a quella in cui si calcola il valore attuale

In base alla periodicità delle rate rispetto allo scadenzario, si distingue tra: •

rendite intere, se la periodicità delle rate e quella dello scadenzario coincidono;

•

rendite frazionate, se la periodicità delle rate è maggiore di quella dello scadenzario (ad esempio, se lo scadenzario è riferito all’unità di tempo “anno”, e le rate sono pagate ogni 3 mesi, la rendita è frazionata trimestrale);

•

rendite nel continuo, se le rate sono pagate (incassate) senza soluzione di continuità, e dunque costituiscono un flusso continuo di pagamenti.

Infine, si distingue tra rendite con rate costanti e rendite con rate non costanti8. Nel prosieguo tratteremo il caso di rendite con rate costanti valutate con tassi costanti e il caso di rendite con rate variabili secondo leggi assegnate.

6 Valutazione di rendite con rate costanti a tassi costanti

6.1 Il Valore attuale di rendite intere e periodiche Consideriamo una rendita temporanea n anni, intera, posticipata ed immediata. La (2-2.9), se anche le rate sono costanti, diviene: n

A = R ⋅ ∑vs

(2-6.1)

s =1

7

Per una rendita perpetua non si può, ovviamente, calcolare il montante. A loro volta le rendite con rate variabili possono distinguersi tra rate comunque variabili e rate variabili secondo leggi assegnate. 8

14

Ipotizzando un tasso di interesse i ≠ 0 , la somma

n

∑v

s

è la somma di n termini in

s =1

progressione geometrica di ragione v ≠ 1 , possiamo dunque scrivere9:

n

∑vs = v ⋅ s =1

1− vn 1− vn = = a n|i i 1− v

(2-6.2)

La (2-6.2) rappresenta il valore attuale di una rendita immediata, temporanea n anni, posticipata, con rate unitarie10. Quindi la (2-6.1) diviene semplicemente: A = R ⋅ a n|i

(2-6.3)

Se la rendita è perpetua, per calcolarne il valore attuale è sufficiente calcolare il limite della (2-6.3) per n che tende ad infinito:

lim R n →∞

1− vn R = i i

(2-6.4)

quindi11 R = A⋅i

Se le n rate sono anticipate la (2-6.1) diviene n −1

A = R ⋅ ∑vs

(2-6.5)

s =0

9

Ricordiamo che la somma di n termini in progressione geometrica, di ragione q≠1 e primo termine α è:

1− qn 1− q 10 Il simbolo a n|i si legge “a temporaneo n, al tasso i”. S n; q = α ⋅

11

Facciamo notare che la rata risulta essere composta, in caso di rendita perpetua, dal solo pagamento per interessi sul capitale iniziale: da qui la giustificazione finanziaria della durata infinita della rendita stessa. Si veda oltre, capitolo 3: Gli Ammortamenti.

15

Sviluppiamo la sommatoria: n −1

∑ v s = 1 + v + K + v n−1 = s =0

1− vn 1− vn = = a&&n|i d 1− v

(2-6.6)

La (2-6.6) rappresenta il valore attuale di una rendita anticipata, temporanea n anni, al tasso i. E’ possibile mettere in relazione il valore attuale di una rendita anticipata con quello di una rendita posticipata: 1− vn 1− vn 1− vn a&&n|i = = ⋅ (1 + i ) = ⋅ (1 + i ) = a n|i ⋅ (1 + i ) 1− v 1+ i −1 i

(2-6.7)

Quindi il valore attuale di una rendita anticipata di durata n anni è uguale al valore attuale di una rendita posticipata di uguale durata capitalizzata per un periodo: osservando l’asse dei tempi rappresentato in Figura 5, si può notare come la successione delle rate relative alla rendita anticipata, osservate all’epoca t=-1, corrisponda esattamente alla successione delle rate di una rendita posticipata, il cui valore attuale in tale epoca è a n|i . Dunque, per ottenere il valore della rendita anticipata basterà riportare finanziariamente tale importo all’epoca t=0, moltiplicando per il fattore di capitalizzazione (1+i). €1

