prod_1997-ProgramaçãoLinear

September 26, 2017 | Author: Ricardo Vilela | Category: Linear Programming, Accounting, Spreadsheet, Microsoft Excel, Limit (Mathematics)
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Usando Programação Linear na Contabilidade Decisorial Valcemiro Nossa Professor da Universidade Federal do Espírito Santo (UFES) Mestre e Doutorando em Controladoria e Contabilidade (FEA/USP) Diretor Presidente, Professor e Pesquisador da FUCAPE Email: [email protected]

José Ferreira Chagas Mestre em Contabilidade e Controladoria (FEA/USP)

Artigo apresentado no V CONGRESSO INTERNACIONAL DE CUSTOS, em Acapulco, México, em julho/97, publicado na Revista Brasileira de Contabilidade (RBC) nº 107, de set/out de 1997 e na Revista COSTOS Y GESTION nº 27, março/1998, editada pelo Instituto Argentino de Professores Universitarios de Costos (IAPUCO);

Resumo O

estudo

focaliza

a

utilidade,

eficiência

e

eficácia

da

técnica de programação linear no cotidiano dos profissionais que utilizam

a

Contabilidade

para

fins

decisoriais.

Os

autores

demonstram, com exemplos práticos do dia-a-dia, como os contadores podem

se

valer

dessa

técnica

para

a

produção

de

informações

relevantes e dinâmicas e como devem interpretar essas informações. Ressaltam a facilidade de uso linear

e a aplicabilidade da programação

em qualquer tipo de empresa ou instituição, especialmente

após o surgimento das planilhas eletrônicas. Palavras-Chave: Contabilidade Gerencial. Programação Linear. Uso de Planilha Eletrônica.

Margem

de

Produção

Otimizada.

Função-objetivo.

Restrição. Contribuição Marginal. SOLVER. Grau de Sensibilidade. Custo de Oportunidade.

1

1. INTRODUÇÃO Uma

das

mais

nobres

funções

do

profissional

de

Contabilidade

é

o

suprimento de informações de controle para suporte a decisões econômicas. Essa função cresce ainda mais em importância à medida que, neste final de século, são aceleradas as mudanças no meio ambiente empresarial, decorrentes, em sua

maioria,

do

internacional,

avanço

marcada

tecnológico

pela

e

maior

da

nova

configuração

desregulamentação,

da

exposição

economia

a

riscos,

agilidade e competitividade dos mercados. O cenário exige novas competências. Não basta uma resposta correta para uma

questão

complicada.

Em

geral,

um

problema

exige

várias soluções,

todas

fornecidas com informações ágeis e consistentes. Definitivamente não há mais lugar para a improvisação e para decisões intuitivas. Tornou-se quantitativos

imprescindível

na

prestação

para

de

os

contadores

soluções

para

os

a

utilização

problemas

do

de

métodos

dia-a-dia

das

empresas e instituições. Uma das ferramentas com maior potencial de uso é a programação linear. Este tornou-se

artigo essa

procura

técnica

demonstrar

para

os

quão

útil,

profissionais

eficiente

contábeis,

e

indispensável

notadamente

com

o

surgimento das planilhas eletrônicas, as quais propiciam amplas facilidades para o manuseio dessa e de outras técnicas matemáticas e estatísticas. A questões

interpretação do

cotidiano

enriquecedores

da

dos

resultados

empresarial

formação

do

da

e

aplicação

da

institucional

contador.

Nos

é

últimos

programação um

dos

anos,

linear

aspectos

em

mais

felizmente,

os

microcomputadores e as planilhas eletrônicas tornaram-se os grandes parceiros dos profissionais, pois agregaram rapidez, eficiência e eficácia no emprego dessa ferramenta, conforme será mostrado neste trabalho. Os

aspectos

conceituais

mais

relevantes

mostrados no primeiro tópico do artigo.

da

programação

linear

serão

A seguir, os autores procuram ressaltar

a praticidade da operacionalização da técnica, especialmente quando se usa uma planilha eletrônica1. Será desenvolvido um exemplo aplicativo, com o uso do recurso “SOLVER” disponível na planilha Microsoft Excel para Windows 952, versão 7.03.

