Proceso Experimental de Carga y Descarga de un Condensador

Proceso Experimental de Carga y Descarga de un Condensador Camilo Sandoval Ingeniería Multimedia Facultad de Ingeniería Universidad Autónoma de Occidente. Resumen

, y su diferencia de potencial será igual a la

Se estudió el proceso de carga y descarga de un condensador a partir de la conexión de un Circuito RC (Circuito compuesto de condensadores y resistencias), dichos condensadores se conectaron en cuatro configuraciones distintas: dos individuales, en serie y paralelo, con el fin de determinar sus capacitancias individuales y la capacitancia equivalente en dichas configuraciones. Por medio del Sensor de voltaje, la Interfaz Universal 850 y el Software Pasco Capstone, se observó la variación de voltaje con el tiempo en los procesos de carga y descarga de un solo condensador y de las configuraciones mencionadas anteriormente, los cuales están descritos por funciones exponenciales. Las curvas que representan los procesos de carga y descarga, se les realizo un ajuste adecuado con el cual se pudo determinar el valor de Tau, constante de tiempo del sistema (

τ ), la carga y

la energía almacenada en los condensadores una vez se cargaron. Introducción Un Circuito RC es aquel que está compuesto por resistencias y condensadores, los cuales son alimentados por una fuente eléctrica. Lo que caracteriza a estos circuitos es que con la simple acción de cargar y descargar, la corriente, los voltajes y las potencias si varían en el tiempo [1]. En un circuito RC cuando el tiempo es igual a cero, la carga (Q) en el condensador es cero, pero a medida que avanza el tiempo, el condensador se va cargando ya que hay una corriente (I) que circula. Cuando el tiempo es igual a cero, el condensador no tiene carga y la corriente se define según la ley de Ohm:

I =VR ; donde V es voltaje( V ) y R resistencia( Ω). Una vez el condensador se ha cargado completamente, ya no circula más corriente, por lo tanto

I =0

y la carga en el condensador será

Q=CV ; donde C es lacapacitancia , y V es el voltaje

cantidad de potencial que entrega la fem ( ε ), ya que a medida que el voltaje del condensador aumenta, la diferencia de potencial a través del resistor disminuye hasta llegar a cero. Para determinar el comportamiento del proceso de carga y descarga un condensador se aplica la ley de Kirchhoff de espiras, la cual plantea que la sumatoria de los voltajes debe ser igual a cero

ΣV =0, y se obtiene la siguiente ecuación.

q ε −iR− =0 Ecuacion 1 C En esta ecuación los términos

iR

q C

y

pertenecen a las diferencias de potencial del resistor y el capacitor respectivamente. Al despejar i, de la ecuación anterior se tiene lo siguiente.

ε q i= − Ecuación 2 R RC Para el proceso de carga de un condensador hay que tener en cuenta, que se parte desde la primera ley de Kirchhoff, sabiendo que inicialmente cuando el condensador esta descargado corriente inicial es

q=0 ;

la

i=ε / R , y a medida que el

condensador se va cargando el termino

q RC ,

aumenta llegando a su valor final donde la corriente llega cero, y cuando

i=0 , la Ecuación 2 queda

de la siguiente manera:

ε q final = Ecuación 3 R RC Así mismo si se toma el sentido de la corriente como positivo, sabemos que

i=dq /dt , una vez

se tiene claro esto la expresión anterior y la

ecuación 3 se reemplazan en la Ecuación 2, consiguiendo tener la siguiente ecuación:

dq ε q −1 = − = ( q−Cε ) Ecuación 4 dt R RC RC Cuando se tiene esta expresión, se reordena y se integra para poder determinar la carga y voltaje del condensador en función del tiempo. Se resuelve la integral y así se llega a la expresión de la carga del capacitor en Circuito RC.

