Problemes_solutionnes (1)

Session Automne 2012

Probl` emes solutionn´ es de GPA668 Capteurs et actionneurs Par Guy Gauthier professeur en GPA

D´ epartement de G´ enie de la production automatis´ ee

Recueil de probl`emes - GPA668 Capteurs et Actionneurs Guy Gauthier 5 septembre 2012

2

Table des mati` eres 1 M´ etrologie et chaˆınes de mesure 1.1 Les questions . . . . . . . . . . 1.1.1 Question #1 . . . . . . . 1.1.2 Question #2 . . . . . . . 1.1.3 Question #3 . . . . . . . 1.1.4 Question #4 . . . . . . . 1.1.5 Question #5 . . . . . . . 1.1.6 Question #6 . . . . . . . 1.2 Le solutionnaire . . . . . . . . . 1.2.1 Solution #1 . . . . . . . 1.2.2 Solution #2 . . . . . . . 1.2.3 Solution #3 . . . . . . . 1.2.4 Solution #4 . . . . . . . 1.2.5 Solution #5 . . . . . . . 1.2.6 Solution #6 . . . . . . .

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1 1 1 2 3 3 4 5 6 6 7 8 10 12 13

2 Sch´ emas d’instrumentation 2.1 Les questions . . . . . . . 2.1.1 Question #7 . . . . 2.1.2 Question #8 . . . . 2.2 Le solutionnaire . . . . . . 2.2.1 Solution #7 . . . . 2.2.2 Solution #8 . . . .

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17 17 17 19 20 20 21

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3 D´ etecteurs de proximit´ e 25 3.1 Les questions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 3.1.1 Question #9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 3.1.2 Question #10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 i

` TABLE DES MATIERES

ii

3.2

3.1.3 Question #11 3.1.4 Question #12 Le solutionnaire . . . 3.2.1 Solution #9 . 3.2.2 Solution #10 3.2.3 Solution #11 3.2.4 Solution #12

4 Capteurs de distance 4.1 Les questions . . . . 4.1.1 Question #13 4.1.2 Question #14 4.1.3 Question #15 4.1.4 Question #16 4.1.5 Question #17 4.1.6 Question #18 4.1.7 Question #19 4.2 Le solutionnaire . . . 4.2.1 Solution #13 4.2.2 Solution #14 4.2.3 Solution #15 4.2.4 Solution #16 4.2.5 Solution #17 4.2.6 Solution #18 4.2.7 Solution #19

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5 Capteurs de force, pression et couple 5.1 Les questions . . . . . . . . . . . . . 5.1.1 Question #20 . . . . . . . . . 5.1.2 Question #21 . . . . . . . . . 5.2 Le solutionnaire . . . . . . . . . . . . 5.2.1 Solution #20 . . . . . . . . . 5.2.2 Solution #21 . . . . . . . . .

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35 35 35 35 36 37 38 40 41 42 42 43 44 44 45 46 47

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51 51 51 53 55 55 57

6 Capteurs de niveau 59 6.1 Les questions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 6.1.1 Question #22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 6.1.2 Question #23 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

` TABLE DES MATIERES

6.2

6.3

6.1.3 Question #24 6.1.4 Question #25 Le solutionnaire . . . 6.2.1 Solution #22 6.2.2 Solution #23 6.2.3 Solution #24 Solution #25 . . . .

7 Capteurs de d´ ebit 7.1 Les questions . . . . 7.1.1 Question #26 7.1.2 Question #27 7.1.3 Question #28 7.1.4 Question #29 7.1.5 Question #30 7.1.6 Question #31 7.2 Le solutionnaire . . . 7.2.1 Solution #26 7.2.2 Solution #27 7.2.3 Solution #28 7.2.4 Solution #29 7.2.5 Solution #30 7.2.6 Solution #31

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61 61 62 62 63 65 65

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67 67 67 68 68 69 69 70 71 71 73 74 75 77 78

8 Capteurs de temp´ erature 8.1 Les questions . . . . . . 8.1.1 Question #32 . . 8.1.2 Question #33 . . 8.1.3 Question #34 . . 8.1.4 Question #35 . . 8.1.5 Question #36 . . 8.1.6 Question #37 . . 8.2 Le solutionnaire . . . . . 8.2.1 Solution #32 . . 8.2.2 Solution #33 . . 8.2.3 Solution #34 . . 8.2.4 Solution #35 . . 8.2.5 Solution #36 . .

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81 81 81 81 82 82 82 83 84 84 85 85 85 86

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` TABLE DES MATIERES

iv 8.2.6

Solution #37 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

9 Valves de r´ egulation 9.1 Les questions . . . . 9.1.1 Question #38 9.1.2 Question #39 9.1.3 Question #40 9.1.4 Question #41 9.1.5 Question #42 9.1.6 Question #43 9.1.7 Question #44 9.1.8 Question #45 9.2 Le solutionnaire . . . 9.2.1 Solution #38 9.2.2 Solution #39 9.2.3 Solution #40 9.2.4 Solution #41 9.2.5 Solution #42 9.2.6 Solution #43 9.2.7 Solution #44 9.2.8 Solution #45 10 Moteurs ´ electriques 10.1 Les questions . . . . 10.1.1 Question #46 10.1.2 Question #47 10.1.3 Question #48 10.2 Le solutionnaire . . . 10.2.1 Solution #46 10.2.2 Solution #47 10.2.3 Solution #48

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89 89 89 89 90 90 90 91 91 91 92 92 94 96 97 99 100 102 104

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107 . 107 . 107 . 108 . 108 . 109 . 109 . 110 . 111

Chapitre 1 M´ etrologie et chaˆınes de mesure 1.1 1.1.1

Les questions Question #1

` l’usine ”Pronto Chemical” de St-Glinglin, plusieurs capteurs transmetA teurs ont ´et´e install´es et calibr´es comme suit : • D´ebitm`etre avec transmetteur pneumatique : ◦ 400 Gallons par minute donne 15 psig ; ◦ 0 Gallon par minute donne 3 psig. • Pression avec transmetteur 4 a` 20 mA : ◦ 30 pouces de mercure donne 20 mA ; ◦ 10 pouces de mercure donne 4 mA. • Niveau avec transmetteur de tension : ◦ 20 m`etres donne 5 Volts CC ; ◦ 0.5 m`etre donne 1 Volts CC. • Temp´erature avec transmetteur 4 `a 20 mA (donn´e en exemple) ; ◦ 120◦ C donne 20 mA ; ◦ –40◦ C donne 4 mA. #1 a) Quelle est la sensibilit´e de chacun des capteurs transmetteurs (sauf celui en temp´erature) ? 1

´ CHAPITRE 1. METROLOGIE ET CHAˆINES DE MESURE

2 #1 b)

´ Ecrire la fonction de transfert (´equation lin´eaire y = M x + b) permettant de connaˆıtre la valeur des sorties en fonction des entr´ees (sauf celui en temp´erature) ? #1 c) Si la pression mesur´ee en sortie du capteur transmetteur de d´ebit est de 8.5 psig, quel sera le d´ebit correspondant ? Exemple avec le capteur de temp´erature. Sensibilit´ e du capteur : 20 mA − 4mA ∆sortie = ∆entree 120 ◦ C − (−40) ◦ C 16 mA = = 0.1 mA/◦ C 160 ◦ C

S=

Fonction de transfert : y(mA) = 0.1 mA/◦ C × x(◦ C) + 4 mA

1.1.2

Question #2

Soit un potentiom`etre de 12.5 kΩ utilis´e comme capteur de d´eplacement, pour mesurer une plage de d´eplacements de 0 a` 600 cm, et aliment´e par une tension de 10 Volts.

1.1. LES QUESTIONS

3

#2 a) Quelle est la sensibilit´e de ce dispositif en V/mm ? #2 b) Si la classe de pr´ecision de ce capteur est de ±0.25 % E.M., quelle est son erreur absolue et son erreur relative a` 375 cm ? #2 c) R´ep´eter la question #2 b) pour une distance de 1 cm. Discutez du r´esultat.

1.1.3

Question #3

Soit un capteur de niveau ayant une ´etendue de mesure de 0.5 a` 25 m`etres et donnant un signal de sortie 4-20 mA (4 mA a` 0.5 m et 20 mA a` 25 m) envoy´e `a un automate ayant un convertisseur analogique/num´erique de 10 bits (erreur absolue de ±1 sur le r´esultat de la conversion). #3 a) Quel est le niveau mesur´e si la valeur lue par l’automate (`a la sortie du convertisseur) est (668)10 ? (Lire 668 en base 10). #3 b) Si le capteur poss`ede une classe de pr´ecision de ±0.125 % EM, et que le convertisseur poss`ede une erreur absolue de ±1 sur le r´esultat de la conversion, quelle sera l’erreur relative sur la mesure ?

1.1.4

Question #4

Soit un capteur de temp´erature dont la caract´eristique entr´ee (temp´erature en C) vs sortie (tension en Volts) apparaˆıt dans la Table 1.1. Le manufacturier nous indique sur la fiche signal´etique que l’´etendue de mesure est de 0 `a 50 ◦ C et que le signal de sortie varie de 0 a` 5 Volts. ◦

´ CHAPITRE 1. METROLOGIE ET CHAˆINES DE MESURE

4

Table 1.1 – Mesures sur le capteur de temp´erature Temp´erature Sortie ◦ Volts C 0,000 0,000 5,000 0,489 10,000 0,980 15,000 1,473 20,000 1,970 25,000 2,468 30,000 2,970 35,000 3,473 40,000 3,980 45,000 4,489 50,000 5,000 #4 a) Quelle est l’´equation de la meilleure droite approximant cette caract´eristique ? #4 b) Quelle est l’erreur de lin´earit´e de ce capteur en % de l’´etendue de mesure ? #4 c) Quelle est la sensibilit´e de ce capteur ?

1.1.5

Question #5

Soit un d´etecteur de proximit´e inductive ayant une port´ee nominale de 10 mm. Ce capteur commute de 0 a` 1 lorsque la cible s’approche a` une certaine distance. La Table 1.2 r´epertorie les 25 mesures de distance (en mm) du point de commutation du d´etecteur. #5 a) Quels sont l’´ecart type et la moyenne de la mesure ?

1.1. LES QUESTIONS Table 1.2 – Mesures faites sur le d´etecteur 4.96 4.99 4.98 4.95 5.00 5.03 4.97 5.06 5.01 4.98 5.03 5.05 4.95 5.06 4.99 4.99 5.01 5.03 4.98 5.03

5 (point de commutation) 5.06 5.04 4.96 5.03 5.01

#5 b) Quelle est l’erreur de r´ep´etabilit´e (en mm) de ce capteur (rappel : utiliser le crit`ere de Chauvenet) ?

1.1.6

Question #6

Soit une cellule de charge pouvant mesurer des charges de 0 a` 8 000 Newton. Ce capteur g´en`ere en sortie un signal ayant une sensibilit´e r´eduite de 2 mV/V. Il est excit´e par une source de tension de 12 V ±0.05 V et sa classe de pr´ecision est de ±0.125 % EM. #6 a) Quelle est l’erreur absolue sur le signal de sortie de ce capteur ? (Indice : la tension de sortie d´epend de la charge et de la tension de source). #6 b) Ce capteur envoie son signal vers un module ´electronique de conditionnement transformant un signal 0 a` 25 mV en un signal 0 `a 5 V avec une classe de pr´ecision de ±0.1 % EM, quelle est l’erreur absolue en sortie de ce module ? #6 c) Si le module ´electronique de conditionnement est branch´e a` l’entr´ee analogique d’un automate ayant convertisseur analogique/num´erique donnant une valeur num´erique sur 16 bits avec une erreur de ±1 sur la valeur convertie, quelle est l’erreur absolue dans la m´emoire de l’automate ?

´ CHAPITRE 1. METROLOGIE ET CHAˆINES DE MESURE

6 #6 d)

Si la valeur en sortie du convertisseur analogique/num´erique de la carte d’entr´ee analogique de l’automate lit une valeur de 12000, quelles sont les forces (valeur id´eale, valeur minimale et valeur maximale) repr´esent´ees par cette lecture ?

1.2 1.2.1

Le solutionnaire Solution #1

#1 a) La sensibilit´e est exprim´ee par : S=

∆sortie ∆entree

En appliquant (1.1) on obtient pour le d´ebitm`etre : S=

15 psig − 3psig 12 psig = = 0.03 psig/GPM 400 GPM − 0 GPM 400 GPM

De mˆeme, pour le capteur de pression : S=

16 mA 20 mA − 4mA = = 0.8 mA/poHg 30 poHg − 10 poHg 20 poHg

Enfin : S=

5 V − 1V 4V = = 0.205 V/m 20 m − 0.5 m 19.5 m

#1 b) La fonction de transfert du d´ebitm`etre est : y(psig) = 0.03 psig/GPM × x(GPM) + 3 psig y(mA) = 0.8 mA/poHg × x(poHg ) + 4 mA y(V) = 0.205 V/m × x(m) + 1 V

(1.1)

1.2. LE SOLUTIONNAIRE

7

#1 c) Si le capteur de d´ebit envoie 8.5 psig en sortie, on peut d´eduire le d´ebit en solutionnant cette ´equation pour l’inconnue x : y(psig) = 8.5 psig = 0.03 psig/GPM × x(GPM) + 3 psig ce qui m`ene `a x = 183.3 GPM.

1.2.2

Solution #2

#2 a) On assume que le potentiom`etre est connect´e a` la source de 10 Volts et que la r´esistance entre le curseur et la masse est de 0 kΩ (ce qui donne 0 V en sortie) a` 0 cm et de 12.5 kΩ (ce qui donne 10 V en sortie) a` 600 cm. Puis, en utilisant la relation (1.1) on peut ´ecrire : S=

10 V − 0V 10 V = = 0.00167 V/mm 6000 mm − 0 mm 6000 mm

#2 b) L’erreur absolue du capteur, correspondant a` une classe de pr´ecision de ±0.25 % E.M., est : EAbs = ±0.25 % × 600 cm =

±0.25 × 600 cm = ±1.5 cm 100

Connaissant cette valeur, nous pouvons maintenant calculer l’erreur relative a` une mesure de 375 cm : ERel =

EAbs ±1.5 cm × 100 % = × 100 % = ±0.4 % Mesure 375 cm

#2 c) L’erreur absolue ayant ´et´e obtenue en #2 c), ne reste a` ´evaluer l’erreur relative pour une mesure `a 1 cm. Cette erreur est : ERel =

EAbs ±1.5 cm × 100 % = × 100 % = ±150 % Mesure 1 cm

´ CHAPITRE 1. METROLOGIE ET CHAˆINES DE MESURE

8

L’erreur relative s’accroit au fur et `a mesure que la mesure d´ecroit vers 0 cm. Elle est ´egale a` la classe de pr´ecision lorsque la mesure est ´egale a` l’´etendue de mesure de 600 cm. Elle devient infinie a` 0 cm. Ainsi, si la mesure `a 375 cm est sens´ee, celle `a 1 cm ne l’est pas.

1.2.3

Solution #3

#3 a) Avant de solutionner cette question, il faut calculer la fonction de transfert du capteur et celle de la carte d’entr´ee analogique de l’automate. En attribuant la variable x au mesurande du capteur, la variable y a` sa sortie et la variable z au contenu du registre recevant la sortie du convertisseur analogique/num´erique, on peut ´ecrire : y = m1 x + b1 pour le capteur et : z = m 2 y + b2 pour la carte d’entr´ee analogique. La sensibilit´e m1 du capteur est : m1 =

16 mA 20 mA − 4mA = = 0.653 mA/m 25 m − 0.5 m 24.5 m

Pour trouver b1 , il suffit d’´evaluer la fonction de transfert quand le r´eservoir est au maximum. Ainsi : 20 mA = 0.653 mA/m × 25 m + b1 et la valeur de b1 qui solutionne cette ´equation est 3.675 mA. La fonction de transfert du capteur est donc : y = 0.653 mA/m × x + 3.675 mA La sensibilit´e m2 du convertisseur A/N est : m2 =

210 1024 = = 64 mA−1 20 mA − 4mA 16 mA

1.2. LE SOLUTIONNAIRE

9

Pour trouver b2 , il suffit d’´evaluer la fonction de transfert quand le signal est minimum. Ainsi : 0 = 64 mA−1 × 4 mA + b2 et la valeur de b2 qui solutionne cette ´equation est -256. La fonction de transfert du convertisseur A/N est donc : z = 64 mA−1 × y − 256 Nous avons maintenant tout ce qu’il faut pour r´epondre `a la question. La valeur de courant y correspondant `a une valeur de 668 est la solution de : z = 668 = 64 mA−1 × y − 256 ce qui m`ene `a y = 14.4375 mA. Le niveau correspondant est la solution de : y = 14.4375 mA = 0.653 mA/m × x + 3.675 mA ce qui donne x = 16.48 m`etres. Le niveau du r´eservoir correspondant `a une valeur de 668 dans la m´emoire de l’automate est 16.48 m. #3 b) Il faut calculer l’erreur sur la chaˆıne de mesure g´en´er´ee par le capteur et la carte d’entr´ee analogique. La classe de pr´ecision de ±0.125 % EM donne une erreur absolue ∆y sur la sortie du capteur de : ∆y = ±0.125% (20 mA − 4 mA) = ±0.125% × 16 mA = ±0.02 mA L’erreur au niveau de la carte d’entr´ee analogique de l’automate est 2 ∂z ∂ z ∂z + ∆y + ∆m2 ∆y ∆z = ∆m2 ∂m2 ∂y ∂m2 ∂y = ∆m2 |y| + ∆y |m2 | + ∆m2 ∆y

´ CHAPITRE 1. METROLOGIE ET CHAˆINES DE MESURE

10

L’erreur absolue ∆m2 est ±1 sur une plage de 16 mA soit ±1/16 mA−1 et le pire y est 20 mA. Donc on peut calculer : ±1 mA−1 |20 mA| + ±0.02 mA 64 mA−1 16 ±1 + mA−1 × ±0.02 mA 16 = ±2.531 ⇒ ±3

∆z =

L’erreur absolue de la chaˆıne de mesure du point de vue de l’automate est ±3. L’erreur relative `a la mesure de 668 sera : ERel =

±3 EAbs × 100 % = × 100 % = ±0.45 % Mesure 668

Notez que la classe de pr´ecision de la chaˆıne de mesure peut ˆetre obtenue de la fa¸con suivante :

C.P. =

EAbs ±3 × 100 % = 10 × 100 % = ±0.29 % EM 2

soit une classe de pr´ecision de ±0.29 % EM.

1.2.4

Solution #4

#4 a) En utilisant le chiffrier Excel, on trouve avec la fonction ”Pente” : m = 0.1 V/◦ C et avec la fonction ”Ordonn´ee.Origine” : b = −0.019 V. Ainsi : ytheo = 0.1 V/◦ C x − 0.019 V

1.2. LE SOLUTIONNAIRE

11

#4 b) Pour trouver ce r´esultat, il faut calculer la valeur th´eorique pour chaque entr´ee (en ◦ C). Puis, on calcule l’erreur absolue comme suit : eabs = |ymes − ytheo |

(1.2)

pour l’ensemble des mesures. Ensuite, on calcule l’erreur en pourcentage de l’´etendue de mesure (de 5 Volts en sortie) et on retient la valeur la plus ´elev´ee. Ce qui m`ene `a une classe de pr´ecision de ±0.378 % EM. Dans Excel (voir figure) : en assumant que les entr´ees sont en colonne C (de C5 `a C15), les sorties mesur´ees en colonne D (de D5 a` D15), la pente m en D18 et l’ordonn´ee `a l’origine b en D19, le calcul de la premi`ere sortie th´eorique en case E5 est : =$D$18*C5+$D$19. Il suffit de copier cette case E5 en E6, jusqu’`a E15 pour obtenir les autres valeurs. Les pointeurs vers les cases D18 et D19 restent inchang´es car des signes de dollars ($) ont ´et´e ins´er´es dans l’´equation.