Após

a

evidenciação

de

como

determinar

e

interpretar

as

informações

fornecidas, os autores manifestam suas conclusões sobre o tema.

1

A programação linear é aplicada em diversos softwares. Neste artigo será utilizado um deles: a planilha eletrônica Microsoft Excel. 2 O software Microsoft Excel para Windows 95 é uma marca registrada de propriedade da Microsoft Corporation. 3 A versão 5.0 do Microsoft Excel também torna disponível o recurso “SOLVER”. Em português, no entanto, a versão 5.0 não gera o “Relatório Grau de Sensibilidade”, o qual, conforme será adiante explanado, é essencial aos propósitos deste artigo.

2

2. USOS DA PROGRAMAÇÃO LINEAR 2.1. Conceitos A

programação

linear

é

uma

técnica

matemática

que

tem

por

objetivo

“encontrar a melhor solução para problemas que tenham seus modelos representados por expressões lineares”.4 Assim, o âmbito da programação linear se restringe aos problemas cuja representação simbólica possa ser feita por uma linha reta em um gráfico. São aqueles problemas que usam operações aritméticas simples como, por exemplo: adição e subtração, e funções predefinidas tais como SOMA, TENDÊNCIA e PREVISÃO. Problemas

não-lineares

são

os

que

apresentam

um

ou

mais

elementos

desproporcionais entre si e cuja representação em um gráfico se dá através de uma linha curva. Isso pode ocorrer quando: a) as variáveis estiverem divididas ou multiplicadas umas pelas outras; b) uma exponencial for usada no problema; c) funções

predefinidas como CRESCIMENTO e RAIZ, ou quaisquer funções

logarítmicas forem usadas. Existem outras técnicas, fora do escopo deste trabalho, para a solução de problemas de modelos não-lineares. Um modelo, segundo STEVENSON5 “é uma versão simplificada de algum problema ou situação da vida real destinada a ilustrar certos aspectos do problema sem levar em conta todos os detalhes.”. Portanto, pode-se formalizar e quantificar os

aspectos

de

um

problema

através

de

representações.



modelos

verbais

(palavras e sentenças), modelos gráficos, modelos numéricos (números e equações) e modelos físicos (tridimensionais). Para tratados

fins

os

deste

modelos

artigo,

numéricos

conforme

foi

representados

mencionado por

acima,

expressões

apenas

lineares

serão

(linhas

retas). A programação linear consiste na maximização ou minimização de uma função linear,

denominada

igualdades

ou

função-objetivo,

desigualdades

que

respeitando-se

recebem

o

nome

um

de

sistema

restrições

linear do

de

modelo.

Restrição é aquilo que impede um melhor desempenho de um sistema e representa normalmente limitações de recursos disponíveis (capital, mão-de-obra, recursos minerais 4

ou

fatores

de

produção)

ou

exigências

e

condições

que

devem

ser

BREGALDA, Paulo Fábio, OLIVEIRA, Antonio A . F. de, BORNSTEIN, Cláudio T. Introdução à Programação Linear. 3. ed. Rio de Janeiro: Campus, 1988, p. 61.

3

cumpridas no problema. As restrições delimitam uma região de um plano na qual se insere o conjunto das soluções viáveis. A melhor dessas soluções, ou seja, aquela que maximiza ou minimiza a função-objetivo é chamada solução ótima. A programação linear visa determinar essa solução ótima. Esses conceitos de função-objetivo, restrição e solução ótima podem ser melhor compreendidos quando inseridos em situações da vida real das empresas, conforme será demonstrado no caso prático a seguir.

