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ÁREA DE MATEMÁTICAS Curso: ÁLGEBRA Tema: PRODUCTOS NOTABLES Profesor: GUILLERMO ROGGERO CALDAS
Grado: 3º SECUNDARIA Fecha: 14 / 04 / 2015
PRODUCTOS NOTABLES
5. Producto de 2 binomios con un término común co mún
Son los resultados de ciertas multipli caciones indicadas
x + a x + b = x 2 + a + b x + ab
que se obtienen en forma directa, sin necesidad de
EJERCICIOS DE APLICACIÓN
efectuar la operación de multiplicación.
1. Desarrollo de un binomio al cuadrado T.C.P.
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
T.C.P.
(a - b)2 = a2 - 2ab + b2
1) Efectuar: A = (x + 1) (x – 1) (x2 + 1) (x 4 + 1) (x 8 + 1) + 1 2) Simplificar: 2 2 (a 3) (a 3) (a 3a 9) (a 3a 9) P 6 a 729 729 3) Si a + b = 6 y ab = 8, hallar a 2 + b2 y a3 + b3
T.C.P.: Trinomio cuadrado perfecto
Nota: (a – b)2 = (b – a)2
4) Si: x +
2. Diferencia de cuadrados
E = x3 +
1 x
1 x
(a + b) (a – b)= a2 – b2
Calcular el valor de: R = a 5 + b 5 6) Simplificar:
(a + b) 2 + (a – b)2 = 2(a2 + b2) (a + b) 2 – (a – b)2 = 4ab (a + b) 4 – (a – b)4 = 8ab(a2 + b2)
2
a b 2 a b 2 a 2 b 2 R 4 b a b b a a
3. Desarrollo de un binomio al cubo 3
2
3
5) Si se tiene que: a + b = 4 y ab = 2
IDENTIDADES DE LEGENDRE
3
= 4, hallar el valor de:
2
3
7) Si:
(a + b) = a + 3a b + 3ab + b (a + b)3 = a3 - 3a2b + 3ab2 - b3
1 x2
1 y2
Hallar: E
2
,
xy
x 2 3y 2 7x 2 5y 2
(a + b)3 = a3 + b3 + 3ab(a + b)
8) Simplificar:
(a - b)3 = a3 - b3 + 3ab(a - b)
1 1 1 1 ab a b a b R = 1 2 ab
PROPIEDADES: (a + b) 3 + (a – b)3 = 2a(a2 + 3b2) (a + b) 3 - (a – b)3 = 2b(3a2 + b2)
4. Suma y diferencia de cubos (a + b) (a 2 – ab + b2) = a3 + b3 (a – b) (a2 + ab + b2) = a3 – b3
2
2
2
9) Simplificar:
n
n
n
n
n 1
E x 2 y 2 x 2 y 2 x 2
10) Si:
2 2 m n
2 2 2 m n n ,
Hallar el valor de: 2 2 P m n
n 1 n 2 y 2 x 2
2 2 m n
11) Sabiendo que:
x=
3
1
3 14
3
21) Si: a + b = 5 ab = 7
1
Hallar: a4 + b4
3 14
5 5
5 5
A) 20 D) 30
B) 21 E) 10
C) 23
12) Calcular el valor de 5x 3 + 3x + 1 3
22) Si:
3
Si: x 16 8 5 16 8 5
3 x 12x 4
13) Sabiendo que:
x + 2 = 23 2x
E
Calcular:
n
m
2, k
m
n
Calcular:
E = n m
A) 3 D) 2
B) 5 E) 1/2
C) 1
23) Después de simplificar:
x 2 8 2x
[(x+1)2(x2+2x–1) – (x–1)2(x2–2x–1)]1/3 Se obtiene:
14) Si: x2 – 3x + 1 = 0, calcular:
A) 2x D) –x
1 x 1 x x1 1 x x . x x x
B) –x E) –2x
24) Si a + b = x 2 + y2
15) Reducir:
Hallar:
M = (x + 3) 2 – (x – 3)2 – 12x + 5
A) 2ab D) (a + b)2
A) 5 D) 4
n
k
Calcular: E
m
B) 2x E) N.A.