´ CHAPITRE 1. METROLOGIE ET CHAˆINES DE MESURE

12

Le calcul d’erreur absolue est effectu´e en case F5 avec : =ABS(D5-E5). Puis, on copie cette case en F6, jusqu’`a F15. Le calcul d’erreur en % en case G5 est : =F5/5 puisque l’´etendue de mesure est de 5 Volts. Puis, on copie cette case en G6, jusqu’`a G15. Et le style de l’affichage des cases de la colonne G sont chang´es pour le style pourcentage. La valeur la plus ´elev´ee est la classe de pr´ecision du capteur.

#4 c) La sensibilit´e du capteur est directement la pente m = 0.1 V/◦ C.

1.2.5

Solution #5

#5 a) La moyenne est x¯ = 5.01 mm et l’´ecart type est de σ = 0.033 mm.

#5 b) Pour calculer la r´ep´etabilit´e, il faut ´evaluer si des donn´ees peuvent ˆetre retir´ees de la liste en utilisant le crit`ere de Chauvenet. Pour une s´erie de 25 donn´ees, on peut rejeter toute donn´ee situ´ee a` plus de 2.33 ´ecarts types de la moyenne. Dans notre cas, on doit conserver la donn´ee x si elle ob´eit `a la condition suivante : x¯ − 2.33σ ≤ x ≤ x¯ + 2.33σ donc, si 4.93 ≤ x ≤ 5.09. Comme toutes les donn´ees font partie de cet intervalle, on doit les conserver. L’erreur de r´ep´etabilit´e consiste a` ´evaluer la distance de la donn´ee la plus loin de la moyenne, i.e. max(5.06mm − 5.01mm, 5.01mm − 4.95mm) = 0.06mm. L’erreur de r´ep´etabilit´e de ce capteur sera donc de ± 0.06 mm.

1.2. LE SOLUTIONNAIRE

1.2.6

13

Solution #6

#6 a) La fonction de transfert du capteur peut s’´ecrire : y=

Sr Vexc x+b EM

(1.3)

avec Sr , la sensibilit´e r´eduite du capteur (2 mV/V), Vexc la tension d’alimentation (de 12 V), x la force mesur´ee (en N), EM l’´etendue de mesure du capteur et b la tension de sortie (en mV) quand la force est minimale. En ins´erant les valeurs num´eriques, on obtient : y=

2 mV/V × 12 V x + b = 0.003 mV/N x 8000 N − 0 N

(1.4)

La valeur b est ´egale a` 0 mV, puisque pour une force de 0 N, la tension de sortie du capteur est de 0 mV. Le capteur a une sensibilit´e de 0.003 mV/N. La classe de pr´ecision du capteur peut ˆetre report´ee sur la sensibilit´e r´eduite : ∆Sr = ±0.125 %Sr = ±0.0025mV/V (1.5) L’erreur absolue sur la tension d’alimentation est ∆Vexc = ±0.05 V. L’erreur r´esultante de la combinaison de ces deux erreurs est : 2 ∂y ∂y ∂ y + ∆Vexc + ∆Sr ∆Vexc ∆y = ∆Sr (1.6) ∂∆Vexc ∂Sr ∂∆Vexc ∂Sr Vexc Sr 1 ∆y = ∆Sr x + ∆Vexc x + ∆Sr ∆Vexc x EM EM EM

(1.7)

∆y = ±0.0025 mV/V × 12 V + ±0.05 V × 2 mV/V + ±0.0025 mV/V × ±0.05 V = ±0.130 mV

(1.8)

L’erreur absolue, en sortie du capteur, est de ±0.130 mV.

´ CHAPITRE 1. METROLOGIE ET CHAˆINES DE MESURE

14 #6 b)

La tension de sortie du capteur varie de 0 mV a` 2 mV/V × 12 V = 24 mV. Cette variation est inf´erieure `a la variation permise sur l’entr´ee du module ´electronique de conditionnement (MEC) qui est de 0 a` 25 mV. La fonction de transfert de ce MEC est : z = m 2 y + b2

(1.9)

La sensibilit´e m2 du MEC est calcul´ee comme suit : m2 =

5V−0V ∆z = = 0.2 V/mV ∆y 25 mV − 0 mV

(1.10)

L’erreur sur la sensibilit´e du MEC est : ∆m2 = ±0.1%m2 = ±0.1% × 0.2 V/mV = ±0.0002 V/mV

(1.11)

La valeur de b2 est ´egale `a 0 V, car le MEC donne une sortie de 0 V quand l’entr´ee est de 0 mV. L’erreur en sortie du MEC est le cumul de l’erreur absolue sur l’entr´ee ∆y et l’erreur sur la sensibilit´e ∆m2 : 2 ∂z ∂z + ∆y + ∆m2 ∆y ∂ z ∆z = ∆m2 (1.12) ∂∆y ∂m2 ∂y ∂m2 En calculant les d´eriv´ees, on trouve : ∆z = ∆m2 |y| + ∆y |m2 | + ∆m2 ∆y

(1.13)

et comme les valeurs sont toutes de signe positif : ∆z = ∆m2 y + ∆ym2 + ∆m2 ∆y

(1.14)

Avec les valeurs num´eriques, on calcule finalement : ∆z = ±0.0002 V/mV × 25 mV + ±0.130 mV × 0.2 V/mV + ±0.0002 V/mV × ±0.130 mV = ±0.031 V

(1.15)

Notez que le pire cas consid´er´e pour l’entr´ee y est la valeur maximale que peut prendre l’entr´ee, soit 25 mV, en d´epit du fait que la valeur maximale en provenance du capteur est de 24 mV. L’erreur absolue cumulative en sortie du MEC est de ±0.031 V.

1.2. LE SOLUTIONNAIRE

15

#6 c) La fonction de transfert est : M = m3 z + b3

(1.16)

La sensibilit´e m3 du convertisseur analogique/num´erique de la carte d’entr´ees analogiques est calcul´ee comme suit : m3 =

2n 216 = = 13107.2 V−1 ∆z 5V−0V

(1.17)

L’erreur sur la sensibilit´e du convertisseur analogique/num´erique de la carte d’entr´ees analogiques est : ∆m3 = ±

1 1 =± = ±0.2 V−1 EM 5V−0V

(1.18)

La valeur de b3 est ´egale `a 0, car le convertisseur analogique/num´erique de la carte d’entr´ees analogiques donne une sortie de 0 quand l’entr´ee est de 0 V. L’erreur en sortie du convertisseur analogique/num´erique de la carte d’entr´ees analogiques est le cumul de l’erreur absolue sur l’entr´ee ∆z et l’erreur sur la sensibilit´e ∆m3 : 2 ∂M ∂ M ∂M + ∆z (1.19) ∆M = ∆m3 ∂∆z + ∆m3 ∆z ∂m3 ∂z ∂m3 En ex´ecutant les d´eriv´ees, on obtient : ∆M = ∆m3 |z| + ∆z |m3 | + ∆m3 ∆z

(1.20)

puis, comme les valeurs sont positives : ∆M = ∆m3 z + ∆zm3 + ∆m3 ∆z

(1.21)

Ce qui donne num´eriquement : ∆M = ±0.2 V−1 × 5 V + ±0.031 V × 13107.2 V−1 + ±0.2 V−1 × ±0.031 V = ±407.65 ⇒ ±408

(1.22)

´ CHAPITRE 1. METROLOGIE ET CHAˆINES DE MESURE

16

L’erreur absolue de la chaˆıne de mesure, ´evalu´ee en sortie du convertisseur analogique/num´erique est de ± 408. Si on reporte cette erreur absolue sur le mesurande du capteur, on doit obtenir la fonction de transfert compl`ete qui est directement : M = m3 m2 m1 x = 7.864 N−1 x

(1.23)

En posant M = ± 408 dans cette ´equation, on trouve x = ± 51.88 N. Donc l’erreur absolue de la chaine de mesure est de ± 51.88 N. #6 d) ` partir de l’´equation (1.23), avec M = 12000, on trouve x = 1525.94 N. A La force mesur´ee lorsque le convertisseur analogique/num´erique donne 12000 est 1525.94 N. En prenant en compte l’erreur absolue de ±51.88 N, on trouve que la force mesur´ee peut ˆetre entre 1474.06 N (soit 1525.94 N - 51.88 N) et 1577.82 N (soit 1525.94 N + 51.88 N).

Chapitre 2 Sch´ emas d’instrumentation 2.1 2.1.1

Les questions Question #7

La Figure 2.1 montre le sch´ema d’instrumentation d’un proc´ed´e de chauffage de jus (proc´ed´e nomm´e aseptisation).

Figure 2.1 – Proc´ed´e d’aseptisation de jus

17

18

´ CHAPITRE 2. SCHEMAS D’INSTRUMENTATION

´ #7 a) Etude d’une boucle de contrˆ ole : Rep´erer la boucle de contrˆole de temp´erature de l’´echangeur de chaleur (identifi´e ”Juice Heater”) ; ´enum´erer tous les ´equipements de cette boucle. #7 b) ` quel moment retourne-t-elle Quelle est la fonction de la vanne FCV-1 ? A le jus au r´eservoir d’alimentation (Supply Tank) ? #7 c) Quel type de capteur (ou capteur transmetteur) de niveau est identifi´e par LT-1 ?

2.1. LES QUESTIONS

2.1.2

19

Question #8

Soit le sch´ema d’instrumentation montr´e en Figure 2.2 (page 23), repr´esentant le contrˆole d’un digesteur de pulpe chimique de la compagnie “KaBoum inc.” Mise en situation : . Introduction Les usines fabriquant du papier sont en mesure de produire divers types de produits du papier fin au carton ondul´e. Cette gamme de produit exige que la mati`ere premi`ere de base du papier, la pulpe de bois, ait des caract´eristiques au niveau des fibres en mesure de r´epondre aux exigences sp´ecifiques de fabrication. De nombreux proc´ed´es de r´eduction des copeaux de bois en pulpe ont ´et´e d´evelopp´es afin de produire ´economiquement des pulpes ayant des caract´eristiques correctes au niveau des fibres. Ces proc´ed´es incluent des moyens m´ecaniques et chimiques de digestion. Ils peuvent ˆetre ex´ecut´es en lot ou en processus continus. ´ E ´ CHIMIQUE DE DIGESTION LE PROCED Dans le proc´ed´e chimique de digestion les copeaux de bois (chips) sont cuits dans des conditions contrˆol´ees en temp´erature et en pression pour dissoudre les agents de liaison des fibres et d’autres parties non fibreuses des copeaux de bois. Le r´esidu r´esultant est principalement une pulpe appel´ee par m´elange de fibre de cellulose. ´ E ´ COMPOSANTS PRINCIPAUX DU PROCED Les copeaux de bois et un produit chimique aidant a` la cuisson (cooking liquor) sont charg´es dans un r´eservoir vertical appel´e “cuve du digesteur” (Digester main shell). La quantit´e de copeaux de bois a` mettre dans la cuve du digesteur est mesur´ee sur une base de poids tandis que le produit chimique est dos´e sur une base volum´etrique. La trappe d’entr´ee des copeaux (Capping valve) se ferme (de fa¸con ´etanche) apr`es avoir charg´e les copeaux de bois et le cycle de cuisson est lanc´e. La pompe de circulation est alors d´emarr´ee et commence `a extraire le liquide g´en´er´e par la cuisson des copeaux. Ce liquide est pomp´e vers un ´echangeur de chaleur et le liquide chauff´e est r´eintroduit dans la cuve du digesteur. Pendant que la cuisson progresse, de l’air et d’autres gaz non-condensables sont exhal´es par le conduit d’´evacuation des gaz (Digester

´ CHAPITRE 2. SCHEMAS D’INSTRUMENTATION

20

relief Line). Lorsque la cuisson est compl´et´ee, la pulpe est d´echarg´ee par la valve de sortie qui est situ´ee au bas du r´eservoir. ´ METHODE DE CUISSON La m´ethode de cuisson pr´esent´ee ici est appel´ee “m´ethode indirecte” et elle est montr´ee `a la figure en page 9. Dans cette m´ethode, le liquide r´esultant de la cuisson des copeaux circule au travers d’un ´echangeur de chaleur. Sur la conduire de retour vers la cuve du digesteur, deux valves sont ajust´ees pour faire en sorte que le d´ebit entrant au haut de la cuve soit sup´erieur au d´ebit entrant au bas de la cuve. Le but ´etant de pouvoir chauffer les copeaux situ´es au haut du r´eservoir, sinon les copeaux au bas du r´eservoir seraient plus chauff´es que ceux qui sont au haut. En fait, on obtient une temp´erature plus uniforme des copeaux. Cette m´ethode de cuisson permet d’obtenir un meilleur contrˆole de la qualit´e de la pulpe. #8 a) Identifier les instruments et ´equipements du sch´ema d’instrumentation propos´e. #8 b) Identifiez sur le sch´ema les deux boucles de contrˆole pr´esentes dans ce digesteur et d´ecrire ce qui est contrˆol´e par chacune des boucles. Indiquez, pour chacune des boucles si les contrˆoles sont de type : contrˆole en r´etroaction (feedback), commande pr´edictive (feedforward) ou contrˆole en cascade.

2.2 2.2.1

Le solutionnaire Solution #7

#7 a) Boucle de contrˆole de temp´erature (Asservissement en feedback normal) : • TT-1 : Transmetteur de temp´erature (connect´e via un capillaire) ; • TIC – 1 : Contrˆoleur afficheur de temp´erature ; • TCV – 1 : Valve de contrˆole en temp´erature via le d´ebit de la vapeur.

2.2. LE SOLUTIONNAIRE

21

#7 b) La valve ”FCV – 1” permet de diriger le d´ebit vers le r´eservoir de filtrage ou vers le r´eservoir d’alimentation. Cela ´evite de faire d´eborder le r´eservoir de filtrage dont le niveau est mesur´e par LT-1 et dont le signal de niveau maximum est extrait par l’alarme de niveau ´elev´e (Level Switch High) LSH – 1 commandant la valve a` 3 voies LY-1 dont la pression de sortie commande la valve FCV-1. #7 c) C’est un capteur de niveau par bullage.

2.2.2

Solution #8

#8 a) Liste des ´equipements identifi´es par des bulles : • TT-1, TT-2, TT-3 et TT-4 : Transmetteurs de temp´erature • TR-1, TR-2 et TR-3 : Enregistreurs de temp´erature • PT-1, PT-2 : Transmetteurs de pression • FT-1 : Transmetteur de d´ebit • FY-1, FY-2 : Unit´es de conversion de d´ebit (racine carr´ee et valeur inf´erieure) • PIC-1, PIC-2 : Contrˆoleurs afficheurs de pression • FIC-1 : Contrˆoleur afficheur de d´ebit • KI-1, KI-2 : Temporisateurs et afficheurs • FCV-1, FCV-5 : Valves de contrˆole de d´ebit • PCV-2 : Valve de contrˆole de pression • PDSH : D´etecteur de pression diff´erentielle ´elev´ee #8 b) Les deux boucles sont, l’une de contrˆole en temp´erature l’autre de contrˆole en pression. Le contrˆole en temp´erature commande le d´ebit de la valve FCV-1 de vapeur. La commande envoy´ee est la plus petite entre le r´egulateur de d´ebit FIC-1 et celle de pression PIC-1 pour ´eviter l’apparition de pressions trop ´elev´ees. C’est un contrˆole en r´etroaction (feedback).

22

´ CHAPITRE 2. SCHEMAS D’INSTRUMENTATION

La seconde boucle contrˆole la pression des gaz g´en´er´es par la digestion des copeaux de bois via une mesure de temp´erature TT-4 et de pression PT2. La valve de surpression PCV-2 assure une pression convenable. C’est un contrˆole en cascade.

2.2. LE SOLUTIONNAIRE

Figure 2.2 – Proc´ed´e de digestion de copeaux de bois

23

24

´ CHAPITRE 2. SCHEMAS D’INSTRUMENTATION

Chapitre 3 D´ etecteurs de proximit´ e

3.1 3.1.1

Les questions Question #9

Chez Thalie inc., il faut d´etecter un objet en cuivre passant `a moins de 4 mm selon une pr´esentation axiale. Le d´etecteur de proximit´e inductif doit envoyer un signal logique `a la charge si la distance est de 4 mm ou moins. La sortie de ce d´etecteur doit ˆetre de type NPN. La temp´erature de l’emplacement o` u se situe le capteur varie de 10◦ C `a 40◦ C. 25

26

´ ´ CHAPITRE 3. DETECTEURS DE PROXIMITE

#9 a) Parmi la liste des d´etecteurs donn´ees en annexe A, le ou lesquels peuvent faire l’affaire. Indiquer le num´ero de mod`ele, ainsi que leur port´ee nominale et r´eelle. #9 b) Quelle est la dimension minimum de la cible n´ecessaire pour que la d´etection ait lieu `a la distance demand´ee ? #9 c) Pour une source de tension continue de 24 Volts, quelle est la plage de r´esistance de charge qui assure de ne pas faire circuler un courant trop grand dans le capteur ? Indice : Voir ”Control output (switching capacity)” et ”Residual voltage”. #9 d) Quelle est la tension aux bornes de la charge lorsque le d´etecteur est activ´e par la pr´esence d’une cible ?

3.1.2

Question #10

Soit un d´etecteur de proximit´e capacitif AC dont la capacitance ´evolue selon l’´equation suivante qui est valide si x ≤ 3 cm : C = 8.85 pF/m × A

(3 cm − x)p + xr 3 cm(x + 0.1 cm)

o` u, x est la distance entre la cible et la face du d´etecteur (en centim`etre), p est le facteur de correction du mat´eriau de la cible, r est le facteur de correction pour l’air (appel´e aussi la constante di´electrique relative de l’air) qui est de 1.000264 et A est la surface de la capacitance du d´etecteur. Le d´etecteur a une surface de capacitance A de 3 cm2 et la cible se pr´esente de fa¸con axiale.

3.1. LES QUESTIONS

27

#10 a) Quelles sont les valeurs extrˆemes de la capacitance pour une cible en r´esine de m´elamine ayant un facteur de correction de 10 ? Tracez la courbe de la capacitance C en fonction de la distance x. #10 b) Quelle est la valeur de la capacitance si la cible en r´esine de m´elanime est positionn´ee a` 1.5 cm ? Cette valeur peut donc servir de seuil pour commuter le d´etecteur capacitif. #10 c) En utilisant une cible en porcelaine (facteur de correction de 5), a` quelle distance sera-t-elle d´etect´ee pour une valeur de capacitance ´egale a` celle calcul´ee en b) ?

3.1.3

Question #11

Soit un d´etecteur de proximit´e optique utilisant la m´ethode diffuse ayant les sp´ecifications apparaissant dans les Figures 3.1 et 3.2. La port´ee nominale est de 1 m`etre. Nous devons d´etecter le passage de boˆıtes de carton ayant un pouvoir de r´eflexion de 60 % sur un convoyeur. L’environnement de travail est tr`es poussi´ereux, puisque nous sommes dans une scierie. #11 a) ` quelle distance de la boˆıte pouvons-nous installer le capteur pour asA surer une d´etection correcte de celle-ci en tout temps ? Quel devrait-ˆetre le seuil pour assurer la d´etection de ces boˆıtes ? #11 b) Si un mur peintur´e avec une couleur mate (40%) est pr´esent dans le champ du capteur, le contraste sera trop faible. Proposer et justifier une autre fa¸con de d´etecter la boˆıte.

28

´ ´ CHAPITRE 3. DETECTEURS DE PROXIMITE

Figure 3.1 – Courbe de la marge de fonctionnement du d´etecteur de la question #11

Figure 3.2 – Patron de d´etection du d´etecteur de la question #11

3.2. LE SOLUTIONNAIRE

29

#11 c) Si le tapis transportant les boˆıtes roule `a 3 m`etres par minute, quelle devrait ˆetre la distance minimale entre les boˆıtes pour que le capteur d´etecte l’intervalle entre celles-ci ? (temps de commutation du d´etecteur de 8 ms).

