Producto Punto

 

PRODUCTO VECTORIAL VECTORIAL D DEE DOS VECT VECTORES ORES El producto vectorial de los vectores P y Q se define como el vector V

V= (P x Q)

También se conoce como el producto cruz de P y Q . Línea de acción: Es perpendicular al plano que contiene a P y Q. Magnitud: Es el producto de las magnitudes de P y Q por el seno del ángulo Ɵ. (V= PQ sen Ɵ). Sentido: Se obtiene a partir de la regla de la mano derecha.  AB sen Ɵ) uc V = P x Q ; C = ( AB El vector unitario uc define la dirección de C.

 

PRODUCTO VECTORIAL VECTORIAL D DEE DOS VECT VECTORES ORES -Cuando dos vectore vectoress P y Q tienen la misma dirección, o direcciones opuestas, su producto vectorial es igual a cero. -Es igual al área del paralelogramo que tiene como lados a P y Q  -El producto vectorial P x Q permanece inalterado si Q se reemplaza por un vector Q´ que sea coplanar a P y Q y tal que la línea que une a las partes terminales de Q y Q´ sea paralelo a P.

V = P x Q = P x Q´ Los productos vectoriales no son comunitarios, es decir d ecir,, Q x P no es igual a P x Q .

Q x P = -(P x Q )

 

PRODUCTO VECTORIAL VECTORIAL D DEE DOS VECT VECTORES ORES Calcúlese el producto vectorial el vector P tiene una V=PxQ cuando magnitud de 6 y se encuentra en el plano zx que forma un ángulo de 30° con el eje x y el vector Q tiene una magnitud de 4 y se encuentra a lo largo del eje x.

 

PRODUCTO VECTORIAL VECTORIAL D DEE DOS VECT VECTORES ORES Ejemplo . Calcúlese el producto vectorial V = P x Q cuando el vector P tiene una magnitud de 6 y se encuentra en el plano Zx que forma un ángulo ángulo de 30° con e ell eje X y el vector Q tiene una magnitud de 4 y separtir encuentra a lo largo del A de la definición deleje  X . producto vectorial se concluye que el vector V debe estar a lo largo del eje Y , tener la magnitud. V =PQ sen Ɵ V= (6)(4) sen 30° V= 12 y debe estar dirigido hacia arriba.

 

PRODUCTO VECTORIAL VECTORIAL D DEE DOS VECT VECTORES ORES Ahora se puede preguntar si la propiedad distributiva se cumple, esto es, si la relación se cumple.

P x (Q ₁ + Q ₂) = (P x Q ₁) + (P x Q ₂) La asociativa, la cual no es válida para los productos vectoriales; en general, se tiene que (P x Q ) x S ≠ P x (Q x S)

 

PROPIEDAD DISTRIBUTIVA P x (Q 1+Q 2) = (PxQ 1 )+( PxQ 2) (1 (1) P está dirigida a lo largo del eje y . Representando con Q la suma de Q 1 y Q 2 , se trazan perpendiculares a partir de los extremos terminales de Q , Q 1 y Q 2 hacia el plano ZX. El término del lado izquier i zquierdo do de la ecuación (1) puede ser reemplazado por P y Q´ y que, en forma similar, los productos vectoriales PxQ ₁ y PxQ ₂ del lado derecho pueden ser reemplazados, respectivamente, por Px Q₁´ y Px Q ₂´. De es a forma, la relación puede escribirse : P x Q´= P x Q₁´ + P x Q ₂´

 

PRODUCTOS CRUZ EXPRESADOS EN TÉRMINOS DE COMPONENTES RECTANGULARES RECTANGULARES

Ahora se puede expresar fácilmente V de dos producto vectorial vectoresel dados P y Q en términos de las componentes rectangulares de dichos vectores. Al descomponer a P y Q en sus componentes rectangulares.

 

PRODUCTOS CRUZ EXPRESADOS EN TÉRMINOS DE COMPONENTES RECTANGULARES RECTANGULARES i x j = k  j x k = i

i x k = -j k x j = -i

ixi =0 j x j = 0

kxi=j

j x i = -k

k x k= 0

 

las componentes rectangulares del producto vectorial V están dadas por:

 

Se puede expresare el producto vectorial V de dos vectores dados P y Q en términos de las component componentes es rectangulares rectangular es de dichos vectores. Al descomponer a P y Q en sus componentes componentes rectangulares. V=PxQ PxQ =(Px ii++Py  j+Pzk)x(Qx ii++Qy  j+Qzk) V = +(PyQz - PzQ y )i + (PzQx - PxQz)  jj + (PxQy - PyQx )k Por tanto, las componentes rectangulares del producto vectorial V están dadas por: Vx  = (PyQz – PzQy) Vy = (PzQx – PxQz) Vz = ( PxQy  - PyQx)