€1

(-1)

0

1

a n|i

a&&n|i

€1

…

n-1

n

Figura 5

Continuando lo sviluppo della (2-6.7) si ottiene, inoltre:

16

a&&n|i =

1− vn 1 + i − v n −1 1 − v n −1 ⋅ (1 + i ) = = + 1 = a n −1|i + 1 i i i

(2-6.8)

il valore attuale di una rendita anticipata costituita da n rate unitarie è pari al valore attuale di una rendita di n-1 rate unitarie cui va sommata la prima rata (ovviamente pari ad 1): infatti, escludendo la prima rata (pagata o riscossa all’epoca t=0) i flussi relativi alle due rendite, l’una di durata n e anticipata, l’altra di durata n-1 e posticipata, coincidono, dunque anche i due valori attuali, a meno della prima rata della rendita anticipata, coincidono. Aggiungendo la prima rata (unitaria e percepita -pagata- esattamente all’epoca t=0) si ottiene dunque l’uguaglianza espressa dalla (2-6.8). Il limite per n che tende ad infinito della (2-6.6) rappresenta il valore attuale di una rendita perpetua e anticipata:

lim a&&n|i = n →∞

1 d

(2-6.9)

Anche per il valore attuale della rendita perpetua anticipata valgono le stesse relazioni viste per la rendita temporanea:

1 1+ i 1 1 = = (1 + i ) ⋅ = + 1 d i i i Consideriamo ora il caso di una rendita posticipata, temporanea n anni, e differita di h periodi12. Il suo valore attuale è

A = R⋅

n+h

∑v

s

s = h +1

Sviluppiamo la sommatoria:

12

n rappresenta il numero delle rate, dunque è sempre un numero intero; h, il differimento, è un numero non necessariamente intero (si pensi, ad esempio, ad una rendita con rate annue differita di 18 mesi: essendo l’unità di misura l’anno, il differimento è h=1,5 anni).

17

/h

a n|i =

n+ h

∑v

s = h +1

s

n

= v ⋅ ∑ v s = v h ⋅ a n|i h

(2-6.10)

s =1

La (2-6.10) dimostra che, essendo il regime di capitalizzazione composta scindibile, è possibile calcolare il valore attuale di una rendita unitaria posticipata e differita come il valore all’epoca h di una rendita con uguali caratteristiche ma non differita e poi attualizzare il valore attuale trovato. Lo stesso ragionamento vale se la rendita è differita e anticipata:

&& / h a n|i =

n + h −1

n −1

s =h

s =0

∑ v s = v h ⋅ ∑ v s = v h ⋅ a&&n|i = v h−1 ⋅ an|i

(2-6.11)

Esempio 6.1 All’epoca t=0 si acquista un appartamento di prezzo P=€200.000,00. Si concorda col venditore la seguente rateizzazione: •

versamento immediato di metà del prezzo;

•

versamento di €30.000,00 fra 2 mesi;

•

versamento di €20.000,00 fra 4 mesi;

•

versamento di 14 rate costanti anticipate di importo R pagate a partire dal 5° mese.

Sapendo che il tasso annuo pattuito per la rateizzazione è i=8,5%, calcolare la rata. Si tratta, di fatto, di calcolare la rata di una rendita differita 4 mesi, al tasso effettivo mensile 1

i 1 = (1 + 0,085)12 − 1 = 0,6821% . Il valore attuale della rendita è la parte del prezzo ancora 12

da pagare:

A = €200.000,00 − €100.000,00 −

€30.000,00 1 + i  1 12  

2

−

€20.000,00 1 + i  1 12  

4

= €50.941,68

Per la (2-6.10) possiamo scrivere

18

−4

A = R ⋅ 1 + i 1  ⋅ a14|i 1 12   12 da cui A ⋅ (1,006821) ⋅ 0,006821 = €3.933,11 R= −14 1 − (1,006821) 4

