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ALGEBRA Prof: LUIS CABRERA GARCÍA

PRODUCTOS NOTABLES 1. CUADRADO DE UN BINOMIO (Trinomio cuadrado perfecto) . (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 (a - b)2 = a2 - 2ab + b2 2. SUMA POR SU DIFERENCIA (Diferencia de cuadrados) (a + b) (a - b) = a2 – b2 3. CUBO DE UN BINOMIO

(a - b)3 = a3 - 3 a2b + 3 ab2 - b3 = a3 – b3 – 3ab(a – b) 4. SUMA Y DIFERENCIA DE CUBOS a3 + b3 = (a + b) (a2 - ab + b2) a3 - b3 = (a - b ) (a2 + ab + b2) 5. CUADRADO DE UN TRINOMIO (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc = a2 + b2 + c2 + 2 (ab + ac + bc)

(a + b)3 = a3 + 3 a2b + 3 ab2 + b3 = a3 + b3 + 3ab(a + b) 6. CUBO DE UN TRINOMIO : (a + b + c)3 = a3 + b3 + c3 +3 (a2b + a2c + b2a + b2c + c2a + c2b) + 6abc = a3 + b3 + c3 + 3(a + b) (a + c) (b + c) = 3(a + b + c) (a2 + b2 + c2) – 2(a3 + b3 + c3) + 6abc = a3 + b3 + c3 + 3 (a + b + c) (ab + ac + bc) – 3abc 7. PRODUCTO DE BINOMIOS CON TÉRMINO COMÚN (x + a) (x + b) = x2 + (a + b) x + ab (x + a) (x + b) (x + c) = x3 + (a + b + c) x2 + (ab + ac + bc) x + abc 8. IDENTIDADES DE LEGENDRE (a + b)2 + ( a - b)2 = 2(a2 + b2) (a + b)2 - (a - b)2 = 4ab (a + b)4 - (a - b)4 = 8ab(a2 + b2) 9. IDENTIDADES DE LAGRANGE (ax + by)2 + (ay - bx)2 = (a2 + b2) (x2 + y2) (ax + by + cz)2 + ( ay - bx)2 + (az - cx)2 + (bz - cy)2 = (a2 + b2 + c2) (x2 + y2 + z2) 10. IDENTIDAD DE ARGAND

1

x4 + x2 + 1 = (x2 + x + 1) (x2 – x + 1) x4 + x2 y2 + y4 = (x2 + xy + y2) (x2 – xy + y2) x4m + x2m y2n + y4n = (x2m + xm yn + y2n) (x2m – xm yn + y2n) 11. EQUIVALENCIA DE GAUSS a3 + b3 + c3 = (a + b + c) (a2 + b2 + c2 – ab – bc – ac) + 3abc 12. IGUALDADES CONDICIONALES : entonces a2 + b2 + c2 = -2(ab + ac + bc) entonces a3 + b3 + c3 = 3abc 2 2 2 Si a + b + c = ab +ac + bc entonces a =b =c Si a3 + b3 + c3 = 3abc entonces a =b =c ó a+b+c=0 Si a + b + c = 0 ,

PROBLEMAS PROPUESTOS 1.

Si

4

x +

1 x4

positivo de a) 1/2 d) 8 2.

Si

x

Si

Si:

5.

c) 104

Se

(a+b)=3 3 3

ab=2.

Calcular

a2  b2 b) 5/7 e) N.A.

c) 7/5

Si: ab=1; a  b  R Calcular:

c) 140

e) 322

Determine el valor numérico de:

(a  c)7  (b  c)7  (a  b)7 70 b) 13 e) 12

y

a b

a) 5/9

9.

c) 36

e) 38

d) 9/5 6

b) 320

b) 35

a) 34 d) 37

N

Sabiendo que: a – b = b – c = 7 7 .

a) 10 d) 16

Hallar: T 2  A 2  R 2  E 2  A 2

1 x3

x  1x  3 ; calcular x 6  x1

a) 160 d) 70

7.

8. 3

b) 26 e) 4

1 x2

c) 34

b) 17 e) 6

x   4 , calcular x 

d) 13

Si: TA + AR + TR = 3 A+T+R=5 E+A=6 EA = 10

c) 2

 6 : Calcular x 2 

1 x

a) 52

4.

1 x

6.

x  1x . b) 4 e) 10

a) 32 d) 36 3.