3.1.4

Question #12

On d´esire mesurer la vitesse d’un mobile tournant avec un d´etecteur de proximit´e inductive. Ce d´etecteur de proximit´e a un temps de commutation de 1.5 ms (donc TON →OF F = TOF F →ON = 1.5 ms). L’engrenage qui servira a` d´etecter la vitesse du mobile tournant poss`ede 10 dents espac´ees de 1.5 pouces et ayant une largeur de 1.25 pouces. #12 a) Quelle est la vitesse maximale du moteur que l’on peut mesurer (en RPM) ? #12 b) Si la vitesse du moteur est de 1200 RPM, quelle est la fr´equence g´en´er´ee en sortie du d´etecteur de proximit´e ? #12 c) Si le convertisseur fr´equence tension a` une erreur de ±0.25 Hertz, quelle est l’erreur absolue (en RPM) et l’erreur relative `a 1200 RPM ?

3.2 3.2.1

Le solutionnaire Solution #9

#9 a) La port´ee nominale Sn doit faire en sorte que : 4 mm ≤ Sn × 0.9 × 0.9 × 0.3 Ce qui m`ene `a Sn ≥ 16.46 mm. Le mod`ele requis est donc le Bi20-G47-AN4X qui a une port´ee nominale Sn de 20 mm.

´ ´ CHAPITRE 3. DETECTEURS DE PROXIMITE

30 #9 b)

La dimension minimale de la cible pour assurer la d´etection `a la distance calcul´ee en #9 a) est de 60 mm × 60 mm × 1 mm. Cette valeur est obtenue en comparant de diam`etre du capteur qui est de 47 mm et le triple de la port´ee nominale, soit 3 × 20 mm soit 60 mm. La plus grande des deux valeurs compar´ees est 60 mm. #9 c) Pour calculer la r´esistance de charge qui fait en sorte de ne pas surcharger le capteur on utilise les deux informations suivantes : • Continuous load current Iload = 200 mA (Courant maximal de sortie — en continu) ; • Voltage drop across conducting sensor Vo = 1.8 V (Chute de tension au capteur — en conduction). La r´esistance de charge qui assure de ne pas entrainer un courant sup´erieur a` Iload est calcul´ee comme suit : Rload ≥

24 V − 1.8 V Vexc − Vo = 111 Ω = Iload 200 mA

(3.1)

La charge doit avoir une imp´edance d’au moins 111 Ω pour assurer un bon fonctionnement du capteur. #9 d) C’est simplement la diff´erence entre la tension d’alimentation du capteur Vexc de 24 V et la chute de tension dans le capteur Vo de 1.8 V, ce qui donne une tension de 22.2 V. C’est le num´erateur de l’´equation (3.1).

3.2.2

Solution #10

#10 a) Puisque la fonction de transfert du capteur est : C = 8.85 pF/m × A

(3 cm − x)p + xr 3 cm(x + 0.1 cm)

3.2. LE SOLUTIONNAIRE

31

et que p est de 10 pour la m´elamine, alors on peut ´ecrire : C = 8.85 pF/m × A

10(3 cm − x) + 1.000264x 3 cm(x + 0.1 cm)

Cela donne un maximum de 26.55 pF a` x = 0 cm et un minimum de 0.0857 pF a` x = 3 cm. La Figure 3.3 montre le comportement de la capacitance vs la distance pour la m´elamine et la porcelaine.

Figure 3.3 – Courbe capacitance vs distance

#10 b) La valeur de la capacitance pour une distance de 1.5 cm est de 0.9127 pF. #10 c) En changeant p de 10 a` 5 et en conservant une capacitance de 0.9127 pF, son solutionne l’´equation de capacitance pour trouver x = 0.976 cm. Donc, un objet en porcelaine devra s’approcher plus pr`es du d´etecteur capacitif pour ˆetre d´etect´e. D’ailleurs la Figure 3.3 montre que la courbe de capacitance de la porcelaine est toujours sous la courbe de la capacitance de la m´elamine. Donc, le capteur est plus sensible a` la m´elamine.

´ ´ CHAPITRE 3. DETECTEURS DE PROXIMITE

32

3.2.3

Solution #11

#11 a) Nous devons d´etecter le passage de boˆıtes de carton ayant un pouvoir de r´eflexion de 60 % sur un convoyeur. L’environnement de travail est tr`es poussi´ereux, puisque nous sommes dans une scierie. #11 a) Puisque l’environnement est tr`es poussi´ereux une marge de fonctionnement de 50 est requise. Selon la Figure 3.1 (en page 28), la plage de distance de la face avant de la boite par rapport au capteur est d’environ 0.05 a` 0.15 m`etre. Le seuil de d´etection serait : Seuil =

60% Energie recue = = 1.2% MF 50

(3.2)

ce qui est tr`es faible ! #11 b) Parmi les alternatives possibles, il y aurait le d´etecteur capacitif ou le d´etecteur ultrasonique pour faire la d´etection de la boite. Ou encore utiliser un d´etecteur photo´electrique avec la m´ethode de la barri`ere. #11 c) Si le tapis transportant les boˆıtes roule `a 3 m`etres par minute, quelle devrait ˆetre la distance minimale entre les boˆıtes pour que le capteur d´etecte l’intervalle entre celles-ci ? (temps de commutation du d´etecteur de 8 ms). Si on calcule directement a` partir de la vitesse et du temps de commutation, on trouve directement : dtrou = Vtapis tcomm = 3 m/min × 8 ms = 4 × 10−4 m = 0.4 mm

(3.3)

En supposant que nous utilisons le d´etecteur photo´electrique avec la m´ethode photo´electrique, la Figure 3.2 (en page 28) montre que la largeur du patron de d´etection est d’environ de 30 `a 35 mm (c’est a` 0.15 m`etre que

3.2. LE SOLUTIONNAIRE

33

l’on a` la plus grande largeur dans la plage identifi´ee en a)), ce qui exc`ede de beaucoup le 0.4 mm, calcul´e a` partir du temps de commutation. Donc, il faudrait que l’intervalle entre les deux boites exc`ede la largeur du patron (qui est le facteur limitant dans la situation pr´esente), et soit d’au moins 30 ou 35 mm.

3.2.4

Solution #12

#12 a) La vitesse maximale pour d´etecter la dent est directement : Vmax(dent) =

1.25 po. ddent = 833.33po/s = tcomm 1.5 ms

(3.4)

Celle pour d´etecter l’intervalle en deux dents successives (nomm´e le trou) est : dtrou 1.5 po. Vmax(trou) = = = 1000po/s (3.5) tcomm 1.5 ms Le pire cas correspond a` la vitesse de 833.33 po/s, car a` 1000 po/s, on ne d´etecte plus les dents. Puisque la circonf´erence de la roue est de 27.5 pouces (car il y a 10 dents de 1.25 pouces plus 10 espaces de 1.5 pouces), la roue tourne donc a` 30.3 RPS (i.e. 833.33/27.5), ce qui donne 1818.2 RPM. #12 b) ` 1200 RPM, la roue tourne a` 20 RPS ce qui donne une fr´equence de A 200 Hz (soit 20 rotations par seconde × 10 dents par tour). #12 c) En raison de l’erreur de 0.25 Hz, cela donne une erreur absolue de 1.5 RPM, ce qui donne une erreur relative de 0.125 %.

34

´ ´ CHAPITRE 3. DETECTEURS DE PROXIMITE

Chapitre 4 Capteurs de distance 4.1

Les questions

4.1.1

Question #13

On d´esire mesurer la position d’une cible avec un LVDT. Ce mobile se d´eplace sur une distance totale de 12 pouces, a` une vitesse pouvant atteindre 1 po/s. #13 a) Parmi les mod`eles propos´es dans l’annexe B, quel mod`ele faudrait-il choisir pour la plage d´esir´ee ? #13 b) Quelle est la plage de tension g´en´er´ee en sortie de ce capteur ?

4.1.2

Question #14

Il faut mesurer une position angulaire de fa¸con pr´ecise avec un r´esolveur. Le r´esolveur est excit´e avec une tension alternative de 12 Volts RMS (`a 2 kHz). Il donne en sortie un signal qui peut atteindre au maximum 6 Volts RMS (toujours a` 2 kHz). L’une des bobines du rotor (R1 ) donne un signal dont l’amplitude d´epend du sinus de l’angle θ, et l’autre (R2 ) donne un signal dont l’amplitude d´epend du cosinus de l’angle θ. 35

36

CHAPITRE 4. CAPTEURS DE DISTANCE

#14 a) ` quel angle correspond une tension de 3.11 Volts RMS a` la bobine R1 A et 5.14 Volts RMS a` la bobine R2 ? (Exprimer l’angle en degr´es - minutes). #14 b) ` quel angle correspond une tension de 2.320 Volts RMS d´ephas´e de A ◦ 180 a` la bobine R1 et 5.333 Volts RMS d´ephas´e de 180◦ a` la bobine R2 ? (Exprimer l’angle en degr´es - minutes). #14 c) Quels sont les signaux g´en´er´es (incluant le d´ephasage) dans les bobines R1 et R2, si l’angle a` mesurer est de 155◦ 8’ ?

4.1.3

Question #15

Il faut mesurer une distance avec un d´etecteur de proximit´e ultrasonique. Le principe de fonctionnement de ce d´etecteur est relativement simple. Le cristal pi´ezo´electrique du capteur fonctionne en mode ´emetteur et envoie un signal ultrasonique qui ira frapper la cible dont il faut d´eterminer la distance. L’´echo de retour revient vers le cristal pi´ezo´electrique qui est pass´e entretemps en mode r´ecepteur. La dur´ee entre l’´emission et la r´eception d´epend de la distance parcouru par le signal ultrasonique. #15 a) Si la vitesse du son est de 330 m`etres/secondes, quelle est la distance d’un objet dont le temps total aller-retour est de 0.55 sec ? #15 b) Le capteur ne peut mesurer la distance que si l’´echo revient alors que le cristal pi´ezo´electrique est en mode r´eception. Il y a donc une distance minimum mesurable car, il faut un certain temps pour passer du mode ´emission au mode r´eception. Si le temps de commutation entre le mode de r´eception est de 35 msec, quelle est la distance minimum mesurable avec ce capteur (avec une vitesse du son de 330 m/s) ?

4.1. LES QUESTIONS

4.1.4

37

Question #16

Soit un d´etecteur de proximit´e optique (bas´e sur la m´ethode diffuse) utilis´e pour d´etecter la pr´esence d’une feuille de papier blanche (pouvoir de r´eflexion de 80 %). Comme il pointe vers le bas, il peut potentiellement d´etecter le plancher de l’usine (`a 10 pouces du capteur) a` un pouvoir de r´eflexion de 50 %. #16 a)

Figure 4.1 – Patron de d´etection Sachant que le patron de d´etection est montr´e ci-dessus, quel est l’´ecart maximal permis entre la fin de la feuille et l’axe du capteur si la feuille est situ´ee a` 3 pouces du capteur ? #16 b) Pour d´etecter la feuille de papier, quel est la marge de fonctionnement (excess gain) requise, qui assurera de la d´etecter lorsque le seuil de d´etection est plac´e a` 70 % ?

38

CHAPITRE 4. CAPTEURS DE DISTANCE

#16 c) Si l’environnement est l´eg`erement poussi´ereux, quel est le seuil de d´etection maximum qui assurera la d´etection de la feuille ? #16 d) Dans ce mˆeme environnement, quel serait le seuil de d´etection pour d´etecter le plancher ? Quel est le contraste entre le plancher et le papier ?

4.1.5

Question #17

Cette question et les deux suivantes sont tir´ees d’un ancien examen. Mise en situation : ´ La compagnie CEPOCHE inc. se lance dans le march´e des croustilles (chips) et a ´elabor´e une unit´e de production situ´ee au 12321 rang VidePoche a` St-Edmond des Meu-Meu. Dans cette usine, on retrouve un poste de d´ecoupage et de pr´eparation des sacs. Ce poste montr´e en Figure 4.2 se compose de plusieurs capteurs dont le but ultime est de maintenir la qualit´e ´ de la production. ”Chez CEPOCHE, c’est le contenant qui est important” (sic).

Figure 4.2 – Sch´ema de poste de coupe La bande de papier, qui deviendra des sacs, est maintenue en place par une s´erie de rouleaux de pression. Cette bande arrive de la gauche sous forme continue et devrait sortir a` droite en format sacs de croustilles. Le couteau command´e par un automate d´ecoupe donc la bande en sac. Pour que le r´esultat soit correct, l’automate `a acc`es `a l’information de 3 capteurs. Le premier est un d´etecteur de proximit´e optique (1) qui envoie un faisceau lumineux pour d´etecter la fin des sacs.

4.1. LES QUESTIONS

39

La Figure 4.3 montre que la bande de papier comporte `a intervalles r´eguliers des marques de fin de sac. C’est vis-`a-vis de ces marques que le couteau doit couper. Le d´etecteur de proximit´e optique ´etant plac´e `a 20 cm devant le couteau, il faudra donc, lorsqu’une d´etection se produit, attendre que la bande de papier avance de 20 cm avant de couper. Pour s’assurer de faire cette op´eration au bon endroit, un syst`eme de mesure de position num´erique g´en´erant 1000 impulsions par tours sera install´e. C’est la roue identifi´ee 2 sur le dessin (Figure 4.2). Le papier en avan¸cant fait tourner la roue qui entraˆıne le codeur num´erique. La sortie du codeur est connect´ee sur l’entr´ee comptage de l’automate contrˆolant ce poste.

Figure 4.3 – Sac de chips et marques de fin de sac

La mesure de vitesse se fait en utilisant un tachym`etre DC (roue 3 – Figure 4.2) qui est mont´e exactement de la mˆeme fa¸con que le codeur, mais dont la sortie est connect´ee sur une entr´ee analogique de l’automate. Le d´ etecteur de proximit´ e optique (d´ etection de la fin de sac) : Igor Popov est en charge du choix du d´etecteur de proximit´e optique. Il choisi de prendre un d´etecteur de proximit´e utilisant la m´ethode diffuse. Ce d´etecteur aura la tˆache de rep´erer les marques de fin de sac. Le papier du sac r´efl´echit de 65 % de la lumi`ere re¸cue et la marque de fin de sac est une bande noire de 3 mm qui ne r´efl´echit que 25 % de la lumi`ere re¸cue. En annexe C vous trouverez les sp´ecifications du d´etecteur de proximit´e optique choisit par Igor.

40

CHAPITRE 4. CAPTEURS DE DISTANCE

#17 a) Sachant que la marge de fonctionnement (excess gain) requise est de 5, donner la plage de distance optimale a` laquelle le d´etecteur pourrait ˆetre plac´e au dessus de la surface. #17 b) Le seuil du comparateur doit ˆetre ajust´e avec soin, car il doit pourvoir distinguer le papier du sac des marques de fin de sac. Premi`erement, assurons nous de d´etecter la pr´esence du papier, car si l’on ne d´etecte pas le papier, comment d´etecter les marques de fin de sac. Donc, quel devrait ˆetre le seuil maximal du comparateur (en %) qui assure de d´etecter la pr´esence du sac (r´efl´echissant a` 65 %) ? #17 c) Deuxi`emement, il faut s’assurer de pouvoir distinguer le papier des marques de fin de sac. Donc, `a partir de quel seuil (minimal) du comparateur (en %) le syst`eme ne serait plus en mesure de d´etecter la pr´esence des marques de fin de sac (r´efl´echissant a` 25%) ? #17 d) Selon vous, le contraste est-il suffisant dans cette application ? Si non, comment feriez-vous pour augmenter ce contraste. #17 e) Quelle est la cadence maximale (en nombre de sacs par minutes) pouvonsnous traiter qui assure de pouvoir d´etecter correctement les marques de fin de sac (temps de commutation = 0.7 ms) ?

4.1.6

Question #18

Nous traitons toujours du syst`eme d´ecrit a` la question #17. Le capteur de distance (d´ etection du d´ eplacement de 20 cm) :

4.1. LES QUESTIONS

41

Jo Blow est en charge du choix du capteur de distance. Il choisit de prendre un encodeur de position incr´emental qu’il doit connecter a` l’automate. Dans l’automate, il fait un programme qui fait une remise a` z´ero du compteur a` chaque d´etection d’une marque de fin de sac. Ensuite, le compteur s’incr´emente jusqu’`a atteindre une valeur correspondant a` la distance `a mesurer. #18 a) Lorsque Jo Blow doit brancher ce capteur `a l’automate, il ne comprend pas qu’il doive brancher un fil de masse et deux fils appel´es A et B. On lui indique que la carte de comptage de l’automate peut ˆetre branch´ee a` un encodeur incr´emental ayant des signaux en quadrature et que cela permet a` l’automate de pourvoir incr´ementer ou d´ecr´ementer selon la direction de rotation de l’encodeur. Jo n’y comprend rien, expliquez ce qu’est ce genre d’encodeur de position et comment l’automate est en mesure d’interpr´eter correctement le sens de rotation. #18 b) Maintenant qu’il comprend, quel devrait ˆetre le diam`etre de la roue de mesure (2) appliqu´ee sur le papier du sac qui assure d’avoir une fr´equence de 10 000 Hertz en sortie de l’encodeur lorsque la cadence de production est de 60 sacs par minute ? #18 c) Combien faut-il compter d’impulsions pour mesurer une distance de 20 cm ?

4.1.7

Question #19

Nous traitons toujours du syst`eme d´ecrit a` la question #17. Le capteur de vitesse (vitesse de d´ eplacement) : Rodrigue Tremblay est en charge du choix du capteur de vitesse. Il choisi de prendre un tachym`etre DC qu’il monte sur un rouleau comme l’a fait son coll`egue avec l’encodeur. Les sp´ecifications du capteur de vitesse sont : • ´etendue de mesure : de - 1000 RPM `a 1000 RPM ;

42

CHAPITRE 4. CAPTEURS DE DISTANCE • sensibilit´e : 2.5 mV/RPM • classe de pr´ecision : ± 0.125 % EM.

#19 a) ` une cadence de 60 sacs par minutes, quelle sera la tension obtenue si le A rouleau de pression a` un diam`etre de 1 cm ? Quelle est l’erreur relative sur cette mesure ? #19 b) Le signal de sortie du tacho-g´en´erateur passe par un module ´electronique de conditionnement qui converti un signal 0 - 3 volts en un signal 4-20 mA. Ce module de conditionnement `a une erreur absolue de ±0.025 mA sur le signal de sortie. Quelle est l’erreur combin´ee (en mA) du capteur et du module de conditionnement ? #19 c) Le signal 4-20 mA entre dans un automate dont le convertisseur 16 bits n’est entach´e que par l’erreur de ±1 dˆ u au convertisseur analogiquenum´erique. Quelle est l’erreur de l’ensemble en sortie sortie du convertisseur analogique/num´erique de l’automate ? #19 d) Si l’automate nous indique 5555, quelle est la cadence de production en sacs par minutes ? Indiquez l’´ecart possible (de la cadence) dˆ u aux erreurs de mesure en sacs par minutes.

4.2 4.2.1

Le solutionnaire Solution #13

#13 a) La distance totale a` parcourir est de 12 pouces ou 30.48 cm. Or, les sp´ecifications des ´etendues de mesure de ces capteurs de distance sont sous la forme −x a` +x. Ainsi, il nous faut un LVDT dont la distance totale

4.2. LE SOLUTIONNAIRE

43

mesurable est d’au moins 30.48 cm ou encore une plage entre -152.4 mm et +152.4 mm. Le mod`ele a` choisir est donc : DCTH8000C dont la course (ou l’´etendue de mesure) est de -200 mm a` +200 mm. #13 b) La plage de tension en sortie du LVDT est : 0 `a 10 V ou –5 a` +5 V selon la sortie choisie. En fait, avec notre course de -152.4 mm a` +152.4 mm, nous observerons une variation de la tension de sortie de 7.62 V. La plage exacte de la variation de la tension de sortie d´epend de l’installation physique du capteur. Comme elle n’est pas pr´ecis´ee dans la question nous ne pouvons l’´etablir. Nous pouvons seulement mentionner que la variation de la tension de sortie est de 7.62 volts. En pratique, cet ajustement sera fait lors de l’installation du capteur sur le site.