6.2 Il Montante di rendite intere e periodiche

Consideriamo una rendita temporanea n anni, intera, posticipata ed immediata. La (2-2.10), se anche le rate sono costanti, diviene: n

M = R ⋅ ∑ (1 + i )

n− s

(2-6.12)

s =1

Ipotizzando un tasso di interesse i ≠ 0 , la somma

n

∑ (1 + i )

n−s

è la somma di n termini in

s =1

progressione geometrica di ragione (1 + i ) ≠ 1 , possiamo dunque scrivere13:

n

∑ (1 + i ) s =1

n−s

n n ( 1 + i ) − 1 (1 + i ) − 1 = 1⋅ = = s n|i (1 + i ) − 1 i

(2-6.13)

La (2-6.13) rappresenta il montante di una rendita immediata, temporanea n anni, posticipata, con rate unitarie14. Quindi la (2-6.12) diviene semplicemente:

13

Ricordiamo che la somma di n termini in progressione geometrica, di ragione q e primo termine α è:

qn −1 S n;q = α ⋅ q −1 14 Il simbolo s si legge “s temporaneo n, al tasso i”. n|i

19

M = R ⋅ s n|i

(2-6.14)

Alle stesse conclusioni si può arrivare semplicemente sfruttando la scindibilità del regime finanziario composto e quindi capitalizzando fino all’epoca n il valore attuale:

s n|i = a n|i ⋅ (1 + i )

n

(1 + i ) − 1 1− vn n = ⋅ (1 + i ) = i i n

Calcoliamo il montante di una rendita temporanea n anni e anticipata:

&s&n|i = a&&n|i ⋅ (1 + i )n =

(1 + i )n − 1

(2-6.15)

d

ed anche, volendo mettere in relazione il montante di una rendita anticipata con quello di una rendita posticipata: &s&n|i = s n|i ⋅ (1 + i ) = s n +1|i − 1

Osservazione:

Il montante di una rendita differita, essendo comunque dato dal valore capitalizzato all’epoca n+h delle n rate, disponibili a partire dall’epoca h, coincide con il montante di una rendita immediata (a parità di tasso di interesse). E’ possibile calcolare il montante differito di una rendita, dato dal valore del montante della rendita capitalizzato per il periodo del differimento: n

h / s n|i = ∑ (1 + i ) s =1

n+ h− s

n

= (1 + i ) ⋅ ∑ (1 + i ) h

s =0

n−s

= (1 + i ) ⋅ s n|i h

(2-6.16)

Esempio 6.2 All’epoca t=0 si programma di versare su un conto corrente bancario una rata semestrale costante e posticipata pari a R=€1.500,00. Dopo aver versato la 5a rata si sospendono i

20

versamenti. Se la banca riconosce il tasso effettivo annuo i=4% in regime di capitalizzazione composta, quanto si è accumulato sul conto corrente dopo 8 anni? Si tratta di calcolare il montante differito di una rendita di 5 rate costanti semestrali, al tasso effettivo semestrale i 1 = 1 + i − 1 = 1,9804% , con differimento pari a 11 semestri. In base 2

alla (2-6.16) il montante accumulato è

M

4 ( 1,019804) − 1 = (1,019804) ⋅ R ⋅ = €9.681,55 11

0,019804

6.3 Il Valore attuale e montante di rendite frazionate e periodiche

La rata costante R viene corrisposta in m frazioni di periodo unitario, in modo tale da verificare la condizione (2-6.17) per ciascun periodo unitario: m

∑R s =1

s

=R

(2-6.17)

Ipotizziamo una rata periodale unitaria (R=1) e posticipata, la rata corrisposta in ogni frazione di periodo è

1 , essendo m il numero di intervalli in cui si suddivide l’anno. m

Utilizzando il tasso effettivo per frazione di periodo unitario, il valore attuale diviene:

a n( m|i ) =

1 ⋅a m n⋅m|i 1m

(2-6.18)

ovvero il valore attuale di una rendita frazionata m volte nell’anno, di durata n anni, è pari alla rata per il valore attuale di una rendita intera di durata n⋅m calcolata al tasso relativo al periodo 1/m. Sviluppiamo la (2-6.18):

a n( |mi )