Así, para determinar el producto cruz de dos vectores cartesianos P y Q cualesquiera. Es necesario desarrollar des arrollar un determinante cuya primera fila de elementos conste de los vectores unitarios i, j y k y cuyas segunda y tercera filas representen las componentes x , y , z de los dos vectores respe ctivamente. e. P y Q , respectivament

 

PRODUCTO PUNT PUNTO “multiplicar”” dos vectores y Define un método para “multiplicar se usa para localizar el ángulo entre dos líneas o las componentes de una fuerza paralela y perpendicular a una línea. punto de los vectores A y B, que se El producto punto escribe A · B, y se lee “A punto B”, se define como el  producto de de las magnitudes de A y B ; y el coseno del ángulo Ɵ entre sus colas. Expresado en forma de ecuación.  A·B = AB cos Ɵ donde :

 

LEYES DE OPERACIÓN 1. Ley conmutativa: A∙B=B∙A 2. Multiplicación por un escalar: a(A∙B)=(aA)∙B a(A∙B)=A∙(aB)

3. Ley distributiva: A∙(B + D) = (A∙B) + (A∙D)

 

PRODUCTOS PUNTO EXPRESADOS EN TÉRMINOS DE COMPONENTES RECTANGULARES RECTANGULARES las componentes rectangulares del producto vectorial V están dadas por:

i · i = 1 i · j = 0  j · i = 0 j · j = 1 k · i = 0 k · j = 0

i·k=0 j·k =0 k·k=1

 

FORMULACIÓN VECTORIAL CARTESIANA Si queremos encontrar el producto punto de dos vectores A y B que se expresan en forma vectorial cartesiana, tenemos:

Al realizar las operaciones del producto punto, el resultado final se convierte en:

Por tanto,punto parao determinar el  producto punt de dos vectores cartesianos, multiplique sus componentes correspondientes x , y ,  z, y sume sus productos algebraicamente Observepositivo que el o resultado será un. escalar

negativo.

 

PROYECCIÓN DE UN VECTOR SOBRE UN EJE DADO Un vector P que forma un ángulo Ɵ con un eje, o línea dirigida, OL (figura). La proyección de P sobre el eje OL se define como el escalar. POL= P cos Ɵ La proyecc proyección ión POL es igual en valor absoluto al valor de la longitud del segmento OA Un vector Q dirigido a lo largo de OL con el mismo sentido que OL. El producto escalar de P y Q se expresa: P·Q = PQ cos Ɵ = POL Q  P· Q  POL =  PxQx+PyQy+PzQz

 POL = POL = Pxcos Ɵx +Pycos Ɵy +Pzcos Ɵz Cuando el vector seleccionado a lo largo de OL es el vector unitario. POL = P·λ

 

COMPONENTES RECTANGULARES RECTANGULARES DE UNA FUERZA EN EL ESPACIO ESPACIO La relación que existe entre la fuerza F y sus componentes ;  x  ,F y  y F z se presenta en la figura (a). La fuerza F  F está el representada por la diagonal OA. La figura (b), muestra triángulo rectángulo OAB empleado para deducir la fórmula: Fy = F cos Ɵy En las figuras (a) y (c) se han trazado otros dos triángulos rectángulos: el OAD y OAE . los ángulos que forma F con los ejes X y Z , se p pueden ueden escribir dos fórmulas semejantes a F  =Fcos Ɵ . Entonces se escribe: y 

y

; F z=Fcos Ɵz (1) Los cosenos de Ɵx , Ɵy y Ɵz se conocen como cosenos directores. Con el uso de los vectores unitarios i, j y k, dirigidos a lo largo de los ejes x , y y z, respectivamente , se puede expresar F en la forma. F  x =Fcos Ɵx ; F y =Fcos Ɵy

  + F zk +F YY  j   j + F= F  X i i +F 

(2) Si se sustituy sustituye e (1) en (2) la ecuación ecuación se obtiene: F =F(cos =F(cos Ɵxi +cos Ɵy j + cos Ɵzk) (3)

La fuerza F puede expresarse como el producto del escalar F y del del vector vector (cos Ɵxi +cos Ɵy j + cos Ɵzk)

 

PRODUCTO TRIPLE MIXTO DE TRES VECTORES Se define al producto triple escalar S, P y Q como la expresión escalar S·(P x Q ) Formando el producto escalar de S con el producto vectorial de P y Q . Interpretación Interpr etación geométrica.