4.2.2

Solution #14

#14 a) L’angle θ est d’environ 31◦ 10 min et 35 s, et il se calcule comme suit :   3.11 −1 θ = tan 5.14 #14 b) L’angle θ est de 203◦ 30 min 37 s, et il se calcule comme suit :   3.11 −1 θ = tan 5.14 #14 c) Les signaux seront de 2.52 V et 5.44 V (d´ephasage de 180◦ ). En effet : VR1 = 6 V RMS × sin(155◦ 80 ) = 2.52 V RMS

44

CHAPITRE 4. CAPTEURS DE DISTANCE

et VR2 = 6 V RMS × cos(155◦ 80 ) = −5.44 V RMS = 5.44 V RMS ∠180◦

4.2.3

Solution #15

#15 a) La distance est calcul´ee somme suit (temps aller = 1/2 temps allerretour) : t 0.55 s d = c = 330 m/s = 90.75 m (4.1) 2 2 #15 b) Le mˆeme calcul avec un temps de 35 msec donne : 35 ms t = 5.775 m d = c = 330 m/s 2 2

4.2.4

(4.2)

Solution #16

#16 a) La plage d’´ecart est de ± 1/2 pouce. #16 b) La marge de fonctionnement devrait ˆetre de : MF =

% lumiere recue 80% = = 1.14 % seuil 70%

(4.3)

Cette valeur est plutˆot faible ! Esp´erons que l’environnement ou se situe le capteur soit une salle blanche... #16 c) Il faut un EG de 5 ou plus. Donc : MF = 5 =

80% % lumiere recue = ⇒ % seuil = 16% % seuil % seuil

(4.4)

4.2. LE SOLUTIONNAIRE

45

Par contre, on risque de d´etecter le plancher, car son pouvoir de r´eflexion est de 50 %. Donc, il faudrait utiliser une autre approche de d´etection, donc le champ fixe ou encore la m´ethode convergente. Ou peinturer le plancher face au d´etecteur d’une couleur fonc´ee et mate. D’ailleurs, le contraste est : Contraste =

80% Lumeclairee = = 1.6 Lumsombre 50%

(4.5)

ce qui est insuffisant (on recommande 3 ou mieux).

4.2.5

Solution #17

#17 a) Selon la figure de la marge de fonctionnement montr´ee en Annexe C, la plage de distance est de 0 mm `a 90 mm de la surface (pour une . #17 b) Avec une marge de fonctionnement de 5, le seuil maximum est obtenu en solutionnant : MF = 5 =

% lumiere recue 65% = ⇒ % seuil = 13% % seuil % seuil

(4.6)

ou moins. #17 c) De la mˆeme fa¸con, avec une marge de fonctionnement de 5, le seuil minimal devrait ˆetre calcul´e comme suit : MF = 5 = ou plus.

% lumiere recue 25% = ⇒ % seuil = 5% % seuil % seuil

(4.7)

46

CHAPITRE 4. CAPTEURS DE DISTANCE

#17 d) Le contraste est : Contraste =

% lumiere recue ON 65% = = 2.6 % lumiere recue OFF 25%

(4.8)

Le contraste est inf´erieur a` 3 ce qui implique que la d´etection sera ardue. L’ajustement du d´etecteur sera aussi ardue. Pour augmenter ce contraste, il faudrait soit choisir des marques moins r´efl´echissantes, soit choisir un sac plus r´efl´echissant, soit faire ces deux choix simultan´ement. On peut aussi privil´egier de choisir un d´etecteur photo´electrique qui est sensible aux transitions plutˆot qu’aux niveaux de luminosit´e (option g´en´eralement identifi´ee — AC coupled). #17 e) Le facteur limitant ne sera pas l’intervalle entre les marques de fin de sac (30 cm moins 3 mm) mais plutˆot la largeur de la marque (3 mm). Ainsi, la vitesse maximale pour d´etecter la marque se calcule comme suit : Vmax(marque) =

0.003 m dmarque = = 4.286 m/s tmarque 0.7 ms

(4.9)

Comme un sac est d’une longueur de 30 cm, cette vitesse implique une cadence maximale de 857 sacs par minute.

4.2.6

Solution #18

#18 a) R´ef´erence : cours en classe. #18 b) Le diam`etre de la roue assurant une fr´equence de 10000 Hz pour une cadence de 60 sacs par minute (i.e. une vitesse de 30 cm/sec), est calcul´ee comme suit : 10000 Hz =

1000 × 30 cm/s ⇒ Diam ≈ 0.955 cm π × Diam

(4.10)

4.2. LE SOLUTIONNAIRE

47

#18 c) Si pour 30 cm, on compte 10000 impulsions (car 10000 impulsions par seconde correspond a` 30 cm par seconde), alors pour 20 cm, on en comptera le 2/3, soit environ 6667 impulsions.

4.2.7

Solution #19

#19 a) Si le rouleau fait 1 cm de diam`etre, alors sa circonf´erence est de 3.1416 cm. A cadence de une 60 sacs/min la vitesse de d´efilement du sac est de 30 cm/s. Ce qui avec la circonf´erence permet de conclure que la vitesse de rotation de 572.96 RPM. Comme la sensibilit´e du capteur est de 2.5 mV/RPM, alors la tension de sortie est de +1.43 V. Puisque le capteur a` une classe de pr´ecision de ±0.125 % EM, donc l’erreur absolue correspondant `a cette classe de pr´ecision est : abs = ±0.125/100 × 2000 RPM = ±2.5 RPM

(4.11)

et l’´etendue de mesure est de 2000 RPM, puisque l’on mesure de -1000 RPM a` +1000 RPM. L’erreur relative est : ±2.5 RPM abs × 100 % = × 100 % = ±0.44 % (4.12) rel = m 572.96 RPM #19 b) La tension de sortie du tacho-g´en´erateur varie de -2.5 V a` +2.5 V. En pratique comme le proc´ed´e d´efile les sacs dans un seul sens, seul la plage 0 a` +2.5 V est envoy´ee au module ´electronique de conditionnement (MEC). Cette variation est inf´erieure a` la variation permise sur l’entr´ee du MEC qui est de 0 a` 3 V. La fonction de transfert de ce MEC est : z = m2 y + b2

(4.13)

La sensibilit´e m2 du MEC est calcul´ee comme suit : m2 =

20 mA − 4 mA ∆z = = 5.333 mA/V ∆y 3V−0V

(4.14)

48

CHAPITRE 4. CAPTEURS DE DISTANCE L’erreur sur la sensibilit´e du MEC est : ∆m2 =

±0.025 mA = ±0.0083 mA/V 3V

(4.15)

La valeur de b2 est ´egale `a 4 mA, car le MEC donne une sortie de 4 mA quand l’entr´ee est de 0 V. L’erreur en sortie du MEC est le cumul de l’erreur absolue sur l’entr´ee ∆y et l’erreur sur la sensibilit´e ∆m2 : ∆z = ∆m2 |y| + ∆y |m2 | + ∆m2 ∆y

(4.16)

Puisque la classe de pr´ecision du tacho-g´en´erateur est de ±0.125 % EM, alors l’erreur absolue sur sa tension en sortie est : ∆y = ±0.125/100 × 5 V = ±0.0063 V

(4.17)

car l’´etendue de mesure en sortie va de -2.5 a` +2.5 V. Comme les valeurs du calcul de l’erreur en sortie du MEC sont toutes de signe positif, alors : ∆z = ∆m2 y + ∆ym2 + ∆m2 ∆y

(4.18)

Avec les valeurs num´eriques, on calcule finalement : ∆z = ±0.0083 mA/V × 3 V + ±0.0063 V × 5.333 mA/V + ±0.0083 mA/V × ±0.0063 V = ±0.0586 mA

(4.19)

Notez que le pire cas consid´er´e pour l’entr´ee y est la valeur maximale que peut prendre l’entr´ee, soit 3 V, en d´epit du fait que la valeur maximale en provenance du capteur est de 2.5 V. L’erreur absolue cumulative en sortie du MEC est de ±0.0586 mA. #19 c) La fonction de transfert est de la carte d’entr´ees analogiques de l’automate est : M = m3 z + b3 (4.20)

4.2. LE SOLUTIONNAIRE

49

La sensibilit´e m3 du convertisseur analogique/num´erique de la carte d’entr´ees analogiques est : 216 2n = = 4096 mA−1 m3 = ∆z 20 mA − 4 mA

(4.21)

L’erreur sur la sensibilit´e du convertisseur analogique/num´erique de la carte d’entr´ees analogiques est : ∆m3 = ±

1 1 =± = ±0.0625 mA−1 EMz 20 mA − 4 mA

(4.22)

La valeur de b3 est ´egale `a -16384, car le convertisseur analogique/num´erique de la carte d’entr´ees analogiques donne une sortie de 16384 quand l’entr´ee est de 4 mA. L’erreur en sortie du convertisseur analogique/num´erique de la carte d’entr´ees analogiques est le cumul de l’erreur absolue sur l’entr´ee ∆z et l’erreur sur la sensibilit´e ∆m3 : ∆M = ∆m3 |z| + ∆z |m3 | + ∆m3 ∆z

(4.23)

puis, comme les valeurs sont positives : ∆M = ∆m3 z + ∆zm3 + ∆m3 ∆z

(4.24)

Avec les valeurs num´eriques, on calcule : ∆M = ±0.0625 mA−1 × 20 mA + ±0.0586 mA × 4096 mA−1 + ±0.0625 mA−1 × ±0.0586 mA = ±241.28 ⇒ ±242

(4.25)

L’erreur absolue de la chaˆıne de mesure, ´evalu´ee en sortie du convertisseur analogique/num´erique est de ± 242. Si on reporte cette erreur absolue sur le mesurande du tacho-g´en´erateur, on doit obtenir la fonction de transfert compl`ete qui est directement : M = m3 m2 m1 x = 54.61 RPM−1 x

(4.26)

En posant M = ± 242 dans cette ´equation, on trouve x = ± 4.43 RPM.

50

CHAPITRE 4. CAPTEURS DE DISTANCE

#19 d) Si l’automate re¸coit la valeur 5555, alors la vitesse de rotation du rouleau de 1 cm de diam`etre est calcul´ee a` partir de l’´equation (4.26) et est de 101.72 ± 4.43 RPM. Cela donne une cadence de 10.65 sacs par minute (101.72 RPM ×π× 1 cm / (30 cm/sac)) avec un ´ecart de ± 0.46 sacs par minute.

Chapitre 5 Capteurs de force, pression et couple

5.1

Les questions

5.1.1

Question #20

Soit une jauge de contrainte mont´ee sur un tube cylindrique en traction, telle que montr´ee a` la figure 5.1. Le tube en question a` un diam`etre ext´erieur  D  de 3 pouces et un diam`etre int´erieur  d  a` d´efinir. Une jauge de contrainte est coll´ee comme celle du bas pour mesurer l’allongement longitudinal. Une ´equation, utilis´ee en r´esistance des mat´eriaux, nous indique que l’allongement unitaire  subit par le tube cylindrique est ´egal `a la contrainte de 51

52

CHAPITRE 5. CAPTEURS DE FORCE, PRESSION ET COUPLE

traction (identifi´ee par σ) divis´ee par le module de Young (identifi´e par E) : =

4F σ = E π E(D2 − d2 )

(5.1)

Figure 5.1 – Capteur de force tubulaire Le m´etal utilis´e pour fabriquer ce tube `a un module de Young E ´egal a` 27.56 × 106 livres/pouce2 et un coefficient de Poisson  ν  de 0.305. La jauge coll´ee sur la poutre a` un facteur de Jauge G de 2.25 et son ´elongation maximum est de 12.5 micro-strains (pour avoir une vie utile de 20 000 000 d’op´erations). Elle fait partie d’un pont de r´esistances ayant toutes une valeur de 350 Ω, ce qui est aussi la r´esistance de la jauge au repos (elle est identifi´ee sur le pont montr´e en Figure 5.2 par Rc ). La tension d’excitation utilis´ee est de 15 Volts.

#20 a) Quel est le diam`etre int´erieur d n´ecessaire pour mesurer une force de 2 000 livres avec un maximum de sensibilit´e ?

5.1. LES QUESTIONS

53

Figure 5.2 – Pont de r´esistances pour les questions #20 et #21. Note : Rc = Rg #20 b) Pour la situation indiqu´ee en a), quelle sera la valeur de la r´esistance Rg et la valeur de la tension de sortie Vm ? #20 c) Quelle est la force qui donnerait une tension de sortie de 0.25 mV ? #20 d) Quelle est l’erreur sur la tension de sortie si les conducteurs entre la jauge et le pont introduisent une r´esistance de 0.0025 Ω en s´erie avec la r´esistance Rg , pour la force mesur´ee en c) dans le cas d’un syst`eme de mesure a` 2 fils ?

5.1.2

Question #21

Soit un ´etrier en flexion (Figure 5.3) dont les dimensions sont : a = 2 cm, b = 4 cm, c = 5 cm, d = 2 cm et e = 2 cm. Le mat´eriau qui constitue cet ´etrier est de l’aluminium ayant un module de Young E de 71 Gpa et un coefficient de Poisson ν de 0.334.

54

CHAPITRE 5. CAPTEURS DE FORCE, PRESSION ET COUPLE

´ Figure 5.3 – Etrier en flexion pour mesurer une force La jauge de contrainte est plac´ee sur la face ext´erieure et de fa¸con longitudinale. L’allongement unitaire  subit par cette jauge est :   F 6c = −1 (5.2) Eae e La jauge de contrainte poss`ede un facteur de jauge G ´egal 2 et elle peut subir un allongement unitaire de 2500 micro-strains avant de rendre l’ˆame. Cette jauge d’une valeur nominale de 1200 Ω est connect´ee a` un pont comportant 3 autres r´esistances de mˆeme valeur (Figure 5.2 en page 53). La tension d’excitation de ce pont est de 10 Volts. #21 a) Quelle est la force maximale mesurable (en Newton) qui permet `a la jauge de contrainte de tenir le coup sans probl`emes ? #21 b) Quelle est la tension g´en´er´ee en sortie du pont (montr´e en Figure 5.2) avec la force maximale appliqu´ee ?

5.2. LE SOLUTIONNAIRE

55

#21 c) Comme le signal en b) est tr`es petit, il existe un petit truc qui permet d’augmenter de fa¸con appr´eciable la tension de sortie. Il suffit d’ajouter une seconde jauge identique (identifi´ee Rg2 ) sur la face ext´erieure. Cette r´esistance remplace la r´esistance R2 sur le sch´ema du pont de r´esistance. Quelle sera la tension g´en´er´ee en sortie du pont a` deux jauges avec la force maximale appliqu´ee ? #21 d) Si on ajoute deux autres jauges identiques sur la face int´erieure (Rg3 rempla¸cant R1 et Rg4 rempla¸cant R3 ) dont l’allongement sera : −F = Eae



6c +1 e

 (5.3)

quelle sera la charge maximale (en Newton) mesurable et quelle sera la tension en sortie du pont avec les 4 jauges pour cette charge ?

5.2 5.2.1

Le solutionnaire Solution #20

#20 a) La d´eformation unitaire  est : 4F 4 × 2000 lbs = = 12.5 × 10−6 2 2 πE(D − d ) π × 27.56 × 106 lbs/po2 ((3 po)2 − d2 ) (5.4) ce qui m`ene `a d ≈ 1.268 pouce. =

#20 b) La r´esistance de la jauge de contrainte est : Rg = R0 (1 + G) = 350 Ω(1 + 2.25 × 12.5 × 10−6 ) = 350.0098 Ω

(5.5)

56

CHAPITRE 5. CAPTEURS DE FORCE, PRESSION ET COUPLE La tension en sortie du pont sera :   Rg R3 Vout = Vexc − R1 + Rg R2 + R3   350.0098 Ω 350 Ω = 15 V − 350 Ω + 350.0098 Ω 350 Ω + 350 Ω = 0.105 mV

(5.6)

#20 c) Avec une tension de sortie de 0.25 mV, il faut trouver la r´esistance de la jauge en solutionnant :   350 Ω Rg = 0.25 mV (5.7) − Vout = 15 V 350 Ω + Rg 350 Ω + 350 Ω ce qui donne Rg = 350.023 Ω. La d´eformation unitaire correspondante est obtenue en solutionnant : Rg = 350 Ω(1 + 2.25) = 350.023 Ω

(5.8)

ce qui donne  = 29.63 × 10−6 . La force correspondante est obtenue en solutionnant : =

4F = 29.63 × 10−6 2 6 2 2 π × 27.56 × 10 lbs/po ((3 po) − (1 po )

(5.9)

Finalement la force est de 4740.9 lbs. #20 d) La r´esistance de la jauge est Rg = 350.0233 Ω et celle des fils est : 2Rf = 0.0025 Ω Ce qui m`ene `a une tension de sortie de :   Rg + 2Rf R3 Vout = Vexc − R1 + Rg + 2Rf R2 + R3   350.00258 Ω 350 Ω (5.10) − = 15 V 350 Ω + 350.00258 Ω 350 Ω + 350 Ω = 0.277 mV alors qu’elle ´etait de 0.25 mV `a la question #20 c). Ce qui implique une erreur sur la tension de sortie Vout de 0.027 mV.

5.2. LE SOLUTIONNAIRE

5.2.2

57

Solution #21

#21 a) La d´eformation unitaire est obtenue avec :   F 6c = −1 Eae e   F 6 × 0.05 m = −1 71 × 109 Pa × 0.02 m × 0.02 m 0.02 m = 2500 × 10−6

(5.11)

Ainsi, en solutionnant cette ´equation, on trouve une force F = 5071.43 N. #21 b) Avec une d´eformation unitaire  = 2500 × 10−6 , on peut calculer la r´esistance de la jauge de contrainte : Rg = R0 (1 + G) = 1200 Ω(1 + 2 × 2500 × 10−6 ) = 1206 Ω Puis la tension en sortie du pont :   Rg R3 Vout = Vexc − R1 + Rg R2 + R3   1200 Ω 1206 Ω − = 10 V 1200 Ω + 1206 Ω 1200 Ω + 1200 Ω = 12.47 mV

(5.12)

(5.13)

#21 c) En rempla¸cant la r´esistance R2 par une seconde jauge se comportant identiquement a` Rg (donc R2 = Rg ), on peut recalculer la tension de sortie :   R3 Rg − Vout = Vexc R1 + Rg Rg + R3   1206 Ω 1200 Ω (5.14) = 10 V − 1200 Ω + 1206 Ω 1206 Ω + 1200 Ω = 24.94 mV On constate un doublement de la tension de sortie lorsque la r´esistance R2 est remplac´ee par une jauge de r´esistance Rg . Ce qui fait que le pont comporte deux jauges de contrainte.

58

CHAPITRE 5. CAPTEURS DE FORCE, PRESSION ET COUPLE

#21 d) Pour la force de 5071.43 N, la jauge sur la face int´erieure est d´eform´ee. Cette d´eformation est :   −F 6c = +1 Eae e   −5071.43 N 6 × 0.05 m (5.15) = +1 71 × 109 Pa × 0.02 m × 0.02 m 0.02 m = −2857.14 × 10−6 En rempla¸cant les r´esistances R1 et R3 par des jauges mesurant cette d´eformation, on obtient : Rg2 = R0 (1 + G) = 1200 Ω(1 + 2 × −2857.14 × 10−6 ) = 1193.14 Ω (5.16) Avec les quatre jauges, on obtient cette tension de sortie   Rg Rg2 Vout = Vexc − Rg2 + Rg Rg + Rg2   1193.14 Ω 1206 Ω − = 10 V 1193.14 Ω + 1206 Ω 1193.14 Ω + 1206 Ω = 53.59 mV

(5.17)

Le pont `a quatre jauges a` une tension de sortie qui est environ le quadruple de celle du pont a` une jauge. Donc, ce pont est environ quatre fois plus sensible.