1 − 1 + i 1  1 m = ⋅  m i1 m

− n⋅m

=

1− vn j (m )

(2-6.19)

21

Come si può notare, il numeratore della rendita frazionata coincide con quello della rendita intera, mentre il denominatore è caratterizzato dalla presenza del tasso nominale convertibile m volte nell’anno. Inoltre, moltiplicando e dividendo per il tasso d’interesse i, otteniamo:

a n( m|i ) =

Poiché

i ⋅a j (m ) n|i

i ≥ 1 ∀ m ≥ 1 , il valore attuale di una rendita frazionata posticipata è j (m )

maggiore del valore attuale di una rendita di uguale durata ma intera. Studiamo il comportamento asintotico:

lim a n( m|i ) = n→∞

1 j (m )

Come risulta evidente, anche il valore attuale di una rendita frazionata e perpetua è maggiore del valore attuale di una rendita intera (infatti j(m)≤i per ogni m≥1) di durata infinita. Se le rate sono anticipate il valore attuale (2-6.18) diviene:

a&&n( m|i ) =

1 1− vn ⋅ a&&m⋅n|i = 1 ρ (m ) m m

(2-6.20)

Moltiplicando e dividendo per il tasso di sconto:

a&&n( m|i ) =

Poiché

d ⋅ a&& ρ (m ) n|i

d ≤ 1 ∀ m ≥ 1 , il valore attuale di una rendita frazionata anticipata è minore ρ (m )

del valore attuale di una rendita di uguale durata ma intera. Studiamo il comportamento asintotico:

22

lim a&&n( m|i ) = n →∞

1 ρ (m )

Come risulta evidente, anche il valore attuale di una rendita frazionata, perpetua e anticipata è minore del valore attuale di una rendita intera (infatti ρ(m)≥d per ogni m≥1) di durata infinita. Osservazione

Cosa avviene se il numero di frazionamenti m tende ad infinito? Studiamo il limite per m che tende ad infinito della (2.6.19) e della (2-6.20): 1− vn 1 − v n 1 − v n 1 − e − δ ⋅n = lim = = = a n|δ lim m →∞ j (m ) m →∞ ρ (m ) δ δ

(2-6.21)

Ovvero se m diverge ad infinito, la rendita frazionata coincide con quella nel continuo, e, ovviamente, non vi è alcuna differenza tra rendita anticipata e rendita posticipata. Il montante di una rendita frazionata, posticipata, di durata n periodi, valutata al tasso i è:

s

(m) n|i

1 + i  1 1  m = ⋅ m i1

n ⋅m

−1

m

n ( i 1 + i) − 1 s = = j (m ) j (m ) n|i

Se la rendita è anticipata e frazionata, di durata n periodi:

&s&n(|mi ) =

d &s& ρ (m ) n|i

23

7 Valutazione di rendite con rate variabili secondo leggi assegnate 7.1 Valutazione di rendite con rate variabili in progressione geometrica

Consideriamo una rendita posticipata, temporanea n anni, con rate variabili in progressione geometrica di ragione q≠0 e prima rata R (si veda la Figura 6).

R

0

Rq

R q2

2

3

1

…

R qn-2

R qn-1

n-1

n

Figura 6

Il valore attuale, calcolato in base alla (2-2.9) è: n

A = ∑ Rs ⋅ (1 + i ) s =1

[

−s

(

n

)

= ∑ Rs ⋅ v s = R ⋅ v + R ⋅ q ⋅ v 2 + R ⋅ q 2 ⋅ v 3 + K + R ⋅ q n −1 ⋅ v n = s =1

= R ⋅ v ⋅ 1 + q ⋅ v + (q ⋅ v ) + K + (q ⋅ v ) 2

n −1

]

(2-7.1)

