problemes1996

PROBLEMES 1996 Afrique 96 On consid`ere ere un triangle triang le ABC  iso is oc`ele el e en e n A tel que le cˆot´e [AB ] mesure 7 , 5 cm et le cˆot´e [BC ] mesure 12 cm. Soit M  le milieu du segment [ BC ] et soit N  le projet´ pro jet´e orthogonal orthog onal 1 du point B sur la droite ( AC ). ). 1. Construire Construire la figure en vraie grandeur. 2. Que repr´esente esente la droite (BN ) pour le triangle ABC  ? Pourq Pourquoi? uoi? 3. Soit ( ) le cercle circonscrit au triangle ABN . On d´esigne esig ne par O le centre de ce cercle ( ).

C

C

(a) D´emontrer emontrer que q ue le triangl t rianglee AMB AM B est rectangle en M . (b) D´emontrer emont rer que q ue O est le milieu du segment [AB]. (c) D´emontrer emontrer que le point M  est sur le cercle ( ).

C

4. (a) (a) Expr Exprim imer er cos cos N CB dans le triangle CN B rectangle en N .  

(b) Calculer Calculer cos ACM  dans le triangle CAM  rectangle en M .  

(c) D´eduire eduire des deux questions questi ons pr´ec´ ec´edentes edentes que la longueur longueu r CN  est 9, 6 cm. (d) Calculer Calculer la longueur longueur BN . (e) Donner une valeur approch´ee ee de l’angle ACM  a` un degr de gr´´e pr` pr`es. es .  

5. Soit P  le sym´etrique etriqu e du point N  par rapport au point O. Placer le point P  et d´emontrer emont rer que le quadri qua drilat` lat`ere ere ANBP  est un rectangle.

Aix 96 Le plan est muni d’un rep`ere ere orthonormal ort honormal ( O, I, J ). ). On consid`ere ere les points A(6; (6; 5), 5), B (2; 3) et C ( 4; 0). 0).

−

−

1. Faire la figure sur la feuille de copie en prenant le centim`etre etre comme unit´e sur chaque axe. Le point p oint O, origine du rep`ere, ere, sera plac´e sur une ligne au centre de la feuille de copie.

√

2. Calculer Calculer les distances distances AB, BC  et CA ; donner les r´ esultats esultats sous la forme a 5 o`u a est un nombre nombre entier entier positif. 3. En d´eduire eduire la nature du triangle ABC . Justifier Justifi er la r´eponse. epon se. 4. Calculer Calculer l’aire du triangle triangle ABC .

√

5. Calcule Cal culerr le p´erim` eri m`etre etre du d u trian tr iangle gle ABC , donner d onner le r´esultat esulta t sous sou s la forme a 5, puis p uis la l a valeur arrondie arron die au dixi`eme eme de ce r´esulta esu ltat. t. 6. On consid`ere ere le cercle circonscrit au a u triangle ABC . (a) Pr´eciser eciser la position de son centre E  en justifiant justifia nt la l a r´eponse. epons e. Calculer Ca lculer les coordonn´ coor donn´ees ees de ce point. (b) D´eterminer eterminer la valeur exacte du rayon de ce cercle. 7. Calculer Calculer la valeur valeur exacte de tan ACB puis pui s une valeur appro app roch´ ch´ee ee au degr´ deg r´e pr` p r`es es de l’angl l’a nglee ACB .  

−→

 

8. Calculer les coordonn´ees ees du vecteur CA . En d´eduire eduire les coordonn´ coor donn´ees ees du point D tel que ACBD soit un parall´ ra ll´elogr elo gram amme. me.

1

Autrement dit, les droites (BN ) et (AC ) sont perpendiculaires.

