Probleme Rezolvate La Econometrie.[Conspecte.md]

Capitolul 2 2.1 Probleme rezolvate 2.1.1 Model liniar unifactorial - caz general 2.1.2 Model liniar unifactorial cu erori heteroscedastice 2.1.3 Model liniar unifactorial cu autocorelarea erorilor 2.1.4 Model unifactorial neliniar 2.1.5 Model liniar multifactorial 2.1.6 Model multifactorial neliniar – funcţia Cobb-Douglas fără progres tehnic 2.1.7 Model liniar multifactorial cu variabile centrate 2.1.8 Modele dinamice 2.1.8.1 Model dinamic – funcţia Cobb–Douglas cu progres tehnic 2.1.8.2 Model autoregresiv 2.1.8.3 Model dinamic cu decalaj 2.1.8.4 Model dinamic de prognoză cu variabile anticipative 2.1.9 Modelul static al lui Keynes 2.1.10 Modelul dinamic al lui Keynes 2.1.11 Model recursiv 2.2 Probleme propuse spre rezolvare

Modele econometrice cu o singură ecuaţie şi cu ecuaţii multiple

2

Modele econometrice cu o singură ecuaţie şi cu ecuaţii multiple

2.1 Probleme rezolvate 2.1.1 Model liniar unifactorial - caz general Se cunosc următoarele date privind capacitatea de cazare turistică în funcţiune (mii locuri-zile) şi numărul de înnoptări în structurile de primire turistică cu funcţiuni de cazare turistică (mii) în România în perioada 1989-2002: Tabelul 2.1.1

Anul

Capacitatea de cazare turistică în funcţiune (mii locuri-zile)

Numărul de înnoptări în structurile de primire turistică cu funcţiuni de cazare turistică (mii)

0

1

2

1989 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002

79458 77022 64124 55870 57434 53255 53540 53639 52027 53164 51275 50197 51182 50752

53377 44552 31927 26076 24769 23296 24111 21838 19611 19183 17670 17647 18122 17277

Sursa: Anuarul Statistic al României 1993, CNS, Bucureşti, 1994, p. 622-624, Anuarul Statistic al României 2003, INS, Bucureşti, 2004, p. 507, 511.

Econometrie. Studii de caz

Se cere: a) să se specifice modelul econometric ce descrie legătura dintre cele două variabile; b) să se estimeze parametrii modelului şi să se calculeze valorile teoretice ale variabilei endogene; c) să se verifice ipotezele de fundamentare a metodei celor mai mici pătrate; d) să se verifice semnificaţiile estimatorilor şi verosimilitatea modelului; e) presupunând că în anul 2003 numărul de înnoptări va atinge valoarea de 17100 mii să se estimeze capacitatea de cazare turistică în funcţiune a României în acest caz. Rezolvare: a) Pe baza datelor problemei se poate construi un model econometric unifactorial de forma:

y = f (x ) + u unde: y = valorile reale ale variabilelor dependente; x = valorile reale ale variabilelor independente; u = variabila reziduală, reprezentând influenţele celorlalţi factori ai variabilei y, nespecificaţi în model, consideraţi factori întâmplători, cu influenţe nesemnificative asupra variabilei y. Analiza datelor din tabel, în raport cu procesul economic descris conduce la următoarea specificare a variabilelor: y = capacitatea de cazare turistică în funcţiune, reprezentând variabila rezultativă (endogenă); x = numărul de înnoptări, reprezentînd variabila factorială (exogenă), respectiv factorul considerat prin ipoteza de lucru cu influenţa cea mai puternică asupra variabilei y.

Modele econometrice cu o singură ecuaţie şi cu ecuaţii multiple

Specificarea unui model econometric presupune, de asemenea,

alegerea unei funcţii matematice ( f ( x)) cu ajutorul căreia poate fi descrisă legătura dintre cele variabile. În cazul unui model unifactorial, procedeul cel mai des folosit îl constituie reprezentarea grafică a celor două şiruri de valori cu ajutorul corelogramei – vezi figura 2.1.1. ccf 79400 77300 75200 73100 71000 68900 66800 64700 62600 60500 58400 56300 54200 52100 50000

innoptari

1650 1910 2170 2430 2690 2950 3210 3470 3730 3990 4250 4510 4770 5030 5290 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

Figura 2.1.1 Legătura dintre capacitatea de cazare turistică în funcţiune (mii locuri-zile) şi numărul de înnoptări în structurile de primire turistică cu funcţiuni de cazare turistică (mii) în România

Din grafic se poate observa că distribuţia punctelor empirice (xt , y t ) poate fi aproximată cu o dreaptă. Ca atare, modelul econometric care descrie legătura dintre cele două variabile se transformă într-un model liniar unifactorial y = a + bx + u , a şi b reprezentând parametrii modelului, b ≥ 0 , panta dreptei fiind pozitivă deoarece legătura dintre cele două variabile este liniară.

Econometrie. Studii de caz

b) Deoarece parametrii modelului sunt necunoscuţi, valorile acestora se pot estima cu ajutorul mai multor metode, în mod curent fiind folosită însă metoda celor mai mici pătrate (M.C.M.M.P.). Utilizarea acestei metode porneşte de la următoarea relaţie: y t = a + bxt + u t ; t = 1, n yˆ t = aˆ + bˆxt

unde: yˆ t = valorile teoretice ale variabilei y obţinute numai în funcţie de valorile factorului esenţial x şi de valorile estimatorilor parametrilor a şi b, respectiv a$ şi b$ ;

(

)

u t = y t − yˆ t = (a − aˆ ) + b − bˆ xt = estimaţiile valorilor variabilei reziduale.

În mod concret, M.C.M.M.P. constă în a minimiza funcţia:

( )

14

14

t =1

t =1

(

2 F aˆ , bˆ = min ∑ ( y t − yˆ t ) = min ∑ y t − aˆ − bˆxt

)

2

Condiţia de minim a acestei funcţii rezultă din: F ′(aˆ ) = 0 ⇒ naˆ + bˆ x = y

∑

()

t

∑

t

F ′ bˆ = 0 ⇒ aˆ ∑ xt + bˆ∑ xt2 = ∑ y t xt

Tabelul 2.1.2 yt Nr. (mii crt. locurizile)

xt (mii)

xt2

xt y t

yˆ t = 35030 ,912 + + 0 ,8694 x t

( x t − x )2

u t = y t − yˆ t

u t2

0

1

2

3

4

5

6

7

8

1 2 3 4 5 6 7 8

79458 77022 64124 55870 57434 53255 53540 53639

53377 44552 31927 26076 24769 23296 24111 21838

2849104129 1984880704 1019333329 679957776 613503361 542703616 581340321 476898244

4241229666 3431484144 2047286948 1456866120 1422582746 1240628480 1290902940 1171368482

81436,2 73763,8 62787,8 57701,0 56564,7 55284,1 55992,7 54016,6

767377059,6 356324948,9 39082145,3 160457,5 821612,8 5661680,3 2447436,8 14725858,0

-1978,2 3258,2 1336,2 -1831,0 869,3 -2029,1 -2452,7 -377,6

3913120,5 10615710,2 1785381,8 3352697,0 755597,6 4117418,8 6015700,3 142564,2

Modele econometrice cu o singură ecuaţie şi cu ecuaţii multiple

yt Nr. (mii crt. locurizile)

xt (mii)

0

1

2

9 10 11 12 13 14

52027 53164 51275 50197 51182 50752

19611 19183 17670 17647 18122 17277

xt2

xt y t

3

4

yˆ t = 35030 ,912 + + 0 ,8694 x t

( x t − x )2

u t = y t − yˆ t

u t2

5

6

7

8

384591321 1020301497 367987489 1019845012 312228900 906029250 311416609 885826459 328406884 927520204 298494729 876842304

52080,5 51708,4 50393,0 50373,0 50785,9 50051,3

36777293,9 42151628,8 64086886,6 64455665,3 57054283,2 70533602,5

-53,5 1455,6 882,0 -176,0 396,1 700,7

2857,2 2118901,6 777971,0 30968,1 156866,6 490974,3

Total 802939 359456 10750847412 21938714252

802939,0

1521660559,4

0,0

34276729,4

Tabelul 2.1.2

(continuare)

yt − y

( y t − y ) xt − x uˆ t uˆ t (xt − x ) u t −1 (u t − u t −1 ) u t u t −1 (xt − x)( yt − y) 2

2

9

10

11

12

13

14

15

16

17

22105,2 19669,2 6771,2 -1482,8 81,2 -4097,8 -3812,8 -3713,8 -5325,8 -4188,8 -6077,8 -7155,8 -6170,8 -6600,8

488640498,6 386877990,6 45849342,9 2198653,5 6595,8 16791847,8 14537334,9 13792204,3 28363993,5 17545925,8 36939479,2 51205269,2 38078596,3 43570372,0

27701,6 18876,6 6251,6 400,6 -906,4 -2379,4 -1564,4 -3837,4 -6064,4 -6492,4 -8005,4 -8028,4 -7553,4 -8398,4

-1978,2 3258,2 1336,2 -1831,0 869,3 -2029,1 -2452,7 -377,6 -53,5 1455,6 882,0 -176,0 396,1 700,7

-54798165,4 61503190,2 8353236,1 -733461,2 -787914,1 4828199,4 3837062,2 1448923,7 324160,3 -9450669,4 -7061001,5 1412822,3 -2991640,5 -5884742,0

-1978,2 3258,2 1336,2 -1831,0 869,3 -2029,1 -2452,7 -377,6 -53,5 1455,6 882,0 -176,0 396,1

27419223,1 3694061,3 10031276,0 7291556,9 8400685,0 179394,7 4306105,4 105056,3 2277375,2 329037,7 1119372,7 327231,3 92800,5

-6445196,2 4353515,4 -2446598,5 -1591631,1 -1763834,3 4976862,2 926079,6 20182,5 -77808,2 1283917,5 -155216,8 -69698,3 277520,2

612349172,5 371287328,4 42330729,8 -593961,6 -73614,9 9750388,4 5964830,9 14251387,4 32297847,1 27195392,1 48655279,4 57449714,5 46610589,1 55436227,3

0,0

1184398104,4

0,0

0,0

0,0

-1978,2

65573176,1

-711906,1

1322911310,3

Econometrie. Studii de caz

Estimarea parametrului b$ :

∑y ∑x ∑ y x bˆ = n ∑x ∑x ∑x n

14

t

t

t t

=

t 2 t

t

802939

359456 42689917,9 14

=

359456

307141999528 − 288621241184 150511863768 −129208615936

359456 10750847412

18520758344 bˆ = = 0,8694 2130347832

(vezi calcule tabelul 2.1.2., coloanele 1, 2, 3, 4) Estimarea parametrului a$ : naˆ + bˆ

x=

∑x

y=

∑

∑x =∑y t

t

⋅

1 ⇔ aˆ + bˆ n

∑x = ∑y t

n

n

t

⇔ aˆ = y − bˆx

⎫ 359456 = 25675,4⎪ ⎪ n 14 ⎬ ⇒ aˆ = 57352,8 − 0,8694 ⋅ 25675,4 = 35030,912 yt 802939 ⎪ = = 57352,8⎪ n 14 ⎭ t

=

Dispunând de estimaţiile parametrilor se pot calcula valorile teoretice (estimate) ale variabilei endogene, yˆ t , cu ajutorul relaţiei: yˆ t = 35030,912 + 0,8694 x t (vezi tabelul 2.1.2., coloana 5)

Valorile variabilei reziduale vor rezulta din următoarea relaţie: uˆ t = y t − yˆ t (vezi tabelul 2.1.2., coloana 7) Pe baza acestor valori se pot calcula abaterea medie pătratică a variabilei reziduale s uˆ şi abaterile medii pătratice ale celor doi estimatori,

s aˆ şi s bˆ :

∑ (y =

− yˆ t )

2

34276729,3646 = 2856394,1137 n−k 14 − 2 (vezi tabelul 2.1.2., coloana 8) s

2 uˆ

t

=

Modele econometrice cu o singură ecuaţie şi cu ecuaţii multiple

unde: k = numărul parametrilor; s uˆ = 2856394,1137 = 1690,087 ⎡ 1 s a2ˆ = s u2ˆ ⎢ + ⎢n ⎣ s a2ˆ

∑

⎤ 2 ⎡ ⎤ ⎥ = 2856394,1137 ⋅ ⎢ 1 + 25675,4 ⎥ 2 ⎥ (x t − x ) ⎦ ⎢⎣14 1521660559,4 ⎥⎦ x2

= 1441501,1977

(vezi tabelul 2.1.2., coloana 6) s aˆ = 1441501,1977 = 1200,6253

s b2ˆ = s u2ˆ

1 2856394,1137 = = 0,0019 2 1521660559 , 4 ( ) x x − ∑ t

s bˆ = 0,0019 = 0,0433 În urma acestor calcule, modelul econometric se poate scrie: yˆ t = 35030,912 + 0,8694 xt ; s uˆ = 1690,087

(1200,6253) (0,0433)

c) Estimatorii obţinuţi cu ajutorul M.C.M.M.P. sunt estimatori de maximă verosimilitate dacă pot fi acceptate următoarele ipoteze: c1) Variabilele observate nu sunt afectate de erori de măsură. Această condiţie se poate verifica cu regula celor trei sigma, regulă care constă în verificarea următoarelor relaţii:

xt ∈ ( x ± 3σ x )

y t ∈ ( y ± 3σ y )

Pe baza datelor din tabelul 2.1.2., coloanele 6, 10, se obţin:

σx =

∑ (x

t

− x)

n

2

=

1521660559,4 = 108690039,9592 = 10425,4515 14

Econometrie. Studii de caz

σy =

∑ (y

t

n

− y )2

=

1184398104,4 = 84599864,5969 = 9197,8185 14

x t ∈ (x ± 3σ x ) ⇔ x − 3σ x < x t < x + 3σ x ⇔ ⇔ 25675 , 4 − 3 ⋅ 10425 , 4515 < x t < 25675 , 4 + 3 ⋅ 10425 , 4515

⇒ xt ∈ (− 5600,9261; 56951,7832)

(

)

y t ∈ y ± 3σ y ⇔ y − 3σ y < y t < y + 3σ y ⇔ ⇔ 57352,8 − 3 ⋅ 9197,8185 < y t < 57352,8 + 3 ⋅ 9197,8185

⇒ y t ∈ (29759 ,3303; 84946 ,2411 )

Deoarece valorile acestor variabile aparţin intervalelor xt ∈ (− 5600,9261; 56951,7832) şi y t ∈ (29759 ,3303; 84946 ,2411 ) , ipoteza de mai sus poate fi acceptată fără rezerve. c2) Variabila aleatoare (reziduală) u este de medie nulă M (uˆ ) = 0 , iar dispersia ei, su2ˆ , este constantă şi independentă de X - ipoteza de homoscedasticitate, pe baza căreia se poate admite că legătura dintre Y şi X este relativ stabilă. Acceptarea ipotezei se poate face prin intermediul mai multor procedee: c2.1) Procedeul grafic - care constă în construirea corelogramei privind valorile variabilei factoriale x şi ale variabilei reziduale u (vezi Figura 2.1.2).

Modele econometrice cu o singură ecuaţie şi cu ecuaţii multiple

u 4000 3000 2000 1000

x 0 16500 19100 21700 24300 26900 29500 32100 34700 37300 39900 42500 45100 47700 50300 52900

-1000 -2000 -3000

Figura 2.1.2

Deoarece graficul punctelor empirice prezintă o distribuţie oscilantă, se poate accepta ipoteza că cele două variabile sunt independente şi nu corelate. c2.2.) Acceptarea sau respingerea ipotezei de homoscedasticitate cu ajutorul analizei variaţiei (vezi punctul d)). c3) Valorile variabilei reziduale (uˆ t ) sunt independente, respectiv nu există fenomenul de autocorelare. Acceptarea sau respingerea acestei condiţii se poate face cu: c3.1.) Procedeul grafic - corelograma între valorile variabilei dependente ( y t ) şi valorile variabilei reziduale (uˆ t ) (vezi Figura 2.1.3).

Econometrie. Studii de caz

u 3000

2000

1000

y 0 50000 52100 54200 56300 58400 60500 62600 64700 66800 68900 71000 73100 75200 77300 79400

-1000

-2000

-3000

Figura 2.1.3

Ca şi în cazul graficului precedent, distribuţia punctelor empirice fiind oscilantă, se poate accepta ipoteza de independenţă a erorilor. c3.2.) Testul Durbin-Watson constă în calcularea termenului empiric: n

d=

∑ (uˆ t =2

t

2 − uˆ t −1 )

n

∑ uˆ t =1

2 t

şi compararea acestei mărimi „ d ” cu două valori teoretice, d 1 şi d 2 , preluate din tabela Durbin-Watson (vezi Anexa 3) în funcţie de un prag de semnificaţie α , arbitrar ales, de numărul variabilelor exogene ( k ) şi de valorile observate ( n, n ≥ 15) . Acceptarea sau respingerea ipotezei de independenţă a erorilor se bazează pe o anumită regulă, care constă în: - dacă 0 < d < d 1 ⇒ autocorelare pozitivă;

Modele econometrice cu o singură ecuaţie şi cu ecuaţii multiple

-

d 1 ≤ d ≤ d 2 ⇒ indecizie,

dacă

recomandându-se

acceptarea

autocorelării pozitive; - dacă d 2 < d < 4 − d 2 ⇒ erorile sunt independente; - dacă 4 − d 2 ≤ d ≤ 4 − d 1 ⇒ indecizie, recomandându-se acceptarea autocorelării negative; - dacă 4 − d 1 < d < 4 ⇒ autocorelare negativă. Pe baza datelor problemei, valoarea empirică a variabilei Durbin-Watson este: 14

d=

∑ (uˆ t =2

t

− uˆ t −1 )

14

∑ uˆ t =1

2 t

2

=

65573176,1 = 1,91 34276729,3646

Lucrând cu un prag de semnificaţie α = 0,05 , numărul variabilelor exogene fiind k = 1, iar numărul observaţiilor n = 14 , din tabela distribuţiei Durbin-Watson se citesc valorile (pentru cazul n = 15 ) d1 = 1,08 şi d 2 = 1,36 .

Deoarece d 2 = 1,36 < d = 1,91 < 4 − d 2 = 2,64 , se poate accepta ipoteza de independenţă a valorilor variabilei reziduale. c3.3.) Coeficientul de autocorelaţie de ordinul 1 n

∑ uˆ uˆ

t t −1

r1 =

t =2 n −1

∑ uˆ

2 t

t =1

Se poate demonstra că între coeficientul de autocorelaţie de ordinul 1 şi variabila Durbin-Watson există relaţia: d d = 2(1 − r1 ) ⇒ r1 = 1 − 2

Econometrie. Studii de caz

Ştiind că: ⎧4 ⎧− 1⇒ autocorelare strict negativa ⎪↑ ⎪ ↑ ⇒ indecizie ⎪⎪ ⎪⎪ ⇒ d = ⎨2 r1 = ⎨ 0 ⇒ independenta ⎪↓ ⎪ ↓ ⇒ indecizie ⎪ ⎪ ⎪⎩ 0 ⎪⎩ 1 ⇒ autocorelare strict pozitiva Calculul coeficientului de autocorelaţie de ordinul 1: 14

∑ uˆ uˆ

t t −1

r1 =

t =2 13

∑ uˆ

2 t

=

− 711906,1 = −0,021 33785755,1

t =1

Deoarece r1 = −0,021 → 0 , şi acest indicator arată că ipoteza de independenţă a valorilor variabilei reziduale poate fi acceptată. c4) Verificarea ipotezei de normalitate a valorilor variabilei reziduale Se ştie că, dacă erorile urmează legea normală de medie zero şi de abatere medie pătratică su$ (consecinţa ipotezelor c1, c2, c3), atunci are loc relaţia:

P ( uˆ t ≤ tα s uˆ ) = 1 − α

Pe baza acestei relaţii, în funcţie de diferite praguri de semnificaţie α , din tabela distribuţiei normale se vor prelua valorile corespunzătoare ale lui tα . Lucrând cu un prag de semnificaţie α = 0,05 , din tabela distribuţiei Student ( n < 30) se preia valoarea variabilei, cu un număr de grade de libertate v = n − 2 = 14 − 2 = 12, t0, 05;12 = 2,179 , iar pentru un prag de semnificaţie α = 0,01 , avem t 0,01;12 = 3,055 . Cu ajutorul acestor date, verificarea ipotezei de normalitate se poate face pe baza următorului grafic (Figura 2.1.4.): pe axa Ox se vor reprezenta valorile ajustate ale variabilei y, yˆ t (vezi tabelul 2.1.2, coloana 5), iar pe axa Oy se vor trece valorile variabilei reziduale ut (vezi tabelul 2.1.2, coloana 7).

Modele econometrice cu o singură ecuaţie şi cu ecuaţii multiple

Se observă că valorile empirice ale variabilei reziduale se înscriu în banda construită, cu un prag de semnificaţie α = 0,05 . Ca atare, ipoteza de normalitate a variabilei reziduale poate fi acceptată cu acest prag de semnificaţie. ut

+ t 0, 05 ⋅ s uˆ

3300 2300 1300

yˆt

300 50000 52500 55000 57500 60000 62500 65000 67500 70000 72500 75000 77500 80000

-700 -1700 -2700

− t 0, 05 ⋅ s uˆ

-3700

Figura 2.1.4

d) Verificarea semnificaţiei estimatorilor şi a verosimilităţii modelului d1) Verificarea semnificaţiei estimatorilor Estimatorii sunt semnificativ diferiţi de zero, cu un prag de semnificaţie α , dacă se verifică următoarele relaţii: bˆ aˆ taˆ = > tα ; v ; tbˆ = > tα ;v saˆ sbˆ

Econometrie. Studii de caz

Ştiind

că

(vezi

punctul

b)

al

problemei)

aˆ = 35030,912; s aˆ = 1200,6253 şi bˆ = 0,8694; sbˆ = 0,0433 şi, lucrând cu un prag de semnificaţie α = 0,05 , din tabela distribuţiei Student se preia valoarea t0, 05;12 = 2,179 .

taˆ = tbˆ =

aˆ 35030,912 = = 29,1772 > t0,05;12 = 2,179 saˆ 1200,6253 bˆ sbˆ

=

0,8694; = 20,0661 > t0,05;12 = 2,179 0,0433

Pe baza calculelor de mai sus se observă faptul că ambii estimatori sunt semnificativ diferiţi de zero, cu un prag de semnificaţie α = 0,05 . d2) Verificarea verosimilităţii modelului Pentru a accepta ipoteza de liniaritate se calculează coeficientul de corelaţie liniară: ry / x =

cov( y, x )

σx σy

=

∑ (y

t

− y )( xt − x )

n σ xσ y

=

1322911310,3 = 0,9854 14 ⋅ 10425,4515 ⋅ 9197,8185

Coeficientul de corelaţie liniară fiind definit în intervalul [ −1;1] , rezultă că valoarea obţinută de 0,985 indică o puternică corelaţie liniară între cele două variabile. Verificarea verosimilităţii modelului se face cu ajutorul analizei dispersionale (analiza variaţiei).

Modele econometrice cu o singură ecuaţie şi cu ecuaţii multiple

Tabelul 2.1.3 Sursa de variaţie

Măsura variaţiei 14

Vx2 = ∑ ( yˆ t − y )

Varianţa dintre grupe

2

Dispersii corectate

k −1=1

Vx2 k −1 = 1150121375

t =1

sY2 / X =

= 1150121375 14

Varianţa reziduală

Vu2 = ∑ ( yt − yˆ t ) t =1

2

Fα ;v1 ;v2

Fc Fc =

s Y2 / X s u2ˆ

F0,05;1;12 = 4,76

= 402,648 F0, 01;1;12 = 9,33

n − k = 12

-

-

n − 1 = 13

-

-

-

= 34276729,4 V02 = ∑ ( yt − y )

Valoarea testului “F”

V u2 n−k = 2856394 ,1

2

14

Varianţa totală

Nr. gradelor de libertate

s u2ˆ =

t =1

= 1184398104,4

Testul Fisher-Snedecor indică faptul că rezultatele obţinute sunt semnificative pentru un prag de semnificaţie de 5%: Fc = 402,648 > F0,05;1;12 = 4,76 . Pe baza datelor din tabelul de mai sus se poate calcula raportul de corelaţie dintre cele două variabile:

Ry / x

V x2 Vu2 1150121374,9925 = = 1− 2 = = 0,9854 ≈ 0,985 2 1184398104,3571 V0 V0

Se poate demonstra că, în cazul unei legături liniare, raportul de corelaţie este egal cu coeficientul de corelaţie liniară: ry / x =

cov( y, x )

σ xσ y

σ = bˆ ⋅ x = R y / x σy

Verificarea semnificaţiei raportului de corelaţie şi, implicit, a coeficientului de corelaţie liniară se face cu ajutorul testului FisherSnedecor: Fc = (n − 2)

R2 , R fiind semnificativ dacă Fc ≥ Fα ;v1 ;v2 . 1 − R2

Econometrie. Studii de caz

Fc = 12 ⋅

0,9711 = 12 ⋅ 33,554 = 402,648 > F0,05;1;12 = 4,76 0,0289

Deoarece raportul de corelaţie este semnificativ diferit de zero, cu un prag de semnificaţie α = 0,05 , rezultă modelul econometric: yˆt = 35030,912 + 0,8694 xt ;

(1200,6253) (0,0433)

R = 0,985 d = 1,91 suˆ = 1690,087

care descrie corect dependenţa dintre cele două variabile, acesta explicând 97,11% din variaţia totală a variabilei dependente, adică variaţia capacităţii de cazare în funcţiune se datorează în proporţie de 97,11% numărului de înnoptări. V02 = V x2 + Vu2 ⇒ 100 =

V x2 V02

⋅100 +

Vu2 V02

⋅100

e) Dacă numărul înnoptărilor va fi egal cu 17100 mii (xt′ = 17100) , capacitatea de cazare turistică în funcţiune va fi egală cu: Y/ x=17100 = aˆ + bˆxt′ = 35030,912 + 0,8694⋅17100 = 49897,4230 mii locuri-zile

Pe baza ipotezei formulate la punctele precedente, capacitatea de cazare turistică în funcţiune y urmează o distribuţie normală (sau distribuţia Student, dacă n ≤ 30 ), de medie Y şi de abatere medie pătratică sY , L( y) = N (Y , sY ) . Pentru xt′ = 17100 ⇒ Yt = 49897,4230 ⎛ 1 sY / x =17100 = s u2ˆ ⎜1 + + ⎜ n ⎝

(xt′ − x )2 ⎞⎟ ∑ (xt − x )2 ⎟⎠

2 ⎛ 1 (17100 − 25675,4) + sY / x =17100 = 2856394,1137 ⋅ ⎜1 + ⎜ 14 1521660559,4 ⎝

⎞ ⎟ = 1788,4251 ⎟ ⎠

Modele econometrice cu o singură ecuaţie şi cu ecuaţii multiple

Estimarea capacităţii de cazare în funcţiune, care se poate obţine dacă numărul înnoptărilor va fi egal cu 17100 mii, pe baza unui interval de încredere, se calculează cu relaţia: P(Y/ x =17100 − tα sY / x =17100 ≤ y / x =17100 ≤ Y/ x =17100 + tα sY / x =17100 ) = 1 − α Pentru α = 0,05 şi v = n − k = 12 , din tabela distribuţiei Student se preia valoarea variabilei tα ;v = t 0, 05;12 = 2,179 . Deci, cu un prag de semnificaţie de 0,05 sau cu o probabilitate egală cu 0,95, capacitatea de cazare turistică în funcţiune va fi cuprinsă în intervalul: P(Y/ x =17100 ∈ [49897,4230 ± 2,179 ⋅ 1788,4251]) = 1 − 0,05 = 0,95

P(Y/ x =17100 ∈ [46000,4446;54794,4014]) = 0,95

2.1.2 Model liniar unifactorial cu erori heteroscedastice

Se cunosc următoarele date1 privind privind venitul mediu şi cheltuielile medii efectuate de un eşantion 30 de familii cu procurarea mărfurilor alimentare: Tabelul 2.2.1

1

Nr. crt.

Cheltuieli medii cu procurarea mărfurilor alimentare (u.m./familie)

Venitul mediu (u.m./familie)

0

1

2

1 2 3 4 5 6 7 8 9

55 65 70 80 79 84 98 95 90

80 100 85 110 120 115 130 140 125

Datele problemei şi o parte din testele utilizate sunt reproduse din D. N. Gujarati, Basic Econometrics, Third Edition, McGraw-Hill, Inc., 1995, p. 369-380.

Econometrie. Studii de caz

Nr. crt.

Cheltuieli medii cu procurarea mărfurilor alimentare (u.m./familie)

Venitul mediu (u.m./familie)

0

1

2

10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

75 74 110 113 125 108 115 140 120 145 130 152 144 175 180 135 140 178 191 137 189

90 105 160 150 165 145 180 225 200 240 185 220 210 245 260 190 205 265 270 230 250

Se cere: a) Specificarea, identificarea şi estimarea parametrilor modelului econometric ce descrie legătura dintre cele două variabile; b) Verificarea ipotezelor de fundamentare a metodei celor mai mici pătrate (M.C.M.M.P.) şi a verosimilităţii modelului. Rezolvare: a) Analiza variabilelor aferente problemei conduce la specificarea acestora: - venitul mediu reprezintă variabila explicativă sau exogenă (x) a modelului, în timp ce cheltuielile pentru procurarea mărfurilor alimentare constituie variabila endogenă (y) a modelului; - variabila endogenă, cheltuieli pentru mărfuri alimentare, depinde şi de alţi factori - numărul membrilor de familie, categoria socio-profesională

Modele econometrice cu o singură ecuaţie şi cu ecuaţii multiple

a familiei, etc. - dar aceştia sunt consideraţi factori cu acţiune întâmplătoare şi specificaţi cu ajutorul variabilei aleatoare (u). Pe baza acestor premise, datele problemei pot fi analizate cu ajutorul următorului model: y = f ( x) + u Identificarea modelului presupune alegerea unei funcţii matematice care să descrie corelaţia dintre cele două variabile. În cazul unui model unifactorial (cum este cel specificat mai sus), procedeul cel mai des folosit îl constituie reprezentarea grafică a datelor, respectiv corelograma (vezi figura 2.2.1). y 190 170 150 130 110 90 70 x 50 70

90

110

130

150

170

190

210

230

250

270

Figura 2.2.1 Legătura dintre cheltuielile medii cu procurarea mărfurilor alimentare şi venitul mediu

Deoarece graficul punctelor empirice arată că acestea pot fi aproximate cu ajutorul unei drepte f ( x) = a + bx , modelul econometric devine: y i = a + bxi + ui ; i = 1, n, n = 30. Următoarea operaţie constă în estimarea parametrilor modelului, a şi b, cu ajutorul estimatorilor a$ şi b$ . În acest scop se va utiliza metoda celor mai mici pătrate (M.C.M.M.P.).

( )

30

30

i =1

i =1

(

2 F aˆ , bˆ = min ∑ ( yi − yˆ i ) = min ∑ yi − aˆ − bˆxi

)

2

Econometrie. Studii de caz

Condiţia de minim a acestei funcţii rezultă din:

F ′( a$ ) = 0 ⇒ na$ + b$ ∑ xi = ∑ y i

()

F ′ b$ = 0 ⇒ a$ ∑ xi + b$ ∑ xi2 = ∑ y i xi Tabelul 2.2.2 Nr. crt.

yi

xi

ui

2 i

u

xi − x ui ( xi − x ) yi ↑

xi ↑

ln u i2

ln xi

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

55 65 70 80 79 84 98 95 90 75 74 110 113 125 108 115 140 120 145 130 152 144 175 180 135 140 178 191 137 189

80 100 85 110 120 115 130 140 125 90 105 160 150 165 145 180 225 200 240 185 220 210 245 260 190 205 265 270 230 250

-5,3131 -8,0688 6,4980 0,5534 -6,8245 1,3645 5,7977 -3,5801 0,9866 8,3091 -2,2577 -1,3358 8,0420 10,4752 6,2309 -9,0915 -12,7918 -16,8472 -17,3586 2,7195 2,3971 0,7749 9,4525 4,8857 4,5306 -0,0361 -0,3032 9,5079 -18,9808 20,2636

28,2287 65,1049 42,2241 0,3062 46,5732 1,8618 33,6133 12,8174 0,9734 69,0408 5,0971 1,7845 64,6739 109,7307 38,8245 82,6559 163,6310 283,8288 301,3210 7,3959 5,7460 0,6005 89,3493 23,8701 20,5266 0,0013 0,0919 90,3994 360,2691 410,6116

-93,17 -73,17 -88,17 -63,17 -53,17 -58,17 -43,17 -33,17 -48,17 -83,17 -68,17 -13,17 -23,17 -8,17 -28,17 6,83 51,83 26,83 66,83 11,83 46,83 36,83 71,83 86,83 16,83 31,83 91,83 96,83 56,83 76,83

495,00 590,36 -572,91 -34,96 362,83 -79,37 -250,27 118,74 -47,52 -691,04 153,90 17,59 -186,31 -85,55 -175,50 -62,13 -663,04 -452,07 -1160,13 32,18 112,26 28,54 679,00 424,24 76,27 -1,15 -27,85 920,68 -1078,74 1556,92

55 70 75 65 74 80 84 79 90 98 95 108 113 110 125 115 130 135 120 140 144 152 140 137 145 175 189 180 178 191

80 85 90 100 105 110 115 120 125 130 140 145 150 160 165 180 185 190 200 205 210 220 225 230 240 245 250 260 265 270

3,3403 4,1760 3,7430 -1,1834 3,8410 0,6215 3,5149 2,5508 -0,0269 4,2347 1,6287 0,5791 4,1694 4,6980 3,6591 4,4147 5,0976 5,6484 5,7082 2,0009 1,7485 -0,5100 4,4926 3,1726 3,0217 -6,6406 -2,3866 4,5042 5,8869 6,0176

4,3820 4,6052 4,4427 4,7005 4,7875 4,7449 4,8675 4,9416 4,8283 4,4998 4,6540 5,0752 5,0106 5,1059 4,9767 5,1930 5,4161 5,2983 5,4806 5,2204 5,3936 5,3471 5,5013 5,5607 5,2470 5,3230 5,5797 5,5984 5,4381 5,5215

0,0000

2361,1533

-

0,00

3592

5195

81,7230

152,7413

Total 3592 5195

Modele econometrice cu o singură ecuaţie şi cu ecuaţii multiple

Tabelul 2.2.2 (continuare) ui

xi

1 xi

1

xi

θi =

ui2 78,7051

θˆi

(θˆi − θ )2 zi =

yi xi

ˆi y′

ui′

ui′2

⎛⎜ x − x ⎞⎟ ⎝ i ⎠

2

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

5,3131 8,0688 6,4980 0,5534 6,8245 1,3645 5,7977 3,5801 0,9866 8,3091 2,2577 1,3358 8,0420 10,4752 6,2309 9,0915 12,7918 16,8472 17,3586 2,7195 2,3971 0,7749 9,4525 4,8857 4,5306 0,0361 0,3032 9,5079 18,9808 20,2636

8,9443 10,0000 9,2195 10,4881 10,9545 10,7238 11,4018 11,8322 11,1803 9,4868 10,2470 12,6491 12,2474 12,8452 12,0416 13,4164 15,0000 14,1421 15,4919 13,6015 14,8324 14,4914 15,6525 16,1245 13,7840 14,3178 16,2788 16,4317 15,1658 15,8114

0,0125 0,0100 0,0118 0,0091 0,0083 0,0087 0,0077 0,0071 0,0080 0,0111 0,0095 0,0063 0,0067 0,0061 0,0069 0,0056 0,0044 0,0050 0,0042 0,0054 0,0045 0,0048 0,0041 0,0038 0,0053 0,0049 0,0038 0,0037 0,0043 0,0040

0,1118 0,1000 0,1085 0,0953 0,0913 0,0933 0,0877 0,0845 0,0894 0,1054 0,0976 0,0791 0,0816 0,0778 0,0830 0,0745 0,0667 0,0707 0,0645 0,0735 0,0674 0,0690 0,0639 0,0620 0,0725 0,0698 0,0614 0,0609 0,0659 0,0632

0,3587 0,8272 0,5365 0,0039 0,5917 0,0237 0,4271 0,1629 0,0124 0,8772 0,0648 0,0227 0,8217 1,3942 0,4933 1,0502 2,0790 3,6062 3,8285 0,0940 0,0730 0,0076 1,1352 0,3033 0,2608 0,0000 0,0012 1,1486 4,5775 5,2171

0,0624 0,2637 0,1128 0,3643 0,4650 0,4147 0,5656 0,6662 0,5153 0,1631 0,3140 0,8675 0,7669 0,9178 0,7166 1,0688 1,5216 1,2700 1,6726 1,1191 1,4713 1,3707 1,7229 1,8738 1,1694 1,3203 1,9241 1,9745 1,5719 1,7732

0,8790 0,5421 0,7872 0,4041 0,2863 0,3426 0,1887 0,1114 0,2349 0,7004 0,4706 0,0176 0,0544 0,0068 0,0803 0,0047 0,2721 0,0729 0,4523 0,0142 0,2221 0,1374 0,5225 0,7636 0,0287 0,1026 0,8540 0,9496 0,3271 0,5978

0,6875 0,6500 0,8235 0,7273 0,6583 0,7304 0,7538 0,6786 0,7200 0,8333 0,7048 0,6875 0,7533 0,7576 0,7448 0,6389 0,6222 0,6000 0,6042 0,7027 0,6909 0,6857 0,7143 0,6923 0,7105 0,6829 0,6717 0,7074 0,5957 0,7560

60,829 73,466 63,988 79,785 86,103 82,944 92,422 98,741 89,263 67,147 76,625 111,378 105,060 114,538 101,900 124,016 152,450 136,653 161,928 127,175 149,290 142,972 165,087 174,565 130,334 139,812 177,725 180,884 155,609 168,247

-5,829 -8,466 6,012 0,215 -7,103 1,056 5,578 -3,741 0,737 7,853 -2,625 -1,378 7,940 10,462 6,100 -9,016 -12,450 -16,653 -16,928 2,825 2,710 1,028 9,913 5,435 4,666 0,188 0,275 10,116 -18,609 20,753

33,973 71,674 36,144 0,046 50,459 1,115 31,113 13,994 0,543 61,664 6,893 1,900 63,051 109,462 37,208 81,282 154,997 277,323 286,551 7,981 7,342 1,057 98,264 29,537 21,768 0,035 0,076 102,335 346,300 430,707

8680,028 5353,361 7773,361 3990,028 2826,694 3383,361 1863,361 1100,028 2320,028 6916,694 4646,694 173,361 536,694 66,694 793,361 46,694 2686,694 720,028 4466,694 140,028 2193,361 1356,694 5160,028 7540,028 283,361 1013,361 8433,361 9376,694 3230,028 5903,361

205,5785 388,8038 0,1975 2,3926 30,0000 30,0000 10,4280

20,9862

3590,936 1,064

2364,793 102974,167

Econometrie. Studii de caz

Rezolvarea modelului s-a realizat cu ajutorul pachetului de programe EViews, conducând la afişarea următoarelor rezultate: Dependent Variable: yi Method: Least Squares Sample: 1 30 Included observations: 30 Semnif. Semnif. Semnif. Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. ind. ind. ind. C

9,2903

aˆ

5,2314

saˆ

1,7759

taˆ

0,0866 p(aˆ)

xi

0,6378

bˆ

0,0286

sbˆ

22,2872

tbˆ

0,0000 p bˆ

R-squared

0,9466

R2

Adjusted RRc2 0,9447 squared S.E. of suˆ 9,1830 regression Sum ∑ ( y − yˆ ) squared 2361,1530 = uˆ ∑ resid Log L -108,0538 likelihood Durbind 1,7023 Watson stat

2

i

i

2 i

Mean dependent 119,7333 var S.D. dependent 39,0613 var Akaike info 7,3369 criterion =

Schwarz criterion 7,4303

()

y sy AIC SC

F-statistic

496,7183

Fc

Prob(F-statistic)

0,0000

p(F)

Semnificaţia indicatorilor necunoscuţi pe care-i calculează pachetul de programe EViews este următoarea: p (aˆ ), p (bˆ ) = probabilitatea asociată parametrului â, respectiv bˆ . O valoare cât mai apropiată de zero a acestei probabilităţi va indica o semnificaţie ridicată a parametrului respectiv, în caz contrar, aceasta confirmând, împreună cu testul t, faptul că parametrul respectiv este nesemnificativ. Rc2 = coeficientul de deteminare corectat sau ajustat. Acesta este utilizat în vederea evidenţierii numărului de variabile factoriale cuprinse în

Modele econometrice cu o singură ecuaţie şi cu ecuaţii multiple

model, precum şi a numărului de observaţii pe baza cărora au fost estimaţi parametrii modelului. În cazul unui model multifactorial acesta va înregistra valori inferioare coeficientului de deteminaţie. Expresia acestui indicator este următoarea: n −1 ⋅ 1 − R2 Rc2 =1 − n−k L= logaritmul funcţiei de verosimilitate (presupunând că erorile sunt normal distribuite), funcţie ce este determinată ţinând seama de valorile estimate ale parametrilor. Relaţia de calcul a acestui indicator, utilizată de către pachetul de programe EViews, este următoarea:

(

)

⎛ ∑ uˆ t2 n ⎛⎜ L = 1 + ln(2π ) + ln⎜ ⎜ n 2 ⎜⎝ ⎝

⎞⎞ ⎟⎟ ⎟⎟ ⎠⎠

unde: ∑ uˆt2 = suma pătratelor erorilor; k = numărul variabilelor exogene; n = numărul de observaţii. Acest indicator este utilizat în vederea elaborării unor teste statistice destinate depistării variabilelor omise dintr-un model econometric, precum şi a unor teste destinate depistării variabilelor redundante dintr-un model econometric, ca, de exemplu, testul LR sau raportul verosimilităţilor (Likelihood Ratio). y = media variabilei dependente sau endogene, având următoarea relaţie de calcul: n

y=

∑y i =1

i

n s y = abaterea medie pătratică (standard) corespunzătoare variabilei dependente, a cărei relaţie de calcul este următoarea:

∑ (y n

sy =

i =1

i

−y

n −1

)

2

Econometrie. Studii de caz

AIC = criteriul Akaike este utilizat în cazul comparării a două sau mai multe modele econometrice. Relaţia de calcul a acestuia, utilizată de către pachetul de programe EViews, este următoarea: 2 L 2k AIC = − + n n Regula de decizie utilizată în cazul aplicării acestui test este aceea potrivit căreia este ales acel model econometric pentru care s-a obţinut valoarea cea mai mică corespunzătoare acestui indicator. SC = criteriul Schwartz este, de asemenea, utilizat pentru a compara două sau mai multe modele econometrice. Relaţia de calcul a acestuia, utilizată de către pachetul de programe EViews, este următoarea: 2 L k ln n SC = − + n n Şi în acest caz, este ales acel model econometric pentru care s-a obţinut valoarea cea mai mică corespunzătoare acestui indicator. p(F) = probabilitatea asociată statisticii F. O valoare cât mai apropiată de zero a acestei probabilităţi va indica o semnificaţie ridicată a rezultatelor estimării, respectiv a modelului. Pe baza estimatorilor parametrilor au fost calculate valorile estimate ale variabilei y, yˆ i = 9,2903 + 0,6378 xi şi ale variabilei reziduale, uˆ i = y i − yˆ i . Valorile acestora sunt prezentate în cadrul tabelului 2.2.3 (utilizând pachetul de programe EViews): Tabelul 2.2.3 Actual

Fitted

yi

yˆ i

Residual uˆi = yi − yˆ i

55 65 70 80 79 84 98 95 90 75

60,3131 73,0688 63,5020 79,4466 85,8245 82,6355 92,2023 98,5801 89,0134 66,6909

-5,3131 -8,0688 6,4980 0,5534 -6,8245 1,3645 5,7977 -3,5801 0,9866 8,3091

Residual Plot (graficul reziduurilor)

| | | | | | | | | |

.* | . * | . . | *. . * . .* | . . |* . . | *. . *| . . |* . . | *

| | | | | | | | | |

Modele econometrice cu o singură ecuaţie şi cu ecuaţii multiple

Actual

Fitted

yi

yˆ i

Residual uˆi = yi − yˆ i

74 110 113 125 108 115 140 120 145 130 152 144 175 180 135 140 178 191 137 189

76,2577 111,3358 104,9580 114,5248 101,7691 124,0915 152,7918 136,8472 162,3586 127,2805 149,6029 143,2251 165,5475 175,1143 130,4694 140,0361 178,3032 181,4921 155,9808 168,7364

-2,2577 -1,3358 8,0420 10,4752 6,2309 -9,0915 -12,7918 -16,8472 -17,3586 2,7195 2,3971 0,7749 9,4525 4,8857 4,5306 -0,0361 -0,3032 9,5079 -18,9808 20,2636

Residual Plot (graficul reziduurilor)

| . | . | . | . | . | * | * . | * . | * . | . | . | . | . | . | . | . | . | . |* . | .

