Producto Cartesiano

2.1 PRODUCTO CARTESIANO

El producto cartesiano tiene como eje central el trabajo de conjuntos, ya sea de números o de otras entidades. Para esto debemos tener claro además, cuales son los conjuntos de los números y sus propiedades. (Figura 2.1) Figura 2.1 Conjuntos Numéricos

Naturales o Positivos Enteros

Negativos

Racionales Números Reales Irracionales

Naturales y el cero

Decimales exactos Fraccionarios

Puros Decimales periodicos Mixtos

Un conjunto es una lista, colección o agrupación de objetos bien definidos, los que se llaman elementos, y se escriben entre llaves separados por comas. Un conjunto puede ser descrito de dos formas:

i) Por Extensión:  Cuando se indican todos los elementos que lo forman. ii) Por Comprensión:  Cuando se indican sus elementos por medio de una propiedad precisa, que permita identificarlos a todos ellos y sólo a ellos. El concepto de relación implica la idea de correspondencia entre los elementos de dos conjuntos que forman parejas ordenadas.

Cuando se formula una expresión que liga dos o más objetos entre sí, postulamos una relación (no necesariamente matemática) Por ejemplo: Podemos definir la relación como La correspondencia que hay entre TODOS o

ALGUNOS elementos del primer conjunto con UNO o MÁS elementos del segundo conjunto. Cuando hablamos de relaciones en las matemáticas no es un concepto tan lejano a lo que se conoce como una relación entre otros entes (personas, objetos, etc.); hablamos de la relación que existe entre Chile y Argentina, una relación que los “estar dentro del mismo continente” ; o tal vez hablar de la relación que une, es “estar dentro

existe entre un colegio y un grupo de adolescentes que pertenecen al establecimiento, la relación es “ser estudiante del Colegio” . Ahora bien, en matemática, el concepto no es tan lejano a lo que se ha comentado. Una relación matemática debe tener presente el Plano Cartesiano, (Figura 2.2). Que está compuesto por el eje

 (eje de las abscisas) y el eje  (eje de las ordenadas).

Cuando se trabaja con el plano cartesiano, se está trabajando con pares ordenados, , donde

 es la primera componente e  es la segunda

componente. En el plano cartesiano se ubican puntos mediante mediante pares ordenados

, representa un punto donde  es la posición del eje de las abscisas e , es la posición del eje de las ordenas, estas se grafican como se muestran en la (Figura 2.3). El par ordenado

, representa un único punto en el plano

cartesiano, y un punto está representado por un único par ordenado.

Figura 2.3 Puntos en el Plano Cartesiano

Figura 2.2 Plano Cartesiano

Y

Y

5

4

4

3

I Cuadrante

II Cuadrante

(3,5)

3

2

2 1

1

X

-4

-3 -3

-2 -2

-1 -1

1

2

3

4

X

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

-1

-1 -2

IIICuadrante

-2

IV Cuadrante -3

(-2,-3) -4

-3 -4

El plano cartesiano, es un sistema de

Puntos localizados en el plano

referencia respecto a dos ejes que se

cartesiano.

cortan en un punto llamado origen de coordenadas.

En

coordenadas

el

plano,

cartesianas

las (o

rectangulares) son las abscisas y las ordenadas abscisas

respectivamente. son

las

Las

primeras

componentes del par ordenado y las ordenadas las segundas componentes.

   

Para poder entender las funciones, debemos comprender el

“Producto

Cartesiano”, su definición, sus propiedades y la importancia de ésta en la ciencia

de las matemáticas.

Definición Nº1: Producto Cartesiano Dado dos conjuntos     , se llama Producto Cartesiano de     en ese orden simbolizado por     , al conjunto de todos los pares ordenados cuyas primeras componentes pertenecen al conjunto al conjunto

  y las segundas componentes pertenecen

.

Por comprensión:

                             EJEMPLO Nº1: Si

        entonces:

           Luego, notemos que

   y     .

Observación:

    EJEMPLO Nº2: Si       Por extensión:

 

            

Por compresión: 

            

Se representa gráficamente como lo muestra la figura 2.4.

Figura 2.4 Producto Cartesiano de



Y

2

1

(0,0) -2

-1

(0,-1)

(1,0)

(2,0)

1

2

(1,-1)

(2,-1)

X

-1

-2

Si el conjunto   tiene  elementos y el conjunto

 tiene  elementos, entonces la cantidad de pares ordenados que existe en el producto cartesiano     es (  ). Es decir, si   es la cardinalidad (cantidad de elementos) de   y   la de  tenemos que si     y      entonces          Del ejemplo anterior, notemos que:

                    Observación: Si 

  o bien    entonces     

EJEMPLO Nº3: Si 

     (números naturales múltiplos de 2) y   

Entonces,

    

Por comprensión: Por extensión:

           

                     

Notemos que:

          Luego  

   

2.1.1 REPRESENTACIÓN GRÁFICA DEL PRODUCTO CARTESIANO La representación grafica del producto cartesiano puede darse de dos maneras, a través del plano cartesiano o a través de la representación del diagrama sagital. Al graficar en el plano cartesiano, debemos considerar los conjuntos en los cuales estamos trabajando. El producto cartesiano pueden resultar ser: puntos, segmentos, rectas, rayos o regiones rectangulares. EJEMPLO Nº4: Sea  

     Notemos que       

                     Figura 2.5 Representación Gráfica de   y

3

(-1,2)

(0,2)

(1,2)

(-1,1)

(0,1)

(1,1)

(-1,0)

(0,0)

(1,0)

-1

2

1

1

Y

EJEMPLO Nº5: Si

            y            Figura 2.6 Representación Gráfica en el plano de la región  Y

3

2

1 X

-3

-2

-1

1

2

3

-1

Sea   

        Luego el producto cartesiano

                   .La representación sagital viene dada por la figura 2.7 Figura 2.7 Representación Sagital  

A

B

Producto Cartesiano de   El producto cartesiano definido sobre  , significa tomar como primera componente un elemento del conjunto A y como segunda componente también un elemento del conjunto A. Esto es:

               EJEMPLO Nº5: El producto cartesiano definido en el conjunto    Escrito por Comprensión:      

 viene dado por

                  

Escrito por Extensión:

              2.1.2 PROPIEDADES DEL PRODUCTO CARTESIA CART ESIANO NO Sean (a)

       y   , conjuntos no vacíos, se cumple que:               

El producto cartesiano de dos conjuntos

    , es vacio si, y sólo si uno de los

conjuntos es vacio. (b)

                      

El producto cartesiano de dos conjuntos

    es conmutativo si, y sólo si uno de

los conjuntos es vacío. (c)

Distributividad Distributivida d del producto cartesiano respecto a: i.

                    (La unión)

ii.

                     (La intersección)

iii.

                   (La diferencia)