PROBLEMES 1996 Allemagne 96 Le plan est muni d’un rep`ere ere orthonormal d’origine O. Choisir Ch oisir le centim`etre etre comme unit´e de d e longueur lon gueur sur chaque axe. a xe. (Utiliser (Utilis er une feuille de papier millim´etr´ etr´e.) e.) 1. Repr´esenter esenter dans un rep`ere ere le point A(5; 8), puis d´eterminer etermin er une ´equation equati on de la droite dr oite (OA). 2. Le point B (5; 0) est le pro jet´ e orthogonal de A sur l’axe des abscisses. Quelle est une ´equation equation de la droite ( AB) ? 4 3. Soit (d) la droite d’´equation equati on y = x + 4. 5 (a) Justifier Justifier par un calcul que A est un point de la droite ( d). (b) Soit Soit C  le point d’intersection de la droite (d) avec l’axe des abscisses. Calculer Calcule r les coordonn´ coor donn´ees ees du point C . (c) Tracer la droite (d). 4. La perpendiculaire `a la droite (d), passant par le point B , coupe la droite (d) au point K . D´eterminer etermi ner une ´equation equati on de d e la droite (BK ). 5. Calculer Calculer les longueurs longueurs exactes AB , BC  et AC . 6. (a) Calcul Calculer er l’ai l’aire re du trian triangle gle ABC . (b) En d´eduire eduire une valeur arrondie arrond ie au a u centi`eme eme pr`es es de la longueur longue ur BK . 7. Soit M  le milieu de [AC ]. ]. Les droites ( BM ) et (AO) se coupent en P . D´emontrer emontrer que la droite (CP ) coupe [AB] en son milieu.

Antilles 96 L’unit´ L’u nit´e de d e long l ongueur ueur est le centim` cent im`etre. etr e. Dans le plan muni d’un rep`ere ere orthonormal (O, I, J ), ), on consid`ere ere les points M ( 3; 1) ; N (3;1) et P (1; (1; 7). 7). 1. Faire une figure sur papier millim´etr´ etr´e. e. 2. Calculer Calculer les distances distances exactes M N , N P  et P M . 3. Montrer Montrer que le triangle triangle M N P  est isoc`ele ele et e t rectangle rectang le en e n N . 4. Calculer les co ordonn´ees ees du milieu du segment [ M N ]. 5. La parall` paral l`ele ele `a la droite (N P ) passant par O coupe la droite (M P ) en K . Que repr´esente esente le point K  pour le segment [M P ] ? Justifier Justifi er la r´eponse. epon se. En d´eduire eduire les coordonn´ coor donn´ees ees du point K . 6. D´eterminer etermin er une ´equation equati on de la droite (OK ). ). 7. Montrer Montrer que le coefficient coefficient directeur directeur de la droite ( N P ) est ´egal eg al a` 3. D´etermin eter miner er une u ne ´equati equ ation on de d e la droite dro ite (N P ).

− −

−

−−→

8. Construire le point Q translat´ transl at´e du point P  dans la translation de vecteur N M . Montrer que le quadrilat`ere ere ca rr´e. e. M N P Q est un carr´

Besancon 96 Le plan est muni d’un rep`ere ere orthonormal ort honormal ( O, I, J ). ). L’unit´ L’u nit´e est le centim` cent im`etre. etr e. 1. Dessiner un tel rep`ere ere sur une feuille de papier millim´etr´ etr´e. e. Dans ce rep` r ep`ere ere placer p lacer les points A(2; 11), 11), B ( 3; 6), 6), C (8; (8; 5). Tracer le triangle ABC . 2. D´eterminer etermin er une ´equation equati on de la droite (AB ). 3. Soit (d) la droite d’´equation equati on y = 3 x. (a) D´emontrer emontrer que les points B et C  sont situ´es es sur s ur la droite (d) c’est-` a-dire a-dire que les droites ( d) et (BC ) sont confondues. (b) D´emontrer emontrer que les droites ( AB ) et (BC ) sont perpendiculaires. (c) En d´eduire eduire la nature du triangle ABC . 4. S  est le milieu du cˆot´e [AC ]. ]. T  est le point de la droite ( d) qui A pour abscisse 2,5. (a) Calculer Calcule r l’ordonn´ l’o rdonn´ee ee de T . (b) D´emontrer emont rer que q ue T  est le milieu du segment [BC ]. (c) D´emontrer emontrer que qu e les droites dr oites ( ST ) et (AB) sont so nt parall` par all`eles. eles. (Plusieur (P lusieurss m´ethodes etho des sont so nt possibles po ssibles,, on n’en donnera qu’une seule.)