I termini in parentesi quadra rappresentano la somma di n termini in progressione geometrica di ragione (q . v). Se la ragione è diversa da 1 (quindi se q v ≠1) possiamo scrivere la (2-7.1) in maniera più compatta:

1 − (q ⋅ v )n  A = R⋅v⋅   1− q ⋅v 

(2-7.2)

Viceversa, se la ragione è uguale ad 1, i termini in parentesi quadra della (2-7.1) sono tutti pari ad 1, e dunque il valore attuale di una rendita con rate in progressione geometrica di ragione q, valutata ad un tasso i tale che

q = 1 , è, semplicemente, 1+ i

24

A = R⋅v⋅n

(2-7.3)

Esempio 7.1 Calcolare il valore attuale di una rendita di 10 rate in progressione geometrica, sapendo che la prima rata è pari a €100,00, la ragione della progressione geometrica è q=1,05 e il tasso di valutazione è i=3%. In base alla (2-7.2) il valore attuale richiesto è:   1,05 10    1 −  €100,00   1,03   = 1.060,25€ A= ⋅ 1,05  1,03    1− 1,03    Esempio 7.2 Calcolare il valore attuale di una rendita di 10 rate in progressione geometrica, sapendo che la prima rata è pari a €100,00, la ragione della progressione geometrica è q=1,05 e il tasso di valutazione è i=5%.

In questo caso non possiamo applicare la (2-7.2), infatti

q 1,05 = = 1 . Per calcolare il 1 + i 1,05

valore attuale richiesto utilizziamo la (2-7.3):

A = €100,00 ⋅

1 ⋅ 10 = €952,38 1,05

Osservazione:

E’ possibile calcolare il valore attuale di una rendita perpetua con rate in progressione geometrica? Tale valore attuale converge solo se q v1, anche il numero delle soluzioni positive può essere maggiore di uno: in tal caso, non essendo la soluzione finanziariamente accettabile unica, perde di significatività finanziaria. Se h=1, anche k sarà pari ad uno. Dunque, condizione necessaria affinché un’equazione di grado n abbia una sola soluzione positiva, è che il numero dei cambiamenti di segno nei coefficienti della variabile sia esattamente uno. Nel caso di operazioni finanziarie di rendita tale condizione è sicuramente verificata18.

16

Le considerazioni che seguono sono facilmente estendibili a rendite con rate anticipate. Poiché si vuole cercare il tasso di attualizzazione della rendita, non avrebbe senso calcolare tassi di interesse negativi, dunque siamo interessati a soluzioni strettamente positive. 18 Si veda la definizione di rendita, §1 del II capitolo. 17

33

Figura 9

Il secondo problema nella ricerca del tasso di una rendita è che, se il grado dell’equazione è maggiore di 4, non esistono metodi analitici per la risoluzione del problema19, ma si deve ricorrere ai cosiddetti metodi “numerici”, che consentono di giungere ad una soluzione approssimata del problema stesso. Illustriamo di seguito il metodo iterativo, descrivendo poi la tecnica risolutiva utilizzabile su un foglio di calcolo. 8.2.1 Il metodo iterativo

Illustriamo questo semplice metodo a partire da un esempio. Sia A=2.500,00€, n=3 anni, e R=1.000,00€. Calcoliamo il tasso i con cui è stata valutata tale rendita. Per la (2-6.3) possiamo scrivere: R ⋅ a3|i − A = 0

(2-8.6)

Fissiamo arbitrariamente un tasso (i0=5%) e calcoliamo con tale tasso la (2-8.6): 19

In base al teorema di Ruffini-Abel.