∫

dq dt =−∫ q−Ec RC

(

−t

)

q ( t )=q 0 1−e RC Ecuaci ó n 5 Por último se reemplaza la ecuación 5 en la expresión

Q=CV , y de esta manera se

determina el voltaje de un condensador cargado en función del tiempo. −t RC

V ( t )=ε ( 1−e ) Ecuaci ó n5 Para el proceso de descarga de un condensador, hay que asumir que una vez el condensador está cargado, la batería ( ε ) se retira del circuito y es por esto que la carga con la cual quedo el condensador una vez se cargó y se desconectó de la fuente, va disminuyendo hasta llegar a cero y además se genera una corriente inicial que aumentará con respecto al tiempo, pero una vez se descargue completamente el condensador esta llegará a cero. Para determinar la carga y la diferencia de potencial en el condensador en un proceso de descarga, se aplica la ley de las espiras Kirchhoff, de donde la cual se obtiene lo siguiente, teniendo en cuenta que la fuente ya no está en el circuito:

iR+

Con la realización de este laboratorio se pretende estudiar el comportamiento de carga y descarga en un circuito RC, y así mismo a partir de métodos experimentales determinar la Capacitancia y la Constante

de

Tiempo

(

Tao−τ ) para las

diferentes configuraciones y también analizar el comportamiento del voltaje y la carga de estos en función del tiempo para ambos procesos (cargadescarga). Metodología Para poder hacer la práctica de la manera adecuada es necesario contar con los siguientes implementos y dispositivos.      

Interfaz Universal 850 Cables de Conexión Condensadores de 330µF, 470µF Sensor de Voltaje Multímetro Resistencia de 11,96KΩ

Primeramente se conecta la interfaz, al computador y el sensor de voltaje una vez está encendida la interfaz. Se ejecuta el software Pasco Capstone, en el cual se selecciona el canal al cual se conectó el sensor. Posterior a esto se habilita la opción sensor de voltaje-corriente de salida, en el menú de generador de señal y también se establece que la forma de onda será Onda cuadrada y el tipo de barrido: apagado. La amplitud y compensación de voltaje se definen en 5 V, y se habilita la opción automático, también hay que tener en cuenta que la frecuencia de la señal depende el valor de cual tendrá un valor distinto para configuración y se calcula sabiendo que:

τ , el cada

Siendo R la resistencia empleada para el sistema y C, la capacitancia de los condensadores empleados.

Finalmente la expresión anterior se integra y se despeja q: −t RC

q ( t )=Q ( e ) Ecuación6 Y para el voltaje en función del tiempo se

q en q=CV

( )

Q RC e Ecuación 7 C

τ =RC .( Ecuación 8)

q dq q dq −q =0 ; R+ =0; R= C dt C dt C

reemplaza nuevamente

−t

V ( t )=

[2]

.

Seguido de esto, se modifica el tiempo inicial de grabación como medio periodo de la señal, sabiendo que Periodo (T) = 1/frecuencia (f), y

f =1/(4 τ∗2) , por lo que estos datos también cambiaran para cada ensayo. Finalmente se

determina que la toma de datos se detenga cuando el tiempo de grabación sea igual al periodo de la señal y se crea un gráfico de voltaje vs tiempo para registrar la actividad. Hay que recordar que antes de realizar los circuitos, el valor de la resistencia debe ser medida con el multímetro, y se debe verificar que cada condensador este descargado para la toma de datos. A continuación se muestran las configuraciones de los condensadores establecidas para la práctica [3].

Figura 1. Configuración de condensadores

Resultados y Análisis A continuación se presentan los gráficos para los procesos de carga y descarga de los condensadores en cada una de sus configuraciones. Grafica 1: Voltaje vs Tiempo. Condensador 330 µF

Para todas las configuraciones de los condensadores el patrón del comportamiento del voltaje en función del tiempo es el mismo tanto para el proceso de carga y descarga. Se puede observar que en el proceso de carga del condensador, a medida que el tiempo aumenta, la diferencia de potencial en el condensador aumenta, mientras que en el proceso de descarga, la diferencia de potencial del condensador disminuye conforme pasa el tiempo.

Para confirmar esta relación se tuvo en cuenta la ecuación 5 y 7, y se determinó que el ajuste más adecuado para representar dichas ecuaciones, en todas las configuraciones era “Exponencial inverso” para el proceso de carga y “Exponencial natural” para el de descarga. De dichos ajustes se obtuvieron las siguientes ecuaciones.

f ( t )= A ( 1−e−B(t −¿) ) +C f ( t )= A ( e

−B (t−¿)

)+ yo

Donde A para los dos procesos es el voltaje máximo que entrega la fuente a los condensadores, recordando que en el proceso de carga es

q C ;

en el de descarga es

B=

Constante de Tiempo (

ε ,y

1 , RC

Configuración

y

Condensador 330 µF Condensador 470 µF Condensadores en Serie Condensadores en Paralelo

recordando la ecuación 8, se tiene que B es el inverso de τ

B=

:

1 τ

)

Valor experimental (s) Carg Descarga a

3,946

3,105

3,096

5,621

4,673

4,854

2,319

1,890

1,883

9,568

7,752

7,936

Posterior a determinar la constante de tiempo tanto experimental como teóricamente, se procede a escoger un valor experimental promedio con el fin de compararlo con el valor nominal o teórico.