Chapitre 6 Capteurs de niveau

6.1

Les questions

6.1.1

Question #22

Soit un r´eservoir ferm´e d’acide citrique ayant une densit´e de 12.834 livres par gallon US (`a 60 ◦ F) et dont on mesure le niveau via un capteur de pression diff´erentiel. Ce capteur de pression diff´erentiel a une prise de haute pression connect´ee au bas du r´eservoir, et une prise de basse pression connect´ee au haut du r´eservoir. Le capteur de pression a` une ´etendue de mesure de 0 a` 5 psig et envoie un signal 4 a` 20 mA en sortie. Le r´eservoir cylindrique vertical a` une section de 7 pieds carr´es. #22 a) Quel est le niveau maximum de liquide (en pied) mesurable avec un tel dispositif ? 59

60

CHAPITRE 6. CAPTEURS DE NIVEAU

#22 b) Quelle est la pression mesur´ee et le courant g´en´er´e (en mA) si le niveau de liquide est de 2.75 pieds ? #22 c) Si la densit´e de l’acide citrique diminue de 0.015 % par ◦ F d’augmentation de temp´erature, quel sera la pression mesur´ee pour un niveau de 3.75 pieds et une temp´erature de 80 ◦ F ? Quel niveau sera indiqu´e un l’afficheur connect´e (calibr´e avec la densit´e a` 60 ◦ F) `a ce capteur ?

6.1.2

Question #23

Soit un r´eservoir ouvert d’eau (densit´e de 1.00 gr/cm3 a` 20 ◦ C) dont on mesure le niveau via un capteur de pression relative avec le cˆot´e haute pression ayant une prise au bas du r´eservoir. Le capteur de pression a` une ´etendue de mesure de 0 a` 100 kPa-relatif et envoie un signal 4 `a 20 mA en sortie. La pression atmosph´erique est en moyenne de 101.3 kPa. #23 a) Quel est le niveau maximum de liquide que l’on peut mesurer avec un tel dispositif (`a 20 ◦ C) ? #23 b) Quelle est la pression mesur´ee et le courant g´en´er´e (en mA) si le niveau de liquide est de 4.5 m`etres (`a 20 ◦ C) ? #23 c) Si le capteur de pression avait ´et´e un capteur de pression absolu ayant une ´etendue de mesure de 200 kPa, quel serait le niveau maximum mesurable (`a 20 ◦ C) ? #23 d) Avec ce capteur de pression absolu, quelle serait la pression mesur´ee et le courant g´en´er´e (en mA) si le niveau de liquide ´etait de 4.5 m`etres (`a 20 ◦ C) ?

6.1. LES QUESTIONS

61

#23 e) Si la pression atmosph´erique augmente de 5 kPa (il fait beau), quelle serait l’erreur relative de la mesure 4.5 m`etres avec le capteur de pression absolu ? R´ep´etez le calcul avec le capteur de pression relative et expliquer la diff´erence.

6.1.3

Question #24

Soit un r´eservoir ferm´e d’isopentane (formule chimique C5 H12 et densit´e de 0.625 gr/cm3 a` 20 ◦ C) dont on mesure le niveau via un capteur de pression relative avec le cˆot´e basse pression ayant une prise au bas du r´eservoir et le cˆot´e haute pression connect´e a` une colonne humide (car le point d’´ebullition n’est que de 28 ◦ C). La colonne mouill´ee mesure 8 m`etres de hauteur et le capteur diff´erentiel utilis´e `a une plage a` d´eterminer et envoie un signal 0 `a 5 V en sortie. #24 a) ◦

Quel est la plage de mesure exig´ee du capteur de pression en kPa (`a 20 C) ?

#24 b) Quelle est la pression mesur´ee et la tension g´en´er´ee (en V) si le niveau de liquide est de 5.25 m`etres (`a 20 ◦ C) ?

6.1.4

Question #25

Soit un capteur de niveau par bullage. Le r´eservoir peut contenir une hauteur de 4 m`etres de liquide et le conduit s’arrˆete 0.0625 m`etres avant le fond du r´eservoir. Le r´eservoir contient une solution aqueuse de NaCl ayant une densit´e de 1.19 gr/cm3 . (g = 9.81 m/s2 ). #25 a) Quelle est la pression relative requise pour qu’il y ait des bulles ´emises continuellement ? Cette pression relative est celle appliqu´ee par le compresseur.

62

CHAPITRE 6. CAPTEURS DE NIVEAU

#25 b) Si la pression relative mesur´ee est de 20 kPa, quel est le niveau de liquide dans le r´eservoir ? #25 c) Si le r´eservoir a` la forme d’un cˆone tronqu´e dont le diam`etre a` la base est de 4 m`etres et le diam`etre en haut est de 5 m`etres, quel est le volume de liquide dans le r´eservoir si la pression relative mesur´ee est de 13.3 kPa.

6.2

Le solutionnaire

6.2.1

Solution #22

#22 a) La pression hydrostatique est : P = ρgh

(6.1)

Puisque ρg = 13.834 lb/gal US et que 1 gal US repr´esente un volume de 231 po3 , alors : P = 5 lb/po2 =

13.834 lb/gal US × h ⇒ h = 83.49 po = 6.96 pi 231 po3 /gal US

(6.2)

Donc, le niveau correspondant a` une pression de 5 lb/po2 est de 6.96 pieds. #22 b) La pression sera : P = ρgh =

13.834 lb/gal US × 2.75 pi × 12 po/pi = 1.98 psi 231 po3 /gal US

(6.3)

#22 c) Puisque la densit´e diminue de 0.015 % par ◦ F et qu’il y a une variation de 20 ◦ F (soit 80 ◦ - 60 ◦ F), la variation de masse volumique sera de

6.2. LE SOLUTIONNAIRE

63

0.015% × 20 = 0.3%. Ainsi, la nouvelle masse volumique sera de 13.792 lb/gal US. La pression g´en´er´ee par un niveau de 3.75 pieds de liquide sera : P = ρgh =

13.792 lb/gal US × 3.75 pi × 12 po/pi = 2.687 psi 231 po3 /gal US

(6.4)

Comme le capteur est calibr´e avec ρg = 13.834 lb/gal US, le niveau qui sera interpr´et´e sera la solution de : P = 2.687 psi = ρgh =

13.834 lb/gal US ×h 231 po3 /gal US

(6.5)

ce qui donne h = 44.865 pouces ou 3.739 pieds. Ce sera le niveau affich´e. Il en r´esulte que le niveau sera sous estim´e.

6.2.2

Solution #23

#23 a) La hauteur d’eau se calcule de la pression hydrostatique (en notant que 1 gr/cm3 ´equivaut `a 1000 kg/m3 ) : P = 100000 Pa = ρgh = 1000 kg/m3 × 9.81 m/s2 × h

(6.6)

ce qui m`ene `a h =10.194 m`etres. #23 b) Pour un niveau de 4.5 m`etres d’eau, on trouve la pression en calculant P = ρgh = 1000 kg/m3 × 9.81 m/s2 × 4.5 m = 44145 Pa

(6.7)

Donc, la pression relative correspondant a` un niveau de 4.5 m d’eau est de 44145 Pa. Si la sortie du capteur de pression relative est ajust´ee pour faire en sorte que 4 mA correspond `a 0 Pa et 20 mA a` 100000 Pa, ce qui correspond a` : y(mA) = 16 × 10−5 mA/Pa × x(Pa) + 4mA

(6.8)

Pour une pression x de 44145 Pa, on obtient une sortie y de 11.063 mA.

64

CHAPITRE 6. CAPTEURS DE NIVEAU

#23 c) Pour ce capteur de pression absolue, il faut prendre en compte la pression atmosph´erique, ainsi la hauteur d’eau correspondant a` une pression de 200000 Pa est calcul´e comme suit : P = 200000Pa = ρgh+Patm = 1000kg/m3 ×9.81m/s2 ×h+101300Pa (6.9) ce qui m`ene `a h =10.06 m`etres. #23 d) En r´ep´etant avec la hauteur de 4.5 m`etres avec un capteur de pression absolue au lieu du capteur de pression relative (utilis´e en #23 b)), on calcule : P = ρgh + Patm = 1000 kg/m3 × 9.81 m/s2 × 4.5 m + 101300 Pa = 145445 Pa (6.10) Donc, la pression absolue correspondant a` un niveau de 4.5 m d’eau est de 145445 Pa. Si la sortie du capteur de pression absolue est ajust´ee pour faire en sorte que 4 mA correspond `a 0 Pa et 20 mA a` 200000 Pa, ce qui correspond a` : y(mA) = 8 × 10−5 mA/Pa × x(Pa) + 4mA

(6.11)

Pour une pression x de 145445 Pa, on obtient une sortie y de 15.636 mA. #23 e) Pour le capteur de pression absolue, le niveau mesur´e serait erronn´e. Ainsi, puisque Patm = 101300 Pa + 5000 Pa = 106300 Pa, on solutionne : P = ρgh+Patm = 1000kg/m3 ×9.81m/s2 ×h+106300Pa = 145445Pa (6.12) pour trouver h = 3.99 m. Ce qui donne une erreur de 0.51 m puisque la valeur r´eelle du niveau correspondant a` une pression de 145445 Pa est 4.5 m. Pour le capteur de pression relative, la mesure reste inchang´ee et l’erreur relative est nulle. D’o` u l’avantage d’utiliser ce capteur au lieu du capteur de pression absolu, puisqu’il est ind´ependant de la pression atmosph´erique.

6.3. SOLUTION #25

6.2.3

65

Solution #24

#24 a) La diff´erence de pression entre le cot´e haute pression et le cot´e basse pression est : ∆P = Php − Pbp = ρgH − ρgh = ρg(H − h) = 625 kg/m3 × 9.81 m/s2 (8 m − 0 m) = 49050 Pa

(6.13)

#24 b) En r´ep´etant le calcul avec h = 5.25 m, on obtient : ∆P = Php − Pbp = ρgH − ρgh = ρg(H − h) = 625 kg/m3 × 9.81 m/s2 (8 m − 5.25 m) = 16861 Pa

(6.14)

Si le capteur est ajust´e de telle sorte qu’une pression de 0 Pa donne une sortie de 0 V et qu’une pression de 49 050 Pa donne 5 V, alors la fonction de transfert du capteur est : y(V) = 1.019 V/Pa × x(Pa)

(6.15)

et avec une pression de 16861 Pa on trouve que la sortie y = 1.72 V.

6.3

Solution #25

#25 a) La pression qu’il faut appliquer pour qu’il y ait ´emission de bulles doit exc´eder la pression hydrostatique. Ainsi, il faut que : P > ρgh = 1190 kg/m3 × 9.81 m/s2 × (4 m − 0.0625 m) = 45965.98 Pa (6.16) La pression du compresseur doit donc exc´eder 45965.98 Pascal.

66

CHAPITRE 6. CAPTEURS DE NIVEAU

#25 b) Si la pression relative mesur´ee est de 20 kPa, alors la hauteur de conduite immerg´ee est la solution de : P = 20000 Pa = ρgh = 1190 kg/m3 × 9.81 m/s2 × h

(6.17)

ce qui m`ene `a h = 1.713 m`etre. Il faut additionner la distance de 0.0625 m entre le bout du conduit et le fond du r´eservoir. Ainsi, le niveau sera donc de 1.713 m + 0.0625 m = 1.776 m. #25 c) Le volume V d’un cˆone tronqu´e est calcul´e comme suit :   r r2 πR2 h V = 1+ + 2 3 R R

(6.18)

avec r et R les rayons des extr´emit´es du cˆone tronqu´e (et R > r) et h la hauteur. Dans notre cas, r = 2 m`etres (car le petit diam`etre est de 4 m),R = 2.5 m (car le grand diam`etre est de 5 m) et la hauteur est de 4 m`etres. Le r´eservoir faisant 4 m`etres de haut, `a une hauteur de 1.176 m, le rayon R serait : 1.176 m × 0.5 m + 2 m (6.19) R= 4m Avec ces donn´ees, on obtient un volume de 24.88 m`etres cubes.

Chapitre 7 Capteurs de d´ ebit

7.1

Les questions

7.1.1

Question #26

Soit un capteur de d´ebit par plaque orifice `a arrˆetes vives. Le diam`etre du conduit est de 8 pouces. Il faut mesurer un d´ebit d’eau (8.333 livres/gallon US) se situant entre 400 et 2000 gallons US par minutes, avec un capteur de pression diff´erentielle ayant une plage de 0 a` 120 psi. Les prises de ce capteur de pression sont piqu´ees sur la conduite dans les coins des brides. #26 a) Quel doit ˆetre le diam`etre du trou dans la plaque orifice pour mesurer le d´ebit maximum avec ce capteur de pression ? (Note : il faut choisir parmi 67

´ CHAPITRE 7. CAPTEURS DE DEBIT

68

une s´erie de plaques orifices dont le diam`etre du trou est un multiple de 1/8 de pouce.) #26 b) V´erifier que le nombre de Reynolds reste toujours sup´erieur `a la valeur requise pour la plaque orifice choisie dans la plage de d´ebit a` mesurer. Discuter de la qualit´e de la mesure.

7.1.2

Question #27

Je d´esire remplacer la plaque orifice de la question pr´ec´edente par un Venturi. #27 a) Quel doit ˆetre le diam`etre minimum du Venturi pour mesurer le d´ebit maximum avec le capteur de pression de la question pr´ec´edente ? (Note : il faut choisir parmi une s´erie de Venturi dont le diam`etre minimum est un multiple de 1/8 de pouce.) #27 b) V´erifier que le nombre de Reynolds reste toujours sup´erieur `a 150000 pour la plaque orifice choisie dans la plage de d´ebit a` mesurer. Discuter de la qualit´e de la mesure. #27 c) Bilan des questions #26 et #27. Quel syst`eme de mesure recommanderiezvous dans cette application, le Venturi ou la plaque orifice ?

7.1.3

Question #28

Une conduite de 35 cm de diam`etre transporte du Triptane (densit´e 0.695 gr/cm3 et viscosit´e 3×10−3 Pa.s) `a un d´ebit allant jusqu’`a 30000 litres/minutes.

7.1. LES QUESTIONS

69

#28 a) Quelle est l’´etendue de mesure du capteur de pression qui est n´ecessaire pour mesurer un tel d´ebit avec un Venturi ayant un diam`etre minimum de 15 cm ? #28 b) Calculez le nombre de Reynolds ? Quel est le d´ebit minimum qui assure que le nombre de Reynolds reste au dessus de 150000 ?

7.1.4

Question #29

Une conduite de 25 cm de diam`etre transporte du bromure (densit´e de 2.93 gr/cm3 et viscosit´e d’environ 10−3 Pa.s) a` un d´ebit maximal de 1750 m3 /heure. La mesure de d´ebit se fait grˆace a` un tube de Pitot qui exige que le nombre de Reynolds soit sup´erieur a` 300000. #29 a) J’ai `a choisir entre les 4 capteurs de pression suivant (A : 0 - 50 kPa, B : 0 - 100 kPa, C : 0 - 150 kPa et D : 0 - 200 kPa) ayant tous une pr´ecision de ± 0.125 % et un signal de sortie de 4 `a 20 mA. Quel capteur serait un choix optimal en terme de pr´ecision et d’´etendue de mesure ? #29 b) Quel est le d´ebit minimum (en m3 /h) qui assure que le nombre de Reynolds soit sup´erieur a` 300000 ? Quelle est la pression diff´erentielle mesur´ee pour cette vitesse ? Quelle est la rangeabilit´e de ce capteur ? #29 c) Quel est le d´ebit dans la conduite, si le courant mesur´e est de 16.5 mA ? Quelle est l’erreur relative a` cette mesure ?

7.1.5

Question #30

Un rotam`etre est utilis´e pour mesurer un d´ebit d’eau (densit´e de 1 gr/cm3 et viscosit´e d’environ 10−3 Pa.s). Le flotteur utilis´e `a un volume de 4 cm3 et

´ CHAPITRE 7. CAPTEURS DE DEBIT

70

une surface de 1.125 cm2 . La densit´e du flotteur est ´egale a` 6 fois la densit´e de l’eau. La section annulaire de passage du fluide peut ˆetre au maximum de 0.5 cm2 . La constante de proportionnalit´e K1 est pos´ee ´egale `a 1.5. Le cˆone de mesure `a un angle total de 2.5◦ . L’acc´el´eration de la pesanteur g est pos´ee ´egale a` 10 m/s2 . #30 a) Quel est le d´ebit maximal mesurable par ce capteur ? Quelle est la hauteur correspondante du flotteur ? #30 b) Quelle est la hauteur du flotteur correspondant `a un d´ebit de 75 litres/heure ? Est-ce que la position du flotteur a` une relation lin´eaire avec le d´ebit ?

7.1.6

Question #31

Soit un d´eversoir trap´ezo¨ıdal dont le fond a` une largeur de 4 pieds. Le d´ebit est tel que la hauteur du d´enivel´e est de 4 pieds. #31 a) Quel est le d´ebit qui provoque ce d´enivel´e de 4 pieds ? #31 b) Si on avait un d´eversoir triangulaire avec un angle de 60◦ , quelle serait la hauteur du d´enivel´e pour le mˆeme d´ebit ? #31 c) Si un d´eversoir lin´eaire (dont la largeur a` 1 pied de d´enivel´e est de 2 pieds) ´etait utilis´e, quelle serait la hauteur du d´enivel´e pour un mˆeme d´ebit ? d) Quel est le d´ebit correspondant a` chacune des trois techniques si la hauteur du d´enivel´e est de 1.25 pieds ?

7.2. LE SOLUTIONNAIRE

7.2 7.2.1

71

Le solutionnaire Solution #26

#26 a) Avant de r´epondre a` la question sur le diam`etre de la plaque orifice, il faut tout d’abord v´erifier si l’´ecoulement est turbulent au d´ebit maximum. Cela revient `a ´evaluer si le nombre de Reynolds Re est sup´erieur a` 45000. L’´equation donnant le nombre de Reynolds est : 3160QGt Dµ 3160 × 2000 GPM × 1 = 8 po × 1.002 cP = 788423 > 45000

Re =

(7.1)

avec Gt = 1 et car le liquide est de l’eau. L’´ecoulement ´etant turbulent et Re > 45000, on peut envisager l’utilisation de la plaque orifice. Il faut alors la dimensionner. L’´equation donnant le d´ebit mesur´e par un organe d´eprimog`ene (dont la plaque orifice) est : r 2 2 ∆P (7.2) Q = αβ A1 ρ Il faut s’assurer que les unit´es soit adapt´ees pour le calcul. Le d´ebit maximal est de 2000 GPM. Comme 1 gallon US est ´egal `a 231 pouces cubes et qu’une minute est ´egale a` 60 secondes, alors on pose Q = 7700 pouces cubes par seconde. La surface d’une conduite de 8 pouces est A1 = 50.2656 pouces carr´es. La chute de pression ∆P sera exprim´ee en livres par pouces carr´es. Le poids volumique peut ˆetre converti en une masse volumique en divisant par l’acc´el´eration de la pesanteur (g = 32.174 pieds par seconde au carr´e ou 386.088 pouces par seconde au carr´e). Le poids volumique de 8.333 livres/gallon US correspond a` 0.0361 livres/pouce3 . La masse volumique sera alors : ρg 0.0361 lb/po3 −6 = lb.s2 /po4 (7.3) ρ= 2 = 93.434 × 10 g 386.088 po/s

´ CHAPITRE 7. CAPTEURS DE DEBIT

72

Ainsi, on peut solutionner l’´equation suivante pour trouver la chute de pression : r 2 3 2 Q = 7700 po /s = αβ A1 ∆P ρ s (7.4) 2 2 2 = αβ × 50.2656 po × ∆P 93.434 × 10−6 lb.s2 /po4 On trouve ainsi la relation entre ∆P et αβ 2 : ∆P =

1.096 lb/po2 2 αβ

(7.5)

Il y a plusieurs solutions possibles, en fonction du choix de la dimension de l’orifice d, ou de fa¸con ´equivalente de β = d/D. Du Tableau 6-3 en page 210 du livre d’Abdalla Bsata 1 , (reproduit dans les ac´etates) on tire : • β = 0.5 ⇒ αβ 2 = 0.1568 ce qui m`ene a` ∆P = 44.59 psi et d = 4.0 pouces ; • β = 0.55 ⇒ αβ 2 = 0.1937 ce qui m`ene `a ∆P = 29.22 psi et d = 4.4 pouces ; • β = 0.6 ⇒ αβ 2 = 0.2369 ce qui m`ene a` ∆P = 19.53 psi et d = 4.8 pouces ; • β = 0.625 ⇒ αβ 2 = 0.2614 ce qui m`ene a` ∆P = 16.04 psi et d = 5.0 pouces ; • β = 0.65 ⇒ αβ 2 = 0.2879 ce qui m`ene `a ∆P = 13.23 psi et d = 5.2 pouces. Cette liste n’est pas exhaustive, car il n’´enum`ere que quelques solutions possibles. Par exemple, nous pourrions choisir une plaque orifice de 5.0 pouces et un capteur de pression ayant une ´etendue de mesure d’au moins 16.04 psi. #26 b) L’´equation donnant le nombre de Reynolds est : Re =

3160QGt Dµ

(7.6)

1. Bsata, Abdalla, ”Instrumentation et Automatisation dans le contrˆole des proc´ed´es, Le Griffon d’argile, 1994.

7.2. LE SOLUTIONNAIRE

73

Au d´ebit minimum, ce nombre est : Re =

3160 × 400 GPM × 1 = 157684.63 > 45000 8 po × 1.002 cP

(7.7)

ce qui indique que la plaque orifice est une bonne approche pour mesurer la plage de d´ebit de 400 a` 2000 GPM.

