Proceso Nacimiento y Muerte.pdf

Universidad Nacional de Colombia Sede Medellín

La mayor parte de los modelos elementales de colas suponen que las entradas (llegadas de clientes) y las salidas (clientes que se van) del sistema ocurren de acuerdo al proceso de nacimiento y muerte.

Clase # 9

Nacimiento : Llegada Llegada de un nuevo cliente al sistema de colas

Proceso de nacimiento y muerte D i s eñ o : A n dr és G óm ez

9-1

Muerte : Salida del cliente servido

D i s eñ o : A n d r é s G ó m ez

9 -2

Suposición 2

Recordemos que N(t) es el número de clientes que hay en el sistema en el tiempo t. El proceso de nacimiento y muerte describe en términos probabilísticos como cambia N(t) al aumentar t.

Dado N(t) = n, la distribución de probabilidad actual del tiempo que falta para la próxima muerte (terminación del servicio) es exponencial con

µ n ( n = 1,2...) parámetro µ Suposición 1 Suposición 3 Dado N(t) = n, la distribución de probabilidad actual del tiempo que falta para el próximo nacimiento (llegada) es exponencial con parámetro λ n ( n = 0,1,2...)

Las variables aleatorias de los tiempos que faltan para la próxima llegada y para la terminación del servicio son mutuamente independientes T ransic ión en el es tado del proc eso

D i s eñ o : A n dr és G óm ez

9-3

El proceso de nacimiento y muerte es un tipo especial de cadenas de Markov de tiempo continuo.

λλ0 0

λ1 1

µ1

λ n-2 2

µ2

n-2

µ n-1

n

µn

n+1

o

n

n-1

D i s eñ o : A n d r é s G ó m ez

9 -4

Supongamos que en el tiempo cero se inicia el conteo del número de veces que el sistema entra en cualquier estado n y el número de veces que sale del mismo.

λ n-1 λ n

n-1

n

n+1

En(t) : Número de veces que el sistema entra al estado n hasta el tiempo t

µ n+1

λλ n : Tasa media de llegadas cuando el sistema está en el estado n.

Ln(t) : Número de veces que el sistema sale del estado n hasta el tiempo t

(Del n al n+1)

µµ n : Tasa media de salidas cuando el sistema está en el estado n. n. (Del n al n-1) D i s eñ o : A n dr és G óm ez

9-5

D i s eñ o : A n d r é s G ó m ez

9 -6

1

En(t) - Ln(t)

Como los dos tipos de eventos deben alternarse la diferencia será a lo sumo 1

≤1

En(t)

Lim t

∞ ∞

Ln(t)

Lim En(t) t En(t)

Lim ∞ ∞

t

t

-

-

Ln(t) t Ln(t) t

≤

t

1 t

: Tasa media a la que el proceso sale del estado n

t

9-7

Ecuaciones de balance

Diseño: Andrés Gómez

9 -8

Estado 0

Se deben construir las ecuaciones que expresan el principio de la tasa media de entrada igual a la tasa media de salida para todos los estados.

Diseño: Andr és Gómez

Tasa media global de entradas al estado 0

Tasa media global de salidas del estado 0

P1 representa la proporción de tiempo posible que el proceso se encuentra en el estado cero

Nota : µ µ0 = 0 ya que si el sistema est á en el estado 0 no puede haber muertes. 9-9

Diseño: Andrés Gómez

Estado 0

Estado 1

λλ0 P0 + µµ2 P2 = (λ 1 + µµ1 ) P1

Se continua con esta metodología y se deben construir para todos los demás estados. Recordemos que la sumatoria de las P n debe ser igual a 1

9-1 0

µ 1 P1 = λ 0 P0

Estado 1

λλ0 P0 + µµ2 P2 = (λλ1 + µ 1 ) P1

Estado 2

λλ1 P1 + µµ3 P3 = (λλ2 + µ 2 ) P2

Estado n-1

λλn -2 Pn -2 + µµ n Pn = (λλn -1 + µµ n -1) Pn -1

Estado n

λλn -1 Pn -1 + µµ n+1 Pn+1 = (λ n + µµn) Pn

Tasa media global de salidas del estado 1

Diseño: Andr és Gómez

Las Pn son las probabilidades de estado estable de encontrarse en el estado n.

µµ1 P1 = λ 0 P0

Después de construir las ecuaciones de balance para todos los estados en término de las probabilidades P n desconocidas, se puede resolver este sistema de ecuaciones ( más una ecuación que establezca que la suma de las P n debe ser 1).