−

−

−

5. (a) D´ eterminer eterminer le rapport rapport des longueurs longueurs

ST  . AB

(b) Sachant Sachant que l’aire l’aire du triangle ABC  est 55 cm2 , quelle est l’aire du triangle ST C ? Justifier. Justifier.

PROBLEMES 1996 Bordeaux 96 A ABC  est un triangle tel que AB = 6, BC  = 10 et ABC  = 120˚. La hauteur issue de A coupe la droite ( BC ) au point H . (La   

  figure ci-contre est donn´ee ee a` titre indicatif on ne demande pas de la reproduire.) H B

C

1. (a) Calcul Calculer er la mesure mesure de l’ang l’angle le HB A. En d´eduir edu iree BH .  

(b) Calculer Calculer AH , puis l’aire du triangle ABC  (on donnera les valeurs exactes). (c) Prouver Prouver que AC  = 14. 2. M  est un point quelconque du segment [BC ]. On pose CM  = x (0 contenant M  coupe [AC ] en N .

≤ x ≤ 10). La parall`ele ele a` la droite (AB)

(a) Exprimer Exprimer en fonction fonction de x : N M  et N C , puis BM  et AN . (b) (b ) D´eduir edu iree de la ques qu esti tion on pr´ec´ ec´edente ede nte que qu e le p´erim` er im`etre et re 1 du triangle N M C  vaut 3x et que qu e le p´erim er im``etre et re 2 du 9 tra tr ap`eze ez e ABMN  vaut x + 30. 5 3. (a) Tracer sur une mˆeme eme figure, pour compris entre 0 et 10, les repr´esentations esentations graphiques, dans un rep`ere ere 9 orthogonal, de la fonction qui `a x associe 3x et de celle qui `a x associe x + 30 (unit´e : 1 cm sur l’axe des 5 abscisses et 0 , 5 cm sur l’axe des ordonn´ees). ees). On d´esigne esig ne par K  le point d’intersection de ces deux repr´esentations. esentations.

−

P 

P 

−

(b) A l’aide du graphique, graphique, encadrer par deux entiers cons´ecutifs ecutifs l’abscisse l’abscisse du point K  (on laissera apparents les traits de construction construction). ). (c) D´eterminer etermine r les valeurs exactes des coordonn´ coor donn´ees ees de K . (d) En d´ eduire eduire pour p our quelle valeur de x le triangle N M C  et le trap` tr ap`eze eze ABMN  ont ont le mˆeme em e p´erim er im``etre et re.. Q Que uell llee est alors la valeur de ce p´erim` erim`etre etre ?

PROBLEMES 1996 Caen 96 Dans un oc´ean, ean, autour de l’ˆ l’ˆıle principale princip ale d’Ogar, d’Ogar , sont situ´es es plusieurs plusieu rs ˆılots : Alfa, Borm, Cliv et Dunk. Ces cinq ˆılots seront sero nt assimi ass imil´ l´es es `a des d es points, points , not´ no t´es es respect r espectivement ivement O, A, B , C  et D. Le plan est muni d’un rep` ere ere orthonormal (O, I, J ). ). L’unit´ L’u nit´e est le cm. Graduer Graduer l’axe des abscisses abscisses de 1 a` 17 et celui des ordonn´ ord onn´ees ees de 7 a` 17.

−

−

Premi` Pre mi` ere er e parti pa rtie e

1. Placer Placer les point p ointss suivants suivants : l’origine O (Ogar) (Alfa) A(0; 9) (Alfa) (Borm) B (0; 15) (Borm) (4; 7) (Cliv) (Cliv) C (4; D(10; 5) (Dunk)

−

2. D´eterminer etermin er une ´equation equati on de la droite (CD ). 3. Montrer Montrer que le point B appartient `a la droite (CD ). Deuxi` Deu xi` eme em e par p arti tie e

1. Calculer Calculer les distances distances BA ; BD ; BC  et BD . 2. Que peut-on dire des droites ( AC ) et (OD ) ? Justifier Justi fier la r´eponse epon se en utilisant utilis ant la question questi on pr´ec´ ec´edente. edente. Troisi` Trois i` eme em e parti pa rtie e

Soit (d) la droite d’´equation equatio n y =

1 x + 5. 2

1. Construire Construire la droite droite (d). 2. On admet que la droite (BD ) a comme ´equation equatio n y =

−2x + 15.