- dispersia variabilei reziduale 2

su

(y =∑

− yˆi ) 2361,153 = = 84,3269 n − k −1 30 − 1 − 1 2

i

unde: k = numărul variabilelor exogene. (vezi tabelul afişat de programul EViews) - abaterea medie pătratică a variabilei reziduale: − yˆ i ) = 84,3269 = 9,183 n − k −1 (vezi tabelul afişat de programul EViews) suˆ =

∑(y

i

2

*| . | *| . | | * | | .* | | *. | | . | | . | | . | | . | |* . | |* . | * . | | .* | | *. | | *. | * . | * . | | .* | | . | | . *|

Econometrie. Studii de caz

- abaterile medii pătratice ale celor doi estimatori: ⎡1 ⎤ x2 = 5,2314 saˆ = su2ˆ ⎢ + 2⎥ ⎢⎣ n ∑ ( xi − x ) ⎥⎦

su2ˆ = 0,0286 2 ∑ (xi − x )

sbˆ =

(vezi tabelul afişat de programul EViews) - raportul de corelaţie: 30

∑( y − yˆ ) i

R = R2 = 1 −

i =1 30

30

2

i

∑ (y − y )

∑( y − yˆ ) i

= 1−

2

i

i =1 s 2y ⋅

(n − 1)

i =1

(vezi tabelul afişat de programul EViews) - variabila Durbin-Watson, d: 30

d=

∑ (uˆ i =2

i

− uˆ i −1 )

30

∑ uˆ i =1

2

= 1,70

2 i

(vezi tabelul afişat de programul EViews) Astfel modelul estimat devine: yˆi = 9,2903 + 0,6378 xi ;

(5,2314) (0,0286)

i

R = 0,973 d = 1,70 suˆ = 9,183

2

= 1−

2361,153 = 0,9466 = 0,973 39,06132 ⋅ 29

Modele econometrice cu o singură ecuaţie şi cu ecuaţii multiple

b) Verificarea ipotezelor de fundamentare a metodei celor mai mici pătrate (M.C.M.M.P) şi a verosimilităţii modelului. b1) Prima ipoteză, referitoare la calitatea datelor înregistrate se consideră rezolvată în etapa de prelucrare a datelor observate statistic. b2) Ipoteza de homoscedasticitate, M ( u$ i ) = 0, σ 2u$i = ct , ( ∀)i = 1, n va fi verificată cu ajutorul următoarelor metode şi teste: b2.1) Procedeul grafic - care constă în construirea corelogramei privind valorile variabilei factoriale x şi ale variabilei reziduale u (vezi Figura 2.2.2).

20

u

15 10 5

x

0 -5

70

90

110

130

150

170

190

210

230

250

270

-10 -15 -20

Figura 2.2.2

Deoarece graficul punctelor empirice prezintă o distribuţie oscilantă, se poate accepta ipoteza că cele două variabile sunt independente şi nu corelate. b2.2) Metoda analizei dispersionale (variaţiei) Cele două restricţii corespunzătoare ipotezei, menţionate anterior, se realizează dacă variabila reziduală u şi variabila explicativă x sunt independente. Pe această premisă se fundamentează utilizarea metodei analizei variaţiei la acceptarea sau respingerea ipotezei de homoscedasticitate.

Econometrie. Studii de caz

Metoda analizei variaţiei porneşte de la relaţia: n

n

i =1

i =1

n

n

n

i =1

i =1

i =1

∑( yi − y)2 = ∑[( yˆi − y) + ( yi − yˆi )]2 = ∑( yˆi − y)2 + ∑( yi − yˆi )2 + 2∑( yˆi − y)( yi − yˆi ) Deoarece V = V + V , adică variaţia totală a variabilei y 2 0

2 x

2 u

n ⎛ 2 2⎞ ⎜V0 = ∑ ( y i − y ) ⎟ este egală cu variaţia lui y generată de influenţa i =1 ⎝ ⎠ n ⎛ 2⎞ variabilei x ⎜Vx2 = ∑ ( yˆ i − y ) ⎟ la care se adaugă variaţia lui y provocată de i =1 ⎝ ⎠

factori

aleatori

n ⎛ 2 2⎞ ⎜Vu = ∑ ( yi − yˆi ) ⎟ , i =1 ⎝ ⎠

rezultă

că

termenul

n

2∑ ( yˆ i − y )( yi − yˆ i ) = 0 . i =1

Ştiind că: uˆi = yi − yˆ i yˆ i = a + bxi y = a + bx relaţia de mai sus devine: n

n

n

i =1

i =1

i =1

2∑ ( yˆi − y )( yi − yˆi ) = 2∑ (a + bxi − a − bx )ui = 2b∑ ( xi − x )ui = 2nb cov( x, u )

n = n

n

Deci termenul 2∑ ( yˆ i − y )( yi − yˆ i ) = 0 numai dacă cele două i =1

variabile x şi u sunt independente, respectiv cov( u, x) = 0, b ≠ 0 . Pe baza calculelor efectuate (vezi tabelul 2.2.2., coloanele 3, 5, 6),

(

)

deoarece ∑ xi − x ui = 0 , se deduce că cele două variabile x şi u sunt independente, deci ipoteza de homoscedasticitate este verificată.

Modele econometrice cu o singură ecuaţie şi cu ecuaţii multiple

b2.3) Estimarea unei matrici a covarianţelor corspunzătoare estimatorilor parametrilor modelului2 adecvată aplicării M.C.M.M.P. în cazul unui model conţinând erori heteroscedastice Heteroscedasticitatea erorilor implică faptul că dispersiile corespunzătoare erorilor nu mai sunt egale, ci diferite, caz în care estimatorii parametrilor modelului rămân nedeplasaţi, dar nu mai sunt eficace. Astfel, aplicarea M.C.M.M.P. va conduce la o subestimare a parametrilor modelului, influenţând sensibil şi calitatea diferitelor teste statistice aplicate modelului. În cazul unui model multifactorial, vectorul estimatorilor parametrilor modelului se calculează, matriceal, cu ajutorul relaţiei: −1 Bˆ = ( X ′X ) ⋅ ( X ′Y ) . Matricea varianţelor şi covarianţelor corespunzătoare −1 acestuia este de forma: V (B ) = σ u2 ⋅ ( X ′X ) 3. Acest mod de calcul al

matricei varianţelor şi covarianţelor este valabil doar în cazul în care aplicarea M.C.M.M.P. conduce la obţinerea de estimatori eficienţi, convergenţi şi nedeplasaţi, deci ipotezele corespunzătoare acestei metode au fost verificate în prealabil. În cazul unor erori heteroscedastice, a căror formă este, în general, necunoscută, este posibil, ca prin aplicarea metodei regresiei ponderate în vederea eliminării heteroscedasticităţii erorilor, să nu se obţină estimatori consistenţi. White a arătat că este posibil să se calculeze un estimator adecvat al matricii covarianţelor corespunzătoare estimatorilor parametrilor modelului, chiar dacă există o relaţie de dependenţă între erorile heteroscedatice şi variaibilele exogene incluse în model, pe care a denumit-o matricea covarianţelor estimatorilor consistenţi heteroscedastici (HCCME), de forma: VW (B ) =

2 3

⎛ n ⎞ n ( X ′X )−1 ⎜⎜ u i2 xi xi ′ ⎟⎟( X ′X )−1 n−k ⎝ i =1 ⎠

∑

Vezi Wiliam H. Greene, Econometric Analysis, 2nd ed., Macmillan, New York, 1993, p. 384-392. vezi demonstraţie op. cit., p. 182.

Econometrie. Studii de caz

unde: n = numărul de observaţii; k = numărul regresorilor; ui= variabila reziduală. Prin aplicarea acestei matrici, estimaţiile punctuale ale parametrilor nu vor suferi modificări, ci doar abaterile standard corespunzătoare parametrilor. Utilizarea acestei matrici va permite observarea mai rapidă a prezenţei fenomenului de heteroscedasticitate a erorilor. Astfel, abaterile standard vor putea fi mai mari sau mai mici comparativ cu cele obţinute în cazul modelului iniţial, iar valorile mai mici înregistrate de testul Student, t, vor semnaliza faptul că estimatorii parametrilor sunt nesemnificativi, deci posibila prezenţă a erorilor heteroscedastice. Utilizând pachetul de programe EViews, în vederea exemplificării calculării abaterilor standard şi dispersiilor heteroscedastice corectate cu ajutorul metodei lui White au fost obţinute următoarele rezultate: Dependent Variable: yi Method: Least Squares Sample: 1 30 Included observations: 30 White Heteroskedasticity-Consistent Standard Errors & Covariance Variable

Coefficient

Std, Error

t-Statistic

Prob.

C xi

9,2903 0,6378

4,4378 0,0298

2,0934 21,3818

0,0455 0,0000

R-squared Adjusted R-squared S.E. of regression Sum squared resid Log likelihood Durbin-Watson stat

0,9466 0,9447 9,1830 2361,1530 -108,0538 1,7023

Mean dependent var S.D. dependent var Akaike info criterion Schwarz criterion F-statistic Prob(F-statistic)

119,7333 39,0613 7,3369 7,4303 496,7183 0,0000

Comparând rezultatele estimării obţinute în ambele cazuri, se constată că abaterea standard corespunzătoare termenului liber, utilizând matricea covarianţelor estimatorilor consistenţi heteroscedastici, este mai mică decât cea obţinută în cazul modelului iniţial, estimatorul acestui parametru fiind semnificativ în această situaţie, comparativ cu modelul iniţial, în care era nesemnificativ.

Modele econometrice cu o singură ecuaţie şi cu ecuaţii multiple

b2.3) Testul Goldfeld-Quandt4 Acest test se poate aplica atunci când se dispune de serii lungi de date şi când una dintre variabile reprezintă cauza heteroscedasticităţii (între dispersia variabilei reziduale heteroscedastică şi variabila exogenă există o relaţie de dependenţă pozitivă), şi presupune parcurgerea următoarelor etape: - ordonarea crescătoare a observaţiilor în funcţie de variabila exogenă x; - eliminarea a c observaţii centrale, c fiind specificat a priori. În privinţa numărului de observaţii omise, c, au fost emise diverse opinii. În cazul unui model unifactorial, Goldfeld şi Quandt, în urma efectuării experimentelor Monte-Carlo, au propus ca c să fie aproximativ egal cu 8 în cazul în care mărimea eşantionului este de aproximativ 30 de observaţii şi 16, dacă eşantionul cuprinde 60 de observaţii. Judge şi colaboratorii săi menţionează faptul că, în cazul în care c=4 pentru n=30 şi c=10 pentru n≈60, se obţin rezultate mai bune. În general, se consideră că c trebuie să reprezinte o treime sau un sfert din numărul total de observaţii. - efectuarea de regresii aplicând M.C.M.M.P. asupra celor două subeşantioane de dimensiune (n-c)/2 şi calcularea sumei pătratelor erorilor pentru fiecare subeşantion în parte; - calcularea raportului dintre sumele pătratelor erorilor sau dispersiilor acestora, corespunzătoare celor două subeşantioane (suma pătratelor erorilor având valoarea cea mai mare fiind plasată la numărător): ⎞ ⎛ (n − c ) − (k + 1)⎟ u12 / ⎜ ⎠ ⎝ 2 = i =n1 ⎞ ⎛ (n − c ) − (k + 1)⎟ u22 / ⎜ ∑ ⎠ ⎝ 2 ( n − c ) +1 i= (n − c ) / 2

F* =

su21 su22

∑ 2

unde: k = numărul variabilelor exogene. Presupunând că erorile sunt normal distribuite, atunci raportul F* (n − c ) − (k + 1) grade de libertate. urmează o distribuţie F cu v1 = v2 = 2 4

cf. Damodar N. Gujarati, Basic Econometrics, 3rd ed., Mc Graw-Hill, New York, 1995, p. 374-375.

Econometrie. Studii de caz

-

F* > F

dacă

⎛ ( n−c ) ⎞ ⎛ ( n−c ) ⎞ −( k +1) ⎟;⎜ −( k +1) ⎟ ⎝ 2 ⎠⎝ 2 ⎠

α; ⎜

,

atunci

ipoteza

de

homoscedasticitate este infirmată, deci erorile sunt heteroscedastice; - dacă F < F ⎛ (n−c) ⎞ ⎛ ( n−c ) ⎞ ipoteza de homoscedasticitate −( k +1) ⎟;⎜ −( k +1) ⎟ α; ⎜ *

⎝ 2

⎠⎝ 2

⎠

este acceptată. Pentru a aplica acest test au fost ordonate crescător valorile variabilei exogene x şi, corespunzător acestora, şi cele ale variabilei dependente y (vezi tabelul 2.2.2 coloanele 7, 8) şi au fost eliminate 4 observaţii situate în centrul eşantionului (vezi observaţiile din coloana 8, corespunzătoare variabilei x, evidenţiate prin caractere aldine), rezultând două subeşantioane a câte 13 observaţii fiecare. În urma aplicării programului EViews, rezultatele estimării, corespunzătoare celor două subeşantioane, au fost următoarele:

yˆ1i = 3,4904 + 0,6968 xi ;

(8,7049) (0,0744)

R 2 = 0,8887

∑u

2 1i

= 377,17

v1 = 11 yˆ 2i = −28,0272 + 0,7941 xi ;

(30,6421) (0,1319)

R 2 = 0,7681

∑u

2 2i

= 1536,8

v2 = 11 F

*

u =∑ ∑u

2 2i 2 1i

v2 v1

=

1536,8 11 = 4,07 377,17 11

Analizând rezultatele obţinute se constată că, pentru un prag de semnificaţie α = 0,05, F * = 4,07 > F0,05;11;11 = 2,82 , deci erorile sunt heteroscedastice, în timp ce, pentru un prag de semnificaţie α = 0,01, F * = 4,07 < F0,01;11;11 = 4,46

homoscedasticitate se verifică.

putem

considera

că

ipoteza

de

Modele econometrice cu o singură ecuaţie şi cu ecuaţii multiple

b2.4) Testul Park5 Testul propus de Park se bazează pe existenţa unei relaţii de dependenţă între dispersia corespunzătoare erorilor heteroscedastice şi variabila exogenă x de forma: σ u2i = σ 2 xib e ωi . Acest model neliniar poate fi transformat într-un model liniar prin logaritmare: ln σ u2i = ln σ 2 + b ln xi + ω i

unde: ωi = variabila reziduală, ce verifică ipotezele corespunzătoare M.C.M.M.P. Ca urmare a faptului că valoarea dispersiei erorilor heteroscedastice este necunoscută, aceasta a fost înlocuită cu pătratul erorilor, uˆ i2 în cadrul modelului liniarizat prin logaritmare: ln uˆ i2 = ln σ 2 + b ln xi + ω i = β + b ln xi + ω i În situaţia în care parametrul b corespunzător variabilei exogene este nesemnificativ ipoteza de homoscedasticitate a erorilor este verificată, cazul contrar indicând existenţa heteroscedasticităţii. În vederea verificării existenţei heteroscedasticităţii erorilor vom logaritma pătratul erorilor calculate în cazul modelului iniţial pe care le vom regresa în funcţie de valorile logaritmate ale variabilei exogene xi (vezi tabelul 2.2.2 coloanele 9 şi 10). În urma aplicării programului EViews au fost obţinute următoarele rezultate: ln uˆ i2 = 1,014 + 0,3359 ln xi ; R 2 = 0,002

(7,2749) (1,4252)

Pentru a verifica semnificaţia estimatorului parametrului corespunzător variabilei exogene a fost utilizat testul Student, t, respectiv: bˆ 0,3359 t bˆ = = = 0,2357 < t 0, 05; 28 = 2,048 , care indică faptul că sbˆ 1,4252 estimatorul parametrului b este nesemnificativ, deci erorile sunt homoscedastice.

5

cf. op. cit., p. 369-370.

Econometrie. Studii de caz

b2.5) Testul Glejser6 Acest test se bazează pe bazează pe relaţia dintre erorile estimate în urma aplicării MC.M.M.P. asupra modelului iniţial şi variabila explicativă presupusă a fi cauza heteroscedasticităţii. Testul Glejser prezintă o serie de puncte comune cu testul precedent, respectiv, după calcularea erorilor în urma aplicării MC.M.M.P., valoarea absolută a acestora este regresată în funcţie de valorile variabilei exogene utilizându-se în acest scop următoarele forme de exprimare corespunzătoare celor două variabile: I. uˆ i = a + bxi + ω i În această situaţie heteroscedasticitatea este de tipul: σ u2i = λ2 xi2 , caz în care va fi aplicată regresia ponderată asupra datelor iniţiale, care vor fi împărţite la xi , rezultând astfel un model de forma:

u yi a1 = + b1 + i xi xi xi

II. uˆ i = a + b xi + ω i În această situaţie heteroscedasticitatea este de tipul: σ u2i = λ2 xi , caz în care va fi aplicată regresia ponderată asupra datelor iniţiale, care vor fi împărţite

yi xi

=

la

a1 xi

xi ,

+ b1 xi +

III. uˆ i = a + b

rezultând

ui xi

astfel

un

model

de

forma:

.

1 + ωi xi

În această situaţie heteroscedasticitatea este de tipul: σ u2i = λ2 xi−2 . IV. uˆ i = a + b

1 xi

+ ωi

V. uˆ i = a + bxi + ω i VI. uˆ i = a + bxi2 + ω i

6

cf. op. cit., p. 371-372.

Modele econometrice cu o singură ecuaţie şi cu ecuaţii multiple

Verificarea homoscedasticităţii erorilor presupune, ca şi în cazul testului precedent, verificarea semnificaţiei parametrului corespunzător variabilei exogene. Aplicarea acestui test conduce la rezultate semnificative în cazul unor eşantioane de dimensiuni mari, iar în cazul celor de dimensiuni mici este pur teoretică, aşa cum menţionează însuşi autorul. De menţionat faptul că ultimele două modele nu pot fi estimate cu ajutorul M.C.M.M.P. Rezultatele estimării primelor patru modele, calculate cu ajutorul pachetului de programe EViews (vezi date în tabelul 2.2.2.- coloanele 11, 12, 13 şi 14) sunt următoarele: uˆ i = 0,6343 + 0,0085 xi ; R 2 = 0,0787 t=

(0,6335) (1,5467 )

uˆ i = −0,7273 + 0,2182 xi ; R 2 = 0,0792 t=

(0,3929) (1,5516)

uˆ i = 3,3517 − 189,9522 t=

(3,7148) (1,4836)

uˆ i = 4,7087 − 32,6958 t=

(2,6961) (1,5181)

1 ; R 2 = 0,0729 xi 1 xi

; R 2 = 0,0761

Aşa cum se poate observa, nici unul dintre estimatorii parametrului corespunzător variabilei exogene din cadrul modelelor prezentate mai sus nu este semnificativ pentru un prag de semnificaţie de 5%, deci ipoteza de homoscedasticitate este verificată. b2.6) Testul Breusch-Pagan-Godfrey (BPG)7 Acest test are în vedere modelul multifactorial liniar de forma: yi = b0 + b1 x1i + b2 x2i + …+ bk x ki + ui

7

cf. op. cit., p. 377-378.

Econometrie. Studii de caz

plecând de la ipoteza potrivit căreia dispersia corespunzătoare erorilor heteroscedastice este dependentă de o serie de variabile factoriale zi. În locul acestor variabile pot fi utilizate câteva sau toate variabilele exogene ce intervin în modelul iniţial. Se presupune, de asemenea, că între dispersia corespunzătoare erorilor heteroscedastice şi variabilele factoriale zi există o relaţie de dependenţă liniară, respectiv:

σ u2 = β 0 + β 1 z1i + β 2 z 2i + K + β m z mi i

Verificarea homoscedasticităţii dispersiei presupune verificarea ipotezei nulităţii parametrilor corespunzători variabilelor factoriale, caz în care σ u2i = β 0 = ct. Aplicarea acestui test constă în: - calculul valorilor variabilei reziduale prin aplicarea M.C.M.M.P. asupra modelului iniţial; - calculul estimatorului de maximă verosimilitate corespunzător dispersiei variabilei reziduale homoscedastice: σˆ u2 = i

- construirea unei variabile de forma: θ i =

∑

uˆ i2 n

;

uˆ i2 şi regresarea acesteia σˆ u2i

în funcţie de variabilele factoriale zi, ce pot fi înlocuite cu variabilele exogene xi din modelul original, respectiv: θ i = β 0 + β 1 x1i + β 2 x 2i + K + β m x mi + ω i unde: ωi = variabila reziduală. - calculul sumei pătratelor explicată de model, notată cu SSR, şi SSR . calculul unei variabile H de forma: H = 2 Presupunând că erorile sunt normal distribuite, şi că ne aflăm în situaţia unui eşantion de volum mare, variabila H este asimptotic distribuită sub forma unui χ α2 ;v , pentru care numărul gradelor de libertate este egal cu: v = m − 1 , unde m = numărul parametrilor modelului, respectiv: H~ χ α2 ;v .

Modele econometrice cu o singură ecuaţie şi cu ecuaţii multiple

Dacă H > χ α2 ;v , erorile sunt heteroscedastice, în caz contrar, sunt homoscedastice. Rezultatele estimării modelului iniţial sunt următoarele: yˆi = 9,2903 + 0,6378 xi ; R = 0,973

(5,2314) (0,0286)

d = 1,70 suˆ = 9,183

Valoarea calculată a estimatorului de maximă verosimilitate corespunzător dispersiei variabilei reziduale homoscedastice este:

∑ uˆ

2 i

2361,53 = 78,7051 n 30 In urma calculării variabilei θi (vezi tabelul 2.2.2, coloana 15) şi a regresării acesteia în funcţie de variabila exogenă xi au fost obţinute următoarele rezultate: θˆ = −0,7426 + 0,0101 x ; R 2 = 0,18

σˆ u2 = i

i

=

(0,7529) (0,0041)

i

Valoarea calculată a variabilei H este:

(

)

2 SSR ∑ θˆi − θ 10,428 = = = 5,214 H= 2 2 2 Comparând valoarea calculată a variabilei H cu valoarea teoretică a lui hi-pătrat în funcţie de un prag de semnificaţie de α = 0,05 şi respectiv

α = 0,01 şi de numărul gradelor de libertate v = m − 1 = 1 , se constată că H = 5,214 > χ 02,05;1 = 3,8414

pentru

α = 0,05 ,

deci

erorile

sunt

heteroscdastice, dar, pentru α = 0,01 , H = 5,214 < χ 02,01;1 = 6,6349 , ceea ce înseamnă că ipoteza de homoscedasticitate a erorilor poate fi acceptată. Se constată astfel că am ajuns la aceeaşi concluzie ca şi în cazul testului Goldfeld-Quandt. Trebuie să ţinem însă seama de faptul că testul BPG este un test asimptotic, valabil în cazul unui eşantion de volum mare, iar în cazul de faţă, respectiv 30 de observaţii, acesta nu poate reprezenta un eşantion de volum mare.

Econometrie. Studii de caz

b2.7) Testul White8 Aplicarea testului White presupune parcurgerea următoarelor etape: - estimarea parametrilor modelului iniţial şi calculul valorilor estimate ale variabilei reziduale, u; - construirea unei regresii auxiliare, bazată pe prespunerea existenţei unei relaţii de dependenţă între pătratul valorilor erorii, variabila exogenă inclusă în modelul iniţial şi pătratul valorilor acesteia: uˆi2 = α 0 + α1 xi + α 2 x 2i + ω i

şi calcularea coeficientului de determinare, R2, corespunzător acestei regresii auxiliare; - verificarea semnificaţiei parametrilor modelului nou construit, iar dacă unul dintre aceştia este nesemnificativ, atunci ipoteza de heteroscedasticitate a erorilor este acceptată. Există două variante de aplicare a testului White: - utilizarea testului Fisher –Snedecor clasic, bazat pe ipoteza nulităţii parametrilor, respectiv: H0: α 0 = α1 = α 2 = 0

Dacă ipoteza nulă, potrivit căreia rezultatele estimării sunt nesemnificative ( Fc < Fα ;v1 ;v2 ), este acceptată, atunci ipoteza de homoscedasticitate se verifică, cazul contrar semnificând prezenţa heteroscedasticităţii erorilor. - utilizarea testului LM, calculat ca produs între numărul de observaţii corespunzătoare modelului, n, şi coeficientul de determinare, R2, corespunzător acestei regresii auxiliare. În general, testul LM este asimptotic distribuit sub forma unui χ α2 ;v , pentru care numărul gradelor de libertate este egal cu: v = k , unde k = numărul variabilelor exogene, respectiv: LM = n ⋅ R 2 ~ χ α2 ;v 8

cf. op. cit., p. 379.

Modele econometrice cu o singură ecuaţie şi cu ecuaţii multiple

Dacă LM > χ α2 ;v , erorile sunt heteroscedastice, în caz contrar, sunt homoscedastice, respectiv ipoteza nulităţii parametrilor, α 0 = α1 = α 2 = 0 , este acceptată. Aplicarea testului White s-a realizat utilizând pachetul de programe EViews: White Heteroskedasticity Test: F-statistic

2,9173

Fc

Probability

0,0713

Obs*R-squared

5,3309

LM

Probability

0,0696

p (F )

p(LM )

Test Equation: Dependent Variable: u i2 Method: Least Squares Sample: 1 30 Included observations: 30 Variable

Coefficient

Std. Error

t-Statistic

Prob.

C xi

-12,2962 0,1974

191.7731 2.3688

-0,0641 0,0833

0,9493 0,9342

xi2

0,0017

0.0067

0,2535

0,8018

R-squared Adjusted R-squared S.E. of regression Sum squared resid Log likelihood Durbin-Watson stat

0,1777 0,1168 105,8043 302252,70 -180,8355 0,7913

Mean dependent var S.D. dependent var Akaike info criterion Schwarz criterion F-statistic Prob(F-statistic)

78,7051 112,5823 12,2557 12,3958 2,9173 0,0713

Analizând rezultatele afişate de programul EViews se constată că Fc = 2,9173 < F0,05; 2; 27 = 3,35

şi

LM = 5,3309 < χ 02,05; 2 = 5,99147 ,

iar

parametrii modelului sunt nesemnificativi, deci ipoteza de homoscedasticitate se verifică în cazul aplicării acestor teste. Trebuie să ţinem însă seama de faptul că testul LM este un test asimptotic, valabil în cazul unui eşantion de volum mare, iar în cazul de faţă, respectiv 30 de observaţii, acesta nu poate reprezenta un eşantion de volum mare. Deoarece majoritatea testelor prezentate mai sus sunt valabile în cazul în care erorile sunt normal distribuite, în vederea verificării acestei

Econometrie. Studii de caz

ipoteze va fi aplicat testul Jarque-Berra9, care este şi el un test asimptotic (valabil în cazul unui eşantion de volum mare), ce urmează o distribuţie hi pătrat cu un număr al gradelor de libertate egal cu 2, având următoarea formă: ⎡ S 2 (K − 3)2 ⎤ 2 JB = n ⎢ + ⎥ ~ χ α ;2 24 ⎦ ⎣6 unde: n = numărul de observaţii; S = coeficientul de asimetrie (skewness), ce măsoară simetria distribuţiei erorilor în jurul mediei acestora, care este egală cu zero, având următoarea relaţie de calcul:

S=

(

1 n ∑ yi − y n i =1

)

3

σ3 K = coeficientul de aplatizare calculat de Pearson (kurtosis), ce măsoară boltirea distribuţiei (cât de „ascuţită” sau de aplatizată este distribuţia comparativ cu distribuţia normală), având următoarea relaţie de calcul:

K=

(

1 n ∑ yi − y n i =1

)

4

σ4

Testul Jarque-Berra se bazează pe ipoteza că distribuţia normală are un coeficient de asimetrie egal cu zero, S = 0, şi un coeficient de aplatizare egal cu trei, K = 3. Dacă probabilitatea p(JB) corespunzătoare valorii calculate a testului este suficient de scăzută, atunci ipoteza de normalitate a erorilor este respinsă, în timp ce, în caz contrar, pentru un nivel suficient de ridicat al probabilităţii ipoteza de normalitate a erorilor este acceptată, sau dacă JB > χ α2 ; 2 , atunci ipoteza de normalitate a erorilor este respinsă.

9

EViews, User Guide,Version 2.0, QMS Quantitative Micro Software, Irvine, California, 1995, p. 140-141.

Modele econometrice cu o singură ecuaţie şi cu ecuaţii multiple

Utilizând pachetul de programe EViews în vederea calculării testului Jarque-Berra (vezi figura 2.2.3.) se constată că JB = 0,6452 < χ 02,05; 2 = 5,9915 şi că p(JB) = 0,7242, respectiv probabilitatea ca testul J-B să nu depăşească valoarea tabelată a lui χ α2 ; 2 , este suficient de mare pentru ca ipoteza de normalitate a erorilor să fie acceptată. 10 Series: Residuals Sample 1 30 Observations 30

8

Mean Median Maximum Minimum Std. Dev. Skewness Kurtosis

6

4

-1.86E-14 0.880779 20.26355 -18.98076 9.023252 -0.359065 2.977931

2 Jarque-Bera Probability

0.645247 0.724246

0 -20

-15

-10

-5

0

5

10

15

20

25

Figura 2.2.3

Pe baza rezultatelor obţinute, pentru un prag de semnificaţie de 5%, în cazul aplicării testelor Breusch-Pagan-Godfrey şi Goldfeld-Quandt, vom presupune că fenomenul de heteroscedasticitate există, acesta afectând calitatea estimatorilor, respectiv aceştia nu mai sunt eficienţi (dispersie minimă). Eliminarea fenomenului de heteroscedasticitate se poate face cu ajutorul metodei regresiei ponderate. Această metodă presupune efectuarea următoarelor operaţii: 1) Ecuaţia modelului y i = a1 + b1 x i + ui se împarte la x i , rezultând modelul

yi a1 u = + b1 + i . xi xi xi

Econometrie. Studii de caz

2)

Notând

u y 1 = v i , i = zi , i = wi , xi xi xi

cu

se

obţine

modelul

zi = a1 v i + b1 + wi , ai cărui parametrii se vor estima cu ajutorul M.C.M.M.P.

( )

30

30

i =1

i =1

(

2 F aˆ1 , bˆ1 = min ∑ ( zi − zˆi ) = min ∑ zi − aˆ1vi − bˆ1

)

2

Condiţia de minim a acestei funcţii rezultă din: ⎧⎪ nbˆ1 + aˆ1 ∑ vi = ∑ zi F ′(aˆ1 ) = 0 ⇒ bˆ1 ∑ vi + aˆ1 ∑ vi2 = ∑ zi vi ⇔⎨ 2 F ′ bˆ1 = 0 ⇒ nbˆ1 + aˆ1 ∑ vi = ∑ zi ⎪⎩bˆ1 ∑ vi + aˆ1 ∑ vi = ∑ zi vi

()

În urma aplicării programului EViews, rezultatele estimării modelului, utilizând metoda regresiei ponderate, au fost următoarele: Dependent Variable: zi Method: Least Squares Sample: 1 30 Included observations: 30 Variable

Coefficient

vi C

10,2790 0,6319

R-squared Adjusted R-squared S.E. of regression Sum squared resid Log likelihood Durbin-Watson stat

0,2087 0,1804 0,0521 0,0760 47,1105 1,7064

Std. Error 3,7827 0,0267

t-Statistic 2,7174 23,7034

Mean dependent var S.D. dependent var Akaike info criterion Schwarz criterion F-statistic Prob(F-statistic)

Pe baza calculelor prezentate mai sus rezultă modelul: zˆ i = 10,279 vi + 0,6319;

(3,7827 ) (0,0267 )

R = 0,4568 d = 1,71 s wˆ = 0,0521

Prob. 0,0112 0,0000 0,6995 0,0575 -3,0074 -2,9140 7,3840 0,0112

Modele econometrice cu o singură ecuaţie şi cu ecuaţii multiple

Calităţile acestui model rezultă în urma efectuării următoarelor operaţii: - verificarea ipotezei de homoscedaticitate prin calculul testului White, utilizând pachetul de programe EViews: White Heteroskedasticity Test: F-statistic Obs*R-squared

3,3370 5,9458

Probability Probability

Test Equation: Dependent Variable: wi2 Method: Least Squares Sample: 1 30 Included observations: 30 Variable Coefficient C 0,0084 -2,0525 vi 152,9709 vi2

Std. Error 0,0039 1,1178 72,8625

R-squared Adjusted R-squared S.E. of regression Sum squared resid Log likelihood Durbin-Watson stat

Mean dependent var S.D. dependent var Akaike info criterion Schwarz criterion F-statistic Prob(F-statistic)

0,1982 0,1388 0,0024 0,0002 139,6732 1,4675

0,0507 0,0512

t-Statistic Prob. 2,1919 0,0372 -1,8361 0,0774 2,0994 0,0453 0,0025 0,0026 -9,1115 -8,9714 3,3370 0,0507

În urma analizării rezultatelor afişate de programul EViews se constată că Fc = 3,337 < F0, 05; 2; 27 = 3,35 şi LM = 5,9458 < χ 02,05; 2 = 5,99147 , iar parametrii modelului sunt nesemnificativi, deci ipoteza de homoscedasticitate se verifică în cazul aplicării acestor teste. - verificarea ipotezei de independenţă a valorilor variabilei reziduale, w, prin calculul variabilei Durbin-Watson: 30

d=

∑ (wˆ i =2

i

30

− wˆ i −1 )

∑ wˆ i =1

2 i

2

= 1,71

Econometrie. Studii de caz

Pentru un prag de semnificaţie α = 0,05 , din tabela distribuţiei Durbin-Watson se d1 = 1,35, d 2 = 1,49 .

citesc

valorile

(pentru

cazul

n = 30 )

Deoarece d 2 = 1,49 < d = 1,71 < 4 − d 2 = 2,51 , se poate accepta ipoteza de independenţă a valorilor variabilei reziduale. - verificarea ipotezei de normalitate a erorilor Utilizând pachetul de programe EViews în vederea calculării testului Jarque-Berra (vezi figura 2.2.4.) se constată că JB = 1,3427 < χ 02,05; 2 = 5,9915 şi că p(JB) = 0,511, respectiv probabilitatea ca testul J-B să nu depăşească valoarea tabelată a lui χ α2 ; 2 , este suficient de mare pentru ca ipoteza de normalitate a erorilor să fie acceptată. 12 Series: Residuals Sample 1 30 Observations 30

10

Mean Median Maximum Minimum Std. Dev. Skewness Kurtosis

8 6 4 2

Jarque-Bera Probability

-1.30E-16 0.005397 0.087252 -0.084660 0.051183 -0.181266 2.029036 1.342749 0.511006

0 -0.10

-0.05

0.00

0.05

0.10

Figura 2.2.4

- verificarea semnificaţiei estimatorilor parametrilor modelului Estimatorii parametrilor modelului sunt semnificativ diferiţi de zero, cu un prag de semnificaţie α = 0,05 , dacă se verifică următoarele relaţii: t aˆ1 = t bˆ = 1

aˆ1 s aˆ1 bˆ1 sbˆ

1

> tα ;n − k −1 ⇔ t aˆ1 = 2,7174 > t 0, 05; 28 = 2,048 > tα ;n − k −1 ⇔ t bˆ = 23,7034 > t 0,05; 28 = 2,048 1

Modele econometrice cu o singură ecuaţie şi cu ecuaţii multiple

unde: k = numărul variabilelor explicative. În urma efectuării calculelor de mai sus se constată faptul că ambii estimatori, a$ şi b$ , sunt semnificativ diferiţi de zero, cu un prag de 1

1

semnificaţie α = 0,05 . - verificarea semnificaţiei raportului de corelaţie

R z / v = R 2 = 0,2087 = 0,4568 Verificarea semnificaţiei raportului de corelaţie se realizează cu ajutorul testului Fisher-Snedecor: R2 Fc = ( n − 2) ≥ Fα ;k ;n − k −1 1− R2 F0, 05;1; 28 = 4,20 Fc = 7,384 > F0,05;1; 28 = 4,20 Deci raportul de corelaţie este semnificativ diferit de zero, cu un prag de semnificaţie α = 0,05 . În final, modelul estimat prin metoda regresiei ponderate se transformă în modelul iniţial prin înmulţirea fiecărui termen cu xi: y 1 zˆ i = 10,279vi + 0,6319 ⇒ i = 10,279 + 0,6319 ⇒ yˆ i′ = 10,279 + 0,6319xi xi xi Şi în cazul acestui model vom repeta o parte din operaţiile realizate pentru cel anterior pentru a-i verifica calităţile: - calculul abaterilor medii pătratice ale estimatorilor:

∑ (y =

− yˆ i′ )

2

2364,7933 = 84,4569 ⇒ suˆ′ = 9,19 n − k −1 30 − 2 (vezi tabelul nr. 2.2.2., coloanele 23, 24, 25) s

2 uˆ ′

i

=

Econometrie. Studii de caz

⎡1 s a2ˆ2 = su2ˆ′ ⋅ ⎢ + ⎢n ⎣

s b2ˆ = 2

s

∑ (x

i

− x)

taˆ 2 = t bˆ = 2

∑

2 uˆ ′

2

=

⎤ 2 ⎡ ⎤ ⎥ = 84,4569 ⋅ ⎢ 1 + 173,17 ⎥ = 27,4096 ⇒ s aˆ2 = 5,2354 2⎥ ( xi − x ) ⎦ ⎢⎣10 102974,1667 ⎥⎦ x2

84,4569 = 0,0008 ⇒ s bˆ = 0,0286 2 102974,1667

aˆ2 10,279 = = 1,9634 < t0,05; 28 = 2,048 saˆ 2 5,2354 bˆ2 sbˆ

=

2

0,6319 = 22,0635 > t 0, 05; 28 = 2,048 0,0286

Se constată că doar b$2 este semnificativ diferit de zero, cu un prag de semnificaţie α = 0,05 , în timp ce a$ 2 este nesemnificativ. - calculul raportului de corelaţie:

Ry / x = 1 −

∑ ( y − yˆ ′ ) ∑(y − y) i

2

i

2

= 1−

i

2364,7933 = 0,9466 = 0,9729 44247,8667

(vezi tabelul nr. 2.2.2, coloana 28) Fc = 28 ⋅

0,9466 = 495,911 > F0,05;1; 28 = 4,20 1 − 0,9466

Deci raportul de corelaţie este semnificativ diferit de zero, cu un prag de semnificaţie α = 0,05. În concluzie, modelul de mai jos este corect specificat, identificat şi estimat: yˆ i′ = 10,279 + 0,6319 xi ;

(5,2354) (0,0286)

R = 0,973 suˆ ′ = 9,19

Modele econometrice cu o singură ecuaţie şi cu ecuaţii multiple

2.1.3 Model liniar unifactorial cu autocorelarea erorilor

Se cunosc următoarele date privind consumul final real al gospodăriilor populaţiei şi PIB-ul real în România, în perioada 1990-2003, exprimate în miliarde lei preţuri comparabile (1990=100): Tabelul 2.3.1 Anul

Consumul final real al gospodăriilor populaţiei (mld.lei preţuri comparabile) (1990=100)

PIB (mld.lei preţuri comparabile) (1990=100)

0

1

2

1990 557,7 857,9 1991 467,4 746,8 1992 432,1 681 1993 435,9 691,3 1994 447,3 718,2 1995 505,3 769,3 1996 545,7 799,5 1997 525,7 750,7 1998 586,2 714,8 1999 579,8 706,1 2000 582,3 720,7 2001 610,7 761,7 2002 629,1 799,1 2003 673,7 838,3 Notă: Ambii indicatori sunt calculaţi conform metodologiei de calcul a Sistemului European al Conturilor Economiei Integrate - SEC 1979. Consumul final al populaţiei a fost deflaţionat cu ajutorul deflatorului consumului final al populaţiei exprimat în preţuri constante (1990 = 100), datele provenind de la Ministerul Prognozei şi Dezvoltării, iar PIB-ul a fost deflaţionat cu ajutorul deflatorului PIB exprimat în preţuri constante (1990 = 100), obţinut în urma prelucrării datelor din Raportul Anual BNR. Sursa: Date prelucrate pe baza Anuarului Statistic al României 2003, INS, Bucureşti, 2004, p. 284, Raportului Anual 2000, BNR, Bucureşti, 2001, p. 6*-7*, Raportului Anual 2002 BNR, Bucureşti, 2003, p. 4*-5*, Comunicatului de Presă al INS nr.11/26.02.2004.