C) x + 1
C) 0
a – b = 2xy
P = (x2 – y2)2 B) (a – b)2 E) 4ab
25) Si: a + b = 6
16) Reducir: Hallar: E =
C) 0
ab = 4
3 3 a b
B = (x + 2) 3 – (x + 2) (x + 2) (x + 1) – x A) x D) 0
B) 2 E) N.A.
A) 12 D) 9
C) 1
B) 11 E) 8
C) 10
26) 17) Si a + b = 4 y ab = 7, hallar
a 2 +
b2 Si: (x + y + z + w) 2 + (x + y – z – w)2 = 4 (x + y) (z + w)
A) 3 D) 4
B) 2 E) N.A.
C) 5 Hallar el valor numérico de:
18) Simplificar:
1
1
P = x x x 2 x x
A) x4 + x–4 D) x8 – x–8 19) Si x 2 A) 7 D) 3
2 2 x z x w E w y z y
1
x 2
A) 1 D) 9
B) x2 – x4 E) N.A. 1 x2
= 7, hallar B) 2 E) 5
B) 1 E) N.A.
C) 4
C) x4 – x–4 27) Simplificar: x
(x + 1) 2 (x – 1)2 (x2 + x + 1) 2(x2 – x + 1) 2 – (x6 + 1) (x6–1)
1 x
A) x12 + x6 – 1 C) x6 – 2 E) –2x6 + 2
C) 4
20) Si x2 + y2 = 36; xy = 18, calcular x – y A) 0 D) 3
B) 2 E) 25
2
C)
6
B) x6 + x + 1 D) x6 – 1
28) Al reducir: 3 2
P
D) 3 2
3 2
mn 3
B) 8 E) 12
1 A
C) 9
x2
B) –21 E) N.A.
A) 12 D) 17
C) –15
x + y = 3 ; xy = 2
A) 33 D) 31
B) 45 E) 63
1
= 1, hallar a12 +
A) 326 D) 366
A) 0 D) 2
B) b 2 – c2 – d2 D) b 2 + c2
A) 4 (ab + cd) C) 2 (ab + cd) E) 2 (a 2 + b2)
2y x 3y
2x
x
y
xy
A) 2 D) 8
D)
4
x
+
2
C)
2x
A)
3n
E) x
B)
C) 3
m 4n 3n
C)
B) 3 E) 6
C) 4
9 a x 40) Sabiendo que: 7 9 a x
y
34) Si a3 + b3 = m; a + b = n, calcular (a – b)2 3 n 4m
B) 2 E) N.A.
2 22 4 2 2 (a b ) 3c 12a b 2 2 (c 2ab) (c 2ab) A) 2 D) 8
x y 4 xy
B)
C) 1
C) 6
33) Si (x 2 + y2) x–1 y–1 = 2 con x,y
A) 1
B) –1 E) Más de una
39) Siendo a, b y c los lados de un triángulo rectángulo donde c > a > b, reduzca la siguiente expresión:
; xy 0 B) 4 E) 1
Hallar: S
C) 340
38) El equivalente de:
A) 1 D) 4
Cuando: 4
B) 322 E) 318
2a b 2a b 2a b 2a b (2a b)2 4ab es: 2a b 2a b 4ab 2a b 2a b
32) ¿Cuál es el valor que asume:
1 12 a
37) Si: (a + b) 3 = a3 + b3; b 0
(a+b–c+d)(a+b+c–d) + (a–b+c+d)(a–b–c–d) + 2c 2 +2d2
x 2y
C) 3
C) 60
Calcular a / b
; xy 0
B) 1/3 E) 1
31) Simplificar:
1
xy
a
Hallar el valor de x 5 + y5
2
1
A) 1/9 D) 9 36) Si a –
1
y2
Calcule: A
30) Sabiendo que:
xy
1
Si se cumple: 9(x + y) =xy,