2.2. Exemplo Imaginemos que seja solicitada ao contador de uma indústria de lingerie

a

determinação de um mix ideal de produção para a empresa. O contador obtém as seguintes informações: 1. Margens de contribuição dos produtos, por unidade:

PRODUTO

MARGEM DE CONTRIBUIÇÃO UNITÁRIA

Anágua

R$ 3,00

Baby-doll

R$ 5,00

Camisola

R$ 8,00

2. Restrições à produção:

A produtos

QUANTIDADE REQUERIDA PELOS PRODUTOS

ITEM

QUANTIDADE

RESTRITIVO

MÁXIMA

ANÁGUA

BABY-DOLL

CAMISOLA

DISPONÍVEL

( a )

( b )

( c )

Espaço Físico (m2)

5.000

8

2

3

Tecido (m)

8.000

2

8

3

Horas-máquina (hm)

7.000

2

3

8

solução que

ótima,

neste

maximizasse

a

caso,

seria

a

melhor

função-objetivo,

aqui

combinação denominada

possível

de

Margem

de

Contribuição Total (MCT), ou seja:

Maximizar MCT = 3 a 5

+

5 b

+

8 c

STEVENSON, William J. Estatística Aplicada à Administração. Tradução de Alfredo Alves de Farias. São Paulo:

4

a

qual

está

sujeita

às

seguintes

restrições

(limitações

de

recursos):

8 a

+ 2 b

+ 3 c

=0) e passaria para maior ou igual a 10 ($B$2>=10). Definidos os parâmetros,

o passo seguinte é definir as opções do “SOLVER”

(clicar o botão “Opções”).

Passo 4: Definição das Opções do “SOLVER”

Nesta fase são indicadas opções que permitem administrar a forma como o programa

irá

resolver

o

problema.

Possibilitam

a

melhoria

da

precisão

do

resultado obtido e o tempo consumido na solução do problema. Dependendo da escolha, a solução poderá ser encontrada com maior ou menor rapidez, com maior ou menor precisão. Opções mais avançadas (Estimativas, Derivadas, Localizar) também estão disponíveis. O “SOLVER” normalmente apresenta uma pré-definição padronizada, devendo ser

alterada

unidimensional,

somente

nos

extrapolação

casos linear

de de

problemas um

vetor

mais

complexos

tangencial,

(pesquisa

extrapolação

quadrática etc.). Em qualquer caso, a consulta à função “Ajuda” será bastante útil.

10

Após certificar-se de que as opções estão preenchidas corretamente, clicar “OK” e, em seguida, “Resolver”.

Passo 5: Avaliação dos Resultados Parciais

Na

hipótese

resultados interrompido

de e

de,

no

iteração”, o

“SOLVER”

Passo a

4,

cada

exibirá

haver

solução uma

sido

assinalada

parcial

janela,

a

encontrada

como

a

opção o

mostrada

“Exibir

sistema abaixo.

é Os

resultados parciais deverão ser analisados e escolhida a opção de “Continuar” ou “Parar”. No caso de não ser pedida a exibição de tentativas de solução, o “SOLVER” apresentará o resultado que encontrar.

11

Passo 6: Resolução do Problema

Tendo prosseguirá

sido

escolhida

buscando

a

a

solução

opção

“Continuar”

ótima

para

o

no

Passo

problema.

5,

Quando

o

“SOLVER”

encontrado

o

resultado, pode-se então “salvar” a solução, retornar aos valores originais, ou então solicitar a geração dos relatórios (“Relatório de Resultado”, “Relatório Grau de Sensibilidade” e “Relatório de Limites”), conforme as opções oferecidas. A interpretação do “Relatório Grau de Sensibilidade” somente será tratada no tópico 2.4.

12

Para obtenção de relatórios, deve-se assinalar aquele(s) desejado(s) ou, se desejar todos, manter pressionada a tecla “CTRL” e clicar sobre todos os tipos de relatório. No final, clicar “OK”.

Passo 7: Interpretação da Planilha Final

Na planilha final é indicada qual a quantidade de cada produto deve ser produzida para maximizar a margem de contribuição total, otimizando os recursos. Qualquer outra combinação que se fizer entre as quantidades não conseguirá atingir a margem de contribuição total calculada como solução ótima. Também

nesta

planilha

são

informados

os

totais

de

recursos

escassos

(espaço físico, tecido e horas-máquina) que serão necessários para a fabricação do mix de produtos.