Se cere: a) Să se construiască modelul econometric ce descrie legătura dintre cele două variabile şi să se interpreteze semnificaţia parametrilor modelului; b) Să se estimeze parametrii modelului şi să se verifice semnificaţia acestora;

Econometrie. Studii de caz

c) Ştiind că în anul 2004, valoarea PIB-ului real10 a fost egală cu 907,8 mild lei preţuri comparabile (1990=100), să se estimeze valoarea consumului final real al gospodăriilor populaţiei în anul 2004 şi să se verifice capacitatea de prognoză a modelului utilizat. Rezolvare: a) Notând cu y = consumul final real al gospodăriilor populaţiei şi cu x = PIB-ul real, modelul econometric va fi de forma: y = f ( x) + u . Pentru alegerea funcţiei matematice f ( x) se recurge la reprezentarea

grafică a celor două şiruri de valori. y 670 650 630 610 590 570 550 530 510 490 470 x 450 430 670 685 700 715 730 745 760 775 790 805 820 835 850 Figura 2.3.1 Legătura dintre consumul final real al gospodăriilor populaţiei şi PIB-ul real al României

10

Valoare estimată pe baza informaţiilor furnizate în cadrul Comunicatului de Presă al INS nr. 12/11.03.2005 privind principalii indicatori conjuncturali în anul 2004 şi luna ianuarie 2005.

Modele econometrice cu o singură ecuaţie şi cu ecuaţii multiple

Deoarece graficul punctelor empirice indică faptul că distribuţia poate fi aproximată cu o dreaptă, modelul econometric devine: yt = a + bxt + ut ; t = 1,14

Semnificaţia economică a celor doi parametrii a şi b , ţinând cont de semnificaţia celor două variabile (y - consumul final real al gospodăriilor populaţiei şi x - PIB-ul real) este: - parametrul a reprezintă în acest caz autoconsumul, deoarece pentru x = 0 ⇒ y = a ; - parametrul b reprezintă panta dreptei sau coeficientul de regresie al consumului în funcţie de PIB, care măsoară creşterea consumului dacă PIB-ul se modifică cu un miliard de lei. b) Estimarea parametrilor modelului econometric de la punctul a) se face cu ajutorul M.C.M.M.P.:

( )

14

14

t =1

t =1

(

2 F aˆ , bˆ = min ∑ ( y t − yˆ t ) = min ∑ yt − aˆ − bˆxt

F ′( a$ ) = 0 ⇒ na$ + b$∑ x t = ∑ y t

()

F ′ b$ = 0 ⇒ a$ ∑ x t + b$∑ x t2 = ∑ y t x t

⎧⎪14 aˆ + 10555 ,4bˆ = 7578 ,9 ⇒⎨ ⎪⎩10555 ,4 aˆ + 7996163 ,14bˆ = 5744734 ,07 (vezi tabelul 2.3.2, coloanele 2, 3, 4, 5).

)

2

Econometrie. Studii de caz

Tabelul 2.3.2 Nr. Anul crt.

xt

yt

x t2

xt yt

uˆ t −1

uˆ t2−1

uˆ t uˆ t −1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003

857,9 746,8 681 691,3 718,2 769,3 799,5 750,7 714,8 706,1 720,7 761,7 799,1 838,3

557,7 467,4 432,1 435,9 447,3 505,3 545,7 525,7 586,2 579,8 582,3 610,7 629,1 673,7

735992,41 557710,24 463761,00 477895,69 515811,24 591822,49 639200,25 563550,49 510939,04 498577,21 519408,49 580186,89 638560,81 702746,89

478450,83 349054,32 294260,10 301337,67 321250,86 388727,29 436287,15 394642,99 419015,76 409396,78 419663,61 465170,19 502713,81 564762,71

-67,6095 -68,1688 -50,3191 -54,8389 -65,1673 -48,4431 -32,4371 -13,0191 76,4790 77,1064 67,8133 63,0957 51,2860

4571.0382 4646.9914 2532.0160 3007.3080 4246.7772 2346.7374 1052.1637 169.4958 5849.0429 5945.4012 4598.6481 3981.0719 2630.2565

4608,8583 3430,1977 2759,4477 3573,7049 3156,9084 1571,3535 422,3000 -995,6848 5897,0252 5228,8438 4278,7321 3235,9296 3293,7103

10555,4 7578,9 7996163,14

5744734,07

-

45576,9481

40461,3270

Total

Tabelul 2.3.2 (continuare) xt* = xt −

yt* = yt −

xt* = xt −

yt* = yt −

− 0,8878 yt −1

− 0,8878xt −1

− 0,9016 yt −1

− 0,9016 xt −1

9

10

11

12

-27,7030 17,1616 52,2995 60,3260 108,2056 97,1156 41,2501 119,5053 59,3959 67,5776 93,7582 86,9458 115,2111

-14,8081 18,0219 86,7364 104,4925 131,7118 116,5473 40,9370 48,3596 71,5302 93,8537 121,8924 122,8943 128,8921

-35,4029 10,7085 46,3337 54,3078 102,0299 90,1392 33,7159 112,2472 51,3025 59,5726 85,7186 78,5142 106,5254

-26,6527 7,7112 77,3342 94,9481 121,7959 105,9260 29,8987 37,9951 61,6613 84,1049 111,9420 112,3779 117,8593

891,0494

1071,0611

795,7127

936,9018

Modele econometrice cu o singură ecuaţie şi cu ecuaţii multiple

Utilizând pachetul de programe EViews în vederea estimării parametrilor modelului au fost obţinute următoarele rezultate: Dependent Variable: yt Method: Least Squares Sample: 1990 2003 Included observations: 14 Variable

Coefficient

Semnif. ind.

Std. Error

C

-67,6561

aˆ

250,0188

saˆ

-0,2706

t aˆ

0,7913

xt

0,8077

bˆ

0,3308

sbˆ

2,4416

tbˆ

0,0311 p bˆ

R-squared

0,3319

R2

Mean dependent var 541,35

y

Semnif. Semnif. t-Statistic ind. ind.

Adjusted RS.D. dependent var 0,2762 Rc2 squared S.E. of suˆ Akaike info criterion 64,3567 regression Sum squared ∑ ( y t − yˆ t )2 = Schwarz criterion 49701,46 = ∑ uˆ t2 resid Log -77,0883 L F-statistic likelihood DurbinProb(F-statistic) 0,1969 d Watson stat

75,6474

sy

11,2983

AIC

11,3896

SC

5,9615

Fc

0,0311

p(F)

Prob. p(aˆ)

()

Semnificaţia indicatorilor necunoscuţi pe care-i calculează pachetul de programe EViews a fost prezentată în cadrul aplicaţiei 2.1.2. Pe baza estimatorilor parametrilor au fost calculate valorile estimate ale variabilei y, yˆ t = −67,6561 + 0,8077 xt şi ale variabilei reziduale, uˆt = yt − yˆt . Valorile acestora sunt prezentate în cadrul tabelului 2.3.3

(utilizând pachetul de programe EViews): Actual

Fitted

yt

yˆ t

Residual ˆ ut = yt − yˆt

557,7 467,4 432,1

625,3095 535,5688 482,4191

-67,6095 -68,1688 -50,3191

Tabelul 2.3.3 Residual Plot (graficul reziduurilor)

| * | *. | .*

| | |

. | . | . |

Econometrie. Studii de caz

Actual

Fitted

yt

yˆ t

Residual uˆt = yt − yˆt

435,9 447,3 505,3 545,7 525,7 586,2 579,8 582,3 610,7 629,1 673,7

490,7389 512,4673 553,7431 578,1371 538,7191 509,7210 502,6936 514,4867 547,6043 577,8140 609,4776

-54,8389 -65,1673 -48,4431 -32,4371 -13,0191 76,4790 77,1064 67,8133 63,0957 51,2860 64,2224

Residual Plot (graficul reziduurilor)

| | | | | | | | | | |

.* | * | .* | . * | . *| . | . | . | . | . | . |

- dispersia variabilei reziduale 2

s uˆ

(y =∑

t

− yˆ t )

2

=

n − k −1

49701,4613 = 4141,7884 14 − 2

unde: k = numărul variabilelor exogene. (vezi tabelul afişat de programul EViews) - abaterea medie pătratică a variabilei reziduale, suˆ :

∑ (y

− yˆ t )

2

= 4141,7884 = 64,3567 n − k −1 (vezi tabelul afişat de programul EViews) suˆ =

t

- abaterile medii pătratice ale celor doi estimatori: ⎡1 ⎤ x2 saˆ = su2ˆ ⎢ + = 250,0188 2⎥ ⎣⎢ n ∑ ( xt − x ) ⎦⎥ sbˆ =

su2ˆ = 0,3308 2 ∑ (xt − x )

(vezi tabelul afişat de programul EViews)

. | . | . | . | . | . *| . *| * | * | *. | * |

Modele econometrice cu o singură ecuaţie şi cu ecuaţii multiple

- raportul de corelaţie: 14

R = R2 = 1−

∑(y t =1 14

t

− yˆ t )

∑ ( yt − y )

14

2

= 1−

2

∑(y t =1

t

− yˆ t )

2

s y2 ⋅ (n − 1)

t =1

R = 1−

49701,4613 = 0,3319 = 0,5761 74392,875

(vezi tabelul afişat de programul EViews) - variabila Durbin-Watson, d: 14

d=

∑ (uˆ t =2

t

− uˆ t −1 )

14

∑ uˆ

2

2 t

=

9784,7173 = 0,20 49701,4613

t =1

(vezi tabelul afişat de programul EViews) Astfel modelul estimat devine: yˆ t = −67,6561 + 0,8077 xt ; R = 0,576

(250,0188) (0,3308)

d = 0,20 suˆ = 64,3567

Verificarea semnificaţiei modelului necesită: - verificarea ipotezei de independenţă a erorilor; - verificarea ipotezei de homoscedasticitate a erorilor; - verificarea semnificaţiei estimatorilor; - verificarea semnificaţiei raportului de corelaţie. Verificarea ipotezei de independenţă a erorilor, care presupune cov( u t , u t −1 ) = 0 , se realizează cu ajutorul testului Durbin-Watson, constând în calcularea variabilei d şi compararea sa cu două valori teoretice, d 1 şi d2

(d1 = 1,08; d 2 = 1,36) ,

preluate din tabela distribuţiei Durbin-Watson în

funcţie de un prag de semnificaţie α

(α = 0,05) ,

de numărul variabilelor

Econometrie. Studii de caz

explicative k

( k = 1)

şi de numărul observaţiilor n

( n ≥ 15) . Observaţie:

tabela Durbin-Watson este construită pentru un număr de observaţii n ≥ 15; pentru valori inferioare se va lucra cu valorile calculate pentru n = 15 . adică d1 = 1,08, d 2 = 1,36 . Deoarece valoarea calculată d = 0,2 este cuprinsă în intervalul 0 < d = 0,2 < d 1 = 1,08 , aceasta indică existenţa unei autocorelări pozitive.

Din acest motiv, nu mai are sens testarea celorlalte ipoteze, a semnificaţiei estimatorilor şi a raportului de corelaţie, estimatorii nemaifiind eficienţi, deci se impune mai întâi eliminarea fenomenului de autocorelaţie a erorilor. Un alt procedeu de verificare a ipotezei de independenţă a erorilor constă în aplicarea testului Breusch-Godfrey11, acest test fiind utilizat în vederea depistării unei autocorelaţii de ordin superior. Ca urmare a presupunerii existenţei unei autocorelaţii de ordin superior se construieşte următorul model: u t = r1u t −1 + r2 u t − 2 + K + rp u t − p + z t unde: zt = variabilă reziduală de medie zero şi dispersie constantă. Ipoteza nulă care stă la baza testului este aceea potrivit căreia toţi coeficienţii corespunzători valorilor decalate ale variabilei reziduale sunt simultan egali cu zero, fapt ce implică inexistenţa fenomenului de autocorelaţie a erorilor. În vederea aplicării testului sunt estimate valorile variabilei reziduale ut în urma aplicării M.C.M.M.P. asupra modelului iniţial. Variabila reziduală ut este apoi regresată în funcţie de variabilele exogene iniţiale ale modelului şi de valorile sale decalate, respectiv ut-1, ut-2,…, ut-p. În cazul acestei regresii este calculată valoarea coeficientului de determinare R2 şi a unei variabile de forma: BG = (n-p) R2. Presupunând că ne aflăm în situaţia unui eşantion de volum mare, variabila BG este asimptotic distribuită sub

11

cf. Damodar N. Gujarati, Basic Econometrics, 3rd ed., Mc Graw-Hill, New York, 1995, p. 425

Modele econometrice cu o singură ecuaţie şi cu ecuaţii multiple

forma unui χ α2 ;v , pentru care numărul gradelor de libertate este egal cu: v = p , unde p = mărimea decalajului , respectiv: BG~ χ α2 ;v . Dacă BG > χ α2 ;v , ipoteza nulă este respinsă, ceea ce presupune că există cel puţin un coeficient de autocorelaţie nenul. Aplicarea testului Breusch-Godfrey s-a realizat utilizând pachetul de programe EViews (presupunând ca mărimea decalajului este p = 2): Breusch-Godfrey Serial Correlation LM Test: F-statistic Obs*R-squared

16,6537 10,7673

Probability Probability

0,0007 0,0046

Test Equation: Dependent Variable: ut Method: Least Squares Variable C xt ut-1 ut-2 R-squared Adjusted R-squared S.E. of regression Sum squared resid Log likelihood Durbin-Watson stat

Coefficient

Std. Error

t-Statistic

166,6378 -0,2158 1,0098 -0,0880

146,9445 0,1935 0,2999 0,3298

1,1340 -1,1154 3,3669 -0,2667

0,7691 0,6998 33,8769 11476,43 -66,8281 1,4994

Mean dependent var S.D. dependent var Akaike info criterion Schwarz criterion F-statistic Prob(F-statistic)

Prob. 0,2832 0,2908 0,0072 0,7951 -3,45E-14 61,8319 10,1183 10,3009 11,1025 0,0016

În cazul utilizării pachetului de programe EViews există două variante de aplicare a testului Breusch-Godfrey: - utilizarea testului Fisher–Snedecor aplicat în vederea verificării existenţei unor variabile absente (omise) în model, având următoarea relaţie de calcul: R2 p Fc = (1 − R 2 ) (n − m)

Econometrie. Studii de caz

unde: p = numărul de variabile noi adăugate în model, respectiv ut-1, ut-2,…, ut-p; m = numărul total de parametri corespunzători noului model. Dacă Fc < Fα ;v1 ;v2 , unde v1 = p şi v2 = n-m, ipoteza conform căreia estimatorii corespunzători noilor parametri adăugaţi în model sunt nuli este verificată, respectiv, în cazul nostru, fenomenul de autocorelare a erorilor nu este prezent, cazul contrar implicând existenţa cel puţin a unei autocorelaţii de ordinul întâi. Cum Fc = 16,6537 > F0,05; 2;10 = 4,10 , rezultă că noul model este incorect specificat, indicând astfel prezenţa unei autocorelaţii de ordinul întâi. - utilizarea testului LM, calculat ca produs între numărul de observaţii corespunzătoare modelului, n, şi coeficientul de determinare, R2, corespunzător acestei regresii auxiliare. În general, testul LM este asimptotic distribuit sub forma unui χ α2 ;v , pentru care numărul gradelor de libertate este egal cu: v = p , unde p = mărimea decalajului, respectiv: LM = n ⋅ R 2 ~ χ α2 ;v Dacă LM > χ α2 ;v , erorile sunt autocorelate, în caz contrar, sunt independente, respectiv ipoteza nulităţii parametrilor, r1 = r2 = 0 , este acceptată. Se constată astfel că pachetul de programe nu utilizează relaţia clasică de calcul a testului Breusch-Godfrey, respectiv: BG = (n-p)·R2. Deoarece LM = 10,7673 > χ 02,05; 2 = 5,99147 , aceasta implică existenţa a cel puţin unei autocorelaţii de ordinul întâi, ce poate fi remarcată şi pe baza semnificaţiei parametrului corespunzător valorii decalate cu o perioadă a variabilei reziduale. În cazul calculării în varianta clasică a testului Breusch-Godfrey, respectiv: BG = 12 ⋅ 0,7691 = 9,2291 > χ 02,05; 2 = 5,99147 , se ajunge la aceleaşi concluzii menţionate anterior. Eliminarea fenomenului de autocorelare a erorilor presupune efectuarea următoarelor operaţii: - erorile fiind corelate, adică: u t = r(1) u t −1 + z t (1)

Modele econometrice cu o singură ecuaţie şi cu ecuaţii multiple

se va estima valoarea coeficientului de autocorelaţie de ordinul 1: 14

r(1) =

∑ uˆ uˆ t =2 14

t

∑ uˆ t =2

t −1

=

2 t −1

40461,327 = 0,89 45576,9481

(vezi tabelul 2.3.2., coloanele 6, 7, 8) - ştiind că: y t = a + bx t + u t ⇒ u t = y t − a − bx t y t −1 = a + bx t −1 + u t −1 ⇒ u t −1 = y t −1 − a − bx t −1 expresiile obţinute pentru u t şi u t −1 vor fi înlocuite în relaţia (1) şi se obţine: y t − a − bx t = r(1) ( y t −1 − a − bx t −1 ) + z t

(

) (

)

y t − r(1) y t −1 = a 1 − r(1) + b x t − r(1) x t −1 + z t Notând cu:

y t* = y t − r(1) y t −1 x t* = x t − r(1) x t −1

(

a 1 = a 1 − r(1)

)

b1 = b se obţine: y t* = a1 + b1 xt* + z t ⇒ yˆ t* = aˆ1 + bˆ1 xt*

(2)

În vederea estimării parametrilor a$ 1 şi b$1 se aplică M.C.M.M.P.:

(

)

14

(

F aˆ1 , bˆ1 = min ∑ yt* − aˆ1 − bˆ1 xt* t =2

)

2

F ′( a 1 ) = 0 ⇒ ( n − 1) a$ 1 + b$1 ∑ x t* = ∑ y t*

( ) =∑y x

F ′(b1 ) = 0 ⇒ a$ 1 ∑ x t* + b$1 ∑ x t*

2

* * t t

Econometrie. Studii de caz

În urma aplicării programului EViews, rezultatele estimării noului modelului au fost următoarele: *

Dependent Variable: y t

Method: Least Squares Sample: 1991 2003 Included observations: 13 Variable

Coefficient

Std. Error

t-Statistic

Prob.

C

9,5845

15,4322

0,6211

0,5472

* t

0,7156

0,1645

4,3505

0,0012

x

R-squared Adjusted R-squared S.E. of regression Sum squared resid Log likelihood Durbin-Watson stat

0,6324 0,5990 26,6176 7793,4860 -60,0208 1,7216

Mean dependent var S.D. dependent var Akaike info criterion Schwarz criterion F-statistic Prob(F-statistic)

68,5423 42,0350 9,5417 9,6286 18,9270 0,0012

Ca şi în cazul modelului iniţial se vor calcula valorile estimate ale variabilei y t* , ⇒ yˆ t* = 9 ,5845 + 0 , 7156 x t* şi ale variabilei reziduale, zˆ t = y t* − yˆ t* . Valorile acestora sunt prezentate în cadrul tabelului 2.3.4 (utilizând pachetul de programe EViews): Tabelul 2.3.4 Actual

y

* t

-27,7030 17,1616 52,2995 60,3260 108,2056 97,1156 41,2501 119,5053 59,3959 67,5776 93,7582 86,9458 115,2111

Fitted

yˆ

* t

-1,0121 22,4810 71,6530 84,3593 103,8374 92,9857 38,8790 44,1907 60,7715 76,7461 96,8106 97,5276 101,8196

Residual

zˆ t = y t* − yˆ t* -26,6909 -5,3194 -19,3535 -24,0332 4,3682 4,1299 2,3711 75,3147 -1,3755 -9,1686 -3,0525 -10,5818 13,3914

Residual Plot (graficul reziduurilor)

| | | | | | | | | | | | |

* | . . *| . .* | . * | . . |* . . |* . . * . . | . . * . . *| . . *| . .*| . . |*.

| | | | | | | *| | | | | |

Modele econometrice cu o singură ecuaţie şi cu ecuaţii multiple

Pe baza calculelor prezentate mai sus rezultă modelul: yˆt* = 9,5845 + 0,7156 xt* ; R′ = 0,795

(15,4322) (0,1645)

d ′ = 1,72 s zˆ = 26,6176

(3)

Utilizând testul Durbin-Watson pentru a verifica dacă fenomenul de autocorelaţie a fost eliminat - pentru un prag de semnificaţie α = 0,05, k = 1, n = 13 ≅ 15 , valorile teoretice ale variabilei Durbin-Watson sunt d 1 = 1,08, d 2 = 1,36 . În comparaţie cu acestea, valoarea empirică d ′ = 1,72 se situează astfel: d 2 = 1,36 < d ′ = 1,72 < 4 − d 2 = 2,64 , ceea ce indică fenomenul de independenţă a erorilor, deci fenomenul de autocorelaţie a fost eliminat. Verificarea ipotezei de homoscedasticitate a erorilor în cazul acestui model se va realiza cu ajutorul testului White (vezi aplicaţia 2.1.2). Utilizând programul EViews au fost obţinute următoarele rezultate: White Heteroskedasticity Test: F-statistic Obs*R-squared

0,8259 1,8430

Probability Probability

0,4656 0,3979

Test Equation: Dependent Variable: z t∗2 Method: Least Squares Sample: 1991 2003 Included observations: 13 Variable C

x

* t

xt*

2

R-squared Adjusted R-squared S.E. of regression Sum squared resid Log likelihood Durbin-Watson stat

Coefficient

Std. Error

t-Statistic

Prob.

927,8680

1016,2720

0,9130

0,3827

18,3437

32,0687

0,5720

0,5799

-0,2090

0,2342

-0,8925

0,3931

0,1418 -0,0299 1564,9870 24491851 -112,3641 2,7426

Mean dependent var S.D. dependent var Akaike info criterion Schwarz criterion F-statistic Prob(F-statistic)

599,4989 1542,118 17,7483 17,8787 0,8259 0,4656

Econometrie. Studii de caz

Analizând rezultatele afişate de programul EViews se constată că Fc = 0,8259 < F0,05; 2;10 = 4,10

şi

LM = 1,843 < χ 02,05; 2 = 5,99147 ,

iar

estimatorii parametrilor modelului sunt nesemnificativi pentru un prag de semnificaţie α = 0,05 ( t0,05;10 = 2,228 ), deci ipoteza de homoscedasticitate se verifică. Estimatorii modelului sunt semnificativ diferiţi de zero dacă: aˆ1 t aˆ1 = ≥ tα ;(n −1)− k −1 s aˆ1 t aˆ1 = t bˆ = 1

9,5845 = 0,6211 15,4322 bˆ1 sbˆ

≥ tα ;(n −1)− k −1

1

t bˆ = 1

0,7156 = 4,3505 0,1645

Lucrând cu un prag de semnificaţie α

(α = 0,05) ,

din tabela

distribuţiei Student se preia valoarea t 0,05;11 = 2,201 . Comparând această valoare cu valorile calculate pentru cei doi estimatori, se constată că: - t aˆ1 = 0,6211 < t0, 05;11 = 2,201 ⇒ parametrul a$ 1 nu este semnificativ diferit de zero; - t bˆ = 4,3505 > t 0,05;11 = 2,201 ⇒ parametrul b$1 este semnificativ 1

diferit de zero. Raportul de corelaţie este semnificativ diferit de zero dacă se verifică inegalitatea: Fc ≥ Fα ;v1 ;v2 , unde valoarea empirică a variabilei Fisher-Snedecor este: Fc = ((n − 1) − 2)

R2 0,3319 = 11 ⋅ = 5,9615 2 1 − 0,3319 1− R

Din tabela distribuţiei Fisher-Snedecor, cu un prag de semnificaţie de 5% şi în funcţie de numărul gradelor de libertate v1 = k = 1 şi v 2 = (n − 1) − k − 1 = 11 se preia valoarea teoretică F0,05;1;11 = 4,84 . Se

Modele econometrice cu o singură ecuaţie şi cu ecuaţii multiple

constată că

Fc = 5,9615 > F0, 05;1;11 = 4,84 , deci pentru un prag de

semnificaţie de 5%, valoarea raportului de corelaţie este semnificativ diferită de zero. În concluzie, modelul yˆt* = 9,5845 + 0,7156 xt* poate fi apreciat ca reprezentativ pentru descrierea dependenţei dintre consumul final real al gospodăriilor populaţiei şi PIB-ul real. O altă variantă a metodei de eliminare a fenomenului de autocorelare a erorilor prezentate mai sus constă în determinarea coeficientului de autocorelaţie de ordinul 1 pe baza variabilei Durbin-Watson, d, pentru a facilita utilizarea pachetului de programe EViews în vederea eliminării autocorelaţiei erorilor (utilizând programul autocorelaţie.prg): d 0,20 r(1) = 1 − = 1 − = 0,90 2 2 Rezultatele estimării modelului (2), utilizând pachetul de programe EViews12, sunt următoarele: Dependent Variable: y t∗ Method: Least Squares Sample(adjusted): 1991 2003 Included observations: 13 after adjusting endpoints Variable

Coefficient

Std. Error

t-Statistic

Prob.

C

10,1602 0,7083

13,8505 0,1628

0,7336 4,3506

0,4786 0,0012

0,6325 0,5990

Mean dependent var S.D. dependent var

x t∗ R-squared Adjusted R-squared 12

61,2087 41,9044

Pentru a elimina autocorelaţia erorilor cu ajutorul pachetului de programe EViews a fost utilizat următorul program (conform http://www.cip.dauphine.fr/bourbonnais/eco.html) denumit autocorelatie.prg: 'Estimarea directa a coeficientului de autocorelatie notat cu rau plecand de la statistica DW' Equation eq1.ls y c x genr res = resid scalar rau1=1-@dw/2 genr dy=y-rau1*y(-1) 'Se genereaza qvasi-diferentele.' genr dx=x-rau1*x(-1) equation eqm1.ls dy c dx 'Régresie denumita eqm1' scalar am1=c(1)/(1-rau1) 'Coef de reg.'

Econometrie. Studii de caz

S.E. of regression Sum squared resid Log likelihood Durbin-Watson stat

26,5346 7744,9060 -59,9802 1,75

Akaike info criterion Schwarz criterion F-statistic Prob(F-statistic)

9,5354 9,6223 18,9279 0,0012

Valorile estimate ale variabilei y t* şi ale variabilei reziduale, zˆ t = y t* − yˆ t* sunt prezentate în cadrul tabelului 2.3.5 (utilizând pachetul de programe EViews): Tabelul 2.3.5 Actual

y

* t

Fitted

yˆ

-35,2893 10,8036 46,4217 54,3965 102,1210 90,2420 33,8270 112,3543 51,4219 59,6906 85,8372 78,6385 106,6535

* t

-8,5948 15,7300 65,0361 77,5139 96,5348 85,3011 31,4535 37,1813 53,9395 69,8356 89,5554 89,8700 93,7580

Residual Plot (graficul reziduurilor)

Residual zˆ t = y t* − yˆ t*

-26,6945 -4,9263 -18,6144 -23,1174 5,5862 4,9410 2,3735 75,1730 -2,5176 -10,1449 -3,7182 -11,2314 12,8955

| | | | | | | | | | | | |

* | . . *| . .* | . * | . . |* . . |* . . * . . | . . * . .*| . . *| . .*| . . |*.

| | | | | | | *| | | | | |

Pe baza calculelor prezentate mai sus rezultă modelul: yˆ t* = 10,1602 + 0,7083 xt* ;

(13,8505) (0,1628)

R ′ = 0,795 d ′ = 1,75

(4)

s zˆ = 26,5346 Utilizând testul Durbin-Watson pentru a verifica dacă fenomenul de autocorelaţie a fost eliminat - pentru un prag de semnificaţie α = 0,05, k = 1, n = 13 ≅ 15 valorile teoretice ale variabilei Durbin-Watson

Modele econometrice cu o singură ecuaţie şi cu ecuaţii multiple

sunt d 1 = 1,08, d 2 = 1,36 . În comparaţie cu acestea, valoarea empirică d ′ = 1,75 se situează astfel: d 2 = 1,36 < d ′ = 1,75 < 4 − d 2 = 2,64 , ceea ce indică fenomenul de independenţă a erorilor, deci fenomenul de autocorelaţie a fost eliminat. Verificarea ipotezei de homoscedasticitate a erorilor în cazul acestui model se va realiza cu ajutorul testului White. Utilizând programul EViews au fost obţinute următoarele rezultate: White Heteroskedasticity Test: F-statistic Obs*R-squared

0,8302 1,8512

Probability Probability

0,4639 0,3963

Test Equation: Dependent Variable: z t2 Method: Least Squares Sample: 1991 2003 Included observations: 13 Variable

Coefficient

Std. Error

t-Statistic

Prob.

C

1108,2070

824,2150

1,3446

0,2085

xt*

13,6436

26,6751

0,5115

0,6201

-0,2067

0,2293

-0,9013

0,3886

*2

xt

R-squared Adjusted R-squared S.E. of regression Sum squared resid Log likelihood Durbin-Watson stat

0,1424 -0,0291 1557,6090 24261469,0 -112,3026 2,7474

Mean dependent var S.D. dependent var Akaike info criterion Schwarz criterion F-statistic Prob(F-statistic)

595,7620 1535,4140 17,7389 17,8692 0,8302 0,4639

Analizând rezultatele afişate de programul EViews se constată că Fc = 0,8302 < F0,05; 2;10 = 4,10

şi

LM = 1,8512 < χ 02,05; 2 = 5,99147 ,

iar

estimatorii parametrilor modelului sunt nesemnificativi pentru un prag de semnificaţie α = 0,05 ( t0,05;10 = 2,228 ), deci ipoteza de homoscedasticitate se verifică.

Econometrie. Studii de caz

Pentru a verifica semnificaţia estimatorilor parametrilor modelului, lucrând cu un prag de semnificaţie α (α = 0,05) , din tabela distribuţiei Student se preia valoarea t 0,05;11 = 2,201 . Comparând această valoare cu valorile calculate pentru cei doi estimatori, se constată că: - t aˆ1 = 0,7336 < t 0,05;11 = 2,201 ⇒ parametrul a$ 1 nu este semnificativ diferit de zero; - t bˆ = 4,3506 > t 0.05;11 = 2,201 ⇒ parametrul b$1 este semnificativ 1

diferit de zero. Pentru a verifica semnificaţia raportului de corelaţie, din tabela distribuţiei Fisher-Snedecor, cu un prag de semnificaţie de 5% şi în funcţie de numărul gradelor de libertate v1 = k = 1 şi v 2 = (n − 1) − k − 1 = 11 se preia

valoarea

teoretică

F0,05;1;11 = 4,84 .

Se

constată

că

Fc = 18,9279 > F0,05;1;11 = 4,84 , deci pentru un prag de semnificaţie de 5%, valoarea raportului de corelaţie este semnificativ diferită de zero. În concluzie, şi acest model, yˆ t* = 10,1602 + 0,7083 xt* , poate fi apreciat ca reprezentativ pentru descrierea dependenţei dintre consumul final real al gospodăriilor populaţiei şi PIB-ul real. c) Analiza capacităţii de prognoză a modelului privind dependenţa dintre dintre consumul final real al gospodăriilor populaţiei şi PIB-ul real în România în perioada 1981-2003 poate fi realizată pe baza indicatorilor statistici propuşi de H. Theil13. Aceşti indicatori, adaptaţi modelui supus analizei, au fost calculaţi pe baza următoarelor relaţii: • coeficientul Theil

(

T=

1 n * yˆ t − y t* ∑ n t =1

)

2

1 n *2 1 n *2 ˆ y + ∑ t ∑ yt n t =1 n t =1

ale cărui valori sunt cuprinse în intervalul [0, 1]. 13

cf. R. S. Pindyck, D. S. Rubinfeld, Econometric Models and Economic Forecasts, 5th ed., Mc Graw-Hill, New York, 1981, p. 364-366.

Modele econometrice cu o singură ecuaţie şi cu ecuaţii multiple

Semnificaţia acestui indicator este invers proporţională cu mărimea lui, respectiv cu cât valoarea acestuia este mai mică, tinzând către zero, cu atât capacitatea de prognoză a modelului este mai bună. •

ponderea abaterii

T = A

(yˆ

*

(

− y*

)

2

1 n * yˆ t − y t* ∑ n t =1

)

2

(yˆ =

*

− y*

σ z2

)

2

unde: *

yˆ = media valorilor teoretice ale variabilei endogene; *

y = media valorilor reale ale variabilei endogene; σz2 = dispersia variabilei reziduale necorectată cu numărul gradelor de

libertate. Interpretarea acestui indicator, care evidenţiază existenţa unor erori sistematice, este aceea că, în cazul ideal14, valoarea sa este egală cu zero, aceasta tinzând către unu în cazul unor erori de estimare de-a lungul întregii serii de timp. •

ponderea dispersiei

TD =

(σ

yˆ t*

(

− σ y* t

(

)

2

1 n * ∑ yˆ t − yt* n t =1

)

2

⎡ 1 n * * ⎢ ∑ yˆ t − yˆ n t =1 ⎢ =⎣

)

2

(

1 n * − ∑ yt − y * n t =1

)

2

⎤ ⎥ ⎥⎦

2

σ z2

care este definită tot în intervalul [0, 1], aceasta măsurând evoluţia oscilantă a celor două serii, respectiv seria ajustată şi seria empirică a variabilei endogene. Acest indicator are aceeaşi semnificaţie ca şi cei precedenţi, 14

Demn de menţionat este faptul că, în cazul estimării parametrilor unui model statistic cu ajutorul metodei celor mai mici pătrate, valoarea acestui indicator este egală cu zero, acesta fiind discriminant numai în cazul utilizării altor procedee de estimare, cum ar fi, de exemplu, metoda grafică, metoda punctelor empirice sau metoda punctelor medii.

Econometrie. Studii de caz

respectiv o valoare scăzută indică o capacitate bună de prognoză, în timp ce o valoare apropiată de unu exprimă o eroare de specificare a modelului. •

ponderea covarianţei 2(1 − r )σ yˆ * σ y * t t TC = n 2 1 yˆ t* − yt* ∑ n t =1

(

)

unde: r = coeficientul de corelaţie liniară dintre valoarea estimată a variabilei ˆ* endogene, yt , şi cea reală, yt* :

∑ (yˆ n

r=

t =1

* t

)(

− yˆ * yt* − y *

)

nσ yˆ * σ y * t

t

Se poate observa uşor că semnificaţia acestui indicator este analogă cu a celor menţionaţi anterior. De altfel cei patru indicatori se regăsesc în următoarea ecuaţie propusă de Theil:

(

)

(

)

2 2 1 n * * 2 * * ⎛⎜ σ * − σ ⎞⎟ + 2(1 − r )σ * σ * ˆ ˆ y − y = y − y + * ∑ t t y yˆ t yt t ⎠ ⎝ yˆ t n t =1

a cărei interpretare se realizează prin intermediul semnificaţiei acestor indicatori. În urma calculelor efectuate cu ajutorul pachetului de programe EViews în vederea testării capacităţii de prognoză a modelului privind dependenţa dintre dintre consumul final real al gospodăriilor populaţiei şi PIB-ul real în perioada 1981-2003 au rezultat următoarele informaţii, prezentate în tabelul 2.3.6.

Modele econometrice cu o singură ecuaţie şi cu ecuaţii multiple

În urma analizei rezultatelor obţinute se constată că modelul posedă o bună capacitate de prognoză, ca urmare a valorilor mici înregistrate în cazul coeficientului Theil, a ponderii abaterii şi a ponderii dispersiei şi, deci, poate fi acceptat în vederea realizării unei prognoze a consumului final real al gospodăriilor populaţiei. Rezultatele testării capacităţii de prognoză a modelului privind dependenţa dintre consumul final real al gospodăriilor populaţiei şi PIB-ul real în România în perioada 1981-2003 Denumirea indicatorului

Simbolul indicatorului

0

1

Coeficientul Theil Ponderea abaterii Ponderea dispersiei Ponderea covarianţei

T TA TD TC

Tabelul 2.3.6 Valoarea indicatorului

2 0,1577 0,0000 0,1140 0,8860

Astfel, dacă valoarea PIB-ului real în anul 2004 a fost egală cu 907,8 mld. lei preţuri comparabile (1990=100), atunci: * x 2004 = 907,8 − 838,3 ⋅ 0,89 = 163,6272 mld. lei preţuri comparabile

Valoarea estimată a consumului final real al gospodăriilor populaţiei în anul 2004, utilizând rezultatele estimării obţinute în cazul modelului (3) este egală cu: yˆ * = aˆ + bˆ x * = 9,5845 + 0,7156 ⋅ 163,6272 = 126,676 mld.lei 2004

1

1 2004

preţuri comparabile Pe baza ipotezei formulate la punctele precedente, consumul final real al gospodăriilor populaţiei, y*, urmează o distribuţie normală (sau * şi de abatere medie distribuţia Student, dacă n ≤ 30 ), de medie yˆ 2004

( )

(

* pătratică s yˆ * , L y * = N yˆ 2004 , s yˆ * 2004

2004

).