A = (x2 – 6x – 1)2 – (x2 – 6x – 2)2 – 2(x – 3)2
3n
1 1 3 xy2 y x2 x3 y 3 1
29) Efectuar:
2 2 x y
4m n3
35) Sea:
3 2
A) 7 D) 10
E)
4mn 3
9 a 4 x 4 El valor de la expresión: es: 9 a x A) 3
B) 9
D)
E) 3
3
C)
5
4 15 +
41) Si: x =
48) Si se cumple: x 2 – 3x + 1 = 0
4 15
Calcular:
x7 x5 x3
Calcular: E =
E = (x + 1) (x – 1) A) 9 D) 9999
(x 4 +
x2 +
x5
1)
B) 99 E) 99999
C) 999
A) 6 D) 3
B) 5 E) 2
C) 4
49) Simplificar: 42) A partir de Calcular:
x 4 +
x = 47,
P=x+x
A) 1 D) 4
–4
(x ab c) (x ab d)cd (x ab)(x ac)bc – x a b c d x ab c
–1
B) 2 E) 5
A) a+b+c+d D) a
C) 3
43) Reducir: P=
9
50) Si:
(x 1)(x
2
6 3 18 9 x 1) (x x 1) (x x 1) 1
B) x3 E) x10
A) x D) x6
8
2 1 24 5 1
C) x9 15
A) 5 D) 125
54 1 58 1
B) 25 E) N.A.
C)
a
3
a7 3 11 a
3
b
a
C) 5
3
3
2
b
2 5 32ab
b
a 7
3
b
b
C) 3
2 , el equivalente de:
a
es:
A)
a
B)
D)
b
E) 2 a
52) Si:
2 a b
1/ 3
C=
3
a
5
x ab b
46) Calcular:
Sabiendo que: x =
8
b
x ab a b
B) 4 E) 7
x 9 9x 3 z 3 z 9 x 6 6x 2 z 2 z 6
5
B) 2 E) 5
51) Si: x =
13x 7
A) 3 D) 6
b
A) 1 D) 4
45) Si se sabe que: x 2 – 3x + 1 = 0, calcular el valor de:
E=
2
15
5
x 8 x x 3 x 2
5
C) x
Calcular:
44) El equivalente de: Q=
5
B) b E) x+a+b+c
b
a+ b
C) 2 b
2
= a + b; a –b
a
Calcular: 3 z3 2 z2
a3 b3 a2 b2 (a b) ab (2a b)
A) 1/2 D) 2/3
B) 3/2 E) 1/3
C) 1/5
47) Si: 5a + 5c + ac = 0, calcular el valor de: S=
5ac (a 5) (5 c) (a c)
A) 1 D) 2
B) 5 E) –1
C) 1/5
A) 1 D) 8
B) 2 E) 6
C) 4
EJERCICIOS DE APLICACIÓN
53) Si se cumple: 1
1
xy
4
xz
Simplificar: C = (x2 + xy + y 2) (x2 – xy + y 2) + x2 y2
2.
Si:
2x y z
Calcular: 2
1.
2
x xy z xz 2 2 x 2xz y
A) 1 D) 3/2
B) 1/2 E) –1
x=
5 2
y=
2 3
z=
3 5
C) 1/4 Calcular el valor de:
P
3 3 3 x y z xyz
54) Si: a + b + c = 2, calcular: E=
3
3.
a+b+c=0 abc = 5
3 3 3 (1 a) (1 b) (1 c) 3abc Hallar el valor de:
A) 2 D) 0
B) 1 E) –2
C) 1/2 E = ab (a + b) 4 + bc (b + c) 4 + ac (a + c) 4
PRODUCTOS NOTABLES 2
4.
Desarrollo de un trinomio al cuadrado:
3 3 3 a b c 3abc P= 3 (a b c)
(a + b + c) 2 = a2 + b2 + c2 + 2(ab + bc + ac)
Desarrollo de un trinomio al cubo:
5.
