Producto de Matrices Por Bloques o Cajas
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Fecha: Viernes, 23 de mayo del 2014
PRODUCTO DE MATRICES POR BLOQUES O CAJAS
Si descomponemos una matriz en cajas o bloques, es decir, matrices mas pequenas contenidas en la matriz orginal, podemos realizar operaciones considerando estas como elementos siempre que la descomposicion realizadas sea la misma en todas las matrices. Las operaciones entre matrices por bloques se realizan análogamente a las operaciones entre matrices, con la única condición de que los bloques se puedan operar entre si. Para realizar el producto de matrices A y B por bloques en necesario que: El numero de bloques columna de la matriz A, sea igual al numero de bloques fila de la matriz B.
Los bloques correspondientes podrán multiplicase cuando coincidan el numero de columnas de la matriz A y el numero de filas de la matriz B.
ejercicios: Realizar el producto de matrices por bloques de:
1 1 2 0 A 1 1 2 3
2 4 2 5
5 3 0 4
Maria Esperanza Santander
4 1 2 1 B 3 2 1 0
3
1 2 0
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Procedemos a separar las matrices en bloques tales que sea posible su multiplicacion
1 1 2 0 A 1 1 2 3
2
4
2
5
5 3 0 4
4 1 2 1 B 3 2 0 1
3
1 2 0
Procedemos a Calcular el nuevo elemento fila 1 columna 1 de la matriz C:`
] [ ] [ Procedemos a realizar los respectivos cálculos de la fila 1 columna 2
] [ ] [ Seguimos con el cálculo de la fila 2 columna 1 de C:
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[ ] [ ]
Calculamos el ultimo elemento de nuestra nueva matriz
] [ ] [ Expresado en forma lineal quedaria
[ ] por lo tanto nuestra respuesta seria la siguiente:
7 13 10 21 C 3 4 11 1
13
1 1 20
MATRICES REGULARES O INVERSIBLES:
Se dice que una matriz cuadrada A es invertible, si existe una matriz B con la propiedad de que
Maria Esperanza Santander
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siendo I la matriz identidad. Denominamos a la matriz B la inversa de A y la denotamos por A-1.
Ejemplo: 2 5 Supongamos A = 1 3 B=
3
-5
-1
2
Entonces: A.B =
A.B =
2 5 1 3 3
-5
-1
2
.
3
-5
-1
2
.
2 5 1 3
=
=
6-5
-10 + 10
3-3
-5 + 6
6-5
15 - 15
-2 + 2
-5 + 6
=
=
1 0 0 1 1 0 0 1
=I
=I
Puesto que AB = BA = I, A y B son invertibles, siendo cada una la inversa de la otra.
Metodo de Gauss:
Sea A una matriz cuadrada de ord en n. Para calcular la matriz inversa de A, que denotaremos como A −1 , seguiremos los siguientes pasos:
1 Construir una matriz del tipo M = (A | I), es decir, A está en la mitad izquierda de M y la matriz identidad I en la derecha. Consideremos una matriz 3x3 arbitraria:
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La ampliamos con la matriz identidad de orden 3.
2 Utilizando
el
método
Gauss
vamos
a
tran sformar
la
mitad
izquierda, A, en la matriz identidad, que aho ra está a la derecha, y la matriz que resulte en el lado derecho será la matriz inversa: A − 1 . F2 = F2 − F1
F3 = F3 + F2
F2 = F2 − F3
F1 = F1 + F2
F 2 = (−1) F 2
La matriz inversa es:
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A la inversa lo multiplicamos por la matriz orginal y tendremos una matriz Identidad (I) Por el metodo de determinantes:
Dada una matriz cuadrada A, se llama matriz adjunta de A, y se representa por Adj(A), a la matriz de los adjuntos, Adj(A) = (A ij). Ejemplo: Si tenemos una matriz tal que det (A) ¹ 0, se verifica:
Esto es fácil probarlo puesto que sabemos que la suma de los productos de los elementos de una fila por sus adjuntos es el valor del determinante, y que la suma de los productos de los elementos de una fila por los adjuntos de otra fila diferente es 0 (esto sería el desarrollo de un determinante que tiene dos filas iguales por los adjuntos de una de ellas). lo de la mat riz inv ers a
1 Calculamos
el
de terminante
de
la
matriz,
en
el
caso
que
el
determinante sea nulo la matriz no tendrá inversa.
2 Hallamos la matriz adjunta, que es aquella en la que cada elemento se sustituye por su adjunto.
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3 Calculamos la traspuesta de la matriz adjunta.
4 La matriz inversa es igual al inverso del valor de su determinante por la matriz traspuesta de la adjunta.
A la inversa lo multiplicamos por la matriz orginal y tendremos una matriz Identidad (I) PROPIEDADES DE LA MATRIZ INVERTIBLE:
La inversa de una matriz, si existe, es única.
La inversa del producto de dos matrices es el producto de las inversas cambiando el orden:
Si la matriz es invertible, también lo es su transpuesta, y el inverso de su transpuesta es la transpuesta de su inversa, es decir:
Y, evidentemente:
Una matriz es invertible si y sólo si el determinante de A es distinto de cero. Además la inversa satisface la igualdad:
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MATRIZ TRANSPUESTA:
Se llama matriz traspuesta de una matriz de dimensión , a la matriz que se obtiene al cambiar en las filas por columnas o las columnas por filas. Se representa por y su dimensión es PROPIEDADES DE LA MATRIZ TRANSPUESTA:
Para toda matriz
Sean A y B matrices con elementos pertenecen a un anillo
Si el producto de las matrices
Si
y
y sea
:
está definido,
es una matriz cuadrada cuyas entradas son números reales, entonces .
Ejemplos:
Maria Esperanza Santander
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