* * Pentru x 2004 = 163,6272 ⇒ yˆ 2004 = 126,676

Econometrie. Studii de caz

s yˆ*

2004

s yˆ*

2004

(

) )

2 * ⎛ 1 ⎛ 1 (163,6272 − 82,3893)2 ⎞ − x * ⎞⎟ x2004 ⎜ ⎜1 + + ⎟ = s 1+ + = ⋅ 708 , 4988 ⎜ 13 ⎟ * * 2 ⎟ ⎜ n′ 26186 , 7452 − x x ⎝ ⎠ ∑ t ⎝ ⎠ = 30,6848 2 z

(

Estimarea consumului final real al gospodăriilor populaţiei, pe baza unui interval de încredere, se calculează cu relaţia: * * * P yˆ 2004 − t α s yˆ * ≤ y 2004 ≤ yˆ 2004 + t α s yˆ * = 1 − α

(

2004

2004

)

Pentru α = 0,05 şi v = n − k − 1 = 11 , din tabela distribuţiei Student se preia valoarea variabilei tα ;v = t 0,05;11 = 2,201 . Deci, cu un prag de semnificaţie de 0,05 sau cu o probabilitate egală cu 0,95, valoarea estimată a consumului final real al gospodăriilor populaţiei României în anul 2004 va fi cuprinsă în intervalul: * P ( y 2004 ∈ [126,676 ± 2,201 ⋅ 30,6848]) = 1 − 0,05 = 0,95

* P ( y 2004 ∈ [59,14;194,21]) = 0,95

2.1.4 Model unifactorial neliniar

Se cunosc următoarele date privind consumul final real al gospodăriilor populaţiei şi venitul disponibil net real al populaţiei în România, în perioada 1985-2001, exprimate în miliarde lei preţuri comparabile (1990=100):

Anul

Consumul final real al gospodăriilor populaţiei (1990=100) mld.lei

Tabelul 2.4.1 Venitul disponibil net real al populaţiei (1990=100) mld.lei

0

1

2

1985 1986 1987 1988

442,0 448,1 472,1 513,2

492,5 500,1 518,1 527,1

Modele econometrice cu o singură ecuaţie şi cu ecuaţii multiple

Anul

Consumul final real al gospodăriilor populaţiei (1990=100) mld.lei

Venitul disponibil net real al populaţiei (1990=100) mld.lei

1989 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001

516,6 557,7 467,4 432,1 435,9 447,3 505,3 545,7 525,7 586,2 579,8 582,3 610,7

558,1 588,1 455,9 438,7 455,3 489,3 560,4 584,6 559,4 493,3 513,7 525,7 526,2

Notă: Ambii indicatori sunt calculaţi conform metodologiei de calcul a Sistemului European al Conturilor Economiei Integrate - SEC 1979. Consumul final al populaţiei a fost deflaţionat cu ajutorul deflatorului consumului final al populaţiei exprimat în preţuri constante (1990 = 100), iar venitul disponibil net al populaţiei a fost deflaţionat cu ajutorul deflatorului PIB exprimat în preţuri constante (1990 = 100), obţinut în urma prelucrării datelor din Raportul Anual BNR. Acesta a fost deflaţionat cu ajutorul deflatorului PIB în preţuri constante (1990 = 100). Datele provin de la Ministerul Prognozei şi Dezvoltării. Sursa: Date prelucrate pe baza Anuarului Statistic al României 1995, CNS, Bucureşti, 1996, p. 370372, Anuarului Statistic al României 1996, INS, Bucureşti, 1997, p. 364-366, Anuarului Statistic al României 2001, INS, Bucureşti, 2002, p. 278, 280, Anuarului Statistic al României 2003, INS, Bucureşti, 2004, p. 284, 286, Raportului Anual 1999, BNR, Bucureşti, 2000, p. 6*-9*, Raportului Anual 2000, BNR, Bucureşti, 2001, p. 6*-7*, Raportului Anual 2002 BNR, Bucureşti, 2003, p. 4*-5*, Dobrescu, E., Macromodels of the Romanian Transition Economy, Second Edition, Editura Expert, Bucharest, 1998, p. 184.

Se cere: a) Să se construiască modelul econometric ce descrie legătura dintre cele două variabile şi să se interpreteze semnificaţia parametrilor modelului; b) Să se estimeze parametrii modelului şi să se verifice semnificaţia acestora.

Econometrie. Studii de caz

Rezolvare: a) Pentru a construi modelul econometric care descrie relaţia dintre consumul final real al gospodăriilor populaţiei şi venitul disponibil net real al populaţiei se porneşte de la reprezentarea grafică a celor două variabile: y = consumul final real al gospodăriilor populaţiei; x = venitul disponibil net real al populaţiei. y 620 610 600 590 580 570 560 550 540 530 520 510 500 490 480 470 460 450 440 430

x 430 440 450 460 470 480 490 500 510 520 530 540 550 560 570 580 590 600

Figura 2.4.1.

În urma reprezentării grafice a distribuţiei punctelor empirice se constată că aceasta poate fi aproximată cu ajutorul unei funcţii neliniare, respectiv funcţia putere. Modelul econometric care descrie legătura dintre cele două variabile se transformă într-un model neliniar unifactorial: y = ax b ⋅ u . Acest model neliniar se transformă în model liniar prin logaritmare: ln y = ln a + b ln x + ln u Notând: ln y = zt ; ln x = vt ; ln u = wt , se obţine:

z t = ln a + bv t + wt

Modele econometrice cu o singură ecuaţie şi cu ecuaţii multiple

Semnificaţia economică a parametrului b, ţinând cont de semnificaţia celor două variabile, este că acesta reprezintă panta dreptei sau coeficientul de regresie al consumului în funcţie de venit. El reprezintă în acelaşi timp înclinaţia marginală spre consum, care, în acest caz, este egală cu elasticitatea consumului în funcţie de venit, fiind şi constantă: d ln y Ry x = E y x = =b d ln x b) Estimarea parametrilor modelului econometric de la punctul a) se realizează cu ajutorul M.C.M.M.P.:

(

)

17

17

(

2 F ln aˆ , bˆ = min ∑ ( zt − zˆt ) = min ∑ zt − ln aˆ − bˆvt t =1

t =1

17

17

t =1

t =1

)

2

F ′(ln aˆ ) = 0 ⇒ n ln aˆ + bˆ∑ vt = ∑ zt

()

17

17

17

t =1

t =1

t =1

F ′ bˆ = 0 ⇒ ln aˆ ∑ vt + bˆ∑ vt2 = ∑ zt vt Datele necesare rezolvării modelului se obţin pe baza tabelului de mai jos: Tabelul 2.4.2

Nr. crt.

Anul

xt

yt

vt

zt

vt*

z *t

0

1

2

3

4

5

6

7

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

1985 1986 1987 1988 1989 1990 1991 1992 1993 1994 1995

442,0 448,1 472,1 513,2 516,6 557,7 467,4 432,1 435,9 447,3 505,3

492,5 500,1 518,1 527,1 558,1 588,1 455,9 438,7 455,3 489,3 560,4

6,0913 6,1050 6,1572 6,2407 6,2473 6,3238 6,1472 6,0687 6,0774 6,1032 6,2252

6,1995 6,2148 6,2502 6,2674 6,3245 6,3769 6,1223 6,0838 6,1210 6,1930 6,3287

1,4239 1,4474 1,4373 1,4811 1,4893 1,1942 1,3526 1,4194 1,4627 1,5427

1,3977 1,4393 1,4824 1,4245 1,4960 1,2602 1,3181 1,3876 1,4066 1,5086

Econometrie. Studii de caz

Nr. crt.

Anul

xt

yt

vt

zt

vt*

z *t

0

1

2

3

4

5

6

7

12 13 14 15 16 17

1996 1997 1998 1999 2000 2001

545,7 525,7 586,2 579,8 582,3 610,7

584,6 559,4 493,3 513,7 525,7 526,2

6,3021 6,2647 6,3737 6,3627 6,3670 6,4146

6,3709 6,3269 6,2011 6,2416 6,2647 6,2657

1,4802 1,4034 1,3117 1,4494 1,4412 1,4243

1,4913 1,3945 1,5323 1,4371 1,4499 1,4942

8668,2

8786,4

105,8716

106,1529

22,7610

22,9204

Total

Rezolvarea modelului s-a realizat cu ajutorul pachetului de programe EViews, conducând la afişarea următoarelor rezultate: Dependent Variable: zt Method: Least Squares Sample: 1985 2001 Included observations: 17

Variable Coefficient

Semnif. Semnif. Semnif. Std. Error t-Statistic Prob. ind. ind. ind.

t ln aˆ 0,5245 p(lnaˆ)

C

1,1425

ln aˆ

1,7534

s ln aˆ

0,6516

vt

0,8144

bˆ

0,2808

sbˆ

2,9005

tbˆ

0,3593

R2

6,2277

z

0,1170

sz

-1,7238

AIC

Schwarz criterion -1,6258

SC

F-statistic

8,4126

Fc

Prob(F-statistic)

0,0110

p(F)

R-squared

Adjusted Rc2 0,3166 R-squared S.E. of swˆ 0,0967 regression Sum ∑ (z − zˆ ) squared 0,1403 = wˆ ∑ resid Log 16,6521 L likelihood Durbin0,4544 d Watson stat

2

t

t

2 t

Mean dependent var S.D. dependent var Akaike info criterion =

()

0,0110 p bˆ

Modele econometrice cu o singură ecuaţie şi cu ecuaţii multiple

Semnificaţia indicatorilor necunoscuţi pe care-i calculează pachetul de programe EViews este următoarea: p (ln aˆ ), p (bˆ ) = probabilitatea asociată parametrului â, respectiv bˆ . O valoare cât mai apropiată de zero a acestei probabilităţi va indica o semnificaţie ridicată a parametului respectiv, în caz contrar, aceasta confirmând, împreună cu testul t, faptul că parametrul respectiv este nesemnificativ. Rc2 = coeficientul de deteminare corectat sau ajustat, este utilizat în vederea evidenţierii numărului de variabile factoriale cuprinse în model, precum şi a numărului de observaţii pe baza cărora au fost estimaţi parametrii modelului. In cazul unui model multifactorial acesta va înregistra valori inferioare coeficientului de deteminaţie. Expresia acestui indicator este următoarea: n −1 Rc2 =1 − ⋅ (1 − R 2 ) n−k L= logaritmul funcţiei de verosimilitate (presupunând că erorile sunt normal distribuite), funcţie ce este determinată ţinând seama de valorile estimate ale parametrilor. Relaţia de calcul a acestui indicator, utilizată de către pachetul de programe EViews, este următoarea: ⎛ ∑ wˆ t2 n ⎛⎜ L = 1 + ln (2π ) + ln⎜ ⎜ n 2 ⎜⎝ ⎝

⎞⎞ ⎟⎟ ⎟⎟ ⎠⎠

unde: ∑ wˆ t2 = suma pătratelor erorilor; k = numărul variabilelor exogene; n = numărul de observaţii. Acest indicator este utilizat în vederea elaborării unor teste statistice destinate depistării variabilelor omise dintr-un model econometric, precum şi a unor teste destinate depistării variabilelor redundante dintr-un model econometric, ca, de exemplu, testul LR sau raportul verosimilităţilor (Likelihood Ratio).

Econometrie. Studii de caz

z = media variabilei dependente sau endogene, având următoarea relaţie de calcul: 17

z=

∑z t =1

t

n s z = abaterea medie pătratică (standard) corespunzătoare variabilei dependente, a cărei relaţie de calcul este următoarea:

∑ (z 17

sz =

t =1

t

−z

)

2

n −1

AIC= criteriul Akaike este utilizat în cazul comparării a două sau mai multe modele econometrice. Relaţia de calcul a acestuia, utilizată de către pachetul de programe EViews, este următoarea: 2 L 2k AIC = − + n n Este ales acel model econometric pentru care s-a obţinut valoarea cea mai mică corespunzătoare acestui indicator. SC = criteriul Schwartz este, de asemenea, utilizat pentru a compara două sau mai multe modele econometrice. Relaţia de calcul a acestuia, utilizată de către pachetul de programe EViews, este următoarea: 2 L k ln n SC = − + n n Şi în acest caz, este ales acel model econometric pentru care s-a obţinut valoarea cea mai mică corespunzătoare acestui indicator. p(F) = probabilitatea asociată statisticii F. O valoare cât mai apropiată de zero a acestei probabilităţi va indica o semnificaţie ridicată a rezultatelor estimării, respectiv a modelului.

Modele econometrice cu o singură ecuaţie şi cu ecuaţii multiple

Pe baza estimatorilor au fost calculate valorile estimate ale variabilei z şi ale variabilei reziduale, wˆ t = zt − zˆt . Valorile acestora sunt prezentate în cadrul tabelului 2.4.3 (utilizând pachetul de programe EViews): Tabelul 2.4.3

Actual

Fitted

Residual

zt

zˆt

wˆ t = zt − zˆt

6,0913 6,1050 6,1572 6,2407 6,2473 6,3238 6,1472 6,0687 6,0774 6,1032 6,2252 6,3021 6,2647 6,3737 6,3627 6,3670 6,4146

6,1913 6,2037 6,2325 6,2466 6,2931 6,3357 6,1284 6,0971 6,1273 6,1860 6,2964 6,3309 6,2950 6,1926 6,2256 6,2444 6,2452

-0,1000 -0,0987 -0,0753 -0,0059 -0,0458 -0,0119 0,0188 -0,0284 -0,0499 -0,0827 -0,0713 -0,0288 -0,0303 0,1811 0,1371 0,1226 0,1694

- dispersia variabilei reziduale 2

s wˆ

∑ (z =

− zˆt )

2

t

n − k −1

=

0,1440 = 0,0994 17 − 1 − 1

unde: k = numărul variabilelor exogene. (vezi tabelul afişat de programul EViews)

Residual Plot (graficul reziduurilor)

| | | | | | | | | | | | | | | | |

*. | *. | .* | . * . * | . *| . |* . *| . * | .* | .* | . *| . *| . | . | . | . |

. . . . . . . . . . . . .

| | | | | | | | | | | | | . *| . * | .* | . *|

Econometrie. Studii de caz

- abaterea medie pătratică a variabilei reziduale

∑ (z

swˆ =

− zˆt )

2

t

= 0,0994 = 0,0967 n − k −1 (vezi tabelul afişat de programul EViews) - abaterile medii pătratice ale celor doi estimatori ⎡1 ⎤ v2 sln aˆ = sw2ˆ ⎢ + = 1,7534 2⎥ ⎣⎢ n ∑ (vt − v ) ⎦⎥ sw2ˆ = 0,2808 2 ∑ (vt − v )

sbˆ =

(vezi tabelul afişat de programul EViews) - raportul de corelaţie 17

R = R2 = 1 −

2 ∑ (zt − zˆt ) t =1 17

∑ (z t =1

R = 1−

t

−z

)

2

17

= 1−

- variabila Durbin-Watson, d 17

∑ (wˆ − wˆ ) t =2

t =1

2

t

17

∑ wˆ t2

t −1

= 0,45

t =1

(vezi tabelul afişat de programul Eviews)

t

− zˆt )

s z2 ⋅ (n − 1)

49701,4613 = 0,3593 = 0,5994 0,11702 ⋅ 16

(vezi tabelul afişat de programul EViews)

d=

∑ (z

2

Modele econometrice cu o singură ecuaţie şi cu ecuaţii multiple

Astfel modelul estimat devine: zˆt = 1,1425 + 0,8144 vt ; R = 0,599

(1,7534) (0,2808)

d = 0,45 swˆ = 0,0967

Verificarea semnificaţiei modelului presupune: - verificarea ipotezei de independenţă a erorilor; - verificarea ipotezei de homoscedasticitate a erorilor; - verificarea ipotezei de normalitate a erorilor; - verificarea semnificaţiei estimatorilor; - verificarea semnificaţiei raportului de corelaţie. Verificarea ipotezei de independenţă a erorilor se realizează cu ajutorul testului Durbin-Watson, constând în calcularea variabilei d şi compararea sa cu două valori teoretice d 1 şi d 2 (d1 = 1,13; d 2 = 1,38) , preluate din tabela distribuţiei Durbin-Watson în funcţie de un prag de semnificaţie α (α = 0,05) , de numărul variabilelor explicative k ( k = 1) şi de numărul observaţiilor n (n = 17 ≥ 15) . Deoarece valoarea calculată, d = 0,45 , este cuprinsă în intervalul 0 < d = 0,45 < d1 = 1,13 , aceasta indică existenţa unei autocorelări pozitive.

Din acest motiv, nu mai are sens testarea semnificaţiei estimatorilor şi a raportului de corelaţie, estimatorii nemaifiind eficienţi, deci se impune mai întâi eliminarea fenomenului de autocorelaţie a erorilor. Eliminarea fenomenului de autocorelare a erorilor va fi realizată cu ajutorul procedeului prezentat în cadrul aplicaţiei 2.1.3, respectiv, pornind de la faptul că erorile sunt corelate, adică: wt = r(1)wt −1 + ω t se va estima valoarea coeficientului de autocorelaţie de ordinul 1 pe baza variabilei Durbin-Watson, d, pentru a facilita utilizarea pachetului de programe EViews în vederea eliminării autocorelaţiei erorilor (utilizând programul autocorelaţie.prg): d 0,45 r(1) = 1 − = 1 − = 0,77 2 2

Econometrie. Studii de caz

În continuare, variabilele modelului vor fi transformate pe baza qvasi-diferenţelor: zt − r(1) zt −1 = a (1 − r(1) ) + b(vt − r(1)vt −1 ) + ω t Notând cu:

zt* = yt − r(1) yt −1 vt* = xt − r(1) xt −1

a1 = ln a (1 − r(1) )

b1 = b se obţine: zt* = a1 + b1vt* + ω t ⇒ zˆt* = aˆ1 + bˆ1vt*

(vezi tabelul 2.4.2 coloanele 6, 7) Rezultatele estimării, utilizând pachetul de programe EViews (Vezi aplicaţia 2.1.3) sunt următoarele: Dependent Variable: z t∗ Method: Least Squares Sample(adjusted): 1986 2001 Included observations: 16 after adjusting endpoints Variable

Coefficient

Std. Error

t-Statistic

Prob.

C

0,6578 0,5446

0,2674 0,1877

2,4595 2,9014

0,0275 0,0116

vt∗ R-squared Adjusted R-squared S.E. of regression Sum squared resid Log likelihood Durbin-Watson stat

0,3755 0,3309 0,0590 0,0488 23,6429 1,9681

Mean dependent var S,D, dependent var Akaike info criterion Schwarz criterion F-statistic Prob(F-statistic)

1,4325 0,0722 -2,7054 -2,6088 8,4180 0,0116

Pe baza rezultatelor estimării afişate de programul EViews rezultă modelul: z t* = 0,6578 + 0,5446 vt* ;

(0,2674) (0,1877 )

R1 = 0,613 d ′ = 1,97 sωˆ = 0,059

Modele econometrice cu o singură ecuaţie şi cu ecuaţii multiple

Pe baza estimatorilor au fost calculate valorile estimate ale variabilei z şi ale variabilei reziduale, ωˆ t . Valorile acestora sunt prezentate în cadrul * t

tabelului 2.4.4: Tabelul 2.4.4

Actual

z

* t

Fitted

zˆ

* t

Residual

ωˆ t

Residual Plot (graficul reziduurilor) | .* | . | | . *| . | | . | *. | | .* | . |

1,3977 1,4393 1,4824 1,4245

1,4332 1,4460 1,4405 1,4644

-0,0356 -0,0068 0,0419 -0,0399

1,4960 1,2602 1,3181

1,4689 1,3082 1,3944

0,0271 -0,0480 -0,0763

| | |

. |*. * | . *. | .

| | |

1,3876 1,4066 1,5086 1,4913 1,3945 1,5323 1,4371 1,4499 1,4942

1,4308 1,4544 1,4980 1,4639 1,4221 1,3722 1,4472 1,4427 1,4335

-0,0432 -0,0478 0,0106 0,0274 -0,0276 0,1601 -0,0100 0,0072 0,0607

| | | | | | | | |

.* | . * | . . |* . . |*. .*| . . | . . *| . . |* . . | .*

| | | | | *| | | |

Utilizând testul Durbin-Watson pentru a verifica dacă fenomenul de autocorelaţie a erorilor a fost eliminat - pentru un prag de semnificaţie α = 0,05, k = 1, n = 16 valorile teoretice ale variabilei Durbin-Watson sunt d1 = 1,10, d 2 = 1,37 . În comparaţie cu acestea, valoarea empirică d ′ = 1,97

se situează astfel: d 2 = 1,37 < d ′ = 1,97 < 4 − d 2 = 2,63 , ceea ce indică fenomenul de independenţă a erorilor, deci fenomenul de autocorelaţie a erorilor a fost eliminat.

Econometrie. Studii de caz

Verificarea ipotezei de homoscedasticitate a erorilor se va realiza cu ajutorul testului White (vezi aplicaţia 2.1.2). Utilizând programul EViews au fost obţinute următoarele rezultate: White Heteroskedasticity Test: F-statistic Obs*R-squared

3,8112 5,9929

Probability Probability

0,0477 0,0500

Test Equation: Dependent Variable: wt2 Method: Least Squares Sample: 1985 2001 Included observations: 17 Variable

Coefficient

Std. Error

t-Statistic

Prob.

C vt

-29,4768 9,4696 -0,7602

10,8355 3,4758 0,2787

-2,7204 2,7245 -2,7276

0,0166 0,0164 0,0163

0,3525 0,2600 0,0087 0,0011 58,2041 1,3835

Mean dependent var S.D. dependent var Akaike info criterion Schwarz criterion F-statistic Prob(F-statistic)

vt2 R-squared Adjusted R-squared S.E. of regression Sum squared resid Log likelihood Durbin-Watson stat

0,0083 0,0101 -6,4946 -6,3476 3,8112 0,0477

Analizând rezultatele afişate de programul EViews se constată că Fc = 3,8112 > F0, 05; 2;14 = 3,74

şi

LM = 5,9929 > χ 02,05; 2 = 5,99147 ,

iar

estimatorii parametrilor modelului sunt semnificativi pentru un prag de α = 0,05 ( t 0,05;14 = 2,148 ), indicând prezenţa semnificaţie heteroscedasticităţii erorilor, dar, pentru un prag de semnificaţie α = 0,01 , Fc = 3,8112 < F0, 01; 2;14 = 6,51

şi

LM = 5,9929 < χ 02,01; 2 = 9,21034 ,

iar

estimatorii parametrilor modelului sunt nesemnificativi ( t 0,01;14 = 2,977 ), deci ipoteza de homoscedasticitate se verifică. Se poate astfel considera că,

Modele econometrice cu o singură ecuaţie şi cu ecuaţii multiple

pentru un prag de semnificaţie α = 0,01 , ipoteza de homoscedasticitate este verificată. Verificarea ipotezei de normalitate a erorilor se va realiza cu ajutorul testului Jarque-Berra. Utilizând pachetul de programe EViews în vederea calculării testului Jarque-Berra (vezi Figura 2.4.2.) se constată că

JB = 2,5981 < χ 02,05; 2 = 5,9915 şi că p(JB) = 0,2728. Deoarece valoarea calculată a testului J-B este mai mică decât valoarea tabelată a lui χ α2 ; 2 , iar probabilitatea ca testul J-B să nu depăşească valoarea tabelată este suficient de mare, ipoteza de normalitate a erorilor poate fi acceptată. 8 Series: Residuals Sample 1985 2001 Observations 17

6 Mean Median Maximum Minimum Std. Dev. Skewness Kurtosis

4

2

Jarque-Bera Probability

1.10E-15 -0.028806 0.181076 -0.099953 0.093653 0.910913 2.409370 2.598089 0.272792

0 -0.10

-0.05

0.00

0.05

0.10

0.15

0.20

Figura 2.4.2

Estimatorii modelului sunt semnificativ diferiţi de zero dacă: aˆ1 t aˆ1 = ≥ tα ;(n −1)− k −1 s aˆ1 t aˆ1 = t bˆ = 1

0,6578 = 2,4595 0,2674 bˆ1 s bˆ

≥ tα ;(n −1)− k −1

1

t bˆ = 1

0,5446 = 2,9014 0,1877

Econometrie. Studii de caz

Lucrând cu un prag de semnificaţie α

(α = 0,05) ,

din tabela

distribuţiei Student se preia valoarea t 0,05;14 = 2,145 . Comparând această valoare cu valorile calculate pentru cei doi estimatori, se constată că: - t aˆ1 = 2,4595 > t 0,05;14 = 2,145 ⇒ parametrul a$ 1 este semnificativ diferit de zero; - t bˆ = 2,9014 > t 0,05;14 = 2,145 ⇒ parametrul b$1 este semnificativ 1

diferit de zero. Raportul de corelaţie este semnificativ diferit de zero dacă se verifică inegalitatea: Fc ≥ Fα ;v1 ;v2 , unde valoarea empirică a variabilei Fisher-Snedecor este: Fc = ((n − 1) − 2 )

R2 0,3755 = 14 ⋅ = 8,418 2 0,6245 1− R

Din tabela distribuţiei Fisher-Snedecor, cu un prag de semnificaţie de 5% şi în funcţie de numărul gradelor de libertate v1 = k = 1 şi v 2 = (n − 1) − k − 1 = 14 se preia valoarea teoretică F0,05;1;14 = 4,60 . Se

constată că Fc = 8,418 > F0,05;1;14 = 4,60 , deci pentru un prag de semnificaţie de 5%, valoarea raportului de corelaţie este semnificativ diferită de zero. În concluzie, modelul z t* = 0,6578 + 0,5446 xt* poate fi apreciat ca reprezentativ pentru descrierea dependenţei dintre consumul final real al gospodăriilor populaţiei şi venitul disponibil net real al populaţiei. Deşi modelul este semnificativ în raport cu testele statistice adecvate acestui scop (ipotezele corespunzătoare M.C.M.M.P. sunt verificate, estimatorii parametrilor şi raportul de corelaţie sunt semnificativi), faptul că mărimea coeficientului de determinare este mică (în jur de 0,38), se poate considera că modelul poate fi folosit în scopuri explicative, statistice şi economice (a1>0, 0 F0, 05;1;11 = 4,84 . Raportul de corelaţie este semnificativ diferit de zero dacă se verifică relaţia: Fc = (n − 2)

R2 > Fα ;v1 ; v 2 1 − R2

Econometrie. Studii de caz

Fc = 11 ⋅

0,6268 = 18,471 1 − 0,6268

În funcţie de un prag de semnificaţie α = 0,05 şi de numărul gradelor de libertate v1 = k = 1 şi v 2 = n − k − 1 = 13 − 2 = 11 se preia valoarea teoretică F0 ,05;1;11 = 4 ,84 . Se constată că Fc = 18,471 > F0 ,05;1;11 = 4 ,84 , deci, pentru un prag de semnificaţie de 5%, valoarea raportului de corelaţie este semnificativ diferită de zero. Pe baza datelor de mai sus, modelul devine: Yˆt1 = 56,9101 + 2,8632 x1t ;

(26,0181) (0,6662)

R = 0,7917 d = 2,67 suˆ1 = 42,7219

2) Model econometric privind dependenţa dintre cifra de afaceri şi suprafaţa comercială Estimarea parametrilor modelului y t = a 2 + b2 x 2 t + u 2 t se va face cu ajutorul pachetului de programe EViews, prin aplicarea M.C.M.M.P., care a condus la obţinerea următoarelor rezultate: Dependent Variable: yt Method: Least Squares Sample: 1 13 Included observations: 13 Variable

Coefficient

Std. Error

t-Statistic

Prob.

C

61,3840

19,1642

3,2031

0,0084

x2t

6,0293

1,0485

5,7504

0,0001

R-squared Adjusted R-squared S.E. of regression Sum squared resid Log likelihood Durbin-Watson stat

0,7504 0,7277 34,9373 13426,74 -63,5566 2,2646

Mean dependent var S.D. dependent var Akaike info criterion Schwarz criterion F-statistic Prob(F-statistic)

156,4615 66,9510 10,0856 10,1725 33,0674 0,0001

Modele econometrice cu o singură ecuaţie şi cu ecuaţii multiple

Valorile estimate ale variabilei yt şi ale variabilei reziduale uˆ2t sunt prezentate în cadrul tabelului 2.5.3. (utilizând pachetul de programe EViews): Tabelul 2.5.3 Actual

Fitted

yt

Yˆt 2

198 209 197 156 85 187 43 211 120 62 176 117 273

187,999 218,146 145,794 121,677 133,736 181,970 91,5306 230,205 115,648 97,5599 121,677 109,618 278,439

Residual uˆ 2t

Residual Plot (graficul reziduurilor)

10,0006 -9,1460 51,2057 34,3229 -48,7357 5,0299 -48,5306 -19,2046 4,3522 -35,5599 54,3229 7,3815 -5,4390

| . |* . | | . *| . | | . | . *| | . | * | |* . | . | | . |* . | |* . | . | | . * | . | | . |* . | | * | . | | . | . *| | . |* . | | . *| . |

În vederea verificării ipotezei de independenţă a erorilor se calculează valoarea variabilei Durbin-Watson: d = 2,26 (vezi tabelul afişat de programul EViews). Pentru un prag de semnificaţie α = 0,05 , din tabela distribuţiei Durbin-Watson se preiau valorile (pentru cazul n = 15 , k = 1 - numărul variabilelor explicative) d1 = 1,08 şi d 2 = 1,36 . ⎧d c = 2,26 > d 2 = 1,36 rezultă că erorile sunt independente. Cum ⎨ d d = 2 , 26 < 4 − = 2 , 64 2 ⎩ c

Deoarece: taˆ 2 =

aˆ2 61,384 = = 3,2031 > t0, 05;11 = 2,2010 saˆ 2 19,1642

Econometrie. Studii de caz

t bˆ = 2

bˆ2 sbˆ

2

=

6,0293 = 5,7504 > t0,05;11 = 2,2010 1,0485

rezultă că ambii estimatori, a$ 2 şi b$2 , sunt semnificativ diferiţi de zero, cu un prag de semnificaţie α = 0,05 . Testul Fisher-Snedecor indică faptul că rezultatele obţinute sunt semnificative, cu un prag de semnificaţie de 5%, Fc = 33,0674 > F0 ,05;1;11 = 4 ,84 . Se verifică, de asemenea, semnificaţia raportului de corelaţie: Fc = (n − 2 )

R2 0,7504 = 11 ⋅ = 33,0674 2 1− R 1 − 0,7504

Se constată că Fc = 33,0674 > F0 ,05;1;11 = 4 ,84 , deci, pentru un prag de semnificaţie de 5%, valoarea raportului de corelaţie este semnificativ diferită de zero. Pe baza datelor de mai sus, modelul devine: Yˆt 2 = 61,384 + 6,0293 x2t ;

(19,1642) (1,0485)

R = 0,8662 d = 2,26 suˆ 2 = 34,9373

3) Model econometric multifactorial privind dependenţa cifrei de afaceri de suprafaţa comercială şi de numărul de familii Estimarea parametrilor modelului multifactorial, yt = a3 + b3 x1t + c3 x2t + u3t , necesită efectuarea următoarelor calcule: - obţinerea sistemului de ecuaţii normale prin aplicarea M.C.M.M.P. care constă în:

(

)

13

(

F aˆ3 , bˆ3 , cˆ3 = min ∑ y t − aˆ3 − bˆ3 x 1t − cˆ3 x 2t t =1

)

2

Modele econometrice cu o singură ecuaţie şi cu ecuaţii multiple

Minimul acestei funcţii este dat de calculul derivatelor parţiale în raport cu parametrii modelului :

(

)

F ′(aˆ3 ) = 0 ⇒ 2∑ yt − aˆ3 − bˆ3 x1t − cˆ3 x2t (− 1) = 0 t

( )

(

)

(

)

F ′ bˆ3 = 0 ⇒ 2∑ y t − aˆ3 − bˆ3 x 1t − cˆ3 x 2t (− x 1t ) = 0 t

F ′(cˆ3 ) = 0 ⇒ 2∑ y t − aˆ3 − bˆ3 x 1t − cˆ3 x 2t (− x 2t ) = 0 t

După efectuarea calculelor rezultă următorul sistem de ecuaţii: ⎧naˆ3 + bˆ3 ∑ x 1t + cˆ3 ∑ x 2t = ∑ y t ⎪⎪ 2 ⎨aˆ3 ∑ x 1t + bˆ3 ∑ x 1t + cˆ3 ∑ x 1t x 2t = ∑ x 1t y t ⎪ 2 ⎪⎩aˆ3 ∑ x 2t + bˆ3 ∑ x 1t x 2t + cˆ3 ∑ x 2t = ∑ x 2t y t Valorile estimatorilor rezultă în urma rezolvării sistemului de ecuaţii ale cărui necunoscute sunt cei trei parametrii a 3 , b3 , c3 . Pentru exemplificare, estimarea parametrului a$ 3

cu ajutorul

M.CM.M.P. se realizează astfel:

∑y ∑x ∑x ∑x y ∑x ∑x x ∑x y ∑x x ∑x = n ∑x ∑x ∑x ∑x ∑x x ∑x ∑x x ∑x 1t

t

1t 2 1t

2t

t

1t 2 t

t

aˆ3

1t

1t 2 1t

2t

1t 2 t

2t

1t 2 t 2 2t 2t

1t 2 t 2 2t

2034 82495 38769 = 13 452 205

452 19828 8452 452 19828 8452

205 8452 4343 205 8452 4343

aˆ3 = 37,5023 În mod analog se obţin valorile celorlalţi doi parametrii: bˆ3 = 1,4963 şi cˆ3 = 4,2446 .

Econometrie. Studii de caz

Rezolvarea modelului s-a realizat cu ajutorul programului EViews, conducând la afişarea următoarelor rezultate: Dependent Variable: Yt Method: Least Squares Sample: 1 13 Included observations: 13 Variable

Coefficient

Std. Error

t-Statistic

C

37,5023

17,6461

2,1252

X1t X2t

1,4963

0,5534

2,7039

4,2446

1,0650

3,9856

R-squared Adjusted R-squared S.E. of regression Sum squared resid Log likelihood Durbin-Watson stat

0,8558 0,8270 27,8500 7756,2140 -59,9897 2,1682

Mean dependent var S.D. dependent var Akaike info criterion Schwarz criterion F-statistic Prob(F-statistic)

Prob.

156,4615 66,9510 9,6907 9,8211 29,6749 0,0001

Valorile estimate ale variabilei yt şi ale variabilei reziduale uˆ3t sunt prezentate în cadrul tabelului 2.5.4. (utilizând pachetul de programe EViews): Tabelul 2.5.4 Actual

Fitted

yt

Yˆt 3

Residual uˆ3t

198 209 197 156 85 187 43 211 120 62 176 117 273

231,3800 200,2330 179,2230 117,3560 130,3340 186,7350 81,1697 205,7290 110,1190 68,9552 147,2810 101,3850 274,1010

-33,3796 8,7674 17,7771 38,6443 -45,3339 0,2648 -38,1697 5,2707 9,8815 -6,9552 28,7185 15,6149 -1,1009

Residual Plot (graficul reziduurilor)

| *. | . | . |* . | . | *. | . | . * |* . | . | . * . | * . | . | . |* . | . | * . | . *| . | . | .* | . | * . | . * .

| | | | | | | | | | | | |

Modele econometrice cu o singură ecuaţie şi cu ecuaţii multiple

O cale mai rapidă de estimare a parametrilor se realizează utilizând calculul matriceal, sistemul de ecuaţii de mai sus devenind:

( X ′X )B$ = ( X ′Y ) Înmulţind la stânga expresia cu ( X ′X )

−1

obţinem:

( X ′X )−1 ( X ′X )Bˆ = ( X ′X )−1 ( X ′Y ) Rezultă că: ⎛ a$ 3 ⎞ ⎜ ⎟ −1 B$ = ⎜ b$3 ⎟ = ( X ′X ) ( X ′Y ) ⎜$ ⎟ ⎝ c3 ⎠ unde matricile sunt de forma: ⎛1 ⎜ ⎜1 ⎜1 ⎜ ⎜1 ⎜1 ⎜ ⎜1 X = ⎜1 ⎜ ⎜1 ⎜1 ⎜ ⎜1 ⎜ ⎜1 ⎜1 ⎜ ⎝1

70 35 55 25 28 43 15 33 23 4 45 20 56

21⎞ ⎟ 26⎟ 14⎟ ⎟ 10⎟ 12⎟ ⎟ 20⎟ 5⎟ ⎟ 28⎟ ⎟ 9⎟ 6⎟ ⎟ 10⎟ 8⎟ ⎟ 36⎠

⎛ 198 ⎞ ⎟ ⎜ ⎜ 209 ⎟ ⎜ 197 ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ 156 ⎟ ⎜ 85 ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ 187 ⎟ ⎟ ⎜ Y = ⎜ 43 ⎟ ⎜ 211 ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ 120 ⎟ ⎜ 62 ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ 176 ⎟ ⎜ 117 ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ 273 ⎟ ⎠ ⎝

⎛ uˆ1 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ uˆ2 ⎟ ⎜ uˆ ⎟ ⎜ 3⎟ ⎜ M ⎟ ⎜ M ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ M ⎟ ⎜ ⎟ U =⎜ M ⎟ ⎜ M ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ M ⎟ ⎜ M ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ M ⎟ ⎜ M ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ uˆ ⎟ ⎝ 13 ⎠

Econometrie. Studii de caz

Se calculează matricile: 452 205 ⎞ ⎛ 13 ⎜ ⎟ ( X ′X ) = ⎜ 452 19828 8452 ⎟ ⎜ 205 8452 4343 ⎟ ⎝ ⎠ ⎛ 2034 ⎞ ⎜ ⎟ ( X ′Y ) = ⎜ 82495 ⎟ ⎜ 38769 ⎟ ⎝ ⎠

X ′X = 36557768

( X ′X )

( X ′X )

( X ′X )

∗

−1

−1

⎛ 14676700 −230376 −244436⎞ ⎜ ⎟ = ⎜ −230376 −17216 ⎟ 14434 ⎜ ⎟ 53460 ⎠ ⎝ −244436 −17216 ⎛14676700 − 230376 − 244436 ⎞ ⎜ ⎟ 1 = − 17216 ⎟ 14434 ⎜ − 230376 36557768 ⎜ 53460 ⎟⎠ ⎝ − 244436 − 17216 ⎛ 0,4015 − 0,0063 − 0,0067 ⎞ ⎜ ⎟ = ⎜ − 0,0063 0,0004 − 0,0005 ⎟ ⎜ − 0,0067 − 0,0005 0,0015 ⎟ ⎝ ⎠

Calculând produsul:

Bˆ = ( X ′X )

−1

⎛ aˆ3 ⎞ ⎛ 37,5023 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ( X ′Y ) = ⎜ bˆ3 ⎟ = ⎜ 1,4963 ⎟ ⎜ cˆ ⎟ ⎜ 4,2446 ⎟ ⎝ 3⎠ ⎝ ⎠

Modele econometrice cu o singură ecuaţie şi cu ecuaţii multiple

Valorile teoretice ale cifrei de afaceri rezultă deci din relaţia: Yˆt 3 = 37,5023 + 1,4963 x1t + 4,2446 x2t

Calculul celorlalţi indicatori ai modelului multifactorial se va face utilizând următoarele relaţii:

su2ˆ 3 =

2 n uˆ3t 1 ∑ 3 2 ˆ y Y - estimaţia dispersiei ( σ u23 ) a − = ∑ t t n − k − 1 t =1 n − k −1

(

)

variabilei reziduale u3 s (2aˆ

ˆ

3 ,b3 ,cˆ3

2 ) = s uˆ 3 c ij - estimaţiile dispersiilor parametrilor a 3 , b3 , c3 ,

unde: cij = elementul situat pe diagonala principală a matricei inverse

( X ′X ) −1 ;

s(2aˆ

) = su

2

ˆ

3 , b3 , cˆ 3

∑ (Yˆ ∑(y

R=

3

t

t

3

2 ⎞ ⎛⎜ saˆ 3 ⎞⎟ ⎛ 0,4015 ⎟ ⎜ 2 0,0004 ⋅⎜ ⎟ = ⎜ sbˆ3 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 0,0015 ⎟⎠ ⎜⎝ sc2ˆ3 ⎟⎠ ⎝

−y

)

− y)

2

(y − Yˆ ) 1− ∑ ∑(y − y)

3 2

2

=

2 ∑ (uˆ3t − uˆ3t −1 )

t

t

2

- raportul de corelaţie

t

n

d = t =2

n

2 ∑ uˆ3t t =1

- valoarea variabilei Durbin-Watson calculată

în vederea testării ipotezei de independenţă a erorilor. Verificarea semnificaţiei acesteia se face cu ajutorul tabelei DurbinWatson, din care se extrag valorile d 1 = 0,95 şi d 2 = 1,54 în funcţie de un

Econometrie. Studii de caz

prag de semnificaţie α = 0,05 , de numărul variabilelor exogene k = 2 şi de numărul observaţiilor n = 13 (n = 15) . Comparând valoarea calculată a variabilei Durbin-Watson d c = 2,17 cu cele două valori tabelate se observă că d c = 2 ,17 > d 2 = 1,54 şi d c = 2 ,17 < 4 − d 2 = 2 ,36 , deci erorile sunt independente. În urma testării semnificaţiei parametrilor s-a constatat că: t c aˆ = 2 ,1252 < t 0 ,05;10 = 2 ,228 rezultă că parametrul a$ 3 nu este 3

semnificativ diferit de zero; tcbˆ = 2,7039 > t0,05;10 = 2,228

rezultă

că

parametrul

b$3

este

că

parametrul

c$3

este

3

semnificativ diferit de zero; t ccˆ = 3,9856 > t 0,05;10 = 2,228

rezultă

3

semnificativ diferit de zero. Deoarece Fc = 29,6749 > F0, 05; 2;10 = 4,1 rezultă că valoarea raportului de corelaţie este semnificativ diferită de zero, cu un prag de semnificaţie de 0,05. Utilizând ecuaţia analizei variaţiei:

∑(y

t

(

)

(

2 2 − y ) = ∑ yt − Yˆt 3 + ∑ Yˆt 3 − y

)

2

(

)

⎞ ⎛ ˆ3 − y 2 Y ∑ t ⎟ din rezultă că modelul econometric explică 85,58% ⎜ 100 ⋅ ⎟ ⎜ ( y − y )2 ⎠ ⎝∑ t variaţia totală a cifrei de afaceri. În concluzie, putem afirma că modelul este corect specificat, adică variabilele x1t şi x 2 t sunt factori semnificativi ai cifrei de afaceri, deoarece estimatorii lor sunt semnificativ diferiţi de zero şi corect identificaţi, deoarece modelul explică cea mai mare parte din variaţia cifrei de afaceri. b$3 c$3 > t α , n − k −1 ; > t α ;n − k −1 indică şi faptul că De asemenea, relaţiile sc$3 sb$ 3

cele două variabile x1t şi x 2 t nu sunt corelate liniar. Dacă acestea ar fi fost

Modele econometrice cu o singură ecuaţie şi cu ecuaţii multiple

corelate liniar (puternic) atunci unul dintre estimatori ar fi fost nesemnificativ, ceea ce înseamnă că una dintre cele două variabile trebuie eliminată din model. Prin utilizarea unui model liniar multifactorial, cei doi estimatori, b$ 3

şi c$3 , reprezintă coeficienţii de regresie (coeficienţii marginali sau

∂y ∂y , ), ceea ce înseamnă că la o modificare de ±100 a numărului de ∂x1 ∂x 2 familii, cifra de afaceri a magazinului va suferi o modificare de ±1,4963 mil. lei, iar dacă suprafaţa comercială se va modifica cu ±10m2, cifra de afaceri va suporta o modificare de ±4,2446 mil. lei. Ca atare, modelul care descrie legătura dintre fenomenele analizate este: Yˆ 3 = 37,5023 + 1,4963 x + 4,2446 x ; R = 0,9251 t

1t

(17,6461)

2t

(0,5534)

d = 2,17

(1,065)

suˆ 3 = 27,85 c) Alegerea celui mai bun model econometric din cele trei modele analizate se va face pe baza tabelului de mai jos, în raport cu modelul iniţial ( M 0 ): Tabelul 2.5.5 Simbolul modelului Ml

Variaţia neexplicată de model

Structura modelului

(l = 0,3) M0

yt = y + u0

(l = 0) M1

(l = 1) M2

(l

= 2)

Vu20 = V02 =

∑ (y

t

Coeficienţii de performanţă R 2j / 0 = 1 −

R02 / 0 = 1 −

− y)

2

t

1t

(26,0181) (0,6662)

y t = a 2 + b2 x 2 t + u 2 t Yˆ 2 = 61,384 + 6,0293x t

2t

(19,1642) (1,0485)

Vu21 =

∑ (y − Yˆ ) t

1 2 t

= 20076,7405

Vu22

=

∑(

)

2 yt − Yˆt 2

= 13426,7387

R 2j +1/ j = 1 −

Vu2j + 1 Vu2j

Vu20 V02

=0

= 53789,2308

y t = a1 + b1 x1t + u1t Yˆ 1 = 56,9101 + 2,8632 x

Vu2 V02

Coeficienţii de performanţă parţială

-

R12/ 0 = 20076,7405 53789,2308 = 0,6268 =1−

R12/ 0 = 0,6268

R 22/ 0 = 13426,7387 53789,2308 = 0,7504 =1−

R22/1 = 0,3312

Econometrie. Studii de caz Simbolul modelului Ml

Variaţia neexplicată de model

Structura modelului

(l = 0,3)

Coeficienţii de performanţă parţială

Coeficienţii de performanţă R 2j / 0 = 1 −

Vu2 V02

R32/ 1 = 1 −

M3

(l

= 3)

yt = a3 + b3 x1t + c3 x2t + u3t Yˆ 3 = 37,5023 + 1,4963 x + 4,2446 x t

1t

(17,6461) (0,5534)

2t

(1,065)

Vu23 =

∑ (y

t

− Yˆt3

= 7756,2142

)

2

R32/ 0

Vu2j + 1

R 2j +1 / j = 1 −

=

Vu2j

Vu2 Vw2

=

= 0,6137

775,2142 53789,2308 = 0,8858 =1 −

R32/ 2 = 1 −

Vu2 V z2

= 0,4223

Notă:

j = 0,1, ... , q , ..., k ; k = numărul variabilelor exogene; t = 1, n; n = numărul observaţiilor; l = 0, m; m = numărul modelelor construite ( m = 3 ).