Passo 8: Interpretação do “Relatório de Resultados”

• “Relatório de Resultados” espelha os dados da planilha inicial e dos resultados obtidos.

13

Microsoft Excel 7.0c Relatório de resultados Planilha: [TESTES.XLS]DADOS1 Relatório criado: 21/1/97 15:23 Célula de destino (Máximo) Célula Nome Valor Valor final original $E$4 Margem Total 0 8715 Células ajustáveis (variáveis) Célula Nome Valor Valor final original $B$2 Quantidade Anágua 0,0 238,5 $C$2 Quantidade Baby-doll 0,0 738,5 $D$2 Quantidade Camisola 0,0 538,5 Restrições Célula Nome Valor da Fórmula célula $E$10 Total espaço físico (m2) 5000 $E$10=0

Status

Diferencial

Obrigatório Obrigatório Obrigatório Não obrigatório Não obrigatório Não obrigatório

0 0 0 238,5 738,5 538,5

✔ Valor Original - valor(es) informado(s) na planilha inicial, a partir do(s) qual(is) o software iniciou as iterações. ✔ Valor Final - valor da célula que otimizará a solução e das variáveis básicas.

No

exemplo,

a

margem

de

contribuição

total

(MCT)

e

as

quantidades de produtos a fabricar. ✔ Valor da célula - valor de cada restrição, de acordo com a solução encontrada. ✔ Fórmula

-

cada

uma

das

expressões

lineares

representativas

das

restrições, as quais foram informadas no Passo 3. ✔ Status - Obrigatório - significa que não houve diferença entre o valor da restrição inicial e o valor do recurso necessário calculado para a solução ótima. A restrição, neste caso, está justa, não existe folga; - Não Obrigatório - significa que houve diferença entre o valor da restrição original e o valor do recurso calculado. Havendo diferença há folga do recurso.

14

✔ Diferencial

-

valor

da

diferença

(folga)

existente

entre

o

recurso

necessário calculado e o valor original da restrição. Este valor será diferente de zero quando o Status for do tipo “Não Obrigatório”, ou seja, quando existir folga de recurso.

Passo 9: Interpretação do “Relatório de Limites”

Microsoft Excel 7.0c Relatório de limites Planilha: [TESTES.XLS]DADOS1 Relatório criado: 21/1/97 15:23 Destino Célula Nome $E$4 Margem Total

Valor 8715

Ajustável Célula Nome $B$2 Quantidade Naágua $C$2 Quantidade Baby-doll $D$2 Quantidade Camisola

Valor 238,5 738,5 538,5

✔ Limite

mínimo

-

é

o

mínimo Resultado Limite de destino 0,0 8000,0 0,0 5023,1 0,0 4407,7

menor

valor

que

uma

máximo Resultado Limite de destino 238,5 8715,4 738,5 8715,4 538,5 8715,4

variável

básica

(célula

ajustável: quantidade de anáguas, quantidade de baby-dolls, quantidade de camisolas) pode assumir enquanto todas as demais células variáveis são mantidas fixas e ainda satisfazem todas as restrições. ✔ Limite

máximo

-

é

o

maior

valor

que

uma

variável

básica

(célula

ajustável: quantidade de anáguas, quantidade de baby-dolls, quantidade de camisolas) pode assumir enquanto todas as demais células variáveis são mantidas fixas e ainda satisfazem todas as restrições. ✔ Resultado de destino - corresponde ao valor da célula-meta (aquela que se

pretende

maximizar/minimizar)

da

quando

função-objetivo,

a

célula

variável analisada está em seu limite mínimo ou máximo. Na indústria de lingerie em análise, a solução ótima é produzir 238,5 anáguas, 738,5 baby-dolls e 538,5 camisolas. Não sendo produzida nenhuma anágua e