34

f (9% ) = 1.000,00€ ⋅

1 − (1,09) − 2.500,00 = 31,29€ > 0 0,09 3

Poiché la f(9%) è positiva, il tasso i0 scelto è troppo basso, dunque dobbiamo scegliere un tasso più alto (i1=11%) e ricalcoliamo la (2-8.6): 1 − (1,11) f (11% ) = 1.000,00€ ⋅ − 2.500,00 = −56,2858€ < 0 0,11 3

Adesso la f(11%) risulta negativa, dunque il tasso che rende la f(⋅) esattamente pari a zero è intermedio tra i due tassi i0 e i1. Ricalcoliamo la (2-8.6) con il tasso i2=10%:

f (10% ) = 1.000,00€ ⋅

1 − (1,10 ) − 2.500,00 = −13,148€ < 0 0,10 3

Per le stesse considerazioni fatte possiamo affermare che il tasso cercato è compreso nell’intervallo (9%;10%), quindi ricalcoliamo la (2-8.6) al tasso i3=9,5%: 1 − (1,095) f (9,5% ) = 1.000,00€ ⋅ − 2.500,00 = 8,9068€ > 0 0,095 3

Il tasso è quindi compreso tra i3 e i2, calcoliamo la (2-8.6) al tasso i4=9,75%, ottenendo f (9,75% ) = −2,1618 < 0 . Ripetiamo il procedimento fintanto che non otteniamo esattamente

che la f(in)=0. Il tasso i dell’esempio svolto è il 9,701025%. Utilizzando un foglio elettronico (excel) si deve impostare il problema esplicitando i flussi per ciascun periodo, facendo attenzione che i flussi della rendita considerata siano equiripartiti temporalmente (in caso contrario si dovrà opportunamente modificare la rendita al fine di renderla periodica). Con i dati dell’esempio analizzato possiamo impostare il nostro foglio elettronico nel seguente modo:

35

A

B

C

D

1

A= 2.500,00€

t

Flussi(t)

2

n= 3

0

-2.500,00€

3

R= 1.000,00

1

1.000,00€

4

2

1.000,00€

5

3

1.000,00€

6

i=

E

9,701025%

Si è dunque descritta la rendita per ciascun flusso ad essa associata nella colonna D, la cella D2 ha un flusso negativo in quanto rappresenta l’esborso iniziale pagato per ottenere in cambio le tre rate costanti pari a 1.000,00. Per calcolare il tasso della rendita, nella cella D6 si è digitato il seguente comando: “=TIR.COST(D2:D5)”. Osservazione:

Il tasso trovato ha la stessa dimensione temporale della periodicità dei flussi: se i flussi sono annuali il tasso calcolato è annuale, se i flussi sono semestrali il tasso è su base semestrale e così via. In tal caso se si vuole ottenere il tasso su base annua si dovrà ricorrere ai tassi equivalenti.

Esercizi proposti

1. Voglio acquistare BTP per un valore nominale di €20.000, che scadono tra 2 anni, prevedono il pagamento di cedole semestrali al 4% nominale annuo e rimborso alla pari. Ipotizzando un tasso di rendimento del 5% effettivo annuo, costante per i prossimi due anni, determinare a quale prezzo posso acquistare questi titoli. (P = €19.646,49 ) 2. Dei BTP triennali di valore nominale 100 prevedono il pagamento di cedole semestrali al tasso nominale annuo del 6% e rimborso alla pari. Supponendo di operare in un mercato perfetto e deterministico, e che i tassi di rendimento annui che oggi si trovano sul mercato siano i seguenti: i(0,1) = 3%, i(0,2) = 3,5%, i(0,3) = 4%, a. Determinarne il prezzo in t=0; (P = €105.80 )

36

b. Determinarne il prezzo in t=1,5. (P3= €102.23 ) 3. Con il capitale di 100.000 euro, in t=0 acquisto dei BTP quinquennali che prevedono cedole annuali del 6%, valore nominale di rimborso pari a 100, tasso di rendimento dell’8,16%.Calcolare il prezzo di acquisto dei BTP. ( P = €99.913,31 ).Tutti i surplus che via via si vengono a formare li deposito in una Banca al 5% effettivo annuo d’interesse. Dopo tre anni vendo i BTP al tasso del 7% e ritiro il capitale accumulato fino a quel momento in Banca. Calcolare: a. Il prezzo di vendita dei Titoli. ( P = €107.323,84 ) b. Il capitale di cui potrò disporre in t=3. ( €.128.098,29 ) 4. L’importo complessivo di un contratto di affitto decennale è pari a €.100.000. Se il tasso di mercato è i=6% effettivo annuo, qual è l’importo del canone mensile? (R1/12=€1.102,24 )