În cazul modelelor cu acelaşi număr de variabile exogene, cel mai bun model este dat de restricţia : max R j2 . Pe baza acestui criteriu se observă j

că: R22/ 0 = 0,7504 > R12/ 0 = 0,6268 , respectiv modelul M 2 explică mai bine variaţia cifrei de afaceri (y) în funcţie de suprafaţa comercială ( x 2 ), în comparaţie cu modelul M 1 , care utilizează ca variabilă exogenă numărul de familii ( x1 ). În cazul în care se compară două modele al căror număr de variabile exogene este diferit (de exemplu, modelul M 2 cu M 3 ) alegerea celui mai bun model se face cu ajutorul testului Fisher-Snedecor. Utilizarea acestui test în acest caz constă în: - calcularea valorii empirice a variabilei Fc

Fc =

Fc =

Vx2k − Vx2q k−q Vu2q − Vu2k k−q

:

:

Vu2k n− k −1 Vu2k n− k −1

=

V02 − Vu2k − V02 + Vu2q k−q

:

Vu2k n− k −1

=

Modele econometrice cu o singură ecuaţie şi cu ecuaţii multiple

Fc =

Fc =

Vu22 − Vu23 2−1

:

Vu23 13 − 2 − 1

13426,7387 − 7756,2142 7756,2142 : = 7 ,3109 2 −1 10

- preluarea din tabela distribuţiei Fisher-Snedecor a valorii teoretice a variabilei F în funcţie de un prag de semnificaţie α şi de numărul gradelor v2 = n − k − 1 , respectiv pentru de libertate v1 = k − q ,

α = 0,05; F0 ,05;1;10 = 4 ,96 . Deoarece Fc = 7,3109 > F0,05;1;10 = 4,96 , prin introducerea variabilei x1 în modelul M 3 creşte gradul de performanţă al acestui model în raport cu modelul M 2 , în acelaşi timp influenţa acestei variabile asupra variabilei y este semnificativă. Ca atare, modelul care explică cel mai bine variaţia cifrei de afaceri este modelul M 3 : Yˆt 3 = 37,5023 + 1,4963 x1t + 4,2446 x2t ;

(17,6461) (0,5534)

(1,065)

R = 0,9251 d = 2,17 s uˆ 3 = 27,85

d) Deoarece s-a constatat că modelul M 3 explică cel mai bine variaţia cifrei de afaceri, acesta va fi utilizat în vederea estimării valorilor probabile ale cifrei de afaceri pentru întreprinzătorul respectiv. În acest caz, dacă x 0 = 1, x1 = 64, x 2 = 23 , în medie, cifra de afaceri este egală cu: Yn∗+ v = a$ 3 x n + v , 0 + b$3 x n + v ,1 + c$3 x n + v , 2

unde: Yn∗+ v = estimaţia punctuală a valorii de prognoză pentru variabila y; y n + v = valoarea reală a variabilei y în momentul de prognoză ( n + v ).

Econometrie. Studii de caz

Sub formă matriceală, relaţia anterioară devine: −1 Yn∗+ v = X v′ ⋅ Bˆ = X v′ ⋅ ( X ′X ) ⋅ ( X ′Y )

unde: ⎛ 1 ⎞ ⎟ ⎜ X v = ⎜ xn + v ,1 ⎟ - reprezintă matricea coloană a valorilor de prognoză ale ⎟ ⎜x ⎝ n + v,2 ⎠ variabilelor x j ( j = 0,2 ) pentru momentul ( n + v ). Yn∗+ v = 37,5023 ⋅ 1 + 1,4963 ⋅ 64 + 4,2446 ⋅ 23 = 230,89 ≈ 231 mil. lei. În vederea estimării intervalului de încredere pentru această valoare probabilă este necesară calcularea dispersiei acestei valori cu ajutorul relaţiei:

[

sY2∗ = su2 1 + X v′ ( X ′X ) X v n+ v

s

2 Y n∗+ v

sY ∗

n+v

−1

⎡ ⎢ = 775 ,6214 ⋅ ⎢1 + (1 64 ⎢⎣ = 31,65

] − 0,0063

⎛ 0,0401 ⎜ 23 ) ⋅ ⎜ − 0,0063 ⎜ − 0,0067 ⎝

0,0004 − 0,0005

− 0,0067 ⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎤ ⎟ ⎜ ⎟⎥ − 0,0005 ⎟ ⋅ ⎜ 64 ⎟ ⎥ = 1001 ,84 0,0015 ⎟⎠ ⎜⎝ 23 ⎟⎠ ⎥⎦

Intervalul de încredere a prognozei cifrei de afaceri, estimat cu un prag de semnificaţie α = 0,05 , pentru care valoarea lui tα , preluată din tabela distribuţiei Student, este t 0 ,05;10 = 2 ,228 se va calcula cu ajutorul relaţiei:

[

]

P Yn∗+ v − tα sY ∗ ≤ yn + v ≤ Yn∗+ v + tα sY ∗ = 1 − α n+v

n+v

Modele econometrice cu o singură ecuaţie şi cu ecuaţii multiple

P[231 − 2,228 ⋅ 31,65 ≤ yn +v ≤ 231 + 2,228 ⋅ 31,65] = 1 − 0,05 = 0,95 P[160 ≤ yn +v ≤ 301] = 0,95 În concluzie, cu un prag de semnificaţie de 5%, cifra de afaceri a întreprinzătorului respectiv va fi cuprinsă între 160 şi 301 milioane lei.

( )

e) Ştiind că rata profitului rp este egală cu: rp( 0 0 ) =

CA − CT * 100 ⇒ CA = rp CT + CT ⇒ CA = CT 1 + rp CT

(

)

unde: CA = cifra de afaceri (y); CT = cheltuieli totale. Pe baza datelor problemei rezultă că antreprenorul, pentru a obţine un profit mai mic sau egal cu 10 %, trebuie să realizeze o cifră de afaceri de cel mult 220 mil. lei ( CA = 200 ⋅ (1 + 0,1) = 220 ). Utilizând modelul econometric M 3 rezultă că cifra de afaceri a acestor magazine urmează o distribuţie normală, de medie Y = 231 mil. lei şi de abatere medie pătratică sY = 31,43 mil. lei şi, ca atare: ⎛ 220 − Y (64;23) ⎞ P(Y ≤ 220) = P⎜ t ≤ ⎟ = P(t ≤ −0,35) = P(t ≥ 0,35) = 0,3632 31,43 ⎝ ⎠ În concluzie, antreprenorul are 36,32% şanse de a nu realiza un profit de 10%, aceasta reprezentând riscul său de a nu-şi realiza dezideratul propus în urma cumpărării magazinului respectiv. f) Estimarea parametrilor unui model econometric multifactorial liniar pe baza matricei varianţelor şi covarianţelor şi a matricei coeficienţilor de corelaţie liniară simpli

Econometrie. Studii de caz

Fie modelul: y t = b0 + b1 x1t + b2 x 2t + u t

(1)

Se însumează (1) şi se împarte la n obţinându-se ecuaţia: y = b0 + b1 x1 + b2 x 2

(2)

Se scade ecuaţia (2) din (1) şi rezultă: y t − y = b1 ( x1t − x1 ) + b2 ( x 2 t − x 2 ) + u t

(3)

Notăm cu: y t∗ = y t − y x1∗t = x1t − x1 x 2∗t = x 2 t − x 2 Modelul (3), construit pe baza abaterilor centrate ale variabilelor, devine: y t* = b1 x1*t + b2 x 2*t + u t În acest caz, matricea varianţelor şi covarianţelor modelului se defineşte astfel: ⎛ σ yy2 cov( yx1 ) cov( yx2 ) ⎞ ⎟ ⎜ V = ⎜ cov( x1 y ) cov( x1 x2 )⎟ σ x21 x1 ⎜ cov( x y ) cov( x x ) σ x22 x2 ⎟⎠ 2 2 1 ⎝

Modele econometrice cu o singură ecuaţie şi cu ecuaţii multiple

unde: 13

σ 2y =

∑ (y )

∗ 2 t

t =1

n

∑ (x ) 13

σ x2 =

∗ 2 tj

t =1

n

j

(

- dispersia variabilei y;

- dispersia variabilei x tj ( j = 1,2 );

)

cov y , x j =

∑(y

t

(

− y ) x tj − x n

)= ∑y x ∗ t

∗ tj

n

x1 = 34,7692 ≈ 34,77 x2 = 15,7692 ≈ 15,77

y = 156 ,4615 ≈ 156 ,46 Tabelul 2.5.6 Nr. crt.

x = x 1 t − x1 x = x 2 t − x 2 y = y t − y * 1t

* 2t

* t

* 1t

x y

* t

* 2t

x y

* 2t

x1*t x 2*t

0

1

2

3

4

5

6

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

35,23 0,23 20,23 -9,77 -6,77 8,23 -19,77 -1,77 -11,77 -30,77 10,23 -14,77 21,23

5,23 10,23 -1,77 -5,77 -3,77 4,23 -10,77 12,23 -6,77 -9,77 -5,77 -7,77 20,23

41,54 52,54 40,54 -0,46 -71,46 30,54 -113,46 54,54 -36,46 -94,46 19,54 -39,46 116,54

1463,4542 12,0842 820,1242 4,4942 483,7842 251,3442 2243,1042 -96,5358 429,1342 2906,5342 199,8942 582,8242 2474,1442

217,2542 537,4842 -71,7558 2,6542 269,4042 129,1842 1221,9642 667,0242 246,8342 922,8742 -112,7458 306,6042 2357,6042

184,2529 2,3529 -35,8071 56,3729 25,5229 34,8129 212,9229 -21,6471 79,6829 300,6229 -59,0271 114,7629 429,4829

Total

-0,01

-0,01

0,02

11774,3846 6694,3846 1324,3077

Econometrie. Studii de caz

σ yy2 = (σ y )2 = 4137,63 cov( yx2 ) =

6694,3846 = 514,95 13

σ x2 x = (σ x

)

cov( x1 x2 ) =

1324,3077 = 101,87 13

σ x2 x = (σ x

)

1 1

2 2

cov( yx1 ) =

2

1

2

2

= 316,33

= 85,41

117743846 = 905,72 13

⎛ 4137,63 905,72 514,95 ⎞ ⎜ ⎟ V = ⎜ 905,72 316,33 101,87 ⎟ ⎜ 514,95 101,87 85,41 ⎟ ⎝ ⎠

Matricea varianţelor şi covarianţelor poate fi calculată şi cu ajutorul pachetului de programe EViews. Dispunând de matricea V, estimatorii bˆ j = bˆ y / x j se calculează cu ajutorul relaţiei: j +1 bˆy / x j = bˆ j = (− 1)

Vyx j Vyy

, j = 1, k

unde:

V yx j = determinantul matricei varianţelor şi covarianţelor din care se elimină linia y şi coloana x j ;

V yy = determinantul matricei varianţelor şi covarianţelor din care se elimină linia y şi coloana y.

Modele econometrice cu o singură ecuaţie şi cu ecuaţii multiple

2 bˆ1 = (− 1)

3 bˆ2 = (− 1)

905,72 101,87 514,95 85,41 24898,0164 = = 1,4963 316,33 101,87 16639,858 101,87 85,41 905,72 316,33 514,95 101,87

=−

− 70629,9481 = 4,2446 16639,858

16639,858 Estimatorul b$0 se calculează din relaţia (2):

bˆ0 = y − bˆ1 x1 − bˆ2 x2 ⇒ bˆ0 = 156,4615− 1,4963⋅ 34,7692− 4,2446⋅15,7692 bˆ0 = 37,5024

Matricea coeficienţilor de corelaţie liniară simplă a variabilelor pe baza relaţiei (3) se defineşte:

⎛ 1 ⎜ R = ⎜ rx1y ⎜r ⎝ x2 y

ryx1 1

rx2 x1

ryx2 ⎞ ⎟ rx1x2 ⎟ 1 ⎟⎠

unde:

ry ∗ x ∗ = tj

∑y

∗ ∗ t tj

x

nσ y ∗ σ x∗ j

=

∑y

∗ ∗ t tj

x

∑ (y ) ∑ (x ) ∗ 2 t

0,7917 0,8662 ⎞ ⎛ 1 ⎜ ⎟ R = ⎜ 0,7917 1 0,6198 ⎟ , ⎜ 0,8662 0,6198 1 ⎟⎠ ⎝

∗ 2 tj

calculată cu ajutorul programului EViews.

Cu ajutorul acestei matrici, estimatorii b$y / x j = b$ j se pot calcula astfel: j +1 b$y / x j = b$ j = ( −1)

R yx j σ y R yy σ x j

Econometrie. Studii de caz

unde:

R yx j = determinantul matricei R din care s-a eliminat linia y şi coloana x j ;

R yy = determinantul matricei R din care s-a eliminat linia y şi coloana y.

2 bˆ1 = (− 1)

3 bˆ2 = (− 1)

0,7917 0,6198 0,8662 1 66,951 ⋅ = 1,4963 1 0,6198 18,512 0,6198 1 0,7917 1 0,8662 0,6198 66,951 ⋅ = 4,2446 0,6158 9,619

În mod analog, estimatorul b$0 se calculează din relaţia (2): bˆ0 = 37,5024

2.1.6 Model multifactorial neliniar- funcţia Cobb-Douglas fără progres tehnic

Se cunosc următoarele date privind valoarea adăugată brută (Q), capitalul fix (mijloace fixe sau imobilizări corporale la sfârşitul anului) (K) şi numărul mediu de salariaţi (L), exprimate în preţuri comparabile (1990=100), în România, în perioada 1980-2002: Tabelul 2.6.1 Anul

Valoarea adăugată brută (mld. lei) (1990=100)

Imobilizări corporale (mld. lei ) (1990=100)

0

1

2

3

1980 1981

767,0 756,6

2451,1 2630,5

7378 7435

Numărul mediu de salariaţi (mii pers.)

Modele econometrice cu o singură ecuaţie şi cu ecuaţii multiple

Anul

Valoarea adăugată brută (mld. lei) (1990=100)

Imobilizări corporale (mld. lei ) (1990=100)

Numărul mediu de salariaţi (mii pers.)

0

1

2

3

1982 1983 1984 1985 1986 1987 1988 1989 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002

762,3 795,6 838,6 849,0 865,5 882,8 886,0 819,2 788,1 700,1 668,2 641,0 663,1 710,3 747,6 691,0 634,0 621,7 637,8 680,6 715,1

2544,3 2764,7 3011,5 3216,1 3432,0 3650,3 3781,4 4005,5 3498,0 1526,6 2622,5 917,1 487,9 1811,6 1386,7 720,4 820,5 908,2 1300,0 1417,1 1510,2

7553,2 7600,1 7585 7700 7751,9 7790 7842,6 7997,1 8156 7574 6888 6672 6438 6160 5939 5597 5369 4761 4623 4619 4568

Notă: Valoarea adăugată brută este calculată conform metodologiei de calcul a Sistemului European al Conturilor Economiei Integrate - SEC 1979. Valoarea adăugată brută şi imobilizările corporale au fost deflaţionate cu ajutorul deflatorului PIB exprimat în preţuri constante (1990 = 100), obţinut în urma prelucrării datelor din Raportul Anual BNR. Sursa: Date prelucrate pe baza Anuarului Statistic al României 1995, CNS, Bucureşti, 1996, p. 152153, 366-367, 386, Anuarului Statistic al României 2001, INS, Bucureşti, 2002, p. 276, 303, 104, Anuarului Statistic al României 2003, INS, Bucureşti, 2004, p. 106, 282, 312, Raportului Anual 1999, BNR, Bucureşti, 2000, p. 6*-9*, Raportului Anual 2000, BNR, Bucureşti, 2001, p. 6*-7*, Raportului Anual 2002 BNR, Bucureşti, 2003, p. 4*-5*, Dobrescu, E., Macromodels of the Romanian Transition Economy, Second Edition, Editura Expert, Bucharest, 1998, p. 174, 175-176, 184.

Se cere: a) Să se descrie corelaţia dintre cele trei fenomene economice cu ajutorul modelului Cobb-Douglas; b) Să se estimeze parametrii modelului şi să se facă discuţia econometrică a modelului obţinut;

Econometrie. Studii de caz

c) Să se comenteze semnificaţia parametrilor modelului şi să se verifice ipoteza conform căreia funcţia de producţie este de randament constant (α + β = 1) .

Rezolvare: a) Funcţia Cobb-Douglas se prezintă sub forma:

Q = AK α Lβ u

(1)

unde: A = parametru de scară; α , β = coeficienţii de elasticitate ai valorii adăugate brute reale în raport cu fiecare din factorii de influenţă utilizaţi; Q = valoarea adăugată brută reală; K = capitalul fix real (mijloace fixe sau imobilizări corporale la sfârşitul anului); L = numărul mediu de salariaţi. b) Modelul (1) este un model multifactorial neliniar care poate fi transformat într-un model liniar prin logaritmare:

ln Q = ln A + α ln K + β ln L + ln u Facem următoarele notaţii:

ln Q = y t ; ln A = a ; ln K = x1t ;

ln L = x 2 t ;

(2)

Modele econometrice cu o singură ecuaţie şi cu ecuaţii multiple

ln u = u t′ . Modelul devine:

y t = a + αx1t + βx 2t + u t′

(3)

Estimarea parametrilor acestui model se realizează cu ajutorul M.C.M.M.P.:

(

)

23

23

t =1

t =1

(

2 F aˆ ,αˆ , βˆ = min ∑ ( yt − yˆ t ) = min ∑ yt − aˆ − αˆx1t − βˆx2t

)

2

Minimul acestei funcţii este dat de calculul derivatelor parţiale în raport cu parametrii modelului:

F ′(aˆ ) = 0 ⇒ 2 ∑

(y − aˆ − αˆx t

1t

)

− βˆx2 t (− 1) = 0

t

(

)

(

)

F ′(αˆ ) = 0 ⇒ 2∑ yt − aˆ − αˆx1t − βˆx 2t (− x1t ) = 0 t

()

F ′ βˆ = 0 ⇒ 2∑ y t − aˆ − αˆx1t − βˆx 2t (− x 2t ) = 0 t

După efectuarea calculelor rezultă următorul sistem de ecuaţii: ⎧na$ + α$ ∑ x1t + β$ ∑ x 2 t = ∑ y t ⎪⎪ 2 $ ⎨a$ ∑ x1t + α$ ∑ x1t + β ∑ x1t x 2 t = ∑ x1t y t ⎪ 2 $ ⎪⎩a$ ∑ x 2 t + α$ ∑ x1t x 2 t + β ∑ x 2 t = ∑ x 2 t y t

Econometrie. Studii de caz

Datele necesare rezolvării modelului se obţin pe baza tabelului de mai jos: Tabelul 2.6.2 Valoarea Numărul Imobilizări adăugată mediu de Nr. corporale brută salariaţi crt. (mld. lei ) (mld. lei) (mii (1990=100) (1990=100) pers.)

yt

x1t

x2t

yˆ t

uˆt′

0

1

2

3

4

5

6

7

8

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23

767,0 756,6 762,3 795,6 838,6 849,0 865,5 882,8 886,0 819,2 788,1 700,1 668,2 641,0 663,1 710,3 747,6 691,0 634,0 621,7 637,8 680,6 715,1

2451,1 2630,5 2544,3 2764,7 3011,5 3216,1 3432,0 3650,3 3781,4 4005,5 3498,0 1526,6 2622,5 917,1 487,9 1811,6 1386,7 720,4 820,5 908,2 1300,0 1417,1 1510,2

7378 7435 7553,2 7600,1 7585 7700 7751,9 7790 7842,6 7997,1 8156 7574 6888 6672 6438 6160 5939 5597 5369 4761 4623 4619 4568

6,6425 6,6288 6,6363 6,6791 6,7317 6,7441 6,7633 6,7831 6,7867 6,7083 6,6696 6,5512 6,5046 6,4630 6,4969 6,5657 6,6169 6,5381 6,4520 6,4325 6,4580 6,5230 6,5724

7,8043 7,8749 7,8416 7,9247 8,0102 8,0759 8,1409 8,2026 8,2378 8,2954 8,1599 7,3308 7,8719 6,8213 6,1901 7,5020 7,2347 6,5798 6,7099 6,8115 7,1701 7,2564 7,3200

8,9063 8,9140 8,9297 8,9359 8,9339 8,9490 8,9557 8,9606 8,9673 8,9868 9,0065 8,9325 8,8375 8,8057 8,7700 8,7258 8,6893 8,6300 8,5884 8,4682 8,4388 8,4379 8,4268

6,6572 6,6668 6,6655 6,6764 6,6862 6,6964 6,7053 6,7134 6,7187 6,7287 6,7160 6,6056 6,6537 6,5241 6,4435 6,5913 6,5536 6,4662 6,4747 6,4666 6,5041 6,5142 6,5198

-0,0147 -0,0380 -0,0292 0,0027 0,0456 0,0476 0,0581 0,0697 0,0681 -0,0204 -0,0464 -0,0544 -0,1491 -0,0611 0,0534 -0,0256 0,0633 0,0719 -0,0226 -0,0342 -0,0461 0,0088 0,0526

Total

17120,9

50414,2

153996,9 151,9480 166,0466 193,7698 151,9480 0,0000

Modele econometrice cu o singură ecuaţie şi cu ecuaţii multiple

Rezolvarea modelului s-a realizat cu ajutorul programului EViews, conducând la afişarea următoarelor rezultate: Dependent Variable: yt Method: Least Squares Included observations: 23 Variable

Coefficient

Std. Error

t-Statistic

Prob.

C

4,2465

0,6405

6,6300

0,0000

x1t

0,1183

0,0287

4,1234

0,0005

x2t

0,1670

0,0876

1,9075

0,0709

R-squared Adjusted R-squared S.E. of regression Sum squared resid Log likelihood Durbin-Watson stat

0,7498 0,7248 0,0594 0,0705 33,9153 0,9991

Mean dependent var S.D. dependent var Akaike info criterion Schwarz criterion F-statistic Prob(F-statistic)

6,6064 0,1132 -2,6883 -2,5402 29,9722 0,0000

În urma testării semnificaţiei parametrilor s-a constatat că: t Aˆ = 6,63 > t0,01; 20 = 2,845 rezultă că parametrul a este semnficativ diferit de zero; tαˆ = 4,1234 > t0, 01; 20 = 2,845

rezultă

că

parametrul

semnficativ diferit de zero; t βˆ = 1,9075 < t0, 01; 20 = 2,845 rezultă că parametrul

β

α

este

nu este

semnificativ diferit de zero. Verificarea semnificaţiei variabilei Durbin-Watson, calculată în vederea testării ipotezei de independenţă a erorilor, se face cu ajutorul tabelei Durbin-Watson din care se extrag valorile d1 = 0,94 şi d 2 = 1,29 , în funcţie de un prag de semnificaţie α = 0,01 , de numărul de variabile exogene (k = 2 ) şi de numărul observaţiilor n = 23 . Comparând valoarea calculată a variabilei Durbin-Watson d c = 0,9991 cu cele două valori tabelate se observă că

Econometrie. Studii de caz

d c = 0,9991 > d1 = 0,94

şi

d c = 0,9991 < d 2 = 1,29

rezultând indecizie

tinzând spre o slabă autocorelaţie pozitivă care poate fi neglijată. Deoarece Fc = 29,9722 > F0, 01; 2; 20 = 5,85 rezultă că

valoarea

raportului de corelaţie este semnificativ diferită de zero, cu un prag de semnificaţie de 0,01. Utilizând ecuaţia analizei variaţiei:

∑(y

t

− y ) = ∑ ( yt − yˆ t ) + ∑ ( yˆ t − y ) 2

2

2

0,282 = 0,0705 + 0,2115 ⎛ ∑ ( yˆ t − y )2 ⎞ ⎟ din rezultă că modelul econometric explică aproximativ 75% ⎜ ⎜ ∑ ( y − y )2 ⎟ t ⎝ ⎠ variaţia valorii adăugate brute reale. În final, modelul este de forma: yˆ t = 4,2465 + 0,1183x1t + 0,167 x2t ;

(0,6405) (0,0287) (0,0876)

R = 0,8659 d = 0,9991

(4)

suˆ ′ = 0,0594

c) După cum se ştie, coeficientul de elasticitate este definit ca: E y /x =

d (ln y ) d (ln x )

În modelul Cobb-Douglas, parametrii α şi β reprezintă coeficienţii de elasticitate ai valorii adăugate brute reale în raport cu cei doi factori, imobilizări fixe reale ( x1 ) şi numărul mediu de salariaţi ( x 2 ) , aceştia măsurând variaţia relativă a valorii adăugate brute reale în funcţie de variaţia relativă a factorilor săi de influenţă.

Modele econometrice cu o singură ecuaţie şi cu ecuaţii multiple

Valorile celor doi parametrii au următoarea semnificaţie: E y / x1 = αˆ = 0,1183 E y / x 2 = βˆ = 0,167

La o creştere cu 1% a imobilizărilor corporale reale, valoarea adăugată brută reală creşte cu 0,12%, deci valoarea adăugată brută reală este inelastică în raport cu imobilizările corporale reale, iar pentru celălalt factor de producţie, număr mediu de salariaţi, nu poate fi făcută o evaluare econometrică, deoarece estimatorul acestuia, βˆ , este nesemnificativ. Ipoteza potrivit căreia funcţia este de randament constant, respectiv dacă se verifică următoarea restricţie liniară aplicată parametrilor modelului, respectiv: α + β = 1 va fi verificată cu ajutorul testului Wald15. În vederea aplicării acestui test este necesară estimarea parametrilor modelului de regresie cu restricţii, pentru care se verifică relaţia: α = 1 − β , având următoarea formă: (ln Qt − ln K t ) = a + β (ln Lt − ln K t ) + vt

(5)

Utilizând programul EViews au fost obţinute următoarele rezultate: Dependent Variable:

(ln Qt − ln Kt )

Method: Least Squares Sample: 1980 2002 Included observations: 23 Variable

Coefficient

Std. Error

t-Statistic

Prob.

C

-2,1982

0,0829

-26,5106

0,0000

1,0108

0,0617

16,3731

0,0000

(ln Lt − ln K t ) R-squared Adjusted R-squared S.E. of regression Sum squared resid Log likelihood Durbin-Watson stat

15

Cf. op. cit., p. 256-258.

0,9274 0,9239 0,1429 0,4287 13,1635 0,1798

Mean dependent var S.D. dependent var Akaike info criterion Schwarz criterion F-statistic Prob(F-statistic)

-0,9312 0,5179 -0,9707 -0,8720 268,0768 0,0000

Econometrie. Studii de caz

(ln Qt − ln K t ) = −2,1982 + 1,0108 ⋅ (ln Lt − ln Kt ) ; (0,0829) (0,0617)

R = 0,963 d = 0,1798 (6) svˆ = 0,1429

Se consideră că modelul (2) este modelul de regresie fără restricţii. Aplicarea testului Wald constă în verificarea următoarei inegalităţi: ⎛ ⎞ ⎜ ∑ vt2 − ∑ ut′2 ⎟ m t ⎠ Fc = ⎝ t < Fα ; v1 ; v 2 2 ′ ∑ ut (n − k )

(7)

t

unde: ∑ ut′2 = suma pătratelor erorilor corespunzătoare modelului de regresie fără t

restricţii (2);

∑v

2 t

= suma pătratelor erorilor corespunzătoare modelului de regresie cu

t

restricţii (5); m = numărul de restricţii liniare; k = numărul de parametrii ai modelului de regresie fără restricţii (2); n = numărul de observaţii. O altă variantă a acestui test este următoarea: Fc =

(R

2

)

− R r2 m

(1 − R ) (n − k ) < F 2

α ; v1 ; v 2

(8)

unde: R 2 = coeficientul de determinaţie corespunzător modelului de regresie fără

restricţii (2); R = coeficientul de determinaţie corespunzător modelului de regresie cu 2 r

restricţii (5).

Modele econometrice cu o singură ecuaţie şi cu ecuaţii multiple

Utilizând programul EViews în vederea aplicării testului Wald (utilizând relaţia (7)), s-au obţinut următoarele rezultate: Wald Test: Equation: EQ01 Null Hypothesis: F-statistic Chi-square

α + β =1 101,5390 101,5390

Probability Probability

0,0000 0,0000

Deoarece Fc = 101,539 > F0, 01;1; 20 = 8,10 , rezultă că ipoteza potrivit căreia funcţia de producţie este de randament constant este respinsă.

2.1.7 Model liniar multifactorial cu variabile centrate

Să se realizeze discuţia econometrică a dependenţei dintre o variabilă endogenă y şi două variabile exogene x1 şi x 2 , exprimate prin valori centrate, înregistrate la 20 de unităţi statistice, cunoscând următoarele date: ⎛ 3 2⎞ ⎛ 3⎞ ⎟ ; ( X ′Y ) = ⎜ ⎟ şi ( y ′y) = 12 . ⎝ 2 3⎠ ⎝ 5⎠

( X ′X ) = ⎜

Rezolvare :

Modelul econometric aferent celor trei variabile este: y t = b0 + b1 x1t + b2 x 2t + u t , t = 1,20

(1)

Ecuaţia (1) se însumează după t şi se împarte la n = 20 rezultând ecuaţia: y = b0 + b1 x1 + b2 x 2

(2)

Econometrie. Studii de caz

Scăzând din ecuaţia (1) ecuaţia (2), se obţine modelul: y t − y = b1 ( x1t − x1 ) + b2 ( x 2t − x 2 ) + ut

Notând cu:

~ yt = yt − y x~1t = x1t − x1 x~ = x − x 2t

2t

2

rezultă modelul (3) construit pe baza valorilor centrate:

~ y t = b1 x~1t + b2 x~2t + u t

(3)

Termenul liber, b0 , poate fi estimat din relaţia (2), după calculul parametrilor b1 şi b2 , astfel: b$0 = y − b$1 x1 − b$2 x 2

Matriceal, modelul (3) se scrie astfel: Y = XB + U

unde: y1 ⎞ ⎛~ ⎜~ ⎟ y2 Y = ⎜ ⎟ - vectorul valorilor centrate ale variabilei endogene; ⎜ M ⎟ ⎜~ ⎟ ⎝ y 20 ⎠

Modele econometrice cu o singură ecuaţie şi cu ecuaţii multiple

⎛ x~11 ⎜~ x12 X =⎜ ⎜ M ⎜~ ⎝ x120

x~21 ⎞ ⎟ x~22 ⎟ - matricea valorilor centrate ale variabilelor exogene x~1t M ⎟ ⎟ x~ ⎠ 220

şi x~2t ; ⎛ u1 ⎞ ⎜ ⎟ u2 U = ⎜ ⎟ - vectorul valorilor variabilei reziduale. ⎜ M ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ u 20 ⎠ Estimarea parametrilor b1 şi b2 pe baza modelului matriceal cu ajutorul M.C.M.M.P. constă în:

()

(

)

(

)

(

)(

)

2 2 ′ F Bˆ = min ∑ ut2 = min U ′U = min Y − Yˆ = min Y − XBˆ = min Y − XBˆ Y − XBˆ = n

t =1

(

= min Y ′Y − 2 Bˆ ′( X ′Y ) + Bˆ ′( X ′X )Bˆ

∂F ( B$ ) ∂B$

)

= 0 ⇒ −2( X ′Y ) + 2( X ′X ) B$ = 0

( X ′X ) ⋅ Bˆ = ( X ′Y ) ( X ′X )−1 ⋅ ( X ′X ) ⋅ Bˆ = ( X ′X )−1 ⋅ ( X ′Y ) ⎛ bˆ ⎞ −1 Bˆ = ( X ′X ) ⋅ ( X ′Y ) = ⎜⎜ 1 ⎟⎟ ˆ ⎝ b2 ⎠ ⎛ 3 2⎞ ⎟ ⎝ 2 3⎠

( X ′X ) = ⎜

Econometrie. Studii de caz

X ′X =

3 2 =9−4=5 2 3 3 − 2 ⎞ ⎛ 0,6 − 0,4 ⎞ ⎟=⎜ ⎟ 5 ⎝ − 2 3 ⎟⎠ ⎜⎝ − 0,4 0,6 ⎟⎠

( X ′X )−1 = 1 ⎛⎜⎜

⎛ 0,6 −0,4⎞ ⎛ 3⎞ ⎛ −0,2⎞ ⎛ b$1 ⎞ B$ = ⎜ ⎟⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ =⎜ ⎟ ⎝ −0,4 0,6 ⎠ ⎝ 5⎠ ⎝ 1,8 ⎠ ⎝ b$2 ⎠ În concluzie, modelul este de forma: Yˆt = −0,2 x1 + 1,8 x2

În continuare, se va verifica semnificaţia parametrilor, a raportului de corelaţie, precum şi verosimilitatea modelului. Pentru verificarea semnificaţiei parametrilor se vor calcula: - dispersia variabilei reziduale s u2ˆ =

(

1 y − Yˆt n − k −1 t

)

2

=

1 1 2 ′ UU ∑ uˆt = n − k −1 n − k −1

unde: k = numărul variabilelor exogene. În vederea determinării valorii produsului U ′U se porneşte de la ecuaţia analizei variaţiei:

∑ (y

− y) = 2

t

∑ (Yˆ

t

−y

) + ∑ (y 2

t

− Yˆt

)

2

u t = y t − Yˆt şi y = 0

Matriceal, această ecuaţie este de forma:

( y ′y ) = (Yˆ ′Yˆ ) + (U ′U )

Modele econometrice cu o singură ecuaţie şi cu ecuaţii multiple

( )

⇒ (U ′U ) = ( y ′y ) − Yˆ ′Yˆ

( )′

Dar Y = XBˆ ; Yˆ ′ = XBˆ , de unde:

( )( )

′ Yˆ ′Yˆ = XBˆ XBˆ = Bˆ ′( X ′X )Bˆ

Yˆ ′Yˆ = (− 0,2

⎛ 3 2 ⎞⎛ − 0,2 ⎞ ⎟⎟⎜⎜ ⎟⎟ = 8,4 1,8)⎜⎜ ⎝ 2 3 ⎠⎝ 1,8 ⎠

rezultă că: U ′U = 12 − 8,4 = 3,6 su2ˆ = -

1 ⋅ 3,6 = 0,2118 20 − 3

dispersiile celor doi estimatori

s b2ˆ = su2ˆ cij j

unde: cij = termenul situat pe diagonala principală a matricei inverse ( X ′X ) . −1

2 ⎛ 0,6 ⎞ ⎛⎜ sbˆ1 ⎞⎟ ⎛ 0,1271⎞ ⎟= ⎟ =⎜ s = 0,2118 ⋅ ⎜⎜ 0,6 ⎟⎠ ⎜⎝ sb2ˆ2 ⎟⎠ ⎜⎝ 0,1271⎟⎠ ⎝ 2 bˆ j

Abaterile medii pătratice ale celor doi estimatori sunt egale cu: ⎛ 0,3565⎞ sb$ j = sb2$ j = ⎜ ⎟ ⎝ 0,3565⎠

Econometrie. Studii de caz

Estimatorii parametrilor modelului sunt semnificativ diferiţi de zero dacă se verifică relaţia: bˆ j sbˆ

> tα ;n − k −1 ; j = 1,2

j

bˆ1 sbˆ

=

0,2 = 0,561 0,3565

=

1,8 = 5,0491 0,3565

1

bˆ2 sbˆ

2

Din tabela distribuţiei Student, pentru un prag de semnificaţie α = 0,05 şi în funcţie de numărul gradelor de libertate v = n − k − 1 = 17 , se preia valoarea t 0, 05;17 = 2,101. Comparând această valoare cu valorile calculate pentru cei doi estimatori se constată că: tcbˆ = 0,561 < t0,05;17 = 2,101 , rezultă că parametrul b$1 nu este 1

semnificativ diferit de zero; tcbˆ = 5,0491 > t0,05;17 = 2,101 ,

rezultă

că

parametrul

2

b$2

este

semnificativ diferit de zero. Deoarece parametrul b$1 nu este semnificativ diferit de zero se poate renunţa la variabila x1 . În vederea verificării verosimilităţii modelului se utilizează metoda analizei variaţiei, modelul testat fiind: Yˆ = −0,2 x + 1,8 x . 1

2

Modele econometrice cu o singură ecuaţie şi cu ecuaţii multiple

Sursa de variaţie

Măsura variaţiei

Varianţa explicată de model

20

(

Nr. grade de libertate

)

2 Vx2 = ∑ Yˆt − y = t =1

= (Y ′Y ) = 8,4 20

(

)

Vu2 = ∑ yt − Yˆt

Varianţa totală

V02 = ∑ ( y t − y ) =

2

=

= (U ′U ) = 3,6 20

t =1

sY2 / X =

Vx2 k

Fc Fc =

sY2 / X su2ˆ

= 19,83

Fα ;v1 ;v2 F0,05; 2;17 = 3,59 F0,01; 2;17 = 6,11

n − k −1=17

Vu2 n − k −1 = 0,2118

-

-

n −1=19

-

-

-

su2 =

2

= ( y ′y) = 12

Deoarece

Dispersia corectată

= 4,2

Varianţa reziduală

t =1

k =2

Tabelul 2.7.1 Valoarea testului F

Fc = 19,83 > F0,01;2;17 = 6,11 rezultă că modelul este

semnificativ cu un prag de semnificaţie α = 0,01 . Pe baza datelor din tabel se poate calcula valoarea raportului de corelaţie astfel:

R=

Vx2 8,4 = = 0,7 = 0,8367 2 V0 12

Raportul de corelaţie este semnificativ diferit de zero dacă se verifică inegalitatea: Fc ≥ Fα ;v1 ;v2 Valoarea empirică a variabilei Fisher-Snedecor este: Fc =

20 − 3 0,7 n − k −1 R2 ⋅ = ⋅ = 19,8334 k 1− R 2 1 − 0,7

Econometrie. Studii de caz

Deoarece Fc = 19,8334 > F0, 01; 2;17 , rezultă că valoarea raportului de corelaţie este semnificativ diferită de zero, cu un prag de semnificaţie α = 0,01 . Utilizând ecuaţia analizei variaţiei: V02 = Vx2 + Vu2 12 = 8,4 + 3,6 ⎞ ⎛V 2 rezultă că modelul econometric explică 70% ⎜⎜ x2 ⋅ 100 ⎟⎟ din variaţia totală a ⎠ ⎝ Vo variabilei endogene y , restul de 30% reprezentând variaţia variabilei y

neexplicată de model şi atribuită factorilor aleatori.