(a+b+c)3 = a3 + b3 + c3 + 3(a+b) (b+c) (a+c) (a+b+c)3 = (a+b+c)3 =
a3 +
b3 +
3(a+b+c)
c3 +
x + 1)
3 3 3 (3x y) (3y z) (3z x) (3x y) (3y z) (3z x)
3(a+b+c) (ab+bc+ac) – 3abc
(a2+b2+c2)
– 2(a3 + b3 + c3) + 6abc
Identidad trinómica (Argan´d): (x 2 -
Si: x + y + z = 0 el equivalente de: S=
6.
(x2 +
Si: ab + bc + ac = 0 Hallar:
x + 1) =
x4 +
x2 +
1
Si: a2 + b2 + c2 = 0 Reducir: S=
3 3 3 3 (a b c) 2(a b c ) 12abc
(x2 + xy + y 2) (x2 - xy + y 2) = x4 + x2 y2 + y4 7.
IGUALDADES CONDICIONALES: Si: a + b + c = 0 , I.
a3 +
b3 +
c3 =
Hallar el equivalente de:
se cumple:
3 3 3 a b c 3abc
3abc
II. a2 + b2 + c2 = –2(ab + ac + bc)
(a b c)(ab bc ac)
III. (ab + bc + ac) 2 = (ab)2 + (bc) 2 + (ac)2 8.
Nota: Sean: a; b; c
y m; n N
a2n + b2m = 0
a
Dado: a+b+c=1 ab + bc + ac = 0
a=b=0
a2 + b2 + c2 = ab + bc + ac
Si: a2 + b2 + c2 = 3(ab + bc + ac),
Halle:
=b=c
EQUIVALENCIA DE GAUSS:
2 2 2 (ab) (bc) (ac) abc
9.
Si x; y , cumple la igualdad: 2x2 – 4x + 4 + y 2 – 2xy = 0
a3 + b3 + c3 – 3abc = (a + b + c)[a 2 + b2 + c2 – (ab + bc + ac)] Dar el valor de:
x
3 y 4
es:
18. Si se cumple: (x + y + z) 2 = xy + xz + yz
10. Si: a–1 + b–1 + c–1 = 0 y abc 0
Calcular:
Hallar:
2 2 2 2 2 2 2 2 2 a a 2b b b 2c c c 2a 2 2 2 (a b c) a b c
11. Si:
1 ab
Halle:
1 c b
ab c b
4 a c 2b
; a b, c b, a+c 2b
x (x y) y(y z)
P
z (z x)
A) 1 D) –2
C) 2
19. Si: a + b + c = 0, calcular:
ac b
M
3 3 3 (a b) (a c) (b c)
P=
12. Dadas las condiciones: a3 + b3 + c3 = 2 (a + b) (b + c) (a + c) a + b + c = 1, Calcular el valor de:
B) –1 E) N.A.
1 5abc
(a b) (a c) (b c)
A) 1
B) 3
D) 9
E) 1/9
C) 1/3
ab ac bc 20. Si: a + b + c = 2 ; abc = 4
13. Si: 2p = a + b + c; el equivalente de: k = (p – a)3 + (p – b)3 + (p – c)3 + 3abc , es:
Calcule:
14. Si a + b + c = 0, hallar el valor de:
a3 + b3 + c3 + 6(ab + bc + ac)
E
2 2 2 a b c ab ac bc
A) 1
B) 2
D) –2
E) –4
A) 6
B) 8
D) 12
E) 4
C) 3 21. Si: Sabiendo que: a2 + ac = b 2 + bc ; a b
15. Si: m + n + p = 0 E=
B) 6
D) 9
E) N.A.