7.2.2

Solution #27

#27 a) En utilisant les r´esultats de la question #26 a), le nombre de Reynolds convient, car 788423 ≥ 150000. Ainsi le venturi peut aussi ˆetre envisag´e. Le calcul pour la dimension du venturi est identique et finalement on utilise le r´esultat obtenu en #26 a) : ∆P =

1.096 lb/po2 αβ 2

(7.8)

Du Tableau 6-3 du livre d’Abdalla Bsata 2 , on tire : • β = 0.5 ⇒ αβ 2 = 0.2530 ce qui m`ene a` ∆P = 17.13 psi et d = 4.0 pouces ; • β = 0.55 ⇒ αβ 2 = 0.3110 ce qui m`ene `a ∆P = 11.33 psi et d = 4.4 pouces ; • β = 0.6 ⇒ αβ 2 = 0.3781 ce qui m`ene `a ∆P = 7.69 psi et d = 4.8 pouces ; • β = 0.625 ⇒ αβ 2 = 0.4159 ce qui m`ene `a ∆P = 6.34 psi et d = 5.0 pouces ; • β = 0.65 ⇒ αβ 2 = 0.4568 ce qui m`ene a` ∆P = 5.25 psi et d = 5.2 pouces. Comme pr´ec´edemment, cette liste n’est pas exhaustive. En choisissant un venturi d’un diam`etre de 5.0 pouces, il faudrait lui associer un capteur de pression ayant une ´etendue de mesure d’au moins 6.34 psi. Pour une plaque orifice de mˆeme taille, il faut avoir un capteur ayant une ´etendue de mesure de 16.04 psi. Donc, il y aura moins de pertes de charges. 2. Ibid., page 210

´ CHAPITRE 7. CAPTEURS DE DEBIT

74 #27 b)

Puisque le nombre de Reynolds au d´ebit minimal est d’environ 157685, il est donc sup´erieur `a 150000 sur toute la plage de mesure d´esir´ee. Ce capteur de d´ebit convient lui aussi. #27 c) Du cot´e mon´etaire, la plaque orifice est la solution id´eale. Par contre pour ce qui est des pertes de charges, c’est le venturi qui est la meilleure solution puisqu’il provoque les plus petites pertes de charges. Les mesures provenant des deux approches sont de mˆeme qualit´e, car le nombre de Reynolds correspondant au d´ebit minimal exc`ede le seuil requis dans les deux cas.

7.2.3

Solution #28

#28 a) Puisque la surface de la conduite est A = πD2 /4 = 0.09621 m2 , la vitesse d’´ecoulement est v = Q/A = 311.8138 m/min = 5.197 m/s. Alors, le nombre de Reynolds correspondant a` la situation d´ecrite est : vρD µ 5.197 m/s × 695 kg/m3 × 0.35 m = 3 × 10−3 Pa.s = 421380.67

Re =

(7.9)

Comme il est sup´erieur a` 150000, cela implique que le venturi peut faire l’affaire. Puisque l’on choisi un diam`etre de venturi de 15 cm (d = 0.15 m), alors β = 0.15/0.35 = 0.4286. Dans la table des αβ 2 , il y a des valeurs pour β = 0.425 (αβ 2 = 0.1800) et β = 0.450 (αβ 2 = 0.2026). Par interpolation, on trouve : αβ 2 =

0.2026 − 0.1800 × (0.4286 − 0.4250) + 0.1800 = 0.1833 0.450 − 0.425

(7.10)

7.2. LE SOLUTIONNAIRE On ´evalue donc l’´equation suivante pour notre situation : r 2 2 Q = αβ A1 ∆P ρ s 2 0.5 m2 /s = 0.1833 × 0.0962 m2 ∆P 695 kg/m3

75

(7.11)

Ce qui m`ene a` une chute de pression de 279328.9 Pascal. C’est l’´etendue de mesure n´ecessaire pour le capteur de pression avec le venturi ayant un diam`etre de 15 cm. #28 b) Le nombre de Reynolds calcul´e en #28a) est de 421380.67. C’est lorsque le d´ebit est maximal. Le d´ebit minimal mesurable sera le d´ebit donnant un nombre de Reynolds de 150000. Par une interpolation, on trouve : 150000 150000 Qmax = × 30000 l/min = 10679.18 l/min (7.12) Qmin = 421380.67 421380.67

7.2.4

Solution #29

#29 a) L’´equation de vitesse d’´ecoulement pour un tube de Pitot est : r 2 v= ∆P ρ

(7.13)

La surface de la conduite est A = πD2 /4 = 0.0491 m2 . La vitesse d’´ecoulement est v = Q/A = 9.9030 m/s. Donc on peut solutionner : s 2 v = 9.9030 m/s = ∆P (7.14) 2930 kg/m3 ce qui m`ene `a ∆P = 143670.27 Pa. Le capteur de pression ”C” est celui qui convient le mieux. Son ´etendue de mesure cadre presque avec la plage de pression `a mesurer. Puisque tous les capteurs ont la mˆeme classe de pr´ecision, il sera le plus pr´ecis parmi les capteurs utilisables (C et D).

´ CHAPITRE 7. CAPTEURS DE DEBIT

76 #29 b)

Pour trouver le d´ebit minimum, il suffit de trouver la vitesse correspondant au nombre de Reynolds ´egal a` 300000 : vρD µ v × 2930 kg/m3 × 0.25 m 300000 = 10−3 Pa.s Re =

(7.15)

ce qui m`ene `a une vitesse d’´ecoulement v = 0.410 m/s, ce qui correspond a` un d´ebit (minimal) de 7.375 m3 /h. Pour ce d´ebit, la pression diff´erentielle est obtenu en solutionnant : s 2 v = 0.410 m/s = ∆P (7.16) 2930 kg/m3 ce qui donne une pression diff´erentielle de 245.734 Pa. La rangeabilit´e est d´eduite des d´ebits minimum et maximum : Ran :=

Qmax = 24.18 Qmin

(7.17)

donc elle est de 24.18 : 1. #29 c) La fonction de transfert du capteur est : y = mx + b

(7.18)

avec x la diff´erence de pression, y le courant, m la sensibilit´e et b = 4 mA, la sortie du capteur quand la diff´erence de pression est nulle. La sensibilit´e est : m=

20 mA − 4 mA = 0.0001067 mA/Pa 150000 Pa − 0 Pa

(7.19)

On trouve la diff´erence de pression en solutionnant : y = 16, 5 mA = 0.0001067 mA/Pa × x + 4 mA

(7.20)

7.2. LE SOLUTIONNAIRE

77

ce qui m`ene `a une diff´erence de pression de 117187.5 Pa. Cette pression correspond `a une vitesse d’´ecoulement calcul´ee comme suit : s 2 × 117187.5 Pa = 8.944 m/s (7.21) v= 2930 kg/m3 et elle correspond `a un d´ebit de 1580.50 m3 /h. L’erreur absolue de ce capteur de d´ebit est : abs = ±0.25%1750 m3 /h = ±4.375 m3 /h

(7.22)

L’erreur relative `a 1580.50 m3 /h est : rel =

7.2.5

abs ±4.375 m3 /h × 100% = × 100% = ±0.277% EM M 1580.50 m3 /h

(7.23)

Solution #30

#30 a) L’´equation pour un rotam`etre est : s   Vf ρf Q = K1 A 2g −1 Af ρliq Avec les valeurs num´eriques, on peut ´ecrire : s   4 × 10−6 m3 6ρliq 2 Q = 1.5A 2 × 10 m/s −1 1.125 × 10−4 m2 ρliq q = 1.5A 3.5587 m2 /s2 = 2.83 m/s × A

(7.24)

(7.25)

Puisque la surface maximale de A peut ˆetre de 0.5 cm2 , alors le d´ebit maximal mesurable est Q = 2.83 m/s × 0.5 cm2 = 1.4148 × 10−4 m3 /s. Cela correspond `a un d´ebit maximal de 8.49 litres par minute. Pour ce qui est de la hauteur du flotteur `a d´ebit maximal, il faut user de g´eom´etrie. En assumant que la surface A est nulle au bas du rotam`etre, le rayon au bas rotam`etre correspond au rayon du flotteur, soit environ 0.598 cm (car π × (0.589 cm)2 ≈ 1.125 cm3 ). Le rayon du rotam`etre au point ou

´ CHAPITRE 7. CAPTEURS DE DEBIT

78

la surface A est de 0.5 cm2 est d’environ 0.719 cm (car π × (0.719 cm)2 ≈ 1.125 cm3 + 0.5 cm3 ). Le changement de rayon est de 0.1208 cm et le cˆone est d’un angle de 2.5◦ . La hauteur h du rotam`etre au d´ebit de 8.49 litres par minute est : h=

0.1208 cm = 5.536 cm tan(2.5◦ /2)

(7.26)

#30 b) Comme la relation entre le d´ebit Q et la surface A —´equation (7.25) — est lin´eaire, alors : A=

75 l/h 2.0833 × 10−5 m3 /s Q = = = 0.0736 cm2 2.83 m/s 2.83 m/s 2.83 m/s

(7.27)

Et la relation entre la surface A et la hauteur h ´etant aussi lin´eaire, ainsi : h=

0.0736 cm2 × 5.536 cm ≈ 0.815 cm 0.5 cm2

(7.28)

La relation d´ebit/hauteur est lin´eaire car les deux ´equations ci-dessus sont lin´eaires.

7.2.6

Solution #31

#31 a) L’´equation du d´ebit (en pi3 /s) pour un d´eversoir trap´ezo¨ıdal est : Q = 3.367 l h3/2 = 3.367 × 4 × 43/2 pi3 s = 107.74 pi3 /s

(7.29)

#31 b) L’´equation du d´ebit (en pi3 /s) pour un d´eversoir triangulaire est : Q = 1.443 h5/2 107.74 pi3 /s = 1.443 h5/2 En solutionnant, on trouve h = 5.61 pieds.

(7.30)

7.2. LE SOLUTIONNAIRE

79

#31 c) L’´equation du d´ebit (en pi3 /s) pour un d´eversoir lin´eaire est : Q = 7.57 m h 107.74 pi3 /s = 7.57 × 2 h

(7.31)

En solutionnant, on trouve h = 7.12 pieds. #31 d) En utilisant les ´equations en a), b) et c), on trouve : Q = 3.367 l h3/2 = 3.367 × 4 × 1.253/2 pi3 s = 18.82 pi3 /s Q = 1.443 h5/2 = 1.443 × 1.255/2 = 2.52 pi3 /s

Q = 7.57 m h = 7.57 × 2 1.25 = 18.925 pi3 /s

(7.32)

(7.33)

(7.34)

80

´ CHAPITRE 7. CAPTEURS DE DEBIT

Chapitre 8 Capteurs de temp´ erature

8.1

Les questions

8.1.1

Question #32

Soit un thermocouple de type J. Si la tension mesur´ee est de 30 mV, et que la temp´erature de r´ef´erence du bloc isothermique est de 19 ◦ C, quelle est la temp´erature a` la jonction thermocouple ?

8.1.2

Question #33

Soit un thermocouple de type J. Si la temp´erature du four est de 755 ◦ C, et que la tension mesur´ee est de 35 mV, quelle est la temp´erature du bloc isothermique ? 81

82

8.1.3

´ CHAPITRE 8. CAPTEURS DE TEMPERATURE

Question #34

Soit un thermocouple de type J. Quelle sera la tension mesur´ee, si la jonction du thermocouple est a` 313 ◦ C, et qu’une thermor´esistance mont´ee sur le bloc isothermique a une r´esistance de 102 Ω.

8.1.4

Question #35

Soit un thermocouple de type J. Quelle serait la r´esistance d’une thermor´esistance dans le cas ou la tension mesur´ee est de 6.275 mV et la temp´erature de la jonction a` 154 ◦ C. ?

8.1.5

Question #36

Soit le syst`eme de mesure montr´e sur la figure ci-dessus. Nous voulons mesurer la temp´erature dans le four #32. Il peut chauffer jusqu’`a 1200 ◦ C, ce qui a` amen´e Raspoutine Tremblay `a installer un thermocouple pour faire cette mesure. Il a aussi choisi de brancher ce thermocouple a` un bloc isothermique (situ´e dans un local dont la temp´erature varie de 0 ◦ C `a 40 ◦ C) qui achemine les signaux vers un appareil de mesure via des conducteurs en cuivre. Une compensation ”software” est utilis´ee, et on mesure la temp´erature du bloc de compensation via une thermor´esistance. #36 a) M. Tremblay h´esite `a choisir et il vous demande de l’aider dans sa d´ecision. Quel est le type de thermocouple le plus ad´equat. Expliquez votre choix.

8.1. LES QUESTIONS

83

#36 b) Soit un circuit de transduction du signal provenant du thermocouple qui envoie vers l’automate un signal 0 - 10 V, proportionnel au signal d’entr´ee mesur´e (on suppose le thermocouple lin´eaire), et que un circuit de conditionnement du signal provenant de la RTD envoie aussi un signal de 0 - 10 V, proportionnel a` la valeur de r´esistance mesur´ee (que l’on suppose aussi lin´eaire). Quel calcul doit faire l’automate pour nous afficher la temp´erature r´eellement mesur´ee en ◦ C. On assume que les signaux re¸cus sont convertis en des valeurs num´eriques sur 12 bits (de 0 a` 4095). Ecrire l’´equation donnant la temp´erature dans le four, en supposant que l’on repr´esente par X : la valeur obtenue par la tension provenant du conditionneur de la thermor´esistance ; et par Y, la valeur obtenue par la tension provenant du transducteur du signal du thermocouple ?

8.1.6

Question #37

L’´equation de Steinhart-Hart est une ´equation largement reconnue pour calculer la temp´erature (en kelvin) `a partir de la valeur de r´esistance d’une thermistance. Cette ´equation est : 1 = A + B ln RT + C ln3 RT T (kelvin)

(8.1)

et comprend trois coefficients A, B et C qui sont d´etermin´es exp´erimentalement. #37 a) ` partir des trois mesures suivantes, d´eterminer les coefficients A, B et C. A Temp´erature (en ◦ C) 0 25 80

R´esistance (en Ohms) 960 320 110

Indice : Vous avez a` solutionner 3 ´equations a` 3 inconnues.

´ CHAPITRE 8. CAPTEURS DE TEMPERATURE

84 #37 b)

A partir de l’´equation de Steinhart-Hart et des coefficients trouv´es en a), calculer la temp´erature en ◦ C correspondant `a une r´esistance de 444 Ohms.

8.2 8.2.1

Le solutionnaire Solution #32

Pour ce circuit de mesure, la relation entre la tension mesur´ee VM , la tension de r´ef´erence (du bloc isothermique) VREF et la tension g´en´er´ee par la jonction chaude V1 est simplement : VM = V1 − VREF

(8.2)

Puisque la temp´erature du bloc isothermique est de 19◦ C, alors la tension de r´ef´erence VREF tir´ee de la table du thermocouple est 0.968 mV. La tension mesur´ee ´etant de 30 mV, alors la tension a` la jonction chaude est la solution de : 30 mV = V1 − 0.968 mV (8.3) ce qui m`ene `a V1 = 30.968 mV. En cherchant cette valeur dans la table du thermocouple, on constate que : • pour une temp´erature de 563◦ C, la tension est de 30.960 mV ; et • pour une temp´erature de 564◦ C, la tension est de 31.017 mV. Donc la temp´erature de la jonction chaude est obtenue par une interpolation lin´eaire : T1 = 563◦ C +

30.968 mV − 30.960 mV × 1◦ C = 563.14◦ C 31.017 mV − 30.960 mV

(8.4)

Ce calcul peut ˆetre r´ealis´e simplement sur MATLAB(R). Ainsi, avec la commande ”interp1”, vous pouvez ´ecrire : interp1([30.960 ;31.017],[563 ;564],30.968) pour obtenir le r´esultat.

8.2. LE SOLUTIONNAIRE

8.2.2

85

Solution #33

Comme la temp´erature du four est de 755◦ C, la table du thermocouple nous indique que la tension de la jonction chaude V1 sera 42.599 mV. La tension mesur´ee VM ´etant de 35 mV, alors la tension `a la jonction de r´ef´erence VREF v est obtenue en solutionnant : VM = V1 − VREF = 42.599 mV − VREF = 35 mV

(8.5)

ce qui m`ene `a VREF = 7.599 mV. En cherchant cette valeur dans la table du thermocouple, on constate que : • Pour une temp´erature de 142◦ C, la tension est de 7.569 mV ; et • Pour une temp´erature de 143◦ C, la tension est de 7.624 mV. Donc la temp´erature de la jonction de r´ef´erence TREF est obtenue via cette interpolation lin´eaire : TREF = 142◦ C +

8.2.3

7.599 mV − 7.569 mV × 1◦ C = 142.55◦ C 7.624 mV − 7.569 mV

(8.6)

Solution #34

La temp´erature de la jonction de r´ef´erence est de 5.128◦ C (voir Tableau 5.4 dans le livre d’Abdalla Bsata 1 ) et la tension de r´ef´erence sera alors : VREF = 0.253 mV +

0.303 mV − 0.253 mV × 0.128◦ C = 0.259 mV 1◦ C

(8.7)

La tension a` la jonction de chaude est de : 17.046 mV La tension mesur´ee sera alors : VM = V1 − VREF = 17.046 mV − 0.259 mV = 16.787 mV

8.2.4

(8.8)

Solution #35

La temp´erature du four fait en sorte que V1 est : 8.231 mV. La tension de r´ef´erence sera alors : VM = V1 − VREF = 8.231 mV − VREF = 6.275 mV 1. Abdalla Bsata, Op. cit., page 164

(8.9)

´ CHAPITRE 8. CAPTEURS DE TEMPERATURE

86

soit 1.956 mV. La temp´erature de la jonction de r´ef´erence sera de 38◦ C. La r´esistance correspondante (voir Tableau 5.5 dans le livre d’Abdalla Bsata 2 ) sera alors : 115.54 Ω − 113.61 Ω R = 113.61 Ω + × 3◦ C = 114.77 Ω (8.10) 5◦ C

8.2.5

Solution #36

#36 a) Parmi les candidats : - Type B, type K, type N, type R, type S Je choisi le type K qui est le plus lin´eaire. #36 b) Le thermocouple g´en`ere un signal de 0 mV a` 0◦ C et de 54.819 mV `a 1370◦ C (si la jonction froide est a` 0◦ C). Donc en sortie du transducteur, 0 V = 0 mV = 0◦ C et 10 V = 54.819 mV = 1370◦ C. Dans l’automate 0 = 0 V = 0◦ C et 4095 = 10 V = 1370◦ C.