2.1.8 Modele dinamice

2.1.8.1 Model dinamic – funcţia Cobb–Douglas cu progres tehnic Utilizând datele din tabelul 2.6.1., din cadrul problemei 2.1.6., să se estimeze influenţa progresului tehnic asupra creşterii valorii adăugate brute reale cu ajutorul unui model Cobb - Douglas. Rezolvare: Din punct de vedere econometric, cuantificarea influenţei progresului tehnic asupra creşterii valorii adăugate brute reale se poate face cu ajutorul unui model de forma: α

β

Qt = A ⋅ Kt ⋅ Lt ⋅ ec t ⋅ ut

(1)

Modele econometrice cu o singură ecuaţie şi cu ecuaţii multiple

unde: A = parametru de scară; α , β = coeficienţii de elasticitate ai valorii adăugate brute reale în raport cu fiecare din factorii de producţie utilizaţi; c = expresia econometrică a influenţei progresului tehnic asupra creşterii valorii adăugate brute reale; Q = valoarea adăugată brută reală; K = capitalul fix real (mijloace fixe sau imobilizări corporale la sfârşitul anului); L = numărul mediu de salariaţi; t = variabila timp, t =1, n = 1,23 ; u = variabila aleatoare. Modelul (1) este un model multifactorial neliniar care poate fi transformat într-un model liniar prin logaritmare: ln Qt = ln A + α ln Kt + β ln Lt + c t + ln ut

Se fac următoarele notaţii: ln Q = y t ; ln A = a ; ln K = x1t ;

ln L = x 2 t ; ln u = u t′ . Modelul devine: y t = a + α x 1 t + β x 2 t + ct + u t′

Econometrie. Studii de caz

Estimarea parametrilor acestui model se realizează cu ajutorul M.C.M.M.P.:

(

)

F aˆ , αˆ , βˆ , cˆ = min

23

∑ (y t t =1

2 − yˆ t ) = min

∑ (y 23

t =1

t

− aˆ − αˆ x 1t − βˆx 2 t − cˆ t

)

Minimul acestei funcţii este dat de calculul derivatelor parţiale în raport cu parametrii modelului: F ′ (aˆ ) = 0 ⇒ 2 ∑ t

(y t

− aˆ − αˆ x 1 t − βˆ x 2 t − cˆ t

0 ⇒ 2∑

(y t

− aˆ − αˆ x 1 t − βˆ x 2 t − cˆ t

F ′ βˆ = 0 ⇒ 2 ∑

(y t

− aˆ − αˆ x 1 t − βˆ x 2 t − cˆ t

F ′ (cˆ ) = 0 ⇒ 2 ∑

(y t

− aˆ − αˆ x 1 t − βˆ x 2 t − cˆ t

F ′ (αˆ

)=

( )

t

t

t

)(− 1 ) =

)(−

x1 t

)(−

)=

x2t

)(−

0

0

)=

0

t )= 0

După efectuarea calculelor rezultă următorul sistem de ecuaţii: ⎧naˆ + αˆ ∑ x 1t + βˆ ∑ x 2t + cˆ ∑ t = ∑ y t ⎪ 2 ⎪⎪aˆ ∑ x 1t + αˆ ∑ x 1t + βˆ ∑ x 1t x 2t + cˆ ∑ x 1t t = ∑ x 1t y t ⎨ 2 ⎪aˆ ∑ x 2t + αˆ ∑ x 1t x 2t + βˆ ∑ x 2t + cˆ ∑ x 2t t = ∑ x 2t y t ⎪ 2 ⎪⎩aˆ ∑ t + αˆ ∑ x 1t t + βˆ ∑ x 2t t + cˆ ∑ t = ∑ y t t

2

Modele econometrice cu o singură ecuaţie şi cu ecuaţii multiple

Datele necesare rezolvării modelului se obţin pe baza tabelului de mai jos: Tabelul. 2.8.1.1 Valoarea adăugată Nr. brută crt. (mld. lei) (1990=100)

Imobilizări Numărul corporale mediu de (mld. lei ) salariaţi (1990=100) (mii pers.)

yt

0

1

2

3

4

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23

767,0 756,6 762,3 795,6 838,6 849,0 865,5 882,8 886,0 819,2 788,1 700,1 668,2 641,0 663,1 710,3 747,6 691,0 634,0 621,7 637,8 680,6 715,1

2451,1 2630,5 2544,3 2764,7 3011,5 3216,1 3432,0 3650,3 3781,4 4005,5 3498,0 1526,6 2622,5 917,1 487,9 1811,6 1386,7 720,4 820,5 908,2 1300,0 1417,1 1510,2

7378 7435 7553,2 7600,1 7585 7700 7751,9 7790 7842,6 7997,1 8156 7574 6888 6672 6438 6160 5939 5597 5369 4761 4623 4619 4568

6,6425 6,6288 6,6363 6,6791 6,7317 6,7441 6,7633 6,7831 6,7867 6,7083 6,6696 6,5512 6,5046 6,4630 6,4969 6,5657 6,6169 6,5381 6,4520 6,4325 6,4580 6,5230 6,5724

Total

17120,9

50414,2

x2t

yˆ t

uˆt′

t

x1t 5

6

7

8

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23

7,8043 7,8749 7,8416 7,9247 8,0102 8,0759 8,1409 8,2026 8,2378 8,2954 8,1599 7,3308 7,8719 6,8213 6,1901 7,5020 7,2347 6,5798 6,7099 6,8115 7,1701 7,2564 7,3200

8,9063 8,9140 8,9297 8,9359 8,9339 8,9490 8,9557 8,9606 8,9673 8,9868 9,0065 8,9325 8,8375 8,8057 8,7700 8,7258 8,6893 8,6300 8,5884 8,4682 8,4388 8,4379 8,4268

6,6622 6,6709 6,6687 6,6787 6,6878 6,6971 6,7051 6,7124 6,7169 6,7259 6,7123 6,6033 6,6519 6,5233 6,4433 6,5898 6,5524 6,4661 6,4744 6,4677 6,5047 6,5140 6,5191

-0,0197 -0,0421 -0,0324 0,0004 0,0439 0,0470 0,0582 0,0707 0,0698 -0,0176 -0,0427 -0,0521 -0,1473 -0,0603 0,0536 -0,0241 0,0645 0,0721 -0,0224 -0,0352 -0,0466 0,0090 0,0533

153996,9 151,9480 276 166,0466 193,7698 151,9480 0,0000

Econometrie. Studii de caz

Rezolvarea modelului s-a realizat cu ajutorul programului EViews, conducând la afişarea următoarelor rezultate: Dependent Variable: yt Method: Least Squares Sample: 1980 2002 Included observations: 23 Variable

Coefficient

Std. Error

t-Statistic

Prob.

C

4,4141

1,2087

3,6521

0,0017

x1t

0,1172

0,0301

3,9005

0,0010

0,1498 -0,0007

0,1379 0,0040

1,0861 -0,1652

0,2910 0,8706

x2t t R-squared Adjusted R-squared S.E. of regression Sum squared resid Log likelihood Durbin-Watson stat

0,7502 0,7107 0,0609 0,0704 33,9318 0,9946

Mean dependent var S.D. dependent var Akaike info criterion Schwarz criterion F-statistic Prob(F-statistic)

6,6064 0,1132 -2,6028 -2,4053 19,0188 0,0000

În urma testării semnificaţiei parametrilor s-a constatat că: t Aˆ = 3,6521 > t0, 01;19 = 2,861 rezultă că parametrul a este semnficativ diferit de zero; tαˆ = 3,9005 > t0,01;19 = 2,861

rezultă

că

parametrul

semnficativ diferit de zero; t βˆ = 1,0861 < t0,01;19 = 2,861 rezultă că parametrul

β

α

este

nu este

semnificativ diferit de zero; tcˆ = 0,1652 < t0,01;19 = 2,861 rezultă că parametrul c nu este semnificativ diferit de zero. Verificarea semnificaţiei variabilei Durbin-Watson, calculată în vederea testării ipotezei de independenţă a erorilor, se face cu ajutorul tabelei Durbin-Watson din care se extrag valorile d1 = 0,83 şi d 2 = 1,40 , în

Modele econometrice cu o singură ecuaţie şi cu ecuaţii multiple

funcţie de un prag de semnificaţie α = 0,01 , de numărul de variabile exogene (k = 3) şi de numărul observaţiilor n = 23 . Comparând d c = 0,9946 cu

valoarea calculată a variabilei Durbin-Watson cele două valori tabelate se observă că

d c = 0,9946 > d1 = 0,83 şi d c = 0,9946 < d 2 = 1,40 rezultând indecizie tinzând spre o slabă autocorelaţie pozitivă care poate fi neglijată. Deoarece Fc = 19,0188 > F0,01;3;19 = 5,01 rezultă că

valoarea

raportului de corelaţie este semnificativ diferită de zero, cu un prag de semnificaţie de 0,01. Utilizând ecuaţia analizei variaţiei:

∑(y

t

− y ) = ∑ ( yt − yˆ t ) + ∑ ( yˆ t − y ) 2

2

2

0,282 = 0,0704 + 0,2116 ⎛ ∑ ( yˆ t − y )2 ⎞ ⎟ din rezultă că modelul econometric explică aproximativ 75% ⎜ ⎜ ∑ ( y − y )2 ⎟ t ⎝ ⎠ variaţia valorii adăugate brute reale. În final, modelul devine: yˆ t = 4,4141 + 0,1172 x1t + 0,1498 x2t − 0,0007 t ; (1,2087) (0,0301) (0,1379)

(0,0040)

R = 0,8661 d = 0,9946 suˆ ′ = 0,0609

În cadrul modelului Cobb-Douglas cu progres tehnic, parametrii α şi β reprezintă coeficienţii de elasticitate ai valorii adăugate brute reale în raport cu cei doi factori, imobilizări corporale reale ( x1 ) şi număr mediu de

salariaţi ( x 2 ) , aceştia măsurând variaţia relativă a valorii adăugate brute reale în funcţie de variaţia relativă a factorilor de producţie, iar c exprimă influenţa progresului tehnic asupra creşterii valorii adăugate brute reale.

Econometrie. Studii de caz

Coeficientul de elasticitate se defineşte astfel: d (ln y ) Ey/ x = d (ln x ) Valorile parametrilor α şi β au următoarea semnificaţie: E y / x1 = αˆ = 0,1172 E y / x 2 = βˆ = 0,1498 La o creştere cu 1% a imobilizărilor corporale reale valoarea adăugată brută reală creşte cu 0,12%, deci valoarea adăugată brută reală este inelastică în raport cu imobilizările corporale reale, iar pentru ceilalţi doi factori de producţie, număr mediu de salariaţi şi progres tehnic, nu pot fi făcute evaluări econometrice, deoarece cei doi estimatori, βˆ şi cˆ , nu au valori semnificativ diferite de zero, cauza putând fi dimensiunea relativ redusă a seriiilor de timp utilizate. 2.1.8.2 Model autoregresiv Se cunosc următoarele date privind consumul final real al gospodăriilor populaţiei şi venitul disponibil net real al populaţiei în România, în perioada 1980-2001, exprimate în miliarde lei preţuri comparabile (1990=100): Tabelul 2.8.2.1

mld.lei (1990=100) Anul

Consumul final real al gospodăriilor populaţiei

Venitul disponibil net real al populaţiei

0

1

2

1980 1981 1982 1984 1985 1986 1987 1988

433,3 442,1 436,3 433,1 450,1 442,0 448,1 472,1

431,4 460,1 465,9 465,6 489,7 492,5 500,1 518,1

Modele econometrice cu o singură ecuaţie şi cu ecuaţii multiple

Anul

Consumul final real al gospodăriilor populaţiei

Venitul disponibil net real al populaţiei

0

1

2

1989 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001

513,2 516,6 557,7 467,4 432,1 435,9 447,3 505,3 545,7 525,7 586,2 579,8 582,3

527,1 558,1 588,1 455,9 438,7 455,3 489,3 560,4 584,6 559,4 493,3 513,7 525,7

Notă: Ambii indicatori sunt calculaţi conform metodologiei de calcul a Sistemului European al Conturilor Economiei Integrate - SEC 1979. Consumul final al populaţiei a fost deflaţionat cu ajutorul deflatorului consumului final al populaţiei exprimat în preţuri constante (1990 = 100), iar venitul disponibil net al populaţiei a fost deflaţionat cu ajutorul deflatorului PIB exprimat în preţuri constante (1990 = 100), obţinut în urma prelucrării datelor din Raportul Anual BNR. Acesta a fost deflaţionat cu ajutorul deflatorului PIB în preţuri constante (1990 = 100). Datele provin de la Ministerul Prognozei şi Dezvoltării. Sursa: Date prelucrate pe baza Anuarului Statistic al României 1995, CNS, Bucureşti, 1996, p. 370372, Anuarului Statistic al României 1996, INS, Bucureşti, 1997, p. 364-366, Anuarului Statistic al României 2001, INS, Bucureşti, 2002, p. 278, 280, Anuarului Statistic al României 2003, INS, Bucureşti, 2004, p. 284, 286, Raportului Anual 1999, BNR, Bucureşti, 2000, p. 6*-9*, Raportului Anual 2000, BNR, Bucureşti, 2001, p. 6*-7*, Raportului Anual 2002 BNR, Bucureşti, 2003, p. 4*-5*, Dobrescu, E., Macromodels of the Romanian Transition Economy, Second Edition, Editura Expert, Bucharest, 1998, p. 184.

Se cere: a) Să se construiască modelul econometric autoregresiv ce descrie legătura dintre cele două variabile; b) Să se estimeze parametrii modelului şi să se verifice semnificaţia acestora şi a modelului. c) Să se verifice ipoteza de stabilitate relativă în timp a legăturii dintre consumul populaţiei şi factorii săi prin intermediul testului Chow şi

Econometrie. Studii de caz

capacitatea de previziune a acestuia cu ajutorul indicatorilor propuşi de Theil. Rezolvare: a) Funcţia de consum bazată pe teoria venitului permanent a lui Friedman a fost aplicată în cazul economiei României folosind următorul model econometric autoregresiv:

C t = α 0 + α 1Vt + α 2 C t −1 + u t , t = 1, 21 unde: Ct = consumul final real al populaţiei; Vt = venitul disponibil real al populaţiei; ut = variabila reziduală. Rezolvarea modelului s-a realizat cu ajutorul pachetului de programe EViews, conducând la afişarea următoarelor rezultate: Dependent Variable: Ct Method: Least Squares Sample(adjusted): 1981 2001 Included observations: 21 after adjusting endpoints Variable

Coefficient

Std. Error

t-Statistic

Prob.

C

-136,0368

73,9782

-1,8389

0,0825

Vt Ct-1

0,5293

0,1456

3,6356

0,0019

0,7452

0,1146

6,5023

0,0000

R-squared Adjusted R-squared S.E. of regression Sum squared resid Log likelihood Durbin-Watson stat

0,8271 0,8079 26,4646 12606,71 -96,9711 2,1437

Mean dependent var S.D. dependent var Akaike info criterion Schwarz criterion F-statistic Prob(F-statistic)

496,6524 60,3813 9,5211 9,6703 43,0566 0,0000

Cˆ t = −136,0368 + 0,5293 Vt + 0,7452Ct −1; R = 0,9095

(73,9782 ) (0,1456 )

(0,1146 )

d = 2,14 su = 26,4646

Modele econometrice cu o singură ecuaţie şi cu ecuaţii multiple

Pe baza estimatorilor parametrilor au fost calculate valorile estimate ale variabilei Ct, Cˆ t = −136,0368 + 0,5293 Vt + 0,7452C t −1 şi ale variabilei reziduale, uˆ t = C t − Cˆ t . Valorile acestora sunt prezentate în cadrul tabelului 2.8.2.2. (utilizând pachetul de programe EViews):

Actual

Fitted

Ct

Cˆ t

442,1 436,3 433,1 450,1 442,0 448,1 472,1 513,2 516,6 557,7 467,4 432,1 435,9 447,3 505,3 545,7 525,7 586,2 579,8 582,3 610,7

430,3889 440,0166 435,5356 445,9067 460,0573 458,0437 472,1167 494,7654 541,8015 560,2139 520,8702 444,4738 426,9540 447,7816 493,9094 549,9405 566,7089 516,8188 572,7015 574,2837 576,4113

Residual uˆt

11,7111 -3,7166 -2,4356 4,1933 -18,0573 -9,9437 -0,0167 18,4346 -25,2015 -2,5139 -53,4702 -12,3738 8,9460 -0,4816 11,3906 -4,2405 -41,0089 69,3812 7,0985 8,0163 34,2887

Tabelul 2.8.2.2 Residual Plot (graficul reziduurilor)

| . |* . | | . *| . | | . * . | | . |* . | | .* | . | | . *| . | | . * . | | . | *. | | .* | . | | . * . | | * . | . | | . *| . | | . |* . | | . * . | | . |* . | | . *| . | | *. | . | | . | . *| | . |* . | | . |* . | | . | .* |

Verificarea semnificaţiei modelului necesită: - verificarea ipotezei de independenţă a erorilor; - verificarea semnificaţiei estimatorilor; - verificarea semnificaţiei raportului de corelaţie.

Econometrie. Studii de caz

Deşi valoarea variabilei d, corespunzătoare testului Durbin-Watson, este afişată de către programul EViews, în cazul unui model autoregresiv, aceasta tinde către 2, valoare ce corespunde erorilor independente. In acest caz, în vederea verificării ipotezei de independenţă a erorilor, se recomandă fie utilizarea testului Breusch-Godfrey16, fie a testului Durbin-h. Testul Breusch-Godfrey este folosit în vederea depistării unei autocorelaţii de ordin superior. Ca urmare a presupunerii existenţei unei autocorelaţii de ordin superior se construieşte următorul model: u t = r1u t −1 + r2 u t − 2 + K + rp u t − p + z t unde: zt = variabilă reziduală de medie zero şi dispersie constantă. Ipoteza nulă care stă la baza testului este aceea potrivit căreia toţi coeficienţii corespunzători valorilor decalate ale variabilei reziduale sunt simultan egali cu zero, fapt ce implică inexistenţa fenomenului de autocorelaţie a erorilor. În vederea aplicării testului sunt estimate valorile variabilei reziduale ut în urma aplicării M.C.M.M.P. asupra modelului iniţial. Variabila reziduală ut este apoi regresată în funcţie de variabilele exogene iniţiale ale modelului şi de valorile sale decalate, respectiv ut-1, ut-2,…, ut-p. În cazul acestei regresii este calculată valoarea coeficientului de determinare R2 şi a unei variabile de forma: BG = (n-p) R2. Presupunând că ne aflăm în situaţia unui eşantion de volum mare, variabila BG este asimptotic distribuită sub forma unui χ α2 ;v , pentru care numărul gradelor de libertate este egal cu: v = p , unde p = mărimea decalajului , respectiv: BG~ χ α2 ; v . Dacă BG > χ α2 ; v , ipoteza nulă este respinsă, ceea ce presupune că există cel puţin un coeficient de autocorelaţie nenul.

16

cf. Damodar N. Gujarati, Basic Econometrics, 3rd ed., Mc Graw-Hill, New York, 1995, p. 425

Modele econometrice cu o singură ecuaţie şi cu ecuaţii multiple

Aplicarea testului Breusch-Godfrey s-a realizat utilizând pachetul de programe EViews (presupunând ca mărimea decalajului este p = 2): Breusch-Godfrey Serial Correlation LM Test: F-statistic Obs*R-squared

0,1565 0,4030

Probability Probability

0,8564 0,8175

Test Equation: Dependent Variable: ut Method: Least Squares Variable

Coefficient

Std. Error

t-Statistic

Prob.

C Vt Ct-1 ut-1 ut-2

-14,1990 0,0106 0,0176 -0,1547 0,0007

91,5356 0,1642 0,1267 0,2914 0,2963

-0,1551 0,0643 0,1388 -0,5307 0,0025

0,8787 0,9495 0,8913 0,6029 0,9980

0,0192 -0,2260 27,7992 12364,76 -96,7676 1,8977

Mean dependent var S.D. dependent var Akaike info criterion Schwarz criterion F-statistic Prob(F-statistic)

R-squared Adjusted R-squared S.E. of regression Sum squared resid Log likelihood Durbin-Watson stat

9,74E-14 25,1065 9,6922 9,9408 0,0783 0,9879

În cazul utilizării pachetului de programe EViews există două variante de aplicare a testului Breusch-Godfrey: - utilizarea testului Fisher–Snedecor aplicat în vederea verificării existenţei unor variabile absente (omise) în model, având următoarea relaţie de calcul: R2 p Fc = 1 − R 2 (n − m )

(

)

Econometrie. Studii de caz

unde: p = numărul de variabile noi adăugate în model, respectiv ut-1, ut-2,…, ut-p; m = numărul total de parametri corespunzători noului model. Dacă Fc < Fα ;v1 ;v2 , unde v1 = p şi v2 = n-m, ipoteza conform căreia estimatorii corespunzători noilor parametri adăugaţi în model sunt nuli este verificată, respectiv, în cazul nostru, fenomenul de autocorelare a erorilor nu este prezent, cazul contrar implicând existenţa cel puţin a unei autocorelaţii de ordinul întâi. Cum Fc = 0,1565 < F0,05; 2;16 = 3,63 , rezultă că noul model este corect specificat, indicând astfel faptul că erorile sunt independente: - utilizarea testului LM, calculat ca produs între numărul de observaţii corespunzătoare modelului, n, şi coeficientul de determinare, R2, corespunzător acestei regresii auxiliare. În general, testul LM este asimptotic distribuit sub forma unui χ α2 ; v , pentru care numărul gradelor de libertate este egal cu: v = p , unde p = mărimea decalajului, respectiv: LM = n ⋅ R 2 ~ χ α2 ; v Dacă LM > χ α2 ;v , erorile sunt autocorelate, în caz contrar, sunt independente, respectiv ipoteza nulităţii parametrilor, r1 = r2 = 0 , este acceptată. Se constată astfel că pachetul de programe nu utilizează relaţia clasică de calcul a testului Breusch-Godfrey, respectiv: BG = (n-p)·R2. Deoarece LM = 0,403 < χ 02,05; 2 = 5,99147 , aceasta implică faptul că erorile sunt independente. În cazul calculării în varianta clasică a testului Breusch-Godfrey, respectiv: BG = 19 ⋅ 0,0192 = 0,3646 < χ 02,05; 2 = 5,99147 , se ajunge la aceleaşi concluzii menţionate anterior.

Modele econometrice cu o singură ecuaţie şi cu ecuaţii multiple

Aplicarea testului Durbin-h17 constă în calculul următoarei relaţii: h = r1

n 1 − n ⋅ sα2ˆ2

unde: r1 = coeficientul de autocorelaţie de ordinul întâi; sα2ˆ2 = dispersia corespunzătoare valorii decalate a consumului final real al

populaţiei; n = numărul de observaţii. Presupunând că numărul de observaţii este suficient de mare, variabila h urmează distribuţia normală, de medie zero şi dispersie egală cu unitatea, aceasta semnificând faptul că : P(− 1,96 ≤ h ≤ 1,96 ) = 1 − α = 1 − 0,05 = 0,95

Regulile de decizie în cazul aplicării acestui test sunt următoarele: - dacă h > 1,96 se acceptă ipoteza potrivit căreia există autocorelaţie de ordinul întâi pozitivă; - dacă h < −1,96

se acceptă ipoteza potrivit căreia există

autocorelaţie de ordinul întâi negativă; - dacă − 1,96 ≤ h ≤ 1,96 se acceptă ipoteza potrivit căreia erorile sunt independente, respectiv nu există autocorelaţie de ordinul întâi, pozitivă sau negativă. Valoarea coeficientului de autocorelaţie de ordinul întâi se calculează cu ajutorul relaţiei: r1 = 1 −

17

d = 1 − 2,1437 = −0,0718 2

cf. op. cit., p. 605-607.

Econometrie. Studii de caz

În acest caz, valoarea testului h este următoarea: h = −0,0718 ⋅

21 = −0,39 1 − 21 ⋅ 0,1146 2

Şi în acest caz poate fi acceptată ipoteza de independenţă a erorilor. Estimatorii modelului sunt semnificativ diferiţi de zero dacă: tαˆ 0 =

tαˆ 0 =

tαˆ1 =

tαˆ1 =

tαˆ 2 =

tαˆ 2 =

αˆ 0 sαˆ 0

≥ tα ;n −k −1

− 136,0368 73,9782

αˆ 1 sαˆ1

= 1,8389

≥ tα ;n − k −1

0,5293 = 3,6356 0,1456

αˆ 2 sαˆ 2

≥ tα ;n − k −1

0,7452 = 6,5023 0,1146

Lucrând cu un prag de semnificaţie α

(α = 0,05) ,

din tabela

distribuţiei Student se preia valoarea t 0,05;18 = 2,101 . Comparând această valoare cu valorile calculate pentru cei trei estimatori, se constată că: - tαˆ 0 = 1,8389 < t 0,05;18 = 2,101 ⇒ parametrul αˆ 0 nu este semnificativ diferit de zero, pentru un prag de semnificaţie α = 0,05 ; - t αˆ1 = 3,6356 > t 0,05;18 = 2,101 ⇒ parametrul αˆ 1 este semnificativ diferit de zero, pentru un prag de semnificaţie α = 0,05 ;

Modele econometrice cu o singură ecuaţie şi cu ecuaţii multiple

- t αˆ 2 = 6,5023 > t 0, 05;18 = 2,101 ⇒ parametrul αˆ 2 este semnificativ diferit de zero, pentru un prag de semnificaţie α = 0,05 . Raportul de corelaţie este semnificativ diferit de zero dacă se verifică inegalitatea: Fc ≥ Fα ;v1 ;v2 , unde valoarea empirică a variabilei Fisher-Snedecor este: Fc =

0,8271 18 R2 n − k −1 ⋅ = ⋅ = 43,0566 2 k 1 − 0,8271 2 1− R

Din tabela distribuţiei Fisher-Snedecor, cu un prag de semnificaţie de 5% şi în funcţie de numărul gradelor de libertate v1 = k = 2 şi v 2 = n − k − 1 = 18 se preia valoarea teoretică F0, 05; 2;18 = 3,55 . Se constată că

Fc = 43,0566 > F0,05; 2;18 = 3,55 , deci, pentru un prag de semnificaţie de 5%, valoarea raportului de corelaţie este semnificativ diferită de zero. În concluzie, modelul Cˆ = −136,0368 + 0,5293 V + 0,7452C t

t

t −1

poate fi apreciat ca reprezentativ pentru descrierea dependenţei dintre consumul final real al gospodăriilor populaţiei, venitul disponibil net real al populaţiei şi consumul final real al gospodăriilor populaţiei decalat cu o perioadă. Utilizând ecuaţia analizei variaţiei: V02 = V x2 + Vu2 ⇒ 100 =

V x2 V02

⋅ 100 +

Vu2 V02

⋅ 100 ⇒ 100 = 77,9 + 22,1

rezultă că funcţia de ajustare explică aproximativ 78% din variaţia totală a consumului final real al gospodăriilor populaţiei. În final, modelul econometric devine: Cˆ t = −136,0368 + 0,5293 Vt + 0,7452C t −1 ; R = 0,9095

(73,9782 ) (0,1456 )

(0,1146 )

d = 2,14 s u = 26,4646

Econometrie. Studii de caz

În vederea realizării de previziuni cu ajutorul acestui model se impune testarea ipotezei de stabilitate relativă în timp a legăturii dintre consumul populaţiei şi factorii săi prin intermediul testului Chow (Tănăsoiu, Iacob, p. 166-167). În vederea aplicării acestui test au fost construite trei modele de corelaţie pe următoarele perioade de timp: 1981-1989, 1990-2001 şi 1981-2001. Testul Chow se calculează cu ajutorul următoarei relaţii: Fc =

V02u − Vau2 T − 2 ⋅ (k + 1) ⋅ k +1 Vau2

(5)

unde: n

V02u = ∑ u 02t

reprezintă suma pătratelor valorilor variabilei reziduale

t =1

înregistrate în perioada 1981-2001; V =V 2 au

2 a1u

+V

2 a2 u

n1

Va21u = ∑ u12t

reprezintă suma pătratelor valorilor variabilei reziduale

t =1

Va22 u =

T

∑u

înregistrate în perioada 1981-1989 (n1 = 9 ) ; 2 2t

reprezintă suma pătratelor valorilor variabilei reziduale

t = n1 + 1

înregistrate în perioada 1990-2001 (n 2 = 12 ) ;

T = numărul total de observaţii (T = n1 + n 2 = 21) ;

k = numărul variabilelor exogene ( k = 1) .

Testarea ipotezei de stabilitate constă în alegerea uneia din următoarele ipoteze: H 0 : Dacă V02u ≅ Vau2 rezultă că legitatea de evoluţie a legăturii dintre consumul populaţiei şi factorii săi este stabilă în timp, şi, ca atare, modelul poate fi utilizat în vederea efectuării prognozei;

Modele econometrice cu o singură ecuaţie şi cu ecuaţii multiple

H1 : DacăV02u ≠ Vau2 rezultă că legitatea de evoluţie a legăturii dintre consumul populaţiei şi factorii săi nu este stabilă în timp, iar modelul nu va putea fi utilizat în vederea efectuării prognozei. În cazul în care Fc ≤ Fα ;v1 ;v2 se alege ipoteza H 0 , iar dacă Fc > Fα ;v1 ;v2 se alege ipoteza H1 (unde: α = 0,05 , pragul de semnificaţie şi v1 = k + 1 şi v 2 = T − 2 ⋅ (k + 1) , numărul gradelor de libertate). În urma aplicării testului Chow se constată că Fc = 0,1901 < F0, 05;3;15 = 3,29 şi, ca atare, poate fi acceptată ipoteza unei stabilităţi relative în timp a legăturii dintre consumul populaţiei şi factorii săi şi, ca atare, modelul poate fi folosit în vederea simulării şi prognozei. În urma calculelor efectuate cu ajutorul pachetului de programe EViews în vederea testării capacităţii de prognoză a modelului privind dependenţa dintre dintre consumul final real al gospodăriilor populaţiei şi factorii săi de influenţă în perioada 1981-2001 au rezultat următoarele informaţii: Rezultatele testării capacităţii de prognoză a modelului privind dependenţa dintre consumul final real al gospodăriilor populaţiei şi factorii săi de influenţă în România în perioada 1981-2001

Denumirea indicatorului

Simbolul indicatorului

Tabelul 2.8.2.3 Valoarea indicatorului

0

1

2

Coeficientul Theil Ponderea abaterii Ponderea dispersiei Ponderea covarianţei

T TA TD TC

0,0246 0,0083 0,0436 0,9482

În urma analizei rezultatelor obţinute se constată că modelul posedă o bună capacitate de prognoză, ca urmare a valorilor mici înregistrate în cazul coeficientului Theil, a ponderii abaterii şi a ponderii dispersiei şi, deci, poate fi acceptat în vederea realizării unei prognoze a consumului final real al gospodăriilor populaţiei.

Econometrie. Studii de caz

2.1.8.3 Model dinamic cu decalaj Se cunosc următoarele date privind evoluţia investiţiilor şi a imobilizărilor corporale (fondurilor fixe), exprimate în mld. lei preţuri comparabile (1990=100), în România, în perioada 1980-2002: Tabelul 2.8.3.1

Anul

0 1980 1981 1982 1983 1984 1985 1986 1987 1988 1989 1990 1991

Imobilizări corporale (mld. lei ) (1990=100) 1 2451,1 2630,5 2544,3 2764,7 3011,5 3216,1 3432,0 3650,3 3781,4 4005,5 3498,0 1526,6

Investiţii (mld. lei ) (1990=100)

2 274,4 270,4 249,0 266,1 281,9 283,1 285,6 281,6 270,4 268,6 168,4 106,4

Anul

0 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002

Imobilizări corporale (mld. lei ) (1990=100) 1 2622,5 917,1 487,9 1811,6 1386,7 720,4 820,5 908,2 1300,0 1417,1 1510,2

Investiţii (mld. lei ) (1990=100)

2 100,4 97,4 115,5 138,6 153,7 131,0 115,7 108,6 112,1 133,3 143,6

Se cere : a) Să se facă analiza economică a dependenţei imobilizărilor corporale de volumul investiţiilor şi să se construiască modelul econometric adecvat; b) Să se facă discuţia econometrică a modelului formulat la punctul a), să se estimeze parametrii modelului şi să se verifice semnificaţia acestuia; c) Să se facă interpretarea economică a rezultatelor obţinute cu ajutorul modelului econometric.

Modele econometrice cu o singură ecuaţie şi cu ecuaţii multiple

Rezolvare: a) Imobilizările corporale (fondurile fixe) reprezintă rezultatul unei activităţi economice, acestea depinzând în mod direct de volumul investiţiilor efectuate în trecut şi în prezent. Evaluarea efectului investiţiilor asupra creşterii imobilizărilor corporale se poate face pe baza mai multor procedee de calcul economic. Printre acestea, un loc important îl ocupă modelele econometrice care permit o evaluare sintetică a efectului în timp al investiţiilor asupra evoluţiei imobilizărilor corporale. Ca urmare a faptului că influenţa investiţiilor asupra imobilizărilor corporale nu este simultană, adică nu se exercită doar în aceeaşi perioadă de timp, ci pe mai multe perioade de timp, modelul econometric adecvat acestui tip de dependenţă este modelul econometric cu decalaj: yt = a+b0xt+b1xt-1+…+bjxt-j+…+bkxt-k+ut k

y t = a + ∑ b j x t − j + ut

(2)

j =0

unde: yt = imobilizări corporale; xt = investiţii; ut = variabilă aleatoare;

( a,b = parametrii modelului ( j = 0, k ) ;

(1)

)

t = numărul de observaţii t = 1, n, n = 23 ; j

k = ordinul decalajului, respectiv numărul de perioade de timp (ani) în care variabila x îşi exercită influenţa asupra variabilei y. În acest caz, estimarea modelului econometric presupune atât estimarea parametrilor modelului cât şi a mărimii decalajului. b) În mod obişnuit, estimarea parametrilor modelului de mai sus se face prin aplicarea M.C.M.M.P., stabilind arbitrar o anumită mărime a ordinului decalajului k=3, k=4,… Acest procedeu prezintă dezavantajul că,

Econometrie. Studii de caz

datorită fenomenului de multicoliniaritate, estimatorii bj pot rezulta cu valori nesemnificative. De exemplu, pentru k = 3, modelul econometric se defineşte prin intermediul următoarei relaţii: yt=a+b0xt+b1xt-1+b2xt-2+b3xt-3+ut

(3)

iar datele pe baza cărora vor fi estimaţi parametrii sunt cele prezentate în tabelul 2.8.3.2 : Tabelul 2.8.3.2 t

yt

xt

xt-1

xt-2

xt-3

yt-1

0

1

2

3

4

5

6

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23

2451,1 2630,5 2544,3 2764,7 3011,5 3216,1 3432,0 3650,3 3781,4 4005,5 3498,0 1526,6 2622,5 917,1 487,9 1811,6 1386,7 720,4 820,5 908,2 1300,0 1417,1 1510,2

274,4 270,4 249,0 266,1 281,9 283,1 285,6 281,6 270,4 268,6 168,4 106,4 100,4 97,4 115,5 138,6 153,7 131,0 115,7 108,6 112,1 133,3 143,6

274,4 270,4 249,0 266,1 281,9 283,1 285,6 281,6 270,4 268,6 168,4 106,4 100,4 97,4 115,5 138,6 153,7 131,0 115,7 108,6 112,1 133,3

274,4 270,4 249,0 266,1 281,9 283,1 285,6 281,6 270,4 268,6 168,4 106,4 100,4 97,4 115,5 138,6 153,7 131,0 115,7 108,6 112,1

274,4 270,4 249,0 266,1 281,9 283,1 285,6 281,6 270,4 268,6 168,4 106,4 100,4 97,4 115,5 138,6 153,7 131,0 115,7

2451,1 2630,5 2544,3 2764,7 3011,5 3216,1 3432,0 3650,3 3781,4 4005,5 3498,0 1526,6 2622,5 917,1 487,9 1811,6 1386,7 720,4 820,5 908,2 1300,0 1417,1

Total

50412,9

4355,7

-

-

-

-

Modele econometrice cu o singură ecuaţie şi cu ecuaţii multiple

În urma aplicării M.C.M.M.P., cu ajutorul programului informatic EViews, s-au obţinut următoarele rezultate: Dependent Variable: yt Method: Least Squares Sample(adjusted): 1983 2002 Included observations: 20 after adjusting endpoints Variable

Coefficient

Std. Error

t-Statistic

Prob.