(a) D´emontrer emontrer que les droites ( d) et (BD ) sont perpendiculaires. (b) Calculer les coordonn´ees ees du point d’intersection de ces deux droites. Que remarque-t-on ? Une r´ecompe eco mpense nse est cach´ee ee sur l’ˆılot ılo t de Tr´ esoria, esor ia, assimi ass imil´ l´e au point po int T , image de C  par la trans− − → lation de vecteur vecteur OD . Quatri` Qua tri` eme eme partie part ie

1. Construire Construire T . 2. Calculer Calcule r ses coordonn´ co ordonn´ees. ees.

Clermont 96 L’unit´ L’un it´e de d e longueu long ueurr est le centim`etre. etre. On consid` cons id`ere ere un triang tri angle le isoc` iso c`ele ele SB C  tel que SB = SC  = 5 et BC  = 6. La hauteur issue de S  coupe le segment [ BC ] en I . Premi` Pre mi` ere er e parti pa rtie e

1. Faire une figure que l’on compl´etera etera dans la question 4. 2. D´emontrer emo ntrer que SI  = 4. 3. Calculer Calculer l’aire, l’aire, en cm2 , du triangle SB C . 1 SI . 4 Par I  , on trace la parall`ele ele `a la droite (BC ) ; elle coupe les droite droitess ( SB ) et (SC ) respectivement en B et C  . Le triangle SB C  est donc une r´eduction eduction du triangle SB C . ′

′

4. On note I  le point du segment [ SI ] tel que SI  = ′

′

′

′

(a) Pr´eciser eciser le rappor ra pportt de r´eduction educti on des longueurs. longue urs. (On donnera le r´esultat esulta t sans san s explicatio exp lication.) n.) (b) En d´eduire eduire l’aire, l’aire , en cm2 , du triangle SB C  . ′

′

′

PROBLEMES 1996 Creteil 96 Dans une tr`es es large mesure, les questions question s de ce probl` eme eme sont ind´ependantes. ependantes. a base triangula tria ngulaire. ire. Dans la suite su ite du probl` pr obl`eme, eme, les longueurs, long ueurs, STUABC est un prisme droit, et SABC  est une pyramide ` en centim` centi m`etres, etre s, sont donn´ don n´ees ees par AC  = 4, 5 ; AB = 6 ; BC  = 7, 5 ; SB = 7. 1. Dessiner Dessiner un patron de la pyramide pyramide SABC . Vous laisserez en ´evidence evidence les lignes de construction. T

S

U

B

C

A

2. Les calculs calcul s doivent doiv ent ˆetre etre justifi´ jus tifi´es es et les justifi jus tification cationss soigneu soig neuseme sement nt r´edig´ edig´ees. ees. (a) Calculer Calculer la hauteur SA de la pyramide. Donner la valeur exacte. (b) Calculer Calculer la mesure de l’angle ASB . On donnera la valeur arrondie `a 1˚ pr´ pr ´es. es .  

(c) D´emontrer emont rer que q ue ABC  est un triangle rectangle. (d) Calculer Calculer l’aire l’aire de la base ABC , puis le volume du r´esul es ulta tatt `a 1 cm3 pr´es.

A

V  de la pyramide SABC . On donnera la valeur arrondie

(e) On a plac´e un point M  sur l’arˆ l’a rˆete ete [SB ] et un point N  sur l’arˆ l’a rˆete ete [SC ] de fa¸con con que la droite ( M N ) soit para pa rall` ll`ele el e `a la droite (BC ), et que SM  = 4, 2. (La figure ci-apr`es es indique seulement la position des points, p oints, mais ne respecte pas les dimensions.) Calculer la longueur du segment [ M N ]. S

M

B

N

C

PROBLEMES 1996 Dijon 96 H

G

E

F On consid`ere ere le cube ABCDEFGH  dont les arˆetes etes mesurent 6 l’a rˆete ete [DH ] on consid`ere ere un point S  tel que DS  = x. cm. Sur l’arˆ

D

A

C

B 1. Calculer Calculer le volume volume du cube en cm3 . 2. Entre Entre quelles limites peut-on faire varier varier x ? 3. On consid`ere ere les deux pyramides : – 1 de sommet S  et de base ABCD ; – 2 de sommet S  et de base EFGH .