3 3 3 a b c abc
3 3 3 2 (m n p ) Hallar: 2 2 2 m n p
A) 3
C) 20
A) 0
B) 3
D) 4
E) 1
C) 2
C) 27 22. Si: a2 + b2 + c2 = 49, calcular: C = (a + b) 2 + (a + c) 2 + (b + c) 2 – (a + b + c) 2
16. Efectuar: (a2 + a + 1)(a 2 – a + 1)(a4 – a2 + 1) A) a8 + 3a4 + 1
B) a8 + a4 – 1
C) a8 + a4 + 1
D) a4 + 3a2 + 1
A) 5
B) 6
D) 36
E) 49
C) 7
23. Si: x2 + y2 + z2 = 6 xy + xz + yz = –3
E) a8 – a4 + 1 17. Si: a + b + c = 4 a2 + b2 + c2 = 2 Calcular: ab + bc + ac
Calcule:
z
2
x
2
y
2
; xy 0
xy
A) 6
B) 2
D) 4
E) 10
C) 7
A) 2
B) 7
D) 9
E) 6
C) 3
24. ¿A qué equivale: a 3 + b3 + c3 – 6abc? 30. Si:
B) (a + b + c)3 E) 0
a3 +
25. Siendo:
b3 +
Calcular:
a + b + c
A) 1/3 D) 1
c
B) 1
D) 2
E) abc
C) 1/12
ab
31. Si:
ab bc ac
D) 1/2
E) –1
y
y
b>c
bca
A) 0
B) –1
D) 2
E) –2
C) 1
C) –2 32. Efectuar: (a2+a+1) (a2–a+1) (a4–a2+1) (a8–a4+1) ... “n” factores
2 = 3(x – y)
x
Hallar:
c ; a, b +
bc
B) 2
27. Si:
a b
2 2 2 a b c
A) 1
y
C) –1
–1
Calcule:
2
0
a
A) –2
26. Si: (a – b)–1 + (b – c)–1 + (c – a)–1 = 0
x
c
2 a2 bc b2 ac c2 ab
B) 1/4 E) 1/6
Calcular: P =
E abc
c3
–1
b
Calcular el valor de:
C) abc
= 30 a+b+c = 3 abc = 4
–1
b
Si se cumple: a (a – b) + b (b – c) + c (c – a) = 0 A) –3abc D) a3 + b3 + c3
a
8 8 3 (x y ) K= 2 2 2 (x y )
A) 4
B) 6
D) 0
E) 2
2n1 2n a 1 A) a
2n 2n1 1 B) a a
2n 2n1 C) a a 1
n2 n D) a a 1
2n 2n1 1 E) a a C) 1 33. Sean a, b, c números reales / a = b + 1 = c + 2 b 0 a 1
28. Si se cumple que: (x + y + 2z) 2 + (x + y – 2z)2 = 8z (x + y)
Halle el valor de:
3 3 3 (a 1) b 8(c 1) 2 b(a 1)
A) 3
B) –3
D) 6
E) 1
Hallar: E=
x y 2z
9
x z z y
7
z x z y
8
C) –6
34. Si: x + y + z = 5 A) 3
B) 1
D) 0
E) N.A.
C) –1
x2 + y2 + z2 = 3 (x + 1) (y + 1) (z + 1) = 17 Calcular el valor de xyz.
29. Reducir: J = [(x2 – x + 1) (x2 + x + 1) (x 4 – x2 + 1) (x 4 – 1) + 1] 1/6 A) x3
B) x
D) x2
E) N.A.
C) x + 1
A) 1
B) 5
D) 7
E) 0
C) 5
35. Reducir: 3 3 3 (x y) (y z) (z x) 9 (x y) (y z) (z x) A) 1
B) 2
D) 1/4
E) 1/3
C) 1/2
36. Con x3 + y3 + z3 = 3, reducir:
41. Reducir: R =(a + 2b + 3c) 2 + (a – 2b + 3c)2 + (a+ 2b – 3c)2 – 3(–a + 2b + 3c)2
3 (x y z) 2 N= 3 3 3 3 9 x y z (x y) (y z) (z x)
A) Cero B) 2ab – 6bc + 3ac
A) 1/9
B) 1/8
D) 1/3
E) 1/4
C) 2
C) a2 + 4b2 + 9c2 D) 16ab – 48bc + 24ac E) 14ab + 12bc + 6ac
37. Si se cumple: 42. Reducir:
x+y+z=0
"n" factores
xyz = 4
x2 xy y2 x2 xy y2 x4 x2y2 y 4 x2n1 y2n1
x6 + y6 + z6 = 36
n1 x2
Calcular:
n1 y2
Si: n = 5; resulta:
3 3 3 3 3 3 x y y z x z M= 3 3 3 x y z
A) x4 + x2y2 + y4
B) x16 + x4y4 + y16
C) x32 + x16y16 + y32
D) x16 + y16
E) x5 + y5 A) 3/2
B) 3
D) 9
E) N.A.