prevalecesse

a

quantidade

dos

outros

produtos,

todas

as

restrições

continuariam sendo satisfeitas. Ocorreria, no entanto, uma redução da margem de contribuição

total

de

$

8.715

para

$

8.000

concomitante

com

uma

sobra

de

recursos. Neste caso, o Status das restrições no “Relatório de Resultados” seria

15

do tipo “Não Obrigatório”. Por outro lado, se fossem produzidas 240 anáguas e fossem

mantidas

as

quantidades

fabricadas

dos

outros

produtos,

faltariam

recursos e seria necessário aumentar o valor de algumas restrições. Ou seja: o limite máximo de produção de anáguas é de 238,5 unidades. Ultrapassado esse limite,

faz-se

necessária

a

alteração

no

valor

das

restrições.

No

caso

específico, a fabricação do produto anágua pode oscilar entre 0 e 238,5 unidades sem afetar nenhuma das restrições. Esse raciocínio é valido para os demais produtos. 2.4. Uso da programação linear como instrumento de controle gerencial Chama-se Análise de Sensibilidade o estudo realizado após a identificação de um resultado otimizado de um problema através da técnica de programação linear. Ao se encontrar a denominada solução ótima, deve-se proceder uma crítica ao modelo diante de possíveis alterações nas variáveis que possam afetar o resultado. Isso corresponde à etapa de pós-otimização. A planilha eletrônica oferece, além do “Relatório de Resultados” e do “Relatório

de

Limites”

e

das

amplas

possibilidades

de

simulações dos dados

originais, o “Relatório Grau de Sensibilidade”, com informações preciosas para a etapa de pós-otimização. Microsoft Excel 7.0c Relat. grau de sensibilidade Planilha: [TESTES.XLS]DADOS1 Relatório criado: 21/1/97 15:23 Células variáveis Valor Custo Coeficiente Célula Nome final reduzido objetivo $B$2 Quantidade Anágua 238,5 0,0 3 $C$2 Quantidade Baby-doll 738,5 0,0 5 $D$2 Quantidade Camisola 538,5 0,0 8 Restrições Valor Diferença Valor de Célula Nome final de preço restrição $E$10 Total espaço físico (m2) 5000 0,090 5000 $E$11 Total tecido (m) 8000 0,279 8000 $E$12 Total horas-máquina (hm) 7000 0,862 7000

Aumento Redução permitido permitida 15,57 0,64 3,50 1,88 3,50 5,60 Aumento Redução permitido permitida 21000 1690,91 10500 4965,52 5166,67 3500

2.4.1. Conceitos importantes Convém destacar duas das informações fornecidas pelo Relatório que são consideradas

importantíssimas

para

o

julgamento

de

quem

toma

decisões:

os

conceitos de custo de oportunidade (no relatório denominado “Custo Reduzido”) e de Shadow Price (chamado “Diferença de Preço” no relatório).

16

Custo de Oportunidade e Shadow Price se equivalem em significado e estão intimamente relacionados. No Relatório designam elementos diferentes: ✔ “Custo

reduzido”

(de

oportunidade)

-

informa

o

montante

que

será

incorrido, em termos de custos, se determinado produto (célula variável) for fabricado. ✔ “Diferença de preço” (Shadow Price) designa quanto se deixa de ganhar por não se dispor de uma unidade a mais da variável restritiva. Outras informações: ✔ Valor Final - valor da solução ótima para as células variáveis e para as restrições. ✔ Coeficiente Objetivo - coeficiente da célula ajustável (variável básica) na função objetivo. ✔ Aumento/Redução permitida • Nas

células

coeficiente qualquer

variáveis:

objetivo

uma

das

sem

refere-se que

células

haja

ao uma

limite

de

alteração

variáveis.

Por

aumento/redução

do

no

de

valor

exemplo:

a

final margem

de

contribuição do produto anágua, que é de $ 3, poderá ser diminuída em até $ 0,64 ($ 3 - $ 0,64 = $ 2,36) ou aumentada em até $ 15,57 ($ 3 + $ 15,57 = $ 18,57), que em nada alterará a composição das quantidades (Valor

Final).