P  P 

(a) Montre Montrerr que le volume volume en cm3 de 72 12x.

−

3

P  s’´ s’ ´ecri ec ritt V  (x) = 12x et que le volume en cm 1

1

de

P  s’´ s’ ´ecr ec rit V  (x) = 2

2

(b) Repr´ esenter esenter graphiquement les deux fonctions 1 et 2 dans un rep` r ep`ere ere orthogo or thogonal nal pour p our x compris entre 0 3 et 6 (on prendra 1 cm pour unit´e graphique en abscisse et 1 cm pour 5 cm en ordo or donn´ nn´ee). ee ).

V  V 

(c) Calculer Calculer le volume volume restant dans le cube lorsqu’on lorsqu’on a enlev´ enlev´e les deux pyramides. pyramides. Quelle remarque peut-on faire faire ? 4. D´eterminer eterminer graphiquement le volume de la pyramide SEFGH  lorsque la pyramide SABCD a un volume de 50 eterminer eterminer la valeur de x correspondant `a 1 (x) = 50). cm3 (on pourra d’abord d´ 5. (a) Calcul Calculer er la la vale valeur ur de x pour que

V 

V  (x) = V  (x) et d´eterminer eterminer alors ces deux volumes. 1

(b) V´erifier erifier ce r´esultat esulta t sur le graphique. graphi que.

2

PROBLEMES 1996 Lille 96 D

A

La figure fi gure ci-apr`es es est `a reproduire et `a compl´ comp l´eter et er ` a la quatri`eme eme question  questio n . On donne AC  = 4, 2 cm ; AB = 5, 6 cm ; BC  = 7 cm. I  est le point du segment [CB ] tel que CI  = 3 cm. La parall` par all`ele ele a` la droite (AI ) passant par B coupe la droite (AC ) en D.

B

I

C 1. D´emontrer emontrer que le l e triangle tria ngle ABC  est rectangle. 2. (a) En utilisant ut ilisant le th´eor` eor`eme eme de Thal´ Th al´es es dans le triangle tr iangle CBD emo ntrerr que CD = 9, 8 cm. CB D, d´emontre (b) Calculer Calculer AD et d´emontrer emontrer que le triangle trian gle ADB est un u n triangl t rianglee rectangle rect angle isoc`ele. ele. (c) D´eterminer eterminer la mesure de l’angle DBA .  

3. (a) D´emontrer emontrer que l’angle IAB = 45˚.  

(b) En d´eduire eduire que la droite (AI ) est bissectrice de l’angle CAB .  

4. Soit E  le pro pr o jet´e orthogon ort hogonal al du point I  sur la droite ( AB). Soit F  le pro pr o jet´e orthogona orth ogonall du point I  sur la droite (AC ). ). D´emontrer emo ntrer que le quadri qua drilat` lat`ere ere AEIF  est un rectangle. 5. D´emontre emo ntrerr que IE  = IF . Quelle pr´ecision ecision peut-on p eut-on alors apporter quant `a la nature du quadrilat` quadri lat`ere ere AEIF  ?

Limoges 96 Soit un rep`ere ere orthonormal orthon ormal (O, I, J ). ). L’unit´e de longueur longueu r est le centim`etre. etre. On consid`ere ere les points A(3;5); B (6;6); C (7;3). ( 7;3). 1. Placer Placer les points points A, B , C . Calculer les longueurs AB, BC  et AC . 2. D´emontrer emontrer que le l e triangle tria ngle ABC  est rectangle en B et isoc is oc``ele. ele . 3. Montrer Montrer que le coefficient directeur directeur de la droite ( BC ) est

−3.