Con el análisis anterior, se puede realizar la Tabla 1, teniendo en cuenta que el valor nominal fue calculado previamente, con los valores teóricos aplicados en la ecuación

Valor nominal (s)

τ

La incertidumbre absoluta de Tao ( Δ τ ), se

τ =RC

calculó de la siguiente manera: Tabla 1: Determinación de la Constante de Tiempo

Δ τ=

V exp−mayor −V exp−menor 2 Tabla 2: Incertidumbre y error para Constante de Tiempo (

Configuración

Condensador 330 µF Condensador 470 µF Condensadores en Serie Condensadores en Paralelo

Valor promedio

Δτ

τ (s)

s)

(

τ

)

Incertidumbre relativa

Δτ () τ

τ

Error (%)

Valor nominal−Valor promedio Valor nominal

3,100

4,5 x 10−3 0,145

21,439

4,763

0,090

1,889

15,264

1,887

3,5 x 10−3 0,185

18,628

7,844

0,092

18,018

Lo más notable de los datos registrados en la tabla, es que el Error para todos los ensayos es bastante considerable, esto puede deberse a que en el momento del registro de datos influyeron factores externos como la conexión del circuito, la no verificación de los condensadores descargados antes de montar cada circuito, o la configuración incorrecta de las condiciones de grabación para cada ensayo.

1,173

Capacitancia (C) individual y equivalente en los condensadores dependiendo su configuración. Este cálculo se realiza teniendo en cuenta que

C=

τ R , y que los valores experimentales y

nominales de Tao se deben tener en cuenta, es decir se obtuvo un valor de capacitancia nominal y otro experimental.

Una vez se determinó y se comparó la Constante de tiempo (

τ ), se procede a calcular la Tabla 3: Determinación de Capacitancia

Capacitancia ( Configuración

Valor nominal (µF)

Condensador 330 µF Condensador 470 µF Condensadores en Serie Condensadores en Paralelo

330 470 193,875 800

En la tabla 3, se puede observar que como se esperaba, los condensadores en paralelos tienen una capacitancia mayor a todas las configuraciones y en serie la capacitancia tiene el menor valor posible. El valor de la capacitancia experimental se

C

) Valor experimental (µF)

Carga

Descarga

Promedio

259,615 390,719 158,026 648,160

258,862 405,852 157,441 663,545

259,197 398,244 157,776 655,852

promedió, para obtener un resultado aproximado y poder obtener las incertidumbres y el porcentaje de error con respecto a la capacitancia calculada teóricamente. Dicha comparación se presenta registrada en la siguiente tabla.

Tabla 4: Incertidumbre y error para la Capacitancia Capacitancia (

Configuración

ΔC (µF)

C

)

Incertidumbre relativa

Error (%)

Valor nominal−Valor promedio Valor nominal

ΔC () C

Condensador 330 µF 0,376 0,145 21,455 Condensador 470 µF 7,140 1,793 15,267 Condensadores en Serie 0,293 0,186 18,620 Condensadores en Paralelo 7,693 1,173 18,018 Los datos de las incertidumbres y el error se calcularon de la misma manera, que en la Tabla 2 .

Nuevamente se puede observar que los porcentajes de error son muy altos y parecidos a los de la constante de tiempo ( τ ), ya que la capacitancia se calculó a partir del valor de este. Finalmente fue posible determinar el valor de la carga y la energía que se almaceno en cada condensador una vez se cargó, reiterando Donde C es la capacitancia experimental promedio hallada en la Tabla 3, V es el voltaje máximo que se alcanza en el proceso de carga y U es la energía almacenada.

nuevamente que estos valores se calcularon para cada configuración de conexión de los condensadores. Estos valores se determinaron mediante las siguientes ecuaciones:

1 Q=CV ; U= C V 2 2 En la Tabla 5, se puede apreciar que la carga para la configuración en serie es la menor carga y así mismo su energía almacenada, mientras que en paralelo la carga y la energía almacenada es mucho mayor.