A

margem

de

contribuição

do

produto

“b”

(baby-doll)

poderá variar entre $ 3,12 e $ 8,50, enquanto que a do produto “c” poderá ir de $ 2,40 a $ 11,50; • Nas restrições: refere-se ao limite de aumento/redução do valor da restrição sem que haja uma alteração no valor da “Diferença de Preço”.

Interpretando

cuidadosamente

esses

dados,

o

contador

disporá

de

informações fora do convencional, muito mais dinâmicas e relevantes para fins de controle, como serão vistas adiante.

2.4.2.Questões não convencionais respondidas pela técnica de programação linear

17

Na dinâmica do dia-a-dia, são muitas as questões de natureza econômica para as quais o contador deve apresentar soluções, na maioria das vezes com muita rapidez. Mais uma vez o uso da programação linear e dos microcomputadores vêm em seu auxílio. 2.4.2.1.Questão 1: Montante perdido se 1 unidade a mais fosse produzida Suponhamos que fosse solicitada ao contador da indústria de lingerie a informação sobre o montante que seria perdido se 1 unidade a mais do produto “a” (anágua) fosse fabricada e se o produto “b” (baby-doll) mantivesse a mesma quantidade da solução ótima. Neste caso a planilha original deveria ser recomposta, incluindo-se uma restrição para que a quantidade de anáguas fosse igual a 239,5 (238,5 apurados na solução ótima mais 1 unidade = 239,5) e outra restrição para que a quantidade de baby-dolls seja igual a 738,5 (mesma quantidade encontrada na solução ótima). Com

as

alterações

o

“Relatório

Grau

de

Sensibilidade”

passa

a

ser

o

seguinte: Microsoft Excel 7.0c Relat. grau de sensibilidade Planilha: [TESTES.XLS]DADOS3 Relatório criado: 21/1/97 15:32 Células variáveis Valor final 239,5 738,5 535,7

Célula Nome $B$2 Quantidade Anágua $C$2 Quantidade Baby-doll $D$2 Quantidade Camisola

Custo reduzido -18,3 -0,3 0,0

Coeficiente Aumento objetivo permitido 3 18,3333333 5 0,33333333 8 1E+30

Redução permitida 1E+30 1E+30 0,5

Restrições Célula Nome $E$10 Total espaço físico (m2) $E$11 Total tecido (m) $E$12 Total horas=máquina (hm)

Valor Diferença final de preço 5000 2,667 7994 0,000 6980 0,000

Valor de restrição 5000 8000 7000

Aumento permitido 6 1E+30 1E+30

Redução permitida 1607 6 20,1666667

O fato de se ter aumentado 1 unidade do produto “a” fez com que fosse diminuída a quantidade

do produto “c” (camisola) e, com isso, a margem de

contribuição total passasse para $ 8.696. Na situação anterior, que considerava a solução ótima, a margem de contribuição total era de $ 8.715. Percebe-se, então, que a produção adicional de 1 unidade de anágua, mantendo-se a mesma quantidade de baby-dolls, provoca uma diminuição na margem de contribuição total de $ 19.

18

Essa

diminuição

de

$

19

pode

ser

notada

no

“Relatório

Grau

de

Sensibilidade”, no campo “Custo Reduzido” (ou custo de oportunidade). Na coluna “Custo Reduzido” aparecem três valores ($ 18,3; 0,3; 0) que, somados, totalizam $ 18,6 ≅ $ 19. Isso indica que, a cada unidade fabricada acima da quantidade calculada na solução ótima, a margem de contribuição total estará sendo reduzida em $ 19. 2.4.2.2.Questão 2: Quantia ganha com o relaxamento de uma restrição No caso de ser pedida ao mesmo contador a informação de quanto seria ganho se uma restrição particular (hora-máquina, por exemplo) fosse relaxada em 10 unidades e as demais restrições permanecessem constantes, o quadro de restrições deveria ser alterado para que o total de horas-máquina passasse a ser menor ou igual (
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