4. En d´eduire eduire qu’une ´equation equati on de la droite (d) passant par A et para pa rall` ll`ele ele `a la droite (BC ) est y = (d). 1 5. On consid`ere ere la droite (d ) d’´equa eq uati tion on y = x + 23 . 3 (a) Montrer Montrer que (d ) passe par C . Tracer (d ). ′

′

′

(b) Montrer Montrer que (d ) est perpendiculaire `a la droite (BC ). ′

6. Trouver les l es coordon co ordonn´ n´ees ees du point D intersection des droites ( d) et (d ). ′

7. D´emontrer emo ntrer que le quadri qua drilat` lat`ere ere ABCD est un carr´ ca rr´e. e.

−3x + 14. Tracer Tracer

PROBLEMES 1996 Lyon 96 Les deux de ux parties partie s du probl`eme eme sont ind´ependantes ependan tes.. O

I

Figure 1

B

A

S Figure 2

ateau ateau d’eau (figure 1) a la forme d’un cylindre surmont´e d’une partie par tie Premi` Prem i` ere ere partie par tie : Le chˆ ateau atea u d’eau d’e au Un chˆ de cˆone one repr´esent´ esent´e sur su r la figure 2 en trait gras. Le cˆ one one de hauteur SO a ´et´ et´e coup co up´´e par pa r un plan pl an para pa rall ll``ele el e `a sa base passant par le point I . On donne SO = 8, 1 m et SB = 13, 5 m. 1 On rappelle que le volume d’un cˆone one de base B et de hauteur h est donn´e par p ar la formule suivante = B h. 3 1. (a) (a) Mo Mont ntre rerr que que GB = 10, 8 m.

V 

V 

× ×

(b) Calculer Calculer le volume volume du cˆone one de sommet S  et de base le disque de rayon [ OB ]. Arrondir Arrondi r le l e r´esultat esulta t au m3 le plus proche. proche. 2. On donne SI  = 3, 6 m. (a) En remarquant remarquant que les droites droites (IA ) et (GB) sont parall` paral l`eles, eles, calculer calcul er IA et SA . (b) Calculer Calculer le volume du cˆ one one de sommet S  et de base le disque de rayon [ IA ]. Arrondir Arrondi r le r´esultat esulta t au a u m3 le plus proche. proche. 3. Calculer Calculer le volume de la partie de cˆone on e repr re pr´´esen es ent´ t´ee ee `a la figure 2 en trait gras. Pour une p´ eriode eriode de 5 mois (150 jours), jours), une facture d’eau se calcule calcule de la 3 mani` ere ere suivante : 70 F d’abonnement et 11 F par m d’eau d’e au consom con somm´ m´ee. ee.

Deuxi` eme eme partie : La facture d’eau

1. Pendant cette p´eriode eriode de 5 mois, la famille Laurent a consomm´e 74 m3 d’eau. Etablir le montant de sa facture. 2. (a) La famille Cherrier a pay´ e 1 126 F pour cette p´eriode. eriode. Quelle quantit´e d’eau a-t-elle consomm´ee ee ? (en m3 ) (b) Pour la p´eriode eriod e suivante, la l a famille fam ille Cherrier d´ecide ecide de d e r´eduire eduire sa s a consommati cons ommation on d’eau d’e au de 10%. En supposa sup posant nt que les tarifs restent les mˆemes, emes, quel sera la pourcentage de r´eduction eduction sur la nouvelle facture ? Arrondir au dixi`eme eme le plus proche.

PROBLEMES 1996 Nantes 96 On consid`ere ere un triangle triang le ABC  tel que AB = 5, 6 cm ; BC  = 4 , 2 cm et AC  = 7 cm. 1. Faire la figure sur une feuille s´epar´ epar´ee. ee. On compl´etera etera cette figure au fur et `a mesure des questions. 2. D´emontrer emontrer que le l e triangle tria ngle ABC  est rectangle en B . 3. (a) Calcul Calculer er l’ai l’aire re du trian triangle gle ABC . (b) Dans le le triangle triangle ABC , la hauteur issue de B coupe (AC ) en H . Exprimer l’aire du triangle ABC  en fonction de BH . (c) Montrer Montrer que BH  = 3 , 36 cm. 4. Calculer Calculer HC . 5. Placer Placer le point D sym´ sy m´etri et riqu quee de d e B par rapport `a H . Tracer la droite qui passe par D et qui est perpendiculaire a` (BD ). Cette droite coupe ( BC ) en E . Montrer que C  est le milieu du segment [BE ]. ].