8.2.6

Solution #37

#37 a) Le calcul est bas´e sur l’´equation de SteinHart-Hart : 1 = A + B ln 960 + C ln3 960 0 + 273.16 0.003661 = A + 6.86693B + 323.809C

(8.11)

1 = A + B ln 320 + C ln3 320 25 + 273.16 (8.12) 0.003354 = A + 5.76832B + 191.932C 1 = A + B ln 110 + C ln3 110 80 + 273.16 (8.13) 0.002832 = A + 4.70048B + 103.855C En solutionnant ces trois ´equations, on trouve que A = −0.0010528, B = 9.4977 × 10−4 , et C = −5.58459 × 10−6 . 2. Abdalla Bsata, Op. cit., page 165

8.2. LE SOLUTIONNAIRE

87

#37 b) Pour une r´esistance de 444 Ohms, on calcule : T (◦ C)

1 = −0.0010528 + 9.4977 × 10−4 ln 444 + 273.16 − 5.58459 × 10−6 ln3 444 = 0.003472

ce qui m`ene `a T = 14.8584◦ C.

(8.14)

88

´ CHAPITRE 8. CAPTEURS DE TEMPERATURE

Chapitre 9 Valves de r´ egulation 9.1

Les questions

9.1.1

Question #38

Soit un liquide ayant les caract´eristiques suivantes : • La densit´e est de 0.42 ; • La viscosit´e est de 1.21 centipoise ; • La temp´erature d’entr´ee du liquide est de 40 ◦ F. Ce liquide coule a` un d´ebit pouvant aller jusqu’`a 800 GPM (´ecoulement turbulent). La pression en amont de la valve est de 75 psia et la pression en aval est de 60 psia. La conduite de 8 pouces est en acier  schedule 40 . Quelle devrait ˆetre la dimension d’une ”globe valve” `a double si`ege ayant un coefficient Cd de 13 et un coefficient FS de 0.85 ?

9.1.2

Question #39

Soit du glyc´erol qui est un liquide ayant les caract´eristiques suivantes : • La  gravit´e sp´ecifique  est de 1.26 ; • La viscosit´e est de 1070 centipoises ; • La temp´erature d’entr´ee du liquide est de 70 ◦ F. Le d´ebit du glyc´erol peut aller jusqu’`a 55 GPM. La pression en amont de la valve est de 55 psia et la pression en aval est de 50 psia. La conduite de 3 pouces est en acier  schedule 40 . Quelle devrait ˆetre la dimension d’une valve `a bille standard ayant un coefficient Cd de 30 et un coefficient FS de 1.28 ? 89

´ CHAPITRE 9. VALVES DE REGULATION

90

9.1.3

Question #40

Soit de la vapeur satur´ee circulant dans une conduite de 12 pouces en acier  schedule 40 . Le d´ebit massique maximal traversant la valve est de 250 000 livres par heure, la pression en amont de 350 psia et la pression en aval de 300 psia. Quelle devrait ˆetre la dimension d’une valve `a bille standard ayant un coefficient Cd de 30 et un coefficient xT de 0.15 ? Indice : l’´equation de d´ebit pour la vapeur satur´ee est :  w = F P C V p1

9.1.4

x 3− xT



√

x

(9.1)

Question #41

Soit de l’eau ayant les caract´eristiques suivantes : • La  gravit´e sp´ecifique  est de 1 ; • La viscosit´e est de 1 centipoise ; • La temp´erature d’entr´ee du liquide est de 55 ◦ F. Cette eau coule `a un d´ebit pouvant aller jusqu’`a 6 000 GPM. La pression en amont de la valve est de 50 psig et la pression en aval est de 10 psig. La conduite de 12 pouces est en acier  schedule 40 . Quelle devrait ˆetre la dimension d’une valve a` bille caract´eris´ee ayant un coefficient Cd de 25 et un coefficient FS de 1.25 ?

9.1.5

Question #42

Soit de l’eau ayant les caract´eristiques suivantes : • La  gravit´e sp´ecifique  est de 1 ; • La viscosit´e est de 1 centipoise ; • La temp´erature d’entr´ee du liquide est de 55 ◦ F. Cette eau coule `a un d´ebit pouvant aller jusqu’`a 600 GPM. La pression en amont de la valve est de 25 psig et la pression en aval est de 20 psig. La conduite de 4 pouces est en acier  schedule 40 . Quelle devrait ˆetre la dimension d’une valve a` bille caract´eris´ee ayant un coefficient Cd de 25 et un coefficient Fs de 1.25 ?

9.1. LES QUESTIONS

9.1.6

91

Question #43

Soit de l’eau ayant les caract´eristiques suivantes : • La  gravit´e sp´ecifique  est de 1 ; • La viscosit´e est de 1 centipoise ; • La temp´erature d’entr´ee du liquide est de 55 ◦ F. Cette eau coule `a un d´ebit pouvant aller jusqu’`a 100 GPM. La pression en amont de la valve est de 50 psig et la pression en aval est de 40 psig. La conduite de 2 pouces est en acier  schedule 40 . Quelle devrait ˆetre la dimension d’une valve a` bille caract´eris´ee ayant un coefficient Cd de 25 et un coefficient Fs de 1.25 ?

9.1.7

Question #44

Soit de la vapeur satur´ee circulant dans une conduite de 4 pouces en acier  schedule 40 . Le d´ ebit massique maximal traversant la valve est de 6 000 livres par heure, la pression en amont de 50 psig et la pression en aval de 10 psig. Quelle devrait ˆetre la dimension d’une valve globulaire a` cage ayant un coefficient Cd de 14 et un coefficient xT de 0.70 ? Indice : l’´equation de d´ebit pour la vapeur satur´ee est :   x √ x w = F P C V p1 3 − xT

9.1.8

(9.2)

Question #45

Soit de l’air a` 70 ◦ F circulant dans une conduite de 8 pouces en acier  schedule 40  en amont de la valve et de 6 pouce en aval. Le d´ ebit maximal traversant la valve est de 60 000 pieds cubes standards par heure (scfh), la pression en amont de 50 psig et la pression en aval de 49.6 pouces d’eau. Quelle devrait ˆetre la dimension d’une valve globulaire a` cage ayant un coefficient Cd de 14 et un coefficient xT de 0.70 ? Indices : Les caract´eristiques de l’air sont : poids molaire M = 29, facteur de compressibilit´e Z = 1.0, et le ratio de la chaleur sp´ecifique k = 1.4.

´ CHAPITRE 9. VALVES DE REGULATION

92

9.2 9.2.1

Le solutionnaire Solution #38

´ Etape #1 Tout d’abord recueillir les informations n´ecessaire pour dimensionner la valve : • Nature du liquide : ◦ Densit´e du liquide G = 0.62 ; ◦ Viscosit´e du liquide µ = 1.21 cP ; ◦ Pressions en amont et en aval : P1 = 75 psia et P2 = 60 psia. • D´ebit maximal du liquide Q = 800 GPM ; • Diam`etre de la conduite D = 8 pouces. • Donn´ees sur la valve choisie (globe valve) : ◦ Coefficient Cd = 13 ; ◦ Coefficient FS = 0.85. ´ Etape #2 Calculer le CV en assumant que le r´egime d’´ecoulement est turbulent : r r G 0.42 = 800 = 133.87 (9.3) CV T = Q ∆P 75 − 60 ´ Etape #3 Calculer le CV en assumant que le r´egime d’´ecoulement est laminaire :  2/3  2/3 1 Qµ 1 800 × 1.21 CV S = = = 1.36 (9.4) FS 52∆P 0.85 52 × (75 − 60) ´ ´ Etape #4 Etablir quel est le r´egime d’´ecoulement en calculant le coefficient FR comme suit :  0.615  0.615 CV S 1.36 FR = 1.034 − 0.353 = 1.034 − 0.353 = 1.013 CV T 133.87 (9.5) et puisqu’il est sup´erieur `a 1.0, l’´ecoulement est en r´egime turbulent a` 800 GPM. Ainsi, le CV requis = 133.87. ´ Etape #5 Calculer le diam`etre requis pour la valve : r d=

CV requis = Cd

r

133.87 = 3.21 pouces 13

(9.6)

9.2. LE SOLUTIONNAIRE

93

La dimension standard qui suit est d = 3.5 pouces et le CV de cette valve est : CV = d2 Cd = 3.52 × 13 = 159.25 (9.7) ´ Etape #6 Comme la valve est d’une taille inf´erieure `aPla conduite, il faut calculer l’effet des raccords. La somme des pertes K est :  2  2 X d2 3.52 K = 1.5 1 − 2 = 1.5 1 − 2 = 0.98 (9.8) D 8 ´ Etape #7 Le facteur g´eom´etrique FP est : !−1 !−1 rP r KCd2 0.98 × 132 +1 +1 FP = = = 0.92 890 890

(9.9)

´ Etape #8 Le FP CV de la valve choisie est : FP CV = 0.92 × 159.25 = 146.51 qui est sup´erieur `a FP CV requis = 133.87. ´ Etape #9 Le pourcentage d’ouverture de la valve de 3.5 pouces a` 800 GPM est : 133.87 FP CV requis × 100 % = × 100 % = 91.37 % (9.10) n= F P CV 146.51 ce qui est tr`es ´elev´e. On doit alors opter pour une valve de taille sup´erieure. La taille standard qui suit 3.5 pouces est 4 pouces. Pour une valve de 4 pouces, la s´equence suivante de calculs est faite : CV = d2 Cd = 42 × 13 = 208 2  2  X 42 d2 = 1.5 1 − 2 = 0.84 K = 1.5 1 − 2 D 8 !−1 !−1 rP r KCd2 0.84 × 132 +1 = +1 = 0.93 FP = 890 890

(9.11) (9.12) (9.13)

ce qui m`ene a` FP CV = 0.93 × 208 = 193.44 et le pourcentage d’ouverture est : FP CV requis 133.87 n= × 100 % = × 100 % = 69.21 % (9.14) F P CV 193.44 Donc, la valve de 4 pouces est s´ electionn´ ee.

´ CHAPITRE 9. VALVES DE REGULATION

94

9.2.2

Solution #39

´ Etape #1 Tout d’abord recueillir les informations n´ecessaire pour dimensionner la valve : • Nature du liquide (glyc´erol) : ◦ Densit´e du liquide G = 1.26 ; ◦ Viscosit´e du liquide µ = 1070 cP ; ◦ Pressions en amont et en aval : P1 = 55 psia et P2 = 50 psia. • D´ebit maximal du liquide Q = 55 GPM ; • Diam`etre de la conduite D = 3 pouces. • Donn´ees sur la valve choisie (ball valve) : ◦ Coefficient Cd = 30 ; ◦ Coefficient FS = 1.28. ´ Etape #2 Calculer le CV en assumant que le r´egime d’´ecoulement est turbulent : r r G 1.26 CV T = Q = 55 = 27.61 (9.15) ∆P 55 − 50 ´ Etape #3 Calculer le CV en assumant que le r´egime d’´ecoulement est laminaire :  2/3  2/3 1 Qµ 55 × 1070 1 = = 29.02 (9.16) CV S = FS 52∆P 1.28 52 × (55 − 50) ´ ´ Etape #4 Etablir quel est le r´egime d’´ecoulement en calculant le coefficient FR comme suit :  0.615  0.615 CV S 29.02 FR = 1.034 − 0.353 = 1.034 − 0.353 = 0.67 CV T 27.61 (9.17) et puisqu’il est entre 0.5 et 1.0, l’´ecoulement est en r´egime transitionnel a` 55 GPM. Ainsi, le CV requis est : r r Q G 55 1.26 CV requis = = = 41.21 (9.18) FR ∆P 0.67 55 − 50 ´ Etape #5 Calculer le diam`etre requis pour la valve : r r CV requis 41.21 d= = = 1.17 pouce Cd 30

(9.19)

9.2. LE SOLUTIONNAIRE

95

La dimension standard qui suit est d = 1.25 pouces et le CV de cette valve est : CV = d2 Cd = 1.252 × 30 = 46.875 (9.20) ´ Etape #6 Comme la valve est d’une taille inf´erieure `aPla conduite, il faut calculer l’effet des raccords. La somme des pertes K est : X

2 2   d2 1.252 K = 1.5 1 − 2 = 1.5 1 − 2 = 1.02 D 3

(9.21)

´ Etape #7 Le facteur g´eom´etrique FP est : rP

KCd2 +1 890

FP =

!−1

r =

1.02 × 302 +1 890

!−1 = 0.70

(9.22)

´ Etape #8 Le FP CV de la valve choisie est : FP CV = 0.70 × 46.875 = 32.81 qui est inf´erieur `a FP CV requis = 41.21. Il faut donc choisir une valve de taille sup´erieure. La taille standard qui suit 1.25 pouces est 1.5 pouces. Pour une valve de 1.5 pouces, la s´equence suivante de calculs est faite : CV = d2 Cd = 1.52 × 30 = 67.50 2  2 d2 1.52 K = 1.5 1 − 2 = 1.5 1 − 2 = 0.84 D 3 !−1 !−1 rP r KCd2 0.84 × 302 +1 = +1 = 0.74 890 890

X

FP =

(9.23)



(9.24)

(9.25)

ce qui m`ene a` FP CV = 0.74 × 67.50 = 49.95 qui est maintenant sup´erieur a` FP CV requis = 41.21. ´ Etape #9 Le pourcentage d’ouverture de la valve de 1.5 pouces `a 55 GPM est : n=

41.21 FP CV requis × 100 % = × 100 % = 82.5 % F P CV 49.95

Donc, la valve de 1.5 pouces est s´ electionn´ ee.

(9.26)

´ CHAPITRE 9. VALVES DE REGULATION

96

9.2.3

Solution #40

• Nature du gaz (vapeur) : ◦ Pressions en amont et en aval : P1 = 350 psia et P2 = 300 psia. • D´ebit maximal de la vapeur Q = 250000 livres par heure ; • Diam`etre de la conduite D = 12 pouces. • Donn´ees sur la valve choisie (ball valve) : ◦ Coefficient Cd = 30 ; ◦ Coefficient xT = 0.15. Calcul de x : x=

p1 − p2 350 − 300 ∆p = = = 0.143 p1 p1 350

En utilisant l’´equation de vapeur :   x √ w = F P C V p1 3 − x xT

(9.27)

(9.28)

avec les param`etres :   0.143 √ 250000 = FP CV 350 3 − 0.143 0.15 on trouve FP CV requis = 922.91. Cela donne une dimension de valve : r r CV requis 922.91 d= = = 5.55 pouce Cd 30

(9.29)

(9.30)

la dimension standard qui suit est de 6 pouces. Une valve dont d = 6 poss`ede un CV calcul´e comme suit : CV = d2 Cd = 62 × 30 = 1080

(9.31)

ce qui est sup´erieur au FP CV requis de 922.91. Mais comme la valve est de 6 pouces et la conduite est de 12 pouces, il faut ajouter des raccords. Ainsi :  2  2 X d2 62 K = 1.5 1 − 2 = 1.5 1 − 2 = 0.84 (9.32) D 12

9.2. LE SOLUTIONNAIRE rP

KCd2 +1 890

FP =

97

!−1

r =

0.84 × 302 +1 890

!−1 = 0.74

(9.33)

ce qui m`ene a` un FP CV = 0.74 × 1080 = 799.2. Comme cette valeur est maintenant inf´erieure au FP CV requis , il faut consid´erer la valve de la taille au dessus, soit celle de 8 pouces. Le CV d’une valve de 8 pouces est : CV = d2 Cd = 82 × 30 = 1920

(9.34)

puis : d2 K = 1.5 1 − 2 D !−1 rP KCd2 +1 = 890 X

FP =



2

 2 82 = 1.5 1 − 2 = 0.46 12 !−1 r 0.46 × 302 +1 = 0.83 890

(9.35)

(9.36)

ce qui m`ene a` un FP CV = 0.83 × 1920 = 1593.60 qui est sup´erieur au FP CV requis . Le pourcentage d’ouverture de la valve de 8 pouces a` 250000 GPM est : n=

922.91 FP CV requis × 100 % = × 100 % = 57.91 % F P CV 1593.60

(9.37)

Cette valeur est un peu faible, mais on reste avec la valve de 8 pouces. Donc, la valve de 8 pouces est s´ electionn´ ee.

9.2.4

Solution #41

´ Etape #1 Tout d’abord recueillir les informations n´ecessaire pour dimensionner la valve : • Nature du liquide (eau) : ◦ Densit´e du liquide G = 1.00 ; ◦ Viscosit´e du liquide µ = 1.00 cP ; ◦ Pressions en amont et en aval : P1 = 50 psia et P2 = 10 psia. • D´ebit maximal du liquide Q = 6000 GPM ; • Diam`etre de la conduite D = 12 pouces. • Donn´ees sur la valve choisie (ball valve) : ◦ Coefficient Cd = 25 ; ◦ Coefficient FS = 1.25.

´ CHAPITRE 9. VALVES DE REGULATION

98

´ Etape #2 Calculer le CV en assumant que le r´egime d’´ecoulement est turbulent : r r G 1.0 = 6000 = 948.68 (9.38) CV T = Q ∆P 50 − 10 ´ Etape #3 Calculer le CV en assumant que le r´egime d’´ecoulement est laminaire :  2/3  2/3 1 Qµ 6000 × 1.0 1 CV S = = = 1.62 (9.39) FS 52∆P 1.25 52 × (50 − 10) ´ ´ Etape #4 Etablir quel est le r´egime d’´ecoulement en calculant le coefficient FR comme suit :  0.615  0.615 CV S 1.62 FR = 1.034 − 0.353 = 1.034 − 0.353 = 1.03 CV T 948.68 (9.40) et puisqu’il est sup´erieur `a 1.0, l’´ecoulement est en r´egime turbulent a` 6000 GPM. Ainsi, le CV requis est de 948.68. ´ Etape #5 Calculer le diam`etre requis pour la valve : r d=

CV requis = Cd

r

948.68 = 6.16 pouce 25

(9.41)

La dimension standard qui suit est d = 8 pouces et le CV de cette valve est : CV = d2 Cd = 82 × 25 = 1600 (9.42) ´ Etape #6 Comme la valve est d’une taille inf´erieure `aPla conduite, il faut calculer l’effet des raccords. La somme des pertes K est : 2  2  X 82 d2 = 1.5 1 − 2 = 0.46 (9.43) K = 1.5 1 − 2 D 12 ´ Etape #7 Le facteur g´eom´etrique FP est : !−1 !−1 rP r KCd2 0.46 × 252 FP = +1 = +1 = 0.87 890 890

(9.44)

9.2. LE SOLUTIONNAIRE

99

´ Etape #8 Le FP CV de la valve choisie est : FP CV = 0.87 × 1600 = 1392 qui est sup´erieur `a FP CV requis = 948.68. ´ Etape #9 Le pourcentage d’ouverture de la valve de 8 pouces `a 6000 GPM est : n=

948.68 FP CV requis × 100 % = × 100 % = 68.15 % F P CV 1392

(9.45)

Donc, la valve de 8 pouces est s´ electionn´ ee.