5. Calcolare il valore attuale e il montante di una rendita immediata posticipata di 6 rate costanti annue di 100 € al tasso d’interesse annuo dell’11%. (A=€423,05; M=€791,29) Se la rendita fosse anticipata, quale sarebbe il valore attuale? E il montante? (A=€469,59; M=€878,33). Se la rendita è differita di 3 anni, qual è il valore attuale? (Adiff,post=€309,33, Adiff,ant=€343,36). 6. Si devono riscuotere 200€ all’inizio di ciascun anno dal 2002 al 2012. Qual è il valore attuale di tale rendita all’1.1.2001, in base al tasso annuo del 3%? (€1.850,52) 7. Qual è il valore attuale al 5% anno d’interesse di una rendita bimestrale anticipata di 30 rate di 700€ ciascuna? (€18.710,57) E se la rendita fosse posticipata? (€18.559,04) E se fosse differita di 4 anni e 3 mesi? (anticipata €15.206,61, posticipata €15.083,46) 8. Calcolare il valore attuale al tasso del 4,5% di una rendita posticipata annuale e perpetua di 7.500 euro (€166.666,67). E se fosse anticipata? (€174.166,67) E se fosse differita di 11 anni? (post. €102.699,79; ant. €107.321,28) 9. Un Istituto di Credito ci ha proposto il versamento di somme semestrali posticipate costanti in un fondo ad accumulazione che rende il 21% all’anno. Se dopo 5 anni abbiamo accumulato 200.000 euro, quale è stato l’ammontare di ogni versamento?

37

(€11.505,65) Con lo stesso tasso quale versamento avrebbe fornito il capitale a scadenza di 250.000 euro? (€14.382,06). 10. Ho acquistato per 3.000 euro il diritto a riscuotere annualmente in perpetuo, inizialmente tra 1 anno, 270 euro. Qual è il tasso di valutazione? (i=9%) 11. Un fondo è gravato da un canone perpetuo posticipato annuo di 4.000 euro. Il possessore per liberarsi propone al concedente il pagamento di 8 rate annue di 16.000 euro l’una. A quale tasso effettivo annuo viene considerata l’operazione? (i=3,66146%) 12. Vogliamo prendere in prestito 10.000 euro che vogliamo rimborsare con rate annue costanti di 2.000 euro ciascuna. Se il tasso di remunerazione del prestito è del 15% annuo, quante rate dovremo pagare per estinguere il prestito? (n=9,91897…; quindi possiamo pagare 9 rate di importo R’=2.095,74€, oppure 10 rate di importo R’’=1.992,52€, o ancora possiamo mantenere costanti le rate e pagare una rata

integrativa all’epoca 9. In tal caso la rata in t=9 diviene R9=3.607,08€). 13. Un risparmiatore versa in un fondo ad accumulazione 10.000 euro all’inizio di ciascun anno, allo scopo di costituire un capitale di 150.000 euro. Quanti versamenti annuali dovrà effettuare se il tasso con cui si costituisce il capitale è dell’8%? (n=9,708995…, si veda l’esercizio precedente per l’aggiustamento delle rate o di n). 14. Abbiamo comprato un miniappartamento del valore di 200.000 euro pagando la quarta parte in contanti ed il resto contraendo un prestito da rimborsare in 15 anni mediante mensilità posticipate costanti al tasso effettivo annuo d’interesse del 12%. Dopo 7 anni e 4 mesi vendiamo l’appartamento a 450.000 euro e con il ricavato estinguiamo il prestito. Qual è la somma che ci resta se il tasso d’interesse di mercato è in quel momento del 18%? (C=359.860,13€)

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