C

-807,5057

297,4596

-2,7147

0,0160

xt xt-1 xt-2 xt-3

2,7017

4,1251

0,6550

0,5224

13,2195

7,1347

1,8528

0,0837

-13,9151

7,1566

-1,9444

0,0708

13,5556

4,1795

3,2434

0,0055

R-squared Adjusted R-squared S.E. of regression Sum squared resid Log likelihood Durbin-Watson stat

0,8865 0,8563 449,3048 3028122 -147,6560 1,5863

Mean dependent var S.D. dependent var Akaike info criterion Schwarz criterion F-statistic Prob(F-statistic)

2139,3500 1185,1250 15,2656 15,5145 29,2976 0,0000

yˆ t = −807,5057 + 2,7017xt + 13,2195xt −1 − 13,9151xt −2 + 13,5556xt −3 ; R = 0,9416 (297,4596) (4,1251)

(7,1347)

(7,1566)

(4,1795)

d = 1,59 su = 449,3048

Pe baza acestor rezultate se constată că doar estimatorii â şi bˆ3 sunt semnificativ diferiţi zero pentru un prag de semnificaţie α = 0,05 , ceilalţi estimatori, bˆ0 , bˆ1 şi bˆ2 , nu pot fi acceptaţi deoarece nu au valori semnificativ diferite de zero. Acest lucru se datoreză fenomenului de multicoliniaritate ce apare în cazul variabilelor explicative decalate. Depăşirea acestui impediment se va face cu ajutorul mai multor procedee.

Econometrie. Studii de caz

În cazul utilizării procedeului Koyck, influenţa în timp a volumului investiţiilor asupra imobilizărilor corporale este descrescătoare, de forma unei progresii geometrice, respectiv între parametrii bj există relaţia: bj = b0 λj

(4)

unde: λ = raţia progresiei geometrice, 0 R2 = 0,4441 , se va alege primul model, respectiv modelul dinamic cu decalaj de ordinul întâi între x şi y, În cazul acestuia, după estimarea parametrilor b0 şi λ prin bˆ şi λˆ , se 0

vor estima şi parametrii modelului (1) astfel: bˆ1 = bˆ0 + λˆ = 10,2953 + (− 4,9373) = 5,358

bˆ2 = bˆ0 + 2λˆ = 10,2953 + 2 ⋅ (− 4,9373) = 0,4207 aˆ = y − bˆ0 xt − bˆ1 xt −1 − bˆ2 xt −2 = 2191,9 −10,2953⋅189,4 − 5,358⋅185,5 − 0,4207⋅181,5

aˆ = − 828 ,192

unde: 1 y = ∑yt n t =1 xt =

1 ∑ xt n t =1

xt −1 =

1 ∑ xt −1 n − 1 t =2

xt − 2 =

1 ∑ xt − 2 n − 2 t =3

Econometrie. Studii de caz

În final, revenind la modelul cu decalaj, acesta poate fi descris cu ajutorul relaţiei: yˆ t = −828,192 + 10,2953 xt + 5,358 xt −1 + 0,4207 xt − 2 c) În urma estimării modelului cu decalaj, influenţa investiţiilor asupra imobilizărilor corporale poate fi explicată astfel – ca urmare a faptului că modelul este liniar, parametrii acestuia joacă rolul de coeficienţi marginali ai imobilizărilor corporale în raport cu investiţiile, a căror semnificaţie este cunoscută. Parametrul bˆ explică influenţa pe termen scurt 0

a investiţiilor asupra imobilizărilor corporale, respectiv creşterea investiţiilor în perioada curentă cu un miliard de lei determină creşterea imobilizărilor corporale cu 8,0897 miliarde de lei, în cazul utilizării procedeului Koyck, cu 8,2249 miliarde de lei, în cazul utilizării procedeului Almon, iar în cazul aplicării procedeului progresiei geometrice descrescătoare, cu 10,2953 miliarde de lei. Deoarece estimatorii modelului obţinut în cazul utilizării procedeului Koyck urmează o progresie geometrică descrescătoare, a cărei sumă este finită, aceştia pot fi folosiţi la calculul efectului pe termen lung al investiţiilor asupra imobilizărilor corporale prin intermediul relaţiei:

∑b j =0

j

=

b0 = 14,3534 miliarde lei. 1− λ

2.1.8.4 Model dinamic de prognoză cu variabile anticipative Un studiu de marketing efectuat asupra unui eşantion de familii dintr-un anumit judeţ a ajuns la următoarele rezultate privind evoluţia cheltuielilor medii pe familie (cererea) pentru procurarea de produse alimentare şi venitul mediu pe familie pe primele zece luni ale anului curent.

Modele econometrice cu o singură ecuaţie şi cu ecuaţii multiple

Tabelul 2.8.4.1 Luni

Cheltuieli medii lunare pe familie pentru procurarea de produse alimentare (lei noi)

Venitul mediu lunar pe familie (lei noi)

0

1

2

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

160 72 48 44 22 24 26 20 12 28

200 240 300 80 178 194 104 62 250 270

Se cere: a) Să se prezinte premisele teoretice pe care se fundamentează elaborarea unui model de prognoză cu variabile anticipative privind dependenţa dintre cheltuielile medii lunare pe familie pentru procurarea de produse alimentare şi venitul mediu lunar pe familie; b) Ştiind că pentru luna noiembrie s-a estimat (planificat) un venit mediu pe familie de 300 lei, dar s-a realizat un venit mediu de numai 250 lei, să se estimeze: b1) Cheltuielile medii pe familie efectuate pentru consumul produselor alimentare în luna noiembrie; b2) Prognoza venitului mediu pe familie şi a cheltuielilor medii pe familie pentru procurarea de produse alimentare aferente lunii decembrie. Rezolvare: a) Abordarea econometrică a problemei porneşte de la relaţiile de dependenţă dintre consumul unei familii şi factorii săi. Se ştie că, din ansamblul factorilor consumului populaţiei, venitul mediu pe locuitor sau pe familie reprezintă unul din factorii esenţiali ai acestuia, alături de preţul produsului, sau de indicele preţurilor de consum al unei grupe eterogene de produse, cum este cazul mărfurilor alimentare. În acest sens, în cadrul

Econometrie. Studii de caz

modelului econometric care descrie legătura dintre cererea efectivă (consumul) şi venitul familiilor, cele două variabile au următoarea semnificaţie: y t = a ⋅ xt + u t

(1)

unde: y = cheltuielile medii lunare pe familie pentru procurarea de produse alimentare (variabilă endogenă); x = venitul mediu lunar pe familie (variabilă exogenă); y a = = ponderea cheltuielilor medii lunare pentru procurarea de produse x alimentare în totalul veniturilor unei familii;

(

)

t = lunile anului, t = 1,10 ; u = variabila reziduală ce rezultă datorită faptului că parametrul „a” se estimează pe baza unui eşantion prin metode statistice. Notând cu yt şi xt valorile reale ale celor două variabile y şi x, şi cu ypt şi xpt valorile de prognoză ale acestora, atunci valoarea lui y se anticipează cu ajutorul relaţiei: y t = a ⋅ x pt ⇒ y t −1 = a ⋅ x pt −1

(2)

Deoarece prognoza fenomemului y depinde de previziunea fenomenului x, se consideră că: x pt − x pt −1 = λ ⋅ ( x t −1 − x pt −1 ) 18

(3)

unde: t = variabila timp, t = 1, n ; λ = constanta de nivelare (lisaj), 0 < λ < 1 ; xt-1 – xpt-1 = eroarea de prognoză. 18

Notă: Relaţia (3) este specifică metodei nivelării exponenţiale simple– vezi capitolul 4, problema 4.1.4.2.

Modele econometrice cu o singură ecuaţie şi cu ecuaţii multiple

Relaţia (3) se fundamentează pe ipoteza că diferenţele dintre două valori succesive de prognoză ale variabilei x sunt generate de un proces autoregresiv, stabil, de ordinul unu. Prin definiţie, un proces autoregresiv este: - stabil - dacă 0 < λ < 1 ; - constant sau de repetiţie - dacă λ = 1; - exploziv - dacă λ > 1 . Din relaţia (3) se deduce că: x pt = λ ⋅ xt −1 + (1 − λ)x pt−1 (4) relaţie care, înmulţită cu “a”, devine: a ⋅ x pt = a ⋅ λ ⋅ xt −1 + (1 − λ ) ⋅ a ⋅ x pt −1

(5)

Corelând relaţia (2) cu relaţia (5) rezultă că: y t = aλx t −1 + (1 − λ ) y t −1

(6)

Estimatorii parametrilor a şi λ se pot determina cu ajutorul M.C.M.M.P. aplicată modelului: yt = b1 xt −1 + b2 yt −1 + zt unde: b1 = aλ b2 = 1-λ De regulă, estimatorii parametrului λ vor avea două valori:

λˆ1 =

bˆ1 aˆ

λˆ2 = 1 − bˆ2

(7)

Econometrie. Studii de caz

Pe baza valorilor estimate ale parametrului λ rezultă faptul că : 1 - dacă λˆ1 ∈ (0;1) şi λˆ2 ∈ (0;1) , atunci se va calcula λ = ( λˆ1 + λˆ2 ); 2 - dacă λˆ ∉ (0;1) , dar .λˆ ∈ (0;1), atunci se va reţine λ = λˆ sau 1

2

1

λ = λˆ2 , dacă rezultatele sunt inverse; - dacă λˆ1 ∉ (0;1) şi λˆ2 ∉ (0;1) , atunci relaţia (3) şi, evident, relaţia (6), nu pot fi acceptate la descrierea evoluţiei variabilelor x şi y. În general, modelele de prognoză cu variabile anticipative pot fi adaptate la orice tip de model, uni sau multifactorial, liniar sau liniarizabil, care se construieşte pe baza unei serii de timp, dacă evoluţia variabilelor respective poate fi considerată staţionară. b1) Pornind de la relaţia de dependenţă a consumului de venit, y t = a ⋅ x t + u t , prin aplicarea M.C.M.M.P., se estimează parametrul a,

respectiv aˆ = 0,2184 , acesta reprezentând faptul că ponderea cheltuielilor medii lunare pentru procurarea de produse alimentare este de 21,84% din venitul mediu lunar al unei familii: yt = 0,2184 xt (0,0703) Ştiind că, L (aˆ) = N (a, s aˆ ) , ponderea cheltuielilor medii lunare pentru procurarea de produse alimentare în venitul unei familii poate fi estimată pe baza unui interval de încredere: P (a ∈ [aˆ ± ta ⋅ saˆ ]) = 1 − 0,05 = 0,95 t0, 05;9 = 2,262 ⇒ a ∈ (5,94%; 37,73%) Valoarea parametrului a fiind cunoscută, cheltuielile medii lunare efectuate de o familie pentru procurarea de produse alimentare în luna noiembrie vor fi estimate astfel: y11 = 0,2184•250 = 54,6 lei /familie

Modele econometrice cu o singură ecuaţie şi cu ecuaţii multiple

b2) Prognoza venitului mediu pe familie în luna decembrie se va estima cu ajutorul relaţiei: xp12 − xp11 = λ(x11 − xp11) unde: x11 = 250 şi xp11 = 300. Estimarea parametrului λ se va face cu ajutorul modelului (7), respectiv: yt = b1xt-1 + b2yt-1 + zt unde: b1 = aλ1 şi b2 = 1 − λ2. Utilizând pachetul de programe EViews în vederea estimării parametrilor modelului au fost obţinute următoarele rezultate: Dependent Variable: yt Method: Least Squares Sample(adjusted): 2 10 Included observations: 9 after adjusting endpoints Variable

xt-1 yt-1 R-squared Adjusted R-squared S.E. of regression Sum squared resid Log likelihood

Coefficient

Std. Error

0,0955 0,3325

0,0020 0,0062

0,9983 0,9981 0,8071 4,5594 -9,7103

(0,0062)

46,8932 54,0535

Mean dependent var S.D. dependent var Akaike info criterion Schwarz criterion Durbin-Watson stat

yˆt = 0,0925 xt −1 + 0,3325 yt −1; R = 0,9992

(0,002)

t-Statistic

d = 2,96 s z = 0,8071

Prob. 0,0000 0,0000 32,8889 18,5502 2,6023 2,6461 2,9600

Econometrie. Studii de caz

dar: bˆ bˆ1 = aˆ λˆ1 ⇒ λˆ1 = 1 = 0,4373 aˆ bˆ = 1 − λˆ ⇒ λˆ = 1 − bˆ = 0,6675 2

2

2

2

1 ˆ ˆ (λ1 + λ2 ) = 0,5524 2 Revenind la relaţiile precedente rezultă: - prognoza venitului mediu pe familie în luna decembrie xp12 = 0,5524 (250-300)+300 = 272,38 lei ⇒λ =

- prognoza cheltuielilor medii pe familie pentru procurarea de produse alimentare în luna decembrie y p12 = aˆ ⋅ x p12 = 0,2184 ⋅ 272,38 = 59,48 lei/familie

2.1.9 Modelul static al lui Keynes

Se cunosc următoarele date privind PIB pe categorii de utilizări (exprimat în mld. lei preţuri comparabile-1990=100), în România, în perioada 1980 – 2003: Tabelul 2.9.1

mld. lei (1990=100) Anul

Consum final real

PIB real

Investiţi reale

Anul

Consum final real

PIB real

Investiţi reale

0

1

2

3=2-1

0

1

2

3=2-1

1980 1981 1982 1983 1984 1985 1986 1987 1988 1989

531,6 545,0 535,1 523,7 551,3 551,9 553,4 570,2 614,6 624,2

804,3 805,8 837,1 886,6 940,2 939,5 961,9 969,6 964,8 908,8

272,7 260,8 302,0 362,9 388,9 387,6 408,5 399,4 350,2 284,6

1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001

566,6 574,0 598,6 658,1 701,5 669,8 677,2 660,3 669,5 710,4

681,0 691,3 718,2 769,3 799,5 750,7 714,8 706,1 720,7 761,7

114,4 117,3 119,6 111,2 98,0 80,9 37,6 45,8 51,2 51,4

Modele econometrice cu o singură ecuaţie şi cu ecuaţii multiple

Anul

Consum final real

PIB real

Investiţi reale

Anul

Consum final real

PIB real

Investiţi reale

0

1

2

3=2-1

0

1

2

3=2-1

1990 1991

679,5 599,4

857,9 746,8

178,4 147,4

2002 2003

731,7 782,2

799,1 838,3

67,4 56,1

Notă: Ambii indicatori sunt calculaţi conform metodologiei de calcul a Sistemului European al Conturilor Economiei Integrate - SEC 1979. Consumul final a fost deflaţionat cu ajutorul deflatorului consumului final exprimat în preţuri constante (1990 = 100), datele provenind de la Ministerul Prognozei şi Dezvoltării, iar PIB-ul a fost deflaţionat cu ajutorul deflatorului PIB exprimat în preţuri constante (1990 = 100), obţinut în urma prelucrării datelor din Raportul Anual BNR. Sursa: Date prelucrate pe baza Anuarului Statistic al României 1995, CNS, Bucureşti, 1996, p. 370-371, Anuarului Statistic al României 1996, INS, Bucureşti, 1997, p. 364-365, Anuarului Statistic al României 2003, INS, Bucureşti, 2004, p. 284, Raportului Anual 1999, BNR, Bucureşti, 2000, p. 8*-9, Raportului Anual 2002, BNR, Bucureşti, 2003, p. 4*-5*, Comunicatului de Presă al INS nr.11/26.02.2004, Dobrescu, E., Macromodels of the Romanian Transition Economy, Second Edition, Editura Expert, Bucharest, 1998, p. 184.

Se cere: a) Să se analizeze evoluţia consumului final real în perioada 19802003 utilizând modelul static al lui Keynes: a1 ) estimaţia să se efectueze prin aplicarea M.C.M.M.P. ecuaţiei modelului structural; a 2 ) estimaţia să se efectueze prin metoda regresiei indirecte; a3 ) estimaţia să se efectueze prin aplicarea M.C.M.M.P. în două faze; b) Să se comenteze rezultatele obţinute. Rezolvare: a1) Pe baza teoriei keynesiste, modelul cu ecuaţii multiple ce se poate construi în funcţie de datele problemei este de forma: ⎧Ct = a + bVt + ut (1) ⎨ ( 2) ⎩Vt = Ct + I t Prima ecuaţie a modelului descrie o relaţie de comportament, iar cea ∂C de-a doua ecuaţie reprezintă o relaţie de identitate economică. b = t ∂Vt

Econometrie. Studii de caz

reprezintă rata marginală (medie) a consumului final real în funcţie de PIBul real. Aplicând M.C.M.M.P. ecuaţiei (1), rezultă estimatorii parametrilor, a$ şi b$ , ai modelului:

( )

(

F aˆ, bˆ = min ∑ C t − aˆ − bˆV t t

)

2

F ′(aˆ ) = 0 ⇒ naˆ + bˆ ∑V t = ∑ C t F ′(bˆ) = 0 ⇒ aˆ ∑V t + bˆ ∑V t 2 = ∑ C tV t

Utilizând programul EViews au fost obţinute următoarele rezultate: Dependent Variable: C t Method: Least Squares Sample: 1980 2003 Included observations: 24 Variable C Vt R-squared Adjusted R-squared S.E. of regression Sum squared resid Log likelihood Durbin-Watson stat

Coefficient

Std. Error

t-Statistic

808,3517 -0,2310

128,3789 0,1564

0,0902 0,0488 70,5960 109643,40 -135,1777 0,3417

Mean dependent var S.D. dependent var Akaike info criterion Schwarz criterion F-statistic Prob(F-statistic)

Cˆ t = 808,3517 − 0,231 ⋅ Vt ;

(128,3789) (0,1564)

6,2966 -1,4766

Prob. 0,0000 0,1540 619,9917 72,3846 11,4315 11,5297 2,1802 0,1540

R1 = 0,300

d = 0,34 suˆ 1 = 70,596

Valorile estimate ale variabilei Ct şi ale variabilei reziduale, uˆ1t sunt prezentate în cadrul tabelului 2.9.2. (utilizând pachetul de programe EViews).

Modele econometrice cu o singură ecuaţie şi cu ecuaţii multiple

Tabelul 2.9.2 Actual

Fitted

Ct

Cˆ t

Residual uˆ1t

531,6 545,0 535,1 523,7 551,3 551,9 553,4 570,2 614,6 624,2 679,5 599,4 566,6 574,0 598,6 658,1 701,5 669,8 677,2 660,3 669,5 710,4 731,7 782,2

622,5976 622,2511 615,0224 603,5903 591,2113 591,3730 586,1996 584,4213 585,5299 598,4632 610,2186 635,8773 651,0739 648,6951 642,4825 630,6809 623,7061 634,9766 643,2677 645,2770 641,9051 632,4361 623,7985 614,7452

-90,9976 -77,2511 -79,9224 -79,8903 -39,9113 -39,4730 -32,7996 -14,2213 29,0701 25,7368 69,2814 -36,4773 -84,4739 -74,6951 -43,8825 27,4191 77,7939 34,8234 33,9323 15,0230 27,5949 77,9639 107,9015 167,4548

Residual Plot (graficul reziduurilor)

| | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | |

*. | . *. | . *. | . *. | . .* | . .* | . . *| . . *| . . |* . . |* . . | * .* | . *. | . * | . .* | . . |* . . | .* . |* . . |* . . |* . . |* . . | .* . | . * . | .

| | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | *|

În vederea verificării ipotezei de independenţă a erorilor se aplică testul Durbin - Watson, care constă în calcularea variabilei d cu ajutorul relaţiei: n

d=

∑ (uˆ t =2

1t

2 − uˆ1t −1 )

n

∑ uˆ t =1

= 0,34

2 1t

(vezi tabelul afişat de programul EViews)

Econometrie. Studii de caz

Din tabela distribuţiei Durbin - Watson, în funcţie de un prag de semnificaţie α = 0,05 , de numărul variabilelor explicative k = 1 şi de numărul de observaţii n = 24 se preiau valorile teoretice d 1 = 1,27 şi d 2 = 1,45 . Comparând valoarea calculată a variabilei d cu cele două valori

teoretice se constată că 0 < d = 0,34 < d1 = 1,27 , interval ce corespunde situaţiei de autocorelaţie pozitivă, care, în acest caz, va fi ignorată. Verificarea semnificaţiei estimatorilor presupune: - calculul dispersiei variabilei reziduale 1 1 su2ˆ1 = ⋅ ∑ uˆ12t = ⋅ 109,643 = 4983,7909 n − k −1 22 suˆ 1 = 70,596

(vezi tabelul afişat de programul EViews) - calculul abaterilor medii pătratice ale celor doi estimatori ⎛1 ⎞ V2 ⎜ ⎟ = 128,3789 saˆ = s ⋅ + 2 ⎟ ⎜n ∑ (Vt − V ) ⎠ ⎝ (vezi tabelul afişat de programul EViews) 2 uˆ1

su2ˆ1

s bˆ =

∑ (V

t

−V )

2

= 0,1564

(vezi tabelul afişat de programul EViews) t aˆ =

t bˆ =

aˆ s aˆ bˆ sbˆ

=

=

808,3517 = 6,2966 128,3789 − 0,231 0,1564

= 1,4766

(vezi tabelul afişat de programul EViews)

Modele econometrice cu o singură ecuaţie şi cu ecuaţii multiple

Din tabela distribuţiei Student, pentru un prag de semnificaţie α = 0,05 , se preia valoarea t 0,05; 22 = 2,074 . Comparând valoarea tabelată cu valorile calculate pentru cei doi parametrii se constată că doar parametrul a este semnificativ diferit de zero pentru un prag de semnificaţie α = 0,05 , iar parametrul b poate fi acceptat ca semnificativ pentru un prag de semnicaţie α = 0,20 . În vederea verificării semnificaţiei raportului de corelaţie se calculează valoarea acestuia, după care se aplică testul Fisher-Snedecor:

R1 =

∑ uˆ 1− ∑ (C − C ) 2 1t

2

= R12 = 0,300

t

Fc = (n − k − 1) ⋅

R12 0,0902 = 22 ⋅ = 2,1802 2 1 − 0,0902 1 − R1

(vezi tabelul afişat de programul EViews) Din tabela distribuţiei Fisher-Snedecor, în funcţie de un prag de semnificaţie de 5% şi de numărul gradelor de libertate, v1 = k = 1 şi v 2 = n − k − 1 = 22 , se preia valoarea F0, 05;1; 22 = 4,30 .

Cum Fc = 2,1802 < F0, 05;1; 22 = 4,30 , rezultă că valoarea raportului de corelaţie este nesemnificativă, deci rezultatele obţinute în cazul acestui model sunt nesemnificative. a 2 ) Modelul de la punctul a1 ) este sub formă structurală şi este format din trei variabile - două variabile endogene, Ct şi Vt , şi o variabilă exogenă I t . Prima ecuaţie a modelului este corect identificată, deoarece numărul variabilelor absente (una - I t ) este egal cu numărul variabilelor

endogene minus unu (1 = 2 − 1) . În acest caz, parametrii modelului se pot estima: - prin metoda regresiei indirecte aplicată ecuaţiilor modelului sub formă redusă;

Econometrie. Studii de caz

- prin aplicarea M.C.M.M.P. în două faze. Metoda regresiei indirecte se utilizează atunci când modelul cu ecuaţii multiple în forma structurală este corect identificat. Se calculează modelul sub formă redusă, după care se aplică M.C.M.M.P. fiecărei ecuaţii a modelului, obţinându-se estimatorii formei reduse a modelului. Ultima operaţie constă în identificarea modelului, adică pe baza estimatorilor formei reduse se calculează estimatorii formei structurale. Pornind de la forma structurală a modelului, modelul sub formă redusă se obţine în urma efectuării următoarelor operaţii: ⎧Ct = a + bVt + ut (1) ⎨ ( 2) ⎩Vt = Ct + I t - pentru a aduce prima ecuaţie la forma redusă se înlocuieşte ecuaţia (2) în ecuaţia (1): C t = a + b ⋅ (C t + I t ) + u t ⇒ C t ⋅ (1 − b ) = a + b ⋅ I t + u t Ct =

a b 1 + ⋅ It + ⋅ ut 1− b 1− b 1− b

- pentru a aduce a doua ecuaţie la forma redusă se înlocuieşte ecuaţia (1) în ecuaţia (2): Vt = a + b ⋅ Vt + I t + u t ⇒ Vt ⋅ (1 − b ) = a + I t + u t Vt =

a 1 1 + ⋅ It + ⋅ ut 1− b 1− b 1− b

Se fac următoarele notaţii:

α=

a 1− b

Modele econometrice cu o singură ecuaţie şi cu ecuaţii multiple

β1 =

b 1− b

β2 =

1 1− b

zt =

ut 1− b

În final, modelul în formă redusă devine: ⎧C t = α + β `1 ⋅ I t + z t (3) ⎨ ⎩Vt = α + β 2 ⋅ I t + z t (4 )

În continuare, se aplică M.C.M.M.P. fiecărei ecuaţii în parte şi se estimează parametrii α , β 1 , β 2 . Pentru ecuaţia (3), aplicarea M.C.M.M.P. constă în:

(

)

(

F αˆ , βˆ1 = min ∑ C t − αˆ − βˆ1 I t t

)

2

F ′(αˆ ) = 0 ⇒ nαˆ + βˆ1 ∑ I t = ∑ C t

( )

F ′ βˆ1 = 0 ⇒ αˆ ∑ I t + βˆ1 ∑ I t2 = ∑ C t I t

Utilizând programul EViews au fost obţinute următoarele rezultate: Dependent Variable: Ct Method: Least Squares Sample: 1980 2003 Included observations: 24 Variable

Coefficient

Std. Error

t-Statistic

Prob.

C

698,34

17,976

38,849

0,0000

It

-0,4006

0,0762

-5,2584

0,0000

R-squared Adjusted R-squared

0,5569 0,5368

Mean dependent var S.D. dependent var

619,9917 72,3846

Econometrie. Studii de caz

S.E. of regression Sum squared resid Log likelihood Durbin-Watson stat

49,2659 53396,82 -126,5440 0,4779

Akaike info criterion Schwarz criterion F-statistic Prob(F-statistic)

Cˆ t = 698,34 − 0,4006 ⋅ I t ;

(17,976) (0,0762)

10,7120 10,8102 27,6509 0,0000

R2 = 0,7463

d = 0,48 s zˆ = 49,2659

În cazul acestei ecuaţii se constată existenţa fenomenului de autocorelare a erorilor, care poate fi ignorat. Estimatorii parametrilor modelului sunt semnificativ diferiţi de zero pentru un prag de semnificaţie de 5%, modelul fiind şi el semnificativ pentru acelaşi prag de semnificaţie. Valorile estimate ale variabilei Ct şi ale variabilei reziduale, zˆ t sunt prezentate în cadrul tabelului 2.9.3. (utilizând pachetul de programe EViews): Tabelul 2.9.3 Actual

Fitted

Residual

Ct

Cˆ t

zˆ t

531,600 545,000 535,100 523,700 551,300 551,900 553,400 570,200 614,600 624,200 679,500 599,400 566,600 574,000 598,600 658,100 701,500 669,800 677,200

589,107 593,874 577,371 552,977 542,562 543,083 534,712 538,357 558,064 584,340 626,880 639,297 652,515 651,354 650,432 653,797 659,084 665,934 683,278

-57,5071 -48,8737 -42,2708 -29,2769 8,73758 8,81685 18,6885 31,8434 56,5360 39,8595 52,6204 -39,8968 -85,9152 -77,3536 -51,8323 4,30303 42,4157 3,86617 -6,07793

Residual Plot (graficul reziduurilor)

| * | . | * | . | .* | . | . * | . | . |* . | . |* . | . |* . | . | *. | . | * | . | *. | . | * | .* | . | * . | . | * . | . | * | . | . |* . | . | *. | . * . | . *| .

| | | | | | | | | | | | | | | | | | |

Modele econometrice cu o singură ecuaţie şi cu ecuaţii multiple Actual

Fitted

Residual

Ct

Cˆ t

zˆ t

660,300 669,500 710,400 731,700 782,200

679,993 677,830 677,750 671,341 675,868

-19,6934 -8,33036 32,6498 60,3587 106,332

Residual Plot (graficul reziduurilor)

| | | | |

. *| . | . *| . | . | *. | . | .* | . | . *|

Pentru ecuaţia (4), aplicarea M.C.M.M.P. constă în:

(

)

(

F αˆ ; βˆ 2 = min ∑ V t − αˆ − βˆ 2 I t t

)

2

F ′(αˆ ) = 0 ⇒ nαˆ + βˆ 2 ∑ I t = ∑V t

( )

F ′ βˆ 2 = 0 ⇒ αˆ ∑ I t + βˆ 2 ∑ I t2 = ∑V t I t

Utilizând programul EViews au fost obţinute următoarele rezultate: Dependent Variable: Vt Method: Least Squares Sample: 1980 2003 Included observations: 24 Variable

Coefficient

Std. Error

t-Statistic

Prob.

C

698,33

17,975

38,851

0,0000

It

0,5995

0,0762

7,8703

0,0000

R-squared Adjusted R-squared S.E. of regression Sum squared resid Log likelihood Durbin-Watson stat

0,7379 0,7260 49,2629 53390,30 -126,5425 0,4779

Mean dependent var S.D. dependent var Akaike info criterion Schwarz criterion F-statistic Prob(F-statistic)

Vˆt = 698,33 + 0,5995 ⋅ I t ;

(17,975) (0,0762)

R3 = 0,859 d = 0,48 s zˆ = 49,2629

815,5833 94,1118 10,7119 10,8101 61,9414 0,0000

Econometrie. Studii de caz

În cazul acestei ecuaţii se constată existenţa fenomenului de autocorelare a erorilor, care poate fi ignorat. Estimatorii parametrilor modelului sunt semnificativ diferiţi de zero pentru un prag de semnificaţie de 5%, modelul fiind şi el semnificativ pentru acelaşi prag de semnificaţie. Valorile estimate ale variabilei Vt şi ale variabilei reziduale, zˆ t sunt prezentate în cadrul tabelului 2.9.4. (utilizând pachetul de programe EViews): Tabelul 2.9.4 Actual

Fitted

Residual

Vt

Vˆt

zˆ t

Residual Plot (graficul reziduurilor)

-57,5056 -48,8718 -42,2703 -29,2785 8,73508 8,81440 18,6853 31,8406 56,5349 39,8606 52,6252 -39,8910 -85,9082 -77,3467 -51,8255 4,3101 42,4232 3,8742 -6,0683 -19,6840 -8,32121 32,5589 60,3672 106,341

| * | . | | * | . | | .* | . | | . * | . | | . |* . | | . |* . | | . |* . | | . | *. | | . | * | | . | *. | | . | * | | .* | . | | * . | . | | * . | . | | * | . | | . |* . | | . | *. | | . * . | | . *| . | | . *| . | | . *| . | | . | *. | | . | .* | | . | . *|

804,300 805,800 837,100 886,600 940,200 939,500 961,900 969,600 964,800 908,800 857,900 746,800 681,000 691,300 718,200 769,300 799,500 750,700 714,800 706,100 720,700 761,700 799,100 838,300

861,806 854,672 879,370 915,878 931,465 930,686 943,215 937,759 908,265 868,939 805,275 786,691 766,908 768,647 770,026 764,990 757,077 746,826 720,868 725,784 729,021 729,141 738,733 731,959

Modele econometrice cu o singură ecuaţie şi cu ecuaţii multiple

După estimarea parametrilor modelului în formă redusă urmează identificarea modelului, adică estimarea parametrilor a$ şi b$ din modelul în formă structurală. Estimarea acestora se deduce din notaţiile efectuate anterior:

αˆ =

aˆ

⇒ aˆ =

1 − bˆ

αˆ 698,33 = = 1164,9 βˆ 2 0,5995

βˆ − 0,4006 ⇒ bˆ = 1 = = −0,6682 ˆ ˆ 0,5995 β2 1− b bˆ

βˆ1 =

βˆ 2 =

1 1 − bˆ

Deci, ecuaţia estimată a consumului final real, în formă structurală, este următoarea: Cˆ t = 1164,9 − 0,6682 ⋅ Vt

Verificarea ipotezei de independenţă a erorilor se realizează analog, respectiv, valoarea calculată a variabilei d este egală cu: n

d=

∑ (uˆ t =2

2t n

− uˆ 2t −1 )

∑ uˆ t =1

2 2t

2

=

71024,5754 = 0,4781 ≅ 0,48 148565,6113

Din tabela distribuţiei Durbin - Watson, în funcţie de un prag de semnificaţie α = 0,05 , de numărul variabilelor explicative k = 1 şi de numărul de observaţii n = 24 se preiau valorile teoretice d 1 = 1,27 şi d 2 = 1,45 . Comparând valoarea calculată a variabilei d cu cele două valori

teoretice se constată că 0 < d = 0,48 < d1 = 1,27 , interval ce corespunde situaţiei de autocorelaţie pozitivă, care, în acest caz, va fi ignorată.

Econometrie. Studii de caz

În mod analog se testează semnificaţia parametrilor a$ şi b$ : s u2ˆ2 =

1 1 uˆ 22t = ⋅ 148565,6113 = 6752,9823 ⇒ suˆ 2 = 82,1765 ∑ n − k −1 22

2 ⎛1 ⎞ V2 ⎟ = 6752,9823⋅ ⎛⎜ 1 + 815,5864 ⎞⎟ = 149,4463 saˆ = su2ˆ2 ⋅ ⎜ + 2 ⎜ 24 203690,7942 ⎟ ⎜n ⎠ ⎝ ∑ (Vt − V ) ⎟⎠ ⎝

s u2ˆ2

s bˆ =

∑ (V

t

t aˆ =

t bˆ =

aˆ s aˆ bˆ sbˆ

=

=

−V )

2

=

6752,9823 = 0,1821 203690,7942

1164,9 = 7,7947 > t 0,05; 22 = 2,074 149,4463 − 0,6682 0,1821

= 3,6697 > t 0,05; 22 = 2,074

∑ (C − Cˆ ) = 1 − 148565,6113 = −0,2329 = 1− 120501,4088 ∑ (C − C ) ∑ (Cˆ − C ) 2

R

2 4

t

2

t

2

Fc =

sC2 V s

2 u2

t

=

∑ (C

k t

− Cˆ

)

2

=

90939,7482 = 13,4666 > F0,05;1; 22 = 4,30 6752,9823

n − k −1

Deci, şi în acest caz, estimatorii parametrilor modelului sunt semnificativ diferiţi de zero pentru un prag de semnificaţie de 5%, modelul fiind şi el semnificativ pentru acelaşi prag de semnificaţie.

Modele econometrice cu o singură ecuaţie şi cu ecuaţii multiple

Modelul estimat prin metoda regresiei indirecte este: Cˆ t = 1164,9 − 0,6682 ⋅ Vt ;

(149,4463) (0,1821)

R42 = −0,2329 d = 0,48 s uˆ2 = 82,1765

a3 ) Estimarea parametrilor modelului prin aplicarea M.C.M.M.P. în două faze constă în: Faza I: Se regresează variabila endogenă (Vt ) , care este pe post de variabilă exogenă în ecuaţia (1) a modelului, în funcţie de variabila exogenă It : Vt = c + d ⋅ I t + wt Cei doi parametrii c şi d se estimează cu ajutorul M.C.M.M.P.:

( )

(

F cˆ, dˆ = min ∑ V t − cˆ − dˆI t t

)

2

F ′(cˆ ) = 0 ⇒ ncˆ + dˆ ∑ I t = ∑V t

()

F ′ dˆ = 0 ⇒ cˆ ∑ I t + dˆ ∑ I t2 = ∑V t I t

Ca urmare a faptului că valorile estimate ale parametrilor acestui model sunt identice cu valorile estimate ale parametrilor α şi β 2 , obţinute cu ajutorul metodei regresiei indirecte, rezultatele estimării vor fi şi ele identice, respectiv: Vˆt = 698,33 + 0,5995 ⋅ I t ;

(17,975) (0,0762)

R3 = 0,859 d = 0,48 s wˆ = 49,2629

Faza II: În ecuaţia (1) a modelului, variabila Vt - PIB-ul real - se

( )

introduce cu valorile estimate în faza I Vˆt - vezi tabelul 2.9.4., coloana 2.

Econometrie. Studii de caz

Rezultă ecuaţia: C t = a + b ⋅ Vˆt + u t , ai cărei parametrii se estimează tot cu ajutorul M.C.M.M.P.:

( )

(

F aˆ, bˆ = min ∑ C t − aˆ − bˆVˆt t

)

2

F ′(aˆ ) = 0 ⇒ naˆ + bˆ ∑Vˆt = ∑ C t F ′ bˆ = 0 ⇒ aˆ ∑Vˆt + bˆ ∑Vˆt 2 = ∑ C tVˆt

()

Dependent Variable: Ct Method: Least Squares Date: 04/06/05 Time: 01:14 Sample: 1980 2003 Included observations: 24 Variable

Coefficient

Std. Error

t-Statistic

Prob.

C

1164,9

104,1213

11,1883

0,0000

Vˆt

-0,6682

0,1271

-5,2584

0,0000

R-squared Adjusted R-squared S.E. of regression Sum squared resid Log likelihood Durbin-Watson stat

0,5569 0,5368 49,2659 53396,83 -126,5440 0,4779

Mean dependent var S.D. dependent var Akaike info criterion Schwarz criterion F-statistic Prob(F-statistic)

Cˆ t = 1164,9 − 0,6682 ⋅ Vˆt ;

(104,1213) (0,1271)

619,9917 72,3846 10,7120 10,8102 27,6509 0,0000

R5 = 0,7463 d = 0,48 s uˆ3 = 49,2659

Valorile estimate ale variabilei Ct şi ale variabilei reziduale, uˆ 3t sunt prezentate în cadrul tabelului 2.9.5. (utilizând pachetul de programe EViews).

Modele econometrice cu o singură ecuaţie şi cu ecuaţii multiple

Tabelul 2.9.5 Actual

Fitted

Residual

Ct

Cˆ t

uˆ 3t

Residual Plot (graficul reziduurilor)

531,6 545,0 535,1 523,7 551,3 551,9 553,4 570,2 614,6 624,2 679,5 599,4 566,6 574,0 598,6 658,1 701,5 669,8 677,2 660,3 669,5 710,4 731,7 782,2

589,107 593,874 577,371 552,977 542,562 543,083 534,712 538,357 558,064 584,340 626,880 639,297 652,515 651,354 650,432 653,797 659,084 665,934 683,278 679,993 677,830 677,750 671,341 675,868

-57,5071 -48,8737 -42,2708 -29,2769 8,7376 8,8169 18,6885 31,8434 56,5360 39,8596 52,6204 -39,8968 -85,9152 -77,3536 -51,8323 4,3030 42,4157 3,8662 -6,0779 -19,6934 -8,3304 32,6497 60,3587 106,332

| * | . | | * | . | | .* | . | | . * | . | | . |* . | | . |* . | | . |* . | | . | *. | | . | * | | . | *. | | . | * | | .* | . | | * . | . | | * . | . | | * | . | | . |* . | | . | *. | | . * . | | . *| . | | . *| . | | . *| . | | . | *. | | . | .* | | . | . *|

Programul EViews oferă posibilitatea estimării parametrilor unui model cu ecuaţii simultane, atât prin M.C.M.M.P. în două faze, cât şi prin construirea unui sistem de ecuaţii care permite estimarea parametrilor atât prin M.C.M.M.P. în două faze, cât şi prin M.C.M.M.P. în trei faze.

Econometrie. Studii de caz

Astfel, rezultatele afişate de programul EViews în urma aplicării M.C.M.M.P. în două faze sunt următoarele: Dependent Variable: C t Method: Two-Stage Least Squares Sample: 1980 2003 Included observations: 24 Instrument list: It Variable

Coefficient

Std. Error

t-Statistic

Prob.

C

1164,9

173,6883

6,7071

0,0000

Vt

-0,6682

0,2120

-3,1523

0,0046

R-squared Adjusted R-squared S.E. of regression F-statistic Prob(F-statistic)

-0,2330 -0,2890 82,1822 9,9368 0,0046

Mean dependent var S.D. dependent var Sum squared resid Durbin-Watson stat

619,9917 72,3846 148585,90 0,4779

Valorile estimate ale variabilei Ct şi ale variabilei reziduale, uˆ t sunt prezentate în cadrul tabelului 2.9.6.: Tabelul 2.9.6 Actual

Fitted

Ct

Cˆ t

531,600 545,000 535,100 523,700 551,300 551,900 553,400 570,200 614,600 624,200 679,500 599,400 566,600

627,531 626,529 605,615 572,540 536,726 537,194 522,226 517,081 520,289 557,707 591,717 665,951 709,917

Residual uˆt

-95,9309 -81,5287 -70,5148 -48,8401 14,5741 14,7064 31,1736 53,1185 94,3113 66,4934 87,7833 -66,5510 -143,317

Residual Plot (graficul reziduurilor)

| | | | | | | | | | | | | *

* | . * | . .* | . . * | . . |* . . |* . . |* . . | *. . | * . | *. . | * .* | . . | .

| | | | | | | | | | | | |

Modele econometrice cu o singură ecuaţie şi cu ecuaţii multiple

Actual

Fitted

Ct

Cˆ t

574,000 598,600 658,100 701,500 669,800 677,200 660,300 669,500 710,400 731,700 782,200

703,035 685,061 650,917 630,738 663,345 687,333 693,146 683,390 655,995 631,005 604,813

Residual uˆt

Residual Plot (graficul reziduurilor)

-129,035 -86,4608 7,18294 70,7618 6,45488 -10,1326 -32,8458 -13,8904 54,4048 100,695 177,387

| * . | . | | * | . | | . |* . | | . | *. | | . * . | | . *| . | | . *| . | | . *| . | | . | *. | | . | .* | | . | . *|

O altă modalitate de estimare a unui model cu ecuaţii simultane cu ajutorul programului EViews constă în construirea sistemului de ecuaţii corespunzător modelului în formă structurală şi în estimarea acestuia fie cu ajutorul M.C.M.M.P. în două faze (vezi SYSTEM01), fie cu ajutorul M.C.M.M.P. în trei faze19 (vezi SYSTEM02): System: SYSTEM01 Estimation Method: Two-Stage Least Squares Sample: 1980 2003 Included observations: 24 Total system (balanced) observations 24 Instruments: It C C(1) C(2)

Coefficient

Std. Error

t-Statistic

Prob.