9.2.5

Solution #42

´ Etape #1 Tout d’abord recueillir les informations n´ecessaire pour dimensionner la valve : • Nature du liquide (eau) : ◦ Densit´e du liquide G = 1.00 ; ◦ Viscosit´e du liquide µ = 1.00 cP ; ◦ Pressions en amont et en aval : P1 = 25 psia et P2 = 20 psia. • D´ebit maximal du liquide Q = 600 GPM ; • Diam`etre de la conduite D = 4 pouces. • Donn´ees sur la valve choisie (ball valve) : ◦ Coefficient Cd = 25 ; ◦ Coefficient FS = 1.25. ´ Etape #2 Calculer le CV en assumant que le r´egime d’´ecoulement est turbulent : r r G 1.0 CV T = Q = 600 = 268.33 (9.46) ∆P 25 − 20 ´ Etape #3 Calculer le CV en assumant que le r´egime d’´ecoulement est laminaire :  2/3  2/3 1 Qµ 1 600 × 1.0 CV S = = = 1.40 (9.47) FS 52∆P 1.25 52 × (25 − 20) ´ ´ Etape #4 Etablir quel est le r´egime d’´ecoulement en calculant le coefficient FR comme suit : 0.615  0.615  1.40 CV S FR = 1.034 − 0.353 = 1.034 − 0.353 = 1.02 CV T 268.33 (9.48)

´ CHAPITRE 9. VALVES DE REGULATION

100

et puisqu’il est sup´erieur `a 1.0, l’´ecoulement est en r´egime turbulent a` 600 GPM. Ainsi, le CV requis est de 268.33. ´ Etape #5 Calculer le diam`etre requis pour la valve : r r CV requis 268.33 d= = = 3.28 pouce Cd 25

(9.49)

La dimension standard qui suit est d = 3.5 pouces et le CV de cette valve est : CV = d2 Cd = 3.52 × 25 = 306.25 (9.50) ´ Etape #6 Comme la valve est d’une taille inf´erieure `aPla conduite, il faut calculer l’effet des raccords. La somme des pertes K est :  2 2  X 3.52 d2 = 1.5 1 − 2 = 0.08 (9.51) K = 1.5 1 − 2 D 4 ´ Etape #7 Le facteur g´eom´etrique FP est : !−1 !−1 rP r KCd2 0.08 × 252 +1 +1 = = 0.97 FP = 890 890

(9.52)

´ Etape #8 Le FP CV de la valve choisie est : FP CV = 0.97 × 306.25 = 297.06 qui est sup´erieur `a FP CV requis = 268.33. ´ Etape #9 Le pourcentage d’ouverture de la valve de 3.5 pouces a` 600 GPM est : n=

FP CV requis 268.33 × 100 % = × 100 % = 90.33 % FP CV 297.06

(9.53)

C’est une valeur ´elev´ee, et on choisira la valve standard qui vient apr`es celle de 3.5 pouces. Donc, la valve de 4 pouces est s´ electionn´ ee.

9.2.6

Solution #43

´ Etape #1 Tout d’abord recueillir les informations n´ecessaire pour dimensionner la valve :

9.2. LE SOLUTIONNAIRE

101

• Nature du liquide (eau) : ◦ Densit´e du liquide G = 1.00 ; ◦ Viscosit´e du liquide µ = 1.00 cP ; ◦ Pressions en amont et en aval : P1 = 50 psia et P2 = 40 psia. • D´ebit maximal du liquide Q = 100 GPM ; • Diam`etre de la conduite D = 2 pouces. • Donn´ees sur la valve choisie (ball valve) : ◦ Coefficient Cd = 25 ; ◦ Coefficient FS = 1.25. ´ Etape #2 Calculer le CV en assumant que le r´egime d’´ecoulement est turbulent : r r G 1.0 = 100 = 31.62 (9.54) CV T = Q ∆P 50 − 40 ´ Etape #3 Calculer le CV en assumant que le r´egime d’´ecoulement est laminaire :  2/3  2/3 1 1 Qµ 100 × 1.0 CV S = = = 0.27 (9.55) FS 52∆P 1.25 52 × (50 − 40) ´ ´ Etape #4 Etablir quel est le r´egime d’´ecoulement en calculant le coefficient FR comme suit :  FR = 1.034 − 0.353

CV S CV T

0.615

 = 1.034 − 0.353

0.27 31.62

0.615 = 1.02

(9.56) et puisqu’il est sup´erieur `a 1.0, l’´ecoulement est en r´egime turbulent a` 100 GPM. Ainsi, le CV requis est de 31.62. ´ Etape #5 Calculer le diam`etre requis pour la valve : r r CV requis 31.62 d= = = 1.12 pouce Cd 25

(9.57)

La dimension standard qui suit est d = 1.25 pouces et le CV de cette valve est : CV = d2 Cd = 1.252 × 25 = 39.06 (9.58)

´ CHAPITRE 9. VALVES DE REGULATION

102

´ Etape #6 Comme la valve est d’une taille inf´erieure `aPla conduite, il faut calculer l’effet des raccords. La somme des pertes K est :  2  2 X d2 1.252 K = 1.5 1 − 2 = 1.5 1 − 2 = 0.56 (9.59) D 2 ´ Etape #7 Le facteur g´eom´etrique FP est : !−1 !−1 rP r KCd2 0.56 × 252 +1 +1 FP = = = 0.73 890 890

(9.60)

´ Etape #8 Le FP CV de la valve choisie est : FP CV = 0.73 × 39.06 = 28.51 qui est inf´erieur au FP CV requis de 31.62. Il faut donc choisir une valve de taille sup´erieure. La taille standard qui suit 1.25 pouces est 1.5 pouces. Pour une valve de 1.5 pouces, la s´equence suivante de calculs est faite : CV = d2 Cd = 1.52 × 25 = 56.25 2  2  X 1.52 d2 = 1.5 1 − 2 = 0.29 K = 1.5 1 − 2 D 2 !−1 !−1 rP r KCd2 0.29 × 252 +1 = +1 = 0.91 FP = 890 890

(9.61) (9.62)

(9.63)

ce qui m`ene a` FP CV = 0.91 × 56.25 = 51.19 qui est maintenant sup´erieur a` FP CV requis . ´ Etape #9 Le pourcentage d’ouverture de la valve de 1.5 pouces a` 100 GPM est : n=

FP CV requis 31.62 × 100 % = × 100 % = 61.77 % F P CV 51.19

Donc, la valve de 1.5 pouces est s´ electionn´ ee.

9.2.7

Solution #44

• Nature du gaz (vapeur) : ◦ Pressions en amont et en aval : P1 = 50 psia et P2 = 10 psia.

(9.64)

9.2. LE SOLUTIONNAIRE

103

• D´ebit maximal de la vapeur Q = 6000 livres par heure ; • Diam`etre de la conduite D = 4 pouces. • Donn´ees sur la valve choisie (globe valve with cage) : ◦ Coefficient Cd = 14 ; ◦ Coefficient xT = 0.70. Calcul de x : x=

p1 − p2 50 − 10 ∆p = = = 0.8 p1 p1 50

(9.65)

En utilisant l’´equation de vapeur :   x √ w = F P CV p 1 3 − x xT

(9.66)

avec les param`etres :   0.8 √ 0.8 6000 = FP CV 50 3 − 0.7

(9.67)

on trouve FP CV requis = 72.24. Cela donne une dimension de valve : r r CV requis 72.24 d= = = 2.27 pouces Cd 14

(9.68)

la dimension standard qui suit est de 2.5 pouces. Une valve dont d = 2.5 poss`ede un CV calcul´e comme suit : CV = d2 Cd = 2.52 × 14 = 87.50

(9.69)

ce qui est sup´erieur au FP CV requis de 72.24. Mais comme la valve est de 2.5 pouces et la conduite est de 4 pouces, il faut ajouter des raccords. Ainsi : 2  2  X 2.52 d2 = 1.5 1 − 2 = 0.56 (9.70) K = 1.5 1 − 2 D 4 rP FP =

KCd2 +1 890

!−1

r =

0.56 × 142 +1 890

!−1 = 0.94

(9.71)

´ CHAPITRE 9. VALVES DE REGULATION

104

ce qui m`ene `a un FP CV = 0.94 × 87.50 = 82.25 qui est sup´erieure au FP CV requis . Le pourcentage d’ouverture de la valve de 2.5 pouces a` 6000 GPM est : n=

FP CV requis 72.24 × 100 % = × 100 % = 87.83 % F P CV 82.25

(9.72)

Donc, la valve de 2.5 pouces est s´ electionn´ ee.

9.2.8

Solution #45

• Nature du gaz (air) : ◦ Densit´e G = 1.0 ; ◦ Temp´erature T = 70◦ F ; ◦ Poids molaire M = 29 ; ◦ Facteur de compressibilit´e Z = 1.0 ; ◦ Ratio de la chaleur sp´ecifique k = 1.4 ; ◦ Pressions en amont et en aval : P1 = 50 psia et P2 = 49.6 pouces d’eau. • D´ebit maximal de la vapeur Q = 60000 pieds cubes standards par heure (scfh) ; • Diam`etre de la conduite : en amont D1 = 8 pouces et en aval D2 = 6 pouces. • Donn´ees sur la valve choisie (globe valve with cage) : ◦ Coefficient Cd = 14 ; ◦ Coefficient xT = 0.70. Un pression de 49.6 pouces d’eau correspond `a 1.79 psig ou 16.49 psia. Calcul de x : p1 − p2 50 − 16.49 ∆p = = = 0.67 (9.73) x= p1 p1 50 Le param`etre Fk est ´egal a` 1.0, puisque ce facteur corrige pour les cas ou le gaz n’est pas de l’air. Le facteur d’expansion Y est : Y =1−

x 0.67 =1− = 0.68 3Fk xT 3 × 1.0 × 0.70

et est juste un poil sup´erieur a` 2/3.

(9.74)

9.2. LE SOLUTIONNAIRE

105

L’´equation de d´ebit volumique est : r Q = 1360FP CV p1 Y

x GT1 Z

(9.75)

avec les param`etres : s 60000 = 1360FP CV × 50 × 0.68

0.67 1.0 × (70 + 459.67) × 1.0

on trouve FP CV requis = 36.48. Cela donne une dimension de valve : r r CV requis 36.48 d= = = 1.61 pouce Cd 14

(9.76)

(9.77)

la dimension standard qui suit est de 2 pouces. Une valve dont d = 2 poss`ede un CV calcul´e comme suit : CV = d2 Cd = 22 × 14 = 56

(9.78)

ce qui est sup´erieur au FP CV requis de 36.48. Mais comme la valve est de 2 pouces et la conduite est plus grosse, il faut ajouter des raccords. Ainsi : 2    2    X d4 d2 d4 d2 K = 0.5 1 − 2 + 1 − 4 + 1 − 2 − 1 − 4 D1 D1 D2 D2         2 2 (9.79) 22 24 22 24 = 0.5 1 − 2 + 1 − 4 + 1 − 2 − 1 − 4 8 8 6 6 = 1.24 rP

KCd2 +1 890

FP =

!−1

r =

1.24 × 142 +1 890

!−1 = 0.89

(9.80)

ce qui m`ene a` un FP CV = 0.89 × 56 = 49.84 qui est sup´erieure au FP CV requis . Le pourcentage d’ouverture de la valve de 2 pouces a` 60000 scfh est : n=

FP CV requis 36.48 × 100 % = × 100 % = 73.19 % F P CV 49.84

(9.81)

´ CHAPITRE 9. VALVES DE REGULATION

106

Donc, la valve de 2 pouces est s´ electionn´ ee. Bien que le probl`eme de dimensionnement est compl´et´e, il y a lieu de se poser la question au sujet de la vitesse d’´ecoulement du gaz. Le coefficient d’expansion du gaz Y ´etait tr`es pr`es de 2/3 et la conduite aval est plus petite que la conduite amont, ce qui peut ˆetre une mauvaise id´ee dans cette situation. La vitesse acoustique du gaz est : r r kT 1.4 × (70 + 459.67) = 223 = 1127.65 pieds/seconde (9.82) va = 223 M 29 La vitesse du gaz en amont est : v1 =

60000 × (70 + 459.67) QT = = 14.31 pieds/seconde 2 694p1 D1 694 × 50 × 82

(9.83)

celle du gaz en aval est : v2 =

QT 60000 × (70 + 459.67) = = 77.14 pieds/seconde 2 694p2 D2 694 × 16.49 × 62

(9.84)

Ces vitesses ´etant faibles, il n’y a donc pas trop de probl`emes dans les conduites. Conservons donc notre choix d’une valve de 2 pouces.

Chapitre 10 Moteurs ´ electriques 10.1

Les questions

10.1.1

Question #46

Supposons que nous avons sous la main un moteur DC ayant une inertie de 2.5 × 10−4 once-pouce-sec2 qui doit entraˆıner une charge ayant une inertie de 7.5 × 10−3 once-pouce-sec2 . Le moteur d´eveloppe un couple maximal de 2 onces-pouces a` une vitesse de 750 RPM. Le moteur est reli´e `a la charge via un jeu d’engrenages. L’arbre du moteur comporte un engrenage de 12 dents. Un engrenage interm´ediaire comporte 36 dents, et l’engrenage de l’arbre entraˆınant la charge comporte 90 dents. La charge exige un couple de 15 onces-pouces quelque soit la vitesse du moteur. #46 a) Quelle sera la vitesse de rotation de la charge entraˆın´ee par le moteur (`a 750 RPM) ? #46 b) Quel sera le couple disponible a` la charge (`a 750 RPM) ? #46 c) Quel sera le moment d’inertie r´efl´echit vu par le moteur (`a 750 RPM) ? 107

108

´ CHAPITRE 10. MOTEURS ELECTRIQUES

#46 d) Si le moteur sans charge tourne a` 1500 RPM et que la relation couplevitesse est lin´eaire, quelle sera l’acc´el´eration du moteur au d´emarrage ?

10.1.2

Question #47

J’ai un moteur DC avec des engrenages int´egr´es (gear motor) ayant les caract´eristiques suivantes (lin´eaire) : • Couple de d´emarrage = 4 onces-pouces ; • Vitesse `a vide = 8000 RPM. Le ratio N des engrenages, entre le moteur et la charge, peut ˆetre de : 10, 20, 30, 40, 50, 80, 100, 120. #47 a) Quel sont les ratios d’engrenages qui permettent d’entraˆıner une charge exigeant un couple de 40 onces-pouces a` une vitesse de 100 RPM ? #47 b) Quel est de ratio d’engrenage qui permet d’avoir un couple d’acc´el´eration le plus ´elev´e a` une vitesse de la charge de 100 RPM ? #47 c) Quel est l’acc´el´eration maximale de la charge a` une vitesse de charge de 100 RPM, avec le jeu d’engrenage choisi en b) si le moment d’inertie r´efl´echit a` la charge est de 15 on-po-sec2 ?

10.1.3

Question #48

Soit le syst`eme de convoyeur suivant :

10.2. LE SOLUTIONNAIRE

109

Ce syst`eme comporte 5 rouleaux, dont 1 entraˆın´e par le moteur. Chaque rouleau `a un moment d’inertie de 3 kg-m2 et chaque boˆıte contient 10 kg de produit. Le tapis contient au maximum 5 boˆıtes. Le rayon ext´erieur des rouleaux est de 0.205 m. Le tapis doit avancer a` une vitesse maximale de 10 m`etres par minute. La vitesse nominale du moteur est de 225 RPM. Le moment d’inertie du moteur et de son syst`eme d’engrenage est de 8 kg-m2 . On suppose un rendement de 85 %. #48 a) Quel est le rapport d’engrenage qui fera en sorte qu’`a la vitesse nominale, la vitesse du tapis est de 10 m/min ? #48 b) Quel est le moment d’inertie total vu par le moteur ? #48 c) Quel est le couple n´ecessaire pour acc´el´erer le tapis de 0 `a 10 m/min en 6 secondes ? Quelle est la puissance n´ecessaire pour ce moteur ?

10.2

Le solutionnaire

10.2.1

Solution #46

#46 a) Le rapport des engrenages sera : N=

90 36 × = 7.5 36 12

(10.1)

Donc, si le moteur tourne a` 750 RPM, la vitesse de la charge sera 7.5 fois plus lente et sera de 100 RPM. #46 b) Le couple du moteur sera augment´e d’un facteur 7.5 et sera a` la charge de 15 onces-pouces.

´ CHAPITRE 10. MOTEURS ELECTRIQUES

110 #46 c)

Le moment d’inertie r´efl´echit est : Jm + Jl /N 2 = 3.8333 × 10−4 oncepouce-sec2 . #46 d) Selon les donn´ees du probl`eme : 1. Pour un couple moteur TM = 0 on.-po, le moteur tourne a` une vitesse de 1500 RPM. 2. Pour un couple moteur TM = 2 on.-po, la vitesse est de 750 RPM. Ainsi, puisque la relation couple/vitesse est lin´eaire la vitesse sera de 0 RPM, pour un couple moteur TM = 4 on.-po. Or, comme la charge exige 15 on-po (ce qui donne 2 on-po du cot´e du moteur) quelque soit la vitesse, alors le couple disponible `a la charge pour l’acc´el´eration au d´emarrage est de 15 on-po (ou 2 onces-pouces du cot´e du moteur). Comme le moment d’inertie r´efl´echit du cot´e du moteur est de 3.8333 × 10−4 once-pouce-sec2 , donc l’acc´el´eration angulaire du moteur sera de 15 on-po/3.8333 × 10−4 once-pouce-sec2 , soit 39130.4 rd/sec2 .

10.2.2

Solution #47

#47 a) On peut remplir le tableau suivant pour le moteur avec les divers rapports d’engrenage : Ratio 10 20 30 40 50 80 100 120

Couple d´emarrage a` la charge 40 onces-pouces 80 onces-pouces 120 onces-pouces 160 onces-pouces 200 onces-pouces 320 onces-pouces 400 onces-pouces 480 onces-pouces

Vitesse `a vide de la charge 800 RPM 400 RPM 266.7 RPM 200 RPM 160 RPM 100 RPM 80 RPM 66.7 RPM

Couple `a la charge a` 100 RPM 35 onces-pouces 60 onces-pouces 75 onces-pouces 80 onces-pouces 75 onces-pouces 0 onces-pouces N.A. N.A.

10.2. LE SOLUTIONNAIRE

111

Ainsi, il suffira de diminuer la tension pour faire tourner le moteur a` la bonne vitesse, car dans tous les cas retenus, le couple d´epasse 40 onces-pouces. #47 b) C’est l’engrenage qui a` un rapport de 40. Marge de 40 onces-pouces disponible pour acc´el´erer. #47 c) L’acc´el´eration sera de 40 onces-pouces/15 on-po-sec2 = 2.667 rd/sec2 .

10.2.3

Solution #48

#48 a) La circonf´erence du rouleau entraˆınant le convoyeur est de 2πR = 1.2881 m. Pour une vitesse de 10 m/min, cela implique une vitesse de rotation du rouleau de : 7.764 RPM. Le rapport d’engrenage est N = 225 RPM/7.764 RPM = 28.98. #48 b) Moment d’inertie des ´el´ements en rotation :   3 kg m2 Jr = 5 × + 8 kg m2 = 8.0179 kg m2 . 28.982 Moment d’inertie des ´el´ements en translation : 2  10/60 m/s Jm = 5 × 10 kg × = 0.0025 kg m2 . 23.56 rd/s

(10.2)

(10.3)

Le moment d’inertie total Jt , vu par le moteur, est : 8.0204 kg m2 . #48 c) La vitesse du moteur correspondant `a une vitesse de 10 m/min est de 225 RPM, ce qui donne 23.56 rad/s.

´ CHAPITRE 10. MOTEURS ELECTRIQUES

112

Si on acc´el`ere en 6 secondes, cela implique que l’acc´el´eration angulaire du moteur est : 23.56 rd/s θ¨ = = 3.927 rd/s2 (10.4) 6s Le couple n´ecessaire pour obtenir cette acc´el´eration est : T = Jt θ¨ = 8.0204 kg m2 × 3.927 rd/s2 = 31.496Nm

(10.5)

La puissance correspondante est : P =

T ×ω 31.496 Nm × 23.56 rd/s = = 873.068 Watts η 0.85

(10.6)

ce qui donne environ 1.171 HP (1 HP ≈ 746 Watts). Comme on n’a pas l’information sur le frottement qui permettrait d’´evaluer la puissance `a vitesse constante, il est difficile de savoir si le moteur est surdimensionn´e. Faute d’information, nous choisirons un moteur de puissance sup´erieure a` 1.171 HP (ou 873.1 W).