C) 9/2 43. Simplificar: 3 3 3 (a b) (b c) (c a) 3 (x y) (y z) (z x) 3 3 3 (x y) (y z) (z x) 3 (a b) (b c) (c a)
38. Si se cumple: (x + a) (x + b) (x + c) = x 3 + 3x2 + 3x + 2 Calcular el valor de: 2 2 2 a b c
R=
A) 1
B) 2
D) 4
E) 5
C) 3
abc
44. Determina el valor de: A) 2/3
B) 3/2
D) 2
E) 9
C) 3 P = (x+y+z)3 – 3(x+y+z) (x 2 + y2 + z2) + 2(x3 + y3 + z3)
39. Si se cumple: 4x2 + 9y2 + z2 = 6xy + 2xz + 3yz
Siendo: x =
Donde: x, y, z Calcule:
10 , z =
12x 4z
A) 150
B) 160
4x 9y
D) 210
E) 240
A) 1
B) 2
D) 1/3
E) N.A.
15
C) 180
C) 3 45. Si se cumple que: a3 + b3 + c3 = 3abc, simplificar: 8 8 8 7 a b c P= 8 (a b c)
40. Siendo: a + b + c = 0 obtener el valor de: E=
6, y=
2 2 2 (2a b) (2b c) (2c a) 3(ab bc ac)
A) –1
B) –2
D) –4
E) N.A.
C) –3
A) 1
B) 2
D) 1/2
E) 1/3
C) 3
46. Con a + 2b + 3c = 1,5x, simplificar: 2 2 2 (x a) (x 2b) (x 3c) 2 2 2 2 a 4b 9c
A) 1
B) 1/2
D) 1/5
E) N.A.
C) 1/3
53. Si se cumple que: 5y2 + 9z2 + 1 = 12yz + 2y
47. Simplificar: 2 2 2 2 2 2 2 2 (a b c ab ac bc) (a b c) (a b c )
Donde: y; z Calcule:
a2 +
A) a + b + c
B)
D) abc
E) N.A.
48. Con abc = 0
b2 +
c2
Halle el valor de: 2 2 2 a b c
K=
3 3 3 a b c
2
3
A) 1/3
B) 1/2
D) 1
E) 0
C) 1/6
49. Con a3 + b3 + c3 = 0 Reducir:
3abc a(b a) b(c b) c(a c)
A) a + b + c
B) a2+b2+c2
C) abc
D) ab + ac + bc
E) N.A. 50. Si: x, y, z son tres números reales que verifican la igualdad: x2 + y2 + z2 + 14 = 2 (x + 2y + 3z) xyz 3 3 3 x y z
Proporcionar el valor de:
A) 1/6
B) 1
D) 1/3
E) N.A.
C) 2
51. Sabiendo que: a+b+c=x
……………. (1)
ab + bc + ca =
x2
……………. (2)
Expresar a: T = (x + a) 3 + (x + b) 3 + (x + c) 3 – 3abc en términos de x A) x
B) x2
D) x4
E) N.A.
C) x3
52. Al cumplirse que: 9 a
2
b
2
2 9 b =0 2 c c
9 a
a b b c
Determinar el valor de:
A) 1
B) 2
D) 1/3
E) N.A.
9
C) 1/2
+ z
3
C) ab + ac + bc
a +b + c= 1
y
A) 3
B) 2
D) 6
E) 1
C) 4
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