Tasa media global de entradas al estado 1

∞ ∞

Para cualquier estado n (n=0,1,...) del sistema, la tasa media de entrada es igual a la tasa media de salida

=0

Diseño: Andr és Gómez

: Tasa media a la que el proceso entra al estado n

t

Sigue 9 -11

Diseño: Andrés Gómez

9-1 2

2

Estado

Estado

0

P 1 = ( λ 0 / µ 1 )P 0

0

P1 = ( λ 0 / µ 1 )P 0

1

µ2 )P 1 + (1 / µ 2 ) (µ 1 P1 -λ 0 P0 ) P2 = ( λ 1 / µ

1

P2 = ( λ 1 / µ 2 )P 1

2

µ3 ) (µ 2 P2 - λ 1 P1 ) P 3 = ( λ 2 / µ 3 )P 2 + ( 1 / µ

2

P3 = ( λ 2 / µ 3 )P 2

n-1

P n= (λ n-1 / µ µn )P n-1 +( 1 /µµ n ) (µ n-1 Pn-1 - λλn-2Pn-2)

n-1

Pn= (λ λ n-1 / µ n )P n-1

n

λ n / µµ n+1 )P n +( 1 /µµn+1 ) (µ n Pn - λ n-1 Pn-1 ) P n+1 = (λ

n

λ n / µµ n+1 )P n Pn+1 = (λ

Diseño: Andr és Gómez

9 -13

Diseño: Andrés Gómez

9-1 4

Para simplificar la notación sea

Estado 0

P1 = ( λ 0 / µ 1 )P 0

1

λ0 /µ 2 µ 1 ) P0 P2 = (λ 1 λ

2

λ 1 λλ0 / µµ3 µ 2 µ 1 ) P0 P3 = (λ 2  λ Cn =

n-1

Pn = (λ λn -1  λ λ n - 2 ....λλ0 / µµ n µ n-1 .....µ 1 ) P 0

n

µn .....µµ1 ) P0 Pn+1 = (λ n λ n - 1 ....λ 0 / µ n+1 µ

Diseño: Andr és Gómez

implica

∞ ∞

∞ ∞

n= 0

n= 0

n

Para n = 1,2,...

Para n = 0

Diseño: Andrés Gómez

9-1 6

Recordemos

{ Σ C }P = 1

Σ Pn = 1

µµ n µ n-1 .....µ 1

Cn = 1

9 -15

El requisito

λλn - 1 λλn - 2 ....λλ0

L: Número esperado de clientes en el sistema.

o

∞ ∞

De esta forma

L=

Σ nPn

n= 0

{ΣC} ∞ ∞

Po =

n= 0

Diseño: Andr és Gómez

-1

n

9 -17

Diseño: Andrés Gómez

9-1 8

3

Recordemos De las relaciones dadas anteriormente: Lq: Longitud esperada de la cola. W=

L

Wq =

λ

Lq

λ

∞ ∞

Lq =Σ (n-s)Pn n=s

Donde larga

El número de servidores s representa el número de clientes que pueden estar en servicio y no en cola al mismo tiempo

Diseño: Andr és Gómez

9 -19

λ

es la tasa de llegadas promedio a la

Diseño: Andrés Gómez

9-2 0

Aspectos a considerar

λ n : Tasa media de llegadas cuando el sistema se encuentra en el estado n (n=0,1,2,....)

Como

•

Varias de las expresiones tienen un número infinito de términos. Para muchos casos especiales estas sumas tienen solución analítica o pueden aproximarse por métodos numéricos.

Pn : Proporción de tiempo que el sistema está en este estado

•

Estos resultados de estado desarrollaron bajo la suposición λn y µ n tiene valores parámetros λ proceso, de hecho puede alcanzar la estado estable.

∞ ∞

λλ =

Σ λ nP n

n= 0

Diseño: Andr és Gómez

9 -21

sµ

9-2 2

La estación de gasolina de una pequeña población tiene capacidad para 2 aut omóviles únicamente.

λλn = 0 para algún n mayor que el estado inicial λ

Diseño: Andrés Gómez

Ejemplo

Esta última suposición se cumple si :

ρρ =

estable se de que los tales que el condición de

Cuando la estación está desocupada llegan 3 automóviles por hora, pero cuando en la estación hay un automóvil la tasa de llegadas disminuye a 2 aut omóviles por hora.