−−→ −−→

6. Placer le point K  tel que HC  = CK . Quelle est la nature du quadrilat`ere ere BHEK ? Justifier Justifi er la r´eponse. epon se. 7. D´emontre emo ntrerr que DEKH  est un rectangle. 8. On appelle ( ) le cercle circonscrit au quadrilat`ere ere DEKH .

C

(a) Tracer le cercle cercle ( ). On consid` con sid`ere ere le cˆone one de hauteur 5 cm ayant pour base le cercle ( ).

C

(b) Calculer Calculer le volume volume du cˆone one au cm3 pr`es.

C

PROBLEMES 1996 Orleans 96 Le plan est muni d’un rep`ere ere orthogonal. ort hogonal. Pour le repr´esenter esenter on choisira 1 cm pour 1 unit´e sur l’axe des abscisses et 1 cm pour 10 unit´es es sur l’axe des ordonn´ees. ees. On consid` c onsid`ere ere les le s droites dr oites suivantes : – (d) d’´equat equ atio ion n y = 18x ; – (d ) d’´equa eq uati tion on y = 6x + 20. Premi` Pre mi` ere er e parti pa rtie e

′

−

1. Afin de tracer ( d) et (d ), r´epondre epon dre aux questions questi ons suivantes : ′

(a) Soit Soit P  le point de (d) d’abscisse 5. Calculer son ordonn´ee. ee. (b) Soit Soit Q le point de (d) d’ordonn´ee ee 180. Calculer son abscisse. (c) Soit Soit R le point de (d ) d’ordonn´ee ee 120. Calculer son abscisse. ′

′

(d) Soit Soit S  le point de (d ) d’abscisse 10. Calculer son ordonn´ee. ee. 2. Dans le rep`ere ere d´ecrit ecrit au d´ebut ebut de la premi`ere ere partie, partie , construire constr uire ( d) et (d ). (On utilisera une feuille de papier  mil lim´etr´e.) ′

C On consid`ere ere le prisme droit ABCFDE  dont la base est un triangle ABC  rectangle rectangle en A. L’un L’ unit´ it´e ´etant eta nt le centi cen tim` m`etre, etr e, on donne AB = AD = 6 et AC  = 5. Calculer le volume de ce prisme, exprim´e en cm3 . Deuxi` Deux i` eme eme partie part ie

W 

D

A

L

K

B

G H Troisi` eme partie On consid` cons id`ere ere le parall´ par all´el´ el´epip` epi p`ede ede rectang rect angle le ABEDLGHK  repr´ re pr´esent´ es ent´e cic i-co contr ntre. e. Dans Dan s ce para pa rall´ ll´el´ el´epip` ep ip`ede, ed e, on cons co nsid` id`ere er e le l e prism pr ismee droi dr oitt ABMNDE  dont la base est le triangle rectangle ABM . L’un L’ unit´ it´e ´etant et ant le centi cen tim` m`etre, etr e, on pose po se AB = AD = 6 ; AG = 10 10 ; AM  = x, x ´etan et antt un nombre compris entre 0 et 10.

M D A

B 1. Calculer, Calculer, en cm3 , le volume 2.

U  du para pa rall ll´´el´ el´epip ep ip``ede ed e rec r ecta tang ngle le ABEDLGHK . (a) Calcul Calculer, er, en foncti fonction on de de x, le volume V  du prisme ABMNDE .

(b) V´erifier erifier que pour x = 5, ce volume vaut 90. 3. Expliquer pourquoi le volume 360 18x.

−

V  du ′

para pa rallll´´el´ el ´epip ep ip``ede ed e tron tr onqu qu´´e GHKLNMBE  est donn´e par la formule

4. Pour quelle quelle valeur valeur du nombre nombre x a-t-on

V  = ′

′

V = V  ? Que vaut alors V ?