Tabla 5: Carga y energía almacenada en un condensador cargado Configuración Condensador 330 µF Condensador 470 µF Condensadores en Serie Condensadores en Paralelo

Voltaje (V )Carga (µQ)

9,810 9,840 9,877 9,731

2542 3918 1558 6382

Energía almacenada(U)( J) 122316,0 189681,3 75995,4 302163,3

La información que se presentó en todas las tablas, se realizó por medio del análisis de las gráficas de procesos de carga y descarga para configuración, las cuales se presentan a continuación

Grafica 2: Voltaje vs Tiempo. Condensador 330 µF

Grafica 3: Voltaje vs Tiempo. Condensador 330 µF

Grafica 4: Voltaje vs Tiempo. Condensadores en serie

Grafica 5: Voltaje vs Tiempo. Condensador en paralelo

Discusión En la determinación de la constante de tiempo (

τ ), se pudo observar que el porcentaje de error comparando los valores experimentales y nominales, es muy grande esto puede deberse a que en el momento de la conexión los circuitos los condensadores no estaban totalmente descargados. Otro aspecto a resaltar es que pese al alto margen de error se logró determinar

τ

teórica y experimentalmente, dato con el cual aparte de poder calcular los valores de las capacitancias, cargas y energías almacenadas, sirve también para saber cuánto tiempo tarda el condensador en alcanzar el voltaje suministrado por la fuente, tiempo que depende de la configuración de los condensadores. Con respecto al objetivo principal el cual fue determinar las capacitancias de los condensadores y las equivalentes de las configuraciones, se comprobó lo que se calculó teóricamente, que en una conexión en serie la capacitancia equivalente (193,875 µF) es menor a cada una de las capacitancias individuales (330 µF, 470 µF) y en paralelo es mayor (800 µF), lo que significa que una configuración de condensadores en paralelo es capaz de almacenar más energía y carga.

Antes de determinar la carga y energía almacenada para cada configuración se supuso que la configuración en serie tendría el menor valor en dichos valores, lo cual se comprobó con los datos registrados en la Tabla 5, ya que la capacitancia es directamente proporcional a la carga, es decir si la carga en un condensador aumenta, la capacitancia también, así mismo ocurrió con la energía almacenada la cual depende del valor de capacitancia del condensador y del voltaje presente en ese instante. Para el proceso de carga, el voltaje aumento exponencialmente ya que en el instante de tiempo=0, el o los condensadores estaban descargados y al ser conectados a una fuente, estos se iban cargando con el voltaje suministrado por la fuente, pero a medida que el tiempo pasa su velocidad de carga disminuye y esto ocurre porque en ese instante los condensadores están por completar su carga, esto mismo ocurrió en el proceso de descarga donde se observó que los condensadores se iban descargando muy rápido pero a medida que el tiempo paso su velocidad de descarga disminuyo. Con este análisis es que se pudo comprobar el comportamiento exponencial de la diferencia de potencial en función del tiempo



Conclusiones 





Observando todas las gráficas anteriores se puede observar que para todas las configuraciones en ambos procesos, las curvas tienen comportamientos exponenciales para la diferencia de potencial en función del tiempo llegando así al mismo resultado que enuncian las leyes de Kirchhoff en las ecuaciones 5 y 7. Se comprobó que la configuración en serie de los condensadores tiene la menor capacitancia y menor constante de tiempo por lo tanto su proceso de carga y su capacidad de almacenar energía y carga es menor. La constante de tiempo en un circuito RC, es única para cada configuración de conexión y se determinó que para la configuración en paralelo,

τ

Referencias 

1



2



3

es mucho

mayor que en las demás configuraciones, puesto que su proceso de carga toma más tiempo y esto coincide con la capacidad de almacenar más carga.

Con el fin de mejorar la confiablidad de los datos se propone que para cada configuración de datos, se realice la toma de datos mínimo 3 veces, para tener más valores en el momento de comparar, generar mayor precisión y por ende disminuir el porcentaje de error.

SOCIEDAD ANDALUZA DE EDUACIÓN MATEMÁTICA THALES, Electrónica Circuitos RC. [Online]. Disponible: thales.cica.es/cadiz2/ecoweb/ed0184/Tema 2/2.5.1.htm SEARS, FRANCIS W; ZEMANSKY, MARK W; YOUNG, HUSH D, Carga eléctrica y campo eléctrico En: Física universitaria, edición 12, México, Addison Wesley, 1998. p 896-899. OSORIO ALEXANDER; RICO MONICA, Guía de laboratorio electroestática-Hielera de Faraday