El vector al su x Q es perpendicular plano quePcontiene a P y a Q y que magnitud es igual al área del paralelogramo paralelogr amo que tiene por la dos a P y a Q . El producto escalar de S y PxQ se obtiene multiplicando la magnitud de PxQ , por llaa proye proyección cción de de S sobre el vector PxQ  El producto triple escalar es igual en valor absoluto al volumen del paralelepípedo que tiene por lados a los vectores S, Py Q 

 

PRODUCTO TRIPLE MIXTO DE TRES VECTORES El signo del producto triple escalar

Como el paralelepípedo definido es

será positivo si S, P y Q forman una tríada a mano derecha, y negativo si éstos forman una tríada a mano izquierda.

independiente del orden en que se tomen los tres vectores, los seis productos triples escalares que se pueden formar con S, P y Q tendrán el mismo valor absoluto, pero no el

Será igual a cero si S, P y Q son coplanares.

mismo signo. S · (P x Q )= )= P · (Q x S) = Q · (S x P) -S · (Q x P)=-P · (S x Q )=)=-Q · (P x S)

 

PRODUCTO TRIPLE MIXTO DE TRES VECTORES Se puede definir también con S·(P x Q ) como con (S x P)·Q  El producto triple escalar de los vectores vectores S, P y Q puede ser expresado en términos de las componentes rectangulares de estos vectores. Denotando a P x Q con V vectores. S · (P x Q ) = +Sx (PyQz - PzQy ) + Sy (PzQx - PxQz) + Sz(PxQy - PyQx )

Esta expresión expresión se puede escribir en forma más compacta compa cta si se obse observa rva que representa represen ta la expansión de un determinante: determinante:

 

APLICACIONES El ángulo formado entre dos vectores o líneas que se intersecan.

Las componentes de un vector  paralelo y perpendicular a una línea.

El ángulo Ɵ entre las colas de los vectores A y B que se muestran en la figura pueden escribirse como:

La componente de un vector A paralelo para lelo , o colineal colineal con, la lín línea ea aa1 se define define por Aa , donde : Aa= A cos Ɵ.

A·B se calcula observe que si A·B=0, Ɵ=90°, por tanto A será perpendicular a B.

Pag 90 90(R (R))

A esta esta component componente e se le ll llama ama la  proyección de A sobre la línea. Si la direcciónpor de el la vector línea está especificada unitario Ua, entonces como Ua =1, podemos determinar Aa directamente con el producto punto.

 

En ocasiones, a esta componente se le llama la proyección de A sobre la línea, puesto que se forma un ángulo recto en la construcción. Si la dirección de la línea está especificada por el vector unitario ua entonces como ua =1, podemos determinar Aa directamente con el producto punto.

 

PRODUCTO CRUZ DE DOS VECTORES El producto vectorial de los vectores P y Q se define como el vector V que satisface las siguientes condiciones. 1. La línea de acción de V es perpendicular al plano que contiene a P y Q . 2. La magnitud de V es el producto de las magnitudes de P y Q por el seno del ángulo formado por P y Q (cuya medida siempre deberá ser menor o igual a 180°). V = PQ sen Ɵ Los tres vectores P, Q y V, tomados en ese orden, forman una tríada a mano derecha. 3. La dirección de V se obtiene a partir de la regla de la mano derecha. Su mano derecha manténgala de manera que sus de dos estén doblados en el sentido que la rotación a través del ángulo que ha ría al vector vector P colineales con el vector Q , entonces, su dedo pulgar indicará la dirección del vector V.

 

Propiedad distributiva:

P x ( Q  Q 1 + Q 2) = (P x Q 1) + (P x Q 2)

 

EJEMPLO 2.17 La estructura que se muestra en la figura está sometida a una fuerza horizontal F {300 j}. Determine Determ ine la magnitud de las componentes de esta fuerza paralela y perpendicular al elemento AB.

 

EJEMPLO 2.17

 

Ejercicio F.225

 

Ejercicio F 229 Encuentre la magnitud de la componente de la fuerza proyectada a lo largo del tubo.

 

Ejercicio F 227-8 -Determine el ángulo Ɵ entre la -Determine fuerza y la línea OA. -Determine la componente de proyección de la fuerza a lo largo de la línea OA.

 

Determine el ángulo Ɵ entre la fuerza y la línea AO.

 

Ejercicio # 2.11 Determine el ángulo Ɵ entre la fuerza y la línea AB.

 

Ejercicio Ejercic io # 2-30 Buffa Determine las componentes de la Determine fuerza fuerz a que actúan en forma forma paralela paralela y perpendicular al eje del poste.

 

DEBER •

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Deber Estática 12ed Russelc.

pag # 74 Ejerc. 25-30 116-130 pares

MECÁNICA INGENIEROSVECTORIAL PARA PAG. 102 DEL 3.35 al 3.45

 

EXAME EXA MEN N 2° 2° PARCIA ARCIALL #1

#2

Determine el ángulo Ɵ entre la fuerza y la línea AO.

Determine el ángulo Ɵ entre la fuerza y la línea AB.

 

EJERCICIO # 116 Determine el ángulo α entre las dos fuerzas que actúan sobre el gancho. Asimismo, ¿cuáles son las proyecciones proyecciones de F1 y F2 a lo largo del eje y ?

 

Aporte Apor te 8/7/17 8/7/17 (3.42 (3.42 M. M.V V.I.) Si se sabe que la tensión en el cable AD es de 405 N, determine •

•

a) el ángulo entre el cable  AD y el aguilón AB, b) la proyección sobre AB de la fuerza ejercida por el

cable AD en el punto A.