5. En observant observant que, pour x variant de 0 `a 10, la repr´esentation esentation graphique de est une partie de (d) et que celle de est une partie de (d ), retrouver ainsi graphiquement la valeur de pour laquelle = . ′

V 

′

V 

′

V  V 

PROBLEMES 1996 Poitiers 96 Le plan est rapport´ rapp ort´e `a un rep`ere ere orthonormal orthon ormal (O, I, J ). ). On choisit le centim` c entim`etre etre pour unit´e sur su r les l es deux axes. 1. (a) (a) Plac Placer er les les poin points ts B (2; (2; 4) et D( 4;2).

− (b) Donner, Donner, par lecture lecture graphique, les coefficients coefficients directeurs respectifs respectifs des droites droites ( OB ) et (OD ). √ (c) D´emontrer emont rer que q ue OB = OD = 2 5. (d) Quelle est est la nature du triangle triangle DOB ?

2. On projette orthogonalemen orthogonalementt B en A sur l’axe des abscisses et en C  sur l’axe l’a xe des ordonn´ ord onn´ees. ees. De mˆeme, eme, E  et F  sont les l es pro p rojet´ jet´es es orthogona ort hogonaux ux de D respectivement sur l’axe des abscisses et l’axe des ordonn´ees. ees. (a) Par lecture graphique, donner les coordonn´ co ordonn´ees ees de A, C , E  et F . (b) D´eterminer etermin er par le calcul ca lcul une ´equation equati on de la droite dr oite (AF ). (c) Pourquoi Pourquoi la droite droite (EC ) a-t-elle a-t-e lle pour ´equation equati on y = x + 4 ? (d) En d´eduire eduire que les droites (EC ) et (AF ) sont perpendiculaires. 3. Les droites (EC ) et (AF ) se coupent en K . (a) Calculer les coordonn´ees ees de K . (b) D´emontrer emont rer que q ue K  est le milieu de [ DB ]. (c) Quelle est la mesure mesure exacte de l’angle CE O ? Justifier Justifi er votre r´eponse. epon se.  

(d) En d´ eduire eduire que le triangle EK A est rectangle rectang le et isoc`ele. ele. 4. D´emontrer emontrer que les l es points p oints D, E , O, F , K  appartiennent `a un u n mˆeme eme cercle cerc le dont on pr´ecisera ecis era les coord co ordonn´ onn´ees ees du centre et la mesure en centim` etres etres du rayon. 5. On consid`ere ere la rotation de centre O qui transforme I  en J . Quelle est dans cette rotation l’image du rectangle Justifi er votre r´eponse. epons e. OABC  ? Justifier

Rouen 96 Le plan est muni d’un rep`ere ere ( O, I, J ) orthonormal. L’unit´e de longueur est le centim` etre. etre. La figure est a` faire sur papi pa pier er mill mi llim im´´etr´ et r´e. e. 1. Tracer la droite (∆) d’´ d ’´equation equati on y = 2x

− 3.

2. La droite (∆) coupe l’axe des ordonn´ees ees en E . Calculer Calcule r les coordonn´ coor donn´ees ees de E . 3. Placer Placer les points points A( 4; 7) et et B (8; (8; 1). 1).

−

Montrer qu’une ´equation equation de la droite (AB) est y =

− 12 x + 5.

4. (a) Prouve Prouverr que que les les droi droites tes (AB ) et (∆) sont perpendiculaires. (b) Soit Soit S  le point d’intersection des droites (AB) et (∆), et K  le milieu du segment [ EB ]. Prouver que K  est le centre du cercle circonscrit au triangle SEB SE B . (c) D´emontrer emontrer que les coordonn´ coor donn´ees ees du d u point K  sont K (4; (4; 1). (d) Tracer le cercle circonscrit circonscrit au triangle triangle SEB SE B .

−

(e) Calculer son rayon (donner la valeur exacte puis une valeur approch´ ee ee `a 10

−1

pr`es).

5. Construire Construire le point point T  sym´ sy m´etri et rique que de S  par rapport `a K . Quelle est la nature du quadrilat`ere ere SBTE ? Justifier.