1164,9 -0,6682

173,6883 0,2120

6,7071 -3,1523

0,0000 0,0046

Determinant residual covariance

6191,080

Equation: C t =C(1)+C(2)* Vt Observations: 24 R-squared Adjusted R-squared S.E. of regression

19

-0,2330 -0,2890 82,1822

Mean dependent var S.D. dependent var Sum squared resid

619,9917 72,3846 148585,90

Vezi E. Pecican, O. Tănăsoiu, A. I. Iacob, Modele econometrice, Bucureşti, Editura ASE, 2001, p. 205-206.

Econometrie. Studii de caz

Durbin-Watson stat

0,4779

Matricea varianţelor şi covarianţelor reziduurilor, în cazul aplicării M.C.M.M.P. în două faze, este următoarea: ⎛ 30167,6413 V = ⎜⎜ ⎝ − 36,6440

− 36,6440 ⎞ ⎟ 0,0449 ⎟⎠

System: SYSTEM02 Estimation Method: Three-Stage Least Squares Sample: 1980 2003 Included observations: 24 Total system (balanced) observations 24 Instruments: : It C C(1) C(2)

Coefficient

Std. Error

t-Statistic

Prob.

1164,9 -0,6682

166,2939 0,2029

7,0053 -3,2924

0,0000 0,0033

Determinant residual covariance

6191,080

Equation: C t =C(1)+C(2)* Vt Observations: 24 R-squared Adjusted R-squared S.E. of regression Durbin-Watson stat

-0,2330 -0,2890 82,1822 0,4779

Mean dependent var S.D. dependent var Sum squared resid

619,9917 72,3846 148585,90

În cazul aplicării M.C.M.M.P. în trei faze, matricea varianţelor şi covarianţelor reziduurilor este următoarea: ⎛ 27653,67 − 33,5903 ⎞ ⎟ V = ⎜⎜ 0,0412 ⎟⎠ ⎝ − 33,5903 Rezultatele obţinute în urma aplicării M.C.M.M.P. în două faze şi a M.C.M.M.P. în trei faze în cazul sistemului de ecuaţii indică faptul că ipotezele corespunzătoare M.C.M.M.P. sunt verificate (autocorelaţia erorilor poate fi neglijată), iar estimatorii parametrilor sunt semnificativ diferiţi de zero pentru un prag de semnificaţie de 5%, modelul fiind şi el semnificativ pentru acelaşi prag de semnificaţie.

Modele econometrice cu o singură ecuaţie şi cu ecuaţii multiple

Modelul fiind corect identificat, estimarea parametrilor s-a făcut atât cu metoda regresiei indirecte ( a 2 ), cât şi cu M.C.M.M.P. în două faze ( a3 ). Comparând rezultatele obţinute se constată că ele sunt identice.

()

b) Rata marginală a consumului final real în funcţie de PIB b$ a fost estimată pe baza aceluiaşi model econometric, utilizând trei procedee de estimare a parametrilor. În urma efectuării calculelor s-au obţinut următoarele valori ale ratei marginale a consumului final: a1 ) bˆ = −0,231 . Deoarece valoarea acestui parametru este semnificativă numai în cazul utilizării unui prag de semnificaţie α = 0,20 , se confirmă astfel faptul că aplicarea directă a M.C.M.M.P. asupra ecuaţiei modelului în formă structurală conduce la obţinerea de estimatori deplasaţi, nesemnificativi. a ) = a ) bˆ = −0,6682 pentru metoda regresiei indirecte şi 2

3

M.C.M.M.P. în două faze, care conduc la aceleaşi rezultate, modelul fiind corect identificat. Semnificaţia acestui indicator este următoarea: în perioada 1980-2002, la o creştere cu un miliard de lei a PIB-ului real, consumul final real a scăzut cu aproximativ 0,7 miliarde lei, ceea ce contravine teoriei economice. Se constată astfel o inadvertenţă, respectiv, pe de o parte, aceste modele pot fi acceptate ca semnificative din punct de vedere al testelor statistice, iar, pe de altă parte, sensul dependenţei consumului final real de factorul său de influenţă, reliefat de semnul algebric al estimatorului parametrului corespunzător acestuia, este în contradicţie cu teoria economică. Această inadvertenţă constă în faptul că PIB-ul real exercită o influenţă negativă asupra consumului final real. Datorită discrepanţelor dintre valorile estimatorilor şi teoria economică s-a renunţat la continuarea utilizării modelului în scopuri prospective. Acest lucru nu înseamnă că modelul prezintă deficienţe de specificare ci, mai curând, rezultatele contradictorii provin atât din dificultatea construirii unor serii lungi de date, cât şi ca urmare a măsurilor inconsecvente de politică economică adoptate în perioada de tranziţie a României.

Econometrie. Studii de caz

2.1.10 Modelul dinamic al lui Keynes

Dinamica principalilor indicatori macroeconomici, exprimaţi în mld. lei preţuri comparabile (1990=100), în România, în perioada 1980-2003, se prezintă în tabelul următor: Tabelul 2.10.1

mld. lei (1990=100)

Ani

Consumul final real al populaţiei ( Ct )

0

1

Consumul final real al adm. publice ( Gt )

2

PIB-ul real

Investiţii reale

( Vt )

( It )

3

4=3-1-2

1980 433,3 98,3 804,3 272,7 1981 442,1 102,9 805,8 260,8 1982 436,3 98,8 837,1 302,0 1983 433,1 90,6 886,6 362,9 1984 450,1 101,2 940,2 388,9 1985 442,0 109,9 939,5 387,6 1986 448,1 105,3 961,9 408,5 1987 472,1 98,1 969,6 399,4 1988 513,2 101,4 964,8 350,2 1989 516,6 107,6 908,8 284,6 1990 557,7 121,8 857,9 178,4 1991 467,4 132,0 746,8 147,4 1992 432,1 134,5 681,0 114,4 1993 435,9 138,1 691,3 117,3 1994 447,3 151,3 718,2 119,6 1995 505,3 152,8 769,3 111,2 1996 545,7 155,8 799,5 98,0 1997 525,7 144,1 750,7 80,9 1998 586,2 91,0 714,8 37,6 1999 579,8 80,5 706,1 45,8 2000 582,3 87,2 720,7 51,2 2001 610,7 99,7 761,7 51,3 2002 629,1 102,6 799,1 67,4 2003 673,7 108,5 838,3 56,0 Notă: Indicatorii sunt calculaţi conform metodologiei de calcul a Sistemului European al Conturilor Economiei Integrate - SEC 1979. Consumul final real al populaţiei şi consumul final real al administraţiei publice au fost deflaţionate cu ajutorul deflatorului consumului final real al populaţiei exprimat în preţuri constante (1990 = 100), respectiv cu deflatorul consumuli final real al administraţiei publice, datele provenind de la Ministerul Prognozei şi Dezvoltării, iar PIB-ul a

Modele econometrice cu o singură ecuaţie şi cu ecuaţii multiple fost deflaţionat cu ajutorul deflatorului PIB exprimat în preţuri constante (1990 = 100), obţinut în urma prelucrării datelor din Raportul Anual BNR. Sursa: Date prelucrate pe baza Anuarului Statistic al României 1995, CNS, Bucureşti, 1996, p. 370-371, Anuarului Statistic al României 1996, INS, Bucureşti, 1997, p. 364-365, Anuarului Statistic al României 2003, INS, Bucureşti, 2004, p. 284, Raportului Anual 1999, BNR, Bucureşti, 2000, p. 8*-9, Raportului Anual 2002, BNR, Bucureşti, 2003, p. 4*-5*, Comunicatului de Presă al INS nr.11/26.02.2004, Dobrescu, E., Macromodels of the Romanian Transition Economy, Second Edition, Editura Expert, Bucharest, 1998, p. 184.

Să se caracterizeze dezvoltarea economică a României în perioada 1980-2003 cu ajutorul unui model econometric cu ecuaţii multiple. Rezolvare: Pe baza datelor din tabelul de mai sus, dezvoltarea economică a României în perioada 1980-2003 se poate face cu ajutorul unui model econometric cu ecuaţii multiple a cărui formă structurală este următoarea: ⎧C t = a 0 + a1Vt + u1t ⎪ ⎨ I t = b0 + b1Vt + b2Vt −1 + u 2t ⎪V = C + I + G t t t ⎩ t

(1) (2 ) (3)

Modelul de mai sus prezintă câteva particularităţi cum ar fi: - prima ecuaţie descrie o relaţie de comportament a consumatorilor; - ecuaţia (2) reprezintă tot o relaţie de comportament, descriind politica investiţională practicată în perioada 1980-2003, dar având un caracter dinamic datorită includerii variabilelor decalate care imprimă această trăsătură şi modelului cu ecuaţii multiple; - ecuaţia (3) reprezintă o relaţie de identitate economică. Modelul cu ecuaţii multiple conţine cinci variabile, dintre care trei variabile sunt endogene ( Ct , I t , Vt ) şi două variabile exogene ( Gt ,Vt −1 ) . Discuţia econometrică a modelului cu ecuaţii multiple relevă că modelul este supraidentificat deoarece: - în ecuaţia (1), numărul variabilelor absente este egal cu 3, număr superior numărului de variabile endogene minus unu (3-1), ceea ce înseamnă că ecuaţia este supraidentificată;

Econometrie. Studii de caz

- chiar dacă ecuaţia (2) este corect identificată ( 2 = 3 − 1) , modelul este supraidentificat datorită ecuaţiei (1). Având această particularitate, estimarea parametrilor modelului se va face cu ajutorul M.C.M.M.P. aplicată în două faze. Faza I. Variabila Vt , care este endogenă în ecuaţia (3), dar exogenă în ecuaţiile (1) şi (2), se va regresa în funcţie de variabilele exogene Vt −1 şi Gt , rezultând ecuaţia: Vt = α + β ⋅ Vt −1 + ℘⋅ Gt + z t Se aplică M.C.M.M.P. în vederea estimării parametrilor α , β ,℘ şi a calculării valorilor estimate ale variabilei Vt :

(

)

24

(

ˆ = min ∑ Vt − αˆ − βˆVt −1 − ℘ ˆ Gt F αˆ , βˆ ,℘ t =2

24

(

)

2

)

ˆ Gt ⋅ (− 1) = 0 F ′(αˆ ) = 0 ⇒ 2 ⋅ ∑ Vt − αˆ − βˆVt −i − ℘ t =2

24

24

24

t =2

t =2

t =2

ˆ ∑ Gt = ∑ Vt ⇒ (n − 1) ⋅ αˆ + βˆ ∑ Vt −1 + ℘

()

24

(

)

ˆ Gt ⋅ (− Vt −1 ) = 0 F ′ βˆ = 0 ⇒ 2 ⋅ ∑ Vt − αˆ − βˆVt −1 − ℘ t =2

24

24

24

24

t =2

t =2

t =2

t =2

ˆ ∑ GtVt −1 = ∑ VtVt −1 ⇒ αˆ ∑ Vt −1 + βˆ ∑ Vt −21 + ℘ 24

(

)

ˆ ) = 0 ⇒ 2 ⋅ ∑ Vt − αˆ − βˆVt −1 − ℘ ˆ Gt ⋅ (− Gt ) = 0 F ′(℘ t =2

24

24

24

24

t =2

t =2

t =2

t =2

ˆ ∑ Gt2 = ∑ Vt Gt ⇒ αˆ ∑ Gt + βˆ ∑ GtVt −1 + ℘

Modele econometrice cu o singură ecuaţie şi cu ecuaţii multiple

de unde rezultă sistemul de ecuaţii normale: 24 24 24 ⎧ ˆ V +℘ ˆ ˆ ( ) n α β G Vt 1 − ⋅ + = ∑ ∑ ∑ t − t 1 ⎪ t =2 t =2 t =2 ⎪ 24 24 24 ⎪ 24 2 ˆ ˆ ˆ α V β V G V VtVt −1 + + ℘ = ⎨ ∑ t −1 ∑ ∑ ∑ t −1 t t −1 t = t = t = t = 2 2 2 2 ⎪ 24 24 24 ⎪ 24 ˆ ∑ Gt2 = ∑ Vt Gt ⎪αˆ ∑ Gt + βˆ ∑ GtVt −1 + ℘ t =2 t =2 t =2 ⎩ t =2

$ şi a valorilor V$t s-a În vederea estimării parametrilor α$ , β$ şi ℘ utilizat programul EViews, rezultatele obţinute fiind următoarele: Dependent Variable: Vt Method: Least Squares Sample(adjusted): 1981 2003 Included observations: 23 after adjusting endpoints Variable

Coefficient

Std. Error

t-Statistic

Prob.

C

157,1714

104,9035

1,4982

0,1497

Vt − 1

0,8708

0,0999

8,7198

0,0000

Gt

-0,4437

0,4239

-1,0469

0,3076

R-squared Adjusted R-squared S.E. of regression Sum squared resid Log likelihood Durbin-Watson stat

0,8136 0,7950 43,5558 37942,23 -117,8313 0,7013

Mean dependent var S.D. dependent var Akaike info criterion Schwarz criterion F-statistic Prob(F-statistic)

Vˆt = 157,1714 + 0,8708 Vt −1 − 0,4437 Gt

(104,9035) (0,0999)

(0,4239)

816,0739 96,1955 10,5071 10,6552 43,6549 0,0000

R1 = 0,902

d = 0,70 s zˆ = 43,5558

Econometrie. Studii de caz

Valorile estimate ale variabilei Vt şi ale variabilei reziduale, zˆ t sunt prezentate în cadrul tabelului 2.10.2. (utilizând pachetul de programe EViews): Tabelul 2.10.2 Actual

Fitted

Residual

Vt

Vˆt

zˆ t

811,912 815,038 845,933 884,335 927,151 928,582 951,284 956,525 949,594 894,526 845,675 747,818 688,92 692,032 714,792 757,959 789,45 770,517 743,914 733,364 740,532 774,948 804,899

-6,1123 22,0621 40,6667 55,8647 12,3492 33,3176 18,3162 8,2752 -40,7936 -36,6264 -98,8753 -66,8176 2,3800 26,1680 54,5085 41,5407 -38,7500 -55,7168 -37,8136 -12,6643 21,1685 24,1516 33,4010

805,8 837,1 886,6 940,2 939,5 961,9 969,6 964,8 908,8 857,9 746,8 681 691,3 718,2 769,3 799,5 750,7 714,8 706,1 720,7 761,7 799,1 838,3

Residual Plot (graficul reziduurilor)

| . *| . | . | *. | . | * | . | .* | . |* . | . | *. | . |* . | . |* . | * | . | .* | . |* . | . | * . | . | . * . | . | *. | . | .* | . | * | * | . | *. | . | * | . | . *| . | . | *. | . | *. | . | *.

| | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | |

În cazul acestei ecuaţii se constată existenţa fenomenului de autocorelare a erorilor, care poate fi ignorat. Estimatorii parametrilor modelului sunt nesemnificativi (pot fi acceptaţi ca semnificativi pentru un prag de semnificaţie α = 0,40 ), cu excepţia estimatorului parametrului corespunzător PIB-ului decalat cu o perioadă, care este semnificativ diferit de zero pentru un prag de semnificaţie de 5%, modelul fiind semnificativ pentru un prag de semnificaţie de 5%.

Modele econometrice cu o singură ecuaţie şi cu ecuaţii multiple

Faza II. Deoarece variabila endogenă Vt (vezi ecuaţia (3)) este variabilă exogenă în ecuaţiile (1) şi (2), în aceste ecuaţii ea se va introduce cu valorile estimate în faza I V$ - vezi tabelul 2.10.2., coloana 2.

( ) t

Estimarea parametrilor ecuaţiilor (1) şi (2) se va face cu ajutorul M.C.M.M.P. aplicate fiecărei ecuaţii: C t = a 0 + a1 ⋅ Vˆt + u1t

(1)

I t = b0 + b1 ⋅ Vˆt + b2 ⋅ Vt −1 + u 2t

(2)

Estimatorii ecuaţiei (1), a$ 0 şi a$ 1 , rezultă în urma aplicării M.C.M.M.P.: 24

(

F (aˆ 0 , aˆ1 ) = min ∑ C t − aˆ 0 − aˆ1Vˆt t =2

)

2

24

24

t =2

t =2

F ′(aˆ 0 ) = 0 ⇒ (n − 1) ⋅ aˆ 0 + aˆ1 ∑ Vˆt = ∑ C t 24

24

24

t =2

t =2

t =2

F ′(aˆ1 ) = 0 ⇒ aˆ 0 ∑ Vˆt + aˆ1 ∑ Vˆt 2 = ∑ C tVˆt În cazul ecuaţiei (1), calculele au fost efectuate cu ajutorul programului EViews, rezultând următoarele valori: Dependent Variable: Ct Method: Least Squares Sample(adjusted): 1981 2003 Included observations: 23 after adjusting endpoints Variable

Coefficient

Std. Error

t-Statistic

Prob.

C Vˆ

658,7968

147,3206

4,4719

0,0002

-0,1822

0,1796

-1,0147

0,3218

t

R-squared Adjusted R-squared S.E. of regression

0,0467 0,0013 73,0763

Mean dependent var S,D, dependent var Akaike info criterion

510,1087 73,1256 11,5038

Econometrie. Studii de caz

Sum squared resid Log likelihood Durbin-Watson stat

112143,10 -130,2940 0,2747

Schwarz criterion F-statistic Prob(F-statistic)

Cˆ t = aˆ 0 + aˆ1 ⋅ Vˆt = 658,7968 − 0,1822 Vˆt ;

(s ) (s ) a$ 0

a$1

(147,3206) (0,1796)

11,6026 1,0297 0,3218

R2 = 0,2162

d = 0,27 s uˆ1 = 73,0763

Valorile estimate ale variabilei Ct şi ale variabilei reziduale, uˆ1t sunt prezentate în cadrul tabelului 2.10.3. (utilizând pachetul de programe EViews). Tabelul 2.10.3 Actual

Fitted

Ct

Cˆ t

Residual uˆ1t

442,1 436,3 433,1 450,1 442,0 448,1 472,1 513,2 516,6 557,7 467,4 432,1 435,9 447,3 505,3 545,7 525,7 586,2 579,8 582,3 610,7 629,1 673,7

510,867 510,297 504,668 497,672 489,871 489,61 485,474 484,519 485,782 495,815 504,715 522,545 533,276 532,709 528,562 520,697 514,96 518,409 523,256 525,178 523,872 517,602 512,145

-68,7669 -73,9975 -71,5683 -47,5715 -47,8706 -41,5097 -13,3735 28,6814 30,8185 61,8853 -37,3153 -90,4449 -97,3760 -85,4090 -23,2623 25,0029 10,7404 67,7908 56,5437 57,1217 86,8275 111,4980 161,5550

Residual Plot (graficul reziduurilor)

| | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | |

* | . * | . * | . .* | . .* | . .* | . . *| . . |* . . |* . . | * .* | . *. | . *. | . *. | . . *| . . |* . . |* . . | * . | *. . | *. . | .* . | . * . | .

| | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | *|

Modele econometrice cu o singură ecuaţie şi cu ecuaţii multiple

În vederea verificării ipotezei de independenţă a erorilor se aplică testul Durbin - Watson, care constă în calcularea variabilei d cu ajutorul relaţiei: n

d=

∑ (uˆ t =3

2t n

− uˆ 2t −1 )

∑ uˆ t =2

2

= 0,27

2 2t

Din tabela distribuţiei Durbin - Watson, în funcţie de un prag de semnificaţie α = 0,05 , de numărul variabilelor explicative k = 1 şi de numărul de observaţii n = 23 se preiau valorile teoretice d 1 = 1,26 şi d 2 = 1,44 . Comparând valoarea calculată a variabilei d cu cele două valori

teoretice se constată că 0 < d = 0,27 < d 1 = 1,26 , interval ce corespunde situaţiei de autocorelaţie pozitivă, care, în acest caz, va fi ignorată. Estimatorii a$ 0 şi a$ 1 sunt semnificativ diferiţi de zero, cu un prag de semnificaţie α = 0,05 , dacă se verifică următoarele relaţii:

t aˆ0 =

t aˆ1 =

aˆ 0 s aˆ0 aˆ1 s aˆ1

> tα ;n − k −1 ⇔ t aˆ0 =

=

− 0,1822 0,1796

157,355 = 2,2779 > t 0, 05; 21 = 2,080 69,08

= 1,0147 > t 0, 40; 21 = 0,859

În urma efectuării calculelor de mai sus se constată faptul că doar estimatorul a$ 0 este semnificativ diferit de zero, cu un prag de semnificaţie

α = 0,05 , în timp ce estimatorul a$ 1 poate fi acceptat ca semnificativ pentru un prag de semnificaţie α = 0,40 . Verificarea semnificaţiei raportului de corelaţie: Fc = (n − k − 1)

R 12 1 − R 12

≥ Fα ;k ;(n − k −1)

Econometrie. Studii de caz

Fc = 21 ⋅

0,0467 = 1,0297 < F0,05;1; 21 = 4,32 1 − 0,0467

Pe baza rezultatului obţinut se constată că raportul de corelaţie este nesemnificativ. În cazul ecuaţiei (2), utilizând programul EViews, au fost obţinute următoarele rezultate: Dependent Variable: It Method: Least Squares Sample(adjusted): 1981 2003 Included observations: 23 after adjusting endpoints Variable

Coefficient

Std. Error

t-Statistic

Prob.

C Vˆ

-827,5175

219,9338

-3,7626

0,0012

t

0,9928

1,8495

0,5368

0,5973

Vt −1

0,2573

1,6700

0,1540

0,8791

R-squared Adjusted R-squared S.E. of regression Sum squared resid Log likelihood Durbin-Watson stat

0,6548 0,6203 84,3385 142259,50 -133,0296 0,3265

Mean dependent var S.D. dependent var Akaike info criterion Schwarz criterion F-statistic Prob(F-statistic)

192,2435 136,8614 11,8287 11,9768 18,9670 0,0000

Iˆt = bˆ0 + bˆ1Vˆt + bˆ2Vt −1 = −827,5175 + 0,9928 Vˆt + 0,2573 Vt −1 ; R3 = 0,8092

(s ) (s ) (s ) b$0

b$1

b$2

(219,9338) (1,8495) (1,67 )

d = 0,33 s uˆ2 = 84,3385

Valorile estimate ale variabilei It şi ale variabilei reziduale, uˆ 2t sunt prezentate în cadrul tabelului 2.10.4. (utilizând pachetul de programe EViews).

Modele econometrice cu o singură ecuaţie şi cu ecuaţii multiple

Tabelul 2.10.4 Actual

Fitted

Residual

It

Iˆt

uˆ 2t

Residual Plot (graficul reziduurilor)

260,8 302,0 362,9 388,9 387,6 408,5 399,4 350,2 284,6 178,4 147,4 114,4 117,3 119,6 111,2 98,0 80,9 37,6 45,8 51,2 51,4 67,4 56,1

185,463 188,952 227,677 278,537 334,833 336,075 364,375 371,559 363,443 294,366 232,772 107,038 31,636 37,376 66,892 122,894 161,928 130,577 94,930 82,218 93,090 137,806 177,163

75,3368 113,0480 135,2230 110,3630 52,7666 72,4253 35,0247 -21,3594 -78,8433 -115,9660 -85,3721 7,3625 85,6637 82,2243 44,3084 -24,8945 -81,0276 -92,9767 -49,1295 -31,0180 -41,6895 -70,4062 -121,0630

| . | *. | | . | .* | | . | . *| | . | .* | | . | * . | | . | *. | | . | * . | | . *| . | | .* | . | | *. | . | | * | . | | . |* . | | . | * | | . | *. | | . | * . | | . *| . | | .* | . | | * | . | | . * | . | | . * | . | | . * | . | | .* | . | |* . | . |

În vederea verificării ipotezei de independenţă a erorilor se aplică testul Durbin - Watson, care constă în calcularea variabilei d cu ajutorul relaţiei: n

d=

∑ (uˆ t =3

2t n

− uˆ 2t −1 )

∑ uˆ t =2

2

= 0,33

2 2t

Din tabela distribuţiei Durbin - Watson, în funcţie de un prag de semnificaţie α = 0,05 , de numărul variabilelor explicative k = 2 şi de

Econometrie. Studii de caz

numărul de observaţii n = 23 se preiau valorile teoretice d1 = 1,17 şi

d 2 = 1,54 . Comparând valoarea calculată a variabilei d cu cele două valori teoretice se constată că 0 < d = 0,33 < d1 = 1,17 , interval ce corespunde situaţiei de autocorelaţie pozitivă, care, în acest caz, va fi ignorată. Verificarea semnificaţiei estimatorilor:

t bˆ = 0

bˆ0 sbˆ

> tα ;n − k −1 ⇔ t bˆ = 0

0

t bˆ = 1

bˆ1 sbˆ

t bˆ = 2

2

= 3,2626 > t 0,05; 20 = 2,086

0,9928 = 0,5368 < t 0,05; 20 = 2,086 1,8495

> tα ;n − k −1 ⇔ t bˆ =

0,2573 = 0,154 < t 0,05; 20 = 2,086 1,67

1

sbˆ

2199,9338

> tα ;n − k −1 ⇔ t bˆ =

1

bˆ2

− 827,5175

2

Pe baza rezultatelor de mai sus se constată că doar estimatorul bˆ0 este semnificativ diferit de zero, cu un prag de semnificaţie α = 0,05 , în timp ce estimatorii b$1 şi b$2 sunt nesemnificativi ( b$1 poate fi acceptat ca semnificativ pentru un prag de semnificaţie α = 0,6 ). Verificarea semnificaţiei raportului de corelaţie: Fc =

n − k − 1 R22 ⋅ ≥ Fα ;k ;(n − k −1) k 1 − R22

Fc =

20 0,6548 ⋅ = 18,967 > F0.05; 2; 20 = 3,49 2 1 − 0,6548

Se constată astfel că raportul de corelaţie este semnificativ diferit de zero, cu un prag de semnificaţie α = 0,05 .

Modele econometrice cu o singură ecuaţie şi cu ecuaţii multiple

Programul EViews oferă posibilitatea estimării parametrilor unui model cu ecuaţii simultane, atât prin M.C.M.M.P. în două faze, cât şi prin construirea unui sistem de ecuaţii care permite estimarea parametrilor atât prin M.C.M.M.P. în două faze, cât şi prin M.C.M.M.P. în trei faze. Astfel, rezultatele afişate de programul EViews în urma aplicării M.C.M.M.P. în două faze asupra ecuaţiei (1) sunt următoarele: Dependent Variable: Ct Method: Two-Stage Least Squares Sample(adjusted): 1981 2003 Included observations: 23 after adjusting endpoints Instrument list: Vt-1 Gt Variable

Coefficient

Std. Error

t-Statistic

Prob.

C

658,7968

147,5788

4,4640

0,0002

Vt

-0,1822

0,1799

-1,0129

0,3226

R-squared Adjusted R-squared S.E. of regression F-statistic Prob(F-statistic)

0,0434 -0,0022 73,2044 1,0261 0,3226

Mean dependent var S.D. dependent var Sum squared resid Durbin-Watson stat

510,1087 73,1256 112536,50 0,3028

Valorile estimate ale variabilei Ct şi ale variabilei reziduale, uˆ1t sunt prezentate în cadrul tabelului 2.10.5. (utilizând pachetul de programe EViews). Tabelul 2.10.5 Actual

Fitted

Ct

Cˆ t

Residual uˆ1t

442,1 436,3 433,1 450,1 442,0 448,1 472,1 513,2

511,9806 506,2778 497,2589 487,4930 487,6206 483,5393 482,1364 483,0109

-69,8806 -69,9778 -64,1589 -37,3930 -45,6206 -35,4393 -10,0364 30,1891

Residual Plot (graficul reziduurilor)

| | | | | | | |

* | * | * | .* | .* | .* | . *| . |*

. . . . . . . .

| | | | | | | |

Econometrie. Studii de caz Actual

Fitted

Ct

Cˆ t

Residual uˆ1t

516,6 557,7 467,4 432,1 435,9 447,3 505,3 545,7 525,7 586,2 579,8 582,3 610,7 629,1 673,7

493,2141 502,4880 522,7304 534,7191 532,8424 527,9413 518,6309 513,1285 522,0198 528,5607 530,1459 527,4858 520,0156 513,2013 506,0591

23,3859 55,2120 -55,3304 -102,6191 -96,9424 -80,6413 -13,3309 32,5715 3,6802 57,6393 49,6541 54,8142 90,6844 115,8987 167,6409

Residual Plot (graficul reziduurilor)

| | | | | | | | | | | | | | |

. |* . . | *. .* | . *. | . *. | . *. | . . *| . . |* . . * . . | *. . | *. . | *. . | .* . | . * . | .

| | | | | | | | | | | | | | *|

În cazul ecuaţiei (2), în urma aplicării M.C.M.M.P. în două faze prin intermediul programului EViews au fost obţinute următoarele rezultate: Dependent Variable: It Method: Two-Stage Least Squares Sample(adjusted): 1981 2003 Included observations: 23 after adjusting endpoints Instrument list: Vt-1 Gt Variable

Coefficient

Std. Error

t-Statistic

Prob.

C

-827,5175

219,9338

-3,7626

0,0012

Vt Vt-1

0,9928

1,8495

0,5368

0,5973

0,2573

1,6700

0,1540

0,8791

R-squared Adjusted R-squared S.E. of regression F-statistic Prob(F-statistic)

0,6548 0,6203 84,3385 142259,50 -133,0296

Mean dependent var S.D. dependent var Sum squared resid Durbin-Watson stat

192,2435 136,8614 11,8287 11,9768

Modele econometrice cu o singură ecuaţie şi cu ecuaţii multiple

Valorile estimate ale variabilei It şi ale variabilei reziduale, uˆ 2t sunt prezentate în cadrul tabelului 2.10.6. (utilizând pachetul de programe EViews). Tabelul 2.10.6 Actual

Fitted

Residual

It

Iˆt

uˆ 2t

260,8 302,0 362,9 388,9 387,6 408,5 399,4 350,2 284,6 178,4 147,4 114,4 117,3 119,6 111,2 98,0 80,9 37,6 45,8 51,2 51,4 67,4 56,1

185,463 188,952 227,677 278,537 334,833 336,075 364,375 371,559 363,443 294,366 232,772 107,038 31,636 37,376 66,892 122,894 161,928 130,577 94,930 82,218 93,090 137,806 177,163

75,3368 113,0480 135,2230 110,3630 52,7666 72,4253 35,0247 -21,3594 -78,8433 -115,9660 -85,3721 7,3625 85,6637 82,2243 44,3084 -24,8945 -81,0276 -92,9767 -49,1295 -31,0180 -41,6895 -70,4062 -121,0630

Residual Plot (graficul reziduurilor)

| . | .* | . | .* | . | .* | . | *. | . | *. | . | *. | . |* . | . *| . | .* | . | *. | . | . |* . | . | .* | . | .* | . | *. | . *| . | * | . | .* | . | .* | . | . *| . | . *| . | * | . | *. | . |* . | .

| | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | |

Interpretarea statistică a rezultatelor obţinute este identică cu cea menţionată în cazul aplicării M.C.M.M.P. în două faze prezentată mai sus. O altă modalitate de estimare a unui model cu ecuaţii simultane cu ajutorul programului EViews constă în construirea sistemului de ecuaţii corespunzător modelului în formă structurală şi în estimarea acestuia fie cu ajutorul M.C.M.M.P. în două faze (vezi SYSTEM01), fie cu ajutorul M.C.M.M.P. în trei faze (vezi SYSTEM02).

Econometrie. Studii de caz

System: SYSTEM01 Estimation Method: Two-Stage Least Squares Sample: 1981 2003 Included observations: 23 Total system (balanced) observations 46 Instruments: Vt −1 Gt C

C(1) C(2) C(3) C(4) C(5)

Coefficient

Std. Error

t-Statistic

Prob.

658,7968 -0,1822 -827,5175 0,9928 0,2573

147,5788 0,1799 184,0225 1,5475 1,3973

4,4640 -1,0129 -4,4968 0,6415 0,1841

0,0001 0,3170 0,0001 0,5247 0,8548

Determinant residual covariance

2622725

Equation: C t =C(1)+C(2)* Vt Observations: 23 R-squared Adjusted R-squared S.E. of regression Durbin-Watson stat

0,0434 -0,0022 73,2044 0,3028

Mean dependent var S.D. dependent var Sum squared resid

510,1087 73,1256 112536,50

Equation: I t =C(3)+C(4)* Vt +C(5)* Vt −1 Observations: 23 R-squared Adjusted R-squared S.E. of regression Durbin-Watson stat

0,7583 0,7341 70,5675 0,3495

Mean dependent var S.D. dependent var Sum squared resid

192,2435 136,8614 99595,42

Matricea varianţelor şi covarianţelor reziduurilor este următoarea: ⎛ 4892,8919 − 4308,6716 ⎞ ⎟⎟ V = ⎜⎜ ⎝ − 4308,6716 4330,2358 ⎠ Şi în acest caz interpretarea statistică a rezultatelor obţinute este identică cu cea menţionată anterior.

Modele econometrice cu o singură ecuaţie şi cu ecuaţii multiple

System: SYSTEM02 Estimation Method: Three-Stage Least Squares Sample: 1981 2003 Included observations: 23 Total system (balanced) observations 46 Instruments: Vt −1 Gt C

C(1) C(2) C(3) C(4) C(5)

Coefficient

Std. Error

t-Statistic

Prob.

658,7968 -0,1822 -990,8377 3,1444 -1,6978

141,0164 0,1719 138,0781 0,5298 0,4584

4,6718 -1,0601 -7,1759 5,9350 -3,7034

0,0000 0,2953 0,0000 0,0000 0,0006

Determinant residual covariance

31011202

Equation: C t =C(1)+C(2)* Vt Observations: 23 R-squared Adjusted R-squared S.E. of regression Durbin-Watson stat

0,0434 -0,0022 73,2044 0,3028

Mean dependent var S.D. dependent var Sum squared resid

510,1087 73,1256 112536,50

Equation: I t =C(3)+C(4)* Vt +C(5)* Vt −1 Observations: 23 R-squared Adjusted R-squared S.E. of regression Durbin-Watson stat

0,3361 0,2697 116,9579 0,6637

Mean dependent var S.D. dependent var Sum squared resid

192,2435 136,8614 273582,90

În cazul aplicării M.C.M.M.P. în trei faze, matricea varianţelor şi covarianţelor este următoarea: ⎛ 4892,892 − 5214,337 ⎞ ⎟⎟ V = ⎜⎜ ⎝ − 5214,337 11894,91⎠ Pe baza informaţiilor furnizate de programul EViews în urma aplicării M.C.M.M.P. în trei faze sistemului de ecuaţii se constată faptul că: - în cazul ecuaţiei (1), rezultatele obţinute sunt nesemnificative;

Econometrie. Studii de caz

- în cazul ecuaţiei (2), ipotezele corespunzătoare M.C.M.M.P. sunt verificate (autocorelaţia erorilor poate fi neglijată), iar estimatorii parametrilor sunt semnificativ diferiţi de zero, pentru un prag de semnificaţie de 5%, modelul fiind şi el semnificativ pentru acelaşi prag de semnificaţie. Descrierea economiei României în perioada 1980-2003 se poate face cu ajutorul multiplicatorilor cu efect direct. Multiplicatorii cu efect direct sau multiplicatorii structurali sunt reprezentaţi de parametrii modelului sub formă structurală: a1 - rata marginală a consumului, care arată că, în perioada 19802003, la o creştere cu un miliard de lei a PIB-ului real, consumul final real al populaţiei a scăzut cu 0,18 miliarde lei. b1 - rata marginală a investiţiilor, care exprimă faptul că, în perioada 1980-2003, investiţiile reale au crescut cu 0,99 miliarde lei la o creştere cu un miliard de lei a PIB-ului real. b2 - relevă faptul că PIB-ul real realizat în anul anterior a avut un efect pozitiv asupra creşterii investiţiilor reale, acestea crescând cu aproximativ 0,26 miliarde lei la o creştere cu un miliard de lei a PIB-ului real din anul anterior. Prin coroborarea valorilor estimatorilor şi, în special, a semnului algebric al acestora cu teoria economică privind sensul dependenţelor şi interdependenţelor dintre fenomenele economice analizate, se constată că acestea conţin evidente inadvertenţe economice, care constau în faptul că sensul dependenţei consumului final real al populaţiei de factorul său de influenţă, reliefat de semnul algebric al estimatorului parametrului corespunzător acestuia, este în contradicţie cu teoria economică. Această inadvertenţă constă în faptul că PIB-ul real exercită o influenţă negativă asupra consumului final real al populaţiei. Datorită slabelor performanţe statistice ale acestui model, cât şi discrepanţelor dintre valorile estimatorilor şi teoria economică, s-a renunţat la continuarea utilizării sale în scopuri prospective. Acest lucru nu înseamnă că acest model prezintă deficienţe de specificare ci, mai curând, rezultatele contradictorii se datorează, atât dificultăţii construirii unor serii lungi de

Modele econometrice cu o singură ecuaţie şi cu ecuaţii multiple

date, cât şi măsurilor inconsecvente de politică economică adoptate în perioada de tranziţie a României.

2.1.11 Model recursiv

Pe baza datelor din Anuarul Statistic al României s-au construit seriile cronologice pe ani privind indicele câştigului salarial real (1990=100), Its, indicele productivităţii muncii reale (1990=100), Itw, şi indicele preţurilor de consum (1990=100), Itp, în perioada 1990-2002: Tabelul 2.11.1

I

p t −1

t

Itp

Itw

Its

1

2

3

4

5

1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002

100,0 270,2 838,8 2987,0 7071,9 9353,4 12983,4 33076,9 52624,2 76728,0 111767,1 150290,7 184162,1

100,0 270,2 838,8 2987,0 7071,9 9353,4 12983,4 33076,9 52624,2 76728,0 111767,1 150290,7

100,0 87,5 82,3 86,8 90,6 102,4 107,7 105,1 102,5 106,0 105,5 112,4 121,2

100,0 81,7 71,3 59,4 59,4 66,5 72,7 56,3 58,2 56,0 58,6 61,5 62,8

Sursa: Date prelucrate pe baza Anuarului Statistic al României 2003, INS, Bucureşti, 2004, p. 135, 322, 105, Anuarului Statistic al României 2000, INS, Bucureşti, 2001, p. 135, 136, Anuarului Statistic al României 2001, INS, Bucureşti, 2002, p. 132, 312, Raportului Anual 2002 BNR, Bucureşti, 2003, p. 4*-7*, Raportului Anual 2000 BNR, Bucureşti, 2001, p. 5*-9*.

Se cere: a) Să se construiască modelul econometric cu ajutorul căruia pot fi descrise dependenţele şi interdependenţele dintre preţuri şi câştigurile salariale;

Econometrie. Studii de caz

b) Abordarea modelului construit la punctul a) ca model cu ecuaţii simultane şi estimarea parametrilor acestuia cu ajutorul metodelor cunoscute; c) Abordarea modelului de la punctul a) ca model recursiv şi estimarea parametrilor acestuia; d) Să se compare rezultatele obţinute la punctele b) şi c) şi să se formuleze concluziile care se desprind. Rezolvare: a) În teoria economică se întâlneşte un model cu ecuaţii multiple denumit şi modelul „spiralei preţurilor” care, sub formă structurală, se prezintă astfel: ⎧⎪I ts = a0 + a1 I t p + a2 I tw + u 1t M0 ⎨ ⎪⎩I t p = b 0 + b1 I ts + u 2t

(1) ( 2)

Acest model conţine două variabile endogene (Is,Ip) şi o singură variabilă exogenă (Iw), în total trei variabile. Ecuaţia (1) a modelului este nonidentificată deoarece conţine toate variabilele (0