=34 : Calcular el valor

c) 2

P  a. a) 0

d) 2 10. Si: x  Calcular:

b2  1 a2  1

 b.

b) 1 e) 4

a2  1 b2  1 c) 3

2 1

S  x5  5x3  2x2  x  1

2

2

a)

2 /3

b)

c)

Hallar: ab + ac + bc

2 2

d)

a) 3 d) 6

e) 1

2 1

11. Sabiendo que:

1 1 4   ; x y x y

xy

0

N  n1

a) 1 d) 3

n

17. Conociendo que: ax+by = 8 ay – bx = 6 a2+b2 = 5

a) 16 d) 24

n

x y

(x  y)n

18. Si

c) 1/2

b) 2 e) 1/3

a) 1 d) –2 13. Reducir:

Hallar:

E =

a) 12 d) 22 15. Si

a) 1 d) 3

c) 1

e) 1/6 =

47,

a.b

=

1.

a 6  b6  2 b) 14 c) 28

e) 18 2

2

2 2 x  2y E = 3 + 4 x  y , 2x  y 2xz igual a) 1

b) 3 3 + 1

d) 3

e) 1 + 4 2

16. Sabiendo que: a+b+c = 4 a2+b2+c2 = 6

c) 5

an  bn  cn (a  b  c)n b) 2

c) 1/2

e) 1/3

20. Siendo a3 + b3 + c3= 4 abc. Además: a2 + b2 + c2 = ab + ac + bc + 1  abc  0 Reducir:

(x - y) + (x - z) + (y - z) = 0. 2

b) 4 e) 7

A  n1

 y 3   y  z3   z  x 3 6  x  y  y - z  z - x

a4 + b4

N = (a+b)(b+c)(c+a)

19. Si a, b, c  R  a2+b2+c2 = ab+bc+ca Hallar el valor de:

c) 2

b) 1/2

c) 20

a+b+c = 3 a3+b3+c3 = 9

a) 3 d) 6

b) –1 e) 3

a) 1/3 d) 0

b) 18 e) 25

Obtener :

12. Dados : x+y = 3 x3+y3 = 9 Luego x.y resulta :

14. Si

c) 5

Calcule : x2+y2

Hallar:

x

b) 4 e) 7

c) 2

es

æ ö b +c a +c a +b÷ ç + + ÷ç ç è a ø b c ÷ a) - 1 d) - 2 21. Si

b) - 3

æ1 1 1 ö ÷abc ç ç + + ÷ ÷ ç è a b cø c) 0

e) 3

x 4 + x14 =34 : Calcular el valor

positivo de a) 1/2

x

1 . x

b) 4

c) 2

3

d) 8

e) 10

x

22. Si

1 x

a) 34 d) 8

 6 : Calcular x 2 

a) 32 d) 36

1 x2

c) 34

b) 17 e) 6

b) 26 e) 4

d) 13

a) 10 d) 5

a2 b2  b a

30. Si

b) 45 e) 1

a+b+c=0

6

a) 160 d) 70 25. Si

c) 104

x  1x  3 ; calcular x 6  x1

24. Si:

b) 320

A=

c) 140

a=1+

8 ,

b = 2 - 4

2 , a) 0 d) 3

8 -3

Calcular el valor de

a b c     bc ac ab  T = (a3 + b3 + c3)   ab  ac  bc       

a) 0

b) 1

c)

6 d) -6

e) 6

x2 - 1 = 6x, hallar E = x2 + x-2.

a) 38 d) 35

b) 37 e) 34

(a + b + c)2 Calcular:

R=

a

a) 1 d) b/a 28. Si se cumple: a

=

b) a e) abc

c) 2

31. Simplificar

2 2 2   a b b   a G=          -4 a a    b  b   2 2  a 2  b           b  a    a) a d) b

b) 16 c) 1

A=

a2 + b2 + c2. x=

a) c) ab

Hallar A = (a + b) (a + c) (b + c)

-

b) 1 e) 4

32. El valor de

+b +c = 6 a3 + b3 + c3 = 24

, hallar:

3abc 3 a  b3  c3

c) 36

 b  a  c a

c) 54

a2  b2  c2 2  ab  ac  bc

e) 322

c=

27. Si

,

3

a) 52

26. Si

c) 16

29. Si a + b = 6, a2 + b2 = 30 hallar: R =

x  1x  4 , calcular x 3  x1

23. Si

b) 64 e) 5

d)

x 4  4x2  2 para x2  2

2  1 -

3

1 2

c) ab

b)

1 2  1

c)

2

3 2

e) 2

33. Hallar: D = a – b; si a a3 + b3 = 279

Los TIGRES no a) 0 nacen KEPLER los hace

es:

b) 1

+b

=

3

c) 12

4

d) 11

e) 13

5